EGE ÜNĐVERSĐTESĐ FEN ĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTOR TEZĐ DĐFERNSĐYEL DENKLEMLER TEORĐSĐNDEKĐ EŞĐTSĐZLĐKLER VE UYGULMLRI Özlem MOĞOL Maemai na ilim Dalı ilim Dalı Kod: 43.6. Tezin Snldğ Tai:4.6.9 Tez Danışmanı Doç. D. Emine MISIRLI onoa-đzmđr
III Özlem MOĞOL aafından dooa ezi olaa nlan Difeaniel Denlemle Teoiindei Eşiizlile e Ulamalaı başlılı b çalışma E.Ü. Lianüü Eğiim e Öğeim Yönemeliği ile E.Ü. Fen ilimlei Eniüü Eğiim e Öğeim Yöneei nin ilili üümlei aınca aafımızdan değelendiilee anmaa değe blnmş e 4.6.9 aiinde aılan ez anma ınaında ada obiliği/oçolğ ile başaılı blnmş. Jüi Üelei : Đmza Jüi aşanı :Doç. D. Emine MISIRLI... Üe :Pof.D. llabeen SHYRLYEV... Üe :Pof.D.T ÖZĐŞ... Üe :Pof.D. Şenn SOMLI... Üe :Pof.D. la KIRLNGIÇ...
V ÖZET DĐFERNSĐYEL DENKLEMLER TEORĐSĐNDEKĐ EŞĐTSĐZLĐKLER VE UYGULMLRI MOĞOL Özlem Dooa Tezi Maemai ölümü Tez Yöneicii: Doç.D. Emine Mıılı Hazian 9 74 Safa Gonwall ii ineal eşiizlilei ineal e difeaniel denlemlein çözümleinin alı eli e ınılılı ibi bazı önemli özellileinin aaşıılmaında önemli bi ol onamaadı. çalışmada ii bağımlı limi içeen Gonwall ii ineal eşiizlilei e b eşiizlilein die benzelei ile ilili bazı eni onçla elde edilmişi. ıca elde edilen onçlaın llanıldığı lamalaa da e eilmişi. naa Sözcüle: Gonwall Tii Đneal Eşiizlilei Linee olmaan Difeaniel Denlemle ağımlı Limile.
VII SOME INEQULITIES ND PPLICTIONS ON THE THEORY OF DIFFERENTIL EQUTIONS MOĞOL Özlem P.D Tei Maemaic Deamen Seio: oc. Pof. D.Emine MISIRLI Jne 9 74 ae STRCT Gonwall e ineal ineqaliie la a inifican ole o ineiae ome imoan oeie of olion of ineal and diffeenial eqaion lie exience niqene and bondedne. In i wo we een ome new el on Gonwall e ineal ineqali wi wo deenden limi and ei dice analoe. Some alicaion ae alo ien fo o el. Ke Wod: Gonwall e ineal ineqaliie nonlinea diffeenial eqaion deendence of limi
IX TEŞEKKÜR çalışma üeince düşünce e öneileinden aalandığım e onda adım e deeğini eiemeen ocam Saın Doç. D. Emine MISIRLI a enin ecübei e biliile e onda adımını eiemeen ocam Saın Pof. D. llabeen SHYRLYEV e onz eşeü edeim. Manei deelei ile bana üç een eili eşim Sean MOĞOL ço değeli annem e babama eşeüü bi boç biliim.
XI ĐÇĐNDEKĐLER Safa ÖZET... STRCT... TEŞEKKÜR... V VII IX.ÖLÜM: GĐRĐŞ....ÖLÜM: ÖNĐLGĐLER... 3. Temel Eşiizlile... 3. Gonwall Tii Đneal Eşiizlile... 4.. Gonwall Tii Đneal Eşiizlileinin Süeli Hali... 5... Ulamala... 8.. Gonwall Tii Đneal Eşiizlileinin Die enzelei...3 Đi ağımlı Limie Sai Đneal Eşiizlile... 9.3. Đi ağımlı Limie Sai Đneal Eşiizlileinin Süeli Hali... 9.3. Đi ağımlı Limie Sai Đneal Eşiizlileinin Die enzelei... 33
XII ĐÇĐNDEKĐLER Deam Safa 3. ÖLÜM: ĐKĐ ĞIMLI LĐMĐTE SHĐP ĐNTEGRL EŞĐTSĐZLĐKLERĐNDE GENELLEŞTĐRMELER... 38 3. Ulama... 59 4. ÖLÜM: ĐKĐ ĞIMLI LĐMĐTE SHĐP ĐNTEGRL EŞĐTSĐZLĐKLERĐNĐN DĐSKRET ENZERLERĐ... 6 5. SONUÇ... 69 KYNKLR DĐZĐNĐ... 7 ÖZGEÇMĐŞ... 74
.ÖLÜM GĐRĐŞ Yiminci üzıldan iibaen maemaiel eşiizlile maemai alanında oldğ ada diğe bilim dallaında da oldça önem azanmış e llanılmaa başlanmışı. Teoi ile lamalı maemaiçile aaında bi öü öei öen maemaiel eşiizlilein zo oblemlee eni e bai iala ndğnn faedilmei zn ümemişi. 934 e Had Lilewood e Pola nın Ineqaliie Eşiizlile iimli çalışmalaı maemaiçile için bi el iabı aline elmiş b ia 965 e ecenbac e ellman aafından elemele aılaa elişiilmişi. Miinoic in 97 ılında aınladığı nalic Ineqaliie nalii Eşiizlile [z.4] iabı ie alanında çığı açaa lieaüe eçmişi. Son üzıl içinde maemaiel eonomi on eoii aaonel önemle olaılı e iaii ibi falı diilinlede ızla elişimini üdüen çalışmala; Hadamad eşiizliği Jenen eşiizliği Had eşiizliği Wel eşiizliği Oial eşiizliği e b çalışmanın emelini olşan Gonwall Eşiizliği ibi daa e ço eşiizliği beabeinde eimişi. Gonwall ii ineal eşiizlilei difeaniel denlemlein çözümleinin alı eli ınılılı aalılı ibi bazı emel özellileinin aaşıılmaında ço önemli bi ol ona e elemane işlemle eeidiği için de oldça aanaj ağlaan bi önemdi. Linee olmaan difeaniel denlemlein çözümünü blma oldça zo e zameli bi işi. nedenle denlem çözülmeden onç aında fii aibi olmanın önemi de aa. Gonwall ii ineal eşiizlilei linee olmaan difeaniel denlemlein çözümleinin ınılılığının incelenmeinde
oldça büü olalı ağlamaadı. eşiizliği il llanan işi ie iai olmş 956. Đneal eşiizlileinin elişmei olnda aılan diğe bi önemli adım ie Wendoff n ii bağımız değişen içeen eşiizlile üzeine aığı çalışmaladı. ezin iinci bölümünde Gonwall ii ineal eşiizlilei e bnlaın die aı benzelei üzeine aılmış e b çalışmaa ön eece bazı eoemle incelenmişi. ıca ii bağımlı limie ai Gonwall ii ineal eşiizlilei üzeine aılmış aaşımalaa e eilmişi. çalışmanın üçüncü bölümünde ii bağımlı limi içeen bazı eni ineal eşiizlilei elişiilmiş ialaı eilmiş elişiilen b eni eşiizlilein linee olmaan difeaniel denlemlein çözümleinin ınılılığında llanıldığını öeen bazı lamalaa e eilmişi. çalışmanın dödüncü bölümünde ie üçüncü bölümde üeli ali eilen bazı eoemlein die benzelei üzeine aılan çalışmalaa e eilmişi.
3.ÖLÜM ÖNĐLGĐLER..TEMEL EŞĐTSĐZLĐKLER çalışmada e alan bazı eoemlein ialaında llanılan elemane eşiizlileden bii olan Yon eşiizliği iaı ile aşağıda eilmişi. Yon Eşiizliği: < q< aılaı = oşln ağlaan eel aıla a b neaif q olmaan eel aıla olma üzee; ea q a b a. b q.. a. b a b q q.. eşiizlilei adı. Đa. f x = x üel fonion ile x a = e = b doğlaının aaında alan e alanlaının olamı a. b çaımından büüü. aınız Şeil.
4 b a Şeil. a a = x dx= b b = q q b q a b q = d= d= q oldğna öe.. eşiizliğinin iaı öeilmiş ol.. GRONWLL TĐPĐ ĐNTEGRL EŞĐTSĐZLĐKLER Teoi maemaiçile ile lamalı maemaiçile aaında bi öü öei öen maemaiel eşiizlilein zo oblemlee eni e bai iala eidiği bilinmeedi. bölümde difeaniel denlem çözümleinin ınılılığının öeilmeinde llanılan önemli eşiizlileden bii olan Gonwall ii ineal eşiizlilei ile ilili bazı eoemle ialaı ile bilie ele alınmışı. ıl adı Toma Haon Gönwall 877-93 olan Đeçli maemaiçi ileşmiş Millele aandaşlığına eçien ona Gonwall
5 imini almışı. Gonwall eşiizliği olaa bilinen eoem belli bi difeaniel eşiizli ea ineal eşiizliğini ağladığı bilinen bi fonionn ü ınıının blnmaında llanılan önemli bi eoemdi. Teoemin difeaniel eşiizlile için olan ımının iaı Gonwall aafından 99 ınında ineal eşiizlilei için olan ımının iaı ie 943 ılında Ricad ellman aafından amamlanmışı. Eşiizlile ile ilili e ço aaşıma aan.g.pacae aığı çalışmala onc 973 ılından b ana 4 ade ia e ço aıda maale ile onnn elişiilmeine oldça aı ağlamışı. Pacae çalışmalaında Gonwall ii ineal e difeaniel eşiizlileini falı önlei ile ele almış e bağımlı limi içeen ineal eşiizlileinin üeli ali e die benzeleini incelemişiz.[]-[3]. M. ale ii bağımlı limie ai Gonwall ii ineal eşiizlileini içeen bi difeaniel denlem oblemi ile aşılaşıldığında mec önemlele difeaniel denlemin çözümü için bi ü ını blnamaacağını öemiş e b onda aılan çalışmalaa ön eece olan maaleini aımlamışı z.[4]-[6]... Gonwall Tii Đneal Eşiizlileinin Süeli Hali Gonwall ii ineal eşiizlilei linee olmaan difeaniel denlemlein çözümleinin alı eli ınılılı aalılı ibi ço önemli bazı özellileinin aaşıılmaında aı ağlaan e bai işlemle eeien on deece llanışlı bi önemdi.
6 Difeaniel denlemle eoiinin elişiilmeine adımcı olan e ço ı aşılaşılan eşiizlileden bii olan Gonwall ineal eşiizliği aşağıda eilmişi. Öneme... He için I= [ ] aalığında anımlı e f fonionlaı eçel değeli neaif olmaan üeli fonionla olnla. c eel abii için c f d..3 eşiizliği a ie fonion için c f d...4 şelinde bi ını değei azılabili. eşiizliğin enelleşiilmei için aılmış çalışmalaımıza ışı an bazı eoemlei eelim. Teoem... a b eel değeli neaif olmaan üeli fonionla oln > de eel bi abi olma üzee z.[] a : e R için a b d..5 azılabilioa
7 a a b a ex b d..6 eşiizliği elde edilebili. Đa. z = d..7 fonion anımlanın. z = için..5 denlemi a b z..8 olaa azılabili...8 denlemi / / / a b z..9 şelinde azılı. bölümünde eilen Yon eşiizliği landığında a b z.. elde edili...7 fonionnn üei alını.. eşiizliğinde azıldığında a z b z a.. elde edili.. denleminin dan e ineali alındığında
8 a z a ex. b d d.. olaa azılabili... denlemi..8 denleminde eine azıldığında ienen onç elde edili. a : c eçel değeli oziif üeli e azalmaan bi fonion oln. > oşln ağlaan eel bi abi olma üzee e R için [ ]d b c..3 eşiizliği a ie fonion için { [ ] d d c b c b c ex fomnda bi ü ını azılabili. Đa. He R için c oziif üeli e azalmaan bi fonion oldğ için. d c c c b c..4 eşiizliği a eşiizliğin bi lamaı olaa düşünülebili.
9 a 3 < < de anımlı fonion e ımi üei eçel değeli neaif olmaan üeli fonionla olma üzee e R için a b [ ]d..5 eşiizliği a ie fonion için a b ex τ dτ d..6 fomnda bi ü ını azılabili. eşiizliğin içinde e alan e fonionlaı = b b d a = a a a d..7 olaa anımlanmışı. Đa. z = [ ]d..8 şelinde bi fonion anımlaalım.
a b z..9 oldğ öülmeedi...8 fonionnn üei alındığında [ ] [ ]d z = elde edili. Geeli düzenlemele aıldığında a b z a b z z a b a b z z d eşiizliği azılabili. z b b d z a a a a d....7 eşiliğinde anımlanan fonionla eine azıldığında.. denlemi z z.. alini alı... eşiizliğinin dan e ineali alındığında
z ex τ dτ d.. elde edili... denlemi..9 denleminde eine azıldığında ia amamlanmış ol. Đneal eşiizlileinin elişiilmei olnda aılan diğe bi önemli adım ie Wendoff n ii bağımız değişen içeen ineal eşiizlile üzeine aığı çalışmaladı. Teoem... x üeli neaif olmaan bi fonion olma üzee x e c> için x x c a dd..3 eşiizliği azılabilio ie x ii değişenli fonion için ax x ce..4 şelinde bi ü ını azılabili. Đa. x x = c a dd..5 fonion anımlanın x x e = c = c x o = c..6 oldğ öülmeedi.
x = a x x..7 x x x = = a x a x x x x..8 x x x o a d x ax..9 x x ax..3 ax x e ii aaf ax e ile çaılıa ax [ e x ]..3 ax x ce...3 ia amamlanmış ol. Hieboli ımi difeaniel denlemlein analizinde llanılan ii bağımız değişen içeen ineal eşiizlilei üzeine Pacae nin amış oldğ enelleşimele aşağıda eilmişi. Teoem..3. J= [ x X e J = [ Y olma üzee JeJ R nin bie al ümei = J J oln. a b C R oln e α x x J de; β J de azalmaan α C J J β oşllaını C J J ağlaan fonionla oln. > oşlna an abile oln z[].
3 a He x için x α x β..33 x a dd b dd x α x β eşiizliği a ie x fonion için aşağıdai ü ını azılabili. x ex x x..34..34 eşiizliğinde e alan x e x fonionlaı x x = a dd x x x = b dd α x β..35 olaa anımlıdı. Đa. x α x β..36 z x = a dd b dd x α x β fonion anımlanın. > için z x = z x = e x z x..37 oldğ öülmeedi...36 eşiliğinin difeanieli alındığında β..38 D z x = a x x d α x b α x α x d β elde edili...37 eşiizlilei eine azıldığında
4 β..39 D z x a x z x d α x b α x z α x d β elde edili. zalmaan fonionladan olşan z x fonion en büü değeini inealin ü ınıında alacağı için β..4 D z x z x a x d α x z α x β b α x d β azılabili. Tanımda e alan α x x β oşllaı eeği β D z x z x a x d α x b α x d β..4 β D z x a x d α x b α x d z x β..4 abi l x = alınaa xdanx e değişenine öe ineal alını değişen değişime önemi lanıa..34 eşiizliği elde edili. Đa bie. a He x için x α x β..43 x a dd b dd x α x β eşiizliği a ie x fonion için aşağıdai ü ını azılabili. / x [ x x ] /..44
5..44 eşiizliğinde e alan x e x fonionlaı a bölümünde anımlandığı ibidi. Đa...43 eşiizliğinin ağ aafında blnan ifadei x α x β..45 z x = a dd b dd x α x β fonion olaa anımlaalım...43denleminden öüldüğü ibi z x = z x = e x z x..46 azılabili...45 fonionnn x e öe difeanieli alındığında β..47 D z x = a x x d α x b α x α x d β elde edili...46 eşiizlilei eine azıldığında β..48 D z x a x z x d α x b α x z α x d β elde edili. zalmaan fonionladan olşan z x fonion en büü değeini inealin ü ınıında alacağı için. β..49 D z x z x a x d α x z α x β b α x d β azılabili. Eşiizliğin e ii aafı z x ile bölünü xdanx e ineal alındığında
6 β D z x a x d α x b α d z x β x α x β z x a x d α x b α d x α x β..5 elde edili. Geeli düzenlemele aıldığında..44 eşiizliği elde edilmiş ol. a 3 i= için i C R R de anımlı e > için i > oşln ağlaan azalmaan bi fonion oln. c oşln ağlaan bi abi olma üzee C R e x e x x x için x x a dd x α x β x b dd..5 α β eşiizliği azılabilio ie x fonion için aşağıdai ü ınıla azılabili. i dmnda x G [ G x x ]..5 ii dmnda x G [ G x x ]...53
7 Eşiizlile içinde e alan üzee G i fonionlaı i= için > > olma G i d = i olaa anımlıdı. Đa...5 eşiizliğinin ağ aafındai ifade z x fonion olaa anımlanın. z x = z x = e x z x..54 oldğ öülmeedi. z x fonionnn difeanieli alındığında D z x a x x d = β α x b α x α x d..55 β β { } { } α α β a x z x d x b x z x d elde edili. zalmaan fonionladan olşan z x fonion en büü değeini inealin ü ınıında alacağı için. { } D z x z x a x d
8 { } β α x z α x β b α x d..56 β azılabili. i için..56 eşiizliği β D z x a x d α x b α x d β z x..57 şelinde azılabili. D H z x = D z x z x β..58 a x d α x b α x d β..58 eşiizliğinde abi l x= alınaa xdanx e değişenine öe ineal alınıa e değişen değişime lanıa..54 oşl ile..5 eşiizliği elde edilebili...53 eşiizliğinin iaı a in iaında lanan işlemle ealanaa elde edilebili. Đa bie.... Ulamala Đinci bölümde eilen eşiizlilee ai lamalaı içeen ço aıda difeaniel denlem oblemine alama mümündü. şağıdai önelei inceleelim.. üeli e oziif bi fonion olma üzee
9 d eşiizliği a ie ex azılabileceğini öeiniz.. x üeli oziif bi fonion olma üzee x x dd eşiizliği a ie x ex x oldğn öeiniz. 3. F = Difeaniel denleminde F fonion : R R olma üzee F oşln ağlaan F : R R R de anımlı e : R R de anımlı üeli fonionla oln. > e bie eel abi olma üzee = için başlanıç değe obleminin çözümün ü ınıını aaşıınız.
Çözümle.. d= = Eşiizliğin e ii aafı ex ile çaıldığında ex elde edili. dan e ineal alındığında = oldğ için ex ex azılabili. ex elde edilmiş ol.. x x dd= x x x x = x x d x x oldğ için x x azılabili. Dolaıı ile x fonion için x değişenine öe aan oldğ ölenebili.
x = d oldğ için x azılabili. Dolaıı ile x fonion için değişenine öe aan oldğ ölenebili. x = x x d x x aan fonion oldğ için x x x d x = x x d = x x x x azılabili. x x x x eşiizliğin e ii aafı ex x ineal çaanı ile çaıldığında x x ex
elde edili. dan x e ineal alındığında = azılıa ex x x x ex x x ex x elde edili. 3. F = Difeaniel denlemini ele alalım. = için acaba çözümün bi ü ınıı elde edilebili mi? Yaıdai difeaniel denlem için F d= d azılabileceği açıı. F fonion : R R olma üzee F oşln ağlaan bi fonion oldğ için a d azılabili. ada a = d oldğ öülmeedi. oblemin Teoem.. in a ımının = için bi lamaı oldğ açıı. Teoem.. den elde edilen onç landığında a a ex d d / elde edili.
3.. Gonwall Tii Đneal Eşiizlileinin Die enzelei Gonwall-ellman eşiizlileinin die benzelei il ez 935 ılında Mieledze aafından aınlanmışı. adan elde edilen onçla lieaüde ço büü bi ili andımışı. çalışmala ile ilili onl fa denlemle eoiinde aşılaşılabilece e ço lamaa ai enelleşimele aılmışı. Gonwall ii die eşiizlilein onl fa denlemle eoiinde e nümei analizde önemli bi ol onadığı bilinmeedi. iden fazla bağımız değişen içeen die eşiizlile bazı ımi difeaniel denlemlein e ineal denlemleinin die benzeleini içeen biço önemli oblemin çözümünde llanılmaadı. bölümde ölüm.. de üeli ali eilen eşiizlilein die benzeleini içeen eşiizlile ialaı ile bilie eilecei. Gonwal eşiizliğinin die benzei Öneme.. de eilmişi. Öneme.. N için z a Z neaif olmaan fonionla z c oln. z c a i z i..59 i= eşiizliği a ie z fonion için z c.ex[ a i]..6 i=
4 açı ınıı azılabili. Çalışmamıza ana olşan b eşiizlile ilili bazı enelleşimele Teoem.. de eilmişi. Teoem... n fonion n bi amaı olma üzee {... } N = n n n ümei üzeinde anımlı bi fonion oln. oeaöü n = n n olaa anımlanın. n : N R fonionlaı için oeaöü n n için n = n n olaa anımlanmış oln. a b fonionlaı N da anımlı eçel değeli neaif olmaan fonionla oln.nz.[] a : n n a n n b..6 = ie n n [ ]..6 n a n n b a b = n = azılabili. a : n a n b n..63 = n eşiizliği a ie n N için
5 n n a n a n b n a b = n = olaa azılabili...64 a 3 : c n N da anımlı eçel değeli oziif azalmaan bi fonion olma üzee n n c n b n..65 = n eşiizliği a ie n N için n n c n b n c = n / n b c =..66 azılabili. a 4 : n e n fonionlaı n n olma üzee n N da anımlı eçel değeli neaif olmaan fonionla oln. n n a n b n n..67 = n eşiizliği a ie n N için
6 n n n a n b n m = n m= / [ ]..68 azılabili...68 eşiizliğinde e alan n e n fonionlaı n n = n n b n n n n b = n a n n = n n n a n n a n n a = n..69 olaa anımlıdı. Đa. a n = b..7 = n z n fonion anımlanın...6 eşiizliğine öe z n = e n a n n z n..7 azılabili...7 ifadeine fa işlemi lanı..7 eşiizlilei azılıa
7 [ ] z = b b a z = b z a b n n [ ]..7 z n a b b = n = elde edili. n in ü ınıı eine azıldığında ia amamlanmış ol. a n z n =..73 = n fonion anımlanın. z n = e a n b n z n..74 oldğ öülmeedi...74 eşiizliğine Yon eşiizliği landığında a n b n n z n..75 olaa azılabili...73 eşiizliğinde eine azıldığında n z n b n n z n a n n a n n..76 elde edili. Eşiizliğin e ii aafı n b ile çaılı = n n = alınaa n dan n e eşiizli aaf aafa olanıa
8 n z n b = n n n a a b = n = n n a n a b..77 = n = azılabili. adan..64 eşiizliği elde edilebili. a 3..63 eşiizliğinin e ii aafı c n ile bölündüğünde elde edilen ifade a eşiizliğinin bi lamaına dönüşü. n n b n c c n = n c c..64 eşiizliğinde eine azılaa..66 eşiizliği elde edilmiş ol. a 4 n z n = n..78 = n fonion anımlanın. z n fonionnn n e öe monoon azalmaan oldğ ölenebili. Đlei fa alını eeli düzenlemele aıldığında z n z n = n n n n n n n n = n [ n n n a n b n z n
9 a n b n n z n n a b n a b z z = n [ ] n z n n z n n z n n n n [ ]..79 z n m = n m= elde edili e..69 öeilmiş ol..3. ĐKĐ ĞIMLI LĐMĐTE SHĐP ĐNTEGRL EŞĐTSĐZLĐKLER Gonwall ii ineal eşiizlilei incelenien ii bağımlı limi içeen bi oblemle aşılaşıldığında eşiizli içinde e alan ineali ii inealin olamı aline dönüşüee çözmee çalışmanın bi fada ağlamaacağı açıça öülebili. ndan analanan oblemi oadan aldıma için ineal önüne azılan inm fonionn oziif e neaif değele için aı aı inceleme eemeedi. M. ale z.[4]- [6].
3 Süeli Hali.3. Đi ağımlı Limie Sai Đneal Eşiizlileinin Çalışmamıza ön een diğe emel eşiizliği incelemee başlamadan önce ii bağımlı limi içeen ineal eşiizlileinin ne için önemli oldğn anlamaa çalışalım. nn için Hilbe zaında ieboli ie ii bağımlı limi içeen ineodifeaniel denlem için başlanıç değe oblemini inceleelimz.[]. için d = d f d.3 = = denlemin çözümü e midi? Tamini çözüm acaba aalı mıdı? Đi bağımlı limi içeen ieboli ie ineo-difeaniel denlem obleminin aıda oldğ ibi bi başlanıç değe oblemine indienebildiği bilinmeedi..3 obleminin çözümü olan fonion aşağıdai oşllaı ağlamaadı. i [-] de ii ee üelenebili e üeli fonion ii [-] de üeli bi foniond Önceden ialanmış eoemlein doğdan lanamadığı b iei oblemle için ii bağımlı limi içeen Gonwall ii ineal eşiizlilei elişiilmişi. noada fonionnn eliği e aalılığının
3 incelenmeinde ii bağımlı limi içeen Gonwall ii ineal eşiizlileinin önemi ile aşılaşılmaadı. M. ale z.[4]-[6]. Teoem.3. c e a oziif eel abile olma üzee aalığında anımlı üeli e neaif olmaan fonion için c n a d.3. eşiizliği a ie fonion için a ce..3. ibi bi ü ını değei azılabili. Đa. = c n a d.3.3 fonion anımlaalım. e = c.3.4 oldğ açıı. i aalığını ele alalım..3.3 eşiliği = c a d.3.5 alini alı..3.5 eşiliğinin üei alındığında
3 d d = c a d d d = a a elde edili..3.4 eşiizliği eine azıldığında d a.3.6 d elde edili..3.6 eşiizliğinin e ii aafı çaılıa a e ineal çaanı ile d d a a e ae d e a d.3.7 azılabili e.3.7 eşiizliğinin dan e ineali alınıa a e e a = a a ce ce azılabili. ii aalığını ele alalım..3.3 eşiliği = c a d.3.8
33 alini alı..3.8 eşiliğinin üei alındığında d d = c a d d d =a a elde edili..3.4 eşiizliği eine azıldığında d a.3.9 d elde edili e.3.9eşiizliğinin e ii aafı çaılıa a e ineal çaanı ile d d a a e ae d e a d.3. azılabili..3. eşiizliğinin den a inealli alınıa e a e a = a a ce ce azılı. i e ii onçlaından ia amamlanmış ol.
34.3. Đi ağımlı Limie Sai Đneal Eşiizlileinin Die enzelei Đi bağımlı limi içeen Gonwall ii ineal eşiizlileinin die benzelei ile de oblemin amini çözümüne bi ü ını blnabili. i N N Teoem.3... i ai δi neaif olmaan fonionla = eel aı dizii oln z[]. i i δi j j.3. j= i a a eşiizliğinde i δ aδ a δ.3. i i j j j j ij j= azılabili..3. eşiizliğinde δ δ δ a δ aδ oldğ öülmeedi e ij i ex a a n n = n= j j= i j= i.3.3 olaa anımlıdı. Đa. i i = j j.3.4 j= i a a fonion anımlanın..3.4 denleminde
35 = i i = e i δi i.3.5 oldğ öülmeedi. i i> için.3.4 fonion i i = j j.3.6 j= i a a alini alı..3.6 denlemine ilei fa landığında i i = a a a a i i j j j j j= i j= i = a a.3.7 i i i i elde edili. = i i i oldğ için e.3.5 eşiizliği.3.7 eşiliğinde eine azılıa δ δ a a i i i i i i i i = a a aδ a δ.3.8 i i i i i i i elde edili..3.8 eşiizliği düzenlendiğinde [ ] a a aδ a δ.3.9 i i i i i i i i olaa bln..3.9 eşiizliğine ieaon landığında
36 i i i [ ] δ δ [ ] a a a a a a i n n j j j j n n n= j= n= j δ a δ a i= N i i i i azılabili. = oldğ için i i [ ] aδ a δ a a a δ a δ i j j j j n n i i i i j= n= j i i aδ a δ ex a a a δ a δ j j j j n n i i i i j= n= j i i δ aδ a δ ex a a a δ a δ i i j j j j n n i i i i j= n= j azılabili. ii i< için.3.4 fonionnda a = a = e i i j j j j oldğ öülmeedi e i i δi j j i = N j= i a a azılabili i= i ea i = i> oln
37 i i δ i j j i j= i a a = N.3..3. eşiizliği = w a = b δ = λ anımlanaa ea düzenlenie i i λ i j j i j= i w b w b w = N.3..3. eşiizliği.3.. eoeminin i bölümüne lanabili dma elmiş ol..3. eşiizliği i i w λ bλ b λ ex b b a δ a δ i i j j j j n n i i i i j= n= j olaa azılabili. i i δ aδ a δ ex a a a δ a δ i i j j j j n n i i i i j= n= j ea i=n için i i δ aδ a δ ex a a a δ a δ i i j j j j n n i i i i j= n= j azılabili. ie ii den eoem ialanmış ol.
38 3.ÖLÜM ĐKĐ ĞIMLI LĐMĐTE SHĐP ĐNTEGRL EŞĐTSĐZLĐKLERĐNDE GENELLEŞTĐRMELER şağıdai eoemde ii bağımlı limie ai Gonwall ii ineal eşiizliği içeen bazı eni ineal eşiizlilei ialaıla bilie eilmiş e lamalaı aılmışı. Teoem 3.. a b e m fonionlaı eçel değeli neaif olmaan e R = de anımlı üeli fonionla olnla. a c neaif olmaan bi abi olma üzee e R için c n m d 3. eşiizliği a ie fonion için c n m d 3. fomnda bi ü ını azılabili. b > eel bi abi olma üzee e R için a b n [ ]d 3.3 eşiizliği a ie fonion için
39 d b n b a ex 3.4 d d b n a n ex fomnda bi ü ını azılabili. c c eçel değeli oziif üeli e azalmaan bi fonion oln. > oşln ağlaan eel bi abi olma üzee e R için [ ]d n b c 3.5 eşiizliği a ie fonion için d c b n b c ex 3.6 [ ] d d c b n c n ex fomnda bi ü ını azılabili. d < < de anımlı fonion e ımi üei eçel değeli neaif olmaan üeli fonionla e fonion e öe çif fonion olma üzee e R için
4 [ ]d n b a 3.7 eşiizliği a ie fonion için d b n b a ex d a n n d b n ex d dd b n n ex d b n n ex. d a 3.8 fomnda bi ü ını azılabili. 3.8 eşiizliğinde e alan fonion = R R 3.9
4 ex ex = dd dd. ex ex = dd dd olaa alınmışı. Đala. a d m n c = 3. olaca şeilde bi fonion anımlaalım. 3. eşiliğinde = c oldğ e fonionnn çif fonion oldğ öülmeedi. dmda 3. denlemi. 3. olaa azılabili. i için 3. eşiliği. = d m c 3.
4 alini alacaı. 3. eşiliğinin üei alını 3. eşiizlilei eine azıldığında ' m m. 3.3 eşiizliği elde edili. 3.3 eşiizliğinin e ii aafı fonion ile bölündüğünde ' m m. elde edilen eşiizliğin dan e ineali alındığında c m d m d = c n m d. 3.4 elde edili. ii için 3. eşiliği = c m d. 3.5 alini alacaı. 3.5 eşiliğinin üei alındığında ' m m. 3.6 elde edili. 3.6 eşiizliği ile bölündüğünde ' m m. 3.7
43 elde edili. 3.7 eşiizliğinin den a ineali alındığında. = d m n c d m d m c 3.8 eşiizliği bln. Sonç olaa 3.4 e 3.8 eşiizlilei llanılaa. d m n c 3.9 azılabili. ölece 3.9 e 3. eşiizlileinin adımıla 3. eşiizliği ialanmış ol. b [ ]. = d n 3. olaca şeilde bi fonion anımlaalım. ada fonionnn neaif olmaan çif fonion oldğ öülmeedi. 3.3 eşiizliğinde eine azıldığında { }. b a b a 3. elde edili. 3. eşiizliğine Yon eşiizliği landığında. b a 3. olaa bln. i için 3. eşiliği için
44 [ ]. = d 3.3 azılabili. 3.3 eşiliğinin üei alındığında. = ' 3.4 olaa bln. 3.4 eşiizliğinde 3. e 3. eşiizlilei eine azıldığında e eeli düzenlemele aıldığında b b '. a a eşiizliği elde edili. = = a b 3.5 olma üzee [ ]. ' 3.6 fomnda azılabili. 3.6 eşiizliği ineal çaanı ile çaılıa [ ] [ ] ex d ' [ ] ex d 3.7
45 elde edili. He için eşiizli dan e ineali alınaa = azıldığında [ ] d d ex d d d ex = ex d n d d = ex ex d d d d ex ex d n ex = d d n d d n ex ex. e ex d n x n d n elde edili. 3. e 3. eşiizlilei llanılaa
46 d n b a ex. ex d d n n 3.8 azılabili. ii için 3. eşiliği { }. = d 3.9 olaa azılabili. 3.9 denleminin üei alındığında. = ' 3.3 elde edili. 3. e 3. eşiizlilei ile ü ınıla azılaa 3.5 denlemleinde anımlanan e fonionlaı eine azıldığında 3.3 eşiizliği [ ]. ' 3.3 alini alı. 3.3 eşiizliği ineal çaanı ile çaıldığında [ ] [ ] ex d ' [ ] ex d
47 elde edili. He için den a ineal alını = azıldığında [ ] d d ex d d d n ex = ex d d d n ex = ex d n d d = ex ex d d d d ex ex d d n d n ] ex ex =. ex ex d d n n d n 3.3 olaa bln. 3. 3. e 3.8 eşiizlileini aiben 3.4 eşiizliği öeilmiş ol. ölece ia amamlanmış ol. c He R için c oziif üeli e azalmaan bi fonion olma üzee 3.5 eşiizliğinin e ii aafı c fonionna bölündüğünde
48. d c c c n b c 3.33 elde edili. 3.33 eşiizliği eoemin b bölümünde eilen 3.3 eşiizliğinin bi lamaına dönüşü. 3.4 eşiizliğinde azıldığında 3.6 eşiizliği elde edilmiş ol. d [ ]. = d n 3.34 fonion anımlıalım. fonionnn neaif olmaan e öe azalmaan bi fonion oldğ öülmeedi. = oldğ açıı. 3.7 eşiizliği { }. b a b a 3.35 olaa azılabili. i için 3.34 eşiliği [ ]. = d 3.36 alini alı. 3.36eşiliğinin üei alındığında [ ] [ ] = ' [ ]. d 3.37
49 elde edili. 3.35 eşiliğine Yon eşiizliği lanaa 3.37 eşiizliğinde eine azıldığında b ' d b b a a a a. d a a 3.38 elde edili. 3.5 de anımlana e fonionlaı llanılaa d '. d 3.39 azılabili. 3.39 eşiizliğinin ineali alını düzenlendiğinde d
5. ex d d d 3.4 azılabili. = oşl öz önünde blndlaa d d d d ex azılabili. Geeli düzenlemele aıldığında d d ex d dd d ex d dd d ex ddd d d ex d n n d n = ex d dd d ex
5 d dd d ex d dd d ex d n n d n = ex d dd n n d n ex d d n ex d d n ex d n n d n = ex d dd n n d n ex. ex d d n n 3.4 elde edili. ii için 3.34 eşiliği
5 [ ]. = d 3.4 alini alı. 3.4 eşiliğinin üei alındığında [ ] [ ] = ' [ ]. d 3.43 elde edili. 3.35 eşiizlilei 3.43 eşiliğinde eine azılı Yon eşiizliği landığında b ' d b b a a a a. d a a 3.44 azılabili.
53 d '. d 3.45 eeli düzenlemele aıldığında d. ex d d d elde edili. = oşl alında eşiizli d d d d ex d d = ex d dd d ex d dd d ex
54 ddd d d ex d n n d n = ex d dd d n ex d dd d ex d dd d ex d n n d n = ex d dd n n d n ex d d n ex d d n ex d n n d n = ex
55 ex n d n n dd d n ex n d d. 3.46 alini alı. 3.5 3.4 e 3.46 eşiizlileini aiben 3.8 eşiizliği öeilmiş ol. 3. eoeminin iaı amamlanmış ol. Teoem..3 e ii bağımız değişen içeen Wendoff ii ineal eşiizliği incelenmişi. bölümde ii bağımlı limi aamının daa ii anlaşılabilmei için eni bi enelleme eilecei. Hieboli ımi difeaniel denlemimin çözümünün ınılılığını öeme için dö bağımlı limi içeen Wendoff ii ineal eşiizliğinin llanılabililiği incelenecei. öne için z.[5] Teoem 3.. R = de anımlı x q x fonionlaı eçel değeli neaif olmaan azalmaan e üeli fonionla olnla. x x c n xn q dd 3.47 x eşiizliği a ie x fonion için x x c n xn q dd 3.48 x fomnda bi ü ını azılabili. Đa. x n n z x = c x q dd 3.49 x
56 fonion anımlanın. 3.47 eşiizliğinde x z x 3.5 oldğ öülmeedi. 3.49 eşiliğine öe z x = z x 3.5 azılabileceği açıı. i < x< e < < oşl alında 3.49 eşiliği x z x = c q dd 3.5 x alini alacaı. z x fonion üei oziif e aan bi foniond 3.5 eşiliğinin üei alındığında D z x = q x x d q x x d azılabili. 3.5 e 3.5 llanıldığında D z x z x q x d q x d azılabili. Eşiliğin e ii aafı z x ile bölünü dan x e ineali alındığında x z x c q dd q dd x 3.53
57 eşiizliği elde edili. 3.53 eşiizliğinin ağ aafında blnan iinci inealde = dönüşümü landığında x z x c q dd q dd x. eşiizliği elde edilmiş ol. eşiizli düzenlendiğinde x x c q dd. 3.54 x olaa azılabili. ii. < x< e < < oşl alında 3.49 eşiliği x z x = c q dd x alini alı. Eşiliğin üei alındığında D z x = q x x d q x x d elde edili. Đneal özellilei landığında D z x = q x x d q x x d azılabili. 3.5 e 3.5 llanıldığında D z x z x q x d q x d
58 azılabili. Eşiizliğin e ii aafı z x ile bölünü dan x e ineali alındığında x x 3.55 z x c q dd q dd eşiizliği elde edili. 3.55 eşiizliğinin ağ aafında blnan iinci ineale = dönüşümü landığında x x c q dd. 3.56 x eşiizliği elde edilmiş ol. iii < x< e < < oşl alında 3.49 eşiliği x z x = c q dd x alini alı. Eşiliğin üei alındığında D z x = q x x d q x x d elde edili. 3.5 e 3.5 llanıldığında D z x z x q x d q x d azılabili. Eşiizliğin e ii aafı z x ile bölünü x den a ineali alındığında e = dönüşümü aıldığında
59 x 3.57 z x c q dd q dd x elde edili. x x c q dd. 3.58 x 3.54 3.56 e 3.58 eşiizlileini aiben aşılaşılabilece üm dmla incelenmiş ol. ölece 3.48 eşiizliğinin doğlğ öeilmiş ol. 3..Ulama bölümde Teoem 3. in b bölümünde e alan 3.3 eşiizliğinin bi lamaına e eilecei. şağıdai e değişenli ımi difeaniel denlemin başlanıç değe ını değe obleminin çözümüne bi ü ını blabilme için Teoem3. llanılacaı. > oşln ağlaan eel bi abi aıdı. δ = b. >. F x; x R x l olma üzee a x a > x l ϕ x ψ x düzün fonionladı.
6 = = = = < < ; ; = l x x x x x R l l l x R x x F x x F x x x a x x x x x ψ ϕ δ 3.59 3.59 obleminin x ibi bi düzün çözümü adı. e eel değeli neaif olmaan üeli fonionla olma üzee e R için ; dx x dx x dx x x F l l l azılabilin. da ] [ = l L H Hilbe zaında elf-adjoin oziif anımlı oeaoü ile local olmaan 3.59 ını-değe obleminin ϕ =ψ = = R F F 3.6 başlanıç değe oblemine dönüşüülmeine olana ağla öne için z.[7]-[8]. He R için 3.59 obleminin çözümlei d n c dx x l ex δ δ
6 d d n c n ] ex[ δ ifadeini ağla. ada. = dx x x dx x c l l ψ ϕ δ ϕ olaa anımlıdı.
6 4.ÖLÜM ĐKĐ ĞIMLI LĐMĐTE SHĐP ĐNTEGRL EŞĐTSĐZLĐKLERĐNĐN DĐSCRET ENZERLERĐNĐN GENELLEŞTĐRMESĐ. bölümde 3.ölümde eilen bazı eoemlein die benzelei ile de eşiizliği ağlaan fonionlaa bi ü ını azılabileceği öeilecei. şağıdai eoemlei inceleelim. Teoem 4.. o a b oşln ağlaan i i i i i i fonionla e i= N N eel aı dizii oln a i i j j 4. j= i c eşiizliği a ie i c 4. i j j j= azılabili. i i ai bi j j j j o j= i 4.3 a eşiizliği a ie i i i a b = j= azılabili. 4.4
63 Đa. a i i = j j 4.5 j= i c fonion anımlanın. i = e i = c 4.6 e 4. eşiizliğinden i i i 4.7 i oldğ öülmeedi. i i> ie 4.5 ifadei i i j j j= i = c 4.8 alini alı. 4.8 eşiliğine ilei fa landığında = i i 4.9 i i j j j j j= j= i elde edili. 4.9 eşiliği düzenlendiğinde [ ] = 4. i i i i i i azılabili. 4. eşiliğinde 4.7 eşiizlilei eine azıldığında 4. i i i i i
64 elde edili. 4. eşiizliğinin e ii aafı i ile bölündüğünde i i 4. i i elde edili. 4. eşiizliğine ieaon landığında i c 4.3 i j j j= azılabili. 4.7 eşiizlilei onc i c 4.4 i j j j= azılabili. ii i< için 4.5 ifadei i i j j j= i = c 4.5 alini alı. i=-m ea m=-i> alındığında e = 4.6 i i i i oldğ için m m j j j= m c 4.7 azılabili. 4.7 eşiizliğinde m = m e m = am azılaa
65 m m j j j= m c a a 4.8 elde edili. Teoemin i bölümüde eilen ia eeği m c a a 4.9 m j j j= azılabili. m c 4. m j j j= ea -m=i azıldığında i c 4. i j j j= eşiizliği elde edili. i e ii den a eşiizliğinin iaı amamlanmış ol. i i = j j j j o j= i 4. a anımlaalım. 4.3 eşiizliği a b i i i i ea ai bi i i 4.3
66 olaa azılabili. i i> için 4. eşiliği i i = j j j j o j= i 4.4 olaa azılabili. 4.4 eşiliğine ilei fa landığında i i 4.5 = i i j j j j j j j j j= i j= i elde edili. 4.5 eşiliği düzenlendiğinde = 4.6 i i i i i i i i i i azılabili. 4.3 eşiizlilei 4.6 eşiliğinde eine azıldığında e düzenlendiğinde a b a b i i i i i i i i i i i i i i i i = ibi i i ai i i i i i i i i i i bi i i ai i i i i i i j j i a bj j j = j= elde edili.
67 ii i< için 4. eşiliği 4.3 eşiizliğinde azıldığında i i ai bi j j j j o 4.7 j= i azılabili. 4.7 eşiizliğinde i= ea = i> azıldığında a b j j j j o 4.8 j= azılabili. 4.8 eşiizliğinde = a = b = = G = R azıldığında G j j Rj j G Ro 4.9 j= elde edilen 4.9 eşiizliği i bölümünde ediğimiz eşiizliğe lanabili dma elmiş ol. 4.3 eşiizlilei lanı eeli düzenlemele aıldığında R R R j R j G G R R j G j G j = j= elde edili. j j a bj j j = j= -=i azıldığında
68 i i j j i a bj j j = j= elde edili.i e ii den eoemin a bölümünün iaı amamlanmış ol.
69 5.ÖLÜM SONUÇ çalışmada difeaniel denlemlein çözümleinin alı eli ınılılı e aalılı ibi ço önemli özellileinin incelenmeinde llanılan Gonwall ii ineal eşiizlilei e bnlaın die benzelei ele alınmışı. Lieaüdei çalışmaladan falı olaa mec önemlein doğdan lanamadığı ii bağımlı limi içeen Gonwall ii ineal eşiizlilei üzeine eni eoemle eilmiş aıca bnlaın die benzelei üzeine çalışmala aılmışı. Elde edilen b eni eşiizlilein llanıldığı lamalaa da e eilmişi.
7 KYNKÇ []. Kına Mıılı E. On ineqaliie in e eo of diffeenial eqaion and ei dicee analoepmj999 []..G. Pacae On Some New Ineqaliie Relaed o a ceain ineqali iin in e eo of diffeenial eqaion. Jonal of Ma.nali and licaion 5736-75 [3].G.Pacae On ome fndamenal ineodiffeenial ineqaliie and ei dicee analoe Poc.Indian cad.sci. 87978-7 [4]..G.Pacae noe on Gonwall e ineal and ineodiffeenial ineqaliie Taman Jo. Ma. 8 977;53-59 [5]..G. Pacae On dicee ineqaliie elaed o Gonwall ineqali Poc. Indian cad.sci. 85 9776-489 [6]..G. Pacae Ineqaliie fo Diffeenial and Ineal Eqaion cademic PeNew Yo 998. [7].. G. Pacae On e dicee enealizaion of Gonwall ineqali J. Indian Ma.Ž.Soc. 37 973 47_56. [8].. G. Pacae Some new finie diffeence ineqaliie Com. Ma. l. 8 994 7_4.
7 [9].. G. Pacae On ome dicee ineqaliie efl in e eo of ceain aial finiež.diffeence eqaion nn. Diffeenial Eqaion 996 _. [].. G. Pacae Dicee ineqaliie in ee indeenden aiable Demonaio Ma.Ž.3 998 849_854. [].. G. Pacae Ineal ineqaliie of Wiine and Oial e in ee indeenden aiable Fac. Ma. 3 999 3_9. []..G. Pacae Exlici ond on Ceain Ineal Ineqaliie Jonal of Ma.nali and licaion 6748-6 [3]..G. Pacae Ineqaliie imila o a ceain ineqali ed in e eo of diffeenial eqaion.cinee J.Ma.499655-58 [4]. M.ale Genealizaion of Gonwall ineal ineqali and ei dicee analoie. Reo MS-EO5 Seembe 5 [5]. ale M. Ineal ineqaliie wi fo aiable limiin: Modelin of ocee of deelomen of a deoi and alied a eoeical a dnamic Ylm aba Tmenian 998.7-84 [6].M. alie noe on e abili of e ineal-diffeenial eqaion of e ebolic e in a Hilbe ace Nmeical Fncional nali and Oimizaion 97-8: 75-769 8 [7]. S. Piae and Y. Saw On ceain oeao familie elaed o coine oeao fnciontaiwanee Jonal of Maemaic 4 3585-359 997.
7 [8]. H.O. Faoini Second Ode Linea Diffeenial Eqaion in anac Sace Noa de Maemaica No-Holland 985. [9]. Codmeam noe on e Gonwall ineqali in wo indeenden aiable J. In. Eq. 43 7-76 98. []. S. io and N. Kbanmamedo Ineiaion of olion one e of Volea' ineal eqaion Iz. V. Ucebn. Za. Maemaia 9 3-8 987. []. Mamedo Y. and io S. Volee e ineal eqaion UMJ 4No49885-55 []. P.K.Won ond fo olion o a cla of nonlinea econd ode diffeenial eqaionj. Diffeenial Eqaion7 9739-46 [3]. R.P. awal Diffeence Eqaion and ineqaliie Teo Meod and licaion Macel DeeInc.99 [4]. D. S. Miinoic nalic Ineqaliie Sine-Vela elin _ New Yo 97. [5]. D. S. Miionic J. E. Pecaic and. M. Fin Ineqaliie Inolin Fncion and Tei Ineal and Deiaie Klwe cademic Dodec 994. [6]. N. S. ane and S. S. Daomi n Oowi e ineqali fo doble ineal and Ž.alicaion fo cbae fomlae RGMI Re. Re. Collec. 998 3_.
73 [7]. S. S. Daomi N. S. ane and P. Ceone n n-dimenional eion of Oowi Ž.ineqali fo main of e Holde e RGMI Re. Re. Collec. 999 69_8. [8]. S.Eladi n Inodcion o Diffeence Eqaion Sine- Vela New Yo Inc.996
74 ÖZGEÇMĐŞ 98 ılında Đzmi de doğd. Đlol Reşa Ni Günein Đlöğeim Ol e liei Đzmi Kız Liei nde amamladı. 997 ılında Ee Ünieiei Maemai ölümünde lian eğiimine başladı. ılında lian eğiimini amamlaı anı ıl Ee Ünieiei Fen ilimlei Eniüü Maemai ölümünde üe lian eğiimine başladı. 5 ılında Ee Ünieiei Fen ilimlei Eniüü Maemai ölümünde Dooa eğiimine başladı. -3 ıllaı aaında Ünieiee Hazılı eğiimi een özel bi deanede 3 ılından b ana Milli Eğiim aanlığına bağlı bi nadol Lieinde Maemai Öğemeni olaa öe amaadı.