MATRIS
Matrisler Matris Tanımı m satır ve n sütundan oluşan tablosuna matris adı verilir. Matristeki her bir sayıya eleman denir. Yukarıdaki matriste m n tane eleman vardır. Matrisin yatay bir doğru boyunca sıralanan elemanlarına SATIR(sıra) elemanları, dikey bir doğru boyunca sıralanan elemanlarına SÜTUN elemanları denir. Yukarıdaki matris m sıra ve n sütundan oluşmaktadır.
MATRIS matris sayıların tablosu Satır Sütun a11 a12 a1n A = aij = amn = a SATIR x SÜTUN a a a 22 2n A 21 a am 2 amn matris (mxn) boyutunda m1
MATRIS Satır x Sütun (m x n) d11 D d 21 d 31 1 4 7 A 2 5 8 3 6 9 Kare (3 x 3) d12 d 22 d 32 d13 d 23 d 33 d i j : ith satır, jth sütun x11 x12 x13 x 21x11 x 22x12 x 23x13 x 21x11 x 22x12 x 23 x13 11 xx33 12 x13 x 21 x31 xx32 x 22 x 23 x 11 x 12 x 21 x13 x31 x32 x 22 x33 x 23 x 21 x31 x32 x 22 x33 x 23 x31 x32 x33 x31 x32 x33 3 Boyutlu (3 x 3 x 5) 1 4 A 2 5 3 6 Dikdörtgen (3 x 2)
x11 x12 x13 x 21 x 22 x 23 x31 x32 x33
matriste satır ve sütun sayıları m=n=3 olduğundan bu bir kare matrisidir. a11 = 1, a22 = 4, a33 = -3 elemanlarına matrisin asal köşegeni denir.
1 2 3 A 5 4 1 6 7 4 1 4 C 2 7 3 8 Kare (3 x 3) Dikdörtgen (3 x 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 d11 d12 D d 21 d 22 d 31 d 32 d13 d 23 d 33 d i j : ith satır, jth sütun a11 + a31 + a31 - a22 =?
5 3 2 A 1 0 7 1 5 5 C 2 0 2 1 3 1 6 1 B 0 1 0 1 1 0 D 0 0 5 3 2 A 1 0 7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 6 1 B 0 1 0 1
MATRİSLER SATIR MATRİSİ a1 a2 a3 a4 Bir satırdan oluşan matrise satır matris denir. Sütun matris: Bir sütundan oluşan bir matrise sütun matris denir. a1 a 2 a 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SIFIR MATRİSİ kare matris 3 4 1 5 SÜTUN MATRİSİ Satır sayısı sütun sayısına eşit matrise KARE matris denir. 2. sıradan bir kare matristir. 03x 4 Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir
A=[aij]nxn köşegen matrisinde a11=a22=...=ann=k ise,(kєr) bu matrise, skalar 5 0 0 5 matris denir. Matrisi, 2.sıradan bir skalar matrisidir. A=[aİJ]nxn kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip matrise, köşegen matris denir. 3 0 0 0 4 0 0 0 0 matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir.
Üst Üçgen Matris: Bir kare matrisin asal köşegeninin altında kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise üst üçgen matris denir. Alt Üçgen Matris: Bir kare matrisin asal köşegeninin üstünde kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise alt üçgen matris denir.
[aij]nxn kare matrisinde a11, a22, a33,..., ann elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1, a(n-1)2,..., a1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen Yedek köşegen a11 a12 a13 a a a 21 22 23 a31 a32 a33 Asal köşegen kare matrisinde a11 = 1, a22 = 5 ve a33 = 9 elemanları asal köşegen elemanlarıdır. denir.
BİRİM Matris 1 0 I2 0 1 BİRİM MATRİSİ 1 0 0 0 0 1 0 0 I4 0 0 1 0 0 0 0 1 nxn matris A, için nxm matris A, için 1 0 0 I 3 0 1 0 0 0 1 I3x 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A In = In A = A In A = A, ve A Im = A Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. In şeklinde gösterilir.
Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal T 1. A = A ise, A matrisine simetrik matris denir. T 2. A = -A ise A matrisine antisimetrik matris denir. T 3. A = A 1 ise A matrisine ortogonal matris denir. A ve B gibi iki matrisin boyutları, yani satır ve sütun sayıları ve elemanları benzer ise; iki matris eşittir (A = B) denir.
MATRİSLER
Asal köşegen üzerindeki elemanları eşit olan matrislere, eşit matrisler denir. 5a 3a 2b A b a 2b 5 A=B 5a=22 5b=2 x y 52b=22 = ve 4 B y x 2 olmak üzere, A=B ise, x kaçtır? y 5 3a 2b A b a 2 b 5 a 4 B = y 5a=52b den, a=2b olur. 3a 2b = 3(2b) 2b 8b 2 = a 2b 2b 2b 4b x 2 5a=4, 5b=2, 3a+2b=x, a +2b=y
1 2 4 A 3 0 7 9 1 5 a B d g A B a 1, b 2, c 4, d 3, e 0, f 7, g 9, h 1, i 5. b e h c f i
İki Matrisin Toplamı: A ve B boyutları aynı olan iki matris olsun. A+B toplamı, matrislerin karşılıklı elemanlarının toplamı olarak oluşan bir matristir ve C = A + B şeklinde ifade edilir. C =A + B =?
1 2 3 7 2 1 1 2 2 2 3 1 8 4 4 4 5 6 1 3 4 4 1 5 3 6 4 5 8 10 A+B=? 5 3 2 A 1 0 7 A+D=? A+C=? B+C=? 1 1 1 D 1 1 1 6 1 B 0 1 0 1 3 2 C 4 2 1 0
2 4 1 0 2 1 4 0 1 4 5 1 3 7 5 3 1 7 2 6 A B B A ( A B) C A (B C ) a 2 1 3b 1 2 11 3 1 3 b 4 1 2a 4 4 1 8 olması için (a,b) ikilisi ne olmalıdır?
A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) 2 4 1 0 2 1 4 0 3 4 A B 5 6 2 5 3 1 2 3 5 1
İ K İ MAT R İ Sİ N B İ R B İ R İND EN ÇI K AR I LMASINDA DA MAT R İ SL E Rİ N K AR ŞI L IKLI E L E MANLAR I ÇI K AR I LI R. ise C = A B
1 2 4 1 3 10 A 3 0 7 B 3 1 0 9 1 5 1 0 6 2 1 6 C A B 0 1 7 8 1 1 Not : A - A 0 ve 0 - A -A
0 1 4 A 3 5 9 7 2 8 4 0 1 A 3 5 9 ise 7 2 8 A + (-A) = 0 Sıfır Matrisi A p AA A + (-B) = A - B A p factors A 0 In AT= A ise matris simetriktir.
TRANSPOSE - DEVRİK 1 b 1 2 column b 1 1 2 T row 1 2 3 A 5 4 1 6 7 4 row d 3 4 9 column 1 5 6 AT 2 4 7 3 1 4 3 T d 4 9
A (aij ) AT (a ji ) a11 a12 a1n a a a 22 2n A 21 a a a m2 mn m1 3 1 0 A : 1 2 4 AT? a11 a21 am1 a a a 22 m2 AT 12 a a a 2n mn 1n (A ) A T T ( A B) A B T T T (ra) ra r : sabit sayı T T ( AB) B A T T T
1 2 4 1 3 9 T A 3 0 7 A 2 0 1 9 1 5 4 7 5
5 3 2 A 1 0 7 3 xa =? 15 9 6 3 A 3 0 21 1 2 5 3 6 15 3 0 6 7 0 18 21
a = 3, b=2 A + B = B +A (A + B) + C = A + (B + C) a(a + B) = aa + ab (a + b) A = aa + ba a(ba) = (ab)a
ÇARPMA A mxn matrix & B kxl matrix, A.B için n=k. Olmalıdır. Sonç matrisimiz ise mxl boyutlu bir matrix olur m n l A1 A2 A3 B13 B14 A4 A5 A6 A7 A8 A9 x B15 B16 k B17 B18 A10 A11 A12 A matrisi Sütun sayısı = B matrisi Satır sayısı = m x l matrix
A = (aij)mxn ve B = (bij)nxq. ise A a1 a2 an b1 b2 ve B b n ise AB = (cij)mxp A.B? AB a1b1 a2b2 anbn A mxr B rxn İç dış = AB mxn
1 2 3 4 5 6 10 12 20 22 30 32 1*10+2*20+3*30 1*12+2*22+3*32 4*10+5*20+6*30 4*12+4*22+6*32
1 3 3 1 1 0 A 3x3 1 2 4 3 0 7 9 1 5 C3x2 3 5 1 AB 10 9 notice 2 7 28 4 B3x2 T 1 3 3 1
1 0 2 X 2 3 3 A 1 1 = B = = c11 c12 Define output c21 c22 matrix (1 2) (0 3) (1 1) (0 1) (2 2) (3 3) (2 1) (3 1) 2 1 13 5
AB BA A ( B C ) = (A B ) C A ( B + C ) = AB + AC (A + B) C = AC + BC x1 x x2 x3 x1 T T xy x y x1 xx22 yx13 x 3 y1 y y2 y3 x1 y1 x1 y 2 x1 y 3 y1 3 y2y2 y 3 x 1 y 1x 2 yx12 y2x 2 yx23 y3 x 2 y 3 xi yi i 1 y3 x 3 y1 x 3 y 2 x 3 y 3
(IDENTITY) BİRİM MATRİS A I3 = A 3x3 matris: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = I m A A AI n 1+0+0 0+2+0 0+0+3 4+0+0 0+5+0 0+0+6 7+0+0 0+8+0 0+0+9
3 A 4 1 2 0 5 ve B ise A.B çarpımını bulunuz. 2 2 1 4 A (BC) = (AB)C A (B + C) = AB + AC (A + B) C = AC + BC a (AB) = (aa)b = A(aB) 2 3 1-3 4 0 A=, B=, C= 1 4 2 5-1 2