DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ GECİKMELİ İLİŞKİLER: Dağıılmış Gecikme ve Ooregresiv Modeller 1
Saik Model Y = b 0 + b 1 X + u, (=1,2,,n.) Saik Model, Y ve X arasında aynı dönemde yani döneminde oraya çıkan ilişkiden gelmekedir. Saik Model, zamanında X e meydana gelen değişikliğin yine aynı dönemde Y de meydana geireceği ekiyi oraya koymakadır. DY = b 1 DX 2
3 Gecikme Kavramı Bağımlı değişkeninin (Y) zamanındaki değeri, bağımsız değişkenlerin geçmiş zaman dilimlerindeki (-1,-2, gibi) değeri ile ayin edilebilir. Y a b 0 X b X 1-1 u Y değişkeni, X e belli bir zaman boşluğundan sonra cevap verdiğinde bu zaman boşluğuna GECİKME, ilgili modele de gecikmeli ilişki denmekedir.
Dağıılmış Gecikme Modeli Zaman serisi modellerinde, bağımlı değişken Y nin zamanındaki değerleri, bağımsız X değişkenlerinin zamanındaki cari değerleri X, daha önceki dönemlerdeki gecikmeli değerleri X -1, X -2,. ye bağlı olabilir. Y b X b X b X b X u o 1 1 2 2 3 3 4 Dağıılmış Gecikme Modeli (DL)
5 Ooregresiv Dağıılmış Gecikme Model (ARDL) Bağımlı değişkeninin (Y) geçmiş dönemlere (genellikle geçmiş yıllara) ai değerleri Y -1, Y -2, yi değişkenlerini de içeriyorsa Y b X b X b X b Y b Y u o 1 1 2 2 3 1 4 2 Ooregresiv Dağıılmış Gecikme Model (ARDL)
6 Ooregresiv Model (AR) Model yalnızca Bağımlı değişkeninin (Y) geçmiş dönemlere (genellikle geçmiş yıllara) ai değerleri Y -1, Y -2, yi içeriyorsa Y b Y b Y u 1 1 2 2 Ooregresiv Model (AR)
7 Dağıılmış gecikmeli ükeim fonksiyonu Bir kişiye 2006 da 160 000 TL miras kalsın. Eski yaşam arzından yeni yaşam arzına geçiş için bir boşluk vardır. Kişi gelir arışının amamını hemen o yıl harcamaz, belli bir zaman sonra bu paranın amamını harcamış olur(y:ükeim X: Gelir). İlk yılda (2006) =80 000 TL= 8/16=0.5 İkinci yılda (2007) =60 000 TL =6/16=0.375 Üçüncü yılda (2008) =20 000 TL=2/16=0.125 Dağıılmış gecikmeli ükeim fonksiyon: Y Y a b 0 X b X 1-1 b 2 X -2 u 2008 a 0.125X20080.375X20070.5X 2006 u
8 Dağıılmış gecikmeli ükeim fonksiyonu 160000 lira üç döneme yayılır. Bu fonksiyona genel olarak dağıılmış gecikme modelleri denir. Bir sebebin(gelir arışının) ükeime (Y) ekisi belli döneme (3 yıl) dağılmakadır.
Sonlu Dağıılmış Gecikme Modelleri Y = + b 0 X + b 1 X -1 + b 2 X -2 + u, (=1,2,,n.) Genel Model; Y = + b 0 X + b 1 X -1 + b 2 X -2 + + b k X -k +u, (=1,2,,n.) k-gecikmeli sonlu dağıılmış gecikme modeli b 0 Kısa dönem yada eki çarpanı b 0 + b 1 b 0 + b 1 + b 2 b 0 + b 1 + b 2 + + b k-1 Ara dönem çarpanları Sb i b 0 + b 1 + b 2 + + b k Uzun dönem çarpanı ( ya da oplam veya dağıılmış gecikme) 9 * bi bi b sandarlaşırılmış b i i b b i
10 Dağıılmış gecikmeli ükeim fonksiyonu Y a b 0 X b X 1-1 b 2 X -2 u k2 b0 b1 b2 0.125 0.375 0.5 1 b i0 Uzun dönemde gelirdeki bir birimlik arış ükeimi bir birim arırmakadır. Yani ükeici uzun dönemde hiç asarruf yapmamaka gelirdeki arışların amamını ükemekedir.
Gecikmenin Nedenleri 1. Psikolojik nedenler 2. Teknolojik nedenler 3. Kurumsal nedenler 11
12 DAĞITILMIŞ GECİKME MODELLERİNİN DOĞRUDAN BASİT EKKY İLE TAHMİNİ Y b X b X b X b X... u o 1 1 2 2 3 3 Sınırsız Gecikmeli Model Y b X b X b X b X... b X u o 1 1 2 2 3 3 k k Sonlu (Sınırlı) Gecikmeli Model
13 DAĞITILMIŞ GECİKME MODELLERİNİN DOĞRUDAN BASİT EKKY İLE TAHMİNİ Y b X b X b X b X... u o 1 1 2 2 3 3 EKKY İLE TAHMİNLENEBİLİR.
14 EKKY Uygulamanın Sakıncaları: Gecikme sayısı k nın maksimum değerinin önceden belli olmamasıdır, Birbirini akip eden gecikmelerin sayısının çok olması ve gözlem sayısının az olması halinde serbeslik derecesinin küçülüp, isaisiksel es ve güven aralıklarının sağlıksız olması, X -1, X -2, X -3, gecikmeleri arasında çoklu doğrusal bağlanı probleminin oraya çıkmasıdır.
15 Dağıılmış Gecikme Modelleri için Yönemler Almon Polinomial Gecikme Modeli Koyck Modeli Cagan ın Uyumcu Bekleni Modeli Nerlove Kısmi İyileşirme Modeli
16 Almon Polinomial Gecikme Modeli Almon, b i bilinmeyen paramerelerinin zamanla ikinci veya üçüncü derece eğrisi şeklinde değişiğini varsayarak dağıılmış gecikme modellerini ahmin emişir. Y = a + b 0 X + b 1 X -1 + b 2 X -2 + + b k X -k +u, (=1,2,,n.) Y k i0 b X i i u (i=1,2,,k.) Almon b i nin i gecikme uzunluğunun uygun dereceden bir polinom şeklinde ifade edileceğini varsayar.
Polinomial gecikme yapı b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 + a 3 i 3 b i * * * * 1 2 3 7 * * * * * * * * i b i * * 1 2 3 7 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 + a 3 i 3 i 17
18 Genel olarak r inci dereceden bir polinomial gecikme şöyle yazılabilir: b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 + a 3 i 3 + + ai r Polinomun derecesi < Gecikme sayısı (r k)
19 Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları: 1.Adım: b ler için belli bir polinom derecesi r ve uygun bir gecikme sayısı k seçilir. 2.Adım: r nin derecesine göre polinom b i Y k i0 b X i i u denkleminde yerine konur.
i k 0 i 2 2 1 0 u )X i a i a (a Y k 0 i i 2 2 k 0 i i 1 k 0 i i 0 u X i a ix a X a Y Almon Polinomial Gecikme Modeli 2 2 1 1 0 0 u Z a Z a Z a Y 20 Z 0 Z 1 Z 2 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 i k i i u b X Y 0 b lerin ikinci dereceden parabol gecikmeli olduğunu farz edersek:
21 Örnek: Tükeim fonksiyonunda cari ükeimin (Y ), geçmiş ükeim seviyeleri Y -1, Y -2, ; cari gelir X ve geçmiş gelir seviyeleri (X -1, X -2, ) ne bağlıdır. Y b X b X b X u 0 1 1 2 2 Gecikmeli Tükeim Fonksiyonu 1976-1990 dönemi ükeim (Y ) ve gelir (X ) verilerini kullanarak Almon ekniği ile dağıılmış gecikme modelini ahmin ediniz.
22 Yıl Almon Polinomial Gecikme Modeli Y 1976 2 1977 3 1978 4 1979 6 1980 7 1981 8 1982 10 1983 13 1984 14 1985 16 1986 19 1987 20 1988 21 1989 23 1990 25
Almon Polinomial Gecikme Modeli 23 Yıl Y Y -1 1976 2-1977 3 2 1978 4 3 1979 6 4 1980 7 6 1981 8 7 1982 10 8 1983 13 10 1984 14 13 1985 16 14 1986 19 16 1987 20 19 1988 21 20 1989 23 21 1990 25 23
Almon Polinomial Gecikme Modeli 24 Yıl Y Y -1 Y -2 1976 2 - - 1977 3 2-1978 4 3 2 1979 6 4 3 1980 7 6 4 1981 8 7 6 1982 10 8 7 1983 13 10 8 1984 14 13 10 1985 16 14 13 1986 19 16 14 1987 20 19 16 1988 21 20 19 1989 23 21 20 1990 25 23 21
Almon Polinomial Gecikme Modeli 25 Yıl Y Y -1 Y -2 X 1976 2 - - 3 1977 3 2-4 1978 4 3 2 5 1979 6 4 3 7 1980 7 6 4 11 1981 8 7 6 12 1982 10 8 7 15 1983 13 10 8 18 1984 14 13 10 22 1985 16 14 13 26 1986 19 16 14 29 1987 20 19 16 32 1988 21 20 19 35 1989 23 21 20 42 1990 25 23 21 50
Almon Polinomial Gecikme Modeli 26 Yıl Y Y -1 Y -2 X X -1 1976 2 - - 3-1977 3 2-4 3 1978 4 3 2 5 4 1979 6 4 3 7 5 1980 7 6 4 11 7 1981 8 7 6 12 11 1982 10 8 7 15 12 1983 13 10 8 18 15 1984 14 13 10 22 18 1985 16 14 13 26 22 1986 19 16 14 29 26 1987 20 19 16 32 29 1988 21 20 19 35 32 1989 23 21 20 42 35 1990 25 23 21 50 42
Almon Polinomial Gecikme Modeli 27 Yıl Y Y -1 Y -2 X X -1 X -2 1976 2 - - 3 - - 1977 3 2-4 3-1978 4 3 2 5 4 3 1979 6 4 3 7 5 4 1980 7 6 4 11 7 5 1981 8 7 6 12 11 7 1982 10 8 7 15 12 11 1983 13 10 8 18 15 12 1984 14 13 10 22 18 15 1985 16 14 13 26 22 18 1986 19 16 14 29 26 22 1987 20 19 16 32 29 26 1988 21 20 19 35 32 29 1989 23 21 20 42 35 32 1990 25 23 21 50 42 35
Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları 1.Adım: ükeim cari yılı ve ondan sonraki b ler için belli bir gecikme sayısı r seçilir. 2.Adım: r nin derecesine göre polinom aşağıdaki denklemde i k i i u b X Y 0 yerine konur. i i u X i a i a a Y 2 0 2 2 1 0 ) ( 28
Almon Polinomial Gecikme Modeli 2 2 0 1 2 i i0 2 2 2 2 0 i 1 i 2 i i0 i0 i0 Y a a i a i X u Y a X a ix a i X u Y a Z a Z a Z u 0 0 1 1 2 2 2 Z X X X X 0 i 1 2 i0 2 Z ix X 2X 1 i 1 2 i0 29 2 2 2 i 1 2 i0 Z i X X 4X
Almon Polinomial Gecikme Modeli 30 Yıl Y X Z 0 Z 1 Z 2 1976 2 3 - - - 1977 3 4 - - - 1978 4 5 12 10 16 1979 6 7 16 13 21 1980 7 11 23 17 27 1981 8 12 30 25 39 1982 10 15 38 34 56 1983 13 18 45 39 63 1984 14 22 55 48 78 1985 16 26 66 58 94 1986 19 29 77 70 114 1987 20 32 87 81 133 1988 21 35 96 90 148 1989 23 42 109 99 163 1990 25 50 127 112 182 Z 0 =X +X -1 +X -2 = 5+4+3=12 Z 1 =X -1 +2X -2 =11+2(7)=25 Z 2 =X -1 +4X -2 =15+4(12)=63
31 Almon Polinomial Gecikme Modeli Dependen Variable: Y Mehod: Leas Squares Included observaions: 13 afer adjusing endpoins a 0 a 1 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 3.489448 0.684390 5.098623 0.0006 Z0-0.053152 0.231098-0.229999 0.8232 Z1 0.673845 1.140014 0.591085 0.5690 Z2-0.252952 0.575290-0.439694 0.6705 R-squared 0.982376 Mean dependen var 14.30769 Adjused R-squared 0.976501 S.D. dependen var 6.956827 S.E. of regression 1.066430 Akaike info crierion 3.214170 Sum squared resid 10.23546 Schwarz crierion 3.388001 Log likelihood -16.89211 F-saisic 167.2228 Durbin-Wason sa 1.028537 Prob(F-saisic) 0.000000 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 a 2
32 Almon Polinomial Gecikme Modeli Orijinal b i kasayılarının ahmini için; Y=3.4894-0.05315Z 0 +0.6738Z 1-0.2529Z 2 b i = a 0 + a 1 i + a 2 i 2 1 0 1 2 b a 2a 4a 2 0 1 2 a 0 a 1 a 2 b0 a0 0.0532 b a a a 0.0532 0.6738 0.253 0.3676 Orijinal Dağıılmış Gecikme Modeli; 0.0532 20.6738 40.253 0.2824 Y 3.4894 0.0532X 0.3676X 0.2824X 1 2
Koyck Modeli b paramerelerine sınırlama koyan ekniklerden biri de Koyck ekniğidir. Koyck, sonsuz sayıda gecikme modelindeki b gecikme kasayılarının geomerik bir dizi şeklinde azaldığını kabul ederek gecikmeli modelini oluşurmuşur. Y b X b X b X... u o 1 1 2 2 Koyck b i lerin geomerik olarak azaldığını varsayar: b k = b 0 l k, k=0,1,. 33 = Geomerik Gecikmeli Kasayılar l: Dağıılmış gecikmenin azalma oranı 0 < l < 1 1-l: uyum hızı yada inibak hızı
Koyck Model Dağıılmış gecikme modeli Koyck Modeli varsayımı ile şu şekilde yazılabilir: b k = b 0 l k, k=0,1 ve 2 değerleri verilerek aşağıdaki sonuçlar elde edilir. b 0 0 b0l b0 2 k b1 b0l, b2 b0l..., bk b0l Y b X b X b X... u o 1 1 2 2 modelinde b lar yerine eşileri konursa Y b X b lx b l X... u (1) 2 0 0 1 0 2 34 Koyck modeli elde edilir.
Koyck Model Dönüşümü Y b X b lx b l X... u (1) 2 0 0 1 0 2 (1) No lu model bir dönem gecikirilerek yazılır: Y b X b lx b l X... u (2) 2 1 0 1 0 2 0 3 1 (2) no lu modelin her iki arafı l ile çarpılır: ly l lb X b l X b l X... lu (3) 2 3 1 0 1 0 2 0 3 1 (1 ) no lu model (3) no lu modelden çıkarılır: 35
36 Koyck Model Y ly b X b lx b l X... u 2 1 0 0 1 0 2 l lb X b l X... lu (4) 2 0 1 0 2 1 Y ly b X u l lu 1 0 1 v u l u 1 Y 1 l b0x ly 1+v (5) = Dönüşümlü Koyck Modeli
37 Koyck Modelinin Özellikleri: 1. Koyck dönüşümü ile ooregresiv model ahmin edilmekedir. 2.Koyck modelinin çözümü kolay olmakla beraber önemli bir sakıncası vardır: Y -1 bağımsız değişkeni sokasikir, halbuki EKKY varsayımlarından biri de bağımsız değişkenin sokasik olmamasıdır. 3. Dönüşümlü Koyck modelinin ikinci sakınca da; v haa eriminin ookorelasyonlu olmasıdır.
38 Koyck Modelinin Özellikleri: 4.(5) nolu ooregresiv modelinde Y -1 değişkeninin varlığı Durbin-Wason d ookorelasyon esinin yapılmasını önlediğinden ookorelasyon için ayrı bir es olan Durbin s h esi uygulanmakadır. 5.Koyck Modelinde oralama gecikmesi l / (1 l) 6.Koyck model: Medyan Gecikme log2 / logl 7.Medyan Gecikme, X deki bir birimlik değişmenin Y de yapacağı oplam değişmenin yarısının kaç dönem sonra gerçekleşeceğini gösermekedir.
Using Economerics, A.H.Sudenmund, p.415-416 CO = f(yd, YD -1, YD -2, ec.) + u CO = 0 + b 0 YD + lco -1 + u Yukarıdaki denklemlerden birincisi dağıılmış gecikmeli model, ikincisi dönüşümlü Koyck modelidir. Buna göre aşağıda verilen dönüşümlü Koyck modelinden harekele dağıılmış gecikme modelini ahmin ediniz. Aşağıdaki eşilik yalnızca oplam ükeim fonksiyonuna uymanın yanında Milon Frieadman arafından önerilen daimi gelir hipoezidir. 1964-1994 39 CO = -38.11+ 0.52 YD + 0.46 CO -1 c 4.44 3.74 Düz-R 2 =0.998
CO = 0 + b 0 YD + lco -1 + u 1964-1994 CO = -38.11+ 0.52 YD + 0.46 CO -1 c 4.44 3.74 Düz-R 2 =0.998 CO = + b 0 YD + b 1 YD -1 + b 2 YD -2 + + b k YD -k 0 (1-l) 38.11 (1-0.46) = -70.57 b k = b 0 l k k=0 b 0 = 0.52 ; l= 0.46 k=1 b = (0.52)(0.46) 1 1 = b 0 l 1 = 0.24 k=2 b = (0.52)(0.46) 2 2 = b 0 l 2 = 0.11 CO = 70.57 + 0.52 YD + 0.24 YD -1 + 0.11 YD -2 + 0.05 YD -3 + 40
41 Koyck Model Uygulaması PPCE = -841.86 + 0.71 PDPI + 0.2954 PPCE -1 (-2.41) (5.46) (2.37) R 2 =0.9912 d=1.014 PPCE: kişi başına ükeim harcaması PDPI: kişi başına gelir Yukarıda verilen dönüşümlü Koyck modelinden harekele uyum hızını elde ediniz.
Koyck Model Y 1l b X ly +v 0 1 PPCE = -841.86 + 0.71 PDPI + 0.2954 PPCE -1 l = 0.2954 1l = 1-0.2954 Oralama gecikme;y nin X e bağlılığının zaman içindeki hızını verir. Koyck modelinde oralama gecikme l/ (1 l) = 0.2954 / (1-0.2954) =0.4192 1yıl 12 ay 0.4192 yıl x X= 5.0304 Kişi başına ükeim harcamasındaki değişmenin %30 u (l) yaklaşık 5 ay içerisinde meydana gelmekedir. 42
CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Y = b 0 + b 1 X * + u Bağımlı değişken Y sadece X bağımsız değişkeninin gerçekleşen değerlerine değil, dönemindeki beklenen değerleri X * a bağlıdır. b 1, X * deki bir birimlik değişmenin Y de meydana geireceği oralama ekiyi ölçer. UBM ile ekonomerik modellerde gelecekeki bekleniler dikkae alınabilir. 43
44 Uyumcu bekleni modelinin elde edilişi: Bekleni değişkenleri X * lar doğrudan gözlenemediğinden, bu değişken hakkındaki bekleniler için varsayım şu şekilde yapılmakadır: * * * 1 1 X X g(x X ) Bugünün beklenisindeki değişme Uyumcu bekleni ( 0 g 1) Y = Bir maldan alep edilen mikar X * = Beklenen fiya seviyesi Bu varsayımla beklenen fiyalar arasındaki fark ile gerçekleşen ve beklenen fiyalar arasındaki fark bir uyum işlemi ile kapaılmaya çalışılmakadır.
45 CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Bugünün beklenileri X *, kısmen eski bekleniler X -1 *, kısmen de bugünkü değer X nin ışığında belirlenir. X gx (1 g)x * * 1 g: bekleni kasayısı g =0 X X 1 * * Beklenen fiyalar ile geçmiş yılların beklenen fiyaları aynı kalmaka, değişmemekedir. X g =1 * X Bekleniler % 100 gerçekleşmişir.
46 CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Y = b 0 + b 1 X * + u (1) X gx (1 g)x (2) * * 1 (2) Nolu eşilik (1) nolu modelde X * de yerine konursa Y [ gx (1 g) X ] u b b * 0 1 1 Y b b gx b 1 g X u * 1 0 1 1 Y b b gx b X gb X u (3) * * 0 1 1 1 1 1 elde edilir.
CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli Y = b 0 + b 1 X * + u (1) (1) No lu model önce bir dönem gecikirilip daha sonra da her iki arafı (1-g) ile çarpılır; Y = b + bx +u * -1 0 1-1 1 1-g * Y -1 = b0 + b1x -1+u 1 * 1-g Y = 1-g b + 1-g bx + 1-g u -1 0 1-1 1 1-g Y b g b + bx -gb X gy 1-g u (4) 47 * * -1 0 0 1-1 1-1 -1 1 şeklinde düzenlenir.
48 CAGAN IN Uyumcu Bekleni Modeli (3) nolu modelden (4) nolu model çıkarılırsa; - Y b b gx b X gb X u (3) * * 0 1 1 1 1 1 Y b g b + bx gb X gy 1-g u (4) * * -1 0 0 1-1 1-1 -1 1 Y Y 1 gb 0 gb 1 X gy 1 u (1 g) u 1 Y gb gb X 1 g Y v (5) 0 1 1 =Uyumcu Bekleni Modeli
49 Y g g X 1 g Y v (5) b b 0 1 1 =Uyumcu Bekleni Modeli v u 1 gu 1 Kısa Dönem Modeli gβ 1 (uyumcu bekleni modeli); X deki bir birimlik değişmenin Y de meydana geireceği oralama ekiyi ölçer. (kısa dönem modeli) Y = b 0 + b 1 X * + u (1) 1 ve 5 numaralı model karşılaşırılır: β 1 ; uzun dönem ekiyi gösermekedir.
50 Uyumcu Bekleni Modelinin Özellikleri: 1. Bekleni modeli ooregresiv bir modeldir yani Y -1 bağımsız değişkenini içermekedir. 2.Cagan ın bekleni modelinin haa erimi v ookorelasyonludur.
51 Uygulama: 1946-1972 dönemi dör aylık verilere dayanarak ABD için C = a 1 + a 2 X + a 3 C -1 + u modeli aşağıdaki gibi ahmin edilmişir. C 2.361 0.2959X 0.6755C 1 C : Toplam Tükeim X : Toplam Gelir Yukarıdaki kısa dönem modelinden aşağıdaki uzun dönem modelini elde ediniz. * 1 2 C b b X u
C a 1 a 2 X C 2.361 0.2959X 0.6755C 1 a 3 C -1 u a 2 = gb 2 a 3 =(1-g) a 3 =(1-g)= 0.6755 g = 0.3245 a gb 2 2 b a / g 0.2959/ 0.3245 0.91 2 2 C b b X u * 1 2 52 a 2 :kısa dönem eki a 2 =0.2959 b 2 :Uzun dönem eki b 2 =0.91
53 a 2 ; kısa dönem eki=0.30 b 2 ; uzun dönem eki=0.91 Cari veya gözlenen gelirdeki bir birimlik arış ükeimi yaklaşık 0.30 birim arırırken; gelirdeki bu arış devam eiğinde ükeimi 0.91 birim arırır.
Kısmi İyileşirme Modeli Kısmi iyileşirme modelinde Y bağımlı değişkeninin isenen bir seviyesi Y * alınarak, Y = b + b X + u (1) * 0 1 doğrusal ilişkisi araşırılmakadır. Y nin gözlenen değerleri Y yerine isenen değerleri Y * lar alınarak, dönemindeki gözlenen X ye dayandırılmakadır. Y * doğrudan gözlenememekedir. 54
55 Nerlove ın kısmi iyileşirme hipoezi Y -Y = d (Y - Y ) (2) * -1-1 ( 0 d 1) d:iyileşirme kasayısı Son yıldaki gerçekleşen değişme Son yıldaki isenen değişme (arış veya azalış) (2) No lu modelde Y yalnız bırakılırsa; Y = dy +(1- d)y (3) * -1
56 Y = dy +(1- d)y * -1 * Y (1- d)y -1 Y (3) d d Y = b + b X + u (1) * 0 1 (3) nolu eşilik (1) nolu modelde yerine konursa Y (1- d)y 1 = b0 + b1 X + u d d
57 Y (1- d)y 1 = b0 + b1 X + u d d Y (1- d)y = d b + b X + u 1 0 1 Y 1d Y = db db X du 1 0 1 Y = db + db X +(1- d)y + du (4) 0 1-1 = Kısmi İyileşirme Modeli = Kısa Dönem Modeli
58 Kısmi İyileşirme Modelinin Özellikleri: 1. Kısmi İyileşirme modeli de ooregresiv bir modeldir.yani Y -1 bağımsız değişkenini içermekedir. 2.Haa erimi u ookorelasyonlu değildir.
Y * bir şirkein arzu eiği sok mal düzeyi, Y gerçek sok mal düzeyi X saış mikarı olsun. Arzu edilen sok mal düzeyinin saışlara bağlı olduğunu varsayarsak: Y * = + bx 59
Pazardaki belirsizliklerden dolayı, arzu edilen ve gerçek sok mal düzeyleri arasındaki açık, bir anda kapaılamaz. Ancak her dönemde açığın belli bir kısmı kapaılabilir. d parameresi, kısmî düzelme kasayısı; 1/ d: düzelme hızıdır. Düzelme kasayısı(d), açığın bir dönemde kapaılacak oransal mikarını; Düzelme hızı (1/ d )ise, açığın amamen kapaılabilmesi için geçmesi gereken dönem sayısını verir. Örneğin; d = 0.25 ise, bir dönemde açığın %25'i kapaılabilecekir; açığın amamen kapanması için geçecek süre ise, 1/ d =1/0.25=4 yıldır. 60
61 Uygulama: 1946-1972 dönemi dör aylık verilere dayanarak ABD için C = a 1 + a 2 X + a 3 C -1 + u modeli aşağıdaki gibi ahmin edilmişir. C 2.361 0.2959X 0.6755C 1 C : Toplam Tükeim X : Toplam Gelir Yukarıdaki kısa dönem modelinden aşağıdaki uzun dönem modelini kısmi iyileşirme modeliyle elde ediniz. C b b X u * 1 2
Uygulama: C d b 1 db2x (1 d ) C 1 d u C a a X a C u 1 2 3 1 Kısmi İyileşirme Modeli C 2.361 0.2959X 0.6755C 1 a 3 =1-d d=1-a 3 d=1-0.6755=0.3245 açığın bir dönemde kapaılacak oransal mikarını verir 62 C b b X u Uzun dönem modeli * 1 2 C 7.276 0.91X b 2 uzun dönem marjinal ükeim eğilimi iken a 2 kısa dönem marjinal ükeim eğilimidir.
63 Uygulama: a db 2 2 a 2 =0.2959 kısa dönem eki b 2 =Uzun dönem MTE=0.2959/0.3245=0.91 Uzun dönemde verilen bir zaman diliminde ükeiciler (sadece ükeimlerinin üçe birini düzelmekedir (ayarlamakadır)
64 Görünüşe uyumcu bekleni ve kısmi iyileşirme modeli (ve Koyck modeli) ahmin edilen regresyon açısından bakıldığında benzerdir: Tükeicilerin davranışlarını alışkanlıklar belirliyorsa kısmi iyileşirme modeli; Tükeici davranışı ileriye yönelik gelecekeki umulan gelire bağlıysa en iyi model uyumcu bekleni modelidir. Kısmi iyileşirme modelinde EKKY uarlı ahmincileri verir. EKKY varsayımları sağlanır. Uyumcu bekleni modelinde uarlı ahminciler elde edilmeyebilir.
Uygulama: Modern Economerics R.L.Thomas (p.319-320) Değişkenler Q= 1980 fiyalarıyla gıda harcamaları, X= Cari fiyalarla oplam harcamalar, P= Gıda fiya indeksi, G= Genel fiya indeksi. ln(q * ) =b 0 + b 1 ln(x/g) + b 2 ln(p/g) + u Uzun dönem modeli ln(q) - ln(q) = d[ln(q ) - ln(q) ] * -1-1 varsayım ln(q) =b 0 d + b 1 d ln(x/g) + b 2 d ln(p/g) + (1- d) ln(q) -1 + u Kısa dönem modeli 65
ln(q) =b 0 d + b 1 d ln(x/g) + b 2 d ln(p/g) + (1- d) ln(q) -1 + u (kısa dönem modeli) Dependen Variable: LOG(Q) Mehod: Leas Squares Sample: 1965 1989 Included observaions: 25 db 1 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 4.337799 1.007119 4.307135 0.0003 LOG(X/G) 0.141664 0.051548 2.748213 0.0120 LOG(P/G) -0.197040 0.090504-2.177145 0.0410 LOG(Q(-1)) 0.478323 0.137783 3.471566 0.0023 R-squared 0.956197 Mean dependen var 12.19364 Adjused R-squared 0.949940 S.D. dependen var 0.071161 S.E. of regression 0.015922 Akaike info crierion -5.296628 Sum squared resid 0.005323 Schwarz crierion -5.101608 Log likelihood 70.20785 F-saisic 152.8076 Durbin-Wason sa 1.145060 Prob(F-saisic) 0.000000 66 db 0 db 2 (1-d)
(1-d) = 1-0.478323 d = 0.521677 db 0 = 4.3377 Uzun dönemde ükeiciler gıda harcamalarının yarısını düzelmekedir (iyileşirmekedir). (0.521677) b 0 = 4.3377 b 0 = 8.3149 db 1 = 0.141664 a 1 (0.521677) b 1 = 0.141664 b 1 = 0.27155 a 1 : kısa dönem eki b 1: uzun dönem eki db 2 = -0.197040 (0.521677) b 2 = -0.197040 67 b 2 = - 0.37770
ln(q*) = b 0 + b 1 ln(x/g) + b 2 ln(p/g) + u d = 0.521677 b 0 = 8.3149 b 1 = 0.27155 b 2 = - 0.37770 ln Q 8.3149 0.2715ln(X / G) 0.3777ln(P / G) * Uzun dönem modeli a 1 =b 1 d =0.14 b 1 = 0.27155 Kısa dönem eki Uzun dönem eki Cari veya gözlenen oplam harcamadaki %10luk arış gıda harcamasını kısa dönemde yaklaşık %1.4 arırırken ;oplam harcamadaki bu arış devam eiğinde uzun dönemde gıda harcamasını %2.7 arırır. 68
Uygulama: Aşağıdaki abloda İngilere nin 1995-2002 dönemindeki şarap ükeimi ve harcanabilir geliri ile ilgili verileri göserilmişir. Yıllar Şarap ükeimi Gelir 1995 25 47 1996 17 38 1997 22 50 1998 27 55 1999 14 45 2000 19 52 2001 22 65 2002 27 72 2 Z X X X X 0 i 1 2 i0 2 Z ix X 2X 1 i 1 2 i0 2 2 2 i 1 2 i0 Z i X X 4X Aşağıda şarap ükeiminin Almon polinomial modeli verilmişir. 69 Y = 21.635 + 0.429 Z o - 0.755 Z 1 + 0.182 Z 2 s(b i ) (17.35) (0.227) (0.812) (0.394) Buna göre orijinal modeli ahmin ediniz
70 Uygulama: Y = 21.635 + 0.429 Z o - 0.755 Z 1 + 0.182 Z 2 s(b i ) (17.35) (0.227) (0.812) (0.394) b a 0.429 0 0 1 0 1 2 b a a a 0.429 0.755 0.182 0.144 b2 a0 2a1 4a 2 0.429 2 0.755 4 0.182 0.353 Y 21.635 0.429X 0.144X 0.353X 1 2
Modern Economerics R.L.Thomas(p.320) C = Sabi fiyalarla ükeim harcamaları Y = Sabi fiyalarla kullanılabilir gelir r=2 ; k=6 6 6 6 2 0 i 1 i 2 i i0 i0 i0 C a Y a iy a i Y u Z 0 6 i0 Y i = Y +Y -1 +Y -2 +Y -3 +Y -4 +Y -5 +Y -6 Z 1 6 iy i0 i = Y -1 + 2Y -2 + 3Y -3 + 4Y -4 + 5Y -5 + 6Y -6 71 Z 2 6 2 i Y i i0 = Y -1 + 4Y -2 + 9Y -3 + 16Y -4 + 25Y -5 + 36Y -6
72 Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Koyck Modeli Uyumcu Bekleni Modeli Kısmi İyileşirme Modeli Y -1 değişkenli ooregresiv model : Dağıılmış Gecikme Modelini ahmin için kullanılmaka olan bu modeller aslında ooregresiv modeller olup Y nin gecikmeli değerlerinden oluşan Y -1 değişkenini içermekedir. Y a0 a1 X a2y 1 v Genel Ooregresiv Model Y -1 modelde bağımsız bir değişken olarak yer almaka ve v haa erimi ookorelasyonludur. Bu nedenle EKKY ile doğrudan çözülememekedir.
73 Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Koyck Modeli Uyumcu Bekleni Modeli Sokasik Y -1 bağımsız değişkeni, v haa erimi ile ilişkilidir. Bu nedenle EKK ahmincileri sapmalı ve uarsız olur. Örnek büyüklüğü sonsuza gise de ahminciler gerçek anaküle değerlerine yaklaşmazlar. Kısmi İyileşirme Modeli v =du olduğundan u haa erimi EKK varsayımlarını sağladığında v de sağlar. Bu nedenle kısmi iyileşirme modeli EKKY ahmincileri uarlı ahminler verir. Ancak küçük örneklerde bu ahminler sapmalıdır.
Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemleri Ooregresiv Modellerin EKKY ile Tahminleri Y = db + db X +(1- d )Y + du 0 1-1 = Kısmi İyileşirme Modeli v = du EKKY ile ahminlenirse; Tuarlı ahminler verir Küçük örneklemlerde bu ahminler sapmalıdır. 74
75 Ale Değişken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Haa erimi v nin ookorelasyonlu olması durumunda ADY ahmincileri Haa erimi v nin ookorelasyonlu olmaması durumunda ADY ahmincileri Küçük örnekler için sapmalı, büyük örnekler için asimoik olarak ekin olmayan ahminler elde edilir. Küçük örnekler için sapmalı, büyük örnekler için asimoik olarak ekin ve uarlı ahminler elde edilir.
76 Ale Değişken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri ADY de, problem çıkaran Y -1 değişkeni yerine geçecek bir vekil değişken bulunur. Vekil değişkene Ale Değişken de denir.
77 Ale Değişken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 Genel ooregresiv modele ADY şu iki adımda uygulanır: Adım 1: Y ile X nin gecikmeli değerleri arasındaki regresyon denklemi ahminlenir: Y c c X c X (2) 1 2 1 3 2 X e her defasında yeni bir gecikmeli X -i değişkeni eklenerek en iyi model elde edilmeye çalışılır. Böylece gecikme sayısı belirlenir.
78 Ale Değişken Yönemi ile Ooregresiv Modellerin Tahminleri Y Adım 2: (2) nolu denklemden değerleri bulunur ve bir dönem gecikirilerek Yˆ 1 ler elde edilir. Daha sonra (1) nolu regresyon denklemindeki Y -1 yerine ale değişken olarak alınarak aşağıdaki model ahminlenir: Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 ˆ 0 1 2 1 Y a a X a Y v (2) ADY Bu modelden kasayı ahminleri ahmin edilir.
No 1 ADIM 1. Y b X b X b Y v 1 1 2 2 3 1 Yukarıdaki denklemde ale değişken Yˆ 1 belirlenmekedir. Y ile X 1 ve X 2 arasındaki ilişki araşırılır. ADIM 2. Adım 1 deki denklemden Y c c X c X 0 1 1 2 2 Yˆ ler ilgili X değerleri yerine konarak hesaplanır. lerin bir dönem gecikmeli değerleri ˆ aşağıdaki model ahmin edilir. bazen şöyle de Y Yˆ 1 Y b X b X b Yˆ v 1 1 2 2 3 1 ler alınarak 79
80 Ooregresiv Modellerin Genelleşirilmiş EKKY (GEKKY) ile Tahmini Ooregresiv modellerde ookorelasyon olması durumunda GEKKY kullanımı: Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 (1) nolu model bir dönem gecikirilip p ookorelasyon kasayısı ile çarpılır py a p pa X pa Y pv (2) 1 0 1 1 2 2 1
81 Daha sonra (1) nolu modelden (2) nolu model çıkarılarak GEKK ooregresiv modeli elde edilir Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 py a p pa X pa Y pv (2) 1 0 1 1 2 2 1 Y py a 1 p a X px a Y py v pv (3) 1 0 1 1 2 1 2 1 =ooregresiv model GEKK denklemi Küçük örnekler için sapmalı, faka uarlı ve asimoik ekin ahminler elde edilir.
82 Ookorelasyon kasayısı p nin doğrudan ahmini için (3) nolu modelde Y yi yalnız bırakıp, düzenlemeler yapıldıkan sonra şu model elde edilir: Y a 1 p a X a p X a p Y a p Y v pv (4) 0 1 1 1 2 1 2 2 1 Y c c X c X c Y c Y c a 1p 0 0 0 1 2 1 3 1 4 2 c a 1 1 c a p 2 1 v pv 1 c a p 3 2 c a p 4 2
Y c c X c X c Y c Y 0 1 2 1 3 1 4 2 Denkleminde 1 1 c a ve c a p 2 1 den p bulunur pˆ c c p 1 2 X X 1 in kasayısı nin kasayısı nin doğrudan ahmini 83
p nin Wallis Yönemiyle Tahmini : Adım 1. Y -1 yerine X -1 değişkeni ale değişkeni olarak alınır. Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 Y a a X a X v 0 1 2 1 84
Adım 2. v haa eriminin örnek ahmini değerleri leri hesaplanır ve lerin birbirini akip eden değerleri arasındaki ilişki hesaplanır v ˆ vˆ r vv ˆˆ 1 n 2 1 vv ˆˆ 1 n 1 k pˆ n n vˆ 2 n Wallis yönemi ile p hesabı k=ahmin edilen a sayısı (burada k=3) k n düzelme erimi (sapmayı düzelmek için) Adım 3. Modelinde p yerine konulup EKK ile model ahmin edilir. 85 1 Y py a p a X px a Y py v pv 1 0 1 1 2 1 2 1
Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Belirlenmesi : Durbin in h Tesi Y a a X a Y v (1) 0 1 2 1 Genel ooregresiv modeli için Durbin h esi dör adımda yapılmakadır. Adım 1. Y a a X a Y v 0 1 2 1 modeli EKKY ile ahmin edilerek varyansı var(a 2 ) hesaplanır. Adım 2. Ookorelasyon kasayısı 1 pˆ (1 d) 2 d Durbin-Wason isaisiği ˆp Y -1 in kasayısı olan a 2 nin hesaplanır: 86
Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Tespii : Durbin in h Tesi Adım 3. h kriik oranı hesaplanır: h n: örnek hacmi 1 n 1 d 2 1 n [var( a )] Var(a 2 )= Y -1 gecikmeli bağımlı değişkenin kasayısının varyansı d= Durbin-Wason d isaisiği 2 87 Büyük örnekler p=0 iken h isaisiği sandar normal dağılımlıdır(oralaması sıfır, varyansı bir olan dağılım). Bu nedenle gözlenen bir h değerinin isaisiksel olarak anlamlılığı Normal Eğri Alanları Tablosundan belirlenir.
Ooregresiv Modellerde Ookorelasyonun Tespii : Durbin in h Tesi Adım 4. P( 1.96 h1.96) 0.95 h > 1.96 ise poziif ookorelasyon olmadığına dair H 0 hipoezi reddedilir. h < -1.96 ise negaif ookorelasyon olmadığına dair H 0 hipoezi reddedilir. -1.96 < h < 1.96 ise poziif veya negaif ookorelasyon olmadığı H 0 hipoezi reddedilemez, kabul edilir. h esi büyük örnekler ( n >=30) için kurulmuş olup, küçük örneklere uygulanabileceği kesin olarak göserilememiş ve küçük örnek özellikleri henüz oraya konulmamışır. 88
89 Örnek: Hindisan para alebi fonksiyonu aşağıdadır: ln M 1.6027 0.102ln R 0.6869ln Y 0.5284ln M 1 s(b i ) (1.2404) (0.3678) (0.3427) (0.2007) (1.3066) (-0.2784) (2.0108) (2.6328) R 2 =0.9227 d=1.8624 n=16 1 16 h [1 (1.8624)] 0.4617 2 2 116(0.2007) h=0.4617-1.96 ile 1.96 arasındadır. Ookorelasyon olmadığı yönündeki H 0 hipoezi kabul edilir.
Dağıılmış Gecikme ve Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemlerinin Karşılaşırılması(Öze) Gecikmeli değişkenli modeller, sadece bağımsız değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller (dağıılmış gecikmeli modeller) ile bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller(ooregressiv modeller) ve her iki grup gecikmeli değişkenleri içeren modeller olarak üçe ayrılır: Sadece bağımsız değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller(=dağıılmış gecikme modelleri) Gecikmeli değişkenli modeller 90 Bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller (=ooregresiv modeller) Dağıılmış gecikme modellerinin ahmini için kullanılan modeller (Koyck, Uyumcu Bekleni, Kısmi İyileşirme Modeli)
Dağıılmış Gecikme ve Ooregresiv Modellerin Tahmin Yönemlerinin Karşılaşırılması(Öze) Gecikmeli modeller sayesinde, bağımsız değişkenin bir birim armasının bağımlı değişken üzerindeki kısa ve uzun dönemde yapacağı arışı (veya azalış) ayırdemek mümkündür. Gecikmesi dağıılmış modeller prensip olarak EKKY ile ahmin edilebilmekedir ancak bağımsız değişken sayısının fazla olması sebebiyle serbeslik derecesi azalmaka ve çoklu doğrusal bağlanı oraya çıkmakadır. Çok sayıda gecikmeli değişkenli modellerde gecikmeli değişkenlerin kasayılarına a priori ön sınamalar konulması gerekir. Bunlar: Almon Koyck Uyumcu bekleni Kısmi iyileşirme modelleridir. 91