T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOK DEĞİŞKENLİ EŞİKSEL OTOREGRESİF MODELLER ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Ümran Münire KAHRAMAN DOKTORA TEZİ İsaisik Anabilim Dalı 2012 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ KABUL VE ONAYI Ümran Münire KAHRAMAN arafından hazırlanan Çok Değişkenli Eşiksel Ooregresif Modeller Üzerine Bir Çalışma adlı ez çalışması 04/09/2012 arihinde aşağıdaki üri arafından oy birliği ile Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmişir. Bu ez çalışması Selçuk Üniversiesi Bilimsel Araşırma Proeleri (BAP) Koordinaörlüğü arafından 2011/11201051 nolu proe ile deseklenmişir.

TEZ BİLDİRİMİ Bu ezdeki büün bilgilerin eik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve ez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ai olmayan her ürlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz aıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare ha all informaion in his documen has been obained and presened in accordance wih academic rules and ehical conduc. I also declare ha, as required by hese rules and conduc, I have fully cied and referenced all maerial and resuls ha are no original o his work. Ümran Münire KAHRAMAN Tarih: 04/09/2012

ÖZET DOKTORA TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ EŞİKSEL OTOREGRESİF MODELLER ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Ümran Münire KAHRAMAN Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Aşır GENÇ 2012, 102 Sayfa Bu çalışmada, eşiksel ooregresif (TAR) modeller sınıfından kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modelin yapısı üzerinde durulmuşur. Model paramerelerini belirlemek için Tsay (1989) in önerdiği yönem kullanılmışır. Kendinden uyarımlı eşiksel değişen varyanslı ooregresif (SETARCH) model oluşurularak, farklı reimlerde oralamanın yanı sıra varyansa da eşiksellik yapısı ele alınmış ve varyansın modellenmesine çalışılmışır. SETARCH modeli için uygulama verisi olarak 03.01.2005-30.12.2011 dönemini kapsayan serbes piyasadaki günlük alın fiyaları serisi TL cinsinden alınarak bir model oluşurulmuşur. Daha sonra yine Tsay (1998) in önerdiği yönemle çok değişkenli SETAR model hazırlanmış ve aynı dönem için TL cinsinden günlük alın fiyaları ve Dolar (USD) kuru verisi kullanılmışır. Bu uygulama için de çok değişkenli ve üç reimli bir model oraya konmuşur. Anahar Kelimeler: Çok değişkenli SETAR model, eşiksel ARCH (SETARCH) model, kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) model, lineer olmama esi iv

ABSTRACT Ph.D THESIS A STUDY ON MULTIVARIATE THRESHOLD AUTOREGRESSIVE MODELS Ümran Münire KAHRAMAN THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN STATISTICS Advisor: Prof. Dr. Aşır GENÇ 2012, 102 Pages In his sudy, srucure of a self-exciing hreshold auoregressive model which belongs o hreshold model class and choosing is parameers are emphasized. To deermine parameers of model, mehod which was offered by Tsay (1989), was used. Besides mean in differen regime, i was considered variance has hreshold. A model which was based on daily gold prices which were aken as Turkish lira and in period 03.01.2005-30.12.2011 were applied for numerical example was creaed. Afer ha, by Tsay (1998) s mehod, a mulivariae SETAR model was prepared and he same period of gold prices and exchange raes of USD daa was handled. For his daa, a mulivariae model wih hree regimes was produced. Keywords: Mulivariae SETAR model, nonlineariy es, self-exciing hreshold auoregressive (SETAR) model, hreshold ARCH (SETARCH) model v

ÖNSÖZ Dokora ez çalışmam boyunca bilgi ve yardımlarını sunan değerli hocam Prof. Dr. Aşır Genç e eşekkür ederim. Tez izleme komiemde olup deseğini esirgemeyen Prof. Dr. Nezir Köse ve Yrd. Doç. Dr. İsmail Kınacı ya da şükran borçluyum. Dokora programı boyunca verdiği maddi deseken dolayı TÜBİTAK a ve yardımlarından dolayı Fen Bilimleri Ensiüsü personeline de eşekkür ediyorum. Anlayış ve deseğiyle her zaman yanımda olan aileme ve eşime de eşekkürü bir borç bilirim. Ümran Münire KAHRAMAN KONYA-2012 vi

İÇİNDEKİLER TEZ KABUL VE ONAYI... v TEZ BİLDİRİMİ... vi ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii KISALTMALAR... ix 1. GİRİŞ... 1 1.1. Kaynak araşırması... 2 2. TEMEL KAVRAMLAR... 5 2.1. Durağanlık... 5 2.2. Ookovaryans ve Ookorelasyon Fonksiyonu... 6 2.3. Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu... 6 2.4. Beyaz Gürülü Serisi... 7 3. DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ... 8 3.1. Genel Durağan Modeller... 8 3.1.1. Harekeli oralama (MA) modeli... 8 3.1.2. Ooregresif (AR) model... 11 3.1.3. Ooregresif harekeli oralama (ARMA) modeli... 14 3.2. Durağan Olmayan Doğrusal Modeller... 15 3.3. Durağanlık Analizi... 16 3.3.1. Birim kök esleri... 17 3.3.1.1. Doğrusal zaman serilerinde birim kök esleri... 17 3.3.2. Durağanlık dönüşümleri... 18 3.4. Model Seçimi: Korelogram İncelemesi... 18 3.5. Model Seçim Krierleri... 19 3.6. Model Geçerliliğinin Araşırılması... 20 3.6.1. Arıkların ookorelasyon fonksiyonu grafiği... 20 3.6.2. Breusch-Godfrey esi... 20 3.6.3. Whie esi... 21 3.6.4. Jarque-Bera normalik esi... 22 3.7. Modelleme Süreci... 23 4. KOŞULLU DEĞİŞEN VARYANSLI MODELLER... 24 4.1. Koşullu Değişen Varyanslı Ooregresif (ARCH) Modeller... 24 vii

4.1.1. ARCH ekisinin incelenmesi... 28 4.1.2. ARCH modelinin eksik yanları... 28 4.2. GARCH Modeli... 29 4.3. ARCH/ GARCH Uyarlamaları... 32 4.3.1. ARCH-M modeli... 32 4.3.2. EGARCH modeli... 33 4.3.3. TARCH modeli... 33 4.4. ARCH Modelleri için Arıkların İncelenmesi... 34 4.4.1. Lung-Box Q esi... 34 4.4.2. McLeod esi... 35 5. EŞİKSEL OTOREGRESİF (TAR) VE KENDİNDEN UYARIMLI EŞİKSEL OTOREGRESİF (SETAR) MODELLER... 36 5.1. Eşiksel Ooregresif Model... 36 5.2. Eşiksel Doğrusal Olmama Tesi... 37 5.3. Yapısal Paramerelerin Belirlenmesi... 40 5.4. Paramere Tahmini... 42 5.4.1. En küçük kareler ahminlerinin uarlılığı... 43 5.5. Modelleme Süreci... 43 5.6. Model Yeerliliği... 44 5.7. Öngörü... 45 6. DEĞİŞEN VARYANSLI KENDİNDEN UYARIMLI EŞİKSEL OTOREGRESİF MODEL (SETARCH)... 46 6.1. SETARCH Modeli ve Model Varsayımları... 46 6.2. Model Belirleme... 47 6.3. Model Yeerliliği... 48 7. ÇOK DEĞİŞKENLİ EŞİKSEL OTOREGRESİF MODEL... 49 7.1. Çok Değişkenli Doğrusal Olmama Tesi... 49 7.2. Model Paramerelerinin Belirlenmesi... 54 7.3. Tahmin... 55 7.4. Model Yeerliliği... 56 8. ARAŞTIRMA SONUÇLARI... 57 8.1. Uygulama I... 57 8.2. Uygulama II... 68 9. SONUÇLAR... 77 KAYNAKLAR... 79 EKLER... Haa! Yer işarei anımlanmamış. ÖZGEÇMİŞ... Haa! Yer işarei anımlanmamış. viii

KISALTMALAR ARMA : Ooregresif harekeli oralama a.d. : Asimpoik durağan ACF : Ookorelasyon fonksiyonu ADF : Genişleilmiş Dickey-Fuller AIC : Akaike bilgi krieri AR : Ooregresif (Auoregressive) ARCH : Koşullu değişen varyanslı ooregresif ARIMA : Büünleşik ooregresif harekeli oralama GARCH : Genelleşirilmiş koşullu değişen varyanslı ooregresif LR : Olabilirlik oranı MA : Harekeli oralama PACF : Kısmî ookorelasyon fonksiyonu PAM :Kısmî ooregresyon marisi SIC : Schwarz Bayesian krieri SETAR : Kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif USD : Amerikan doları SETARCH : Kendinden uyarımlı eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif SSE : Arık kareler oplamı TAR : Eşiksel ooregresif ix

1 1. GİRİŞ Eşiksel ooregresif model (TAR), doğrusal olmayan zaman serisi modellerinden biridir. Eşiksel ooregresif modeller ilk olarak Tong (1978) ve Tong ve Lim (1980) arafından ele alınmışır. Daha sonra Tong (1990), kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modeli geniş bir biçimde açıklamışır. Modelin ilk oraya çıkış kaynağı sınırlı döngüler ve döngüsel yapıdaki zaman serileri olmuşur ve model asimerik sınırlı döngüler oluşurabilmekedir (Tong, 1990). Bu ez çalışmasında, eşiksel ooregresif modeller için model belirleme sürecini kolay uygulanabilir hale geiren Tsay (1989, 1998) in yönemi kullanılarak SETAR modelin yapısal paramerelerinin seçiminin yapılması amaçlanmakadır. Yapısal paramerelerden eşik değişkenini belirlemek için öncelikle bir kısım öngörü arıklarına dayanan bir es isaisiği ile eşiksel doğrusallık esi yapılmakadır. Muhemel eşik sayısı ve değerleri için ise grafiksel araçlar kullanılmakadır. Sonuça bu isaisikler kullanılarak SETAR model kurulacakır. Çalışmanın özgün yanı, gerçek bir veri seinde SETAR modelin yapısal paramerelerinin belirlenmesi ve bunun için gerekli bilgisayar programlarının oluşurulmasıdır. Çalışmada, SETAR modelin yanı sıra kendinden uyarımlı eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif (SETARCH) model ve çok değişkenli SETAR model hakkında da bilgi verilmekedir. Teorik kısmı açıklayabilmek amacıyla ekonomik verilere dayalı uygulamalar da yer almakadır. Böylece, 03.01.2005-30.12.2011 dönemini kapsayan serbes piyasadaki günlük alın fiyalarının TL değerleri için bir SETARCH modeli ve yine aynı döneme ai TL cinsinden günlük alın fiyaları ve Dolar (USD) kuru verisi için çok değişkenli bir SETAR modeli elde edilmişir. Sayısal hesaplamalar için MATLAB 7.7.0(R2008b) programında kodlar oluşurulmuşur, hazırlanan bu kodlar çalışmanın EKLER kısmında yer almakadır. Çalışmanın ikinci bölümü doğrusal zaman serilerine ilişkin emel kavramları içermekedir. Üçüncü bölümde doğrusal zaman serisi modelleri yer almakadır. Doğrusal zaman serisi modellerinde model belirleme süreci hakkında bilgi verilmekedir. Dördüncü bölüm, doğrusal olmayan modellerden varyansa değişime izin veren koşullu değişen varyanslı ooregresif (ARCH) modeli açıklamakadır. ARCH modele uygunluğun araşırılması ve model için arık esleri bu bölümün içeriğini oluşurmakadır.

2 Beşinci bölüm, doğrusal olmayan zaman serisi modellerinden eşiksel ooregresif (TAR) model ve kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif (SETAR) modeli kapsamakadır. Eşiksel modelin yapısal paramerelerinin belirlenmesi ve modelin uygunluğunun araşırılması konuları verilmekedir. Alıncı bölümde, hem oralamada hem de varyansa reim değişikliğine izin veren kendinden uyarımlı eşiksel koşullu değişen varyanslı ooregresif (SETARCH) model hakkında bilgi verilmekedir. Yedinci bölümde, çok değişkenli kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model için SETAR modelin çok değişkenli yapısı hazırlanmışır. Sekizinci bölümde, SETARCH ve çok değişkenli SETAR modelleri için ekonomik verilere dayalı birer uygulama verilmişir. 1.1. Kaynak araşırması Tong (1978) arafından gelişirilen kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modeller oldukça geniş bir uygulama alanına sahip olmuşur. Tong ve Yeung (1991), Peruccelli-Davies esini genişleerek Tsay (1989) in yönemi ile karşılaşırmışır. Üç farklı finansal veri üzerinde uygulama yapılmışır. Bunlar IBM günlük borsa kapanış fiyaları (birinci kısım ve ikinci kısım) ile Hang Seng endeks verisidir. Yadav ve ark. (1994), TAR modellerin kullanımı, isaisiksel ahmini ve esi Fuure piyasalarda fiya farklarının modellenmesinde kullanılmışır. Waier ve Richardson (1999), epidemiyoloik bir zaman serisinde, Tsay in yönemiyle kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modeli uygulamışır. Daha sonra bu modeli Thanoon ın sınırlandırılmış modeliyle karşılaşırmışlardır. Lewis ve Ray (1997), Kaliforniya da 20 yıl boyunca ölçülen günlük deniz yüzeyi sıcaklığı verisine uyarlanabilir spline eşiksel ooregresif (ASTAR) model uygulamışır. Model yüksek ooregresif derecesi ile uzun süreli bir doğrusal olmayan hafızaya sahipir ve ek değişkenli diğer modellere göre daha iyi öngörüler vermekedir. Mongomery ve ark. (1998), çalışmalarında US işsizlik oranlarının örneklem dışı ahminlerini elde emeye çalışmışır. Çeşili doğrusal ve doğrusal olmayan modeller uygulanarak performansları karşılaşırılmışır.

3 Clemens ve Smih (2001), borsa oranlarını kullanarak kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model ile çok periyodlu öngörü sonuçları elde edilmişir. Öngörü performansları doğrusal modellerle karşılaşırılmışır. Baragona ve ark. (2004) eşiksel ooregresif harekeli oralama modellerine giriş yapılmışır. Geneik algorima kullanılarak eşik paramereleri ve reim yapıları belirlenmişir. Feng ve Liu (2003), 1965-2000 yılları arasındaki Kanada GDP verisinde SETAR model uygulayarak öngörü performansını incelemişir. Kaiani ve ark. (2005), Kanada vaşak verisi için SETAR modelde ileri beslemeli yapay sinir ağlarını (FFNN) kullanarak öngörü elde emişlerdir. Sonuça serinin doğrusal ve normal olmayan karakerisikler içermesine rağmen oldukça FFNN algorimasının iyi performans göserdiği görülmüşür. Khadaroo (2005), Hindisan, Singapur ve Güney Afrika daki Ocak 1976-Kasım- 2002 dönemi için aylık enflasyon verisini kullanarak iki reimli bir kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model hazırlamışır. Huang ve ark. (2005), perol fiyaları verisinin ülke ekonomisi üzerindeki volailiesini incelemek için çok değişkenli bir eşiksel model oluşurmuşur. Bunun için, US, Kanada ve Japonya da 1970-2002 yılları arasındaki aylık fiyaları kullanmışır. Huchison ve ark. (2010), zaman içinde Hindisan da sermaye konrollerinin ekinliğini araşırmak için kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modeli kullanmışır. Modelden işlem maliyeleri ve sermaye konrolleri ekinliği ile belirlenen arbirasız banlar elde edilmişir. Pinson ve ark. (2008), dakika ölçeğinde kıyı rüzgarı gücünün farklı olduğunu göz önüne alarak eşiksel modeli kullanmışır. Reim değişimine izin veren modellerden kendinden uyarımlı eşiksel (SETAR) model, yumuşak geçişli ooregresif (STAR) model ve Markov geçişli ooregresif (MSAR) model karşılaşırılmışır. Campenhou (2006), Tanzanya da yedi farklı mısır piyasasında hafalık fiyaları kullanarak eşiksel ooregresif modelin arbira sürecinin dinamiklerini kapsadığını gösermişir. Chen (2012), Çin de 2003-2010 arasında uygulanan sermaye konrollerinin ekinliğini incelemek için 2007 yazında oraya çıkan finansal dalgalanma dikkae alınarak iki reimli bir eşiksel model oluşurulmuşur. Yang ve Li (2012), DNA opimizasyonu için kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model (DNAOTARPM) oluşurmuşur. Gelişirilmiş geneik algorima

4 eşiksel ooregresif öngörü modeli (IGATARPM) ve sandar geneik algorima eşiksel ooregresif öngörü modeli (SGATARPM) ile karşılaşırıldığında DNAOTARPM daha iyi sonuç verdiği görülmüşür. SETAR modelin isaisiksel özellikleri konusunda yapılan çalışmalar ise şöyledir: Tsay (1989, 1998, 2010), ek değişkenli ve çok değişkenli kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif modelde doğrusal olmamanın espii ve yapısal paramerelerin belirlenmesi için çalışmalar yapmışır. Li ve Li (1996), kendinden uyarımlı eşiksel modelin arık erimlerinin varyansını ARCH modeller ile modelleyerek çif eşiksel SETAR (DTARCH) model oluşurmuşur. Mak ve ark. (1997), DTARCH modelin paramerelerini ahmin emek için ieraif en küçük kareler (IWLS) algoriması vermişir. Hansen (1996, 1999, 2000), eşiksel ooregresif modelde sonuç çıkarımı ve eşiksel ooregresif seri için birim kök esi sürecini açıklamışır. Kapeanios (2000), küçük örneklemler için eşiksel model uygulaması ve koşullu en küçük kareler ahmin edicisini açıklamışır. De Gooier (2001), gecikme ve eşik paramerelerinin bilinmediği durumda SETAR model için AR derecesinin seçimini gösermişir. Gonzalo ve Wolf (2005), eşiksel ooregresif modelde sonuç çıkarımı hakkında bilgi vermişir. Dufreno ve ark. (2008), iki reimli ve farklı AR derecesine sahip SETAR modelde hafıza özelliklerini ve ahmin yönemini gösermişir. Kapeanios ve Shin (2006), üç reimli bir SETAR modelde birim kök esleri hakkında bilgi vermişir. Srikholm ve Teräsvira (2006), reim sayısını belirlemek için bir yönem önermişir. Galeano ve Pena (2007), ooregresif modellerde model seçim krieri gelişirmiş ve bu krieri kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model için gelişirmişir.

5 2. TEMEL KAVRAMLAR Zaman serileri, zamana bağlı olarak gözlenen verilerden elde edilen gözlem kümeleridir. Zaman serisi verileri ile yapılan analizler gözlemlerin ai olduğu sokasik sürecin modelini belirleme ve buradan ileriye yönelik ahmin yapmadan oluşmakadır. Bu bölümde, zaman serileri ile ilgili emel kavramlar verilecekir., zamanında gözlenen reel değerli rasgele değişkeni gösersin. Gözlemler düzenli zaman aralıklarında alınmakadır. Bir zaman serisi, ile sıralanan reel değerli rasgele değişkenlerin bir dizisidir ve burada, amsayılar kümesini göserir. 2.1. Durağanlık Zaman serilerinde en önemli kavramlardan biri durağanlıkır. Durağanlık, süreçe hâkim olan olasılık kanunlarının zaman ile değişmemesi fikrine dayalı isaisiksel bir dengeyi ifade eder. zaman serisi, olmak üzere, ve herhangi bir için, (2.1) eşiliğini sağlıyorsa durağandır., rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonunu göserir. Burada ile dağılım fonksiyonunun aynı olduğu kasedilmekedir. Bu durum, güçlü (kesin) durağanlık olarak adlandırılır. Zayıf durağanlık, kovaryans durağanlık gibi isimler alan diğer durağanlık ipi ise, ve (2.2) ile ifade edilir. Burada dir. Kısaca güçlü durağanlık birinci, ikinci ve daha yüksek dereceli momenlerin zamana göre sabi olması iken, zayıf durağanlık yalnızca birinci ve ikinci momenlerin zaman içinde sabi kalmasıdır (Tong, 1990).

6 2.2. Ookovaryans ve Ookorelasyon Fonksiyonu Sonlu varyanslı durağan bir zaman serisi göz önüne alınsın. Eşilik (2.2) den, nin bir fonksiyonu olacakır. Bu fonksiyon, nin ( gecikmesindeki ookovaryans fonksiyonu olarak adlandırılır ve ile göserilir. Ookovaryans fonksiyonunun özelikleri şöyle sıralanabilir. (1) (2) (3) (4), ve için, biçiminde sıralanabilir., oranı, nin gecikmesindeki ookorelasyon fonksiyonu olarak adlandırılır ve ile göserilir. yerine yazılırsa, ookovaryans fonksiyonunun özelliklerinden (2), (3) ve (4) özellikleri sağlanır. Açıkça görüldüğü gibi, ve arasındaki lineerliğin bir ölçüsüdür (Tong, 1990, Franses ve Dik, 2000). 2.3. Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu ve arasındaki kısmi ookorelasyon, değişkenlerinin ekisi arındırıldıkan sonra bu iki değişken arasındaki korelasyon olarak anımlanır. Yani, (2.3) regresyon modeli göz önüne alındığında k. kısmi ookorelasyon kasayısı olacakır. Kısmi ookorelasyon kasayılarını hesaplamanın kolay bir şekli ookorelasyon kasayılarını kullanarak elde emekir. marisi,

7 1 1 1 1 3 2 1 3 1 2 2 1 1 1 2 1 k k k k k k P k şeklinde yazılsın. marisinin son süun vekörü nün vekörü ile değişirilmesinden elde edilen marisi, k k k k P k 3 2 1 3 1 2 2 1 1 1 2 1 * 1 1 1 olmak üzere kısmi ookorelasyon kasayıları ) de( ) de( ) ( * k k P P k (2.4) olarak elde edilir (Akdi, 2003). 2.4. Beyaz Gürülü Serisi Oralaması sıfır olan herhangi bir zaman serisinin ookovaryans fonksiyonu,.., 0 0, ) ( 2 y d k k (2.5) şeklinde ise serisine beyaz gürülü serisi denir ve ) (0, 2 WN şeklinde göserilir (Akdi, 2003).

8 3. DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Doğrusal zaman serisi modelleri, ooregresif (AR), harekeli oralama (MA) ve bu iki modelin birleşimi şeklinde ifade edilen ooregresif harekeli oralama modelleri olarak incelenebilir. Modeller durağan yapıya sahip olup olmamaları açısından da değerlendirilmekedir. Bu bölümde modeller ayrınılı biçimde anıılacakır. 3.1. Genel Durağan Modeller Ooregresif (AR), harekeli oralama (MA) ve ooregresif harekeli oralama (ARMA) modelleri doğrusal durağan modeller olarak adlandırılır. Bu bölümde modellere ilişkin anım ve bazı özellikler verilmekedir. 3.1.1. Harekeli oralama (MA) modeli Harekeli oralama modellerinde bir seri, başka bir serinin doğrusal birleşimi olarak ifade edilmekedir. Zaman serisi, aynı dönemin arık erimi ile belirli sayıda geçmiş dönemin arık erimlerinden oluşur. Genel olarak q. dereceden bir harekeli oralama serisi, X q 0, 0 1 (3.1) biçiminde veya gerileme operaörü yardımıyla ( L) 2 ( X ) (1 q 1L 2L ql ) q (3.2) 2 olarak ifade edilebilir ve MA (q) ile göserilir. Burada ~ WN (0, ) şeklindedir. Eşilik (3.1) ile ifade edilen bir varyansı, X zaman serisi için serinin beklenen değeri ve

9 q X E E 0 ) ( (3.3) q q Var Var X Var 0 2 0 ) ( ) ( q 0 2 2 (3.4) şeklinde elde edilmekedir. Aynı zamanda ) (q MA serisi için ookovaryans fonksiyonu, q k q q k q k Cov Cov X X Cov k 0 0 0 0,, ), ( ) ( 0, ) (, 0,1,,, 0 0 2 k k q k q k k q k (3.5) olarak elde edilir ve bu ookovaryans fonksiyonundan yararlanarak seri için ookorelasyon fonksiyonu, 0, ) (, 0, 1,2,, 0, 1 (0) ) ( ) ( 0 2 0 k k q k q k k k k q k q k (3.6) biçiminde elde edilmekedir. ) (q MA serisi için ookovaryans ve ookorelasyon fonksiyonlarından, k değerinin model derecesi olan q dan daha büyük olması

10 durumunda ookovaryans ve ookorelasyonların sıfıra eşi olduğu anlaşılmakadır. Bu sebeple harekeli oralama serileri için model derecesinin belirlenmesinde ookorelasyon fonksiyonu bir araç olarak kullanılmakadır. Harekeli oralama serilerinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise (2.4) eşiliği ile verildiği gibi hesaplanmakadır ve kısmi ookorelasyon kasayıları k değeri arıkça ooregresif modellerin ookorelasyon kasayılarına benzer olarak ya üsel olarak azalan ya da azalan sinüs dalgalanmaları biçiminde bir eğilim gösermekedir (Kınacı, 2005). Eşilik (3.3) ve (3.4) den görüldüğü gibi, Eşilik (3.1) de verilen MA (q) serisinin beklenen değeri sabi, varyansı sonlu ve ookovaryans (aynı zamanda ookorelasyon) fonksiyonu (k) den bağımsızdır. Bu da sonlu her q değeri için MA (q) serisinin durağan olduğu anlamına gelmekedir. Ancak q nun sonlu olmaması durumunda yani X zaman serisinin, 0 X 1 (3.7), 0 şeklinde MA () serisi olması durumunda bu serinin durağan olabilmesi için, 0 koşulunun sağlanması gerekmekedir. Eşilik (3.7) ile verilen MA() serisinde 1 olmak üzere olarak anımlandığında, 0 0 1 1 olacağından bu şekilde verilen MA () serisi durağan olacakır. Ayrıca, X 0 (3.8)

11 ve X 1 0 (3.9) 1 olduğu dikkae alındığında, X X 1 veya X 1 (3.10) X eşiliklerine ulaşılır. Eşilik (3.10) ile ifade edilen seri birinci dereceden ooregresif süreç olarak adlandırılır ve AR (1) ile göserilir. Bu durumda Eşilik (3.10) ile verilen AR (1) serisinin durağanlığı (3.7) eşiliği ile verilen MA () serisinin durağanlığına yani 1 olmasına bağlıdır (Kınacı, 2005). Burada 1 şarı çevrilebilirlik koşulu olarak adlandırılır. 3.1.2. Ooregresif (AR) model Ooregresif zaman serilerinde, serinin şimdiki değerleri kendi geçmişindeki değerlere ve beyaz gürülüye bağlı olarak değişmekedir. Birçok ekonomik veri ooregresif zaman serisi olarak modellenebilmekedir. Genel olarak p. dereceden bir ooregresif zaman serisi, p ( X ) ( X ) (3.11) i1 i i 2 şeklinde ifade edilmeke ve kısaca AR ( p) ile göserilmekedir. Burada WN (0, ) olan beyaz gürülü serisi,, X serisinin oralaması ve i ler ise modelin bilinmeyen

12 paramereleridir. Burada kolaylık olması için 0 olduğu varsayılacakır ve aynı zamanda Y X dönüşümü de kullanılabilmekedir. 0 varsayımı alında Eşilik (3.11) ile verilen AR ( p) serisi, X p X i1 i i (3.12) şeklinde veya gerileme operaörü kullanılarak 2 p (1 1L 2L pl ) X (3.13) X (1 L L L ) 2 p 1 1 2 p X L L 2 (1 1 2 ) (3.14) şeklinde MA () serisi olarak yazılabilir. Eşilik (3.12) ile verilen X zaman serisinin (3.14) şeklinde MA () serisi olarak göserimi yardımıyla i0 yakınsak olduğunda, 2 i E( X 2 ) E((1 1L 2L ) ) 0 ve Var ( X ) 2 i0 2 i sonlu olacakır ve bu Eşilik (3.14) ile verilen koşuldur (Kınacı, 2005). Eşilik (3.12) ile verilen X serisinin durağanlığı için gerekli bir X zaman serisi için ookovaryans fonksiyonu,

13 ( k) Cov( X Cov( X p i1, X, Cov( X ), X ( k 1) ( k 2) ( k 1 i p i1 k X i 2 ki ki ) k ) p p), k 0 olarak bulunur. Ookovaryans fonksiyonuna bağlı olarak AR ( p) serisinin ookorelasyon fonksiyonu, ( k) 1( k 1) 2( k 2) p( k p), k 0 olarak elde edilmekedir. p. dereceden bir ooregresif zaman serisi modeli AR ( p) nin durağan olabilmesi m p p i1 m i pi 0 (3.15) karakerisik denkleminin üm köklerinin mulak değerce 1 den küçük olmasına ya da buna eşdeğer olarak Eşilik (3.13) de verilen, 2 (1 1L p 2L pl ) 0 denkleminin üm köklerinin mulak değerce 1 den büyük olmasına bağlıdır. AR ( p) modeli için k inci kısmi ookorelasyon kasayısı olan (k) ise Eşilik (2.4) yardımıyla hesaplanabilir. Durağan ooregresif zaman serisi modelleri için serinin ookorelasyonları k değeri arıkça ya üsel olarak azalan ya da azalan sinüs dalgalanmaları biçiminde bir eğilim gösermekedir. Burada azalma oranının yavaş olması durumunda serinin durağanlığı konusunda şüpheye düşülmekedir. Durağan ooregresif zaman serisi modellerinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise model derecesinden büyük k değerleri için 0 değerini almakadır. Bu yüzden ooregresif süreçler için model derecesinin

14 belirlenmesinde kısmi ookorelasyon kasayıları bir araç olarak kullanılmakadır (Kınacı, 2005). 3.1.3. Ooregresif harekeli oralama (ARMA) modeli Tek başına AR ( p) veya MA (q) süreçleri arafından ifade edilemeyen serilerde bu iki sürecin birlike kullanıldığı bir model oluşurulur. Bu modellerde bir zaman serisinin herhangi bir dönemine ai gözlem, ondan önceki belirli sayıdaki gözlemin ve arık erimlerinin doğrusal bir birleşimi olan ARMA modeli şeklinde ifade edilmeye çalışılır. Genel olarak p. ve q. dereceden bir ARMA ( p, q) modeli, ( L) X ( L) p q (3.16) biçiminde veya açık olarak, p X X (3.17) i i i1 1 q biçiminde ifade edilir. Bu modelin durağan olması için ooregresif kesime ai olan ( L) 0 denkleminin üm köklerinin mulak değerce 1 den büyük olması p gerekmekedir. AR ya da MA modelini kullanarak çok sayıda paramereyi gerekiren veriler, bir ARMA modeli kullanılarak sadece birkaç paramere ile modellenebilmekedir. Genelde, modelde çok sayıda paramerenin bulunması ahminde ekinliği azalır. ARMA ( p, q) zaman serisi modelinin ookovaryansları, ( k) 1 ( k 1) p ( k p), k q 1 (3.18) şeklinde veya buna bağlı olarak ookorelasyonları, ( k) 1( k 1) p( k p), k q 1 (3.19)

15 şeklinde hesaplanabilmekedir. ARMA ( p, q) modelinin ookorelasyonları k q değerleri için AR ( p) modelinin ookorelasyonları ile aynı olmakadır (Akdi, 2003). ARMA ( p, q) modelinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise (2.4) eşiliği ile verildiği gibi hesaplanmakadır (Kınacı, 2005). 3.2. Durağan Olmayan Doğrusal Modeller Gerçek hayaa karşılaşılan birçok seri durağan olmayan yapıya sahipir. Böyle serilerde durağan bir model kullanabilmek için serideki durağan olmayan yapının arındırılması gerekmekedir. Eğer incelenen zaman serisi oralamaya göre durağan olmayan bir yapı sergiliyorsa o zaman serinin farkı alınarak durağanlık sağlanabilir ve bu yaklaşım ekonomeride sıklıkla kullanılmakadır. Yani Eşilik (3.16) ile verilen eşilike X yerine d X alınarak oralamasına göre durağan olmayan seri AR ve MA modelleri ile modellenebilir. Böyle bir model büünleşik model ARIMA olarak adlandırılmakadır. Buradaki d, X serisinin durağanlığının sağlanabilmesi amacıyla uygulanması gereken fark işlemi sayısını gösermekedir ve uygulamada genellikle d 1 durumu ile karşılaşılmakadır (Kızılsu, 2000). Durağan olmayan X zaman serisi için, d d W X ( 1 L) X yazılarak genel büünleşik ooregresif harekeli oralama ( ARIMA ) serisi, W W 1 1 W 2 2 pw p 1 1 q q daha kısa olarak, ( L) W ( L) p q (3.20) veya

16 ( L)(1 L) d X ( L) p q (3.21) olarak yazılabilir. Eşilik (3.21) ile verilen model kısaca ARIMA ( p, d, q) ile göserilmekedir. X zaman serisi için oluşurulan (3.21) modeli açık bir şekilde durağan olmayan bir modeldir. Çünkü modelin sol arafındaki ooregresif kısma ai ifadesinin d ane kökü 1 e eşi çıkacakır (Kınacı, 2005). 3.3. Durağanlık Analizi Zayıf durağanlık, zaman serisi verilerinin sabi bir oralama erafında dalgalanması ve dalgalanmanın varyansının zaman boyunca sabi kalması olarak ifade edilebilir. Zaman serisinde durağanlık kavramı farklı şekillerde oraya çıkabilir. Bir zaman serisi, zamana göre grafiği içerisinde belirli bir nokada oralamayı sıkça keserek oralama erafında saçılım göseriyorsa, yani, zaman boyunca oralamada bir değişme söz konusu değilse seri, oralama durağan olarak adlandırılır. Zaman serisinin zamana göre grafiğinde varyansa bir değişme olmazsa seri, varyans durağandır (Sevükekin ve Nargeleçekenler, 2010). Bir zaman serisinin isaisiksel olarak değerlendirilmesinde isaisiksel eslerin geçerli olabilmesi için durağanlık koşulunun sağlanması gereklidir. Durağanlık araşırılırken çeşili yönemler kullanılır (Kınacı, 2005). Serinin ookorelasyon kasayılarının gecikmelere karşı çizimi oralamaya göre durağan olup olmamayı kolayca sapamaya yardımcı olmakadır. Durağan verilerin ookorelasyon kasayıları nispeen hızlı bir şekilde sıfıra yaklaşırken, durağan olmayan bir zaman serisinde ookorelasyonlar anlamlı şekilde sıfırdan farklı olacakır. Ancak grafiklerin incelenmesi her zaman doğru ve kesin bilgi vermeyebilir. Bu nedenle durağanlığı espi emek için çeşili esler kullanılır. Bu esler birim kök esleridir (Kınacı, 2005).

17 3.3.1. Birim kök esleri Burada doğrusal zaman serilerinde birim kök esi için geleneksel yaklaşım olan Dickey-Fuller (DF) ve genişleilmiş Dickey-Fuller (ADF) esleri verilecekir. Lieraürde seride yapısal kırılmayı es eden birim kök esleri de bulunmakadır. 3.3.1.1. Doğrusal zaman serilerinde birim kök esleri Dickey-Fuller esinde incelenen serinin özelliğine göre seçilecek farklı üç regresyondan biri ahmin edilerek, zaman serisinin durağan olmadığını savunan emel hipoez es edilir. Bu regresyonlardan ilki, X 1 (3.22) X modelinden X ( 1) (3.23) X 1 şeklinde elde edilir. Eşilik (3.22) deki regresyon kasayısı için, H 0 :( 1) 0 hipoezi kurulur. Bu hipoezin esi için hesaplanan isaisik isaisiğinin hesaplanma şekliyle aynıdır. Karşılaşırma için ise Dickey ve Fuller (1979) ın hazırladığı ablosundan yararlanılır. Dickey-Fuller esi AR(1) modelinin durağanlığını araşırmak için kullanılır (Yılancı, 2007). Diğer regresyon modelleri ise kesme erimi ile hem kesme erimi hem de deerminisik rendin yer aldığı modellerdir ve olarak verilir. Kurulacak hipoez ve esi ilk regresyon modelinde olduğu gibidir.

18 Genişleilmiş Dickey-Fuller (ADF) esi ise, ARMA(p, q) modeli için durağanlığı araşırır. ARMA modelinin ooregresif kısmına nin gecikmeli değerleri eklenerek, regresyon modelleri elde edilir. ADF esinde sınanacak hipoezler ve hesaplanan es isaisiğini karşılaşırmak için kullanılan değerler DF isaisiği ile aynıdır. Ele alınan her denklem ve gecikme sayısı için hipoez kurulur. ADF esinde modele dâhil edilecek gecikme sayısını belirlemek için AIC veya SIC gibi bilgi krierleri kullanılabilir. 3.3.2. Durağanlık dönüşümleri Eldeki zaman serisi fark alma işlemleri ile durağan hale geirilemiyorsa, bu durumda varyans sabileşirme dönüşümleri (güç dönüşümleri) yapılır. Varyansı düzgünleşirmek için güç fonksiyonu Eşilik (3.24) deki gibi anımlanır. (3.24) ve Bu dönüşüme Box-Cox dönüşümü de denir. Burada,, dönüşürme parameresi () X ise dönüşürülmüş dizidir. Gereken dönüşüm uygulanarak varyansa durağanlık sağlanabilir (Kadılar, 2005). Varyansa durağanlık sağlandıkan sonra gerekiğinde oralamada durağanlık için fark alma işlemleri yapılır. 3.4. Model Seçimi: Korelogram İncelemesi Durağan hale geirilen zaman serisinin ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonlarına bakılarak sezgisel olarak serinin AR ( p) veya MA (q) sürecinden hangisine uyduğu belirlenebilir. Eğer ookorelasyon fonksiyonu herhangi dereceden

19 sonra birden sıfırlanıyor ve kısmi ookorelasyon fonksiyonu azalarak sıfırlanıyorsa modelin MA (q) şeklinde bir harekeli oralama modeli olduğu söylenebilir veya kısmi ookorelasyon fonksiyonu herhangi. dereceden sonra birden sıfırlanıyor ve ookorelasyon fonksiyonu azalarak sıfırlanıyorsa modelin bir AR ( p) ipi olduğu söylenebilir. Fonksiyonlarla ilgili bilgiler Çizelge 3.1 deki gibi sınıflandırılabilir. Çizelge 3.1. Durağan modellerde ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonunun bazı özellikleri Model Ookorelasyon Fonksiyonu Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu AR (p) Üsel olarak veya sinüs dalgaları şeklinde sürekli azalır. p gecikmesinden sonra kasayı aniden düşerek isaisiksel olarak anlamsız olur. MA (q) ARMA (p,q) q gecikmesinden sonra kasayı aniden düşerek isaisiksel olarak anlamsız olur. (q-p) gecikmesinden sonra üsel veya azalan sinüs dalgalarının bir karışımı görünümündedir. Üsel olarak veya sinüs dalgaları şeklinde sürekli azalır. (p-q) gecikmesinden sonra üsel veya azalan sinüs dalgalarının bir karışımı görünümündedir. Model belirlendiken sonra paramere ahmini yapılır ve ahminden sonra da modelin seri için uygunluğunun araşırılması gerekmekedir. Teşhis konrolü iki aşamada gerçekleşir. Bu aşamalardan ilkinde model arafından üreilen serinin ookorelasyon fonksiyonu oriinal serinin ookorelasyon fonksiyonu ile karşılaşırılır. Eğer her iki ookorelasyon fonksiyonu birbirinden oldukça farklı ise, oluşurulan modeli ekrar gözden geçirmek gerekir. Eğer ookorelasyonlar arasında önemli bir fark yok ise modelin haa erimleri analiz edilir. 3.5. Model Seçim Krierleri Model seçilirken gecikme değerleri p ve q, ne kadar arırılırsa arık kareleri oplamı o kadar küçük olacakır. Diğer arafan modele fazla dışsal değişkenin ilave edilmesi serbeslik derecesini azalmakadır. Bir zaman serisi verisine en uygun modelin seçimi için gelişirilen bazı krierler vardır. Bunlardan en çok kullanılanları Akaike bilgi krieri (AIC) ve Schwarz Bayesian krieri (SIC) dir. Bu iki krier, AIC n ln( SSE) 2m SIC n ln( SSE) mln( n) (3.25)

20 şeklinde anımlanmakadır. Burada, n, kullanılabilir gözlem sayısı, m, ahmin edilen paramere sayısı ( p q sabi erim), SSE, arık kareler oplamıdır. AIC ve SIC için isenilen ideal değer, mümkün en küçük değerleri almasıdır (Kınacı, 2005). 3.6. Model Geçerliliğinin Araşırılması Tahmin edilen doğrusal zaman serisi modelinin geçerli olabilmesi için modelin arıklarının korelasyonsuz olması ve beyaz gürülü sürecine sahip olması gerekmekedir. Bu bölümde bu koşulların sağlanıp sağlanmadığını görmek amacıyla uygulanacak yönemler verilecekir. 3.6.1. Arıkların ookorelasyon fonksiyonu grafiği Arıkların örnek ardışık bağımlılık değerleri,, (3.26) olarak elde edilebilir. Burada gözlem sayısı,, gecikme sayısıdır. Buradan elde edilen ACF ( ) değerlerine bakılarak arıkların ardışık bağımlı olup olmadığına karar verilebilir. Box ve Jenkins (1976) örnek ardışık bağımlılıklarının birbirinden bağımsız ve varyansına sahip olduğunu gösermişlerdir. Dolayısıyla normallik varsayımı alında %5 anlamlılık düzeyinde (-1.96/ ; 1.96/ ) güven aralığı dışında ise arık ardışık bağımlılıkları sıfırdan farklıdır (Franses ve Dik, 2000). 3.6.2. Breusch-Godfrey esi k değişkenli bir regresyon denklemi, Y X X 0 1 1 k k (3.27)

21 ele alınsın. Burada bir AR( ) ooregresif sürece sahipir. (3.28) İlk olarak klasik en küçük kareler yönemiyle elde edilir ve, regresyonu yapılarak modelin değeri elde edilir. Tes isaisiği, yani serisel korelasyon yokur şeklinde kurulan yokluk hipoezi alında dağılımına sahipir. Burada, gözlem sayısıdır. Tes isaisiği, ablo değerinden büyükse yokluk hipoezi reddedilecekir. 3.6.3. Whie esi Whie esi, sabi varyans varsayımının geçerli olup olmamasının belirlenmesinde yaygın olarak kullanılan eslerden biridir. Tesin uygulanması için kurulan model ahmin edilerek arıklar belirlenir. Belirlenen arıkların karelerinin bağımlı değişken olduğu, bağımsız değişkenlerin ise, modelin bağımsız değişkenleri, bağımsız değişkenlerin kareleri ve bağımsız değişkenlerin birbirleri ile çarpımlarının olduğu yardımcı regresyon modeli ahmin edilir. İncelenecek model, Y 0 1X 1 2 X 2 k X k, 1,2,..., n biçiminde ise yardımcı regresyon modeli, ˆ 2 X 0 X 1 1 X 1 2 1 X 2 2 k 1 X X 1 X k k X 1 k 2 X X 3 1 2 1 X k 2 k, 1,2,..., n olacakır. Bu durumda yokluk hipoezi H 0 (sabi varyans 0 : 1 2 k varsayımı geçerlidir) şeklinde kurulur. Whie esi için es isaisiği, yardımcı regresyon modelinin belirlilik kasayısı ile 2 nr olarak hesaplanır. 2 nr, serbeslik

22 derecesi yardımcı regresyon modelinin bağımsız değişken sayısı olan Tes isaisiği, ablo değerinden daha büyükse H 0 hipoezi reddedilecekir dağılımlıdır. 3.6.4. Jarque-Bera normalik esi Arıklar üzerine yapılan en büyük varsayım, arıkların birbirinden bağımsız ve oralaması sıfır, varyansı σ 2 olan normal dağılıma sahip olmasıdır. Bu varsayım ile kullanılacak isaisikleri geçerli olmakadır. Tahmin edilen arıkların. momeni, (3.29) olarak anımlanırsa nin çarpıklık ve basıklığı sırasıyla, (3.30) ve (3.31) ile hesaplanır. Normal dağılımda çarpıklık 0, basıklık 3 e eşiir. lerin normal ve ookorelasyonsuz olduğu yokluk hipoezi alında sandarlaşırılmış basıklık ve çarpıklık ır. Jarque-Bera esinde yokluk hipoezi verilerin normal dağılım göserdiğini söylemekedir. Normalliği sınamak için (3.32) es isaisiği önerilmişir ve bu değer dağılımına sahipir. Normallik reddedildiğinde, arıklar sabi varyanslı değildir ve doğrusal olmayan modeller ile modellenmelidir (Yalçın, 2008).

23 3.7. Modelleme Süreci Doğrusal zaman serilerinde modelleme süreci Box ve Jenkins (1976) in önerdiği şekliyle yapılmakadır. Box-Jenkins yaklaşımına göre ilk olarak veride durağanlık analizi yapılarak veri hazırlanır, daha sonra ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonları yardımıyla model seçimi yapılır. Muhemel modellerin paramere ahminleri yapılarak model seçim krierleri ile en uygun modele karar verilir ve arıkların konrolü yapılır.

24 4. KOŞULLU DEĞİŞEN VARYANSLI MODELLER Bu bölümde, serinin varyansının modellenmesi ile değişen varyansa izin veren koşullu değişen varyanslı ooregresif (ARCH) modelden bahsedilecekir. 4.1. Koşullu Değişen Varyanslı Ooregresif (ARCH) Modeller Bir oluşur. Yani, zaman serisi, öngörülebilir ve öngörülemez iki parçanın oplamından (4.1) dır. Burada,, zamanına kadar olan ilgili üm bilgiyi içeren bilgi kümesidir. Öngörülemeyen kısım nin beyaz gürülü özelliklerini sağladığı varsayımı alında, öngörülebilir kısım veya koşullu oralama üzerinde doğrusal zaman serisi modelleri bölümünde durulmuşu. Beyaz gürülü sürecinin özellikleri, E[ ] 0 E[ ] 2 2 E[ ] 0, s s (4.2) (4.3) (4.4) şeklinde verilebilir. Beyaz gürülü sürecinde değişmeyen varyanslı olduğu varsayıldı. Dolayısıyla, nin hem koşulsuz hem de koşullu olarak E[ ] E[ ] 2 2 2 1, için (4.5) olarak yazılabilir. Burada, varsayımların bu kısmı biraz gevşeilecek ve varyansının zamanla değişiği kabul edilecekir, yani nin koşullu E 2 [ 1] h (4.6) dır. Böylece, koşullu değişen varyanslı olur. Bu ifadenin alışılmış göserimi,

25 (4.7) şeklindedir. Burada, bağımsız ve aynı dağılıma sahip sıfır oralamalı ve birim varyanslı rasgele değişkeni gösermekedir. Kolaylık olması için, nin sandar normal dağılıma sahip olduğu varsayılacakır. Eşilik (4.7) den ve nin özelliklerinden nin koşuluna göre dağılımı sıfır oralamalı ve varyanslıdır. nin koşullu olmayan varyansının hala sabi olduğu varsayılmakadır. Beklenen değeri kullanarak, 2 2 2 E[ ] E[ 1] E[ h ] (4.8) ile nin koşullu olmayan beklenen değerinin sabi olduğu varsayılabilir (Franses ve Dik, 2000). Engle (1982), finansal zaman serilerinin volailie kümelenmelerini içermesi için değişen varyanslı koşullu ooregresif (ARCH) modeller sınıfını oraya koymuşur. Temel ARCH modelinde, zamanında meydana gelen şokun koşullu varyansı, geçmiş şokların karelerinin doğrusal bir fonksiyonudur. Mesela, birinci sıra ARCH modelinde, 2 h 1 1 (4.9) şeklindedir. Açıkır ki, (koşullu) varyansının negaif olmaması gerekir. Bunu garani emek için, ARCH(1) modelinin Eşilik (4.9) da verilen paramereleri ve durumlarını sağlamalıdır. olması, koşullu varyansın sabi olduğunu göserir, yani, koşullu değişmeyen varyanslıdır. ARCH modelinin volailie kümelenmelerini nasıl anımladığını anlamak için Eşilik (4.7) deki model (4.9) eşiliği ile birlike incelenebilir. nin koşullu varyansı bir önceki zaman periyodunda meydana gelen şokun karesinin aran bir fonksiyonudur. Buna göre, büyükse (mulak değerce), nin de büyük olması (mulak değerce) beklenir. Başka bir ifadeyle de, büyük (küçük) şoklar, büyük (küçük) şokları izleme eğilimindedir (Kızılsu, 2000).

26 Bunu gösermenin bir diğer yolu, ARCH(1) modelini için AR(1) modeli olarak yazmakır. (4.9) eşiliğinde her iki arafa eklenir ve her iki arafan çıkarılırsa, v 2 2 1 1 (4.10) elde edilir. Burada, dir. olduğuna dikka edilmelidir. Eşilik (4.10) ile verilen model ise kovaryans durağandır. Bu durumda, nin veya nin koşullu olmayan varyansı, 2 2 E[ ] 1 1 (4.11) ile verilir. Ayrıca, (4.10) eşiliği, (1 ) v 1 2 2 1 1 1 1 (1 ) v 2 2 1 1 1 ( ) v 2 2 2 1 1 (4.12) şeklinde yeniden düzenlenebilir. olduğu varsayılırsa, (4.12) eşiliği, kendi koşullu olmayan beklenen değeri den büyükse (küçükse),, den büyük (küçük) olacakır (Li ve Li, 1996). ARCH modeli, finansal verilerin volailie kümelenmesini içermekle kalmaz, basıklıkaki fazlalığı da ele alır. Eşilik (4.13) den nin basıklığının her zaman nin basıklığından fazla olduğu Jensen eşisizliği ile görülebilir. (4.13) olduğunda Engle (1982) in göserdiği gibi, ARCH(1) modelinde nin basıklığı, normal dağılıma sahip

27 K 4 2 E[ ] 3(1 1 ) 2 2 2 E[ ] 1 31 (4.14) şeklindedir ve ise sonludur. Buradan görülebileceği gibi,, her zaman normal değer olan 3 en büyükür (Engle, 1982). ARCH(1) modelinin bir diğer karakerisiği, şokları ile ilgili ookorelasyon fonksiyonudur. Eşilik (4.10) daki AR(1) göseriminde, nin sıra ookorelasyonu dır. ARCH(1) modelinde birinci-sıra ookorelasyon in küçük bir değer alması anlamına gelecekir. Faka bu, dönüşe ookorelasyonların oldukça hızlı bir biçimde sıfıra yaklaşmasına yol açacakır. Böylece, denilebilir ki, ARCH(1) modeli geiri serilerinin ampirik ookorelasyonlarının iki karakerisik özelliğini eşzamanlı olarak yansıamamakadır. Ampirik ookorelasyon fonksiyonunda devamlılığı sağlamak için ARCH(1) modelinin genellenmesi ele alınabilir. Bunun bir yolu, koşullu varyans fonksiyonuna daha fazla gecikmeli karesel şoklar eklemekir. Yani, h 2 2 2 1 1 2 q 1 q (4.15) dır. Koşullu varyansın negaif olmamasını sağlamak için, ve olması gerekir. Ayrıca varyansın sonlu olması için koşulunun da sağlanması gerekir. ARCH( ) modeli, ler için AR( ) modeli olarak yazılabilir. Dolayısıyla, v 2 2 2 2 1 1 2 q 1 q (4.16) olur. Böylece, nin koşullu varyansı, 2 1 q i1 i (4.17) olarak yazılır. Burada ARCH( ) modeli, gecikme polinomunun üm kökleri birim çemberin dışında olduğunda kovaryans durağandır (Franses ve Dik, 2000).

28 4.1.1. ARCH ekisinin incelenmesi Zaman içinde değişen varyansın modellenebilmesi için öncelikle seride koşullu değişen varyansın başka bir ifadeyle ARCH ekisinin olup olmadığının sınanması gerekmekedir. Burada sadece Engle (1982) arafından önerilen ARCH-LM esine yer verilecekir. ARCH-LM yönemine göre arıkların karesi için ooregresif model, (4.18) ele alınsın. Burada, ooregresif modelin gecikme uzunluğunu gösermekedir. Uygun gecikme uzunluğu AIC ya da SIC gibi model belirleme krierleri ile belirlenebilir. ARCH ekisinin esinde kullanılacak ARCH ekisi yokur biçimindeki yokluk hipoezi, şeklinde anımlanır. Yokluk hipoezinin doğru olduğu varsayımı alında değeri asimpoik olarak serbeslik derecesi olan ki-kare dağılımına sahipir (Engle, 1982). Burada, gözlem sayısı,, kısı sayısıdır ve ARCH ekisinin araşırıldığı gecikme sayısıdır. Elde edilen ki-kare değeri ablo değerinden büyük ise yokluk hipoezi reddedilir. Başka bir ifadeyle seride varyans zamanla değişmekedir ve bu varyansın uygun bir model ile modellenmesi gerekmekedir (Yalçın, 2008). 4.1.2. ARCH modelinin eksik yanları ARCH modeli oynaklığın modellenmesinde kullanılan modellerin en basi halidir ve diğer oynaklık modellerinin emelini oluşurmakadır. Ancak, uygun gecikme uzunluğu nun belirlenmesinde olabilirlik oranı ve buna benzer yönemler kullanılsa da gecikme uzunluğunun belirlenmesinde hala iyi bir yönem mevcu değildir. Belirlenen gecikme uzunluğu, koşullu varyansaki bağımlılığın hepsini karşılamalıdır. Bu durumda çok büyük olabilir. Bu da çok geniş bir koşullu varyans modeline neden olacakır.

29 Koşullu varyans modelinde ne kadar çok paramere olursa, bir veya birden fazla negaif paramere ahmin eme şansı o kadar çok olur. ARCH modellemesinde paramere ahminlerinin negaif olmama kısılaması bozulabilir. Bu problemin de üsesinden gelebilmek için GARCH modellemesine geçilmişir. ARCH modeli özellikle finansal serilerdeki oynaklığı her zaman am anlamıyla modelleyememekedir. Gecikme uzunluğunun arması ya da gerekli kısıların sağlanamaması ARCH modelinin genişleilmesi fikrini doğurmuşur. 4.2. GARCH Modeli Bir ARCH( ) modelinin koşullu varyansı yeerince kapsayabilmesi için, genellikle çok büyük alınır. Böyle bir modelde paramere ahmini yapmak iyi sonuç vermeyebilir, çünkü negaif olmama ve durağanlık koşulları ekilenebilir. Sorunları azalmak için alernaif bir yönem de Bollerslev (1986) arafından önerilmişir. Buna göre, ARCH modeline koşullu varyansın gecikmeleri eklenir. Yani, Eşilik (4.9) daki ARCH(1) modeline eklenerek (1,1) sıralı genelleşirilmiş ARCH (GARCH) modeli elde edilir. (4.19) Bu modelde, durumunu garani emek için,, ve durumları sağlanmalıdır. in anımlı olması için kesinlikle poziif olmalıdır. Modele neden koşullu varyansın gecikmelerinin eklenmesinden kaçınılarak arık karelerinin daha fazla sayıda gecikmesinin eklendiğini anlamak için (4.19) eşiliği yeniden yazılsın. (4.20) Toplam sembolü kullanılarak, (4.21)

30 yazılır. Görüldüğü gibi GARCH(1,1) modeli özellikle nin gecikme erimlerinin paramereleri için ARCH( ) modeline karşılık gelmekedir. Ayrıca alernaif olarak, Eşilik (4.19) da her iki arafa ekleyerek ve sağ arafan yi çıkararak GARCH(1,1) modeli için ARMA(1,1) olarak yazılabilir. (4.22) Burada yine dir. Bu GARCH(1,1) modeli, ancak ve ancak olduğunda kovaryans durağandır. Böylece, nin koşullu olmayan varyansı (veya nin koşullu olmayan varyansı), (4.23) olur. Eşilik (4.22) deki ARMA(1,1) göserimi ile neden in anımlı olması için in kesinlikle poziif olması gerekiği açıklanmış olur. Eğer olursa, AR ve MA polinomlarının ikisi de ye eşi olur. ARMA(1,1) modeli için bir MA( ) modeli olarak yeniden düzenlenirse bu polinomlar birbirini göürür, (4.24) ve anımsız olur. Bollerslev (1986) in göserdiği gibi, nin dördüncü momeni yalnızca olması durumunda sonlu olur. Ayrıca nin normal dağıldığı varsayılırsa, nin basıklığı, (4.25) ile verilir. Bu da yine, normal değer 3 en büyükür. Eğer (4.14) deki haline indirgenir. nin ookorelasyonları, ise, (4.25) eşiliği

31 (4.26) (4.27) ile hesaplanır. Ookorelasyonlar üsel azalan olmasına rağmen, bu durumun bozulmasına yol açan fakör dir. Bu oplam 1 e yaklaşıkça, ookorelasyonlar giikçe azalacakır. nin dördüncü momeni sonlu değilse, nin ookorelasyonları zamana bağlı olarak değişir. Bu durumda, örneklem ookorelasyonları hesaplanabilir. ve olursa GARCH(1,1) modeli kovaryans durağan olur. Dördüncü momen sonlu ise, nin ookorelasyonları yaklaşık olarak, (4.28) (4.29) şeklindedir. Paramere kısıı, Eşilik (4.26) ya denk olan Eşilik (4.28) den, şeklindedir. Böylece, ve dördüncü momenin arık sağlanmadığı durumdaki değerleri aldığında davranışlarının ani değişim gösermemesi açısından nin ookorelasyonları ve in sürekli fonksiyonları olarak düşünülebilir. Genel GARCH(, ) modeli, (4.30) olarak verilir. Burada ve şeklindedir. nin üm köklerinin birim çemberin dışında olduğu varsayılırsa, model sonlu sıralı bir ARCH model olarak yazılabilir. (4.31)

32 Koşullu varyansın negaif olmaması için Eşilik (4.31) deki üm ler poziif olmalıdır. Alernaif olarak, GARCH(, ) verilen için bir ARMA(, ) olarak göserilebilir. (4.32) Burada, ve dir. GARCH(, ) modeli, eğer üm kökleri için birim çemberin dışındaysa, kovaryans durağandır. GARCH(, ) modelindeki uygun p ve q sıralarını belirlemek için, büyük değerli p ve q alınarak klasik süreç uygulanır ve AIC ve SIC gibi krierler kullanılarak p ve q nun değerleri belirlenebilir (Franses ve Dik, 2000). 4.3. ARCH/ GARCH Uyarlamaları Bu bölümde ARCH ve GARCH modellerinin uyarlamalarından olan ARCH-M, EGARCH ve TARCH modelleri hakkında bilgi verilecekir. 4.3.1. ARCH-M modeli ARCH modelinde oralama varyansan ekilenmemekedir. Ancak beklenen geiri (oralama) ile beklenen varyans arasında bir ilişki vardır. Bu durumu gösermek için Engle ve ark. (1987) oralama denklemine oralamanın kendi koşullu varyansını da eklemişlerdir. Buna göre ARCH-M modeli, (4.33) şeklinde verilir. Burada risk primini gösermekedir ve ise geiriler poziifir ve geçmiş oynaklıkan ekilenmekedir. Eşilik (4.33) deki model ARCH(q) olarak verilmişir. Eğer,

33 olarak verilirse o zaman model GARCH-M haline gelir. Eşilik (4.33) deki oralama denklemi de iki farklı biçimde ele alınabilmekedir. Bunların ilkinde oralama denklemine koşullu varyans yerine koşullu sandar sapma diğerinde ise koşullu varyansın logariması açıklayıcı değişken olarak eklenmekedir. 4.3.2. EGARCH modeli Finansal piyasalarda beklenen geiri koşullu varyans ile ilişkilidir. Beklenen geiri ile koşullu varyans arasındaki ilişki bazen poziif bazen de negaif olduğundan aralarında asimerik bir ilişki söz konusudur. Finansal serilerde kalın kuyruk ve oynaklık kümelenmesi özelliği GARCH model arafından başarılı bir şekilde modellenmekedir. Ancak, koşullu varyans yapısı haa erimlerinin işarelerini dikkae almayıp yalnızca büyüklüğünden ekilenmekedir. Bu nedenle GARCH süreci finansal serilerin asimerik yapısını modellemede yeersiz kalmakadır. Nelson (1991), bu asimeriyi hesaba kaacak şekilde koşullu varyansı modelleyen üssel GARCH (EGARCH) modelini oraya amışır. Model, haa erimlerinin hem işareini hem büyüklüğünü dikkae almakadır. Birinci derece EGARCH modelinde koşullu varyans denklemi, (4.34) şeklindedir. 4.3.3. TARCH modeli Asimerik ekileri dikkae alan bir başka model de eşik ARCH (TARCH) modelidir. Bu modelde birinci dereceden koşullu varyans denklemi, (4.35)

34 şeklinde kurulmakadır (Nargeleçekenler, 2004). Burada olarak verilir. TARCH modelinde iyi ve köü haberler koşullu varyans üzerinde farklı ekilere sahipir. 4.4. ARCH Modelleri için Arıkların İncelenmesi Tahmin edilen paramereler hakkında isaisiksel çıkarımların yapılabilmesi için modelden elde edilen arıkların beyaz gürülü sürecine uyması gerekir. Başka bir ifadeyle arıkların sıfır oralama ve sabi varyanslı birbirinden bağımsız aynı dağılıma sahip olması gerekir. Arıkların bu özellikleri sağlayıp sağlamadığının araşırılmasında kullanılan esler lieraürde güçlülük esleri olarak geçmekedir. Arıklar ve sandarlaşırılmış arıklar için kullanılan bazı esler Kesim 3.6 da verilmişi. Burada ise ARCH modellerde arıkların ardışık bağımlılığını es emede kullanılan Lung-Box esi ve değişen varyanslılığı es eden McLeod esi verilecekir. 4.4.1. Lung-Box Q esi Arıkların ardışık bağımlılık esinde kullanılan bir diğer yönem ilk arık ardışık bağımlılığının orak esine dayanan Lung-Box Q esidir. Lung ve Box (1978) arafından isaisiği (4.36) olarak anımlanmışır. Burada, örnek ardışık bağımlılık değeridir. ARMA( ) modelinden elde edilen arıkların 1 den ye kadarki gecikmelerinde ardışık bağımlılığın olmadığını söyleyen yokluk hipoezi alında isaisiği asimpoik olarak ( serbeslik dereceli dağılımına sahipir. Burada, ARMA modelinin AR kısmının gecikme uzunluğu, ise MA kısmının gecikme uzunluğudur (Franses ve Dik, 2000).