Engineering Mechanics: Statics in SI Units, 1e orce Vectors
Bölüm Hedefleri Parallelkenar kuralı Kartezyen vektörler Skaler çarpım ve iki vektör arasındaki açı
Bölüm Özeti 1. Skalerler ve vektörler. Vectörel işlemler 3. Kuvvetlerin vektörel toplamı 4. Düzlemsel kuvvetlerin toplanması 5. Kartezyen vektörler 6. Kartezyen vektörlerlerde toplama ve çıkarma 7. Konum vektörleri 8. Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü 9. Skaler çarpım
.1 Skaler ve Vektörler Skaler Pozitif veya negatif bir sayı ile karakterize edilen büyüklüğe denir A skaleri gibi italik harfle gösterilecektir. Örneğin. Kütle,hacim ve uzunluk
.1 Skaler ve Vektörler Vektör Bir büyüklük ve doğrultuya sahip bir büyüklüktür. e.g. Konum,kuvvet ve moment Harfin üstüne ok konarak gösterilir. A Büyüklüğü veya sadece A ile gösterilir. A Bu dersde vektörler A olarak ve pozitif olan büyüklük ise A olarak gösterilecek
. Vektörel işlemler Vektörün bir skalerle çarpımı ve bölümü - A vektörünün a skaleriyle çarpımı = aa - Büyüklük = aa - Çarpım kuralı geçerlidir e.g. A/a = ( 1/a ) A, a 0
. Vektörel işlemler Vektörlerin toplamı - A ve B iki vektörün toplanması paralelkenar kuralına göre R bileşke vektörünü verir. - R bileşke vektörü üçgen oluşturularak da elde edilebilir - Değişme özelliği e.g. R = A + B = B + A - özel durum: A ve B vektörü aynı doğru üzerinde ise R=A+B cebirsel toplamına indirgenir
. Vektörel işlemler Vektörlerin farkı - toplamın özel bir durumudur. e.g. R = A B = A + ( - B ) - vektör toplama kuralı uygulanır
.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Bileşke kuvvetin bulunması Parallelkenar kuralı kullanılarak bulunur Resultant, R = ( 1 + )
.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Analizde incelenecek yol Parallelkenar kuralı Paralelkenar kuralı kullanılarak vektör toplamını gösteren bir şekil çiziniz Kuvvetlerin iki bileşenini bileşke kuvveti oluşturmak için ekleyiniz Bileşke kuvvet paralelkenarın diyagonelinde göster
.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Analizde incelenecek yol Trigonometri Parelelkenarın yarısını çiziniz Bileşke kuvvetin büyüklüğü cosinüs kuralı kullanılarak bulunabilir. Bileşke kuvvetin yönü sinüs kuralı kullanılarak bulunabilir İki bileşenin büyüklüğü sinüs kuralı kullanılarak bulunabilir
Örnek.1 Kanca, 1 ve kuvvetlerine maruzdur.bileşke kuvvetin büyüklük ve doğrultusunu belirleyiniz.
Çözüm Parallelkenar kuralı Bilinmeyen: R nin büyüklüğü ve θ açısı
Çözüm Trigonometri Cosinüs kuralı 100N 150N 100N 150N cos115 500 30000 0.46 1.6N N R 10000 13 Sinüs kuralı 150N 1.6N sin sin115 150N sin 0.9063 1.6N 39.8
Çözüm Trigonometri Direction Φ of R measured from the horizontal 39.8 54.8 15
.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Skalar Gösterim x ve y eksenleri pozitif ve negatif olarak belirtilir Kuvvetin bileşenleri cebirsel skalerle ifade edilir x x y cos and sin y
.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Kartezyen Vektör Gösterimi Kartezyen birim vektörler i ve j x ve y yönlerini göstermek için kullanılır. Birim vektörler i ve j boyutsuz birim değere sahiptir ( = 1 ) Skaler x ve y ile gösterilen büyüklük daima pozitiftir. i x y j
.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri Çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için kullanılır. : Kuvvet x ve y bileşenlerine ayrılır. Karşılıklı bileşenler skaler cebir kullanılarak toplanır. Bileşke kuvvet paralelkenar kuralı kullanlarak bulunur. Kartezyen vektör gösterimi 1 3 1x 3x i x 1y i i 3 y j y j j
.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri Bileşke kuvvet Skaler gösterim kullanılırsa j i Ry Rx R 3 1 y y y Ry x x x Rx 3 1 3 1
.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri Bütün durumlarda Rx Ry x y * İşaretlere dikkat R nin büyüklüğü Pisagor teoreminden bulunur. R Rx Ry ve tan -1 Ry Rx
örnek.5 1 ve nin x ve y bileşenlerini Belirleyiniz.Herbir kuvveti kartezyen vektör şeklinde gösteriniz.
Çözüm Skaler gösterim 1x 1y 00sin 30 00cos 30 N 100N 100N N 173N 173N Hence, from the slope triangle, we have tan 1 5 1
Çözüm Benzer üçgenden x y 1 60 13 60 5 13 Skaler gösterim: 40N 100N x y 100N Kartezyen vektör gösterimi: 40N 1 100N 100i 173 j 40i 100 jn N
Çözüm Skaler gösterim 1x 1y 00sin 30 00cos 30 N 100N 100N N 173N 173N Hence, from the slope triangle, we have: 5 tan 1 1 Cartesian Vector Notation 1 100i 173 j 40i 100 jn N
Örnek.6 Kanca 1 ve kuvvetlerine maruzdur.bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.
Çözüm I Skaler Gösterim: Rx Rx 36.8N Ry Ry x y : 600cos 30 : 600sin 30 58.8N N 400sin 45 N 400cos 45 N N
Çözüm I Bileşke kuvvet R 69N θ açısı 67.9 36.8N 58.8N 58.8 tan 1 N 36.8N
Çözüm II Kartezyen vektör notasyonu 1 = { 600cos30 i + 600sin30 j } N = { -400sin45 i + 400cos45 j } N Böylece, R = 1 + = (600cos30ºN - 400sin45ºN)i + (600sin30ºN + 400cos45ºN)j = {36.8i + 58.8j}N R büyüklüğü ve yönü önceki şekilde bulunur.
.5 Kartezyen vektörler Sağ-el koordinat sistemi Bir diktörtgen veya kartezyen koordinat sistemine sağ-el koordinat sistemi denir. : Sağ elin başparmağı pozitif z eksenini gösteriyorsa z-ekseni boyutlu problem için kağıda dik ve dışarı doğru yönelecektir.
.5 Kartezyen vektörler Bir vektörün dik bileşenleri Bir A vektörünün x y ve z koordinat eksenlerine göre yönelimine bağlı olarak,bu eksenler üzerinde bir,iki veya üç dik bileşeni olabilir. Paralel kenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak A = A + A z A = A x + A y Bu denklemler birleştirilerek, A A = A x + A y + A z olarak ifade edilir.
.5 Kartezyen vektörler Birim vektör A nın yönü birim vektör kullanılarak tanımlanabilir Birim vektörün büyüklüğü 1 dir. Eğer A büyüklüğü A 0 olan vektörse, A ile aynı yönlü birim vektör u A = A / A. A = A u A
.5 Kartezyen vektörler Kartezyen vektör gösterimi A nın üç bileşeni i, j ve k nın pozitif yönünde etkimektedir, A = A x i + A y j + A Z k *herbir bileşen vektörün büyüklüğü ve doğrultusu ayrılır ve bu vektör cebri işlemlerini basitleştirir
.5 Kartezyen vektörler Kartezyen vektörün büyüklüğü Renkli üçgenden, Gölgelim üçgenden, Denklemleri birleştirerek A nın büyüklüğünü verir z y x A A A A ' y x A A A ' z A A A
.5 Kartezyen vektörler Kartezyen vektörün doğrultusu A vektörünün yönü başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y ve z eksenleri arasında ölçülen α, β ved γ koordinat doğrultu açıları ile tanımlanır. es 0 α, β ve γ 180 A nın doğrultu kosinüsleri cos A x A cos A z A cos A y A
.5 Kartezyen vektörler
.5 Kartezyen vektörler Kartezyen vektörün doğrultusu α, β ve γ açıları ters kosinüs fonksiyonlarından belirlenebilir. A = A x i + A y j + A Z k Birim vektör, u A = A /A = (A x /A)i + (A y /A)j + (A Z /A)k burada A A A A x y z
.5 Kartezyen vektörler Kartezyen vektörün doğrultusu u A şu şekildede ifade edilebilir. u A = cosαi + cosβj + cosγk A A A A olduğundan ve u A = 1, o zaman x y cos z cos cos 1 A kartezyen vektör formunda ifade edilebilir. A = Au A = Acosαi + Acosβj + Acosγk = A x i + A y j + A Z k
.6 Kartezyen vektörlerde toplama ve çıkarma Aynı noktadan geçen kuvvet sistemleri Bileşke kuvvet sisteme etki eden bütün kuvvetlerin toplamına eşittir. R = = x i + y j + z k
örnek.8 kuvvetini kartezyen vektör formunda yazınız.
Çözüm İki açı bilindiğinden,üçüncü açı cos cos cos İki ihtimal var cos 1 cos cos 1 cos 1 0. 5 60 60 0.5 10 0. 5 cos cos 45 0. 707 1 1 ± 0. 5
Çözüm α = 60º olduğu görülür çünkü x +x yönündedir. = 00N verilmiş = cosαi + cosβj + cosγk Control edilirse = (00cos60ºN)i + (00cos60ºN)j + (00cos45ºN)k = {100.0i + 100.0j + 141.4k}N x y z 100.0 100.0 141.4 00N
Örnek
örnek 3
.7 Konum vektörleri x,y,z koordinatları Sağ-el koordinat sistemi Pozitif z ekseninin,bir nesnenin uzunluğunu veya bir noktanın yüksekliğini ölçecek şekilde,yukarı doğru yönelmesi şeklinde uylaşım kullanacağız. Noktalar O orijinine göre belirlenir.
.7 Konum vektörleri Konum vektörü r konum vektörü,bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen bir vektördür. E.g. r = xi + yj + zk
.7 Konum vektörleri Konum vektörü Vectörlerin uc uca eklenmesi ile r A + r = r B Çözersek r = r B r A = (x B x A )i + (y B y A )j + (z B z A )k or r = (x B x A )i + (y B y A )j + (z B z A )k
.7 Konum vektörleri AB kablosunun yönü ve boyu A ve B nin x, y, z eksenleri kullanılarak ölçülür ve bulunur. r konum vektörü kurulabilir. r büyüklüğü kablonun boyunu verir. α, β ve γ açıları kablonun yönünü gösterir. Birim vektör, u = r/r
Örnek.1 A ve B noktalarına elastik bir bant tutturulmuştur. Bantın uzunluğunu ve A dan B ye ölçülen doğrultusunu belirleyiniz.
Çözüm Konum vektörü r = [-m 1m]i + [m 0]j + [3m (-3m)]k = {-3i + j + 6k}m Büyüklük = elastik bantın uzunluğu 3 6 m r 7 r doğrultusundaki birim vektör u = r /r = -3/7i + /7j + 6/7k
Çözüm α = cos -1 (-3/7) = 115 β = cos -1 (/7) = 73.4 γ = cos -1 (6/7) = 31.0
.8 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü 3 boyutlu problemlerde, kuvvetinin doğrultusu etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. Kartezyen vektör olarak formüle edebiliriz. = u = (r/r) kuvvet birimi (N) ancak, uzunluk birimidir (m)
.8 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü Zincir boyunca hareket eden kuvveti Kartezyen vektörle gösterilebilir. - x, y, z eksenleri kurarak - Zincir boyunca r konum vektörü oluştararak Birim vektör, u = r/r hem kuvvetin hem de zincirin yönünü tanımlar. = u elde ederiz.
Örnek.13 Adam ipi 350N luk bir kuvvetle çekmektedir.a mesnedine etkiyen bu kuvveti Kartezyen vektör şeklinde ifade ediniz ve doğrultusunu belirleyiniz
Çözüm İpin uç noktalarının koordinatları A (0m, 0m, 7.5m) ve B (3m, -m, 1.5m) r = (3m 0m)i + (-m 0m)j + (1.5m 7.5m)k = {3i j 6k}m Büyüklük = AB ipinin uzunluğu 3m m 6m m r 7 Birim vektör, u = r /r = 3/7i - /7j - 6/7k
Çözüm in büyüklüğü 350N ve doğrultusu u ile tanımlandığından. = u = 350N(3/7i - /7j - 6/7k) = {150i - 100j - 300k} N α = cos -1 (3/7) = 64.6 β = cos -1 (-/7) = 107 γ = cos -1 (-6/7) = 149
.9 Skaler çarpım A ve B vektörlerinin skaler çarpımı A B şeklinde yazılır ve (A skaler çarpım B diye okunur.) A ve B nin büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır. A B = AB cosθ where 0 θ 180 Bu çarpım adını sonucun bir skaler olmasından alır.
.9 Skaler çarpım İşlem kuralları 1. Değişme özelliği A B = B A. Skaler ile çarpım a(a B) = (aa) B = A (ab) = (A B)a 3. Dağılma kuralı A (B + D) = (A B) + (A D)
.9 Skaler çarpım Kartesian Vektör ormulasyonu - birim vektörlerin skaler çarpımı i i = (1)(1)cos0 = 1 i j = (1)(1)cos90 = 0 - benzer şekilde i i = 1 j j = 1 k k = 1 i j = 0 i k = 0 j k = 0
.9 Skaler çarpım Kartesian Vektör ormulasyonu A ve B iki vektörün skaler çarpımı A B = A x B x + A y B y + A z B z uygulamalar İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı θ = cos -1 [(A B)/(AB)] 0 θ 180 Bir vektörün bir doğruya parelel ve dik bileşenleri A a = A cos θ = A u
Örnek.17 Çerçeveye = {300j} N yatay kuvveti etkimektedir.bu kuvvetin AB elemanına paralel ve dik bileşenlerini belirleyiniz..
çözüm Since r i j k u B 6 3 B rb 0.86i 0.857 j 0.49k Thus AB. u B 57.1N 6 3 cos 300 j 0.86i 0.857 j 0.49k (0)(0.86) (300)(0.857) (0)(0.49)
çözüm Sonuç pozitif bir skaler olduğundan, AB nin yönü u B ile aynıdır. kartesyen formda 57.1N 0.86i 0.857 j 0.49k {73.5i Dik bileşen AB AB u 0 j 110k} N AB AB 300 j (73.5i 0 j 110k ) { 73.5i 80 j 110k} N
çözüm büyüklüğü Pisagor teoreminden veya bu vektörden belirlenebilir. 300N 57.1N 155N AB
örnek
çözüm
çözüm
QUIZ 1. Which one of the following is a scalar quantity? A) orce B) Position C) Mass D) Velocity. or vector addition, you have to use law. A) Newton s Second B) the arithmetic C) Pascal s D) the parallelogram
QUIZ 3. Can you resolve a -D vector along two directions, which are not at 90 to each other? A) Yes, but not uniquely. B) No. C) Yes, uniquely. 4. Can you resolve a -D vector along three directions (say at 0, 60, and 10 )? A) Yes, but not uniquely. B) No. C) Yes, uniquely.
QUIZ 5. Resolve along x and y axes and write it in vector form. = { } N y A) 80 cos (30 ) i 80 sin (30 ) j B) 80 sin (30 ) i + 80 cos (30 ) j C) 80 sin (30 ) i 80 cos (30 ) j D) 80 cos (30 ) i + 80 sin (30 ) j 6. Determine the magnitude of the resultant ( 1 + ) force in N when 1 ={ 10i + 0j }N and ={ 0i + 0j } N. A) 30 N B) 40 N C) 50 N D) 60 N E) 70 N 30 x = 80 N
QUIZ 7. Vector algebra, as we are going to use it, is based on a coordinate system. A) Euclidean B) Left-handed C) Greek D) Right-handed E) Egyptian 8. The symbols,, and designate the of a 3-D Cartesian vector. A) Unit vectors B) Coordinate direction angles C) Greek societies D) X, Y and Z components
QUIZ 9. What is not true about an unit vector, ua? A) It is dimensionless. B) Its magnitude is one. C) It always points in the direction of positive X- axis. D) It always points in the direction of vector A. 10. If = {10 i + 10 j + 10 k} N and G = {0 i + 0 j + 0 k } N, then + G = { } N A) 10 i + 10 j + 10 k B) 30 i + 0 j + 30 k C) 10 i 10 j 10 k D) 30 i + 30 j + 30 k
QUIZ 11. A position vector, r PQ, is obtained by A) Coordinates of Q minus coordinates of P B) Coordinates of P minus coordinates of Q C) Coordinates of Q minus coordinates of the origin D) Coordinates of the origin minus coordinates of P 1. A force of magnitude, directed along a unit vector U, is given by =. A) (U) B) U / C) / U D) + U E) U
QUIZ 13. P and Q are two points in a 3-D space. How are the position vectors r PQ and r QP related? A) r PQ = r QP B) r PQ = - r QP C) r PQ = 1/r QP D) r PQ = r QP 14. If and r are force vector and position vectors, respectively, in SI units, what are the units of the expression (r * ( / ))? A) Newton B) Dimensionless C) Meter D) Newton - Meter E) The expression is algebraically illegal.
QUIZ 15. Two points in 3 D space have coordinates of P (1,, 3) and Q (4, 5, 6) meters. The position vector r QP is given by A) {3 i + 3 j + 3 k} m B) { 3 i 3 j 3 k} m C) {5 i + 7 j + 9 k} m D) { 3 i + 3 j + 3 k} m E) {4 i + 5 j + 6 k} m 16. orce vector,, directed along a line PQ is given by A) (/ ) r PQ B) r PQ /r PQ C) (r PQ /r PQ ) D) (r PQ /r PQ )
QUIZ 17. The dot product of two vectors P and Q is defined as A) P Q cos B) P Q sin C) P Q tan D) P Q sec 18. The dot product of two vectors results in a quantity. A) Scalar B) Vector C) Complex D) Zero P Q
QUIZ 19. If a dot product of two non-zero vectors is 0, then the two vectors must be to each other. A) Parallel (pointing in the same direction) B) Parallel (pointing in the opposite direction) C) Perpendicular D) Cannot be determined. 0. If a dot product of two non-zero vectors equals -1, then the vectors must be to each other. A) Parallel (pointing in the same direction) B) Parallel (pointing in the opposite direction) C) Perpendicular D) Cannot be determined.
QUIZ 1. The dot product can be used to find all of the following except. A) sum of two vectors B) angle between two vectors C) component of a vector parallel to another line D) component of a vector perpendicular to another line. ind the dot product of the two vectors P and Q. P = {5 i + j + 3 k} m Q = {- i + 5 j + 4 k} m A) -1 m B) 1 m C) 1 m D) -1 m E) 10 m