f, [a, b] de sürekli bir fonksiyon olsun f nin e risi x=a, x=b do rular ve x-ekseni ile alan ; S = f(x) dx dir. Alan, x- ekseninin üstünde ise

f, [a, b] de sürekli bir fonksiyon olsun f nin e risi x=a, x=b do rular ve x-ekseni ile alan ; S = f(x) dx dir. Alan, x- ekseninin üstünde ise x [a, b] için f(x) S = f(x) dx dir. Alan, x- ekseninin alt nda ise x [a, b] için f(x) S = - f(x) dx dir. a b a b a b Alan, x ekseninin hem alt nda hem de üstünde ise f, [a,c] de sürekli, x [a, c] alan f(x) dx - f(x) dx dir. Örnekler : f(x)= x do rusu x-ekseni x= ve x= do rular yla s n rlanan bölgenin alan n bulunuz.. b a b xdx = x = - = - = bulunur. c. f(x) = x e risi, x-ekseni, x= ve x= do rular yla s n rlanan alan bulunuz. y f(x)= x S = f(x) dx = x Görüldü ü üzere, integral alma sayesinde parçalama yönteminden daha basit bir yöntemle alan hesaplad k. = x = x x dx =. -. = 6 - = 6 br

f(x) = Sinx e risinin [, ] aral nda kalan parças ve x- ekseni ile s n rlanan alan hesaplay n z. S = Sinx dx = - Cosx = - (Cos - Cos) = - (-) + = + = br - x dx integralini hesaplay n z. x = b x, x -x, x< f(x)dxa a c f(x) dx+ c b f(x) dx C [a, b] oldu una göre - x dx = -x dx + x dx = - - x - + x = - - (-) + 9 - = + 9 = bulunur.

5. f : R R ; f(x) = x +x - 6 e risi, x = -, x = do rular ve x- ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. S = - - = - x + x - 6x f(x) dx =- - (x +x-6) dx = - - + 6 + -8 + + = - - +6-6 + +7 = 99 6 6 - x=- x= = br 6. f (x) = x - 5x +6x fonksiyonunun e risi ile x- ekseninin s n rlad bölgenin alan n bulunuz. x(x -5x+6) = x(x-) (x-) = ise x =, x=, x= S = (x -5x +6x) dx - (x -5x +6x) dx = x - 5 x + x - x - 5 x +x = - + - 8-5+7- + - = - + - 8 + 5-7 + - + = 5 () - 8 () - 8 () = 6-56 = 7

7. x dx integralini hesaplay n z. x = kritik nokta x- = x- ise x x < ise -(x-) = x ; x- x ; -(x-) oldu undan x- dx = -(x-) dx+ (x-) dx = + x + x -x - x = - + + - - + = - + = - + = bulunur. 8. [ x ] x dx integralini hesaplay n z. x [, ) f(x) = [ x ] = x [, ) f(x) = [ x ] = x [, ) f(x) = [ x ] = [ x ]x dx = dx + xdx+ x dx = + x + x - + 9 - = + 5 = bulunur. 9. - sgn (x - x+)dx integralini hesaplay n z. ; f(x) > ise Sgn f(x) = ; f(x) = ise - ; f(x) < ise f(x) in iflaretini inceleyelim. 5

x - + x - x+ + O _ O + - Sgn (x -x+)dx = - dx+ -dx+ dx= x + (-x) +x = (+) - (-) + (-) = - + = bulunur. -. x için - [ x ] Sgnx dx integralini hesaplay n z. x [-, ) [ x ] = - ; x> ise x [, ) [ x ] = Sgnx = - ; x< ise x [, ] [ x ] = ; x= ise - [ x ] Sgnx dx = (-) - dx + - dx + dx = -dx + - dx = - x - + x = - + - =. Cosx-Sinx dx integralini hesaplay n z., aral nda Cosx -Sinx = denkleminin kökü x = tür. x x> için Cosx Sinx ve Cosx-Sinx = Cosx - Sinx için Cosx< Sinx ve Cosx -Sinx =-(Cosx - Sinx) 6 = Sinx - Cosx dir.

Cosx - Sinx dx = Cosx dx + Sinx dx - (Cosx - Sinx) dx + Sinx dx - = Sinx - Cosx + Cosx - Sinx Cosx dx (Sinx - Cosx) dx = (Sin - Sin) - Cos - Cos + Cos - Cos - Sin - Sin = - - - + - - - = + + --+ = = - bulunur.. Afla daki integralleri hesaplayal m. a) b) (x -x+) dx = x - x +x - - = - bulunur. Cos(-θ) = Cosθ ; Sin(-θ) = -Sinθ - (Sinx+Cosx) dx = (- Cosx + Sinx) = 7-8+6 - +- = = - (Cos - Cos(-)) + (Sin() - Sin (-)) = - (Cos() - Cos()) + (Sin () + Sin()) = Sin - c) S = Cos x dx = tgx = tan / - tg = - = d) / S = - -x dx = Arc cosx = Arc cos - Arc cos 7

e) S = +x dx = Arctgx = Arctg - Arctg = - = f) S = e 5x dx = 5 e5x = 5 (e5. -e 5. ) = 5 (e5 -) = e5-5 bulunur. g) S = Sin x dx = Sin(-x) dx+ - - Sinx dx = - -Sinx dx+ Sinx dx = Cosx - Cosx = Cos - Cos(-) - Cos + Cos = - (-) - (-) + = - +++ = bulunur. h) - Sgn[ x ] dx = - Sgn (-) dx+ Sgn () dx + Sgn() dx = -dx+ - dx + dx = -x + x = (-) + - = d r. - ) [ x ] [ x ] dx = dx+ dx+ dx = x + x + 7x = -+-8+8-8 = 86 j) [ Sinx ] Sinx dx = -Sinx dx = Cosx = Cos - Cos = -(-) = + = dir. x, den ye kadar de iflti inde Sinx, - ile aras nda de iflir. [ Sinx ] =- dir. 8

k) x -x+ dx= ( x -x+)dx+ - (x -x+) dx + (x -x+) dx = x - x +x) - x - x +x + x - x +x = - + - 8 + +- + - + 7-7 +6-8 + - = -9+6 6-6+6+-+9-6 + 5-8+6-6+6-6 - +7+5 6 = 75 6 = 5 l) Sgn(x -5x+6) dx = dx- dx+ dx = x - x + x = x --(-) + - = -+ = bulunur. x -5x+6 + O - O +. f: (x) = -x +7x-6 fonksiyonunun e risi x =, x=5 do rular ve x-ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. S = f(x) dx = 5 = - x + 7x - 6x 5 (-x +7x-6) dx = - 5 + 75 - - -8 + - = 89 5 9

. f(x) = x -x- fonksiyonunun e risi ile x-ekseninin s n rland bölgenin alan n bulunuz. f(x) = (x- ) - 5 S = - - (x -x-) dx = (- x + x +x) - = - 6 ++6 - + - = 6 5. f(x) = x -8x fonksiyonunun e risine x -ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. f(x) =x -8x =(x-) -6 S =- f(x) dx = (x -8x) dx = x - 8 8-8 x = -.6 = 5-56 = 56 br bulunur. 8

6. f(x) =Sinx fonksiyonunun e risi ile x =, x = 7 do rular ve x- ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. S= Sinx dx 7 Sinx dx = - Cosx + Cosx 7 = - Cos + Cos + Cos 7 - Cos = + + + = + br 7. Afla daki integralleri hesaplay n z. a) 5 Sin [ x ] dx = Sin dx + Sin dx + Sin dx + Sin dx + Sin dx = 5 = dx + dx + dx + -dx + 5 dx = dx - dx = x - x = (-) - (-) = - =

b) - Sin x dx = Cotgx = Cotg - Cotg = -= - c) e x dx = lnx e = lne-ln = - = dir. K E R LE SINIRLANAN BÖLGEN N ALANI Örnekler :. y = x do rusu ve y = x parabolünün s n rlad bölgenin alan n bulunuz. E riyle do ruyu birlikte çözelim ve s n rlar n bulal m. Sonra grafi ini çizip, arada kalan bölgeyi tan mlayal m. x = x x -x = x(x-) = x = veya x- = x = dir. S = (x- x ) dx = x dx - x dx = x - x 6 = - = br

. y = x, y = - x +x fonksiyonlar n n e rileri ile s n rl bölgenin alan n bulunuz. y = - x +x = -(x-) + S = (-x +x-x ) dx = - x dx + x dx = - x + x = - (-) + (-) = - + = br. y = x e risi ve y = x do rusu ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. E ri ile do ruyu ortak çözelim. x = x x = x x = veya x = S = (x-x ) dx= x dx - x dx = x - x =. - 6 = 8-6 = 8 br

., aral nda, y = Sinx, y = Cosx e rileri ve x- ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. S = Sinx dx + / / / Cosx dx = -Cosx + Sinx = - Cos + Cos + Sin - Sin = - + + - = - 5. y = x ve x = y e rileri ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. y = x ( x ) = x x 9 = x x -7x = x(x - 7) = x = veya x = x = y y = x S = = x - x dx x - x 9 = = x dx - x dx = 7 - = - br

6. y = x - e risi ve y = x- do rusunun s n rland bölgenin alan n bulunuz. S = (x-) - (x -) ( - ) = 6-6 = 6 br () () dx = (x-x ) dx= x - x = 7. y = x -8 ve y = -x e rileri ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. x - 8 = -x x = 8 x = x =, x = - S = (-x - - x +8) dx = (-x +8) dx = ( - - = - 8+8. - - (-8) -6 = - 6 + 6-6 + 6 x +8x) - = - () + = 96- = 6 br () 5