ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ Dile SÖYLEMEZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her haı salıdır

ÖZET Yüse Lisas Tezi BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELL IKLER I Dile SÖYLEMEZ Aara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Maemai Aabilim Dal Da şma: Doç.Dr. Güle TUNCA Bu ez dör bölümde oluşmaad r. Il bölüm giriş sm a ayr lm ş r. Iici bölümde, ez içide ulla laca emel avramlar verilmişir. Üçücü bölümde, Öce C B [0; ) uzay bir al uzay ola H! uzay a mla p Bleima, Buzer ve Hah operaör dizisii H! uzay dai osiyolar içi [0; ) aral ¼g da düzgü ya sal ¼g icelemişir. Daha sora bu operaörü ye göre mooolu¼gu bölümüş arlar yard m yla verilmişir. Dördücü bölümde, q- amsay s a dayal Bleima, Buzer ve Hah operaorlerii a m verilip bu operaör dizisii düzgü ya sal ¼g icelemişir, ayr ca yalaş m h z ; öce osiyou sürelili modülü ile, ard da, Lipschiz ipli masimal osiyolar uzay dai osiyolar içi hesaplam ş r. So olara operaörü ye göre mooolu¼gu verilmişir. Temmuz 009, 55 saya Aahar Kelimeler : Lieer pozii operaör, Bleima Buzer ve Hah operaörü, Sürelili modülü, Bölümüş arlar, Korovi eoremi. i

ABSTRACT Maser Thesis SOME PROPERTIES OF THE BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATOR Dile SÖYLEMEZ Aara Uiversiy Graduae School o Naural Ad Applied Scieces Deparme o Mahemaics Supervisor: Ass. Pro. Dr. Güle TUNCA This hesis cosiss o our chapers. The rs chaper is devoed o he iroducio. The secod chaper, basic coseps which will be used i urher chapers are give. I he hird chaper, previously, H! space which is a subspace o C B [0; ) has bee de ed, laer, uiorm covergecy o he sequece o Bleima, Buzer ad Hah operaors o [0; ) or hose ucios belogig o H! space is ivesigaed. Moreover moooiciy o BBH operaor has bee obaied wih he help o divided di ereces. I he las chaper, he de iio o Bleima, Buzer ve Hah operaor based o q-ieger has bee give, moreover uiorm covergecy o he sequece o hese operaors has bee eamied, moreover, he rae o covergece has bee calculaed rsly, by meas o modulus o coiuiy o he ucio ad subsequely, or he ucios i he space o Lipschiz ype maimal ucios. Fially moooiciy o he operaor wih respec o has bee give. July 009, 55 pages Key Words: Liear posiive operaor, Bleima Buzer ad Hah operaor, Modulus o coiuiy, Divided di ereces, Korovi s heorem. ii

TEŞEKKÜR Bu çal şma ousuu baa vere ve araş rmalar m her aşamas da e ya ilgi ve öerileriyle bei yöledire da şma hocam, Say Doç. Dr. Güle TUNCA (Aara Üiversiesi Fe Faülesi) ya e içe sayg ve mielerimi suar m. Çal şmalar m esas da ö¼gredi¼gim bilgiler üm ariyerim boyuca baa ş uaca r. Haal çal şmalar m zda bulua ve bilgileride aydalad ¼g m hocalar m Say Yrd. Doç. Dr. H. Gül ILARSLAN(Gazi Üiversiesi Fe Faülesi) a ve Say Doç. Dr. Fama YEŞ ILDAL(Aara Üiversiesi Fe Faülesi) a ve baa her zama dese ola aileme e içe eşeürlerimi suar m. Bu ez çal şmas "TÜB ITAK-0 Yüse Lisas Burs Program " ara da deselemişir. TÜB ITAK a e içe eşeürlerimi suar m. Dile SÖYLEMEZ Aara, Temmuz 009. iii

IÇ INDEK ILER ÖZET.................................................. i ABSTRACT............................................ ii TEŞEKKÜR............................................ iii S IMGELER D IZ IN I.................................... v. G IR IŞ................................................ TEMEL KAVRAMLAR............................... Lieer Pozii Operaör............................... Korovi Teoremi................................... 5.3 Lipschiz S...................................... 9.4 Sürelili Modülü................................... 9.5 Bölümüş Farlar................................... 3. BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLER I 4 3. BBH Operaörlerii Ta m 4 3. H! Uzay............................................ 4 3.3 BBH Operaör Dizisii Düzgü Ya sal ¼g....... 5 3.4 BBH Operaörlerii Mooolu Özelli¼gi........... 7 4. q-tamsayisina DAYALI BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLER I........................ 3 4. q-bbh Operaörleri................................. 3 4. q-bbh Operaör Dizisii Düzgü Ya sal ¼g...... 37 4.3 Sürelili Modülü Fosiyou ile Yalas m H z..... 40 4.4 Lipschiz Tipli Masimal Fosiyolar Uzay da..... Yalaş m H z........................................ 43 4.5 q- BBH Operaörlerii Mooolu Özelli¼gi........ 47 KAYNAKLAR......................................... 53 ÖZGEÇM IŞ............................................ 55 iv

S IMGELER D IZ IN I C [a; b] [a; b] aral ¼g dai süreli, reel de¼gerli osiyolar uzay. C B [0; ) [0; ) aral ¼g dai s rl, süreli reel de¼gerli osiyolar uzay.!(; ) osiyouu sürelili modülü. N do¼gal say lar ümesi R reel say lar ümesi L (; ) yici BBH operaörü L ;q (; ) yici q BBH operaörü d (; E) oas E ümesie uzal ¼g L (; ) L operaörüü osiyoua uygulamas. Lip M () Lipschiz s. [ 0 ; ;:::; ; ] osiyou 0 ; ;:::; p oalar dai -yici bölümüş ar. v

. G IR IŞ Bleima, Buzer ve Hah (980), [0; ) aral ¼g da a ml, reel de¼gerli osiyolar içi lieer pozii L operaörlerii L (; ) ( + ) şelide a mlam şlard r. 0 + ; N, [0; ) Bu operaörü [0; ) aral ¼g da düzgü ya sal ¼g, C B [0; ) uzay bir al s dai osiyolar içi Gadjiev ve Çaar (999) elde emişlerdir. Bir ço lieer pozii operaör dizisii, oves osiyolar içi mooo azalara ya sa oldu¼gu bilimeedir. (Bu do¼gruluda, e ve ço de¼gişeli operaörler içi, öre¼gi Cheey ve Sharma (964) ve Cao, Dig ve Xu (005) u çal şmalar a ba labilir). Bleima, Buzer ve Hah (BBH) operaörlerii s rl ve oves osiyo içi ye göre mooolu¼guu Della Vecciha (99) icelemişir. So zamalarda Philips (997), Bersei poliomlar q-amsay lara dayal geelleşirmesii işa emiş ve bu operaörler içi, yalaş m eorisii baz lasi problemlerii icelemişir. Aral ve Do¼gru (007) Bleima, Buzer ve Hah operaörlerii q-geelleşirmesii a mlam şlar (q-bbh) ve Gadjiev ve Çaar (999) çal şmas bu operaörlere geişlemişlerdir. q-bbh operaörlerii ye göre mooolu¼guu Do¼gru ve Gupa (005) gösermişlerdir. Bu ezde, BBH ve q-bbh operaör dizilerii yuar da bahsei¼gimiz; düzgü ya sama, mooolu gibi özellilerii iceleyece¼giz. Yuar dai çal şmalara e olara, Bleima, Buzer ve Hah operaörleri ile ilgili aşa¼g dai öemli çal şmalar aya olara verebiliriz. (999) Adell, De la Cal ve Sa Miguel(994), Kha (988), Abel, Iva

. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde öcelile lieer pozii operaörler a laca ve sa¼glad ¼g emel özelliler iceleeceir. Ayr ca daha sorai bölümlerde ulla laca ola baz a mlar verilip, Korovi eoremi iade ve ispa edileceir.. Lieer Pozii Operaör Ta m... X ve Y lieer osiyo uzaylar olma üzere L : X! Y şelidei L operaörü e¼ger, her ; g X ve her ; R içi L ( + g) L () + L (g) eşili¼gii sa¼gl yorsa L ye lieer operaör deir. Şimdi, I reel esei bir aral ¼g gösersi. I da a ml, reel de¼gerli üm osiyolar uzay F (I) ile göserelim. X, F (I) i lieer bir al uzay olma üzere L : X! F (I) lieer operaörüü X, I içi L (; ) (L ()) () olara yazaca¼g z ve L içi aşa¼g dai a m ve ard da L i emel özellilerii gösere ii emel lemmay verece¼giz. Ta m... Her X içi 0 ie L () 0 oluyorsa L ye pozii operaör deir.

L, ay zamada lieerli şar da sa¼gl yorsa L ye lieer pozii operaör deir. Lemma... L Lieer pozii operaörü, ; g X içi g ie L () L (g) eşisizli¼gii gerçeler. Ispa: ; g X içi g oldu¼guu abul edelim. Bu durumda g 0 olaca¼g da ve L operaörü pozii oldu¼guda L (g ) 0 (..) yaz labilir. Di¼ger araa L operaörü lieer oldu¼guda L (g ) L (g) L () olup buu (::) de ulla lmas yla ispa amamla r. Lemma... L lieer pozii operaörü; ; jj X içi jl ()j L (jj) eşisizli¼gii gerçeler. Ispa: Herhagi bir osiyou içi jj jj (..) 3

gerçeleir. Lemma.. ve (::) de L ( jj) L () L (jj) (..3) yaz labilir. L lieer oldu¼guda L ( jj) L (jj) gerçeleir. So eşili¼gi (::3) de ulla lmas yla L (jj) L () L (jj) elde edilir, böylece jl ()j L (jj) oldu¼guda ispa amamla r. Çal şma boyuca, C [0; ) ve C B [0; ), s ras ile C [0; ) : [0; )! R, sürelig ve C B [0; ) C [0; ) : s rl g uzaylar gösereceir. C B dei orm, CB sup j ()j 0 ile verilebilir. Teorem... C [a; b] uzay elemalar da oluşa bir g dizisii ay uzay bir elema a C [a; b] uzay da ya samas içi gere ve yeer oşul g dizisii ye [a; b] aral ¼g da düzgü ya samas d r. 4

Şimdi, bir yo¼gulu eoremi ola aşa¼g dai eoremi verelim.. Korovi Teoremi L g, C [a; b] de C [a; b] ye gide lieer pozii operaörleri bir dizisi olma üzere, i 0; ; içi lim L i ; i (..)! ya samas [a; b] de düzgü olsu. Bu durumda her C [a; b] içi lim L (; ) ()! ya samas [a; b] aral ¼g da düzgüdür. Ispa: [a; b] de süreli oldu¼guda düzgü süreli ve s rl d r. pozii say s a arş l j j Bu durumda her ie j () ()j < olaca şeilde bir () say s vard r. j j > oldu¼guda ise s rl oldu¼guda ve üçge eşisizli¼gide, M pozii sabi olma üzere, j () ()j j ()j + j ()j M (..) yaz labilir. Di¼ger araa e¼ger, j j > ise j j > 5

olaca¼g da sa¼gla r. (::) ve (::3) de ( ) > (..3) ( ) j () ()j M yaz labilir. Bu durumda j j içi j () ()j < ( ) j j > içi j () ()j M elde edilir. Dolay s yla her R ve her [a; b] içi ( ) j () ()j + M (..4) gerçeleir. E¼ger, (::) oşullar sa¼glaya L g operaör dizisii lim L ()! C[a;b] 0 limiii sa¼glad ¼g göserilirse Teorem.. de ispa amamla r. 6

Lemma.. de ve üçge eşisizli¼gide jl ( () ; ) ()j jl ( () ; ) () + L ( () ; ) + L ( () ; )j jl ( () ; ) L ( () ; ) + L ( () ; ) ()j jl (( () ()) ; ) + () (L (; ) )j jl (( () ()) ; )j + j ()j j(l (; ) )j L (j () ()j ; ) + j ()j j(l (; ) )j buluur. (::4) de ve s rl oldu¼guda yuar dai eşisizlie jl ( () ; ) ()j L + M elde edilir.! ( ) ; + M j(l (; ) )j (..5) 7

Di¼ger araa L + M! ( ) ; L (; ) + L M! ( ) ; L (; ) + M L + ; L (; ) + M [L ; + L (; ) + L (; )] L (; ) + M [ L ; + (L (; ) ) + (L (; ) )] yaz labilir. So bulua iadei (::5) de ulla lmas yla jl ( () ; ) ()j L (; ) + M [ L ; + (L (; ) ) + (L (; ) )] +M j(l (; ) )j (..6) elde edilir. (::) oşullar (::6) da ulla lmas yla jl ( () ; ) ()j < 8

buluur. Böylece lim ma jl ( () ; ) ()j 0! ab gerçeleir. Bu da ispa amamlar..3 Lipschiz S Ta m.3.., A R ümeside a ml, süreli ve reel de¼gerli bir osiyo olsu. E¼ger, her ; y A içi (0; ] olma üzere j () (y)j M j yj eşisizli¼gi sa¼glaaca şeilde bir M > 0 say s varsa ye y c basamaa Lipschiz süreli osiyo deir. y c basamaa Lipschiz süreli osiyolar s Lip M () ile göserilir (Cao, Dig ad Xu 005)..4 Sürelili Modülü Ta m..4.. C [a; b] olsu, her > 0 içi! (; ) sup ;[a;b] j j j () ()j ile a mlaa! osiyoua osiyouu sürelili modülü deir. osiyouu sürelili modülü aşa¼g dai özellileri sa¼glar: i.! (; ) 0 ii. ise! (; )! (; ) yai;! (; ) ya göre azalmayad r. iii. m N içi! (; m) m! (; ) iv. R + içi! (; ) ( + )! (; ) v. lim! (; ) 0!0 + vi. j () ()j! (; j j) j j vii. j () ()j +! (; ) Ispa: 9

i. i sürelili modülü, a m gere¼gice bir mula de¼geri supremumu oldu¼guda ispa aç r. ii. içi j j bölgesii j j bölgeside daha büyü oldu¼gu aç r. Bölge büyüdüçe al a supremum büyüyece¼gide ispa amamla r. iii. Sürelili modülüü a m da dolay! (; m) sup ;[a;b] j jm j () ()j yaz labilir. j j m ise m + m olup + mh seçimiyle jhj ve! (; m) sup [a;b] jhj j ( + mh) ()j şelide yaz labilir. sup [a;b] jhj j ( + mh) Di¼ger araa ()j sup [a;b] jhj olup sa¼g araa üçge eşisizli¼gi uygula rsa m X [ ( + ( + ) h) ( + h)] 0 sup [a;b] jhj j ( + mh) ()j mx 0 sup [a;b] jhj j ( + ( + ) h) ( + h)j! (; ) + ::: +! (; ) m! (; ) 0

elde edilir. iv. R + say s am sm [jj] ile göserilirse bu durumda [jj] < < [jj] + eşisizlilerii geçerli oldu¼gu aç r. Şimdi bu eşisizlilerde ve (ii) de! (; )! (; ([jj] + ) ) eşisizli¼gi yaz labilir. [jj] pozii bir amsay oldu¼guda üsei eşisizli¼gi sa¼g ara a (iii) özelli¼gii uygulayabiliriz. Bu durumda! (; ([jj] + ) ) ([jj] + )! (; ) eşisizli¼gi elde edilir. Ayr ca her R + içi [jj] + < + oldu¼guda buluur ve souç olara! (; ([jj] + ) ) ( + )! (; )! (; ) ( + )! (; ) yaz labilir i bu da ispa amamlar. v. j j eşisizli¼gidei s ra yalaşmas! olmas alam a gelir. osiyou süreli oldu¼guda sürelili a m a göre! içi j () ()j! 0 oldu¼guda ispa aç r. vi.! (; ) iadeside j j seçilirse! (; j j) sup j () [a;b] ()j

elde edilir. O halde j () ()j leri supremumu! (; j j) olaca¼g da ispa aç r. vii. (vi) de j () ()j! ; j j yaz labilir. (iv) de j () j ()j j +! (; ) buluur böylece ispa amamla r. Ta m.4..!, [0; ) aral ¼g da a ml, süreli, egai olmaya reel de¼gerli bir osiyo olsu. E¼ger!, a) azalmaya, yai her ie! ( )! ( ) ; b) al oplamsal, yai! ( + )! ( ) +! ( ), c) lim!0 +! () 0 ise! ya sürelili modülü osiyou deir..5 Bölümüş Farlar Ta m.5.. solu bir [a; b] apal aral ¼g da a mlam ş bir osiyo, 0; ; ; :::; ler de 0< < ::: < olaca şeilde bu aral ¼g ey oalar olsular. ( 0 ) [ 0 ; ] ; de¼gerie osiyouu s r c bölümüş ar deir. Ayr ca [ 0 ; ; ] ( ) ( 0 ) 0 iadesie osiyouu birici bölümüş ar deir. Bezer olara [ 0 ; ; ; ] [ 0; ; ] [ ; ; ] 0

iadesie osiyouu iici bölümüş ar, bu şeilde devam edilirse [ 0 ; ;..., ; ] [ 0;,..., ; ] [ ; ;..., ; ] 0 iadesie osiyouu yici bölümüş ar deir (Lorez 953) : Ta m.5.. [0; ) aral ¼g da süreli bir osiyo olsu herhagi ; :::; [0; ) ve egai olmaya ;..., say lar içi + ::: + olma üzere! i i i ( i ) i i şar sa¼gla yorsa ye [0; ) da ovesir deir. 3

3. BLEIMANN BUTZER VE HAHN OPERATÖRLER I Bu bölümde öcelile BBH operaörlerii a m verilece ve C B [0; ) u bir al uzay ola H! uzay a laca r. Daha sora pozii yar m esede lieer pozii operaör dizileri içi Korovi ipli bir eorem verilip, ard da Bleima, Buzer ve Hah (BBH) operaör dizisii düzgü ya sal ¼g, bu eoreme göre iceleeceir. So olara bölümüş arlar ulla lara operaör dizisii mooolu özelli¼gi iceleeceir. 3. BBH Operaörlerii Ta m 980 y l da Bleima, Buzer ve Hah, [0; ) aral ¼g da a ml, reel de¼gerli her hagi bir osiyo içi L (; ) ( + ) 0 + ; N, [0; ) (3..) şelidei lieer, pozii L operaörlerii a mlam şlard r. C [0; ) içi! ie L (; ) i () e, [0; ) aral ¼g da oasal, [0; ) aral ¼g her ompa al aral ¼g da düzgü ya sad ¼g ispa emişlerdir (Bleima, Buzer ve Hah 980). Çal şma boyuca, L ; N; ile göserile operaör ile (3::) de a mlaa Bleima, Buzer ve Hah operaörü alaş laca r 3. H! Uzay!; sürelili modülü osiyou olsu. Her ; y [0; ) içi j () (y)j! + y + y (3..) şar sa¼glaya osiyolar s H! ile göserelim. Ta m.4. de, H! uzay dai her osiyo [0; ) aral ¼g üzeride sürelidir, ayr ca her 0 içi j ()j j (0)j +! () (3..) eşisizli¼gii sa¼glar. Dolay s ile her H! osiyou [0; ) aral ¼g üzeride s rl d r. 4

Böylece H! C B [0; ) apsamas gerçeleir. H! uzay da ola osiyolara öre olara aşa¼g dai osiyouu verebiliriz:! () ie () + + :! () M ; 0 < olmas durumuda H! uzay H ile göserece¼giz. Bu durumda j () (y)j! + y + y M + y + y j yj M ( + ) ( + y) oldu¼guda H Lip M () gerçeleir (Gadjiev ad Çaar 999). 3.3 BBH Operaör Dizisii Düzgü Ya sal ¼g Bu s mda BBH operaör dizisii, C B [0; ) uzay baz al s ar da ola osiyolar içi [0; ) aral ¼g da düzgü ya sal ¼g, Gadjiev ve Çaar ara da ispalaa aşa¼g dai Korovi ipli eorem ile iceleeceir. Teorem 3.3.. A g ; H! da C B [0; ) uzay a gide lieer pozii operaörleri bir dizisi olsu. E¼ger v 0; ; içi, e v () olma üzere v + lim A (e v ) e v! CB 0 (3.3.) 5

oşullar sa¼gla rsa, her H! içi lim A ()! CB 0 (3.3.) gerçeleir (Gadjiev ad Çaar 999). Ispa: H! olsu. Bu durumda (3::) de her > 0 içi + + < ie j () ()j < (3.3.3) olaca şeilde bir > 0 say s vard r. Çüü; + + < ie (3::) ve Ta m.4. i (a) ş da j () ()j! + + <! () gerçeleir ve Ta m.4. i (c) ş da j () ()j < olur. Ay zamada s rl oldu¼guda + + ie j () ()j < M (3.3.4) ( + ) ( + ) olaca şeilde pozii bir M sabii vard r. Gerçee, e¼ger, + + ise ( + ) ( + ) olaca¼g da; ( + ) ( + ) (3.3.5) 6

sa¼gla r, ayr ca s rl oldu¼guda; j () ()j j ()j + j ()j M (3.3.6) eşisizli¼gi vard r. Böylece (3:3:5) ve (3:3:6) da j () ()j < M ( + ) ( + ) oldu¼guda eşisizli vard r. Bu durumda her ; [0; ) içi (3:3:3) ve (3:3:4) de j () ()j < + M (3.3.7) ( + ) ( + ) yaz labilir. Şimdi (3:3:) şarlar da;! ie! 0 olma üzere A () CB < A (e ) e CB < (3.3.8) A (e ) e CB < yazabiliriz. Bu eşisizlileri ullaara, C; de ba¼g ms z sabi olma üzere, aşa¼g dai eşisizli¼gi elde ederiz.! A ; < C ( + ) ( + ) : (3.3.9) CB Gerçee, A! ; ( + ) ( + ) CB sup 0 A +! ; + 7

olara yaz labilir. Di¼ger araa Lemma... de A +! ; + A + + A ;! + ;! + A + ; + A (; ) (3.3.0) + şelide yaz labilir. (3:3:0) da eleyip ç aral m A lieer pozii operaör oldu¼guda ve + üçge eşisizli¼gide, A + + ;!! A ; + + A + + + (A (; ) ) + ; + buluur. (3:3:8) de (3:3:9) eşisizli¼gii sa¼glad ¼g görülür. O halde lim A ()! CB 0 oldu¼guu göserirse ispa amamla r. Lemma.. ve Lemma.. diae al ara 8

A () CB sup ja ( () () ; ) + () A (; ) ()j 0 sup (ja (( () ()) ; )j + j ()j j[a (; ) ]j) 0 A (j () ()j ; ) CB + CB A (; ) CB I + I m buluur. CB M oldu¼guda ve (3:3:8) de lim I m 0! gerçeleir. (3:3:7) eşisizli¼gii I de diae al rsa ve (3:3:9) u ulla rsa I A (j () ()j ; ) CB < A + M! ; ( + ) ( + ) CB < A (; ) CB + M! A ; ( + ) ( + ) CB < A (; ) + CB + M C A () CB + + M C < ( + ) + M C 9

buluur. Böylece lim I 0! gerçeleir. Bu durumda ispa amamla r. Teorem 3.3. i ullaara Bleima, Buzer ve Hah operaör dizisii düzgü ya sal ¼g elde edebiliriz, çüü H! C B oldu¼guda L, N; operaörleri C B uzay da C B uzay a a ml ie ay zamada H! uzay da C B uzay a a ml d r. Şimdi her H! osiyou içi L (; )g dizisii [0; ) aral ¼g da () e düzgü ya sal ¼g aşa¼g dai eorem ile verelim. Teorem 3.3.. Her H! içi lim L ()! CB 0 gerçeleir (Gadjiev ad Çaar 999). Ispa: Teorem 3:3: i ullaara (3:3:8) şarlar L içi sa¼glad ¼g göserme v yeerli olaca r yai; e v () olma üzere v 0; ; içi + lim L (e v ) e v! CB 0 oldu¼guu gösermeliyiz. ( + ) i Biom aç l m da ( + ) 0 (3.3.) buluur. Böylece (3:3:) de L (; ) (3.3.) olur Dolay s yla lim L ()! CB 0 olur v 0 içi (3:3:8) şar sa¼glam ş oldu. v içi sa¼glad ¼g göserme içi 0

her [0; ) içi + < (3.3.3) eşisizli¼gii do¼gru oldu¼guu göz öüde buludural m. Di¼ger araa L ; + ( + ) ( + ) ( + ) + + +! + ( )!! 0 ( )! + ( )! ( )! + ( + ) (3.3.4) elde edilir. (3:3:4) de yerie + yazarsa oldu¼guda L ; + X + ( + ) + + + + + 0 X ( + ) 0 (3.3.5) L (e ) e CB sup 0 + + + sup 0 + + buluur. (3:3:3) de L (e ) e CB + (3.3.6)

oldu¼guda lim L (e ) e! CB 0 gerçeleir. So olara v durumuu iceleyelim ve ( göz öüde buludural m L ;! + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ) + eşili¼gii (3.3.7) elde edilir (3:3:7) i sa¼g ara dai il oplamda yerie + ; iici oplamda yerie + al rsa L ;! + ( ) X ( + ) ( + ) 0 X + ( + ) ( + ) 0 + + ( ) X ( + ) + ( + ) 0 X + ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) + + 0 ( + ) +

buluur. Bu durumda L (e ) e CB sup 0 ( ) ( + ) + ( + ) + + + eşili¼gi elde edilir. Di¼ger araa ( ) ( + ) + + buluur. (3:3:3) de ( + ) + + (3 + ) + ( + ) + ( + ) + ( ) ( + ) + + ( + ) + + (3 + ) ( + ) + ( + ) 4 + ( + ) yazabiliriz. Böylece buluur. Bu durumda L (e ) e CB 4 + ( + ) (3.3.8) lim L (e ) e! CB 0 elde edilir. (3:3:6), (3:3:8) eşisizlileri ve (3:3:) eşili¼gi, (3:3:8) oşullar sa¼glad ¼g göserir ve eorem 3.3. de ispa amamla r. H uzay içi aşa¼g dai soucu verebiliriz. Souç 3.3.. Her H ; 0 < ; içi lim L ()! CB 0 3

gerçeleir (Gadjiev ad Çaar 999). Şimdi, geel yalaş m eoremi ola Teorem 3.3. i C B [0; ) uzay dai büü osiyolar içi geçerli olmad ¼g gösere bir eorem verelim. Teorem 3.3.3. lim A (? )?! CB > 0 olaca şeilde, C B [0; ) uzay da ay uzaya döüşüm yapa ve (3:3:8) oşullar sa¼glaya bir A g lieer pozii operaör dizisi ve bir? C B [0; ) osiyou vard r (Gadjiev ad Çaar 999). Ispa: 8 >< A (; ) () + + + 3 + ( + ) () ; 0 >: () ; > olsu. Öcelile A operaörlerii (3:3:8) oşullar sa¼glad ¼g göserelim. > içi A operaörlerii (3:3:8) oşullar sa¼glad ¼g aç r. 0 içi iceleyelim A (; ) + + 3 + ( + ) + ( + ) oldu¼guda A () CB sup 0 ( + ) (3.3.9) Di¼ger araa 0 ie ( + ) ( + ) ( + ) (3.3.0) 4

elde edilir. (3:3:0) dei eşisizli (3:3:9) da ulla l rsa A () CB ( + ) yaz labilir böylece lim A ()! CB 0 sa¼gla r. Di¼ger araa A + ; + + + + + ( + ) " + 3 + + + ( + ) # + elde edilir. (3:3:0) de A (e ) e CB sup 0 ( + ) ( + ) buluur, bu durumda lim A (e ) e! CB 0 gerçeleir. So olara A ;! + + + + + 4 + 3 3 +! ( + ) 5 + + + + 6 + 5 4 + 3 4 ( + ) 4 ( + ) + 3 7 5 (3.3.) 5

buluur. (3:3:) de g () + 5 4 + 4 ( + ) + 3 al rsa g 0 () + 5 4 + 5 + 3 > 0 oldu¼guda g; her [0; ) içi mooo ara osiyodur. dolay s ile lim g ()!, ve bu eşisizli¼gi (3:3:) de ullaara; g ()! A ; + + ( + ) eşisizli¼gii yazabiliriz (3:3:0) de A (e ) e CB ( + ) eşisizli¼gi buluur, burada! ie limie geçilirse olur. lim A (e ) e! CB 0 Böylece A operaörüü 0 içi de (3:3:8) oşullar sa¼glad ¼g gösermiş oldu. Şimdi? () cos 6

osiyouu diae al rsa, 0 içi? C B [0; ) dur ve A? ()? () cos + + 3 cos ( + ) + ( + ) cos buluur. Norma geçilere cos ( cos ) + 5 + A (? )? CB sup + 5 jcos j 0 + + 5 + jcos j eşisizli¼gi elde edilir. Bu da ispa amamlar. 3.4 BBH Operaörlerii Mooolu Özelli¼gi Bu s mda amac m z L ; N operaörüü bölümüş arlar yard m yla ye göre mooolu¼guu gösermeir. Bu amaç içi aşa¼g dai a m ve eoremleri ve bölümüş arlar ulla lara yap la ovesli a m verelim. Ta m 3.4.., [0; ) da a ml, reel de¼gerli bir osiyo olma üzere i [0; ) dai ayr üç oadai ( 0 < < ). bölümüş ar egai olmaya ise oves (oav olmaya ) osiyodur. Teorem 3.4.. +, ve + olma üzere e¼ger, g oves ve s rl ise g armayad r,! 0 ve X ( + ) 0 serisi oplam 0 lim dir (Zygmud 959). 7

Teorem 3.4.. E¼ger, [0; ) aral ¼g üzeride oves bir osiyo ve ayr ca () sb; N (3.4.) ise her 0 ve her N içi L (; ) L + (; ) gerçeleir (Della Vecchia 99). Ispa: (3::) de L + (; ) aşa¼g dai gibi yaz l r: X+ + L + (; ) ( + ) + (3.4.) + 0 (3:4:) dei operaörü + : erimi ç ar lara L + (; ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + + + 0 8

elde edilir. Böylece L + (; ) L (; ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + +! + + ( )!! 0 0 + ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) + 0 ( + ) + + + + + + ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + 0 0 0 + + + + 0 @ A + (3.4.3) + olara yaz labilir. Di¼ger araa (3:4:3) iadesidei so oplamda : erim ç ar l p 9

yerie al rsa + + () ( + ) + ( + ) + + + + () ( + ) + ( + ) + 0 + + (3.4.4) elde edilir ve (3:4:4) ü (3:4:3) de yerie yaz lmas yla L + (; ) L (; ) ( + ) + 0 + + + + + + + + + [ ( + ) ()] ( + ) buluur. Gereli düzelemeler yap lara yuar dai eşili 30

L + (; ) L (; ) + ( + ) + ( + ) ( + ) 0 6 + 4 + + + + + + + + + + + + + + + + 3 7 5 + + + [ ( + ) ()] ( + ) + ( + ) + 0 + ; ( + ) ( + ) + ; + ; + + + [ ( + ) ()] (3.4.5) ( + ) şelie idirgeir. Teorem 3.4. de ispa amamla r. 3

4. q-tamsayisina DAYALI BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLER I Bu bölümde öcelile Aral ve Do¼gru ara da işa edile Bleima, Buzer ve Hah operaörlerii q- amsay s a dayal yei bir geelleşirilmesi verileceir (q-bbh). Daha sora, Korovi ipli bir eorem ile bu operaör dizisii düzgü ya sal ¼g iceleip, ard da yalaş m h z ; öce sürelili modülü osiyou ile, sora Lipschiz ipli masimal osiyolar uzay dai osiyolar içi hesaplaaca r. So olara q-bbh operaörüü mooolu özelli¼gi araş r laca r. 4. q-bbh Operaörleri Bu s mda, öcelile q-amsay s ile ilgili baz emel bilgiler verilip, ard da q-bbh operaörleri a laca r. q > 0 seçilmiş her hagi bir reel say ve r, egai olmaya bir amsay olma üzere, r say s q-amsay s 8 < [r] : q r q ; q 6 r ; q (4..) olara a mla r. q-aoriyel Ayr ca [0] 0 d r. 8 < [r] [r ] ::: [] ; r ; ; :::; [r]! : ; r 0 (4..) ve r 0 amsay lar içi q-biom asay lar r []! [r]! [ r]! (4..3) olara a mla r. Şimdi, aşa¼g dai Euler özdeşli¼gii diae alal m. Y + q q ( ) ; (4..4) 0 0 burada; q oldu¼gu zama, q-biom asay lar bilie biom asay lar a idirgedi¼gi aç r. q-bbh operaörleri Aral ve Do¼gru (007) ara da aşa¼g dai 3

şeilde a mlam ş r: [0; ) ve N olma üzere [0; ) aral ¼g da a ml reel de¼gerli osiyolar içi q-amsay lara dayal Bleima, Buzer ve Hah o- peraörleri (q-bbh) L ;q ile göserilir ve L ;q (; ) ` () ile a mla r, buradai ` (); 0 [] [ + ] q q ( ) (4..5) Y ` () ( + q s ) (4..6) s0 şelidedir. Çal şma boyuca L ;q, (4::5) de a mlaa q-bbh operaörlerii [] [] gösereceir. yerie alara q-amsay s a dayal geel Bleima, Buzer ve Hah operaörlerii elde ederiz. Faa bu [ + ] q [ + ] durumda, v ve v, + v 0; ; içi aç ormülleri elde eme imas zd r. E¼ger Bleima, Buzer ve Hah ipli operaörler (4::5) dei gibi a mla rsa aç ormülleri elde edilebilir. v, + v 0; ; içi q-amsay s a m (4::) diae al ara q [ + ] [ + ] [] ; q [ ] [] (4..7) eşilileri aşa¼g dai şeilde buluabilir: q q [ + ] q + q q q + + q q+ q q q [ + ] [] 33

q q [ ] q q q q + q q q [] : (4::4) ; (4::5) ve (4::7) de L ;q (; ) ` () 0 q ( ) 0 0 q ( q ( ) ) (4..8) ve L ;q ; + ` () [] ) q( [ + ] ` () [] [ ]! [ + ] [ ]! [ ]! q( ) [] [ + ] ` () q ( ) (4..9) 34

buluur, (4::9) da yerie + yaz l p (4::4) diae al ara L ;q ; + [] X q (+) + [ + ] ` () 0 [] X q ( ` () [ + ] 0 ) (q) elde edilir. verilebilir: Şimdi, L ;q [] [ + ] + ; Y 0 + q (q) Y ( + q s ) s0 [] + [ + ] (4..0) durumuda ulla laca ola aşa¼g dai eşili [] q q q q q q q q + q q q q q q q q q + q [] [ ] + [] : (4..) 35

Böylece (4::) diae al ara L ;q ;! + ` () ` () + ` () [] [ + ] q( ) q [] [ ] ( ) [ + ] q [] [ + ] q( ) ` () q [] [ ] [ + ] q ( ) []! [ ]! []! + ` () [] [ ] [ + ] ` () + [] [ + ] ` () [] [ + ] q( ) []! [ ]! []! qq ( ) q ( ) (4..) elde edilir. (4::) i sa¼g ara dai il oplamda yerie + ve iici oplamda yerie + al rsa 36

L ;q ;! + q [] [ ] X [ + ] q ( ) ` () 0 0 [] X + [ + ] q ( ) (q) ` () q q [] [ ] [ + ] [] + [ + ] Y Y 3 0 0 + q (q ) Y ( + q s ) s0 + q (q) Y ( + q s ) s0 [] [ ] [ + ] q ( + ) ( + q) + [] [ + ] + (4..3) olara buluur. E¼ger, q seçilirse, L ;q operaörleri lasi Bleima, Buzer ve Hah operaörlerie döüşür. Ayr ca L ;q g operaör dizisii ya sal ¼g garaileme içi q q ; N, 0 < q <, al p q i! ie q! oşuluu sa¼glaya bir dizi olara abul edece¼giz. 4. q-bbh Operaör Dizisii Düzgü Ya sal ¼g Bu s mda L ;q g operaör dizisii C B [0; ) uzay bir al uzay dai osiyolar içi [0; ) da düzgü ya sal ¼g iceleyece¼giz. Bu amaç içi, Aral ve Do¼gru (007) (3:) de verile H! uzay ullam şlard r!; sürelili modülü ipli bir osiyo olsu. H!, her ; y [0; ) içi (3::) oşuluu sa¼glaya osiyolar s gösersi, bu durumda H! C B [0; ) 37

oldu¼guu daha öce görmüşü. Ta m.4. i (b) oşuluda, N içi!;! ()! () (4..) eşisizli¼gii sa¼glar ve > 0 içi Ta m.4. i (a) oşuluda ve (4::) de! ()! ( + [jj] ) ( + )! () (4..) buluur, buradai [jj] ; am de¼gerii gösermeedir. Uyar : L ;q ; N, H! uzay da C B [0; ) a döüşüm yapa lieer pozii süreli operaörlerdir. Teorem 4... 0 < q < olma üzere q q ; N; alal m ve! ie q! olsu. Her H! içi, lim L ;q ()! CB 0 (4..3) gerçeleir (Aral ve Do¼gru 007). Ispa: Teorem 3:3: i ullaara (3:3:8) oşullar L ;q ; N operaörleri içi sa¼glad ¼g göserilmesi yeerlidir yai; v 0; ; içi, e v () + v olma üzere lim L ;q (e v ) e v! CB 0 olmal d r. (4::8) de lim L ;q ()! CB 0 38

buluur, böylece v 0 durumuu sa¼glad ¼g aç r. L ;q (e ) e CB sup 0 [] [ + ] + v içi (3:3:3) de + sup 0 [] [ + ] + [] [ + ] q q [ + ] (4..4) elde edilir.! ie q! ve [ + ]! oldu¼guda, v içi de (3:3:8) oşulu sa¼gla r. So olara v durumuu iceleyelim. Buu içi, öce aşa¼g dai eşilileri verelim: oldu¼gu aç r. Ayr ca + sup 0 + q q (4..5) [] [ ] [ + ] q 3 + q [ + ] + + q [ + ] (4..6) eşili¼gii göserme içi (4::7) diae al ara [] q [ ] + ; (4..7) [ + ] q [] + (4..8) yaz labilir. (4::7) ve (4::8) de [ ] [ + ] q q 39

buluur, burada da [] [ ] [ + ] q 3 [+] q [+] q [ + ] q! [ + ] [ + ] q [ + ] + + q [ + ] q 3 + q [ + ] + + q [ + ] : Böylece (4::6) eşili¼gi elde edilir. Şimdi v durumuu göserelim. (3:3:3) ve (4::5) de L ;q (e ) e CB sup 0 sup 0 [] [ ] [ + ] q ( + ) ( + q) + [] [ + ] + + + [] [ ] + [ + ] q + q + [] [ + ] + [] [ ] [ + ] q + [] q [ + ] (4..9) buluur. (4::6) ve (4::8) ; (4::9) da ulla l rsa L ;q (e ) e CB q q [ + ] + [ + ] (4..0) eşisizli¼gie ulaş l r.! ie q!, [ + ]! oldu¼guda v içi de (3:3:8) oşulu sa¼glam ş olur. Teorem 3:3: de ispa amamla r. 4.3 Sürelili Modülü ile Yalaş m H z Bu s mda sürelili modülü osiyou ulla lara q-bbh operaör dizisii yalaş m h z iceleeceir. Teorem 4.3.. 0 < q < olma üzere q q ve! ie q! olsu. Her 40

bir 0 ve herhagi bir H! içi p jl ;q (; ) ()j! () (4.3.) eşisizli¼gi gerçeleir, buradai () () [] [] [ ] + + + [ + ] [ + ] q + q + [] [ + ] + (4.3.) şelidedir (Aral ve Do¼gru 007). Ispa: L ;q (; ) oldu¼guda () L ;q ( () ; ) yaz labilir, burada ve Lemma.. de jl ;q (; ) ()j jl ;q (( () ()) ; )j L ;q (j () ()j ; ) (4.3.3) eşisizli¼gi elde edilir. Di¼ger araa (3::) ve (4::) eşisizlileri diae al ara j () ()j! + + + +! +!! () (4.3.4) elde edilir. 4

(4:3:4) eşisizli¼gi diae al ara (4:3:3) jl ;q (; ) ()j! () + L ;q + + ; (4.3.5) şelie idirgeir. Cauchy-Schwarz eşisizli¼gide L ;q + " + ; L ;q +!# ; (4.3.6) + buluur. (4:3:6) diae al ara (4:3:5) jl ;q (; ) 0 ()j! () @ + " L ;q +!# ; A (4.3.7) + eşisizli¼gie idirgeir. L ;q + ;! + (4:3:7) i sa¼g ara (4::8) (4::9) ve (4::3) de L ;q ;! + +L ;q ;! + + L ;q + ; [] [ ] ( + ) [ + ] q ( + ) ( + q) ( + ) + [] [ + ] + [] + [ + ] + + + [] [] [ ] + + + [ + ] [ + ] q + q + [] [ + ] + 4

olara elde edilir. () (4:3:) ile verile osiyo olma üzere, so eşilie L ;q + ;! + () yaz labilir. Böylece p () al ara (4:3:5) (4:3:6) ve (4:3:7) de p jl ;q (; ) ()j! () elde edilir. (3:3:3) ve (4::5) i ullaara ve [ ] q + [] ve [ + ] [] q < oldu¼guu göz öüde buludurara, yeerice büyü ler içi sup () [] 0 [ + ] + [] [ + ] ([ ] q + ) [ + ] [] [ + ] [ + ] (4.3.8) elde edilir. Böylece Teorem 4.3. i oşullar al da (4::5) ile verile L ;q g q-bbh operaör dizisii ye yalaşma h z [+] dir ve bu, e iyi durumda lasi BBH operaör dizisiide oldu¼gu gibi (+) dir. Öre¼gi e¼ger, q + al rsa lim! q e oldu¼guda, h z; q (+) buluur, yai; q-geelleşirmede q g dizisii seçimie ba¼gl olara orol edilebile bir durum oraya ç maad r. 4.4 Lipschiz Tipli Masimal Fosiyolar Uzay da Yalaş m H z Bu s mda öcelile W;E uzay a mlaara, bu uzaydai osiyolar içi L ;qg operaör dizisii yalaş m h z hesaplaaca r. Şimdi, yalaş m h z ile ilgili ola bir eşisizli verelim. Bu do¼gruluda; E [0; ) üzeride W;E ile göserile, geel Lipschiz ipli masimal osiyolar uzay aşa¼g dai gibi a mlamaad r: W ;E : sup ( + ) (; y) M ( + y) ; 0; y E (4.4.) buradai ; [0; ) aral ¼g üzeride s rl ve süreli bir osiyo, M pozii sabi, 43

0 < ve ; (; ) j () ()j j j (4.4.) ile a mlaa osiyodur. Ayr ca d (; E) ; i E ümesie ola uzal ¼g gösersi yai; d (; E) i j yj ; y Eg (4.4.3) (Aral ve Do¼gru 007). Teorem 4.4.. L ;q, N, operaörleri ve () (4:3:) ile verile osiyo olma üzere her W;E içi jl ;q (; ) ()j M () + d (; E) (4.4.4) eşisizli¼gii gerçeler (Aral ve Do¼gru 007). Ispa: E; E ümesii apa ş gösersi. Bu durumda [0; ) ie j 0 j d (; E) olaca şeilde bir 0 E vard r. Şimdi, j () ()j j () ( 0 )j + j ( 0 ) ()j (4.4.5) şelide bir eşisizli yazal m. oldu¼guda (4:4:5) ; eşisizli¼gi ulla lara N içi L ;q lieer, pozii operaör ve W ;E jl ;q (; ) ()j L ;q (j () ()j ; ) L ;q (j () ( 0 )j ; ) + L ;q (j ( 0 ) ()j ; ) L ;q (j () ( 0 )j ; ) + j ( 0 ) ()j (4.4.6) buluur. Şimdi, W ;E oldu¼gu diae al ara aşa¼g dai eşisizliler elde 44

edilebilir: (4:4:) ve (4:4:) de ( + 0 ) j () ( 0 )j j 0 j M ( + ) j 0 j j () ( 0 )j M ( + 0 ) ( + ) M + 0 + 0 (4.4.7) eşisizli¼gi buluur. Bezer olara j ( 0 ) j 0 j ()j M ( + 0 ) ( + ) (4.4.8) vard r. (4:4:7) ve (4:4:8) i (4:4:6) da yerie yaz lmas yla jl ;q (; ) ()j ML ;q + 0 + 0 ; +M elde edilir. 0 < olma üzere a 0 ve b 0 içi j 0 j ( + 0 ) ( + ) (4.4.9) (a + b) a + b eşisizli¼gi göz öüde buludurulara [0; ) içi + 0 + 0 + + + + 0 + 0 (4.4.0) yaz labilir. L ;q + Souç olara 0 + 0 ; L ;q + + ; + j 0 j ( + 0 ) ( + ) yaz labilir. L ;q (; ) oldu¼guda üsei eşisizli¼ge p ve q ( ) olma üzere Hölder eşi- 45

sizli¼gi uygulaara L ;q + + ; L ;q + + ;! j 0 j + ( + 0 ) ( + ) elde edilir ve so iade (4:4:9) da diae al rsa jl ;q (; ) ()j ML ;q +! ; + M + j 0 j ( + 0 ) ( + ) j 0 j +M ( + 0 ) ( + ) (4.4.) soucua ulaş l r. (4:3:) ve (4:4:3) de (4:4:) jl ;q (; ) ()j M () + d (; E) şelide iade edilebilir, böylece ispa amamla r. Teorem 4.4. i özel bir durumuu alara E [0; ) ie aşa¼g dai souç vard r: Souç 4.4.. E¼ger, W ;[0;) ise (), (4:3:) ile verile osiyo olma üzere jl ;q (; ) ()j M () eşisizli¼gi gerçeleir (Aral ve Do¼gru 007). 46

4.5 q-bbh Operaörlerii Mooolu Özelli¼gi Bu s mda L ;q operaörlerii ye göre mooolu¼gu iceleeceir. Öce (4::) de + + [ + ] [] [ ] [ + ] [] [ ] (4.5.) + [] [ + ] eşilileri yaz labilir. Şimdi, bu s mdai as l eoremi ispa da ulla laca ola aşa¼g dai lemmay verelim. Lemma 4.5.. q [ + ] ; [ + ] [ ] [ + ] ; [] [ + ] q ; ve [ + ] [ ] q + olma üzere 0, 0 ve + (4.5.) dir. Ayr ca [ + ] [ + ] q + + (4.5.3) gerçeleir (Do¼gru ad Gupa 005). Ispa: (4::) de [ + ] q+ q ; [ ] q q (4.5.4) 47

gerçeleir ve böylece + q [ + ] + [ ] [ + ] q + q + q q q [ + ] q + q [ + ] elde edilir. Di¼ger araa + q [ + ] [ + ] q [ + ] [ + ] [] [ ] [ + ] + [ + ] q [ + ] [ ] q + [] [ + ] + [ + ] q [ + ] q + Ayr ca (4::) ulla lara [ + ] q + [] [ + ] q + [ + ] + [ + ] [ + ] q + q + [] + [ + ] [ + ] (4.5.5) q q + [] + [ + ] q + + q q + q q+ q [ + ] (4.5.6) buluur ve (4:5:6) (4:5:5) e yerie oulmas yla (4:5:3) elde edilir bu durumda 48

ispa amamla r. Şimdi, L ;q u mooolu¼guu iceleyelim: Teorem 4.5.. E¼ger, [0; ) da oves ve armaya osiyo ise L ;q her 0 ve her N içi L ;q (; ) L +;q (; ) gerçeleir (Do¼gru ad Gupa 005). Ispa: L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () 0 X+ [] [ + ] q + q ( ) ` () 0 [] [ + ] q q ( ) (4.5.7) (4:5:7) iadeside eşili¼gi sa¼g ara dai iadei iici oplam + q ile çarp l p bölüürse L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () 0 X+ [] [ + ] q + q ( ) `+ () 0 [] [ + ] q q ( ) `+ () 0 [] q ( ) q [ +]q + (4.5.8) elde edilir ve (4:5:8) iadeside eşili¼gi sa¼g ara da birici ve üçücü oplam so erimleri ile birici ve iici oplam 0: erimleri ç ar lara 49

L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () q(+) + [ + ] q + [] q + `+ () [] [ + ] q + q ( ) `+ () [] [ + ] q q ( ) `+ () 0 X [] [ + ] q q ( ) q + buluur ve eşili¼gi sa¼g a dai birici ve iici oplamda yerie + al rsa L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () q(+) + [ + ] q + [] q + `+ () 0 X [ + ] [ + ] q + + q ( ) q + + `+ () 0 X [] [ + ] q q ( ) q + `+ () 0 X [ + ] [ ] q + q ( ) q + + elde edilir. 50

(4:5:) eşilileri ulla lara aşa¼g dai eşili yaz labilir L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () q(+) + + X `+ () 0 [ + ] q + [ + ] [ + ] q + q [ + ] [] [ + ] [ + ] q [ ] [ + ] [ + ] [ ] q + q [ + ] [] + [ ] [ + ] [] q (4.5.9) [ + ] q + [] q 0 ve armaya osiyo oldu¼guda q+ [ + ] q + [] 0 (4.5.0) q gerçeleir ve oves oldu¼guda (4:5:) ve(4:5:3) de [ + ] [ + ] q + q [ + ] [] [ + ] [ + ] q [ ] [ + ] [ + ] [ ] q + 0 (4.5.) eşisizli¼gi vard r. (4:5:0) ve (4:5:) (4:5:9) da ulla lara ispa amamla r. E¼ger lieer ise [ + ] [ + ] q + q [ + ] [] [ + ] [ + ] q [ ] [ + ] [ + ] [ ] q + 0 (4.5.) 5

eşili¼gi vard r. (4:5:) iadesii ullaara aşa¼g dai souç yaz labilir Souç 4.5.. (4::5) de a mlam ş L ;q ; N, operaörleri içi aşa¼g dai mooolu özellileri i ve ii de verildi¼gi gibidir. i. E¼ger lieer ve armaya osiyo ise her 0 içi L ;q da ye göre armayad r. ii. E¼ger lieer ve azalmaya osiyo ise her 0 içi L ;q da ye göre azalmayad r (Do¼gru ad Gupa 005). 5

KAYNAKLAR Abel, U. ad Iva, M. 999. Some ideiies or he operaor o Bleima, Buzer ve Hah ivolvig divided di ereces, Calcolo 36, o.3, pp. 43-60. Adell, J.A., de la Cal, J. ad Sa Miguel, M. 994. Iverse Bea ad Geeralized Bleima, Buzer ad Hah operaors, Jour. Appro. Theory. 76, 54-64. Aral, A. ad Do¼gru, O. 007. Bleima, Buzer ad Hah Operaors Based o he q-iegers, Hidawi Publishig Corporaio Jour. o Ieq. ad Appl. Vol 007, Aricle I D 7940. Bleima, G., Buzer, P. L. ad Hah, L. 980. A Bersei-ype operaor approimaig coiuous ucios o he semi aes. Proc. Neherl. Sc. 83 (Idag. Mah: 4) 55-6. Cao, F., Dig, C. ad Xu, Z. 005. O mulivariae Basaov operaor, J. Mah. Aal. Appl. 307 o., 74 9. Cheey, E. W. ad Charma, A. 964. Bersei power series, Ca. J. Mah. 6 4-5. Della Vecciha, B. 99. Some Properies o a Raioal Operaor o Bersei- Type, Isiuo per Applicazioi della Maemaica-C.N.R. Via P. Casellio -803 Napoli, Ialy. Do¼gru, O. ad Gupa, V. 005. Moooiciy ad he asympoic esimae o Bleima Buzer ad Hah Operaors Based O q-iegers, Georgia Mah. Jour. Vol, o. 3, 45-4. Gadjiev, A. D. ad Çaar, Ö. 999. O uiorm approimaio by Bleima, Buzer ad Hah operaors o all posiive semiais, Trasacios o AS Azerbaija. Series o Physical Techical ad Mahemaical Scieces, vol 9, o. 5, pp. -6. Kha, R.A. 988. A oe o a Bersei-ype operaor o Bleima, Buzer ad Hah, Jour. Appro. Theory. 53, 95-303. Lorez, G.G. 953. Bersei Polyomials, Uiversiy o Toroo Press. Philips, G. M. 997. Bersei polyomials based o he q-iegers, Aals o Numerical Mahemaics, vol 4, o. -4, pp.5-58. 53

Zygmud, A. 959. Trigoomeric Series, Vol., Cambridge Uiv. Press, Cambridge, UK. 54

ÖZGEÇM IŞ Ad Soyad : Dile SÖYLEMEZ Do¼gum Yeri : Sivas Do¼gum Tarihi : 03. 0. 983 Medei Hali : Bear Yabac Dili : Igilizce E¼giim Durumu (Kurum ve Y l) Lise : Sivas Lisesi (00) Lisas : Aara Üiversiesi Fe Faülesi Maemai Bölümü (007) Yüse Lisas : Aara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Maemai Aabilim Dal (Eylül 007 Temmuz 009) 55