KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ Nurca BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ARALIK 9 ANKARA
Nurca BİLGİLİ tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ adlı bu tezi Yüksek Lisas tezi olarak uygu olduğuu oayları. Doç. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU. Tez Daışaı, Mateatik Aabili Dalı Bu çalışa, jüriiz tarafıda oy birliği ile Mateatik Aabili Dalıda Yüksek Lisas tezi olarak kabul ediliştir. Prof. Dr. Ciha ORHAN... Mateatik Aabili Dalı, Akara Üiversitesi Doç. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU... Mateatik Aabili Dalı, Gazi Üiversitesi Prof. Dr. Bahri TURAN... Mateatik Aabili Dalı, Gazi Üiversitesi Tarih : / / Bu tez ile G.Ü. Fe Bilileri Estitüsü Yöeti Kurulu Yüksek Lisas derecesii oaıştır. Prof. Dr. Bilal TOKLU... Fe Bilileri Estitüsü Müdürü
TEZ BİLDİRİMİ Tez içideki bütü bilgileri etik davraış ve akadeik kurallar çerçeveside elde edilerek suulduğuu, ayrıca tez yazı kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalışada orjial olaya her türlü kayağa eksiksiz atıf yapıldığıı bildiriri. Nurca BİLGİLİ
iv KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ (Yüksek Lisas Tezi Nurca BİLGİLİ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Aralık 9 ÖZET Bu tez çalışasıda koik etrik uzaylarda büzüle döüşüü presibi ve bazı sabit okta teoreleri iceleiştir. İlk olarak etrik uzaylardaki döüşüler içi sabit okta teorisi ile ilgili ö bilgiler ve bazı teel taı ve teoreler verildi. Buda sora koik taıı, çeşitleri ve bazı özellikleri verildi. Burada oral sabiti K < ola hiçbir oral koiği oladığı, her regüler koiği bir oral koik olduğu ve her bir k > sayısı içi K > k olacak şekilde bir K oral sabitie sahip bir oral koiği olduğu iceledi. Sora koik etrik uzay taıı ve bazı teel özellikleri verildi. Daha sora koik etrik uzaylarda büzüle şartıı sağlaya döüşüler içi bazı sabit okta teoreleri öce P i K oral sabiti ile bir oral koik olası varsayıı altıda ve sora da üküse orallik varsayıı ihal edilerek geelleştiriliş hali iceledi. Ayrıca koik etrik uzaylarda büzülebilirlik şartlarıı sağlaya döüşüleri çakışı ve ortak sabit oktalarıı varlığı ve bazı teoreleri iceledi. Sora koik etrik uzaylarda e iyi yaklaşı kavraı, teel taı ve teoreleri iceledi.
v So olarak da koik etrik uzaylarda küe değerli döüşüler içi sabit okta taıı verilerek bu döüşüler içi bazı sabit okta teoreleri iceledi. Bili Kodu : 4..3 Aahtar Kelieler : Metrik uzay, büzüle döüşüü, koik, koik etrik uzay, sabit okta, e iyi yaklaşılar, küe değerli döüşüler Sayfa Adedi : Tez Yöeticisi : Doç. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU
vi PRINCIPLE OF CONTRACTIVE MAPPINGS AND FIXED POINT THEOREMS IN CONE METRIC SPACES (M.Sc. Thesis Nurca BİLGİLİ GAZI UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Deceber 9 ABSTRACT I this thesis, priciple of cotractive appigs ad fied poit theores i coe etric spaces have bee ivestigated. First of all, backgroud iforatio, soe basic defiitios ad theores of fied poit theory were give for appigs i etric spaces. Secodly, defiitio, types ad soe properties of coe were give. Here, there are o oral coes with oral costat K <, every regular coe is oral ad for each k >, there are coes with oral costat K > k were ivestigated. Also defiitio ad basic properties of coe etric spaces were give. The soe fied poit theores have bee ivestigated for the appigs which satisfy the cotractive coditio before uder the assuptio of orality i P after that if it is possible by oittig the assuptio of orality i P. Also presece of coicidece ad coo fied poits of appigs which satisfy the cotractive coditio i coe etric spaces were ivestigated. The characterizatio of best approiatios ad properties were give i coe etric spaces.
vii Fially edpoits ad fied poits of set-valued cotractios were give ad soe fied poit theores of these appigs were ivestigated. Sciece Code : 4..3 Key Words : Metric space, cotractive appig, coe, coe etric space, fied poit, best approiatios, set-valued appigs Page Nuber : Adviser : Assoc. Prof. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU
viii TEŞEKKÜR Bu tez kousuu baa vere, çalışaları boyuca destekleye, yöledire ve yazıı sırasıda baa zaa ayırarak yardııı esirgeeye tez daışaı Doç. Dr. A. Dura TÜRKOĞLU a teşekkürü bir borç biliri. Ayrıca tez döei boyuca baa burs vere TÜBİTAK a (Türkiye Bilisel ve Tekik Araştıra Kuruua ve bede desteklerii hiç bir zaa esirgeeye çok sevdiği ae, baba ve kardeşlerie teşekkür ederi.
i İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... vi TEŞEKKÜR...viii İÇİNDEKİLER... i SİMGELERVE KISALTMALAR.... GİRİŞ.... BAZI TEMEL KAVRAMLAR... 4 3. KONİK METRİK UZAYLAR... 4 3.. Koikler ve Özellikleri... 4 3.. Koik Metrik Uzaylarda Bazı Teel Taı ve Teoreler... 6 4. SABİT NOKTA TEOREMLERİ... 36 4.. Koik Metrik Uzaylarda Sabit Nokta Teoreleri... 36 4.. Koik Metrik Uzaylarda Ortak Sabit Nokta Teoreleri... 67 5. KONİK METRİK UZAYLARDA EN İYİ YAKLAŞIMLARVE KÜME DEĞERLİ BÜZÜLME DÖNÜŞÜMLERİ İÇİN SABİT NOKTALAR... 9 5.. Koik Metrik Uzaylarda E İyi Yaklaşılar... 9 5.. Koik Metrik Uzaylarda Küe Değerli Döüşüler ve Sabit Noktaları... 97 6. SONUÇ... 7 KAYNAKLAR... 8 ÖZGEÇMİŞ...
SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışada kullaıla bazı sigeler, açıklaaları ile birlikte aşağıda suuluştur. Sigeler Açıklaalar ( X, ρ Metrik uzay ρ(, y ( X,d d(,y supa ifa Metrik, ile y arasıdaki uzaklık Koik Metrik uzay Koik Metrik, ile y arasıdaki uzaklık A ı e küçük üst sıırı (supreu A ı e büyük alt sıırı (ifiu Boş küe c A A küesii tüleyei { } Dizi { } dizisi e yakısar Sigeler Doğal sayılar küesi Reel sayılar küesi Altküesidir Eleaıdır Eleaı değildir Açıklaalar
i P E itp Öyle ki E az bir Her (Herhagi Koik Reel Baach Uzayı P i içi y ( y P < y y fakat y y y it P T:X X T, X te X e bir döüşü. Nor ( X,. Norlu Uzay θ Sıfır vektörü C ([ a,b] [, ] ab aralığıda. derecede türevi sürekli, reel değişkeli ve reel değerli foksiyolar. Mutlak değer
. GİRİŞ Mateatiği evresel gelişii aalizi çalışa yöteleride etkileiştir. Diğer tarafta küeleri cebirsel özellikleri aalizi gelişii içi yetersiz kaldığıda etrik uzaylara ihtiyaç duyuluştur. Metrik uzay kavraıı ilk olarak 96 yılıda Maurice Fréchet veriştir [ 5 ]. Böylece klasik aalizde oder aalize geçiş sağlaıştır. Niteki etrik ve etrik uzay kavraı reel ve kopleks teorilerde bilie bir çok öeli özellikleri herhagi bir uzaya asıl aktarılacağıı bize gösterir. Ayrıca topoloji teoriside soyut ola bir takı kavralar, etrik uzay teoriside daha sout kavralarla açıklaa ikaı bulur. Maurice Fréchet 96 yılıdaki bir çalışasıda da lieer etrik uzayları taılaıştır [ 6 ]. Buu ardıda etrik uzaylarla ilgili detaylı çalışalar yapılış ve uygulaa alaları iceleiştir [,7,7,9,3 ]. Daha sora 9 yılıda Brouwer orlu lieer uzaylarda sabit okta çalışalarıı başlatıştır. Öyle ki Brouwer, i kapalı biri yuvarıda kedi üzerie taılaa sürekli döüşüü sabit oktasıı varlığıı kaıtlaıştır [ ]. Ardıda 93 da Schauder, Brouwer i teoreii yerie herhagi bir orlu lieer uzay alarak şu şekilde geişletiştir [ 8 ]: X bir orlu lieer uzay, C X kapalı ve koveks bir alt küe ve f : C C olsu. O zaa f, C de bir sabit oktaya sahiptir. Metrik uzaylarda sabit okta teorisi ise 9 de Baach ı büzüle döüşüü presibi ile başlaıştır [ 8. ] Sorasıda sabit okta teori çalışaları iki yöde gelişiştir. Bularda biricisi ta etrik uzaylar üzeride taılı büzüle ve büzüle tipi döüşüler içi sabit okta
teorisi, diğeri ise orlu lieer uzayları kopakt koveks alt küeleri üzeride taılı sürekli döüşüler içi sabit okta teorisidir. Sabit okta teorisii ateatiği, geel topoloji, foksiyoel aaliz, lieer olaya foksiyoel aaliz, ateatiksel aaliz, operatör teori, diferesiyel dekleler, potasiyel teori, yaklaşı teorisi, kotrol sisteleri ve oyu teorisi gibi bir çok alaıda çalışa ve uygulaaları vardır. Buu dışıda istatistik, ühedislik, ateatiksel ekooi, eseklik teorisi gibi alalarda da çalışa ve uygulaalarıı görebiliriz. Yukarıda bahsedile sabit okta ile ile ilgili çalışa ve uygulaaları şu kayaklarda bulabiliriz: [ 3, 4,5,9,,4,8,9, 3, 4,3,,35,36 ]. Tü bu çalışaları ardıda so zaalarda sabit okta teorisii uygulaabileceği daha kapsalı bir uzayı olup oladığı sorusu soruldu. Ardıda 7 de Huag ve Zhag sabit oktayı iceleek içi etrik uzayları taae yeterli oladığıı ve etrik uzaylarda daha kapsalı bir uzayı olabileceğii gördüler ve bu soruu üsteside gelek içi de koik etrik uzay kavraıı verdiler [ ]. Ayrıca çalışalarıda koik etrik uzaylarda yakısaklık, talık taııı verip büzülebilir döüşülerle ilgili bazı sabit okta teorelerii ispatlaışlardır. E = ve ( {, :, } P= y E y ve X = alarak T : X X bir döüşü taılaışlardır. Bu döüşü koik etrik uzayda büzülebilir olduğu halde öklid etrik uzayıda büzülebilir değildir. Ayrıca K < olacak şekilde K oral sabitie sahip hiç bir P oral koiğii
3 oladığıı ve her bir k > reel sayısı içi K > k olacak şekilde K oral sabitie sahip oral koikleri olduğuu gösterişlerdir [ 6 ]. Ayrıca verile bazı souçları P koiğii orallik şartıı kaldırarak, oral olaya koikler içi geelleştirişlerdir [ 6 ]. Ardıda koik etrik uzaylarda bazı ortak sabit okta teoreleri ispatlaıştır [,7,3,,3,34,37 ]. Abbas ve Rhoades, Huag ve Zhag ı çalışalarıda verile bazı sabit okta teorelerii kedi çalışalarıdaki koik etrik uzaylarda ispatlaışlardır [, ]. Türkoğlu ve Abuloha koik etrik uzay topolojisiyle ilgili bazı topolojik özellikleri ve sabit okta teorelerii verişlerdir [ 33 ]. Altu ve arkadaşları da sıralı koik etrik uzaylarda bazı sabit okta teorelerii verişlerdir [ 6. ] Ilić ve Rakoćević koik etrik uzaylarda zayıf büzüle taııı vererek bazı sabit okta teorelerii ispatlaışlardır [ ]. Koik etrik uzaylarda küe değerli büzüle döüşüü taıı ilk kez Wardowski tarafıda veriliştir [ 38 ]. Rezapour da koik etrik uzaylardaki e iyi yaklaşıları ayırıcı iteliği hakkıda bazı souçlar veriştir [ 5 ]. Bu Yüksek Lisas tez çalışasıda yukarıda adı geçe yazarlar tarafıda verile taı, lea, teore ve souçlar ilişkiledirilerek aktarılıştır. Ayrıca okuyucuya kou hakkıda daha sout bilgi verebilek içi bu yazarları veriş olduğu örekler ayrıtılı iceleiştir. Böylece kou hakkıda yapılacak yei çalışalarda bu çalışaızı destekleyici olasıı aaçlaaktayız.
4. BAZI TEMEL KAVRAMLAR Bu bölüde ileride kullaılacak bazı teel taı ve teorelere yer verilecektir... Taı X boş olaya bir küe ve T : X X bir döüşü olsu. Bu duruda T = olacak şekilde bir deir. varsa, X oktasıa T döüşüüü X de bir sabit oktası Aşağıdaki öreklerde de görüleceği gibi T : X X ile taılaa bir T döüşüüü bir tek veya birde fazla sabit oktası olabileceği gibi hiç bir sabit oktası olayabilir... Örek ( X = [, ve T : X X, sabit oktasıdır. T = olsu. Bu duruda bu döüşüü bir tek = 3 ( [, X = ve : döüşüü iki sabit oktasıdır. T X X, T = olsu. Bu duruda bu =, = ( 3 (, X = + ve : T X X, 3 T bu döüşüü üç sabit oktasıdır. = olsu. Bu duruda ve =, = = ( 4 [, X = ve : sabit oktası yoktur. T X X, T = + b, b > olsu. Bu duruda T i hiç bir Ι, X üzerideki biri döüşü olak üzere T : X X döüşüüü sabit oktası aslıda
5 ( T Ι ( = dekleii çözüleridir. O halde bu deklei çözüüü bulak içi stadart bir tekik, bua karşılık gele döüşüü sabit oktalarıı bulaktır... Taı + X boş olaya bir küe olsu. Eğer ρ : X X döüşüü her,, y z X içi ( M ( ρ, y = = y ( M ρ(, y = ρ( y, ( M 3 ρ(, y ρ(, z + ρ( z, y koşullarıı sağlıyorsa ρ ya X üzeride bir etrik ve ( X, ρ ikilisie de bir etrik uzay deir. Buradaki ( M ( M 3 koşulları etrik aksiyoları olarak adladırılır..3. Taı + X boş olaya bir küe olsu. Eğer ρ : X X döüşüü her,, y z X içi ( Y X içi ( ( Y ρ(, y = ρ( y, ρ, = ( Y 3 ρ(, y ρ(, z + ρ( z, y koşullarıı sağlıyorsa ρ ya X üzeride bir pseudo (yarı etrik ve ( X, ρ ikilisie de bir pseudo (yarı etrik uzay deir..4. Taı
6 ( X, ρ herhagi bir etrik uzay olak üzere bir verildiğide ve X r > reel sayısı (, = { : ρ (, < } B r X r küesie erkezli r yarıçaplı açık yuvar, [, ] = { : ρ (, } B r X r küesie erkezli r yarıçaplı kapalı yuvar, [, ] = { : ρ (, = } S r X r küesie küre (yuvar yüzeyi deir..5. Taı ( X, ρ bir etrik uzay ve U da X i boş olaya bir alt küesi olsu. Eğer her U içi B(, r deir. U olacak şekilde bir r > sayısı varsa U küesie ρ açıktır.6. Taı Bir ( X, ρ etrik uzayıda bir A alt küesi içi A ya ρ kapalı küe deir. c A = X A küesi ρ açık ise,.. Öere ( X, ρ bir etrik uzay olsu.
7 ( a (, ( b (, X ρ içideki her açık yuvar X ρ içideki her kapalı yuvar ρ açıktır. ρ kapalıd ı r..7. Taı (, X ρ bir etrik uzay ve A ve B de X i boş olaya iki alt küesi ve X olak üzere ρ ( A, B = if { ρ( a, b : a A, b B} sayısıa A ve B küeleri arasıdaki uzaklık, ρ (, A = if { ρ(, a : a A} sayısıa oktasıı A küesie ola uzaklığı, ρ ( A = sup { ρ( ab, : ab, A} sayısıa A küesii çapı deir. Eğer ρ ( A < ise A küesie sıırlı küe, eğer ρ ( A = ise A küesie sıırsız küe deir..8. Taı Bir ( X, ρ etrik uzayıda { } bir dizi olsu. Her ε > sayısıa karşılık her ( ε içi B(, ε olacak şekilde bir ( ε doğal sayısı varsa { } oktasıa yakısar deir. Kısaca ile gösterilir. dizisi
8.. Öere ( X, ρ bir etrik uzay ve A yeterli koşul her { } A içi X olsu. A ı ρ kapalı olası içi gerekli ve olduğuda A olasıdır..9. Taı Bir ( X, ρ etrik uzayıda herhagi bir dizi { } karşılık, ε ( içi ρ (, < ε olacak şekilde bir ( ise{ } dizisie bir Cauchy dizisi deir. olsu. Eğer her ε > sayısıa ε doğal sayısı var Eğer ( X, ρ etrik uzayı içideki her Cauchy dizisi bu uzayda bir oktaya yakısıyor ise ( X, ρ ikilisie ta etrik uzay deir..3. Öere ( X, ρ bir ta etrik uzay ve A ve yeterli koşul A ı ρ kapalı olasıdır. X olsu. A küesii ta olası içi gerekli.. Taı ( X, ρ bir etrik uzay f : X X herhagi bir döüşü olsu. Her, y X içi ρ ( f, fy kρ(, y koşuluu sağlaya bir k > reel sayısı varsa f döüşüüe Lipschitz koşuluu sağlıyor deir.
9 Burada k < ise f döüşüüe büzüle döüşüü, k = ise geişleeye döüşü deir. Ayrıca y ola her, y X içi ρ ( f, fy < ρ(, y ise bu duruda f döüşüüe büzülebilir döüşü ( zayıf büzüle döüşüü deir... Taı ( X, ρ ve (, her Y ρ etrik uzaylar, ve X f : X Y bir döüşü olsu. Verile ε > sayısıa karşılık ρ (, < δ olduğuda ρ ( f (, f ( şekilde pozitif bir δ sayısı varsa, f döüşüüe < ε olacak oktasıda süreklidir deir. Yai, f, X da sürekli ( ε > içi ( (, f (, f ( δ ε > ρ < δ ρ < ε. Eğer f : X Y döüşüü her X oktasıda sürekli ise, f döüşüüe X uzayıda süreklidir deir..4. Öere ( Sabit Nokta Teorei f döüşüü [ ab, ] de [ ab, ] ye taılı sürekli bir döüşü ise, f ( dekleii [ ab, ] aralığı içide e az bir kökü vardır. =.. Taı
X boş olaya bir küe ve ΙΚ reel veya kopleks sayılar cisi olsu. Aşağıdaki koşullar sağlaıyorsa X küesie ΙΚ cisi üzeride bir lieer uzay veya vektör uzayı deir. Her, y, z X ve her α, β ΙΚ içi ( V + y X ( Kapalılık özelliği ( V ( ( ( 3 + y+ z = + y + z ( Birleşe özelliği V θ θ + = + = olacak şekilde θ X vardır. ( Biri elea özelliği ( V 4 ( ( + = + = θ olacak şekilde X vardır. ( Ters elea özelliği ( V 5 + y = y + (Değişe özelliği ( V 6 α X ( V 7 ( ( 8 α + y = α+ αy V ( α + β = α+ β ( V 9 ( αβ( = α( β ( V. = ( Burada, ΙΚ ı biri eleaıdır.3. Taı X bir lieer uzay olsu. : X + döüşüüü deki değerii ile göstereli. Bu döüşü aşağıdaki şartlarıı sağlarsa a X üzeride bir or deir. ( X, ikilisie de orlu uzay adı verilir. ( N = = θ ( N K α olak üzere α = α
( N 3 + y + y ( Üçge eşitsizliği (, X orlu uzay olsu. ρ : X X +, (, ρ y = y şeklide taılaa ρ bir etriktir. Bu etriğe or etriği deir. Dolayısıyla her orlu uzay bir etrik uzaydır..4. Taı X orlu lieer uzay olsu. Eğer X or etriğie göre ta ise X uzayıa Baach uzayı deir... Örek l = { } : < lieer uzayı : l +, her l içi = = = şeklide taılı oruyla bir reel Baach uzayıdır..3. Örek {{ } :{ } s } l = ıırlı lieer uzayı :l +, her l + içi sup { : }.4. Örek = şeklide taılı oruyla bir reel Baach uzayıdır. + ([, ] = { : :[,] } lieer uzay : C ([,], her f C ([,] C f f { } içi f sup f ( : [,] = şeklide taılı oruyla bir reel Baach uzayıdır..5. Taı
( = + + + olak üzere ((,( a dizisii ilk teriii toplaıda oluşa ( a dizisi verilsi. s a a... a deir. Burada ( kısi toplalar dizisi, ((,( a s serisii k = a a k a s ikilisie bir seri s dizisi serii ifadesi de serii geel terii adıı alır. Buda böyle ile göstereceğiz..5. Örek 5 k k = ifadesi bir seri olup geel terii a =. 5.6. Taı Bir serii kısi toplalar dizisi yakısak ise o seriye yakısak seri adı verilir. Kısi toplalar dizisii liitie serii toplaı deir. Yakısak olaya serilere de ıraksak seriler adı verilir. Yai ak serisi içi k=.5. Öere = + + + = olak üzere lis = s a k = s. s a a... a a k k = k= Yakısak serileri geel terilerii liiti dır. Yai a yakısak ise lia = =..7. Taı biçiideki serilere p-serisi deir. p =
3.6. Öere P-serileri p > içi yakısak, p içi ıraksaktır. 3. KONİK METRİK UZAYLAR
4 3.. Koikler ve Özellikleri Bu bölüde koik taııa, çeşitlerie ve bazı özelliklerie yer vereceğiz [,6 ]. 3.. Taı E bir reel Baach uzayı ve E i bir P alt küesi ( P P kapalı, P ve P { θ}, ( P a, b, a, b,, y P ise a + by P, ( P 3 P ve P ise = θ koşullarıı sağlıyorsa P küesie bir koik (coe deir [ ]. 3.. Taı E bir reel Baach uzayı ve P E bir koik olsu. Bu duruda her, y E içi y y P olarak taılı bağıtıya E üzeride kısi sıralaa deir. y fakat y olduğuu gösterek içi ise < y yazılır. Ayrıca y i t P ike de y yazılır. Burada i t P, P i içii belirtektedir[ ]. Şidi i t P ile ilgili olarak sık kullaacağıız bir leayı vereli [ 6 ]:
5 3.. Lea E bir reel Baach uzayı ve P ifadeler vardır. E bir koik ve λ > reel sayı olsu. Aşağıdaki ( i i t P + i t P i t P ( ii λ i t P i t P. İspat ( i i t P ve y i t P olsu. Bu duruda e az ve vardır öyle ki ε > ε > (, ε P ve B( y, ε P. Şidi (, ε i { ε, ε} B göstereli; B = B + y = Polduğuu z B olsu. z y < ε olur. Bu ise z y < ε ve z y < ε olasıı gerektirir. Burada ( z B( y, ε P ve ( (, ε z y B P. Şidi ( P özelliğide, ( olur. z y P. P z y+ P olduğuda ( Burada ( z y P. y P olduğuda ( de z P olur ve böylece z P. z y+ y P. Burada z P. ( P Yai B( + y, ε P olur. O halde ( it + y P olur.
6 ( ii λ > bir reel sayı ve i t şekilde bir ε > vardır. i t olduğuu göstereli; P olsu. Bu duruda (, ε B P olacak λ P olduğuu gösterek içi (, B λ λε P ( λ λε z B, olsu. Bu duruda z λ < λε olur. Yai λ z λε λ < ve z ε λ < olur. Bu ise z λ λ i t P olur. P deektir. ( P de z P ve böylece (, B λ λε P. Yai 3.3. Taı E bir reel Baach uzayı ve P E bir koik olsu. Her, y E içi e az bir K > sayısı var öyle ki θ y ike K y oluyorsa P koiğie oral koik deir. Yukarıdaki koşulları sağlaya e küçük K pozitif sayısıa P oral koiğii oral sabiti deir [ ]. 3.4. Taı E bir reel Baach uzayı ve P E bir koik olsu. Eğer P küeside alıa üstte sıırlı her arta dizi yakısak ise P koiğie regüler koik deir. Yai { },...... içi, y y E ( olacak şekilde bir dizi öyle ki bir E oluyorsa P koiğie regüler koik deir. Eşdeğer olarak P küeside alıa altta sıırlı her azala dizi yakısak ise P koiğie regüler koik deir [ ].
7 Şidi ispat edeli ki oral sabiti K < ola hiç bir oral koik yoktur [ 6 ]. 3.. Lea Noral sabiti K < ola hiç bir oral koik yoktur. İspat ( X, d bir koik etrik uzay ve P de K < oral sabiti ile bir oral koik olsu. Şidi Bu duruda θ olacak şekilde P seçeli ve < ε < olak üzere K < ε olsu. P ve ε > ike ( P de ( ε = ε P olup ( ε. Fakat ( ε > K. Bu duru P i K < oral sabiti ile bir oral koik olasıyla çelişir. O halde kabulüüz yalış olup oral sabiti K < ola hiç bir oral koik yoktur. Ayrıca öreklerle oral sabiti K = ola koikleri olduğuu göstereli: 3.. Örek E = C ([,] supreu oruyla taılası ve P { f E: f θ} K = oral sabiti ile bir koiktir. Öcelikle P bir koiktir. Çükü; = olsu. P, ( i P kapalı ( P küesi sıırıı kapsadığıda, P ( e azıda f θ P { θ} P ( f = P olduğuda. ( ii a, b, a, b ve f, g P f θ ve g θ dır. Her [,] f ( ve g( af ( ve bg ( içi =,
8 ( af ( + ( bg ( y ( af + bg ( af + bg θ af + bg P olduğu görülür. ( iii f ve f P f θ ve f θ dır. Her [,] f ( ve f ( f ( = içi f = θ olup koik ola koşulları sağlaır. Şidi P i K = oral sabiti ile bir oral koik olduğuu göstereli; θ f g olacak şekilde herhagi f, g E elealarıı alalı. Bu duruda [,] ( f = sup f t ve t g [,] ( = sup g t dur. θ f g olduğuda g f P t, yai g f θ dır. Her t [,] içi f ( t g( t f ( t g ( t sup [ ] ( [ ] t, t, ( f t sup g t f g. Böylece K = olak üzere f K g olduğu görülür. Yai P, K = oral sabiti ile bir oral koiktir. Şidi bu P oral koiğii bir regüler koik oladığıı göstereli;
9 E i elealarıı [,] olak üzere f ( 3 azala bir { f ( } dizisii alalı.... θ sıırlıdır. Fakat bu dizi E içide yakısak değildir. = şeklide taılı altta sıırlı olduğuda bu dizi altta θ ile Kabul edeli ki bu dizi E içide θ ya yakısak olsu. Bu duruda her ε > içi e az bir N var öyle ki her N Fakat f ( f θ = θ < ε olalıdır. > içi ( = = E ve ε = alıırsa f ( θ = < olur. Bu duru kabulüüzle çelişir. Dolayısıyla da bu dizi E de θ ya yakısak değildir. Burada θ yerie diğer y E eleaları alıarak seçile bu dizii E deki hiç bir oktaya yakısaadığı görülebilir. Böylece P koiğii regüler koik oladığı yai oral koik olaı regüler koik olayı gerektirediği görülür. 3.. Örek E = l ve { } oral koiktir. + { } P = E:, olak üzere P, K = oral sabiti ile bir Öcelikle P bir koiktir. Çükü; ( i P kapalı ( P küesi sıırıı kapsadığıda, P ( e azıda { } = (,,...,,... = θ P olduğuda, P { θ} ( { } (,,,...,,... olduğuda. ( ii a, b, ve { } a, b = ve { } y = y P olsu. = P Her +, her ab, + içi ve y ve a b y a + b y
a + b y P { } { } a + by P. ( iii = { } ve { } = P olsu. Her + içi ve = = θ olup koik ola koşulları sağlaır. Şidi P i K = oral sabiti ile bir oral koik olduğuu göstereli: olacak şekilde keyfi { } θ y y P. = ve { } y = y E alalı. O zaa Bu duruda y y y y = = y K y Yai K =. O halde P, K = oral sabiti ile bir oral koiktir. 3.3. Lea Her regüler koik oraldir [ 6 ]. İspat
Kabul edeli ki P oral olaya bir regüler koik olsu. Her bir içi t, s P olduğuda ve t s P t s < olacak şekilde, t s P elealarıı seçebiliriz. Çükü P oral koik oladığıda s ike t K içi K t < s. t s Şidi her bir içi y = ve = olarak seçeli.,, t t olduğuda,,, y y P, her içi y = ve <. t s t s P Böylece y serisi yakısaktır. Çükü y = ike y = = p = > ola p-serisi yakısaktır., = = Mutlak yakısak her seri yakısak olduğuda y = y olacak şekilde y eleaı vardır. = P E ve E bir reel Baach uzayı ike orlu uzay dolayısıyla etrik uzay olduğuda.7. Taı ve.. Öere edeiyle y = y ike bu serii kısi toplalar dizisi de y ye yakısar ve P koik ike kapalı olduğuda y = P. Diğer tarafta y P, yai y. Böylece y y + y y + y + y 3... y ve içi ike y 3 + + + 3... y. 3 k Yai = Sk kısi toplalar dizisi üstte y ile sıırlı, arta bir dizidir. =
P koiği regüler olduğuda bu dizi yakısaktır dolayısıyla da serisi yakısaktır. =.5. Öerede li = θ li =. Bu duru her içi < olasıyla çelişir. Dolayısıyla da kabulüüz yalış olup P koiği regüler ike oraldir. 3.4. Lea Her bir k > sayısı içi K > k olacak şekilde bir K oral sabitie sahip bir oral koik vardır [ 6 ]. İspat Keyfi k > verilsi. E = a+ b: a, b,, k reel vektör uzayıı supreu oru ile gözöüe alalı ve P { a b E: a, b } koiği regülerdir. Gerçekte; = + da E içide bir koik olsu. P Şidi { a b} + üstte sıırlı, arta bir dizi ve c + d E de üst sıır olsu. Yai her, k içi...... olsu. a + b a + b a + b c + d Bu duruda { a } ve { }. Böylece { a } ve { b } a a... c b, içide öyle iki dizidir ki... ve b b d dizileri yakısaktır. Çükü de üstte
3 sıırlı her arta dizi üst sıırıa ve altta sıırlı her azala dizi de alt sıırıa yakısar. Öyleyse a ve c b. d Bu duruda c + d P ve. Çükü a + b c + d E reel vektör uzayı, a. c ve b. d ike. E a+ b c+ d. Göstereli: ( a+ b ( c+ d = ( a c + ( b d E + { ( a c ( b d } = sup + : + { a c b d } sup + : E { + } { + } sup a c : + sup b d : ε ε < + = ε dur. ( solu boyutlu ike bütü orlar dek olduğuda Böylece P regülerdir. Dolayısıyla 3.. Leasıda P oraldir. O halde 3.. Leasıda θ g f olacak şekilde her f, g E içi e az bir K oral sabiti var öyle ki g K f. Şidi K k olduğuu göstereliyiz: Öcelikle f ( = k+ k P, g ( = k P alalı. O halde f g P yai θ g f. Bu edele de
4 g = sup g( :, k = sup k :, k = k ve f = sup f ( :, k = sup k + k :, k = k + k k = ( küçüldükçe ifade büyüdüğüde ike k = g K f = K. Diğer tarafta eğer ( Ayrıca g = k ve f = k+ + k k f = k +. k ve g ( = k olarak alırsak,, f g f g P Böylece k = g K f = K + k k ise k + k k K. < k + k < olduğuda k k < K + k k yai k < K.
5 Şidi oral olaya koikleri de buluduğua dair bir örek vereli [ 6 ]. 3.3. Örek E ([,] = C reel Baach uzayı, f f f { : } P = f E f θ da E içide bir koik olsu. = + oruyla taılı ve Şidi her bir θ g f. k k içi f ( = ve g ( = döüşülerii alalı. Bu duruda f = f + f { [ ]} { [ ]} = sup :, + sup :, = ve g = g + g { k [ ] } k [ ] { } = sup :,, k + k :,, k = + k olduğuda, k = k f < g = + k. Yai g K f olacak şekilde hiç bir K yoktur. Dolayısıyla da P oral olaya bir koiktir.
6 3. bölüü devaı, 4. ve 5. bölülerde E bir reel Baach uzayı ; P, it P olacak şekilde E içide bir koik ve bağıtısı da P üzeride bir kısi sıralaa bağıtısı olarak kabul edilecektir [ ]. 3.. Koik Metrik Uzaylarda Bazı Teel Taı ve Teoreler Bu bölüde koik etrik uzayı taılayacak ve bazı teel özelliklerii iceleyeceğiz. 3.5. Taı X, E bir reel Baach uzayı olak üzere d : X X E döüşüü ( d Her, y X içi θ < d(, y ve (, ( d Her, y X içi d(, y d( y, =, d y = θ = y ( d 3 Her, y, z X içi d(, y d(, z d( y, z +, koşullarıı sağlıyorsa, d döüşüüe X üzeride bir koik etrik ve ( X, d ye de koik etrik uzay deir [ ]. Koik etrik uzaylar etrik uzayları bir geelleesidir. 3.4. Örek E =, ( {, :, } P = y E y, X = ve : olak üzere d(, y ( y, α y uzaydır. d X X E = olsu. Bu duruda (, foksiyou α X d bir koik etrik Gerçekte;
7 Öcelikle P i koik olduğuu göstereli: ( i P kapalı ( P küesi sıırıı kapsadığıda, P ( θ P olduğuda, P { θ} ( (, y (, = P olduğuda. ( ii a, b, a, b ve z = (, y ve (, t = y P olsu. Bu duruda ve, y, y a, ay, b, by ve a + a y + b y b (, (, az + bt = a y + b y (, = a + b ay + by P. ( iii (,, (, z = y z = y P olsu. Bu duruda, y ve, y, ve y, y = ve y = (, z = = θ. olup koik ola koşulları sağlaır. Böylece P, E içide bir koiktir. Şidi ( X, d i bir koik etrik uzay olduğuu göstereli; ( d (, θ (, α (, (, α d y = y y = y y P (P taıı gereği olduğuda d(, y θ ve (, = θ (, α = (, d y y y
8 y = ve α y = = y ve ( = y. = α = veya y ( d Her, y E içi d(, y = ( y, α y = ( y, α y (, = d y. ( d 3 Her, y, z E içi d(, y = ( y, α y = ( z+ z y, α z+ z y ( z + z y, α ( z + z y = ( z, α z + ( z y + α z y (, d( z, y = d z + (, d( y, z = d z +. koşulları sağladığıda d, X üzeride bir koik etrik ve ( X, d bir koik etrik uzaydır. 3.6. Taı (, X d bir koik etrik uzay olsu. { }, X de bir dizi ve X olsu. Eğer θ c olacak şekildeki her c E içi e az bir N var öyle ki her > N içi d(, c oluyorsa, { } dizisi e yakısar veya { } deir ve bu li = ya da ( ile gösterilir [ ]. dizisii liiti dir 3.5. Lea
9 ( X, d bir koik etrik uzay ve her bir c E de θ c olacak şekilde verilsi. Bu duruda < δ olduğuda c it P olacak şekilde bir δ > vardır. İspat θ c olacak şekilde c E verildiğide c it P. ( { δ} N c = E: c < itp olacak şekilde e az bir δ > vardır. (E az bir δ c E içi c Nδ ( c olduğuda N ( c δ. Şidi hipotezde < δ c+ c < δ c+ c < δ c c δ c c < δ ( it c N c P i t δ c P. + < ( 3.6. Lea (, X d koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. { }, X de bir dizi olsu. Bu duruda { } dizisii e yakısak olası içi gerek ve yeter şart d(, θ ( olasıdır. Yai ( d( θ ( [ ],. İspat ( : olsu. ( ( d θ olduğuu göstereli;, Her ε > içi θ c ve Kc< ε olacak şekildeki c E yi seçeli. olduğuda e az bir N var öyle ki her N > içi ( d c dolayısıyla da,
3 ( olup ( c d, it P P θ < d c., Böylece d(,, c E ve P de K oral sabiti ile bir oral koik ike d(, K c. Yai e az bir N var öyle ki her > N içi d(, K c < ε. Öyleyse d(, θ (. ( : Tersie ( d θ, ( olduğuu kabul edeli. 3.5. Leasıda θ c olacak şekilde herhagi c E içi < δ ike c it P ola bir δ > sayısı vardır. d(, θ ( olduğuda δ > içi e az bir N var öyle ki N > içi d( d(, c., < δ. δ > sayısıı seçilişide ( c d, it P. Yai Dolayısıyla içi (, d c θ c olacak şekilde her c E içi e az bir N var öyle ki her > N. Dolayısıyla da (. 3.7. Lea ( X, d bir koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. { }, X de bir dizi olsu. Eğer ( ve y( { } dizisii liiti tektir [ ]. ise = y. Yai İspat
3 c ( ve y( olsu. Bu duruda θ c olacak şekilde her E içi e az bir N var öyle ki her N > içi d( c ve (, d y c., Böylece P, K oral sabiti ile bir oral koik olup d( y d(, y,c E olduğuda d( y dolayısıyla da = y., Kc θ <, c ve dur. c keyfi olduğu içi d(, y = θ 3.7. Taı ( X, d bir koik etrik uzay ve { } her c E içi e az bir N var öyle ki her, N { } dizisie X içide bir Cauchy dizisi deir [ ]., X de bir dizi olsu. Eğer θ c olacak şekilde > içi d(, c oluyorsa 3.8. Taı ( X, d bir koik etrik uzay olsu. Eğer X içideki her Cauchy dizisi yakısak ise bu duruda ( X, d koik etrik uzayıa ta koik etrik uzay deir [ ]. 3.8. Lea ( X, d bir koik etrik uzay ve { } X de bir dizi olsu. { } yakısıyorsa, { } bir Cauchy dizisidir. dizisi eleaıa Yai koik etrik uzaylarda yakısak her dizi bir Cauchy dizisidir [ ]. İspat
3 ( olsu. Bu duruda θ c olacak şekildeki her c E içi e az bir N var öyle ki her, > N içi c d (, ve c d (,. Böylece c c d (, d (, + d (, + = c. Yai { } X de bir Cauchy dizisidir. 3.9. Lea ( X, d bir koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. { }, X de bir dizi olsu. Bu duruda { } bir Cauchy dizisidir d(, θ (, [ ]. İspat ( : { }, X de bir Cauchy dizisi olsu. Her ε > içi θ c ve Kc< ε olacak şekilde bir c E seçeli.{ }, X de bir Cauchy dizisi olduğuda e az bir N var öyle ki her, N > içi d(, olduğuda e az bir N var öyle ki her, N ( d,, c E ike (, Yai d(, θ (, d K c < ε.. c. P, K oral sabiti ile bir oral koik > içi (, θ < d c ve ( : Tersie d(, θ (, şekilde herhagi c olsu. 3.5. Leasıda θ c olacak E içi < δ ike c it P ola bir δ > sayısı vardır.
33 (, θ (, d olduğuda δ > içi e az bir N var öyle ki her > içi d(, < δ. δ ı seçilişide dolayı (, N c d, itp. Böylece, N θ c olacak şekildeki Her c E içi e az bir N var öyle ki her > içi d(, c. Yai { }, X de bir Cauchy dizisidir. 3.. Lea ( X, d bir koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. { } ve { } y X içide iki dizi ve (, (, ( [ ] d y d y., y y ( olsu. Bu duruda İspat Her ε > içi θ c ve y c ε < olacak şekilde bir c 4K + olduğuda e az bir y N var öyle ki her N (, d y y c. Bu duruda E seçeli. > içi (, ve d c ve (, (, + (, + (, (, + ( 3. d y d d y d y y d y c ve (, (, + (, + (, (, + ( 3. d y d d y d y y d y c Eş. 3. de d(, y c d(, y ( ( θ + ve Eş. 3. de de d, y d, y + c.
34 O halde θ d(, y + c d(, y (, (, d y + c+ c d y = 4 c. Yai ( ( θ d, y + c d, y 4c. P, K oral sabiti ile bir oral koik ve e az bir N var öyle ki her θ < d, y + c d, y 4c olduğuda d(, y + c d(, y, > N içi ( ( 4 c E ike ( ( d, y + c d, y K 4c = 4K c. Bu duruda ( ( ( ( d, y d, y d, y d, y c + c ( ( = d, y + c d, y + c ( ( = d, y + c d, y + c 4K c + c ( 4K = + c < ε. Bu edele de d(, y d(, y( dur. 3.9. Taı
35 ( X, d bir koik etrik uzay olsu. X içideki her { } bir { } i alt dizisi varsa bu duruda (, koik etrik uzay deir [ ]. dizisii, X içide yakısak X d koik etrik uzayıa, dizisel kopakt
36 4. SABİT NOKTA TEOREMLERİ 4.. Koik Metrik Uzaylarda Sabit Nokta Teoreleri Bu bölüde büzüle şartıı sağlaya döüşüler içi bazı sabit okta teorelerii öce P i K oral sabiti ile bir oral koik olası varsayıı altıda ve sora da üküse orallik varsayııı ihal ederek geelleştiriliş halii iceleceğiz[,6 ]. 4.. Teore ( X, d bir ta koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. T : X X döüşüü büzüle şartıı sağlası. Yai her, y X içi (, kd(, y d T Ty olacak şekilde bir k [, sabiti olsu. Bu duruda T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir ve herhagi yakısar [ ]. X içi iterasyo dizisi { } T bu sabit oktaya İspat seçeli. Ve X taılayalı. = T, = T = T,..., = T = T,... olarak + + Bu duruda (, (, (, (,... (, d = d T T kd k d k d. +
37 Buda dolayı > içi; (, (, + (, +... + (, d d d d + ( k k... k d(, + + + k k (, d (Burada k < ve ike kulladık. k + k + k +... + k = k k olasıı k k P, K oral sabiti ile bir koik, > içi θ < d (, d (, (, k d E k d, (, olduğuda d (, K d (, olduğuda d(, θ (,. Böylece { } talığıda bir X var öyle ki (. k k ve. k [, bir Cauchy dizisidir. X i Diğer tarafta (, (, + (, d T d T T d T kd (, + d ( +, ( Büzüle şartı ve { } T taıı olup; P, K oral sabiti ile bir oral koik, θ < d( T, kd(, + d( +, ve (,, (, (, + d T kd + d E olduğuda,
38 ( ( ( ( ( + d T, K k d, d, +. ( ( (, θ ( ve (, d θ ( d Böylece d( T + olduğuda ike, = dolayısıyla da T = olur. Yai, T döüşüüü bir sabit oktasıdır. Şidi bu sabit oktaı tekliğii göstereli: Kabul edeli ki y da T i bir diğer sabit oktası olsu. Yai (, y θ < d. Bu duruda y dolayısıyla da θ d(, y d( T, Ty kd (, y d(, y halde kabulüüz yalış olup d(, y θ < = < olup bu duru çelişkilidir. O tektir. Keyfi yakısadığı açıktır. içi X T = yai y =. Böylece T i sabit oktası = olduğuda { } T iterasyo dizisii a Şidi 4.. Teoreii orallik şartıı ihal ederek geelleştiresii iceleyeli: 4.. Teore ( X, d ta koik etrik uzay ve T : X X döüşüü büzüle şartıı sağlası. Yai her, y X içi (, kd(, y d T Ty olacak şekilde bir k [, sabiti olsu. Bu duruda T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir ve herhagi bir yakısar [ 6 ]. X içi iterasyo dizisi { } T bu sabit oktaya
39 İspat seçeli ve X taılayalı. = T, = T = T,..., = T = T,... olarak + + Bu duruda (, (, (, (,... (, d = d T T kd k d k d olur ve + böylece > içi; (, (, + (, +... + (, d d d d + ( k k... k d(, + + + k k (, d ( Burada k < ve ike kulladık. k + k + k +... + k = k k olasıı θ c olacak şekilde c E verilsi. Bu duruda c it P. Diğer tarafta Nδ ( θ { y E: y δ} δ > seçeli. = < olduğuda ( θ c+ N P olacak şekilde δ k k d d k k (, = (, (. Dolayısıyla da k k δ > ike d(, < δ. Diğer tarafta δ ı seçilişide k c d, it P k dolayı ( k k yai d (, c(.
4 k d c k O halde e az bir var öyle ki her içi N N (, k d d c k her içi (, (, içide bir Cauchy dizisidir.. Böylece. Bu edele de { } dizisi ( X, d ( X, d ta koik etrik uzay olduğuda e az bir X var öyle ki. O halde e az bir var öyle ki her N N içi, N içi (, c d. Böylece her (, (, + (, d T d T T d T (, ( +, kd + d (, ( +, d + d c c + = c. ike < olup λit P it P( λ c it P buluur. Dolayısıyla da her ve N c c < olduğuda c it P ike içi d ( T, c. d ( T, P ve c θ ( olup P kapalı ike.. Öereside d T P ike li dt (, (, c P. Bu duruda c li li d ( T, P θ d ( T, P d ( T, P buluur. Fakat θ d( T, olduğuda (, de (, d T P. Öyleyse ( P 3 dt = θ T=. Ayrıca bu oktası tektir.
4 Gerçekte; Kabul edeli ki y da T i bir diğer sabit oktası olsu. Yai (, y θ < d. y dolayısıyla da Bu duruda θ d(, y d( T, Ty kd (, y d(, y < = < olup bu duru çelişkilidir. O halde kabulüüz yalış olup (, i sabit oktası tektir. d y = θ yai y =. Böylece T 4.. Souç ( X, d bir ta koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. θ c olacak şekilde her c E ve { } içi X (, : (, B c = X d c olsu. Kabul edeli ki T : X X döüşüü büzüle şartıı sağlası. Yai her (, y B, c içi (, kd(, y d T Ty olacak şekilde k [, sabiti var ve d( T, ( k c döüşüü B (, c içide bir tek sabit oktaya sahiptir [ ]. olsu. Bu duruda T İspat B (, c X i ta ve her B ( c içi T B ( c yeterlidir. Böylece 4.. Teoreide X yerie (, olduğuu gösterek,, B c alıış olur ve ispat biter. Kabul edeli ki { }, B ( c içide bir Cauchy dizisi olsu. Bu duruda { },, X
4 içide de bir Cauchy dizisidir. X i talığıda, ( X vardır. olacak şekilde bir Böylece (, (, (, (, d d + d d + c gerçekleir. ( B( c olduğuda (, d c., Ayrıca ( d θ olduğuu biliyoruz. Dolayısıyla da, ( ( +. Yai B ( c. Bu edele de ( d,, d c c tarafta her B ( c içi;,, B c tadır. Diğer, (, (, + (, d T d T d T T ( k c kd(, + ( k c+ kc =c. Yai T B ( c., Şidi 4.. Soucuu orallik şartıı ihal ederek geelleştiresii iceleyeli: 4.. Souç ( X, d bir ta koik etrik uzay olsu. içi B(, c { X : d(, c} θ c olacak şekilde her c E ve = olsu. Kabul edeli ki : büzüle şartıı sağlası. Yai her (, y B(, c içi T X X döüşüü X (, kd(, y d T Ty
43 olacak şekilde k [, sabiti var ve d( T, ( k c döüşüü B (, c içide bir tek sabit oktaya sahiptir [ 6 ]. olsu. Bu duruda T İspat 4.. Soucuu ispatı yeterlidir. Böylece 4.. Teoreide X yerie B (, c alıış olur ve ispat biter. 4.3. Souç ( X, d bir ta koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. Kabul edeli ki T : X X döüşüü bazı pozitif tasayıları ve her, y X içi (, kd (, y d T T y olacak şekilde bir k [, sabitie sahip olsu. Bu duruda T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir [ ]. İspat Hipotez gereği 4.. Teoreide T döüşüüü X içide bir tek sabit oktası vardır. Şidi buda yararlaarak T i de X içide bir tek sabit oktasıı olduğuu göstereliyiz. Yai, T i bir sabit oktasıdır, göstereliyiz. T i bir sabit oktasıdır, olduğuu
44 ( :, T i bir sabit oktası olsu. Bu duruda T =. O halde ( ( T T T T T T T... T = = = = = = = olup X oktası T i de bir sabit oktasıdır. O halde T i her sabit oktası T i de bir sabit oktasıdır. ( :, ( ( T T T T T T i bir sabit oktası olsu. Bu duruda T =. O halde = = olup T de T i bir sabit oktasıdır. T i X içide bir tek sabit oktası olduğuda T =. Yai, T i de bir sabit oktasıdır. Böylece T ile T i sabit oktaları ayıdır. T i bir tek sabit oktası olduğua göre T i de bir tek sabit oktası vardır. Şidi 4.3. Soucuu orallik şartıı ihal ederek geelleştiresii iceleyeli: 4.4. Souç ( X, d bir ta koik etrik uzay olsu. Kabul edeli ki T : X X döüşüü bazı pozitif tasayıları ve her, y X içi (, kd (, y d T T y olacak şekilde bir k [, sabitie sahip olsu. Bu duruda T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir [ 6 ]. İspat Hipotez gereği 4.. Teoreide T döüşüüü X içide bir tek sabit oktası vardır. İspatı devaı 4.3. Soucuu ispatı ile ayıdır. Böylece ispat biter. 4.3. Teore
45 ( X, d bir dizisel kopakt koik etrik uzay ve P de bir regüler koik olsu. T : X X döüşüü y olacak şekilde her, y X içi (, < d(, y d T Ty olacak şekilde zayıf büzüle şartıı sağlası. Bu duruda T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir [ ]. İspat Keyfi seçeli. X = T, = T = T,..., = T = T,... olsu. Eğer + + bazı tasayıları içi ise. Dolayısıyla da + = T = T bir sabit oktaya sahiptir. Kabul edeli ki her tasayısı içi bu duruda zayıf büzüle şartı gereği olsu. Eğer + d d(, + = dersek, (, (, (, d = d = d T T < d = d. + + + + + Yai { d} altta θ ile sıırlı bir azala dizidir. P bir regüler koik olduğuda d kopaktlığıda, X içideki { } i ( i. E var öyle ki d d ( dizisii bir { } i. X i dizisel alt dizisi var ve bir X içi Zayıf büzüle şartı gereği, ( ( d T, T < d,, i=,,.... i i
46 Bu duruda P regüler koik ike oral de olduğuda P i K oral sabiti içi, (, (, ( d T T K d i i dur. Böylece T T ( i i i. Bezer şekilde T T ( i i. 3.. Leasıı kullaırsak, (, (, ( d T d T i i i ve (, (, ( d T T d T T i olduğu görülür. i i Yai d( T, d d d( T, ( i i i i = =. Şidi T = olduğuu ispatlaalıyız. Eğer T ise d θ. Bu duruda θ < d = d( T, > d( T, T li d( T, T = = lid i i i i + = d. i Bu duru çelişkilidir. Çükü dizi azaladı fakat dt (, T buludu. > d yai d > d + Dolayısıyla kabulüüz yalış olup T sabit oktasıı tekliği açıktır. Çükü (, (, (, =. Yai, T i bir sabit oktasıdır. y ike T = ve T y y = ise d y = d T Ty < d y buluur fakat bu duru çelişkilidir. Öyleyse kabulüüz yalış olup T i bir tek sabit oktası.
47 4.4. Teore ( X, d bir ta koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. T : X X döüşüü her, y X içi (, ( (, + (, d T Ty k d T d Ty y şartıı sağlayacak şekilde k, sabitie sahip olsu. Bu duruda T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir ve keyfi oktaya yakısar [ ]. X içi iterasyo dizisi { } T bu sabit İspat seçeli. X = T, = T = T,..., = T = T,... olsu. + + Bu duruda, ( +, = (, ( (, + (, = ( ( +, + (, d d T T k d T d T k d d ( k d(, kd(, + d k d = hd k (, (, (, + öyle ki k h = dır. > içi; k (, (, (,... (, θ < d d + d + + d + ( h h... h d(, + + + h (,. d h h. h P, K oral sabiti ile bir oral koik olduğuda d (, K d (,
48 k, olduğuda h [, olup d(, θ (, olduğu görülür. Öyleyse { } olduğuda bir X içide bir Cauchy dizisidir. X ta koik etrik uzay X var öyle ki (. Bu duruda d( T, d( T, T + d( T, ( (, (, (, + k d T + d T + d ( k d( T, kd( T, d( +, + (, ( (, ( +, d T kd T + d k. P, K oral sabiti ile bir oral koik olduğuda, ( d T K k d d k (, ( +, + ( +,. Böylece d( T, =. Yai T =. Dolayısıyla da, T i X içideki bir sabit oktasıdır. Bu sabit oktaı tekliğii göstereli: Kabul edeli ki y, T i bir diğer sabit oktası olsu. ( Bu duruda θ d (, y d ( T, Ty k d ( T, d ( Ty, y (, = + = θ. Böylece d y = θ olak zorudadır. Yai y =. Dolayısıyla da T i X içide bir tek sabit oktası vardır. Şidi 4.4. Teoreii orallik şartıı ihal ederek geelleştiresii iceleyeli:
49 4.5. Teore ( X, d bir ta koik etrik uzay ve T : X X döüşüü her, y X içi (, ( (, + (, d T Ty k d T d Ty y şartıı sağlayacak şekilde k, sabitie sahip olsu. Bu duruda T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir ve her bir oktaya yakısar [ 6 ]. X içi iterasyo dizisi { } T bu sabit İspat Her bir ve X içi, = T, = T = T,..., = T = T olsu. + + Bu duruda, ( +, = (, ( (, + (, d d T T k d T d T ( ( +, (, = k d + d. Buda dolayı d k d hd k (, (, = (, + öyle ki k h =. k > içi, (, (, + (, +... + (, d d d d + ( h h... h d(, + + +
5 h (,. d h Şidi θ c olacak şekilde keyfi c E verilsi. Bu duruda her içi N h (, olacak şekilde d c h N yi seçebiliriz. Böylece her Cauchy dizisidir. > içi d(, c. Bu edele de { } dizisi (, X d içide bir ( X, d bir ta koik etrik uzay olduğu içi seçeli öyle ki her N N ( +, d c( k olsu. X var öyle ki. Şidi bir içi c( k d (, ve + k Böylece her içi; N ( ( + ( ( ( ( ( d T, d T, T + d T, k d T, + d T, + d,. O halde (, ( ( +, ( +, c c d T kd + d + = c. k Yai her içi d ( T, c. Bu edele de her c d T P. içi (, c θ ( ve P kapalı olduğuda d( T, P.
5 Diğer tarafta (, (, d T P olduğuu da biliyoruz. P koik olduğuda, ( 3 P de d T = θ yai T =. Böylece, T i X içide bir sabit oktasıdır. Şidi bu sabit oktaı tekliğii göstereli: Kabul edeli ki y da T i bir diğer sabit oktası olsu. O zaa ( (, (, (, (, d y = d T Ty k d T + d Ty y = θ yai y =. Böylece T i X içide bir tek sabit oktası vardır. 4.6. Teore ( X, d bir ta koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. T : X X döüşüü her, y X içi (, ( (, + (, d T Ty k d T y d Ty şartıı sağlayacak şekilde k, sabitie sahip olsu. Bu duruda T, X içide bir tek sabit oktaya sahiptir ve keyfi X T bu sabit oktaya yakısar [ ]. içi iterasyo dizisi { } İspat seçeli. X Bu duruda, = T, = T = T,..., = T = T,... olsu. + + ( +, = (, ( (, + (, d d T T k d T d T ( ( +, (, k d + d ( ( +, (, k d + d.
5 k k Yai d (, d (, = hd (, + öyle ki k h =. k Böylece > içi, (, (, + (, +... + (, d d d d + ( h + h +... + h d (, d (,. h h P, K oral sabiti ile bir oral koik olduğuda, h d K d h (, (,. k, ike h [, olduğuda d(, θ (,. Böylece { }, X içide bir Cauchy dizisidir. X i talığıda bir X var öyle ki (. Bu edele (, (, + (, d T d T T d T ( (, (, (, + k d T + d T + d ( (, (, (, (, + + k d + d T + d + d. Yai ( (, ( (, + ( +, + (, + d T k d d d k. P, K oral sabiti ile bir oral koik olduğuda,
53 ( ( + ( + d ( T, K k d (, + d (, + d, k. Yai ( oktasıdır. d T, = T =. Dolayısıyla da, T i X içide bir sabit Bu sabit oktaı tekliğii göstereli: y, T i bir diğer sabit oktası olsu. O halde, ( (, = (, (, + (, d y d T Ty k d T y d Ty ( (, (, = k d y + d y ( y = kd, (, y < d. Bu duru çelişkilidir. Dolayısıyla da (, tek sabit oktasıa sahiptir. d y = θ = y. Yai T, X içide bir Şidi 4.6. Teoreii orallik şartıı ihal ederek geelleştiresii iceleyeli: 4.7. Teore ( X, d bir ta koik etrik uzay ve T : X X döüşüü her, y X içi (, ( (, + (, d T Ty k d T y d Ty olacak şekilde k, oktaya sahiptir. sabitie sahip olsu. Bu duruda T, X içide bir tek sabit
54 Ve her bir X içi iterasyo dizisi { } T bu sabit oktaya yakısar [ ] 6. İspat Her bir ve X içi = T, = T = T,..., = T = T,... olsu. + + Bu duruda, ( +, = (, ( (, + (, d d T T k d T d T ( ( +, (, k d + d. k k Yai d (, d (, = hd (, + öyle ki k h =. k Böylece > içi, (, (, + (, +... + (, d d d d + h ( h h... h d (, d (, + + + buluur. h Şidi θ c olacak şekilde bir c E verilsi. Bir seçeli öyle ki her N N h h içi d (, c olsu. Böylece her > içi d(, c. Bu edele de { }, X içide bir Cauchy dizisidir. Ve (, uzay olduğu içi ( k c d (,. 3 X var öyle ki. Bir X d bir ta koik etrik var öyle ki her içi N N Böylece her içi, N
55 (, (, + (, d T d T T d T ( (, (, (, + k d T + d T + d ( (, (, (, (, + + k d T + d + d + d dolayısıyla da (, ( (, ( +, ( +, c c c d T kd + d + d + + = c. k 3 3 3 Böylece her içi d ( T, c. Yai her c d T P. içi (, c Bu duruda θ ( (, d T P ve P kapalı olduğuda (, idi. O halde ( 3, T i X içide bir sabit oktasıdır. P de (, d T P. Fakat d T = θ olup T = elde edilir. Yai Şidi bu sabit oktaı tekliğii göstereli: y, T i bir diğer sabit oktası olsu. ( Bu duruda d (, y = d ( T, Ty k d ( T, y + d ( Ty, ( y = kd, (, y Bu duru çelişkilidir. Dolayısıyla da (, bir tek sabit oktasıa sahiptir. < d buluur. d y = θ yai y =. Yai T, X içide
56 4.8. Teore ( X, d bir ta koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik olsu. T : X X döüşüü her, y X içi (, (, + (, d T Ty kd y ld y T olacak şekilde kl, [, sabitie sahip olsu. Bu duruda T döüşüü X içide bir sabit oktaya sahiptir. Ayrıca k + l < olduğuda ise T i bu sabit oktası tektir [ ]. İspat Her bir ve X içi = T, = T = T,..., = T = T,... olsu. + + Bu duruda, (, (, ( (, (, (,... + = + = = (, d d T T k d d T kd k d Böylece > içi, (, (, + (, +... + (, d d d d + ( k + k +... + k d (, d (,. k k P, K oral sabiti ile bir oral koik olduğuda, k d K d k (, (,.
57 k [, olduğuda d(, θ (, olduğu görülür. Öyleyse { }, X içide bir Cauchy dizisidir. X ta koik etrik uzay olduğuda bir X var (. Bu duruda, (, (, + (, d T d T d (, (, = d T T + d (, (, (, kd + ld T + d. P, K oral sabiti ile bir oral koik olduğuda, ( (, (, (, (, d T K k d + l d + d. Böylece ( d T, = T =. Yai, T i X içide bir sabit oktasıdır. Şidi k + l < olduğuda bu sabit oktaı bir tek olduğuu göstereli: y, T i bir diğer sabit oktası ve k + l < olsu. Bu duruda d(, y = d( T, Ty kd (, y + ld ( y, T (, (, = kd y + ld y ( k l d(, y d(, y = + < olup bu duru çelişkilidir. O halde (, olduğuda T i bir tek sabit oktası vardır. d y = θ yai = y. Böylece k + l < Şidi 4.8. Teoreii orallik şartıı ihal ederek geelleştiresii iceleyeli:
58 4.9. Teore ( X, d bir ta koik etrik uzay ve T : X X döüşüü her, y X içi (, (, + (, d T Ty kd y ld y T olacak şekilde kl, [, sabitie sahip olsu. Bu duruda T döüşüü X içide bir sabit oktaya sahiptir. Ayrıca k + l < olduğuda T i bu sabit oktası tektir [ 6 ]. İspat Her bir Bu duruda, ve X içi = T, = T = T,..., = T = T,... olsu. + + (, (, ( (, (, (,... + (, d = d T T k d + d T = kd = k d. Böylece > içi, (, (, + (, +... + (, d d d d + ( k + k +... + k d (, d (,. k k Şidi θ c olacak şekilde c E verilsi. seçeli öyle ki her N N içi k (, olsu. Bu duruda her d c k ( X, d içide bir Cauchy dizisidir. (, > içi d(, c. Böylece { }, X d bir ta koik etrik uzay olduğu içi X var öyle ki. Şidi seçeli öyle ki her N N içi c d(,. 3
59 O halde her N içi d( T, d(, T + d(, (, (, = d T T + d (, (, (, < d + d + d c c c + + = c. 3 3 3 Böylece her içi d ( T, c. Yai her c d T P. içi (, c Bu duruda θ ( (, d T P ve P kapalı olduğu içi (, idi. O halde ( 3 P de (, d T = θ yai T = d T P. Fakat elde edilir. Böylece, T i bir sabit oktasıdır. Şidi k + l < olduğuda bu sabit oktaı bir tek olduğuu göstereli:, y T i bir diğer sabit oktası ve k + l < olsu. Bu duruda (, = (, (, + (, d y d T Ty kd y ld T y (, (, = kd y + ld y ( k l d(, y d(, y = + < olup bu duru çelişkilidir. O halde (, olduğuda T i bir tek sabit oktası vardır. d y = θ yai = y. Böylece k + l < Bu bölüü, daha iyi alaşılası içi, bir örek ile soladıralı: 4.. Örek
6 E = yai Öklid düzlei, ( olsu. {, :, } P = y y da E de bir oral koik {( } ( { } X =, :, : olsu. d : X X E döüşüüü; 4 d( (,,( y, = y, y, 3 d( (,,(, y = y, y, 3 4 d( (,,(, y = d( (, y,(, = + y, + y 3 3 olarak taılayalı. Bu duruda ( X, d bir ta koik etrik uzaydır. Ve T : X X taıladığıda; döüşüü T( (, = (, ve ( T(, =, olarak (,,(, y y X içi, ( ((,, (( ((,,(, d T T y y kd y y 3 4 şartıı sağlayacak şekilde bir k = [, sabitie sahiptir. Göstereli: X bir koik etrik uzaydır. ( içi d(, y θ ve (, d, y X ( içi d(, y d ( y, d, y X d y = θ = y. =.
6 ( 3 d, y, z X içi; 4 =,, y = y, d, y = y, y 3 ( ( ( ( ( a z X ike eğer z ( z, 4 d( z, y = z y, z y olup 3 = ise ( 4 d, z = z, z 3, ( 4. 4 d(, z + d( z, y = ( z + z y, z + z y 3 ( 4. buluur. Eş. 4. ve Eş. 4. de d(, y d(, z d( z, y +. ( b z X ike eğer z (, z 4 d( z, y = y+ z, y+ z 3 3 olup = ise ( 4 d, z = + z, + z 3 3, 4 4 d(, z + d( z, y = + z+ y+ z, + z+ y+ z 3 3 3 3 ( 4.3 4 d, y + y, + y 3 buluur. Eş. 4. ve Eş. 4.3 de ( ( (, (, d z + d z y. ( =,, y =, y d, y = y, y 3 ( ( ( ( 4.4
6 ( a z X ike eğer z ( z, 4 d( z, y = z+ y, z+ y 3 3 olup = ise ( 4 d, z = z+, z+ 3 3, 4 4 d(, z + d( z, y = z+ + z+ y, z+ + z+ y 3 3 3 3 ( 4.5,, 3 buluur. Eş. 4.4 ve Eş. 4.5 de d( y + y ( + y (, (, d z + d z y. ( b z X ike eğer z (, z d( z, y = z y, z y 3 olup = ise ( d, z = z, z 3, d(, z + d( z, y = z + z y, 3 ( z + z y ( 4.6 buluur. Eş. 4.4 ve 4.6 da d(, y z + z y, 3 ( z + z y (, (, = d z + d z y. ( 4 =,, y =, y d, y = d y, = + y, + y 3 3 3 ( ( ( ( ( 4.7
63 ( a z X 4 d(, z = z, z 3 ike eğer z ( z,, ( 4 d z, y = z+ y, z+ y 3 3 olup = ise 4 4 d(, z + d( z, y = z + z+ y, z + z+ y 3 3 3 buluur. ( 4.8 Eş. 4.7 ve Eş. 4.8 de ( i z ise z = z 4 d, y d, z + d z, y = + y, + y 3 3 ve olacağıda ( ( ( ( ii z ise z = z olacağıda 4 8 d(, y d(, z + d( z y = + z+ y, + z+ y 3 3 3. ( b z X ike eğer z (, z d( z, y = z y, z y 3 olup = ise ( 4 d, z = + z, + z 3 3, 4 d(, z + d( z, y = + z+ z y, + z+ z y 3 3 3 ( 4.9 buluur. Eş. 4.7 ve Eş. 4.9 da
64 ( i z y ise z y = z y olacağıda 4 4 d(, y d(, z + d( z, y = + z y, + z y 3 3 3 ve ( ii z y ise z y = z+ y olacağıda 4 d(, y d(, z + d( z, y = + y, + y 3 3. Öyleyse gerçekte ( d,( d ve ( d şartları sağlaır ve böylece (, etrik uzaydır. 3 X d bir koik ( X, d koik etrik uzayı tadır. Çükü ta ve X kapalı olduğuda.3. Öereside ( X, d bir ta koik etrik uzaydır. 3 Verile şekilde taılı T : X X verildiğide, döüşüü içi her (, (,, y y X ( ((,, ((, ((,,(, d T T y y kd y y şartıı sağlayacak şekilde bir k = [, sabiti vardır. Gerçekte 3 4 ( a (,,(, y X ike d( T( (,, T( ( y, d( (,,(, y = = y, y 3 ( 4.
65 ve 4 d( (,,( y, = y, y 3 ( 4. 3 4 olup Eş. 4. ve Eş. 4. de y, y y, y 3 4 3. Yai gerçekte 3 k = sabiti bu şartı sağlar. 4 ( b (,,(, y X ike 4 d( T( (,, T( (, y d =,, y, = y, y 3 ( 4. ve d( (,,(, y = y, y 3 ( 4.3 olup Eş. 4. ve Eş. 4.3 de 3 y, y y, y 3 4 3. Yai gerçekte 3 k = sabiti bu şartı sağlar. 4 ( c (,,(, y X ike 4 d( T( (,, T( (, y d = (,, y, y, y = + + 3 3 ( 4.4
66 ve 4 d( (,,(, y = + y, + y 3 3 ( 4.5 3 4 olup Eş. 4.4 ve Eş. 4.5 de y+, y+ + y, + y 3 3 4 3 3. Yai gerçekte 3 k = sabiti bu şartı sağlar. 4 T, X üzeride öklid etriğie göre büzülebilir bir döüşü değildir. Çükü, ( ((,, ((, = ((,,(, = + ( d T T y d y y ((,,(, kd y ( = k y + olup bu şartı sağlaası içi k olalıdır. Bu ise T i öklid etriğie göre büzülebilir döüşü oladığıı gösterir. 4.. Koik Metrik Uzaylarda Ortak Sabit Nokta Teoreleri Bu bölüde koik etrik uzaylarda büzülebilirlik şartlarıı sağlaya döüşüleri çakışık ve ortak sabit oktalarıı varlığıı iceleyeceğiz [ ]. 4.. Teore ( X, d bir ta koik etrik uzay ve P de K oral sabiti ile bir oral koik