Uluslararası Katılımlı 7. Makia Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Hazira 05 İki Serbestlik Dereceli Mekaizmalarla İşlev Setezide Tasarım oktalarıı Eşit ve Çebişev Aralıkladırması ile Seçimii Karşılaştırılması T. Bilgica * G. Kiper İzmir Istitute of Techology İzmir Istitute of Techology İzmir İzmir Özet Bu çalışmada iki serbestlik dereceli düzlemsel beş-kol mekaizması içi işlev setez problemi e küçük kareler yötemi ile ele alımıştır. Çok sº mekaizmaı setez problemi, aalitik olarak ifade edilmiş ve mekaizmaı görev foksiyou belirlemiştir. Tek serbestlik dereceli mekaizmaları işlev setezi problemide yaklaşım işlevi poliom şeklide olmadığı halde Çebişev aralıkladırmasıı diğer aralıkladırma seçeeklerie ispete daha iyi souç verdiği bilimekte ve işlev setezide tasarım oktalarıı seçimi bir girdi değişkeli problemler içi Çebişev aralıkladırması kullaılmaktadır. Bu sebeple bu çalışmada çok serbestlik dereceli mekaizmaları işlev setezide de Çebişev aralıkladırmasıı etkisi araştırılmıştır. İki serbestlik dereceli düzlemsel beş-kol mekaizması ile iki girdili bir foksiyou ayı taım kümesi içi eşit aralıkladırma ve Çebişev aralıkladırması ile seçile ayı sayıdaki tasarım oktaları ile iki ayrı çözüm yapılmış ve hata değerleri üzerie etkileri araştırılmıştır. Aahtar kelimeler: işlev setezi, e küçük kareler yötemi, Çebişev aralıkladırması, düzlemsel beş-kol mekaizması Abstract I this study, fuctio sythesis problem with a two degrees-of-freedom plaar five-bar mechaism is ivestigated with least squares approximatio method. The sythesis problem is formulated aalytically ad obective fuctio is preseted. I fuctio geeratio sythesis with sigle degree-of-freedom mechaisms, eve if the approximatio fuctio is ot i the form of a polyomial, it is kow that the Chebshev spacig provides better results compared to other spacig alteratives. I this study the effect of Chebshev spacig i fuctio geeratio sythesis of multi degrees-offreedom mechaisms. The plaar five-bar mechaism is used to simulate a two-iput fuctio with use of equal ad Chebshev spacig ad the the effect of differet spacigs o the errors is ivestigated. Keywords: fuctio geeratio, least squares approximatio, Chebshev spacig, plaar five-bar mechaism * tbilgica@gmail.com gokhakiper@iyte.edu.tr I Giriş Düzlemsel dört-kol ve krak-biyel mekaizması gibi çok bilie tek serbestlik (sº) mekaizmalar kiematik setez uygulamalarıda çokça kullaılmaktadır. Kiematik setez uygulamalarıda kullaıla iki sº mekaizmalar içi ise basit bir örek olarak düzlemsel beş-kol mekaizması gösterilebilir. Kiematik setez problemleri, isteile bir hareketi gerçekleştirecek mekaizmaı uzuv boylarıı kabul edilebilir bir hata ile belirlemesi olarak ifade edilebilir. Mekaizmalarda kiematik setez, koum, yörüge ve işlev setezi olarak sııfladırılmaktadır. Mekaizmaı matematiksel modeli ile arzu edile koum/yörüge/işlev arasıda yaklaşık bir bağ kurmak üzere geliştirile setez yötemlerie yaklaşım yötemleri (İg. approximatio methods) demektedir. Yaklaşım yötemleride e çok bilieler poliom yaklaşımı, e küçük kareler yötemi ve Çebişev yaklaşımıdır []. Bu çalışmada -sº düzlemsel beş-kol mekaizmasıı (Şekil ) e küçük kareler yötemi ile işlev setez problemi ele alımıştır. Şekil.. Düzlemsel Beş-Kol Mekaizması [] E küçük kareler yötemide amaç seçile tasarım oktalarıda gerçekleştirilmek istee işlev değeri ile yaklaşım işlevii değeri arasıdaki hataları karelerii toplamıı e aza idirmeye çalışmak olarak ifade edilebilir. E küçük kareler yötemi çok sº mekaizmalarda çok girdili işlevleri elde etmek içi kullaılabilmektedir [3, ]. E küçük kareler yötemi kullaıldığıda tasarım oktalarıı seçimi, hataı
Uluslararası Katılımlı 7. Makia Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Hazira 05 mertebesii etkilemektedir. Geellikle çok sº mekaizmalarda tasarım oktaları eşit aralıklarda alımaktadır [, 3]. Tasarım oktalarıı belirlemeside kullaılabilecek diğer bir yötem de Çebişev aralıkladırmasıdır [, 5]. Freudestei [6] m dereceli poliomlar ile iki girdili bir işlevi yaklaşımıı yapılabilmesi içi m tasarım oktasıı optimum seçimi içi geel bir yötem öermiştir. Bu çalışmaya göre optimum seçim her bir girdi değişkei içi Çebişev aralıkladırmasıı uygulaması ile olmaktadır. Tek sº mekaizmalar ile işlev setezide yaklaşım işlevi poliom şeklide olmadığı halde Çebişev aralıkladırmasıı diğer aralıkladırma seçeeklerie ispete daha iyi souç verdiği bilimektedir [, 5]. Bu bilgide yola çıkarak bu çalışmada çok sº mekaizmaları işlev setezide de Çebişev aralıkladırmasıı etkisi araştırılmıştır. -sº düzlemsel beş-kol mekaizması ile iki girdili bir foksiyou ayı taım kümesi içi eşit aralıkladırma ve Çebişev aralıkladırması ile seçile ayı sayıdaki tasarım oktası ile iki ayrı çözüm yapılmış ve hata değerleri üzerie etkileri araştırılmıştır. Üzeride çalışıla öreklerde Çebişev aralıkladırması kullaıldığıda e büyük hata değerii eşit aralıkladırma ile bulua hata değerie göre daha küçük olduğu görülmüştür. II İki Girdili İşlev Setez Problemi Tek s li mekaizmaı taım kümesi geellikle x eksei boyuca taımlaır ve Çebişev aralıkladırması bu ekse boyuca yapılarak mekaizmaı setezi gerçekleştirilir ve % hata değerleri ayı grafiği y eksei boyuca ifade edilir. İki s li mekaizmalarda ise x ve y eksei taım kümesii oluşturmakta ve % hata değerleri z eksei boyuca ifade edilmektedir. Dikdörtge biçimideki taım kümeside belirleecek tasarım oktaları seçimi setez soucuda elde edilecek mekaizmaı hassasiyeti üzeride öem arz etmektedir. y =y mak Çebişev aralıkladırması uygulaırke x ve y aralıkladırması aşağıdaki eşitlikler kullaılarak yapılır [6]: xmi xmak xmak xmi u xu cos ; m ymi ymak ymak ymi v yv cos () u 0,,..., m ve v 0,,..., Burada x mi, x mak, y mi ve y mak x ve y değişkelerii miimum ve maksimum değerlerii, u ve v sırasıyla x, y ekseleride okta umarasıı, m + ve + de sırasıyla x, y ekselerideki okta sayılarıı ifade etmektedir. III 5R Mekaizması Setezi Bu kısımda kou bütülüğü açısıda [] çalışmasıdaki formülasyo burada tekrar verilmektedir. Şekil deki düzlemsel beş-kol mekaizmasıı girdi değişkeleri, ve çıktı değişkei dir. Sisteme eklee paralelkear devresi ile mekaizmaı her iki girdisii sabit eklemde verilebilmesi sağlamıştır. Mekaizmaı ölçekledirilmesi girdi-çıktı (G/Ç) ilişkisii etkilemediği içi sabit uzuv uzuluğuu olarak, mekaizmaı hareketli uzuvlarıı uzuluklarıı da a, b, c, d olarak seçilmiştir. Mekaizmaı G/Ç ilişkisi şu şekilde ifade edilebilir: CD AE ED AB BC a cosbcos a si bsi d ecos esi Eşitlik () poliom şeklide ifade edilebilir: 6 () Pf x F x 0 (3) y.. y y 0 =y mi x 0 =x mi x x m x m =x mak Şekil.. Dikdörtge Taım Kümesi [] Burada x girdi-çıktı değerlerii (, ve ) ifade etmektedir. 6 gösterilebilir: P, f x ve F(x) aşağıdaki gibi 6 a b d e a 3 P,P a,p b,p, e e ab P b P PP,P, e P e 5 5 3 6 x x x f xcos,f xcos, f,f cos,f cos, 3 5 f xcos ve Fxcos 6 ()
Uluslararası Katılımlı 7. Makia Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Hazira 05 Eşitlikte, dört tasarım parametresi (a, b, c, d) yer almakta acak altı P ifadesi bulumaktadır. Bu edele P5 ve P6 diğer P ler tarafıda ifade edilebilir. Buu içi iki Lagrage parametresi taımlaacaktır: = P 5 ve = P 6. Sistemi doğrusallaştırılabilmesi içi =,, 3, içi P = l + m + taımlaarak Eşitlik (3) şu şekilde gücelleir: x x f x Fx 0 m f f5 6 Eşitlik (5) tüm tasarım oktalarıda sağlamalı, bu yüzde, i katsayıları içi (5) f x F x 0 (6) mf x f5 x 0 (7) f x f6 x 0 (8) E küçük kareler yötemide tasarım oktalarıı sayısı, tasarım parametresi sayısıda fazladır ve hataları karelerii toplamı miimize edilmeye çalışılır. Her bir xi tasarım oktasıda, Eşitlik (6)-(8) deki hataları karelerii toplamı S fifxi (9) i Sm mfi f5i (0) i S fi f6i () i şeklide taımlaır. Hataları karelerii buluabilmesi içi Eşitlik (9)-()i sırasıyla l, m, ye göre =,, 3, içi türevleri alıır: ds d ds dm m ds d f f f f F f 0 i i i 3i 3 i i i () fim fim f3im3 fim f5ifi 0(3) i fi fi f3i3 fi f6ifi 0 () i Eşitlik () l, l, l 3, l e göre doğrusaldır. Bezer şekilde Eşitlik (3) ad () sırasıyla m, m, m 3, m ve,, 3, içi doğrusaldır. Eşitlik ()-() matris formuda yazılırsa: ff i i ff i i ff 3i i 3 i i i fifi Ff i i Ak b i i ff i i m ff i i m ff 3i i m3 i i i fifi m f5ifi Ak m c i i ff i i ff i i ff 3i i 3 i i i fifi f6ifi Ak d i i elde edilir. Burada A k fkifi i (5) (6) (7) (, k =,,3,) olmak üzere [A k ] katsayı matrisidir. =,,3, içi T 3, m T m m m3 m, T 3 ve b Ff i i, c f5ifi, d f5ifi i i i olmak üzere [b ], [c ] ve[d ] x matrislerdir. Eşitlik (5)-(7) kullaılarak [A k ] matrisii tersi alıarak çözülürse l, m, buluur, ve aşağıdaki gibi çözülür: PP l m l m mm 3 3 m 3 m 3 lm ml l l ll 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 P 5 P l m m l 0 Eşitlik (9) da çözülebilir: l m Eşitlik (0), Eşitlik (8) de yerie koduğuda (8) (9) (0) 3
Uluslararası Katılımlı 7. Makia Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Hazira 05 mm 3 l 3 m m 3 m 3 l m lm 3 ml 3 l m l l m l l m 0 3 3 3 () Eşitlik () ciside dördücü derece poliom deklemidir. Burada içi, veya 0 gerçel çözüm olabilir. Çözüm var ise içleride biri seçilir ve Eşitlik (0) kullaılarak belirleir. So olarak =,, 3, içi P = l + m + değerleri buluur ve tasarım parametreleri Eşitlik (3) kullaılarak buluur: a a P,bP,e,d a b e ep 3 P Şekil. 3. Eşit Aralıkladırmada Yüzde Hata Değişimi IV Sayısal Örek 5 x 9 ve y aralıkları içi z = f(x,y) = x. y. işlevi içi setez problemi MS Excel kullaılarak çözdürülmüş ve 30, 80 30, 0 70 olacak şekilde doğru oratı ile ölçekledirme yapılmıştır. Tasarım oktaları x ve y ekseleri içi 30 ar aralıkladırma yapılarak toplam 900 okta içi hesaplamış ve mekaizmaı hata oraları icelemiştir. Mekaizmaı yüzde mutlak hata oraları z % Mutlak Hata 00 istee z z mak hesaplaa kullaılarak hesaplamıştır. Eşit ve Çebişev aralıkladırmalarıı mekaizmaı hassasiyeti üzerie etkileri icelemiş ve mekaizmaı mutlak hata değerleri ile hesaplaa uzuv boyut oraları Tablo de verilmiştir. E Büyük % Mutlak Hata Uzuv Boyutları Eşit Aralıkladırma Çebişev Aralıkladırması %.96 %.78 a =.38, b =.636, c =.67, d =.577 a =.00, b =.75, c =.383, d =.66 TABLO. 900 okta İçi E Küçük Mutlak Hata ve Uzuv Uzulukları Taım kümesi üzeride % mutlak hata değişimi de eşit aralıkladırma içi Şekil 3 te, Çebişev aralıkladırması içi ise Şekil te verilmiştir. Şekil.. Çebişev Aralıkladırmasıda Yüzde Hata Değişimi Ayı mekaizma içi bezeri bir hesaplama 00 okta içi (x ve y içi 0ar okta) yapılmış ve e büyük mutlak hata değerleri ve hesaplaa uzuv boyut oraları içi Tablo de verilmiştir. Bezer şekilde Çebişev aralıkladırması, ispete daha iyi souç vermiştir. Bir diğer ilgiç souç da 900 yerie 00 okta seçildiğide daha küçük hata değerlerii elde ediliyor olmasıdır. E Büyük % Mutlak Hata Uzuv Boyutları Eşit Aralıkladırma Çebişev Aralıkladırması %.85 %.65 a =.99, b =.76, c =.370, d =.68 a =.005, b =.780, c =.38, d =.63 TABLO. 00 okta İçi E Küçük Mutlak Hata ve Uzuv Uzulukları
Uluslararası Katılımlı 7. Makia Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Hazira 05 V Souçlar Bu çalışmada düzlemsel beş kol mekaizması içi işlev setez problemi e küçük kareler yötemi ile icelemiştir. Mekaizmaı görev foksiyou aalitik olarak hesap detayları verilmiş ve de eşit ve Çebişev aralıkladırması ile işlev setezi problemi icelemiştir. Üzeride çalışıla öreklere göre tek s mekaizmalarda olduğu gibi iki s beş kol mekaizmasıda da Çebişev aralıkladırmasıı ispete az hata ile souç verdiği görülmüştür. Ayrıca tasarım içi seçile okta sayısıı azaltılması ile hataı bekleilei aksie yükselmediği gözlemlemiştir. Buu edei hesaplama hataları ya da seçile oktaları yeri olabilir. Kayakça [] Levitskii,. I. Sythesis of Mechaisms by Chebyshev, SSCB Bilim Akademisi, 96. [] Kiper G., Bağdadioğlu B. ve Bilgica T. Fuctio sythesis of the plaar 5R mechaism usig least squares approximatio, J. Learcic, O. Khatib (Ed.), Advaces i Robot Kiematics, 69-76, 0. [3] Kiper G. ve Bağdadioğlu B. Fuctio geeratio sythesis with a -dof overcostraied double-spherical 7R mechaism usig the method of decompositio ad least squares approximatio, P. Flores, F. Viadero (Ed.), ew Treds i Mechaism ad Machie Sciece: From Fudametals to Idustrial Applicatios, Spriger, 67-7, 05. [] Alizade R., Ca F. C. ve Kilit Ö. Least square approximate motio geeratio sythesis of spherical likages by usig Chebyshev ad equal spacig. Mechaism ad Machie Theory, 6: 3 35, Mart 0 [5] Alizade R. ve Gezgi E. Sythesis of fuctio geeratig spherical four bar mechaism for the six idepedet parameter, Mechaism ad Machie Theory, 6(9):36-36, Kasım 0. [6] Freudestei F. Bi-variate, rectagular, optimum-iterval iterpolatio. Math. Comp., 5: 88-9, 96. 5