SINIF MATEMATİK Fonksionlarda Ugulamalar Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri Fonksionlarla İlgili Ugulamalar İkinci Dereceden Fonksionlar ve Grafikleri Fonksionların Dönüşümleri Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri
YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin... M. Kemal Atatürk. BASKI Elül 08 İLETİŞİM Ostim Mah. 07 Sokak No: /C D Ostim / Ankara Tel: 0 9 Fa: 0 9 0 0 www.aricap.com aricapainlari@gmail.com twitter.com/aricapp facebook.com/aricapainlari instagram.com/aricapainlari Bu kitabın her hakkı Yarıçap Yaınlarına aittir. 8 ve 9 saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Yarıçap Yaınlarının azılı izni olmaksızın, kitabın tamamı vea bir kısmı herhangi bir öntemle basılamaz, aınlanamaz, bilgisaarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım apılamaz.
SUNU Sevgili Gençler, Matematik ve geometri hem okul derslerinde hem de üniversitee giriş sınavlarına hazırlıkta en önemli ere sahiptir. Yarıçap Yaınları olarak eğitim - öğretim haatınızda bu derslerle ilgili sorunlarınızı temelden çözebilmeniz için TAMAMI VİDEO ANLATIMLI olan kitaplarımızı sizlere sunuoruz. Yarıçap Yaınları matematik ve geometri fasikülleri konuları en temelden kavramanızı ve öğrendiklerinizi pekiştirebilmenizi sağlamak amacıla birbirini bütünleen BİLGİ - BİRLİKTE ÇÖZELİM - SIRA SİZDE - ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM - KONU TESTİ olmak üzere bölümden oluşmaktadır. BİLGİ bölümünde kazanımlarla ilgili açıklaıcı ve öğretici bilgiler verilmiştir. BİRLİKTE ÇÖZELİM bölümleri BİLGİ ile ilişkilendirilmiş örneklerin bulunduğu alandır. SIRA SİZDE bölümlerinde konuu kavramaı ve pekiştirmei sağlaacak sorular verilmiştir. ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM bölümünde açık uçlu sorular aracılığıla öğrendiklerinizin daha sağlam hâle getirilmesi amaçlanmıştır. KONU TESTİ bölümlerinde konula ilgili çoktan seçmeli sorular verilmiştir. Başlamak, başarmanın arısıdır. sloganıla çıktığımz olculukta sizlere başarılar dileriz. Oğuz GÜMÜŞ Devrim ÖZATA Seçkin KARAASLAN
İÇİNDEKİLER BÖLÜM : Fonksionlarda Ugulamalar... Bir Fonksionun Eksenleri Kestiği Noktalar... Bir Fonksionun Pozitif Negatif Olduğu Aralıklar...8 Bir Fonksionun Maksimum - Minimum Değerleri...9 Fonksionun Ortalama Değişim Hızı...0 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... Konu Testi... Parabol... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...8 En Büük ve En Küçük Değer... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... Parabolün Köklerinin Varlığı...7 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...0 Grafikten Parabol Denklemi Yazma... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...0 Konu Testi,,,... Tek ve Çift Fonksionlar...9 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 7... Bir Fonksion Grafiğinden Dönüşümler Yardımıla Yeni Fonksionların Grafiklerini Çizme... Konu Testi...9 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 8...7 BÖLÜM : Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri... İkinci Dereceden İki Bilinmeenli Denklem Sistemleri... Öğrendiklerimizi Pekiştirelim... İkinci Dereceden Fonksionların İşaret Tablosu... İkinci Dereceden Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi...8 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...7 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...77 İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Eşitsizlik Sistemleri...80 Grafik ile Eşitsizlik Çözümü...8 Öğrendiklerimizi Pekiştirelim...8 Konu Testi,,,...8 Cevap Anahtarı...9
FONKSİYONLAR BÖLÜM
Fonksionlar Bir Fonksionun Eksenleri Kestiği Noktalar Kuralı verilen = f() şeklindeki bir fonksionun, BİLGİ eksenini kestiği noktalar (eğer varsa) bulmak için = 0 azılarak denklem çözülür. eksenini kestiği noktaı bulmak için denklemde = 0 azılır. SIRA SİZDE -. f() = fonksionu verilior. f fonksionu, I. eksenini (, 0) ve (, 0) noktalarında keser. II. eksenini (0, ) noktasında keser. III. f() = 0 denkleminin iki farklı kökü vardır. ifadelerinden hangileri doğrudur? BİRLİKTE ÇÖZELİM. f() = fonksionunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz. = f() = 0 dersek, = 0 = bulunur. = 0 dersek, = bulunur. eksenini (,0), eksenini (0, ) noktasında keser... = f() 0 0 = f() Grafiği verilen = f() fonksionunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz. eksenini (,0), (,0) ve (,0) noktalarında, eksenini (0, ) noktasında keser. Grafiği verilen = f() fonksionuna göre, a) f() = 0 denkleminin köklerini bulunuz. b) f(0) = b eşitliğini sağlaan b değerini bulunuz. FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR
BİLGİ SIRA SİZDE - Bir Fonksionun Artan - Azalan ve Sabit Olduğu Aralıklar f: R R fonksion ve [a, b] R olmak üzere, ", Œ R için, < iken f( ) < f( ) ise f, [a, b] aralığında artandır. < iken f( ) > f( ) ise f, [a,b] aralığında azalandır. < iken f( ) = f( ) = c Œ R ise f [a, b] aralığında sabittir. 0 = f() Şekilde grafiği verilen = f() fonksionu için aşağıdaki boşlukları doludurunuz. (Artan, azalan, sabit). (, ) aralığında...dır. Artan Fonksion Azalan Fonksion Sabit Fonksion. (, ) aralığında...dır.. (, ) aralığında...dır. BİRLİKTE ÇÖZELİM.. (, ) aralığında...dır. = f() 0. ( 9, ) aralığında...dır. Şekilde grafiği verilen = f() fonksionunun, artan, azalan ve sabit olduğu aralıkları bulunuz. (, )» (, ) aralığında artan, (, ) aralığında azalan, (, ) aralığında sabittir.. (, 0) aralığında...dır. 7 FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR
Bir Fonksionun Pozitif - Negatif Olduğu aralıklar BİLGİ Grafiği verilen bir fonksion ekseninin üst tarafında (I. ve II. bölgeler) kalan kısımları için pozitif değerler alır. ekseninin alt tarafında (III. ve IV. bölgeler) kalan kısımlar için negatif değer alır. eksenini kestiği noktalarda sıfır (0) değerini alır. Bu noktalara fonksionun sıfırları denir. = g() 0 SIRA SİZDE - = f() Şekilde grafiği verilen f ve g fonksionlarına göre,. f() in pozitif olduğu aralığı bulunuz. BİRLİKTE ÇÖZELİM. g() in pozitif olduğu aralığı bulunuz.. = f(). f() in negatif olduğu aralığı bulunuz. 0. g() in negatif olduğu aralığı bulunuz. Grafiği verilen = f() fonksionunun, pozitif ve negatif olduğu aralıkları ve fonksionun sıfırlarını bulunuz. Pozitif olduğu aralık (, )» (, ) Negatif olduğu aralık (, )» (, ) Fonksionun sıfırları =, = ve = tir.. f() in sıfırlarını bulunuz.. g() in sıfırlarını bulunuz. FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR 8
BİLGİ SIRA SİZDE - Bir Fonksionun Maksimum - Minumum Değerleri Grafiği verilen bir fonksionun aldığı en büük - en küçük değerler (eğer varsa, fonksionun görüntü kümesine) grafikteki alt ve üst sınırlarına bakarak anlaşılır. b. 0 = f() 0 Maksimum Değer: Yok Minumum Değer: Yok a 0 a 0 d b Maksimum Değer: Yok Minumum Değer: b c Maksimum Değer: b Minumum Değer: d Şekilde grafiği verilen f fonksionunun en büük değeri a ve en küçük değeri b olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? BİRLİKTE ÇÖZELİM. Şekilde grafiği verilen = f() fonksionu için,. 0 = f() 0 aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? I. En büük değeri dir. II. En küçük değeri tür. III. tane sıfırı vardır. = f() Grafiği verilen f fonksionuna göre, I. f fonksionunun en büük değeri tür. II. f fonksionunun en küçük değeri tür. III. f fonksionunun tane sıfırı vardır. ifadelerinden hangileri doğrudur? En büük değeri olduğundan I anlıştır. En küçük değeri olduğundan II doğrudur. eksenini üç farklı noktada kestiğinden III. doğrudur. 9 FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR
Fonksionun Ortalama Değişim Hızı A(, ) ve B(, ) noktaları f fonksionu üzerinde olmak üzere, bir f fonksionunun [, ] aralığındaki ortalama değişim hızı f ( )- f ( ) - m = = AB - - de erindekide fl i im De fl iimoran ( h ) z = de erindekide fl i im BİLGİ Doğrusal fonksionlarda değişim oranı her aralıkta sabittir ve bu oran doğrunun eğimine eşitttir. f() = a + b fonksionunun değişim hızı (eğimi) a a eşittir. A B 0 C D SIRA SİZDE - E 7 Grafiği verilen = f() fonksionunun aşağıda verilen aralıklardaki ortalama değişim hızlarını bulunuz.. [, ]. [, 0]. BİRLİKTE ÇÖZELİM. [0, ] 0 7. [, 7] Grafiği verilen = f() fonksionunun, a) [, ] aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz. f( ) -f(-) -( -) = = olur. -( -) - ( - ) 7. f() = + 7 fonksionunun [, 7] aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz. b) [, 7] aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz. f( 7) - f( ) = - = - olur. 7-. f() = fonksionunun [, ] aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz. FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR 0
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM f 8 0 7 f 0 Grafiği verilen f fonksionu için aşağıdaki soruları cevaplaınız. Grafiği verilen f: [ 7, ] R e tanımlı f fonksionu için aşağıdaki soruları cevaplaınız.. f fonksionunun negatif olduğu aralığı bulunuz. 7. f fonksionunun en büük değeri kaçtır?. f fonksionunun sabit olduğu aralığı bulunuz. 8. f fonksionunun en küçük değeri kaçtır?. f fonksionunun artan olduğu aralığı bulunuz. 9. f fonksionunun artan olduğu aralığı bulunuz.. f fonksionunun eksenini kestiği noktaı bulunuz. 0. f fonksionunun azalan olduğu aralığı bulunuz.. f() = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. f fonksionunun pozitif olduğu aralığı bulunuz.. f fonksionunun [, ] aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz.. f fonksionunun sıfırlarını bulunuz. FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR
KONU TESTİ. -. soruları aşağıda grafiği verilen f fonksionuna göre anıtlaınız.. f() = + fonksionunun [, ] aralığında ortalama değişim hızı kaçtır? A) B) C) D) E) 7 0 7. f() = (a + ) + fonksionunun [, ] aralığındaki ortalama değişim hızı olduğuna göre, a kaçtır?. f fonksionunun en büük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) Yoktur. f fonksionunun negatif olduğu aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 7, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, 7) 7. f() = 7 + fonksionu için f( 9) - f( ) ifadesinin eşiti kaçtır? A) B) C) 7 D) 7 E) 9. f() = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 8. f() = +. f fonksionunun [, ] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır? A) B) C) D) E) 7-8 7-7 fonksionunun eksenini kestği nokta (a, b) ve eksenini kestiği nokta (c, d) olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR
9. = f(),, ve. soruları aşağıda grafiği verilen f fonksionuna göre anıtlaınız. 0 0 8 0. Şekilde grafiği verilen = f() fonksionu için, f() = 0 denklemini sağlaan değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 7. f fonksionu aşağıdaki aralıklardan hangisinde sabittir? A) (, ) B) (, 0) C) (0, ) D) (, ) E) (, ) 0 Şekilde grafiği verilen = f() fonksionu için f() 0. f() < 0 eşitsizliğini sağlaan kaç tane tam saı değeri vardır? A) B) C) D) E) koşulunu sağlaan tam saılarının toplamı kaçtır? A) B) 7 C) 8 D) 9 E). f fonksionunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?. = f() A) (, ) B) (, 0) C) (0, ) D) (, ) E) (, 8) 0 Şekilde grafiği verilen = f() fonksionunun [, ] aralığındaki en büük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) Yoktur.. f fonksionunun en küçük değeri k, en büük değeri b olduğuna göre, b + k toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR
İkinci Dereceden Fonksionlar ve Grafikler Parabol BİLGİ İkinci dereceden bir bilinmeenli f() = a + b + c (a 0) şeklindeki fonksionların grafiklerine parabol denir. Parabolün kollarının önüne a nın işaretine göre karar verilir. SIRA SİZDE -. Aşağıdaki tabloda verilen fonksionlardan parabol olanları bulup, a, b ve c katsaıları ile kollarının önünü belirleiniz. Fonksion Parabol mü? a b c f() = + Kolların Yönü a > 0 (Kollar ukarı doğru) a < 0 (Kollar aşağı doğru) f() = + 7 f() = f() = f () = + BİRLİKTE ÇÖZELİM. Didem Öğretmen öğrencilerinden aşağıda verilen fonksionlardan parabol olanları bulup, kollarının önünü belirlemelerini istior. I. f() = II. f () = + III. f() = + 7 + IV. f () = - V. f() = + Buna göre, ukarıda verilen fonksionların parabol olup, olmadığını bulup, a, b ve c katsaılarını ve kollarının önünü belirleiniz. I. Paraboldür. a =, b = 0, c = 0 ve kolları ukarı doğru. II. Parabol değil III. Paraboldür. a =, b = 7 c = ve kollar ukarı doğru. IV. Paraboldür. a =-, b = 0, c = 0, kollar aşağı doğru V. Parabol değildir.. f() = (a ) + a + + fonksionu bir parabol belirttiğine göre, a değeri kaçtır?. f() = (a ) + 7 parabolünün kolları aşağı doğru olduğuna göre, a nın alabileceği pozitif tam saı değerlerinin toplamı kaçtır? FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR
BİLGİ Parabolün Tepe Noktası Parabol üzerindeki her nokta parabol denklemini sağlar. Parabolün iki kolunun birleştiği noktaa tepe noktası denir. T(r,k). f() = + + a SIRA SİZDE - 7 fonksionunun grafiği A(, 0) noktasından geçtiğine göre, a kaçtır? T(r,k) f() = a + b + c parabolünde b r = - ve k = f(r) ile bulunur. a b = 0 ise tepe noktası ekseni üzerindedir.. Aşağıda denklemleri verilen parabollerin tepe noktalarını bulunuz. a) f() = + BİRLİKTE ÇÖZELİM b) f() = + +. f() = + a 0 fonksionunun grafiği A(, ) noktasından geçtiğine göre, a kaçtır? f() = olmalıdır. + a 0 = a = 0 a = bulunur. c) f() =. f() = + parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz. d) f() = a = b = ve c = dır. b r = - & r = = dir. a k = f(r) k =. + = dir. T(, ) bulunur. e) f() = + FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR