idecad Sonl Elemanlar Teknik Kıla Version 8.xxx Reion tarihi: Hairan 5
idecad Sonl Elemanlar Kıla I- Ö KOŞUAR I- Sonl eleman matrisleri 7 Sonl elemanlar metodnda genel tanımlar 7 Virtüel iş teoremi 8 Doğrsal rijitlik matrisi 9 Doğrsal olmaan tanjant rijitlik matrisi e geometrik rijitlik matrisi 9 Dinamik anali I- Biçim fonksionları 3 -noktalı kenar (doğrsal) 3 3-noktalı kenar (ikinci dereceden) 3 3-noktalı üçgen (doğrsal) 4 4-noktalı dörtgen (çift doğrsal) 4 6-noktalı üçgen (ikinci dereceden) 5 9-noktalı dörtgen (dördüncü dereceden) 5 4-noktalı dörtülü (doğrsal) 6 5-noktalı piramit (doğrsal) 6 6-noktalı kama (doğrsal) 7 8-noktalı altıülü (doğrsal) 7 -noktalı dörtülü (ikinci dereceden) 8 4-noktalı piramit (ikinci dereceden) 8 8-noktalı kama (ikinci dereceden) 9 7-noktalı altıülü (ikinci dereceden) 9 5 II- D EEMAAR II- Kiriş elemanlar 3 Doğrsal kiriş elemanlar 3 Doğrsal olmaan kiriş elemanlar 3 II- Çbk elemanlar 33 Doğrsal çbk elemanlar 33 Doğrsal olmaan çbk elemanlar 36 II-3 D aılı a elemanlar 39 Yaılı doğrsal a elemanlar 39 II-4 Çigisel kütle elemanlar II-5 Kiriş kütle elemanlar 43 4 III- D EEMAAR III- Membran elemanlar 47 Doğrsal membran elemanlar 47 Doğrsal olmaan membran elemanlar 49 III- Plak elemanlar 5 Doğrsal plak elemanlar 5 Doğrsal olmaan plak elemanlar 54 III-3 Kabk elemanlar 57 Doğrsal kabk elemanlar 57 Doğrsal olmaan kabk elemanlar 6 III-4 Dülemsel şekil değiştirme elemanları 65 Doğrsal dülemsel deformason elemanları 65 Doğrsal olmaan dülemsel deformason elemanları 67 III-5 3D eksenel simetrik elemanlar 69 Doğrsal eksenel simetrik elemanlar 69 Doğrsal olmaan eksenel simetrik elemanlar 7 III-6 Brlmaa çalışan eksenel simetrik elemanlar 73 Brlmaa çalışan doğrsal eksenel simetrik elemanlar 73 45
idecad Sonl Elemanlar Kıla III-7 Yaılı D a elemanlar 75 Doğrsal aılı a elemanlar 75 III-8 Yüesel kütle elemanlar 77 III-9 Kabk kütle elemanlar 79 IV- DİĞER EEMAAR 8 IV- Yalar 83 IV- Brlma aı 84 IV-3 Bağlantılar 85 IV-4 Doğrsal olmaan bağlantılar 86 IV-5 Brlma bağlantısı 88 IV-6 oktasal blokaj alar 89 IV-7 Bağ-çbkları 9 IV-8 Temaslar (dülemsel/silindirik/küresel) 9 IV-9 Rijit cisimler (doğrsal e doğrsal olmaan) 9 IV- Rijit diaframlar (doğrsal e doğrsal olmaan) 93 IV- Kablolar (rijit e rijit olmaan) 94 IV- Mafsal (aaşça geşeen) 95 IV-3 Zaıf etkileşimli kaçıklık 96 IV-4 oktasal kütle 97 IV-5 Visko sönümleici 98 IV-6 Kllanıcı tanımlı rijitlik 99 IV-7 Kllanıcı tanımlı kütle IV-8 Kllanıcı tanımlı sönüm IV-9 Raleigh sönümü 3
idecad Sonl Elemanlar Kıla 4
idecad Sonl Elemanlar Kıla I- Ö KOŞUAR 5
idecad Sonl Elemanlar Kıla 6
idecad Sonl Elemanlar Kıla I- SOU EEMA MATRİSERİ B bölümde Sonl Elemanlar Yöntemi'nin (EM) baı temel karamları açıklanmış e kıla içerisinde kllanılan simgeler tanıtılmıştır. SOU EEMAAR METODUDA GEE TAIMAR Sistemin üç farklı konfigürason snlmaktadır: Başlangıç konfigürason olan Ωp hareket etmemiş sistemin maleme noktalarıdır. Güncel konfigürason olan Ωx er değiştirme apmış sistemin maleme noktalarıdır. Kanak konfigürason olan Ωχ parametre temeli olarak kllanılmaktadır (teorik "indirgenmiş" konfigürason). Ωχ ile Ωp arasında olan lokal deformasonlar p ile gösterilmektedir. Ωχ ile Ωx arasında olan lokal deformasonlar x ile gösterilmektedir. Ωp ile Ωx arasında olan lokal deformasonlar ile gösterilmektedir. Sonnc deformason maleme şekil değiştirmelerine e maleme gerilmelerine ol açmaktadır. Diğer iki deformasonn ise hiçbir fiiksel anlamı oktr. p ( χ) Dχ p x( χ) Dχ x ( p) D x p x p Başlangıç konfigürason Ωp p (p) x Güncel konfigürason Ωx p(χ) x(χ) x χ Kanak konfigürason Ωχ B şekil değiştirmelerin arıca determinantları da snlmaktadır: J J p x det det J det ( ) p ( x ) ( ) 7
idecad Sonl Elemanlar Kıla Sisteme glanan ketler sebebile başlangıç konfigürasonndaki bir nokta olan p güncel konfigürasonndaki x noktasına deplasmanı kadar ötelenir: x p + ( p) B nedenle lokal deformasonlar ş şekilde aılır: ( p) I + D p Green-agrange tensörü iki maleme konfigürason arasındaki şekil değiştirme için agın olarak kllanılan bir tanımlamadır: E E T ( ) ( I ) T T ( ) ( D + D + D D ) p p p p Küçük deformason teorisinde ikinci mertebe terimi ihmal edilerek doğrsal şekil değiştirme tensörü ş şekilde aılır: ε T ( ) ( D + D ) p p VİRTÜE İŞ TEOREMİ Sistemin statik mekanik denge denklemi irtüel iş teoremi (aıf form) kllanılarak şöle aılır: W int ext ( ) ( ) + ( ) tüm "test" tanım alanı için dikkate alınarak: int ext ( ) ( ) ε ( ) ( ) Ω Ω x x f x x dω x x dω x Cach gerilme tensörü olan güncel (er değiştirmiş e deforme olmş) konfigürasondaki esas gerilmedir. Dış üklerin güncel konfigürasona bağımlı olmadığı kabl edilir. Örnek olarak dış üklerin aptıkları iş başlangıç konfigürasonnda anı şekilde aılabilir (ölü ükler hipotei). ext ( ) Ω f dω p p B integraller baı matematik hesaplamalarının ardımıla kanak konfigürasonda şöle aılabilir: Dış işler brada sadeleştirilmiş bir halde aılmıştır. oktasal ükler ç ükler b. arıca dikkate alınabilir... B drm ağırlık ükü a da sabit noktasal ket halidir. Ancak bir akışkanın bir üe üerindeki basıncı ölü ük değildir. Yönü üein normalini takip eder e şiddeti üe genişledikçe a da küçüldükçe değişir. 8
idecad Sonl Elemanlar Kıla int ( ) S D E( ) J dω p χ () Ω χ ext ( ) Ω χ f J p dω χ Green-agrange şekil değiştirme tensörü E e Piola-Kirchhoff gerilme tensörü S dikkate alındığında: S J x J x S T T () D E() ise önünde tanım alanını esas alan E 'nin türeini belirtmektedir. DOĞRUSA RİJİTİK MATRİSİ Doğrsal teoride E ε ile e S de ile aklaşık olarak değerlendirilir. C elastisite tensörü iken (4. dereceden tensör) 3 doğrsal gerilme-şekil değiştirme bağıntısının C ε oldğ kabl edilir. B drmda denklem () ş şekilde aılabilir: int ( ) ε( ) C ε( ) J dω Ω χ p χ int e içerisinde doğrsaldır: int ( ) T K K sistemin doğrsal rijitlik matrisidir e er değiştirme tanım alanı 'a bağımlı değildir. DOĞRUSA OMAYA TAJAT RİJİTİK MATRİSİ VE GEOMETRİK RİJİTİK MATRİSİ Doğrsal olmaan () nmaralı denkleme geri dönüp için bir çöüm bldğm arsaalım. Dış ükleri çok a miktarda arttırmakla: f f + df çöümü + şekline dönüşür. Yeni denge denklemi aıldığında e sadece birinci dereceden terimler korndğnda denklem () ş şekilde elde edilir: [ ( ) ] ( ) ( D S( ) : D E( ) ) + S : D E( ) int D J p dωχ Ω χ Eğer E ile S arasında doğrsal bir gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin oldğ tekrar kabl edilirse: b şekilde: S C E 3 Basitleştirme amacıla brada termal- a da ön-şekil değiştirmeler çıkartılmıştır. 9
idecad Sonl Elemanlar Kıla [ ( )] ( ) ( D E( ) : C : D E( ) ) + S : D E( ) int D J p dωχ (3) elde edilir. Bölece: Ω χ D ile birlikte: int T I ( ) ( K + K ) I K Ω χ ( D E C : D E) : J p dω χ (4) K ( S : D E( ) ) J p dω χ (5) Ω χ K I başlangıç rijitlik matrisi olarak adlandırılır e K (doğrsal rijitlik matrisi) ile içindeki baı doğrsal e ikici dereceden terimlerin toplamı olarak aılabilir: K Q K I K +K Q K geometrik matris (a da başlangıç gerilme matrisi) olarak adlandırılır e doğrsal olarak S 'e dır. B matris gerilme pekleşmesi olarak tanımlanan drmn da sebebini olştrr çünkü S > oldğnda (ör. > ) genellikle başlangıç rijitlik matrisine bir miktar poitif ek rijitlik ermektedir. Tüm matris tanjant matrisi olarak adlandırılır e er değiştirme ile S gerilme değerlerile birlikte büük ölçüde değişiklik gösterebilir. T Q K K4 + K43 + K I K Yapısal kararsılık (brklma) drm det (K T ) oldğnda medana gelir. B karasılığı tetikleen ük katsaısı eton-raphson algoritmasının birçok iterasonla blnabilir. Ancak b işlem kararsılık öncesinde sistemin küçük deplasmanlara e küçük şekil değiştirmelere mar kaldığı arsaımıla daha basit e hesapsal açıdan daha efektif bir olla apılabilir 4. B drmda K I K ile e K () da K ile ifade edilen K () ile aklaşık olarak tahmin edilir: K Ω χ ( D E ( ) ) : J p d Ω χ Sonç olarak genelleştirilmiş ödeğer problemi çöülerek brklma ük katsaısı λ değerleri e ilgili modlar Φ blnr: K Φ + λ K Φ (6) 4 B drm baen Eler brklma problemi olarak da adlandırılır. Bnn sadece apı sisteminin göçme öncesinde küçük şekil değiştirmeler/küçük deplasmanlar tanım alanında kaldığı drmlar için e sadece ölü ükler etkisinde geçerli oldğ not alınmalıdır.
idecad Sonl Elemanlar Kıla DİAMİK AAİZ Virtüel iş teoremi dinamik formnda ş şekilde aılabilir: W int ext inert ( ) ( ) + ( ) + ( ) tüm "test" tanım alanı için ile birlikte: inert ( ) ρ && x dω x Ω x Kütlenin kornm kann sebebile elemsilik integrali ş şekilde aılır: inert ( ) Ω ρ p && dω p b doğrltda: p inert ( ) χ ρ & J dω p p χ (7) Ω Eğer apının bir modal titreşimini ele alırsak && tanım alanı ş şekilde aılır: && ω b doğrltda: inert ( ) ω χ ρ J dω p p χ (8) Ω B ifadenin dikkate alınarak türei alındığında kütle matrisi M ş şekilde elde edilir: D inert T ( ) ω M M ( ) T M χ ρ J dω p p χ (9) Ω M matrisinin e alanlarından bağımsı oldğ gö önüne alınır 5. Bir serbest titreşim analii için çöülmesi gereken problem şdr: K T Φ ω MΦ B da küçük şekil değiştirme/küçük er değiştirme (SS/SD) drmnda ş hali alır: K Φ ω MΦ () 5 Drmn kirişlerle e kabklarla birlikte kütle matrisine birkaç doğrsal olmaan terimin eklenmesini gerektirmesine rağmen. Ş anda M matrisi sabittir.
idecad Sonl Elemanlar Kıla Transient dinamik analide && imesi e & içerisinde er alan bir ifade ile aklaşık olarak belirlenir (emark aklaşımı). Baı cebirsel hesaplamalarla birlikte bndan anı M küle matrisine laşılır. Bir sönümleme matrisi olan C de tanımlanmıştır. Visko sönümleme için C matrisi M matrisile anı biçimdedir: C T ( & ) C & c & J dω p χ () Ω χ arklı bir matris olan C de K e M matrislerinin doğrsal kombinason olarak gn bir şekilde kllanılabilir (Raleigh sönümü). Doğrsal statik anali Modal anali Transient dinamik anali (emark) Eler brklma analii K Doğrsal başlangıç matrisi Doğ. olmaan eton- Raphson K T Doğ. olmaan tanjant matrisi K Başlangıç geomekrik matrisi M Kütle matrisi C Sönüm matrisi Table - Birçok farklı tip analide kllanılan matrisler. ot: Doğrsal olmaan modeller e statik modal transient dinamik a da brklma analilerinde kllanıcı tarafından başlangıç er değiştirme drm girdisi tanımlanmışsa doğrsal başlangıç rijitliği erine doğrsal olmaan tanjant rijitlik kllanılır. B başlangıç drm sebebile olan doğrsal olmaan terimler dikkate alınarak doğrsal bir anali (statik modal a da brklma) apılmasını mümkün kılar.
idecad Sonl Elemanlar Kıla I- BİÇİM OKSİYOARI Programın sonl elemanları hem noktaların aradeğerlemesi hem de serbestlik derecelerinin (DOs) aradeğerlemesi için aşağıda listelenmiş standart biçim fonksionlarını temel almaktadır 6. Sonl elemanlarının büük bir çoğnlğ aslında isoparametrik öelliktedir. Yer değiştirme alanları (e dönme ektörleri) aklaşık olarak ş şekilde hesaplanır: χ ( χ ) I ( ) I I Tanım alanının serbestlik derecesi değerleri I olarak tanımlanmaktadır. Daha önceki rijitlik e kütle matrislerinde e için olan b tanımlamaların bir saısal integrason ile birlikte er değiştirilmesile sonl elemanlar metodn kllanan aılımının içinde programlanan sonl eleman matrisleri elde edilmektedir. -OKTAI KEAR (DOĞRUSA) - + ( ) ( ) ( ) ( + ) () 3-OKTAI KEAR (İKİCİ DERECEDE) - + ( ).5 ( ) ( ).5 ( + ) ( ) () 6 oktaların lokal nmaralandırması daha değişik olabilir. 3
3-OKTAI ÜÇGE (DOĞRUSA) ( ) ( ) ( ) (3) 4-OKTAI DÖRTGE (ÇİT DOĞRUSA) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + +.5.5.5.5 3 (4) + + + + - - 3 4 idecad Sonl Elemanlar Kıla
6-OKTAI ÜÇGE (İKİCİ DERECEDE) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 5 4 3 (5) 9-OKTAI DÖRTGE (DÖRDÜCÜ DERECEDE) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + + + + + 8 7 6 5 4 3.5.5.5.5.5.5.5.5 (6) 5 6 7 4 3 8 + + 3 4 5 Sonl Elemanlar Kıla 5
4-OKTAI DÖRTYÜZÜ (DOĞRUSA) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 (7) 5-OKTAI PİRAMİT (DOĞRUSA) ( ) ( ) 4 3 () () (4) i i i (8) -noktalı kenar biçim fonksionları (denklem ()) ile birlikte 4-noktalı biçim fonksionlarının (denklem (4)) ürünleri. 3 3 4 + + - - 6 idecad Sonl Elemanlar Kıla
6-OKTAI KAMA (DOĞRUSA) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ile; t t t + + + 5 4 3 (9) -noktalı kenar biçim fonksionları (denklem ()) ile birlikte 3-noktalı biçim fonksionlarının (denklem (3) e (4)) ürünleri. 8-OKTAI ATIYÜZÜ (DOĞRUSA) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + + 8 8 8 8 8 8 8 8 7 6 5 4 3 () -noktalı kenar biçim fonksionlarının (denklem ()) ürünleri. 3 6 7 5 4 3 5 4 + + 7 idecad Sonl Elemanlar Kıla
-OKTAI DÖRTYÜZÜ (İKİCİ DERECEDE) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ile; t t t t t t 4 4 4 4 4 4 9 8 7 6 5 4 3 () 4-OKTAI PİRAMİT (İKİCİ DERECEDE) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 8 5 4 3 (3) (9) 5 (3) (4) 5 (3) (3) (9) i i i i i i i () 3-noktalı kenar biçim fonksionları (denklem ()) ile birlikte 9-noktalı e 4-noktalı dörtgen biçim fonksionlarının (denklem (6) e (4)) ürünleri. 3 9 4 8 7 6 5 3 4 9 3 5 6 7 8 8 idecad Sonl Elemanlar Kıla
idecad Sonl Elemanlar Kıla 8-OKTAI KAMA (İKİCİ DERECEDE) 4 7 9 5 7 8 6 6 4 ( ) (6) i (6) i3 (6) i6 ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) i (6) i 9 (3) i6 (6) i9 (6) i ( ) ( ) i i 3 4 5 i 6 78 i 34 i 567 5 3 3 3-noktalı kenar biçim fonksionları (denklem ()) ile birlikte 6-noktalı üçgen biçim fonksionlarının (denklem (5)) ürünleri. 7-OKTAI ATIYÜZÜ (İKİCİ DERECEDE) 3 9 3 8 7 4 6 5 4 6 3 5 9 3-noktalı biçim fonksionlarının (denklem ()) ürünleri. (4) 8 6 4 5 7 9
idecad Sonl Elemanlar Kıla
idecad Sonl Elemanlar Kıla II- D EEMAAR
idecad Sonl Elemanlar Kıla
idecad Sonl Elemanlar Kıla II- KİRİŞ EEMAAR Q M x M T Q DOĞRUSA KİRİŞ EEMAAR Mekanik model model_beam_linear B doğrsal kiriş modelinde eksenel enine-kama eğilme e brlma rijitlikleri blnmaktadır. Küçük-şekil değiştirme/küçük-er değiştirme esaslı Reissner-Timoshenko kiriş teorisini (doğrsal teori) 7 temel almaktadır. B teoride maleme kesit üeleri sadece dönme aparak şekil değiştirme apmadan dülem kalmakta e iki doğrltda enine-kama şekil değiştirmesine iin erilmektedir (kesit üei ile ortalama orta eksen arasındaki açı değişebilmektedir kalın-kiriş teorisi) [BAT]. B model ince-cidarlı kiriş modellerindeki gibi (Vlasso teorisi gibi) kesit üeinin çarpılmasını dikkate alma. Büne denklemlerinin doğrsal elastik olması gerekmektedir (Hooke asası). En a skaler parametresi blnr: okal ektör 'nin tanımlanması için "üçüncü-nokta" (3 değer). Elastisite modülü E. Kama modülü G ön tanımlı olarak E / (+ ν ). Isıl genleşme katsaısı α. Eksenel rijitlik için kesit üei S x. İki etkin kama kesiti üei S S. Bnlar bir kesme düeltme faktörü'nün 8 dikkate alınabilmesi için S x 'den farklı olabilirler. Brlma ataleti I xx. Eğilme ataletleri I e I 9. Ek olarak dönüşüm atalet aksları olan e tarafsı ekseni sonl eleman çigisinden kadırmak amacıla e şeklinde tarafsı kaçıklıkları blnan kirişler için I şeklinde bir dönüşüm ataleti tanımlanabilir. Yasa arıca tek tek eleman esaslı bir temel üerinden de tanımlanabilir. B drmda (değişken kesitli kirişler) elemanların her bir c için bir geometrik değerler seti (S x S S I xx I I I x ) tarif edilebilir. x akslarının tanımı aşağıdaki şekildedir: x tanjant sonl eleman çigisi üerindeki birim ektördür. 7 Büük-şekil değiştirme/büük-er değiştirme teorisine daanan geometrik rijitlik matrisi K hariç. 8 Enine-kama etkisini (ince-kiriş teorisi) ihmal etmek için etkin kama üeleri örnek olarak S x gibi büük bir değere aarlanabilir. Değeri sıfır apmak -noktalı kiriş elemanı ile anı etkie sahiptir. 9 Ataletler aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır: I I S d d d d S Brada I etrafında dönme için atalet e I de etrafında dönme için olan ataletlerdir. 3
idecad Sonl Elemanlar Kıla normalie apılmış dönüşüm sonc olan isteğe göre seçilir). x ile tanımlanır (eğer x e anı doğr üstündese x Bn takiben ile dönüşüm sonc elde edilir. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler B elemanların her noktada altı serbestlik derecesi blnmaktadır (global eksen balı 3 er değiştirme e 3 dönme). Tüm şekil değiştirme e gerilme terimlerinin kesit bonca doğrsal değiştiği arsaılır. Sabit bir bölüm (membran e kama terimleri) e merkeinde boş değer olan iki doğrsal değişken bölüme (eğilme e brlma terimleri) arıştırılırlar. ε ε ε xx x x B B ( x ) ε xx ( x) + ε xx ( x) + ε xx ( x) Q T ( x ) ε x ( x) ε ( x) Q T ( x ) ε ( x) + ε ( x) x ε ε ε xx B xx Q x T ε ε ε B xx Q x eksenel eğilme enine kamalar brlma Kesitlerde dülem içi gerilmenin sıfır olması kablü sebebile ( ) makaslama enerjisi de sıfır olacaktır e kesit şekil değiştirmeleri ihmal edilebilir (ε ε ε değerleri olr). Sonç gerilmeler aslında bileşke gerilmelerdir (kesit bonca entegre edilmiş). Bileşke gerilmeler ş şekildedir: S ds xx Q S x ds Q S ds x M T ( x x ) S S ds xx M ds S ds xx Hooke asası ile b denklemler ş şekilde aılır : ot edilmelidir ki b tanımlarla ekseni etrafındaki eğilme momenti M e ekseni etrafındaki de M 'dir. Brada atalet eksenlerinin lokal eksenlerle ml oldğ (atalet dönmesi olmadan) e tarafsı çigide herhangi bir kama olmadığı kabl edilir. Eğer b şekilde değilse membran ile eğilme e kama ile brlma arasından bir eşleştirme dikkate alınır. 4
idecad Sonl Elemanlar Kıla E S Q Q M M E E T G I x G S G S I xx I ε ε ε xx ε Q x T Q x ε ε B xx B xx B bileşke gerilmeler aslında iki adet 3-bileşenli ektör şeklinde olan sonçlardır: ket ektörü ( e Q) e moment ektörü M (M e T). okal a da global eksen balı olarak tarif edilebilirler. Kral şdr ki; eğrisel bir x koordinatı için (x) keti e M(x) momentm s x olan herhangi bir koordinat için ket e momentm toplamlarına eşittir. ( x) M( x) x x f ( s) ds + ( ) (( s x) x f ( s) ) ds + ( x) x ( ) + M( ) Doğrsal kirişler için öel bir ard-işlemci gerçek şekil değiştirmeler ile birlikte her elemanın (x) and M(x) diagramlarını doğr şekilde snmaktadır. B işlem kirişin doğrsal dü e değişken kesitli olmamasını gerektirmektedir. Geometri Elemanların geometrisi için herhangi bir öel gereksinim blnmamaktadır. Kiriş elemanları üç botl tam koordinatlara sahiptir. Sonl eleman ağları e elemanlar (3KEARI) eğrisel olabilir. Yükler Mekanik ükler noktasal (KUVVET e MOMETUM) dügün aılı (sadece KUVVET) a da trapeoidal aılı (sadece KUVVET) olabilir. Trapeoidal aılı ük iki parametre ükün tanım alanı için (- < +) e iki katsaı da ük değeri için (ük ektörü üerindeki f e f çarpımsal katsaıları) olmak üere toplam dört terim ile tanımlanmaktadır. f f - + Eşdeğer noktasal ükler dahili olarak çöümlenmekte e b saede nihai sonl eleman çöümü hatası olmaktadır. Isı ükleri her elemanda dügün aılı e her iki kesit doğrltsnda doğrsal olacak şekildedir (iki ısıl eğilme momenti olştracak şekilde). 5
idecad Sonl Elemanlar Kıla otlar KEAR kiriş elemanı gerçek U ile R değerlerile e gerçek bileşke gerilmelerle doğrsal dügün kesitli e doğrsal değişken kesitli kirişler (doğrsal değişen kesitli e ataletli) için noktasal dügün aılı e trapeoidal aılı üklerle birlikte hatasıdır. Rijitlik matrisi herhangi bir saısal entegrason olmadan analitik olarak çöümlenir. Ancak ataleti ikinci a da daha üksek mertebenden polinomlarla ifade edilen kirişler için sonl elemanlar çöümü sadece aklaşık olarak tahmin edilebilir (kesin sonçtan çok a daha rijit) e akınsaması için sonl eleman ağı sıklaştırılmalıdır. KEAR modeli eğrisel tanımlar için tam olarak doğr değildir. Sonl eleman ağı olştrlmalıdır. 3KEAR kiriş eleman ile hesaplanan U e R tanım alanları sadece iki çta kesindir orta noktada kesin değil e sadece dügün aılı a da noktasal ük etkisindeki dügün doğrsal kiriş öel drm için geçerlidir. B eleman sadece arklar aılı alar üerine otran kirişler a da kabk destekleici kirişler için -noktalı kenar elemandan daha gn olabilir. Kama kaçıklığı oktr (kama merkeinin tarafsı eksene göre kaçıklığı). Kiriş elemanın kütlesi a da sönüm değeri oktr sadece rijitliği blnr. Dinamik bir anali için rijitlik modeline ek olarak arıca bir kiriş kütle a da bir çigisel kütle modeli kllanılmalıdır. KEAR 3KEAR Geometri doğrsal ikinci dereceden Biçim fonsionları () () Tip kesin ioparametrik Şekil değ. / gerilmeler dügün ikinci dereceden Toplam serbestlik. der. 8 K gerilmelerine / dönmelere Analitik kesin matris Gass noktası 3. dereceden Hermite K polinomlarını temel alan analitik matris gerilmelerine anı IP / dönmelere eet (doğrsal) eet (doğrsal) T K K analitik - anı IP gerilmelerine / dönmelere ext int lin gerilmelerine / dönmelere dügün (analitik) trapeoidal (analitik) dügün (anı IP) trapeoidal (analitik doğrsal eleman arsaımı) int analitik anı IP nl gerilmelerine / dönmelere eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U Sadece eksenel gerilme etkisi için analitik. Eğilme kama e brlma gerilmeleri etkileri için dügün integrason. 6
idecad Sonl Elemanlar Kıla KEAR elemanı için lokal matris olan K lo c Ox (değişken olmaan drmda) lokal eksen baı içinde aşağıda sıralanmış serbestlik dereceleri ile olştrlr: Ux U U Rx R R Ux U U Rx R R 7
H c H b H d H b H c H b H d H b H H H a H b H a H a H b H a H H H c H b H c H b sim H H a H a H t t m m t m loc. 3 3 3 3 3 3 K ile: > > + + + + + + + + + + 4 4 6 6 xx t x m S if S if G S E I S if S if G S E I d d c c b b a a E I H E I H G I H E S H ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ B matris daha sonra global serbestlik dereceleri koordinatlarına dönüştürülür : T T K T K loc Brada T lokal eksen baının globala çeiriminden olan dönüşüm matrisidir. 8 idecad Sonl Elemanlar Kıla
idecad Sonl Elemanlar Kıla T matrisi eksenel ket ile eğilme momentmları arasından bir etkileşime ol açan kaçıklıkları da arıca dikkate almaktadır. 9
idecad Sonl Elemanlar Kıla DOĞRUSA OMAYA KİRİŞ EEMAAR Mekanik model model_beam_g Doğrsal kiriş modelinde oldğ gibi doğrsal olmaan modelde eksenel enine-kama eğilme e brlma rijitlikleri blnmaktadır. B model Reissner-Timoshenko kiriş teorisini büük-şekil değiştirme/büük-er değiştirme formnda temel almaktadır (tam doğrsal olmaan teori). B form ikinci mertebe şekil değiştirme terimlerini gerilme pekleşmesini büük erdeğiştirmeleri e büük dönmeleri dikkate almaktadır. Reissner- Timoshenko teorisinde apılanlardan daha fala aklaşım apılmamaktadır. Öellikle dönmelerin türeleri tamamen kesindir. Büne denklemlerinin elastik olması gerekmektedir (St-Venant). Büne denklemleri Piola-Kirchhoff- gerilme tensörü olan S ile Green-agrange şekil değiştirme tensörü olan E arasında bağlantı krmaktadır. Denklemler dülem-gerilme formnda kllanılmaktadır. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler Doğrsal elemanlar için olan öelliklerle küçük şekil değiştirme tensörü olan ε 'nin Green-agrange şekil değiştirme tensörü olan E ile e Cach gerilme tensörü olan 'nın PK gerilme tensörü olan S ile değiştirilmesi şartıla anıdır. Güncel er değiştirme apmış konfigürasonda Cach tensörü "doğal" gerilme tensörüdür. Bileşke Cach gerilmeleri (() M() Q() T()) () ile erilen dönüşüm denklemleri kllanılarak bileşke PK gerilmelerinden ((S) M(S) Q(S) T(S)) elde edilebilirler. Geometri Doğrsal model için oldğ gibidir. Yükler Doğrsal model için oldğ gibidir. Yüklerin ölü ük olarak dikkate alındığı not edilmelidir (elemanların poison e şekil değiştirmelerinden bağımsı olarak). MOMETUM ükleri esas olarak sonradan gelen ükler oldğndan doğrsal olmaan analilerde dikkatle kllanılmalıdır. Yapacakları etkiler genellikle mect dönme drmna dır. 3
idecad Sonl Elemanlar Kıla KEAR 3KEAR Geometri doğrsal ikinci dereceden Biçim fonksionları () () Tip ioparametrik ioparametrik Şekil değ. / gerilmeler dügün ikinci dereceden Toplam serbestlik. der. 8 K Gass noktası Gass noktası gerilmelerine / dönmelere K Gass noktası Gass noktası gerilmelerine eet (doğrsal) eet (doğrsal) Güncel noktasal poisonlara K T K (tam doğ. olmaan rijitlik) gerilmelerine / dönmelere ext gerilmelerine / dönmelere int nl gerilmelerine / dönmelere Gass noktası Gass noktası eet dügün (analitik) trapeoidal (analitik) eet dügün (anı IP) trapeoidal (analitik doğrsal eleman arsaımı) Gass noktası Gass noktası eet eet eet eet 3
idecad Sonl Elemanlar Kıla 3
idecad Sonl Elemanlar Kıla II- ÇUBUK EEMAAR x + DOĞRUSA ÇUBUK EEMAAR Mekanik model model_rod_linear Doğrsal çbk model sadece eksenel rijitliğe sahiptir. Küçük-şekil değiştirme/küçük-er değiştirme teorisini temel almaktadır (doğrsal teori) 3. Elemanlarda eğilme enine-kama a da brlma oktr. Büne denklemlerinin elastik olması gerekmektedir ( a asası ) ancak bir bağ çbğn örnek olarak ilerleen pekleşme mşama ile modelleebilmek amacıla tek önlü doğrsal olmaan şekilde olabilir. Kllanıcı a asasında arıca bir ısıl genleşme de tanımlaabilmektedir. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler B elemanların her noktada üç serbestlik derecesi (DOs) blnmaktadır (global eksen balı Ux U e U er değiştirmeleri). Şekil değiştirme/gerilme teorilerinin (küçük şekil değiştirme teorisi) kesit içerisinde e her eleman bonca tamamen eksenel e dügün oldğ arsaılır. Çıktı olarak elde edilen gerilme gerçekte bileşke gerilmedir e her aman elemanın aksı boncadır: S xx d S xx Rijitliği K E S şeklinde tariflenen bir doğrsal a asası için ket ş şekilde aılabilir: Geometri K ( x ) ( x ) B elemanlar dügün kesite sahiptir (değişkenlik oktr ancak kesit bir elemandan diğerine farklı olabilir). İkinci dereceden çbk eleman (3KEAR) blnmamaktadır. Ortalama çiginin kaçıklığına iin erilmemektedir. Yükler Mekanik ükler (sadece KUVVET) noktasal dügün aılı e trapeoidal aılı olabilir. 3 Tam doğrsal olmaan teori esaslı geometrik rijitlik matrisi K geo hariç. 33
idecad Sonl Elemanlar Kıla Isıl ükler her eleman üerinde sadece dügün aılı olabilir. otlar Çbk elemanın kütlesi e sönüm değeri oktr. KEAR Geometri doğrsal Biçim fonksionları () Tip ioparametrik Şekil değ. / gerilmeler dügün Toplam serbestlik. der. 6 Gass noktası K gerilmelerine K gerilmelerine T K K ext gerilmelerine gerilmelerine int lin int nl gerilmelerine Gass noktası eet (doğrsal) Gass noktası dügün (analitik) trapeoidal (analitik) Gass noktası eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U K loc matrisi aşağıdaki şekilde sıralanmış serbestlik derecelerile basitçe aılabilir: Ux U U Ux U U 34
. K K sim K K loc 35 idecad Sonl Elemanlar Kıla
idecad Sonl Elemanlar Kıla DOĞRUSA OMAYA ÇUBUK EEMAAR Mekanik model model_rod_g Bir önceki modelde oldğ gibi doğrsal olmaan çbk modeli de sadece eksenel rijitliğe sahiptir. Küçükşekil değiştirme/büük-er değiştirme teorisini temel almaktadır. Eksenel ket daima güncel erdeğiştirmiş eleman çigisi üerindedir. B drm küçük şekil değiştirme apmış ancak büük er değiştirmeler apmaa müsait kablo elemanların modellenmesine de olanak ermektedir. Büne denklemlerinin elastik olması gerekmektedir ( a asası ) ancak bir kablo örnek olarak ilerleen pekleşme mşama ile modelleebilmek amacıla tek önlü doğrsal olmaan şekilde olabilir. Kllanıcı a asasında arıca bir ısıl genleşme de tanımlaabilmektedir. B ısıl genleşme örnek olarak kablonn başlangıç geşek drmn dikkate almak amacıla kllanılabilir (gerçek kablonn iki nokta arasındaki mesafeden daha n oldğ aman). Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler Doğrsal model için oldğ gibidir ancak şekil değiştirmeler e er değiştirmeler güncel er değiştirmiş ortalama çigi doğrltsna önelmiştir. Geometri Doğrsal model için oldğ gibidir. Yükler Doğrsal model için oldğ gibidir. Yüklerin ölü ük olarak dikkate alındığı not edilmelidir (elemanların poisonndan bağımsı olarak). Başlangıç konfigürasonnda tanımlanırlar e aptıkları iş elemanın er değiştirmesile birlikte değişme. 36
idecad Sonl Elemanlar Kıla KEAR Geometri doğrsal Biçim fonksionları () Tip ioparametrik Şekil değ. / gerilmeler dügün (eksenel) Toplam serbestlik. der. 6 Gass noktası K gerilmelerine K gerilmelerine K T K (tam doğ. olmaan rijitlik) gerilmelerine ext gerilmelerine int nl gerilmelerine Gass noktası eet (doğrsal) Gass noktası eet dügün (analitik) trapeoidal (analitik) Gass noktası eet eet K matrisi anı doğrsal drmda oldğ şekilde: K K( ) rijitlik değerile birlikte aılabilir. 37
idecad Sonl Elemanlar Kıla 38
idecad Sonl Elemanlar Kıla II-3 D YAYII YAY EEMAAR YAYII DOĞRUSA YAY EEMAAR Mekanik model model_distribted_spring_d B elemanlar bir doğr üerinde aılmış aları modeller. Yaları bir "a kann" e bir doğrlt (elemanlara normal doğrltda olması gerekme) tanımlamaktadır. Ya kann doğrsal a da bir emini ilerleen pekleşme/mşama ile tek önlü doğrsal olmaan şekilde modelleebilmek amacıla doğrsal olmaan formda olabilir. Bir modeldeki tüm elemanlar için doğrlt dügündür. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler B elemanların her noktada üç serbestlik derecesine blnmaktadır (global eksen balı üç er değiştirme). Şekil değiştirme/er değiştirme tensörleri her tümleştirme noktasında tanımlanır. Bnların hepsi a doğrltsndaki tek bir değere indirgenir. Şekil değiştirme a doğrltsndaki er değiştirmedir. Gerilme ise aılı aın birim nlğnn reaksiondr. Geometri Elemanların geometrisi açısından herhangi öel bir şart blnmamaktadır. Sonl elemanlar ağı eğrisel olabilir. İkinci dereceden E3 elemanlar arıca eğrisel olabilir. Yükler Yaılı a modelleri üerine sadece KUVVET üklerinin tanımlanmasına iin erilmektedir. Yükler sonl elemanların serbestlik derecelerine etkimektedir. Yükler noktasal dügün aılı e trapeoidal aılı olabilir. otlar Yalar üerinde bir ısıl genleşme tanımlanmasına iin erilmektedir. Ya kann ile birlikte ısıl genleşme katsaısının tanımlanması gerekmektedir. Sonl elemanlar kütüphanesi içerisinde geometrik doğrsal olmaan aılı a modeli (elemanarın nlğnda büük oranlardaki değişimleri dikkate alan) blnmamaktadır. Yaılı a elemanın kütlesi e sönüm değeri oktr. 39
idecad Sonl Elemanlar Kıla KEAR 3KEAR Geometri doğrsal ikinci dereceden Biçim fonksionları () () Tip ioparametrik ioparametrik Şekil değ. / gerilmeler doğrsal ikinci dereceden Toplam serbestlik. der. 6 9 Gass noktası 3 Gass noktası K gerilmelerine K boş boş gerilmelerine T Gass noktası 3 Gass noktası K K ext int lin gerilmelerine gerilmelerine dügün (analitik) trapeoidal (analitik) dügün (anı IPs) trapeoidal (analitik) int Gass noktası 3 Gass noktası nl gerilmelerine eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U 4
idecad Sonl Elemanlar Kıla II-4 ÇİZGİSE KÜTE EEMAAR Mekanik model model_line_mass Doğrsal kütle elemanlar sadece er değiştirme serbestlik derecelerine glanmaktadır (dönme serbestlik derecelerine glanma). Bir kirişe a da çigisel bir ağa (örneğin D bir modelin sınır hattı) doğrsal kütle tanımlamak için kllanılmaktadır. Kütle modelini bir "skaler asası" tanımlamaktadır. Skaler değer ise çigisel kütle oğnlğdr (kirişler için elemanın kesiti dikkate alınmaktadır). Geometri Elemanların geometrisi açısından herhangi öel bir şart blnmamaktadır. Sonl eleman ağları e elemanlar eğrisel olabilir (3KEAR). Yükler Kütle modelleri üerine ük tanımlanmasına iin erilmemektedir. otlar Kütle matrisi sabittir e güncel konfigürasona değildir. Doğrsal kütlenin rijitliği e sönüm değeri oktr. KEAR 3KEAR Geometri doğrsal ikinci dereceden Biçim fonksionları () () Tip ioparametrik ioparametrik Toplam serbestlik der. 6 9 M Gass noktası 3 Gass noktası gerilmelerine inertia Gass noktası 3 Gass noktası gerilmelerine eet (doğrsal) inertia M V eet (doğrsal) inertia M V KEAR elemanı için Mloc matrisi aşağıdaki şekilde sıralanmış olan serbestlik derecelerile aılabilir: Ux U U Ux U U 4
3 6 3 6 3 6 3. 3 3 m m m m m m m sim m m M loc 4 idecad Sonl Elemanlar Kıla
idecad Sonl Elemanlar Kıla II-5 KİRİŞ KÜTE EEMAARI Mekanik model model_beam_mass Kiriş kütle elemanları er değiştirme e dönme serbestlik derecelerinin her ikisine de glanmaktadır. B kütle modeli 3. dereceden Hermite polinomlarını esas aldığı için basit "çigisel kütle" modelinden daha kesindir. Bna ek olarak dönme ataleti dikkate alınabilmektedir. Modal titreşim frekansları daha büük bir kütle matrisi e daha n hesaplama süreleri gerektirmesine karşı b dönme ataletlerile birlikte bir miktar aşağı çekilebilmektedir. "Kiriş kütle kann" kiriş kütle modelini tanımlar. En a 8 skaler parametresi blnmaktadır: okal kanağı tanımlamak için "üçüncü nokta" (3 değer). Bir hacimsel kütle oğnlğ (eleman kesitini dikkate almaan). Kesit üei. okal akslarda üç atalet: I xx (brlma ataleti) I (Z ekseni etrafında) I (Y ekseni etrafında). Dönük atalet eksenleri olan kirişler için I x çapra ataleti e sonl eleman çigisinden kaçık kirişler için de iki kaçık tarafsı eksen eklenmesi mümkündür. Geometri Elemanların geometrisi açısından herhangi öel bir şart blnmamaktadır. Sonl elemanlar ağı eğrisel olabilir. İkinci dereceden T6 e Q9 elemanlar arıca eğrisel olabilir. Yükler Kütle modelleri üerinde üke iin erilmemektedir. otlar Tekrar hatırlatmak gerekirse kütle modeli rijitlik modelinden bağımsıdır e bndan dolaı parametreler rijitlik kannnda kllanılanlardan farklı olabilir. Kütle matrisi sabittir e güncel konfigürasona değildir. KEAR modelleri için kütle matrisi analitik olarak hesaplanmaktadır (saısal integrason apılmadan). Brlma titreşim modlarının elde edilebilmesi için b kütle modeli gereklidir. Kiriş kütle elemanının rijitliği e sönüm değeri oktr. KEAR 3KEAR Geometri doğrsal ikinci dereceden Biçim fonksionları () () Tip süper-parametrik ioparametrik Toplam serbestlik der. 8 M gerilmelerine 3. dereceden Hermite polinomları esaslı analitik matris 3 Gass noktası / dönmelere inertia analitik 3 Gass noktası gerilmelerine / dönmelere eet (doğrsal) inertia M V eet (doğrsal) inertia M V 43
idecad Sonl Elemanlar Kıla KEAR elemanı için Mloc matrisi (değişken kesitli olmaan drmda) aşağıdaki şekilde sıralanmış serbestlik derecelerile aılabilir: Ux U U Rx R R Ux U U Rx R R M loc m 3 m 6 3m 35 m 9 m 7 3 m 4 3m 35 m 9 m 7 3 m 4 j x 3 j x 6 m 5 + j 3 3m 4 m j + 4 6 m 5 4 + 3m 4 m + j 3 j 6 m 3 3m 35 m sim. 3 m 35 m j x 3 m 5 + j 3 m 5 + j 3 ile birlikte: m ρ S jx ρ I j ρ I j ρ I x xx 44
idecad Sonl Elemanlar Kıla III- D EEMAAR 45
idecad Sonl Elemanlar Kıla 46
idecad Sonl Elemanlar Kıla III- MEMBRA EEMAAR x DOĞRUSA MEMBRA EEMAAR Mekanik model model_membrane_lin B model sadece membran rijitliğine sahiptir (dülem içerisinde) ancak eğilme e enine kama rijitliği oktr (dülem dışı). İlae rijitleştirici elemanlar (kiriş ea kabk elemanlar) ile ea normal şekil değiştirmesine ait serbestlik derecesi sınırlandırılmış olan dülemler içerisinde kllanılması gerekmektedir. B elemanlar küçük şekil değiştirme/küçük er değiştirme toerisini temel almaktadır (doğrsal teori) 4. Büne denklemlerinin elastik olması gerekmektedir (iotropik Hooke kann a da tanjant planı içerinde ortotropik). Büne denklemleri dülemsel gerilme formnda kllanılmaktadır. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler Membran elemanların her noktasında üç serbestlik derecesi (DOs) blnmaktadır (global eksen balı erdeğiştirmeler Ux U U). Şekil değiştirme/gerilme tensörleri (küçük şekil değiştirme teorisi) elemanın tanjant dülemi içerisinde tanımlıdır (her tümleştirme noktasında) e kalınlık bonca doğrsaldır:) εxx εx ε xx x Diğer terimler sıfır olarak dikkate alınırlar. (εx ε ε x ). Sonç gerilmeler aslında bileşke gerilmelerdir (kalınlık bonca entegre edilmiş): xx x thick thick thick xx x d h d h d h xx x 4 Büük-şekil değiştirme/büük-er değiştirme teorisine daanan geometrik rijitlik matrisi K hariç. 47
idecad Sonl Elemanlar Kıla Geometri B elemanların kalınlıkları dügün aılıdır (incelen kesit oktr ancak kalınlık bir elemandan diğerine geçerken değişebilir). Elemanların anı dülemde olmasına gerek oktr (eğrisel sonl elemanlar ağı kllanılabilir arıca T6 e Q9 gibi ikinci dereceden elemanlar da eğrisel olabilirler). Yüein ortasında kaçıklığa iin erilmemektedir. Yükler Mekanik ükler (sadece KUVVET) noktasal dügün aılı a da trapeoidal aılı olabilir. Isıl ükler her elemanda sadece dügün aılı olabilir. otlar Membran elemanın kütlesi e sönüm değeri oktr. T3YÜZÜ Q4YÜZÜ T6YÜZÜ Q9YÜZÜ Geometri doğrsal doğrsal ikinci dereceden ikinci dereceden Biçim fonksionları (3) (4) (5) (6) Tip ioparametrik ioparametrik ioparametrik ioparametrik Şekil değ./gerilme dügün çift doğrsal çift doğrsal dördüncü dereceden Toplam ser. der. 9 8 7 Hammer noktası x Gass noktası 6 Hammer noktası 3 x 3 Gass noktası K gerilmelerine K gerilmelerine T Hammer noktası eet (doğrsal) x Gass noktası eet (doğrsal) 6 Hammer noktası K K Hammer noktası x Gass noktası 6 Hammer noktası gerilmelerine ext gerilmelerine int lin int nl gerilmelerine dügün (3 Hammer noktası) trapeoidal (3 Hammer noktası) dügün ( x Gass noktası) trapeoidal ( x Gass noktası) dügün (6 Hammer noktası) trapeoidal (6 Hammer noktası) 3 x 3 Gass noktası eet (doğrsal) 3 x 3 Gass noktası dügün (3 x 3 Gass noktası) trapeoidal (3 x 3 Gass noktası) Hammer noktası eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U x Gass noktası eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U 6 Hammer noktası 3 x 3 Gass noktası eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U 48
idecad Sonl Elemanlar Kıla DOĞRUSA OMAYA MEMBRA EEMAAR Mekanik model model_membrane_g B elemanlar sadece membran rijitliğine sahiptir (dülem içerisinde) ancak eğilme e enine kama rijitliği oktr (dülem dışı). Dülem dışı rijitliklerinin sıfır olması nedeni ile b elemanlar tek başlarına kllanılamalar ilae rijitleştirici elemanlar (kiriş ea kabk elemanlar) ile ea normal şekil değiştirmesine ait serbestlik derecesi sınırlandırılmış olan dülemler içerisinde kllanılması gerekmektedir. B elemanlar büük şekil değiştirme/büük er değiştirme toerisini temel almaktadır (tam doğrsal olmaan teori). B teori. mertebe şekil değiştirme drmlarına e gerilme rijitliklerini hesaplara katmaktadır. Büne denklemlerinin elastik olması gerekmektedir (iotropik St-Venant tipi a da başlangıç tanjant planı içerinde ortotropik). Büne denklemleri dülemsel gerilme formnda kllanılmaktadır. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler Doğrsal elemanlar ile anıdır ancak küçük şekil değiştirme tensörü ε erine Green-agrange şekil değiştirme tensörü E e Cach gerilme tensörü erine PK gerilme tensörü S kllanılmaktadır. Güncel er değiştirme apmış konfigürasonda Cach tensörü "doğal" gerilme tensörüdür. Bileşke Cach gerilmesi (()) () ile erilen dönüşüm denklemleri kllanılarak bileşke PK gerilmesinden ((S)) elde edilebilirler. Geometri Doğrsal model için oldğ gibidir. Yükler Doğrsal model için oldğ gibidir. Yüklerin ölü ük olarak dikkate alındığı not edilmelidir (elemanların poison e şekil değiştirmelerinden bağımsı olarak). 49
idecad Sonl Elemanlar Kıla T3YÜZÜ Q4YÜZÜ T6YÜZÜ Q9YÜZÜ Geometri doğrsal çift doğrsal ikinci dereceden dördüncü dereceden Biçim fonksionları (3) (4) (5) (6) Tip ioparametrik ioparametrik ioparametrik ioparametrik Şekil değ./gerilme dügün çift doğrsal çift doğrsal dördüncü dereceden Toplam ser. der. 9 8 7 K (doğ. modellerle anı) Hammer noktası x Gass noktası 6 Hammer noktası 3 x 3 Gass noktası gerilmelerine K anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs (doğ. modellerle anı) gerilmelerine eet eet eet eet K T K (tam doğ. olm. rijitlik) gerilmelerine ext gerilmelerine int lin gerilmelerine anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs eet eet eet eet eet eet eet eet dügün (3 Hammer noktası) trapeoidal (3 Hammer noktası) noktasal (explicit) dügün ( x Gass noktası) trapeoidal ( x Gass noktası) noktasal (explicit) dügün (6 Hammer noktası) trapeoidal (6 Hammer noktası) noktasal (explicit) dügün (3 x 3 Gass noktası) trapeoidal (3 x 3 Gass noktası) anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs eet eet eet eet eet (doğrsal) int lin K U eet (doğrsal) int lin K U eet (doğrsal) int lin K U eet (doğrsal) int lin K U int nl anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs gerilmelerine eet eet eet eet eet eet eet eet 5
idecad Sonl Elemanlar Kıla III- PAK EEMAAR Z Y X DOĞRUSA PAK EEMAAR Mekanik model model_plate_lin B elemanlarda eğilme e enine-kama rijitliği (dülem dışı) blnmakta ancak membran rijitliği (dülem içi) blnmamaktadır. Küçük-şekil değiştirme/küçük-er değiştirme esaslı Reissner-Mindlin plak teorisini (doğrsal teori) 5 temel almaktadır. B teoride kalınlık bonca maleme çigileri sadece dönme aparak şekil değiştirme apmadan dü kalmakta e enine kama-şekil değiştirmesine iin erilmektedir (üee dik maleme çigileri ile ortalama orta-üe arasındaki açı değişebilmektedir). Dülem global eksen balı 3 doğal dülemden birisi üerinde er almalıdır: Z sabit (ön tanımlı) X sabit a da Y sabit. Büne denklemlerinin elastik olması gerekmektedir (iotropik a da dülem içinde ortotropik). Düleme dik makaslama gerilmesinin ( ) sıfır kabl edilmesi sebebile denklemler dülem-gerilmesi formnda kllanılır. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler B elemanların her noktasında üç serbestlik derecesi blnmaktadır (düleme dik önde erdeğişdirme e dülem içerisinde dönme). Dülem Z sabit X sabit Y sabit Serbestlik dereceleri U Rx R Ux R R U Rx R Şekil değiştirme/gerilme tensörleri elemanların dülemleri içerisinde tanımlanmıştır (her bir tümleştirme noktasında). Enine kama terimleri dügün aılı kabl edilirken dülem içi terimler kalınlık bonca doğrsal olarak değişiklik göstermektedir. ε ε ε ε ε xx x x B ( x ) ε xx ( x ) B ( x ) ε ( x ) B ( x ) ε x ( x ) Q ( x ) ε x ( x ) Q ( x ) ε ( x ) ε ε B xx Q x ε ε B Q ε B x eğilme enine kama ormal gerilmelerin sıfır olması kablü sebebile ( ) makaslama enerjisi de sıfır kabl edilir e düleme dik şekil değiştirme ihmal edilebilir (ε değeri olr). Sonç gerilmeler aslında bileşke gerilmelerdir (kalınlık bonca entegre edilmiş). 5 Büük-şekil değiştirme/büük-er değiştirme teorisine daanan geometrik rijitlik matrisi K hariç. 5
idecad Sonl Elemanlar Kıla Bileşke gerilmeler ş şekildedir 6 : M xx thick xx d M thick d M x thick x d Q x thick x d Q thick d Geometri B elemanların dügün aılı kalınlığı blnmaktadır (değişkenlik oktr ancak elemanlar arasında kalınlık değeri farklı olabilir). Plak model içerisindeki bütün elemanlar model tanımı içindeki dülemin içerisinde er almalıdır. İkinci dereceden T6 e Q9 elemanları eğrisel olama (ancak sınırları olabilir). Yükler Mekanik ükler (KUVVET e MOMETUM) noktasal dügün aılı trapeoidal a da basınç ükü olabilir. Plak modelde ükün alnıca düleme dik bileşeni (KUVVET ükü için) etkilidir. Dülem-içi bileşenler herhangi bir etki aratmamaktadır. Bir MOMETUM ükü için b drmn tam tersi olmaktadır. Isıl ükler her bir eleman üerinde kalınlık bonca sıcaklığın doğrsal değiştiği şekilde sadece dügün aılı halde olabilir (bir miktar ısıl eğilme şekil değiştirmeleri olştrarak). otlar Q4YÜZÜ plak elemanı kilitlenme drmna karşı öel bir enine-kama entegrasonna sahiptir. Kllanılan formül genellikle Q4AS a da Q4γ [BAT] olarak anılmaktadır. Q9YÜZÜ plak elemanı da kilitlenme drmna karşı öel bir enine-kama integrasonna sahiptir [HUA]. Düşük dereceli elemanlar için (T3 and Q4) basit-mesnetli ea kenetlenmiş sınırlar akınında eninekama gerilmesi düensi görünebilir. B drm reaksionların da düensi olmasına sebep olr. B sınırlar akınında daha sık bir sonl elemanlar ağı a da daha üksek dereceli elemanların (T6 and Q9) kllanımı çöümü iileştirebilir. Plak elemanın kütlesi e sönüm değeri oktr. 6 M olarak belirtilen eğilme momentm terimlerinin gerçek moment olmadığı not alınmalıdır. M bir tensördür. 5
idecad Sonl Elemanlar Kıla T3YÜZÜ Q4YÜZÜ T6YÜZÜ Q9YÜZÜ Geometri dü dü dü dü (eğrisel sınırlar) (eğrisel sınırlar) Biçim fonksionları (3) (4) (5) (6) Tip ioparametrik ioparametrik ioparametrik ioparametrik Şekil değ./gerilme B dügün B doğrsal çift doğrsal Q doğrsal Q ikinci dereceden dördüncü dereceden Toplam ser. der. 9 8 7 3 Hammer noktası x Gass noktası 6 Hammer noktası 3 x 3 Gass noktası K gerilmelerine /dönmelere K anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs gerilmelerine eet eet eet eet /dönmelere T K K anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs gerilmelerine /dönmelere ext gerilmelerine /dönmelere int lin dügün (3 Hammer noktası) trapeoidal (3 Hammer noktası) dügün ( x Gass noktası) trapeoidal ( x Gass noktası) dügün (6 Hammer noktası) trapeoidal (6 Hammer noktası) dügün (3 x 3 Gass noktası) trapeoidal (3 x 3 Gass noktası) int anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs nl gerilmelerine /dönmelere eet (doğrsal) eet (doğrsal) eet (doğrsal) eet (doğrsal) eet (doğrsal) int lin K U eet (doğrsal) int lin K U eet (doğrsal) int lin K U eet (doğrsal) int lin K U 53
idecad Sonl Elemanlar Kıla DOĞRUSA OMAYA PAK EEMAAR Mekanik model model_plate_g Uarı: Büük şekil değiştirme / büük er değiştirme şartlarındaki bir plağın çoğnlkla bir kabk gibi daranması sebebile normalde b modeller kllanılmamalıdır. Bnların genellikle üksek membran gerilmeleri e bir membran / eğilme eşleştirmesi ardır. Doğrsal plak modelleri gibi b elemanlarda eğilme e enine-kama rijitliği (dülem dışı) blnmakta ancak membran rijitliği (dülem içi) blnmamaktadır. Bnlar da Reissner-Mindlin plak teorisini temel almaktadır ancak büük-şekil değiştirme/büük-er değiştirme formndadır (tam doğrsal-olmaan teori). B form. derece şekil değiştirme terimleri gerilme pekleşmesi büük er değiştirmeler e büük dönmeleri dikkate almaktadır. Büne denklemlerinin elastik olması gerekmektedir (iotropik St-Venant tipinde a da başlangıç tanjant düleminde ortotropik olarak). Denklemler Piola-Kirchhoff- gerilme tensörü S ile Green-agrange gerilme tensörü E arasında ilişki krmaktadır. Bnlar dülem-gerilme biçimi içerisinde kllanılmaktadır. Doğrsal modelde apılanlardan daha fala aklaşım apılmamaktadır. Öellikle dönmelerin türeleri tamamen kesindir. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler Doğrsal elemanlar ile anıdır ancak küçük şekil değiştirme tensörü ε erine Green-agrange şekil değiştirme tensörü E e Cach gerilme tensörü erine PK gerilme tensörü S kllanılmaktadır. Güncel er değiştirme apmış konfigürasonda Cach tensörü "doğal" gerilme tensörüdür. Bileşke Cach gerilmeleri (M() Q()) () ile erilen dönüşüm denklemleri kllanılarak bileşke PK gerilmelerinden (M(S) Q(S)) elde edilebilirler. Geometri Doğrsal model için oldğ gibidir. Yükler Doğrsal model için oldğ gibidir. Yüklerin ölü ük olarak dikkate alındığı not edilmelidir (elemanların poison e şekil değiştirmelerinden bağımsı olarak). Hatta BASIÇ ükü de başlangıç konfigürasonnda daima üee dik doğrltdadır. MOMETUM ükleri esas olarak sonradan gelen ükler oldğndan doğrsal olmaan analilerde dikkatle kllanılmalıdır. Yapacakları etkiler genellikle mect dönme drmna dır. 54
idecad Sonl Elemanlar Kıla T3YÜZÜ Q4YÜZÜ T6YÜZÜ Q9YÜZÜ Geometri dü dü dü dü (eğrisel sınırlar) (eğrisel sınırlar) Biçim fonksionları (3) (4) (5) (6) Tip ioparametrik ioparametrik ioparametrik ioparametrik Yer değ. / gerilmeler B dügün B doğrsal çift doğrsal Q doğrsal Q ikinci dereceden dördüncü dereceden Toplam ser. der. 9 8 7 K (doğ. modellerle anı) 3 Hammer noktası x Gass noktası 6 Hammer noktası 3 x 3 Gass noktası gerilmelerine /dönmelere K anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs gerilmelerine eet eet eet eet /dönmelere eet eet eet eet K T K (tam doğ. olm. rijitlik) gerilmelerine /dönmelere ext (doğ. modellerle anı) gerilmelerine /dönmelere int lin gerilmelerine /dönmelere int nl gerilmelerine /dönmelere anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs eet eet eet eet eet eet eet eet dügün (3 Hammer noktası) trapeoidal (3 Hammer noktası) dügün ( x Gass noktası) trapeoidal ( x Gass noktası) dügün (6 Hammer noktası) trapeoidal (6 Hammer noktası) dügün (3 x 3 Gass noktası) trapeoidal (3 x 3 Gass noktası) anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs eet eet eet eet eet eet eet eet anı IPs anı IPs anı IPs anı IPs eet eet eet eet eet eet eet eet 55
idecad Sonl Elemanlar Kıla 56
idecad Sonl Elemanlar Kıla III-3 KABUK EEMAAR x DOĞRUSA KABUK EEMAAR model_shell_lin Mekanik model B elemanlarda membran rijitliği (dülem içi) eğilme e enine-kama rijitliği (dülem dışı) blnmaktadır. Küçük-şekil değiştirme/küçük-er değiştirme esaslı Reissner-Mindlin kabk teorisini (doğrsal teori) 7 temel almaktadır. B teoride kalınlık bonca maleme çigileri sadece dönme aparak şekil değiştirme apmadan dü kalmakta e enine kama-şekil değiştirmesine iin erilmektedir (üee dik maleme çigileri ile ortalama orta-üe arasındaki açı değişebilmektedir). Büne denklemlerinin elastik olması gerekmektedir (iotropik a da tanjant dülemi içinde ortotropik). Düleme dik makaslama gerilmesinin ( ) sıfır kabl edilmesi sebebile denklemler dülem-gerilmesi formnda kllanılır. Kinematik şekil değiştirmeler e gerilmeler B elemanların her noktasında altı serbestlik derecesi blnmaktadır (global eksen balı 3 er değiştirme: Ux U U e 3 dönme: Rx R e R) 8. Şekil değiştirme/gerilme tensörleri (küçük şekil değiştirme teorisi) elemanın tanjant düleminde tanımlanmıştır (her tümleştirme noktasında). Enine kama terimleri dügün aılı kabl edilirken dülem içi terimler kalınlık bonca doğrsal olarak değişiklik göstermektedir. Her dülem-içi şekil değiştirme terimi bir dügün bölüme (membran terimi) e merkeinde boş değer olan bir doğrsal terime (eğilme terimi) arıştırılırlar. Bir elemanın içindeki normal doğrltmanı iki tanjant ektörün çapra çarpımı soncla tanımlanan gerçek normaldir. B tanımlama noktalardaki normalleri olştrr e b şekilde elemanlar arasında süreksi olan normal doğrltmanları elde edilir (kabk eğrisel oldğnda). koordinatı b doğrltman boncadır. ε ε ε ε ε xx x x M B ( x ) ε xx ( x ) + ε xx ( x ) M B ( x ) ε ( x ) + ε ( x ) M B ( x ) ε x ( x ) + ε x ( x ) Q ( x ) ε x ( x ) Q ( x ) ε ( x ) ε ε ε M xx B xx Q x ε ε ε M B Q ε ε M x B x membran eğilme enine kama ormal gerilmelerin sıfır olması kablü sebebile ( ) makaslama enerjisi de sıfır kabl edilir e düleme dik şekil değiştirme ihmal edilebilir (ε değeri olr). Gerilme tensörü ile şekil değiştirme tensörü arasında doğrsal bir ilişki oldğ arsaımıla: 7 Büük-şekil değiştirme/büük-er değiştirme teorisine daanan geometrik rijitlik matrisi K hariç. 8 Dü sonl elemanlar ağı drmnda e sıfır brlma rijitliğinden (normal etrafında dönme) kaçınmak amacıla dönme alanı için b doğrltda küçük bir apa rijitlik eklenmiştir. 57
idecad Sonl Elemanlar Kıla Dε gerilme bileşenleri ş şekilde de aılabilir 9 : xx x x M B ( x ) xx ( x ) + xx ( x ) M B ( x ) ( x ) + ( x ) M B ( x ) x ( x ) + x ( x ) Q ( x ) x ( x ) Q ( x ) ( x ) M xx B xx Q x M B Q M x B x membran eğilme enine kama Sonç gerilmeler aslında bileşke gerilmelerdir (kalınlık bonca entegre edilmiş). Bileşke gerilmeler ş şekildedir: M Q xx x xx max min max min max min xx x d xx d d M Q max max min min max min d d d M x x max min max min x d x d üei sonl elemanlar üei ile tanımlanmaktadır. Membran-eğilme eşleştirmesine olanak snan orta-üein kaçık olması drmna iin erilmektedir. B drmda üei tarafsı üele eşdeğer olmamaktadır. Kaçıklık olmadığı drmda her iki üe de anı olarak arsaılır. Kaçıklık tanımlı olmaan kabk (simetrik kabk) Kabğn orta-üei tarafsı üe +h/ -h/ Kabk eleman (D) Kabk malemesi (3D) 9 Brada enine kama şekil değiştirmelerile dülem-içi gerilmeler arasında bir eşleşmenin olmadığı büne denklemleri kabl edilmiştir (bir Hooke asası gibi). Aksi α Q' α M olarak belirtilen eğilme momentm terimlerinin gerçek moment olmadığı not alınmalıdır. M bir tensördür. gerilme bileşenlerine bir terimi eklenmelidir. Kabk eğrisel oldğ drmda b tam olarak doğr değildir. Eğrilik gerilme-şekil değiştirme ilişkisine ek bir kaçıklık e eşleştirme getirmektedir. B etki ihmal edilmektedir. 58