Bağımlı Kukla Değişkenler

Bağımlı Kukla Değşkenler Bağımlı değşken özünde k değer alablyorsa yan br özellğn varlığı ya da yokluğu söz konusu se bu durumda bağımlı kukla değşkenler söz konusudur. Bu durumdak modeller tahmn etmek çn dört yaklaşım vardır: -Doğrusal Olasılık Model -Logt Model -Probt Model -Tobt Model

Doğrusal Olasılık Model Y = b + b X +u Y = Eğer. Brey stenen özellğe sahpse 0 Dğer Durumlarda X = Bağımsız değşken Bu modele olasılıklı model denmesnn neden, Y nn X çn şartlı beklenen değernn, Y nn X çn şartlı olasılığına eşt olmasıdır. E(Y X )=Pr(Y = X )

Doğrusal Olasılık Model E(u ) = 0 E(Y X )= b + b X Y değşkennn olasılık dağılımı: Y Olasılık 0 -P P Toplam E(Y X ) = SY P =0.(-P ) +.(P ) = P E(Y X )= b + b X 0 E(Y X ) 3

DOM Tahmnndek Sorunlar u hata termnn normal dağılmayışı: Normallk varsayımının sağlanmaması durumunda tahmn edcler sapmasızlıklarını korurlar. Nokta tahmnde normallk varsayımı gözardı edlr. Örnek hacm sonsuza gderken EKK tahmncler çoğunlukla normal dağılıma uyarlar. DOM le yapılan statstksel çıkarsamalar normallk varsayımı altındak EKK sürecne uyarlar. 4

u ların Bnom Dağılımlı Olması EKKY varsayımlarından br u değerlernn dağılımının normal olmasıdır. Bu varsayım sayesnde katsayı tahmnlernn güven aralıkları hesaplanıp, test yapılablmektedr. DOM de u lar normal dağılmaz, bnom dağılımı gösterr: Y b b X u u Y b b X Y ve 0 değern aldığında Y = çn u b b X u b b X Y =0 çn u lar normal değldr. İk değerl bnom dağılımlıdır. Ancak büyük örneklerde DOM güven aralıkları ve hpotez testler geçerldr ve EKKY normal dağılım varsayımının sağlandığı 5 kabul edlmektedr.

u hata termnn değşen varyanslı olması: DOM de u lar eşt varyanslı değllerdr. Bunun çn keskl br Y değşken varyansından hareketle Var ( Y) ( Y Y yerne u alınarak Var ( u) ( u Y ). P( Y u) ). P( u) ( u ). P( u ) Y u İhtmal=P(u ) 0 -b -b X (-P ) -b -b X P Var(u ) ( b b X) ( P ) ( b b X) (P ) Var(u ) (b bx)( b bx) Var(u ) E(Y X )[ E(Y X )] P ( P ) 6

u nun varyansı farklıdır. u nun varyansı Y nn X çn şartlı beklenen değerne bağlıdır ve sonuçta u nun varyansı X n değerne bağlı olacak ve eşt olmayacaktır. u hata termnn değşen varyanslı olması: Var(u ) = P (-P ) DOM nn EKKY le tahmnnde ortaya çıkan farklı varyans problemne aşağıdak dönüşümlü model tahmn ederek çözüm getrmek mümkündür: Y b bx u v v v v v E(Y X )[ E(Y X )] P ( P ) 7

DOM de Farklı Varyansı Önleme E(Y X ) ler blnmedğnden bunun yerne örnek tahmn ˆ değerler hesaplanarak konarak ˆv ler kullanılır. v Y ˆ ( Y ˆ ) fadesnde yerne 0 E(Y X ) varsayımının yerne gelmeyş DOM de Y nn şartlı olasılığını gösteren E(Y X) nın 0 la arasında bulunması şarttır. Y; 0 ve değern almaktadır.bu şart Y anakütle çn geçerldr. Anakütlenn tahmncs olmayablr. Tahmn şartlı olasılıklar 0 le olmayablr: Yˆ çn geçerl 8

0 E(Y X ) 0 le arasında mıdır? DOM, EKKY le elde edldkten sonra Bunlardan br kısmı 0 dan küçük, negatf değerl se, bunlar çn Yˆ 0 değern alır. den büyük değerl se bunlar çn nn e eşt olduğu kabul edlr. Dönüştürmeden sonra EKKY tekrar uygulanır ve farklı varyansın kalktığı görüleblr. Yˆ u v eşt varyanslıdır. Bu yöntem TEKKY dr. 9

Doğrusal Olasılık Model D = b + b M +b 3 S +u D = Eğer. Kadının br ş varsa ya da ş arıyorsa 0 Dğer Durumlarda M = Eğer. Kadın evlyse dğer durumlarda 0 S =.kadının yıl olarak aldığı eğtm A =. Kadının Yaşı 0

D M A S D M A S 0 3 6 0 35 0 34 4 40 4 4 6 0 43 0 0 0 67 9 0 37 0 5 0 7 3 0 58 0 8 4 0 45 4 48 0 55 0 0 66 7 0 0 43 0 44 0 55 8 0 0 5 40 0 0 4 4 0 4 5 0 6 0 3 0 5 3 0 3 0 39 9 44 Kadının İşgücüne Katılımı Model: D =.Kadının br ş varsa ya da ş arıyorsa 0 Dğer Durumlarda M =. Kadın evlyse 0 dğer durumlarda S =.kadının yıl olarak aldığı eğtm A =. Kadının Yaşı

Kadının İşgücüne Katılımı Model D = b + b M +b 3 S +u Dependent Varable: D I Included observatons: 30 M = Kadın evlyse ;0 dğer durumlarda ; S =.kadının yıl olarak aldığı eğtm A= Kadının Yaşı Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C -0.8430 0.435743-0.6545 0.596 M I -0.38780 0.53053 -.494430 0.090 S I 0.0930 0.034598.68840 0.0 R-squared 0.363455 Mean dependent var 0.600000 Adjusted R-squared 0.36304 S.D. dependent var 0.49873 S.E. of regresson 0.400 Akake nfo crteron.59060 Sum squared resd 4.583 Schwarz crteron.9979 Log lkelhood -4.38590 F-statstc 7.70857 Durbn-Watson stat.55075 Prob(F-statstc) 0.0047

Whte Heteroskedastcty Test: F-statstc.759076 Probablty 0.6874 Obs*R-squared 6.58906 Probablty 0.5965 Dependent Varable: RESID^ Included observatons: 30 Varable Coeffcent Std. Error t- Statstc Prob. C -0.39060 0.700490-0.557639 0.58 MI -0.40659 0.3535 -.30336 0.047 MI*SI 0.0360 0.065.38049 0.797 SI 0.34 0.6635.35344 0.670 SI^ -0.0070 0.004809 -.4768 0.5 R-squared 0.9635 Mean dependent var 0.577 Adjusted R-squared 0.094777 S.D. dependent var 0.680 S.E. of regresson 0.5394 Akake nfo crteron -0.75347 Sum squared resd 0.5945 Schwarz crteron 0.5994 Log lkelhood 6.3009 F-statstc.75907 Durbn-Watson stat.96344 Prob(F-statstc) 0.6874 3

DOM de Farklı Varyansı Önleme Dependent Varable: Included observatons: 30 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. / v M / v S/ v D v b v b M v b S v u v 3 D / v -0.8454 0.36834-0.583 0.5659-0.36893 0.359 -.68355 0.03 0.08678 0.03 3.6740 0.000 R-squared 0.8770 Mean dependent var.90469 Adjusted R-squared 0.8638 S.D. dependent var.5466 S.E. of regresson 0.99809 Akake nfo crteron.786965 Sum squared resd 3.3473 Schwarz crteron.97085 Log lkelhood -38.80448 F-statstc 9.55700 Durbn-Watson stat.583787 Prob(F-statstc)0.000000 4

UYGULAMA:Cep telefonunun kullanılıp kullanılmamasını fade eden bağımlı kukla değşken 50 kşye yapılan anket sonuncunda yaş ve aylık ortalama gelr le açıklanmıştır.(y=, cep telefonuna sahp se, Y=0 cep telefonuna sahp değlse) Kş Y X(Gelr) Z(Yaş) Kş Y X(Gelr) Z(Yaş) 50 3 6 0 85 350 7 50 3 0 50 3 8 500 4 600 9 790 3 5 00 30 500 6 0 50 0 3 675 7 390 7 3 490 8 0 00 8 33 500 9 0 900 5 34 760 0 0 50 8 35 550 6 0 55 8 36 400 4 0 300 0 37 00 3 640 5 38 0 0 4 500 7 39 75 3 5 300 40 840 6 0 550 9 4 50 3 7 800 8 4 00 3 8 875 43 00 3 9 0 600 7 44 485 3 0 0 500 0 45 50 0 500 9 46 300 0 500 47 470 9 3 550 48 800 3 4 750 49 0 50 5 5 3 50 0 30 3 5

Y=, cep telefonuna sahp se, Y=0 cep telefonuna sahp değlse; X(Gelr); Z(Yaş) Dependent Varable: Y Method: Least Squares Included observatons: 50 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C -.373086 0.585035 -.34707 0.03 X 0.00049 0.00059.90037 0.0635 Z 0.08630 0.0678 3.604 0.004 R-squared 0.40 Mean dependent var 0.700 Adjusted R-squared 0.07770 S.D. dependent var0.4690 S.E. of regresson 0.404 Akake nfo crteron.653 Sum squared resd 7.978889 Schwarz crteron.373 Log lkelhood -5.06633 F-statstc 7.45357 Durbn-Watson stat.55777 Prob(F-statstc)0.00577 6

Whte Heteroskedastcty Test: F-statstc.305076 Probablty 0.060504 Obs*R-squared 0.37848 Probablty 0.06595 Dependent Varable: RESID^ Included observatons: 50 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C.34377.476.0904 0.85 X -0.004404 0.00530 -.87846 0.006 X^.63E-06 6.58E-07.47547 0.07 X*Z 0.0003 6.84E-05.9794 0.0603 Z -0.6457 0.9-0.609369 0.5454 Z^ 0.0030 0.004396 0.9595 0.7687 R-squared 0.07570 Mean dependent var0.59578 Adjusted R-squared 0.75 S.D. dependent var 0.5 S.E. of regresson 0.574 Akake nfo crteron -0.5634 Sum squared resd.96960 Schwarz crteron 0.0738 Log lkelhood 9.907860 F-statstc.3050767 Durbn-Watson stat.375 Prob(F-statstc) 0.060504

Kş Kş Kş Kş 0.7308 6 0.5338 3 0.8536 46 0.4970 0.6077 7 0.5705 3 0.767 47 0.4944 3 0.687 8 0.8658 33 0.685 48.00 4 0.867 9 0.386 34 0.8093 49 0.5586 5 0.60 0 0.5953 35.367 50 0.678 6 0.433 0.509 36 0.8907 7.44 0.685 37 0.5340 8 0.756 3 0.79 38 0.5438 9.6 4 0.8044 39 0.6939 0 0.50 5 0.785 40 0.8486 0.306 6 0.566 4 0.687 0.4970 7 0.5586 4 0.706 3.0948 8 0.685 43 0.706 4.98 9 0.9963 44 0.8463 5 0.6693 30 0.7676 45 0.5586 Y Y Y Y 8

Dependent Varable: Y / v Method: Least Squares Sample: 50 Included observatons: 44 Excluded observatons: 6 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. / v -.9607 0.59996-3.3048 0.009 X / v 0.000468 0.00070.75480 0.0087 Z/ v 0.455 0.0894 4.06939 0.000 R-squared 0.89975 Mean dependent var.904 Adjusted R-squared 0.89486 S.D. dependent var.504969 S.E. of regresson 0.84 Akake nfo crteron.487706 Sum squared resd 7.0495 Schwarz crteron.609356 Log lkelhood -5.7954 F-statstc 83.9907 Durbn-Watson stat.7877 Prob(F-statstc) 0.000000 9

DOM e Alternatf Model Arama DOM le lgl sayılan sorunlar aşılablr: DOM EKKY nn k varsayımını yerne getrmez. Hatalar normal dağılımlı değldr ve farklı varyans söz konusu olablr. En öneml problem DOM nn P =E(Y= X) nn X le doğrusal doğrusal olarak arttığını varsaymasıdır. Yan X dek marjnal veya küçük br artış hep sabttr. Gerçek hayatta se bu, beklenen br durum değldr. 0

DOM e Alternatf Model Arama 0- aralığı dışına çıkmamak koşuluyla, öyle br model bulunmalı k P le X arasındak lşk eğrsel olsun:x dek artışlar P y de arttırsın. Yukarıdak k özellğ taşıyan modeln şekl aşağıda verlmştr: P KDF - 0 Yukarıdak eğr kümülatf dağılım fonksyonuna benzemektedr. Bu fonksyon kukla bağımlı değşkenl regresyon modellernde kullanılablr. X +

Logt Model Logstk Dağılım Fonksyonu P =E(Y= X) (b bx ) e e Z Z b b X kümülatf lojstk dağılım fonksyonudur. Z Z e e P Z Z Z e e e z P e. z e z z Bahs yada olablrlk oranı -P e e Bu orana örneğn, ev sahb olma lehne fark oranı denr. Lojstk modeln her k tarafının doğal log. alındığında L P ln( ) ln P e e z L fark oranı logartması olup hem X, hem parametrelere göre doğrusaldır.z değşken - dan + a değşrken, P 0 le arasında değşr.

Logt Model Logt modelde olasılık P =E(Y= X) (b bx ) e e Z DOM de P =E(Y= X) b b X şeklndedr. 3

Logt Model Z, - le + arasında değerler alırken P nn aldığı değerler se 0 le arasında değşmektedr. Z le P arasındak lşk doğrusal değldr. 4

P = P =0 Logt Modeln Özellkler. P, 0 dan e kadar değer aldığında, Logtte -le + arasında değer alır. P ln ln ln P 0 = + P 0 0 ln ln ln P 0 = -. Logt, X e göre doğrusal ken olasılıklara göre değldr. 3. Logt modeln b katsayısı; bağımsız değşkendek br brmlk değşme karşısında logttek değşmey gösterr. 4. Logt model tahmn edldkten sonra, X bağımsız değşkennn belrl br değer çn logtn gerçekleşme olasılığı hesaplanablr. 5

Logt Model.00 F(Z) 0.75 p F( Z) e Z 0.50 Z X 0.5 0.00-8 -6-4 - 0 4 6 Z Br olayın gerçekleşme olasılığının brden büyük olması durumundan kaçınmak çn olasılığın Z nn S şeklnde br fonksyonu olduğunu varsaymak gerekr. Z, açıklayıcı 6 değşkenlern fonksyonu olarak fade edleblr.

Logt Model.00 F(Z) 0.75 p F( Z) e Z 0.50 0.5 Z X 0.00 Z -8-6 -4-0 4 6 Brçok fonksyon S şeklnde fonksyon özellklere sahptr ve yukarıda gösterldğ gb bunlardan br de lojstk fonksyondur. Z + sonsuza gderen, e -Z sıfıra gtmekte, ve p e gtmektedr. (fakat geçmemektedr.). Z sonsuza gderken, e -Z de sonsuza gtmekte ve p de sıfıra gtmektedr (fakat sıfırın altına nmemektedr.). 7

a.logt Modeln Frekanslı Verlerde EKKY İle Tahmn.Adım: P n N olasılıkları hesaplanır..adım: L ln(p P ) fark oranı logartmaları hesaplanır. L ln[n (N n )] 3.Adım: L b bx u orjnal lojstk model tahmnlenr. Farklı varyans durumu söz konusu se; orjnal lojstk modeln her k tarafı da le çarpılarak dönüşümlü lojstk model elde edlr. v L b bx u v N P ( P ) 8

a.logt Modeln Frekanslı Verlerde EKKY İle Tahmn Farklı varyans durumu söz konusu se; orjnal lojstk modeln her k tarafı da le çarpılarak dönüşümlü lojstk model elde edlr. v v L b v b vx vu L b v b X w Dönüşümlü veya Tartılı * * v N P ( P ) EKK Lojstk Model w u v 9

Logstk Model Uygulaması 300 aleden oluşan küçük br kasabada alelern, yıllık gelrler (X ) ve ev sahb olanların sayısı (n ) aşağıdak tabloda gösterlmştr. X Mlyon TL) Ale Sayısı= N Ev Sahb Olan Ale Sayısı=n Nsp Frekanslar P =n /N 0 5 0.5 6 5 6 0.4 0 35 0 0.8 6 45 5 0.33 30 50 5 0.50 40 34 8 0.53 50 30 0 0.66 60 6 6 0.6 70 0 5 0.75 80 5 0 0.67 SN = 300 Sn = 40 30

Logstk Model Uygulaması X 6 0 6 30 40 50 60 70 80 N 0 5 35 45 50 34 30 6 0 5 n 3 5 6 0 5 5 8 0 6 5 0 P 4=3/ 0.5 0.4 0.8 0.33 0.50 0.53 0.66 0.6 0.75 0.67 -P 5=-4 0.75 0.76 0.7 0.67 0.50 0.47 0.34 0.39 0.5 0.33 P /- P 6=4/5 0.33 0.3 0.39 0.49.00.3.94.56 3.00.03 L 7=ln(6) -.086 -.7-0.946-0.733 0.0000 0. 0.666 0.4446.0986 0.7080 3

Logstk Model Uygulaması Dependent Varable: L Method: Least Squares Included observatons: 0 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C -.409706 0.5776-6.5339 0.000 X 0.03669 0.004667 7.0000 0.000 R-squared 0.859649 Mean dependent var -0.089870 Adjusted R-squared 0.8406 S.D. dependent var 0.83500 S.E. of regresson 0.33799 Akake nfo crteron 0.80880 Sum squared resd 0.88073 Schwarz crteron 0.868797 Log lkelhood -.0440 F-statstc 49.0005 Durbn-Watson stat.5865 Prob(F-statstc) 0.0003 3

v=n.p.(-p) 8=.4.5 3.75 4.56 7.05 9.95.50 8.47 6.73 6.8 3.75 3.3 Logstk Model Uygulaması v 9= 8.9365.354.655 3.543 3.5355.903.594.4859.9365.893 L* 0=7.9 -.468 -.5009 -.500 -.4999 0.0000 0.3556.789.05.74.880 X* =.9 3.379 34.666 53.036 8.034 06.0660 6.430 9.7 49.576 35.5544 45.547 33

Logstk Model Uygulaması L * = -.38056 v + 0.03363 X *, s= 0.84 s(b ): (0.35) (0.00556), R = 0.80 t= (-5.967) (6.044), d=.649, F= 36.95 Gelr br brm arttığında, ev sahb olma lehne fark oranının logartması 0.033 artmaktadır. Bu fark oranına göre bell br gelr sevyesnde ev sahb olma olasılığı hesaplanablr: X=40 ken v.903 X 6.430 değerler yukarıdak denklemde yerne konduğunda L * =-0.088 bulunur. ˆ ˆ P Ant L Ant Ant Pˆ Pˆ 0.90 Pˆ olablrlk oranı * log log log( 0.088) 0.90 ˆ 0.4743 P 34

40 brm gelrl br alenn ev sahb olma olasılığı %47.43 dür. Lojstk modelden, bell br gelr sevyesnde gelrdek br brmlk artışın ev sahb olma olasılığını ne ölçüde arttıracağı tahmn edleblr: bˆ ( Pˆ) Pˆ formülünden yararlanılır. X=40 ken gelr brm arttığında ev sahb olma olasılığı [0.03363(-0.4743)0.4743]=0.00838(%0.8) 35

UYGULAMA: Kasımpatı yaprak btklern öldüren br laçtan Lt suya konan dozlar (X, Mlgram), yaklaşık 50cl. lk bt grupları(n ) üzerne sıkılmış ve ölen bt sayısı (n ) aşağıdak gb tesbt edlmştr: Doz(Ltre başına mg) X Gruplardak yaprak bt sayısı (N ) Ölen (n ) L.6 50 6 -.99 3.8 48 6-0.69 5. 46 4 0.09 7.7 49 4.79 0. 50 44.99 Bu verlerle lgl Logt tahmn model aşağıdak gbdr: 36

Dependent Varable: LI Method: Least Squares Included observatons: 5 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C -.85033 0.6009-4.73373 0.079 X 0.55044 0.09785 5.658686 0.009 37

a) Katsayı tahmnlern yorumlayınız b) X=7.7 mlgram doz sevyesnde ölüm htmal P y hesaplayınız. P L ln( ).85 0.55X P P L ln( ).85 0.55(7.7).9 P P P ln( ).95 P P.83 P 0.739 38

En Yüksek Olablrlk Yöntem İstatstkte, tüm anakütleler kendlerne karşılık gelen br olasılık dağılımı le tanımlanır. Bast(sıradan) en küçük kareler yöntem, özünde olasılık dağılımları le lgl herhang br varsayım çermez. Bu yüzden, çıkarsama yapmada BEK tek başına br şe yaramaz. BEK, genel br tahmn yaklaşımından çok regresyon doğrularını bulmada kullanılablecek br hesaplama yöntem olarak görülmeldr. 39

BEK yöntemnden daha güçlü kuramsal özellkler gösteren br başka nokta tahmncs EYO, yan en yüksek olablrlk (maxmum lkelhood) yöntemdr. En yüksek olablrlk yöntemnn ardında yatan temel lke şu beklentdr: Rassal br olayın gerçekleşmes, o olayın, gerçekleşme olasılığının en yüksek olay olmasındandır. Bu yöntem, 90 l yıllarda Inglz statstkç Sr Ronald A. Fsher (890-96) tarafından bulunmuştur. K-kare test, bayesgl yöntemler ve çeştl ölçüt modeller gb brçok statstksel çıkarım yöntem, temelde EYO yaklaşımına dayanmaktadır. 40

EYO yöntemn anlayablmek çn, elmzde dağılım katsayıları blnen farklı anakütleler ve rassal olarak belrlenmş br örneklem olduğunu varsayalım: Bu örneklemn farklı anakütlelerden gelme olasılığı farklı ve bazı ana kütlelerden gelme olasılığı dğerlerne göre daha yüksektr. Elmzdek örneklem, eğer bu anakütlelerden brnden alınmışsa, alınma olasılığı en yüksek anakütleden alınmış olmalıdır dye düşünüleblr. 4

Kısaca:. Anakütlenn olasılık dağılımı belrlenr veya bu yönde br varsayımda bulunulur.. Eldek örneklem verlernn, hang katsayılara sahp anakütleden gelmş olma olasılığının en yüksek olduğu bulunur. YALTA (007 008 Ders Notları) 4

Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olablrlk Tahmnler Y + X X X Y = b + b X + u modelnde katsayıların en çok olablrlk tahmnler yapılmadan önce modelde hata term olmadığını fade edelm. Nokta le gösterlen yerde Y değerne karşılık gelen X değernn X değerne eşt olduğunu görülmektedr. 43

Y + X Eğer modele hata termn eklersek hataların bell br ortalama ve varyansa bağlı olarak normal dağıldığını varsayablrz. X X 44

Y + X X X Şeklde gösterlen dağılış hata termnn önceden tahmn edlen dağılışıdır. Gerçekte hata termnn dağılışının bell br değere bağlı olarak modelde normal dağıldığını varsayablrz. 45

Y + X X X Ayrıca yatay eksene göre bakıldığında; şeklde gösterlen dağılış X=X durumunda Y nn tahmn dağılımını da fade etmektedr. 46

Y + X X X Y değer + X e yaklaştıkça görecel olarak daha yüksek yoğunluğa sahp olmaktadır. 47

Y + X X X Bununla brlkte + X den uzaklaştıkça yoğunluk azalmaktadır. 48

Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olablrlk Tahmnler Y + X Y nn ortalama değer + X ve hata termlernn standart sapması da s, olduğunu varsayarsak. X X 49

Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olablrlk Tahmnler Y f ( Y ) e s Y X s + X X X Y lern olasılık yoğunluk fonksyonları f(y ) fonksyonu le fade edleblr. 50

İk Değşkenl Bast Regresyon Modelnn En Yüksek Olablrlk Yöntem İle Tahmn Tek denkleml ekonometrk modellern tahmnnde EKKY dışında kullanılan alternatf yöntem En Yüksek Olablrlk Yöntemdr. Büyük örneklerde her k yöntemde yakın sonuçlar vermektedr. Küçük örneklerde se EYOBY de s e / n olup sapmalıdır. EKKY de se s e / n sapmasızdır. 5

EYOBY nn regresyon modelne uygulanışı şöyledr: Y b b X u Y bağımlı değşkennn E( Y ) b b X ortalamalı var( Y ) s varyanslı normal ve Y değerlernn bağımsız dağıldığı varsayılmaktadır. Yan Y N(b b X,s ) () 5

Bu ortalama ve varyansla Y nn Y, Y,,Y n değerlernn bleşk olasılık yoğunluk fonksyonu şöyledr: f ( Y, Y,..., Yn b b X, s ) Y ler brbrnden bağımsız olduğundan, bu bleşk olasılık yoğunluk fonksyonu, n tane breysel yoğunluk fonksyonunun çarpımı olarak yazılablecektr. f (Y,Y,...,Y n b b X,s ) f (Y b b X,s ).f (Y b b X,s )... f (Y n b b X,s ) () () dek f(y ), () dek ortalama ve varyanslı normal dağılımlı yoğunluk fonksyonu olup şöyle fade edlr: 53

) ( s s Y X Y e f... ) (... ) ( s s s s Y n X n X Y n e e Y f Y f (3) (3) ü () dek her Y yerne koyarak aşağıdak fadey elde ederz: (4) (4) de Y ler blndğnde ve b,b ve s ler blnmedğnde (4) fadesne en yüksek olablrlk fonksyonu adı verlr ve L(b,b,s ) şeklnde gösterlr. Ortak yoğunluk fonksyonları her br yoğunluk fonksyonunun çarpımına eşttr. 54

L,, s Y,...,Y n s e Y s X... s e Y n s X (5) n L,, s s n ( ) n e Y ( X ) s En yüksek olablrlk yöntem blnmeyen b parametrelernn, verlen Y nn gözlenme olasılığının ençok(maksmum) olacak tarzda tahmn esasına dayanır. Bu sebepten b lern EYOBY le tahmn çn (5) fonksyonunun maksmumunun araştırılması gerekr. Bu türevdr, türev çn en kısa yol (5) n log. nın alınmasıdır. 55

X Y X Y n n e... e ln lnl s s s s X Y ln n ln n L ln s s 0 X Y * lnl s 0 X X Y * lnl s X n Y X X Y X 56

4 X Y ** n lnl s s s s 0 X Y n lnl 3 s s s n X Y s 57

b.logt Modeln EYOBY İle Tahmn L fonksyonunu aşağıdak gb yazarız: P L ln( ) b bx P P L P L ln 0 0 se 0 ln se = + = - Örneğn hanenn ev sahb olması durumu Örneğn hanenn ev sahb olmaması durumu fadelern elde ederz. Bu da anlamsızdır. EKKY den L fonksyonundak parametrelern tahmn değerlern bulamayız. Ancak bu parametreler EYOBY le tahmn edleblr. 58

Wooldrdge Example 7. nlf kdslt6 kdsge6 age educ exper nwfenc expersq Obs: 753. nlf = kadın şgücüne katılıyorsa 0 katılmıyorsa. kdslt6 6 < yaşında küçük çocuk sayısı 3. kdsge6 6-8 yaşları arasındak çocuk sayısı 4. age kadının yaşı 5. educ eğtm yılı 6. exper deneym 7. nwfenc (alegelr ücret*saat)/000 8. expersq deneymkare 59

Wooldrdge Example 7.-LOGİT Dependent Varable: INLF Method: ML - Bnary Logt Included observatons: 753 Varable Coeffcent Std. Error z-statstc Prob. NWIFEINC -0.0345 0.0084 -.5346 0.03 EDUC 0.70 0.043440 5.09443 0.0000 EXPER 0.05870 0.03057 6.400 0.0000 EXPERSQ -0.00354 0.0006-3.04093 0.009 AGE -0.08804 0.04573-6.04035 0.0000 KIDSLT6 -.443354 0.03585-7.089695 0.0000 KIDSGE6 0.060 0.074790 0.803750 0.45 C 0.4545 0.860369 0.494500 0.60 Mean dependent var 0.568393 S.D. dependent var 0.495630 S.E. of regresson 0.45963 Akake nfo crteron.088354 Sum squared resd 35.76 Schwarz crteron.3748 Log lkelhood -40.765 Hannan-Qunn crter..0780 Restr. log lkelhood -54.873 Avg. log lkelhood -0.533553 LR statstc (7 df) 6.6 McFadden R-squared 0.968 Probablty(LR stat) 0.000000 Obs wth Dep=0 35 Total obs 753 Obs wth Dep= 48 60

D M A S D M A S 0 3 6 0 35 0 34 4 40 4 4 6 0 43 0 0 0 67 9 0 37 0 5 0 7 3 0 58 0 8 4 0 45 4 48 0 55 0 0 66 7 0 0 43 0 44 0 55 8 0 0 5 40 0 0 4 4 0 4 5 0 6 0 3 0 5 3 0 3 0 39 9 44 Kadının İşgücüne Katılımı Model: D =.Kadının br ş varsa ya da ş arıyorsa 0 Dğer Durumlarda M =. Kadın evlyse 0 dğer durumlarda S =.kadının yıl olarak aldığı eğtm A =. Kadının Yaşı 6

Logt Model Tahmnler Dependent Varable: DI Method: ML - Bnary Logt Included observatons: 30 Convergence acheved after 5 teratons Covarance matrx computed usng second dervatves Varable Coeffcent Std. Error z-statstc Prob. C -5.895933 3.3473 -.773356 0.076 MI -.5860.806 -.938 0.084 SI 0.690368 0.3588.85899 0.088 Mean dependent var 0.600000 S.D. dependent var 0.49873 S.E. of regresson 0.39977 Akake nfo crteron.0858 Sum squared resd 4.3037 Schwarz crteron.548 Log lkelhood -3.7693 Hannan-Qunn crter..9954 Restr. log lkelhood -0.9035 Avg. log lkelhood -0.44564 LR statstc ( df) 3.8685 McFadden R-squared 0.344 Probablty(LR stat) 0.000994 Obs wth Dep=0 Total obs 30 Obs wth Dep= 8 6

Probt Model Bağımlı kukla değşkenl modellerden kümülatf lojstk fonksyonundan farklı olarak, normal kümülatf dağılım fonksyonunu kullanan PROBİT(NORMAL) model vardır. F(z)= 0 Z e s ( Z ) / s z P R O B İ T (NORMAL) MODEL Probt model şu şeklde tanımlayablrz: Herhang br hanesnn ev sahb olma veya olmama kararının gözlenemeyen br fayda ndeks I ye bağlı olduğunu varsayalım. 63

I, bağımsız değşkenlere bağlıdır. Örneğn X (gelr)değşken. I = b + b X Y= hane ev sahb Y=0 hane ev sahb değl. () Her hane çn I nın bell br değernden tbaren ev sahb olma durumu söz konusudur.i değer, I * değern aştığı zaman hane, ev sahb olacak aks durumda olmayacaktır. I * I fades, faydanın bell br eşk değernden sonra söz konusu olableceğn gösterr. I * başlangıç değer de I gb gözlenemez. Ancak, aynı ortalama ve varyanslı normal dağıldığı varsayılarak I değerler yukarıdak regresyon denklemnden tahmn edlr. Tahmncler bulunur. 64

Normal dağılım varsayımıyla I * ın I den küçük veya eşt olma olasılığı aşağıdak standartlaştırılmış normal KDF le hesaplanablr: P =Pr(Y=)=Pr(I * I )=F(I ) I t / e dt b bx t / e dt () =Standartlaştırılmış Normal KDF t N(0,) =standartlaştırılmış normal değşken P =Br ev sahb olma olasılığı. 65

Probt Model P =F(I ) 0 - + P =F(I ) P I = b + b X I * <=I verlmşken ev sahb olma olasılığı P ordnatta bulunur P P verlmşken, absste I bulunur. 0 - + I =F - (P ) 66

I yı bulablmek çn no lu fadenn ters alınmalıdır. I = F - (I )= F - (P )=b +b X =Probt model F - : normal kümülatf dağılım fonksyonunun ters. 67

a. Frekanslı Verlerde Probt Model EKKY le Tahmn Etme. P = n /N hesaplanır.. I = F - (P )= normal eşdeğer sapma bulunur. 3. I = b + b X + u EKK le tahmn edlr. 4. İstenrse, I yerne, (I + 5)=probt değerler alınarak, EKKY le (3.9) tahmn edlr. 5. modelnn hata term u farklı varyanslıdır. Bu sebepten dönüşümlü değerler alınarak TEKKY uygulanablr:= 68

s u P ( P ) N f f = F - (P ) fadesne eşt standart normal yoğunluk fonksyonudur. 6. Büyük örnekler çn b 'lern güven aralıkları ve hpotez testler uygulanarak, anakütlede durumun geçerllğ araştırılablr. 7. Belrllk katsayısı R, modeln fonksyonel bçmnn y seçlp seçlmedğ konusunda bze fkr vermez. 69

Probt Model Uygulaması P 0.5 I =F - (P ) -0.6745 Probtler=Z =(I +5) 4.355 X 0.4-0.7063 4.937 6 0.8-0.588 4.47 0 0.33-0.4399 4.560 6 0.50 0.0000 5.0000 30 0.53 0.075 5.075 40 0.66 0.44 5.44 50 0.6 0.793 5.793 60 0.75 0.6745 5.6745 70 0.67 0.4399 5.4399 80 70

Probt Model Uygulaması I = -0.8587 + 0.000 X, r = 0.868 r= 0.989 s(b ) (0.008) s= 0. d=.59 t= (7.094) Z = 4.34 + 0.00 X, r = 0.86 r= 0.985 s(b ) (0.008) s= 0. d=.5637 t= (7.07) 7

Cumulatve effect b. EYOBY le PROBIT ANALİZ Margnal effect.00 F(Z) 0.75 p F(Z) 0.4 0.3 0.50 0. 0.5 0. 0.00-3 - - 0 Z X... k X k Probt analzde S şeklndek fonksyon standart normal kümülatf dağılımdır. 7 Z 0

Cumulatve effect b. EYOBY le PROBIT ANALİZ Margnal effect.00 0.75 f ( Z) e Z 0.4 0.3 0.50 0. 0.5 0. 0.00-3 - - 0 Z X... k X k EYOBY, parametrelern tahmnn elde etme de yne kullanılır. Z 0 73

Wooldrdge Example 7.-PROBİT Dependent Varable: INLF Method: ML - Bnary Probt Included observatons: 753 Varable Coeffcent Std. Error z-statstc Prob. NWIFEINC -0.004 0.004840 -.48437 0.030 EDUC 0.30905 0.0554 5.83485 0.0000 EXPER 0.3348 0.0876 6.590348 0.0000 EXPERSQ -0.00887 0.000600-3.4505 0.007 AGE -0.05853 0.008477-6.34656 0.0000 KIDSLT6-0.86839 0.85-7.3688 0.0000 KIDSGE6 0.036005 0.043477 0.884 0.4076 C 0.70077 0.508593 0.5307 0.5954 Mean dependent var 0.568393 S.D. dependent var 0.495630 S.E. of regresson 0.45945 Akake nfo crteron.0874 Sum squared resd 35.646 Schwarz crteron.365 Log lkelhood -40.30 Hannan-Qunn crter..06050 Restr. log lkelhood -54.873 Avg. log lkelhood -0.53938 LR statstc (7 df) 7.40 McFadden R-squared 0.058 Probablty(LR stat) 0.000000 Obs wth Dep=0 35 Total obs 753 Obs wth Dep= 48 74

UYGULAMA: Aşağıda br okulun eğtm le lgl verler kullanarak Probt denklemn çıkartınız. GRADE: Yen br teknğn uygulanması sonucu öğrenclern başarısı PSI: Yen Br Ekonom Öğretme Yöntem GPA: Ortalama Derece TUCE: Sınav Önces Konu le lgl Blg SKoru 75

Dependent Varable: GRADE Method: ML - Bnary Probt Included observatons: 3 Convergence acheved after 5 teratons Varable Coeffcent Std. Error z-statstc Prob. C -7.4530.5447 -.933 0.0034 GPA.6580 0.69388.343063 0.09 PSI.4633 0.595038.397045 0.065 TUCE 0.0579 0.083890 0.6666 0.5375 76

Dependent Varable: GRADE Method: ML - Bnary Logt Sample: 3 Varable Coeffcent Std. Error z-statstc Prob. C -3.035 4.9337 -.64054 0.0083 GPA.863.6940.3776 0.05 PSI.378688.064563.3446 0.055 TUCE 0.09558 0.4554 0.6735 0.504 77