III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda Talor meodları prake çok az kullaılır. Ruge Kua meodları br araa üksek merebede erel kesme aası kullaırke dğer araa da ürev bulma zame ve esaplama ç geçe zama kabıı orada kaldırmakadır. Meodu ürelmesde k değşkeller ç Talor Teorem kullaılmakadır. Teorem: oksou ve c ve daa küçük merebede üm kısm ürevler d c b a D bölgesde sürekl ve D olsu. Her D ç R P eşlğ sağlaa ve arasıda ve arasıda vardır. Burada P......! ve arık erm! R şeklde ade edlr. P oksoua oksouu cvarıdak k değşkel c Talor polomu ve R e se P le lşkl arık erm der.
Örek: ç Talor polomu P cvarıdak kc ormülüde elde edlr. Bu kısm ürevlere P P 8 değerler verlrse elde edlr. Eğer e de e akı se bu polom e oldukça akı aklaşım göserecekr. Örek olarak P... 995ve... 99 olur. Dğer araa okası de uzaklaşıkça aklaşımı duarlılığı ızlı br şeklde köüleşr. Bu şeklde de görülmekedr.
Ruge Kua meoduu üremek ç aılacak lk adım a adesdek a ve değerler T ades amleecek şeklde belrlemekr. Bu şlem aaı kc merebede Talor meoduu erel kesme aası ola apılacakır. d d O de daa büük olmaacak şeklde olduğu göz öüde buludurulur ve. eşlğ de şleme kaılırsa T. (*) elde edlr. açılırsa a a cvarıda brc derecede Talor polomua a a ar elde edlr. Burada R R (**) (***) lşks le verlr ve le arasıda ve se le arasıdak br değerdr. Yukarıdak (*) ve (**) deklemlerde kasaıları ve kısm ürevler kasaıları eşlerse şu üç deklem elde edlr. : a ; : a ;
: a a ve paramereler belrleeblr. Dolaısı le. a ve T R olur ve le ı çere deklemlerde(***) R olarak ek br şeklde 8 8 eşlğ elde edlr. Eğer R üm kc merebede kısm ürevler sıırlı se O dr. Bu se kc merebede Talor meoduu erel kesme aasıı merebesdr. İkc merebede Talor meodudak T ere koulması le oluşa ark deklem meodu ora oka meodu de ble br Ruge Kua meodudur. Ora Noka Meodu: w w w w w ;... N a de alızca üç ade paramere mevcuur. T e apılacak uum ç buları üçü de gerekldr. Daa üksek merebede Talor meodlarıda erag br ç se gerekl koşulları sağlaması ç çok daa karmaşık ormlara aç vardır. T aklaşırmak ç seçlecek e ugu orm a a orm ble açılımıda oraa çıka dr. Bu erme uum
sağlaablecek eeeğe sap değldr. Souç olarak (*) ormuu kullaarak elde edleblecek e erel kesme aası O dr. Dğer araa apıla seçmde dör ade paramere varlığı bu paramereler seçmde azlada serbeslk oraa çıkarır ve çeşl O meodlarıı ürelmese olaak sağlar. Bularda e öeml k aesde brs Mode Euler Meodu dğer se Heu Meodu adı le blr. Bularda lk a a ve seçme dğer se a a ve seçme karşılık gelr. Mode Euler Meodu: Mode Euler Meodu ç ark deklem şu ormdadır. w w w w w w... N Heu Meodu: Heu Meodu ç ark deklem şu ormdadır. w w w w w w... N Her k meodda kc merebede Ruge Kua meodu olarak sııladırılır. Örek: dekleme kc merebede Ruge Kua meodlarıda erag brs ugulaması kc merebede Talor meoduu verdğ le aı ark deklem verr. w w.95w.95. bu amame derasel deklem doğasıda kaaklamakadır. Dolaısı le bu meodlarda elde edle çeşl souçları karşılaşırmak amacı le bu kez aşağıdak başlagıç değer probleme göz aalım. Bu deklem ç kes çözüm e
şekldedr. N. ve. alarak ve üm durumlar ç w olmak üzere er... 9 ç ark deklemler aşağıdak şeklde olur..95w.95..95w.95. Ora Noka Meodu: w.95w.95.. 955 Mode Euler Meodu: w. 9555 Heu Meodu: w. 95 Tabloda bu esaplamaları souçları karşılaşırılmakadır. Ke svalue O.NokaMe. O.Nok.Haa Mod.E.Me. Mod.E.Me.Haa HeuMe. HeuMe.Haa...... 5.. 7. 8. 9 5 585 8 9599 987 77 989 987 5 858 9 885 787 997 99 977 5798 5 7. 5x x 8x 5 9. 75x 5 5. x. x 5 7. x 55x. x. 9x 5 95 898 88 79 55 9859 9 987 75x. x 5. x 7. 9x 9. 78x 9x x x 8x. x 585 878 955 77 779 977 979 977 57 8. x 5. 5x 9x 9x. 88x. 97x 5. x. 7x 7. x 8. 9x T er e kadar dör paramere çere ormuda br ade le ve O aası le aklaşırılablrse de ve belrlemek ç gerekl cebr çok uzu olup burada buula lglelmeecekr. Bu adede elde edle üçücü merebede Ruge Kua meodu prake geellkle kullaılmaz. E sık kullaıla Ruge Kua meodu dördücü merebededr. Ü Dördücü Merebe Ruge Kua Meodu Dördücü Merebe Ruge Kua Meoduu ark deklem şu ormdadır. w w w k k k k... N buradak k değerler şöle aımlaır.
k w k k w k k w k w k çözümüü beş ade sürekl ürev var se bu meodu erel kesme aası k k k k değerler kaılmasıı ede Meoda ardışık uvalama gerekllğ orada kaldırmakır. O dür. kc değşkede Örek: başlagıç değer problem çözümüe aklaşımlar elde emek amacı le dördücü merebede Ruge Kua öem. N ve. le ugulamışır. Aşağıdak abloda souçlar ve apıla aa verlmekedr. Kes değ..mer.ruge K.Me. Haa...... 5.. 7. 8. 9 878 8775 887 7 5597 88 95858 989 59597 7879 875 879 88 7889 59 889 958587 99897 5999 787977 8 8. x 7 8x 7. x 7. 9x 7. 77x 7. 98x 7. 9x 7. 5x 7. 5x 7. x Ruge Kua meodlarıı ugulamasıda apıla esaplama şlemler e çok zama alaı esaplamasıdır. İkc merebe meodlarıda erel kesme aası Kua meodu er adımda dör ade esaplamaa gerek duar ve erel kesme aası O O dr ve er adımda k ade oksoel esaplaılır. Dördücü merebede Ruge dür.
Düşük merebede Ruge Kua meodlarıı karşılaşıracak br ölçü şu şeklde aımlaır. Dördücü merebede Ruge Kua meodu eğer Euler Meoduda daa üsü saılacaksa er adımda dör değerledrme gerekre Ruge Kua meodu le elde edle souçlar döre br kadar düğüm geşlğ alıarak dör adımda ve dolaısı le aı mkarda okso kullaarak Euler meoduda elde edle cevaplarda daa duarlıklı olmalıdır. Durum böle se Ruge Kua meodu Euler Meoduda daa üsüdür. Bezer şeklde eğer dördücü merebede Ruge Kua meodları kc merebede Ruge Kua meodlarıda üsü olacak se / adım geşlğ le kc merebede vereceğde daa ece adım geşlğ le vermeldrler. Çükü dördücü merebe öem er adımda kc merebe öem k msl değerledrme gerekrmekedr. Dördücü merebe Ruge Kua meoduu üsülüğüü br göserges aşağıdak öreke zlemekedr. Örek: problem ç. 5 alarak Euler meodu. 5 alarak Mode Euler meodu ve. alarak dördücü merebede Ruge Kua meodu.... ve. 5 düğüm okalarıda karşılaşırılmışır. Souçlar aşağıdak abloda verlmekedr. Tabloda.5 aklaşırmak ç bu ekklerde erbr oksoel esaplamasıa gerek dumakadır. Bu öreke dördücü merebede meodu üsü olduğu açıkır. Kes value Euler Me. Mod. E. Me.. Mer. Ruge K. Me......5.9558.897.598779.97995.99.9.88..79.97.95.898.5985.95.97.955.89.59858.9797.99
Ruge Kua(dördücü merebe) Algorması: a b aralığıda a b başlagıç değer problem çözümüü aklaşırmak ç ) a b N ve ı grd kade ) b a/ N a N eşaralıklı saılarda ) a ) w 5) de N e kadar aşağıdakler ekrar e ) k w k ) k w ) k v) k v ) w k w w k k k k k w / v) a v) w ç çıkı kade. ) Dur.