1. HİPERSTATİK SİSTEMLER 1.1. Giriş Bir sistemin hesabının amacı, dış etkilerden meydana gelen kesit tesirlerini, şekil değiştirmelerini ve yer değiştirmelerini belirlemektir. İzostatik sistemlerde, yalnız denge denklemleriyle kesit tesirleri ve bunlara bağlı olarak şekil değiştirmeler bulunabilir. Hiperstatik sistemlerde ise, kesit tesirlerini ve şekil değiştirmeleri belirlemek için yalnız denge denklemleri yetmez, bunlara süreklilik şartları denilen geometrik uygunluk şartları ile gerilme şekil değiştirme bağıntılarının da eklenmesi gerekir. Hiperstatik sistemlerde, kesit tesirleri meydana getiren dış etkiler; a) Sabit yükler b) Sıcaklık değişmeleri c) Mesnet çökmeleri şeklinde sıralanabilir. İzostatik sistemlerde, sıcaklık değişmeleri ve mesnet çökmelerinden yalnız yer değiştirmeler meydana gelirken, kesit tesirleri oluşmaz. Hiperstatik sistemlerde ise, yer değiştirmeler ile birlikte kesit tesirleri de meydana gelir. Aşağıdaki tabloda izostatik ve hiperstatik sistemler karşılaştırılmaktadır. Dış Etki İzostatik Sistemlerde Hiperstatik Sistemlerde Sabit Dış Yükler Sıcaklık Değişmeleri Mesnet Çökmeleri Hem yer değiştirme, hem de kesit tesirleri meydana getirir. Sadece yer değiştirme meydana getirir. Sadece yer değiştirme meydana getirir. Hem yer değiştirme, hem de kesit tesirleri meydana getirir. Hem yer değiştirme, hem de kesit tesirleri meydana getirir. Hem yer değiştirme, hem de kesit tesirleri meydana getirir. Hiperstatik sistemlerin çözümünde, yer değiştirmelerin küçük olduğu ve gerilme - şekil değiştirme bağıntılarının lineer olduğu kabul edilmektedir.
1.2. Hiperstatik Sistemlerin Çözüm Yöntemleri Hiperstatik sistemlerin çözüm yöntemlerini üç grupta toplamak mümkündür. a) Kuvvet yöntemi b) Yerdeğiştirme yöntemi c) Karışık yöntem Kuvvet yönteminde, sistemdeki bilinmeyenler eleman uç kuvvetleridir. Düğüm noktası dengesi sağlandıktan sonra, düğüm noktası yer değiştirmelerinin uygunluğundan doğan denklemlerin çözümü ile bilinmeyenler elde edilir. Yer değiştirme yönteminde, sistemdeki bilinmeyenler düğüm noktası yer değiştirmeleridir. Düğüm noktası dengesi sağlandıktan sonra denge denklemleri ve süreklilik denklemleri yardımıyla bu bilinmeyenler elde edilir. Yer değiştirme yöntemlerine Moment Dağıtma (Cross), Açı ve Kani Yöntemleri örnek olarak verilebilir. Karışık yöntemde ise, sistemdeki bilinmeyenler eleman uç kuvvetleri ve yer değiştirmelerdir. Bu yönteme Travers Yöntemi örnek olarak verilebilir. 1.3. Kuvvet Yöntemi 1.3.1. Genel Bilgiler Bir sistemin bütün kesit tesirlerini ve mesnet tepkilerini elde edebilmek için denge denklemlerine eklenmesi gereken denklem sayısına, sistemin hiperstatiklik derecesi denir. Bunu elde etmek için bazı kesimler yapılarak sistem izostatik hale getirilir. Bu kesimlerde kaldırılan kesit tesirleri ve mesnet tepkilerinin sayısı sistemin hiperstatiklik derecesini verir. Kuvvet yönteminde bilinmeyenler, izostatik sistem elde etmek için yapılan kesimlerde kaldırılan kesit tesirleri ve mesnet tepkileridir. İzostatik sistem elde etmek için yalnız bazı mesnet tepkileri kaldırılan sistemlere dıştan hiperstatik sistem, yalnız bazı kesit tesirleri kaldırılan sistemlere içten hiperstatik sistem, bazı mesnet tepkileri ile bazı kesit tesirlerinin aynı anda kaldırıldığı sistemlere de içten ve dıştan hiperstatik sistem adı verilir. Bir hiperstatik sistemde yapılan kesimler ile çeşitli izostatik sistemler elde edileceği açıktır. Bunların arasından hesapları en çok basitleştiren sistem seçilir. Bu sisteme izostatik esas sistem denir.
Bir sistemin hiperstatiklik derecesi aşağıdaki gibi hesaplanır: Çerçeve sistemlerde; hd=mts+3*kgs-ms-dds Kafes sistemlerde; hd=mts+çs-2*dns Burada; hd : hiperstatiklik derecesi mts : mesnet tepkisi sayısı kgs : kapalı göz sayısı ms : mafsal sayısı dds : denge denklemi sayısı çs : çubuk sayısı dns : düğüm noktası sayısıdır. Aşağıdaki örneklerde bazı hiperstatik sistemler için, kesimler ile elde edilen çeşitli izostatik sistemler ve bunların üzerinde kesimlerle kaldırılan ve bilinmeyen olarak seçilen kesit tesirleri ve mesnet tepkileri gösterilmektedir.
1) dh ih 2) dh ih 3) 4) dh Gergi ih 5) 6) pandül ayak ih 7) ih 8)
1.3.2. Kuvvet Yöntemi ile Hiperstatik Sistemlerin Çözümü 1.3.2.1. Düzlem Çerçeveler Sabit yükler, sıcaklık değişmeleri ve mesnet çökmeleri gibi dış etkilerden dolayı düzlem hiperstatik çerçeve sistemlerde kesit tesirleri M, N, T ile; şekil değiştirmeler, ds, v ile, yer değiştirmeler ise 1, 2, 3 ile gösterilmektedir. Dış yüklere maruz hiperstatik sistemlerin Kuvvet Yöntemi ile çözümünde yapılan işlemler aşağıda verilmektedir. a) İzostatik esas sistem ve hiperstatik bilinmeyenlerin seçimi: Hiperstatik bir sistemde, yapılan kesimler ile elde edilen çeşitli izostatik sistemler arasından, çözümü en çok basitleştiren sistemin izostatik esas sistem olarak adlandırıldığı daha önce belirtilmişti. Yapılan bu kesimlerde kaldırılan kesit tesirleri ve mesnet tepkileri bilinmeyen olarak seçilir ve n. dereceden hiperstatik olan bir sistemde, hiperstatiklik derecesine eşit sayıdaki hiperstatik bilinmeyenler X 1, X 2,, X n ile gösterilirler. Aşağıdaki şekilde örnek bir hiperstatik sistem ve bu sistem için seçilen izostatik esas sistem görülmektedir. A B hiperstatik sistem (h.s.) M A izostatik esas sistem (i.e.s.) ve hiperstatik bilinmeyenler (h.b.) B X Hiperstatik bir sistemde, dış etkilerden meydana gelen kesit tesirleri, şekil değiştirmeler ve yer değiştirmeler, izostatik esas sistemde aynı dış etkiler ile beraber X 1, X 2,, X n hiperstatik bilinmeyenlerinden meydana gelen kesit tesirleri, şekil değiştirmeler ve yer değiştirmelere eşittirler. O halde, X 1, X 2,, X n bilinmeyenleri elde edilirse, izostatik esas sistemde bulunan bütün iç etkiler, hiperstatik sistemin bütün iç etkilerine eşit olur. b) X= yüklemesi: İzostatik esas sisteme, dış etkiler; yani sabit yükler, sıcaklık değişmeleri ve mesnet çökmeleri uygulanarak kesit tesirleri elde edilir. Bu yükleme durumuna X= yüklemesi adı verilmektedir. Sabit yükler, sıcaklık değişmeleri ve mesnet çökmelerinden meydana gelen büyüklükler sırasıyla;, t ve w ile gösterilmektedir.
Kesit Tesirleri Yer değiştirmeler Sabit Yük M, N, T 1, 2,, n Sıcaklık Değişmesi M t, N t, T t = 1t, 2t,, nt Mesnet Çökmesi M w, N w, T w = 1w, 2w,, nw Burada ilk indisler yeri, ikinci indisler ise sebebi göstermektedir. Buna göre; 1, 1t, 1w : İzostatik esas sistemde, sırasıyla sabit yüklerden, sıcaklık değişmelerinden ve mesnet çökmelerinden meydana gelen şekil değiştirmelerde, X 1 bilinmeyen kuvvetinin uygulama noktasının yer değiştirmesinin X 1 üzerindeki izdüşümleridir. 2, 2t, 2w : İzostatik esas sistemde, sırasıyla sabit yüklerden, sıcaklık değişmelerinden ve mesnet çökmelerinden meydana gelen şekil değiştirmelerde, X 2 bilinmeyen kuvvetinin uygulama noktasının yer değiştirmesinin X 2 üzerindeki izdüşümleridir. n, nt, nw : İzostatik esas sistemde, sırasıyla sabit yüklerden, sıcaklık değişmelerinden ve mesnet çökmelerinden meydana gelen şekil değiştirmelerde, X n bilinmeyen kuvvetinin uygulama noktasının yer değiştirmesinin X n üzerindeki izdüşümleridir. NOT: X bilinmeyeninin birim moment olması halinde yer değiştirmenin X üzerindeki izdüşümünün bir açı olduğu, X bilinmeyeninin birim moment çifti olması halinde ise yer değiştirmenin X üzerindeki izdüşümünün bu momentlere karşılık gelen iki tane açının toplamı olduğu unutulmamalıdır. Aşağıdaki şekilde, yukarıdaki hiperstatik sistem için seçilen izostatik esas sistemin X= yüklemesi sonucu meydana gelen şekil değiştirme görülmektedir. 1 M, N, T X= yüklemesi 2
c) Birim yüklemeler (X 1 =1, X 2 =1,, X n =1): İzostatik esas sisteme, hiperststik bilinmeyenlerin her biri ayrı ayrı 1 birim alınarak (X 1 =1, X 2 =1,, X n =1) ayrı ayrı kesit tesirleri elde edilir. Bu yüklemelere birik yüklemeler adı verilmektedir. Bu yüklemelerden meydana gelen büyüklükler 1, 2,, n indisleriyle gösterilmektedir. Kesit Tesirleri Yer değiştirmeler X 1 =1 yüklemesi M 1, N 1, T 1 11, 21,, n1 X 2 =1 yüklemesi M 2, N 2, T 2 12, 22,, n2 X n =1 yüklemesi M n, N n, T n 1n, 2n,, nn Burada yine ilk indisler yeri, ikinci indisler ise sebebi göstermek üzere; 11, 21,, n1 : X 1 bilinmeyeninin uygulama noktasının yer değiştirmelerinin X 1 üzerindeki izdüşümleridir. 12, 22,, n2 : X 2 bilinmeyeninin uygulama noktasının yer değiştirmelerinin X 2 üzerindeki izdüşümleridir. 1n, 2n,, nn : X n bilinmeyeninin uygulama noktasının yer değiştirmelerinin X n üzerindeki izdüşümleridir. Aşağıdaki şekilde, yukarıdaki hiperstatik sistem için seçilen izostatik esas sistem için yapılan birim yüklemeler sonucu meydana gelen şekil değiştirmeler görülmektedir. X 1 =1kNm 11 12 X 2 =1kN 21 22 M 1, N 1, T 1 X 1 =1 yüklemesi M 2, N 2, T 2 X 2 =1 yüklemesi
d) Denge ve Süreklilik Denklemleri: X= ve X 1 =1, X 2 =1,, X n =1 birim yüklemeleri yapıldıktan sonra, hiperstatik bir sistemin kesit tesirleri için; M M M X M X M X n n n n n n T T T X T X T X Denge denklemleri N N N X N X N X şeklinde tanımlanan ve Denge veya Süperpozisyon Denklemleri adı verilen bağıntılar yazılabilir. Yer değiştirmeler için ise; δ1 δ1 δ1t δ1w δ11x1 δ12x 2 δ1nx n : X 1 bilinmeyeninin uygulama noktası yer değiştirmesinin X 1 üzerindeki izdüşümü δ2 δ2 δ2t δ2w δ21x1 δ22x2 δ2nxn : X 2 bilinmeyeninin uygulama noktası yer değiştirmesinin X 2 üzerindeki izdüşümü δn δn δnt δnw δn1x1 δn2x2 δnnxn : X n bilinmeyeninin uygulama noktası yer değiştirmesinin X n üzerindeki izdüşümü şeklinde tanımlanan ve Açık Süreklilik Denklemleri adı verilen bağıntılar yazılabilir. Açık süreklilik denklemlerinde, bilinmeyen katsayılarından meydana gelen ve dış etkilerden bağımsız olan matrise katsayılar matrisi, δ 1, δ 2,, δ n lara yükleme terimleri, δ 1t, δ 2t,, δ nt lere sıcaklık değişimi terimleri, δ 1w, δ 2w,, δnw ile δ 1, δ 2,, δ n lere de mesnet çökmesi terimleri denir. Katsayılar matrisinin elemanları (δ ij); virtüel iş teoreminden elde edilen; Düzlem sistemlerde; δij Mi M ds ds ds j NiN j TT i j EI EF GF s Kafes sistemlerde; δij S i.s j. EF formülleri ile bulunur. Burada; E elastisite modülünü, G kayma modülünü, I atalet momentini, F alanı, F kayma alanını, S çubuk kuvvetini, s çubuk uzunluğunu; EF, GF, EI ise sırasıyla uzama, kayma ve eğilme rijitliklerini göstermektedir.
Yükleme terimleri (δ i); virtüel iş teoreminden elde edilen; Düzlem sistemlerde; δi Mi M ds ds ds NiN TT i EI EF GF s Kafes sistemlerde; δi S i.s. EF formülleri ile bulunur. Sıcaklık değişimi terimleri (δ it ); virtüel iş teoreminden elde edilen; ε. t Düzlem sistemlerde; δit Mi ds N i.ε.t.ds d Kafes sistemlerde; δit S i.ε.t.s formülleri ile bulunur. Mesnet çökmesi terimleri (δiw ve δ i) ; başlangıçta verilmiş olan mesnet çökmeleri değerlerine bağlı olarak elde edilebilirler. Ancak, açık süreklilik denklemlerinin virtüel iş teoremine göre başka bir şekilde elde edilmesi yararlı olacaktır. Virtüel iş teoremine göre dış kuvvetlerin yaptığı iş iç kuvvetlerin yaptığı işe eşittir. Buradan hareketle; M N T ε. t Düzlem sistemlerde; Mk ds Nk ds Tk ds Mk ds N k.ε.t.ds Jk EI EF GF d S Kafes sistemlerde; S k. s S k.ε.t.s Jk EF denklemleri elde edilir. k ya 1 den n ye kadar değer verilerek elde edilen n tane denkleme Kapalı Süreklilik Denklemleri denir. Bu denklemde yukarıda verilen ve virtüel iş teoreminden yararlanılarak elde edilen katsayılar matrisinin elemanları sıcaklık değişimi terimleri (δ it ) dikkate alınırsa açık süreklilik denklemleri; (δ ij), yükleme terimleri (δ i), δ11x1 δ12x 2 δ1nx n δ1 δ1t J1 δ21x1 δ22x2 δ2nxn δ2 δ2t J 2 Açık Süreklilik Denklemleri δn1x1 δn2x2 δnnxn δn δnt Jn şeklinde elde edilir. Bu denklemdeki tek değişiklik, δ1 δ 1w, δ2 δ 2w,, δn δnw terimlerinin yerine sırasıyla J 1, J 2,, Jn mesnet çökmesi terimlerinin gelmiş olmasıdır. Bu terimlerin elde edilmesi, eşitlikleri olan öncekilerinin elde edilmesinden daha kolaydır.
J k ; izostatik esas sistemde Xk 1 yüklemesinden meydana gelen dış kuvvetlerin, hiperstatik sistemin mesnet çökmelerinde yaptıkları işlerin toplamıdır. Xk 1 yüklemesi yerine sırasıyla X, X2 1,, Xn 1 yüklemeleri alınarak J 1, J 2,, Jn mesnet çökmesi terimleri kolayca elde edilebilir. e) X 1, X 2,, X n hiperstatik bilinmeyenlerin hesabı: X 1, X 2,, Xn hiperstatik bilinmeyenleri, bir lineer denklem takımı oluşturan açık süreklilik denklemlerinin, herhangi bir denklem çözüm yöntemi kullanılarak elde edilir. f) Kesit tesirlerinin elde edilmesi: Hiperstatik sistemin kesit tesirleri X 1, X 2,, Xn hiperstatik bilinmeyenlerin bulunan değerleri denge denklemlerinde yerlerine konularak veya izostatik esas sisteme dış yükler ve X 1, X 2,, Xn hiperstatik bilinmeyenlerin bulunan değerleri birlikte uygulanarak elde edilir. g) Kontrol: Elde edilen kesit tesirleri, kapalı süreklilik denklemlerinde yerlerine konur ve bu denklemlerin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir. I c I M.M.ds EI δ EI J i c it c i h) Yer değiştirmelerin elde edilmesi: Hiperstatik sistemin istenen kesitlerindeki yer değiştirmeleri, kesit tesirleri elde edilmiş olduğundan, bilinen yer değiştirme yöntemlerinden biri yardımıyla elde edilebilir. Hiperstatik sistemlerin hesabını basitleştirmek için, bazen süreklilik denklemlerinin her iki tarafı EI c sabiti ile çarpılır. Burada I c, kesitlerden birinin atalet momenti olarak seçilebilir. Bu durumda lar yerine EI c ların hesap edilmesi gerekmektedir. Bunların değerleri düzlem sistemlerde; c c c EIcδij M I I EI i M j ds NiN j ds TT i j ds I F GF c c c EIcδi M I I EI i M ds NiN ds TT i ds I F GF
ε. t EIcδit M i..ei c.ds N i.ε.t.ei c.ds d EI δ EI J c i c i şeklinde hesaplanmaktadır. Kafes sistemlerde ise, süreklilik denklemlerinin her iki tarafı bir EF c sabiti ile çarpılır. Hiperstatik sistemlerin Kuvvet Yöntemi ile çözümünde izlenen yol aşağıda özetlenmiştir: 1. İzostatik esas sistem seçilir ve hiperstatik bilinmeyenler belirlenir. 2. X= yüklemesi yapılarak, yani izostatik esas sistem üzerine sabit yükler uygulanarak; M, N, T kesit tesirleri elde edilir. 3. X 1 =1, X 2 =1,, X n =1 birim yüklemeleri ayrı ayrı yapılarak ayrı ayrı (M 1, N 1, T 1 ); (M 2, N 2, T 2 ); ; (M n, N n, T n ) kesit tesirleri elde edilir. 4. Açık süreklilik denklemlerinin katsayıları olan ij ler hesaplanır. ij = ji olduğundan sadece simetri eksenindeki ve simetri ekseninin üstündeki veya altındaki katsayıları hesaplamak yeterlidir. 5. Sabit yüklerden, sıcaklık değişmelerinden ve mesnet çökmelerinden meydana gelen i, it ve J i terimleri hesaplanır. 6. Açık süreklilik denklemleri elde edilip çözülerek X i hiperstatik bilinmeyenler bulunur. δ11x1 δ12x 2 δ1nx n δ1 δ1t J1 δ21x1 δ22x2 δ2nxn δ2 δ2t J 2 Açık süreklilik denklemleri δn1x1 δn2x2 δnnxn δn δnt Jn 7. Denge denklemleri yardımıyla herhangi bir noktadaki kesit tesirleri hesaplanır. M M M X M X M X n n n n n n T T T X T X T X Denge denklemleri N N N X N X N X 8. Kapalı süreklilik denklemleri yardımıyla kontrol yapılır. I c I M.M.ds EI δ EI J i c it c i