Kİ-KAR TSTLRİ A) Kİ-KAR DAĞILIMI V ÖZLLİKLRİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk gösterp göstermedğ k-kare test le tespt edlr. Standart normal değşken Z İ değerlernn; Z ( X ) şeklnde kares alındığında, Z değerlernn dağılımı k-kare dağılımına dönüşür. 1
X tesadüf değşken dağılımından br değer seçlp standart hale dönüştürülür ve ve kares alınırsa X değşkennn dağılımı k-kare dağılımına dönüşür. Normal dağılım gösteren br X tesadüf değşken dağılımından tesadüf ve brbrnden bağımsız olarak k değer seçlsn.seçlen değerler; Z 1 X 1 Z X şeklnde standart hale dönüştürülsün. Bu Z değerlernn kareler alınıp toplanırsa elde dlen Z değşken k-kare dağılımı gösterr. N adet 1 Z örnek çn bu prosedür takp edldğnde; Z1 Z Z3... Zn değşken de k-kare dağımı gösterr.
Br k-kare dağılımı dğer k-kare dağılımlarından serbestlk derecelerne göre ayrılır. Kareler alınıp toplandığında, k-kare dağılımı gösteren bağımsız standart normal değer sayısına serbestlk dereces denr. Br k-kare dağılımının ortalaması, dağılımın serbestlk derecesne ve varyansı, serbestlk derecesnn k katına eşttr. Mesela, serbestlk dereces 10 olan br k-kare dağılımının ortalaması 10 ve varyansı 0 dr. K-kare değşken, sembolü le gösterlr. Br dağılımı dğernden ayırmak çn, bu sembole serbestlk derecesn gösteren br nds ekleneblr. Böylece 1, ve n serbestlk dereceleryle k-kare dağılımı gösteren değşkenler,, ve şeklnde gösterleblr. 1 n K-kare dağılımı sağa çarpıktır ve normalden daha dktr. N büyüdükçe merkez lmt teoremnn br sonucu olarak dklk ve asmetr azalır, dağılım normale yaklaşır. K-kare değerler 0 le arasında değşr. 3
K-Kare Testler İy Uyum Test Varsayımları: 1. Çok değerl kategork ver. Tek br örnek, brden çok lglenlen oran 3. Örnek oranları hakkında varsayılan oranların test edlmes Homojenlk Test Varsayımları: 1. Tek br kategork değşken. Her gruptan alınan ayrı brer örnek 3. Varsayılan oran yok 4. Br grup çn oranın dğer grup veya gruplar çn de aynı olup olmadığının test edlmes Bağımsızlık Test Varsayımları: 1. İk kategork değşken. Sadece tek örnek, oranlarla lgl varsayım yok 3. Br kategork değşkenn dğeryle lşkl olup olmadığının test edlmes 4
OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr. Szn sınıfınızdan 30 kşlk br örnek alınmış ve %65 nn devamlı, %0 snn bazen, ve %15 nn çok az derse geldğ bulunmuştur. Bu sınıfın devam durumunun genel devam durumuna uyduğu söyleneblr m? OLAY : Aynı öğretm üyesnn statstk ders verdğ 3 farklı sınıfta devam durumlarının aynı olup olmadığı araştırılmaktadır. Her üç sınıftan alınan ayrı örneklern sonucu aşağıdak tabloda görüldüğü gbdr. devaml bazen çok az snf1 15 8 3 snf 14 6 4 snf3 6 7 7 OLAY 3: Bu fakültedek devam durumu le geçme notu arasında br lşk olup olmadığı araştırılmak stenmektedr. Fakülte öğrenclernden alınan 100 kşlk br örneğe devam durumları le geçme notları sorulmuş ve aşağıdak tablo elde edlmştr: <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 15 0 10 1 bazen 1 19 5 3 çok az 5 5 3 5
K-Kare İy Uyum Test Varsayımları: 1. Çok değerl kategork ver ( den fazla kategors olan kategork değşken). Tek br örnek, brden çok lglenlen oran 3. Örnek oranları hakkında varsayılan oranların test edlmes Varsayılan Oranlar Blnen varsayılan oranlar Blnmeyen varsayılan oranlar Belrl br ver yapısına uygunluğun test edlmes Belrl br dağılıma uygunluğun test edlmes HANGİ OLAY BU TST İL İLGİLİDİR? 6
Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr. Szn sınıfınızdan 100 kşlk br örnek alınmış ve %65 nn devamlı, %0 snn bazen, ve %15 nn çok az derse geldğ bulunmuştur. Bu sınıfın devam durumunun genel devam durumuna uyduğu söyleneblr m? varsaylan oranlar gözlenen oranlar devaml 0.60 0.65 bazen 0.30 0.0 çok az 0.10 0.15 H 0 : devamlı =0.60, bazen =0.30, çok az =0.10 H 1 : n az br oran varsayılandan farklıdır. 7
H 0 : devamlı =0.60, bazen =0.30, çok az =0.10 H 1 : n az br oran varsayılandan farklıdır. Bu hpotez testn uygulamak çn gözlenen ve beklenen arasındak farkların büyüklüğüne bakmak gerekr. Bu farkların mutlak değer ne kadar büyükse, sıfır hpotez hakkında o kadar kuşkuya düşerz. Sıfır hpotez doğruyken ve örnek orta büyüklükteyken (beklenen değerlern ( ) herbr en az 5 se), bu hpotez test çn aşağıdak K-Kare test statstğ kullanılır: Gözlenen değer test O Beklenen değer Bu test statstğ, k-1 serbestlk derecel tablo değeryle karşılaştırılır. tablo k 1, Burada k: kategor sayısıdır. 8
H 0 : devamlı =0.60, bazen =0.30, çok az =0.10 H 1 : n az br oran varsayılandan farklıdır. test O Beklenen değer = örnek hacm x beklenen olasılık = n x p Gözlenen değer = örnek hacm x gözlenen olasılık O = n x r varsaylan oranlar gözlenen oranlar beklenen degerler () gözlenen degerler (O) O - (O - )^ ((O - )^)/ devaml 0.60 0.65 60 65 5 5 0.4 bazen 0.30 0.0 30 0-10 100 3.33 çok az 0.10 0.15 10 15 5 5.50 K-kare test = 6.5 9
1) H 0 : devamlı =0.60, bazen =0.30, çok az =0.10 H 1 : n az br oran varsayılandan farklıdır. ) test O 6.5 3) test tablo H 0 ret! tablo k 1,,0.05 5.99 4) Yorum: %5 hata olasılığı le, en az br oran dğerlernden farklı olduğu çn, bu sınıfın devam durumu, genel devam durumu yapısına uymamaktadır. 10
K-Kare Homojenlk Test Homojenlk testnde her br anakütleden belrl hacmlerde örnekler çeklr ve bu örneklern belrl br karakterstğ taşımaları bakımından benzer değşm gösterp göstermedklerne karar verlr. Varsayımları: 1. Tek br kategork değşken. Her gruptan alınan ayrı brer örnek 3. Varsayılan oran yok 4. Br grup çn oranın dğer grup veya gruplar çn de AYNI (HOMOJN) olup olmadığının test edlmes HANGİ OLAY BU TST İL İLGİLİDİR? 11
Aynı öğretm üyesnn statstk ders verdğ 3 farklı sınıfta devam durumlarının aynı olup olmadığı araştırılmaktadır. Her üç sınıftan alınan ayrı örneklern sonucu aşağıdak tabloda görüldüğü gbdr. devaml bazen çok az snf1 15 8 3 snf 14 6 4 snf3 6 7 7 H 0 : sınıf1 n devam yapısı = sınıf nn devam yapısı = sınıf3 ün devam yapısı H 1 : n az br sınıfın devam yapısı dğerlernden farklıdır. Bu hpotez testn uygulamak çn yne gözlenen ve beklenen arasındak farkların büyüklüğü le lgl K-Kare test statstğ kullanılır. Bu test statstğ, (k-1)(r-1) serbestlk derecel tablo değeryle karşılaştırılır. tablo (k1)( r1), Burada k: kategor sayısı (sütun sayısı), r:grup sayısı (satır sayısı) 1
H 0 : sınıf1 n devam yapısı = sınıf nn devam yapısı = sınıf3 ün devam yapısı H 1 : n az br sınıfın devam yapısı dğerlernden farklıdır. test O Fakat bu sefer verler br tabloda yer aldığı çn test statstğnn hesaplamaları ayrı tablolarla yapılır. Gözlenen devaml bazen çok az satr toplam snf1 15 8 3 6 snf 14 6 4 4 snf3 6 7 7 0 sütun toplam 35 1 14 70 beklenen satır toplamıxsutun toplamı geneltoplam 6x14 70 Beklenen devaml bazen çok az snf1 13 7.8 5. snf 1 7. 4.8 snf3 10 6 4 13
Gözlenen devaml bazen çok az satr toplam snf1 15 8 3 6 snf 14 6 4 4 snf3 6 7 7 0 sütun toplam 35 1 14 70 Beklenen devaml bazen çok az snf1 13 7.8 5. snf 1 7. 4.8 snf3 10 6 4 15-13= O - devaml bazen çok az snf1 0. -. snf -1. -0.8 snf3-4 1 3 (O - )^/ devaml bazen çok az snf1 0.31 0.01 0.93 snf 0.33 0.0 0.13 snf3 1.60 0.17.5 5.93 test 14
1) H 0 : sınıf1 n devam yapısı = sınıf nn devam yapısı = sınıf3 ün devam yapısı H 1 : n az br sınıfın devam yapısı dğerlernden farklıdır. ) test O 5.93 3) test tablo H 0 reddedlemez tablo (k1)( r1), x,0.05 9.49 4) Yorum: %5 hata olasılığı le, sınıfların devam yapısının brbrnden farklı olduğu söylenemez. 15
K-Kare Bağımsızlık Test Sık sık karşılaşılan araştırma sorularından br de k değşkenn brbr le lşkl olup olmadığıdır.mesela, br sosyolog okul vasıtasıyla kazanılan eğtm sevyesnn gelrle lşkl olup olmadığını araştırmak steyeblr.br okulda çalışan beslenme uzmanı öğrenclern beslenme uzmanı öğrenclern beslenme sevyelernn akademk performanslarıyla lşkl olup olmadığını blmek steyeblr. İk değşken arasında lşk yoksa, brsnn dağılımı hçbr şeklde dğernn dağılımına bağımlı değlse bu k değşken brbrnden bağımsızdır denr.ik değşken arasında lşk yoksa, belrl br değşkenn değern blmek, dğer değşkenn değern tespte mkan sağlamaz. Varsayımları: 1. İk kategork değşken. Sadece tek örnek, oranlarla lgl varsayım yok 3. Br kategork değşkenn dğeryle İLİŞKİLİ olup olmadığının test edlmes HANGİ OLAY BU TST İL İLGİLİDİR? 16
Bu fakültedek devam durumu le geçme notu arasında br lşk olup olmadığı araştırılmak stenmektedr. Fakülte öğrenclernden alınan 100 kşlk br örneğe devam durumları le geçme notları sorulmuş ve aşağıdak tablo elde edlmştr: <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 15 0 10 1 bazen 1 19 5 3 çok az 5 5 3 H 0 : Devam yapısı, geçme notu le lşkl değldr. H 1 : Devam yapısı, geçme notu le lşkldr. Bu hpotez testn uygulamak çn yne gözlenen ve beklenen arasındak farkların büyüklüğü le lgl K-Kare test statstğ kullanılır. Bu test statstğ, (k-1)(r-1) serbestlk derecel tablo değeryle karşılaştırılır. Burada k: sütun sayısı, r:satır sayısı tablo (k1)( r1), 17
H 0 : Devam yapısı, geçme notu le lşkl değldr. H 1 : Devam yapısı, geçme notu le lşkldr. test O Yne verler br tabloda yer aldığı çn test statstğnn hesaplamaları ayrı tablolarla yapılır. Gözlenen <50 50-<70 70-<90 >=90 satr toplam devaml 15 0 10 1 46 bazen 1 19 5 3 39 çok az 5 5 3 15 sütun toplam 9 44 0 7 100 beklenen satır toplamıxsutun toplamı geneltoplam Beklenen <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 13.3 0. 9. 3. bazen 11.3 17. 7.8.7 çok az 4.4 6.6 3.0 1.1 18
Gözlenen <50 50-<70 70-<90 >=90 satr toplam devaml 15 0 10 1 46 bazen 1 19 5 3 39 çok az 5 5 3 15 sütun toplam 9 44 0 7 100 Beklenen <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 13.3 0. 9. 3. bazen 11.3 17. 7.8.7 çok az 4.4 6.6 3.0 1.1 O - <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 1.7-0. 0.8 -. bazen 0.7 1.8 -.8 0.3 çok az -.4-1.6.0.0 (O - )^/ <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 0.1 0.003 0.07 1.53 bazen 0.04 0.0 1.01 0.03 çok az 1.7 0.39 1.33 3.6 9.69 test 19
1) H 0 : Devam yapısı, geçme notu le lşkl değldr. H 1 : Devam yapısı, geçme notu le lşkldr. ) test O 9.69 3) test tablo H 0 reddedlemez tablo (k1)( r1), 3x,0.05 1.59 4) Yorum: %5 hata olasılığı le, devam yapı le geçme notu değşkenlernn lşkl olduğuna dar yeterl kanıt bulunamamıştır. 0