KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman bir kez yazýlýr. Bir kümede elemanlar yer deðiþtirebilir. kümesinin eleman sayýsý s() ile gösterilir. :elemanýdýr :elemaný deðildir Kümeler liste yöntemi, Venn þemasý yöntemi, ortak özellik yöntemi ile gösterilir. Rakamlarýn oluþturduðu kümeyi liste, ortak özellik ve þema yöntemiyle gösteriniz. Rakamlarýn oluþturduðu kümenin önce elemanlarýný belirleyin. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 a) Liste Yöntemi Bir küme adý yaz, küme parantezlerini koy. Elemanlarý yaz. = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } b) Ortak Özellik Yöntemi Bir küme adý yaz, küme parantezlerini koy. Ortak özelliðe sahip elemanlarý ifade et. = { x : x bir rakam } c) Venn Þemasý Yöntemi Kapalý bir eðri çiz. Dýþýna küme adýný yaz. Ýçine elemanlarý yanlarýna nokta koyarak yaz..0.2.1.3 ÖÐRENCÝ TEKRR.8.9.4.5.7.6 2.BOÞKÜME Hiçbir elemaný olamayan kümeye boþ küme denir. : boþ küme { } : boþ küme { } : boþ küme demek deðildir. = { uçan koyunlar } boþkümeyi ifade eder. = { haftanýn bazý günleri } küme bile ifade etmez. Kümeler net elemanlardan oluþur. þaðýdaki kümelerin boþ küme olup olmadýklarýný inceleyiniz. a) = { x : x + 1 = 0, x N } b) = { x : x 2 + 5 = 0, x R } c) = { x : x + 1 = -2, x R } d) = { x : 3x + 1 = 2, x Z } a) = { x : x + 1 = 0, x N } Denklemi çöz. x = -1 negatif tamsayýdýr. Doðal sayý deðildir. b) = { x : x 2 + 5 = 0, x R } Denklemi çöz. x 2 = -5 karesi negatif olan gerçek sayý yoktur. c) = { x : x + 1 = -2, x R } Denklemi çöz. Mutlak deðerin sonucu negatif olmaz. d) = { x : 3x + 1 = 2, x Z } Denklemi çöz. Sonuç tam sayý çýkmýyor. Hepsi boþküme ÖÐRENCÝ TEKRR 7
KONU BİLGİSİ 3.EÞÝT KÜME,EÞÝT OLMYN(FRKLI) KÜME, DENK KÜME yný elemanlardan oluþan kümelere eþit küme denir. 4.SONLU - SONSUZ KÜME Eleman sayýsý sonlu olan kümelere sonlu küme, sonlu olmayan kümelere sonsuz küme denir. Sadece eleman sayýlarý eþit olan kümelere denk kümeler denir. Ýki küme eþit deðilse farklý kümelerdir. = : eþit = : eþit deðil = : denk = { x : 1 x 3, x N } B = {a,b,c} C = {a,{b,c}} D = {1,2,3} kümelerinin eþitliðini, denkliðini inceleyiniz. = { x : 1 x 3, x N } Kümenin elemanlarý 1,2,3 tür. B = {a,b,c} Kümenin elemanlarý a,b,c dir. C = {a,{b,c}} Kümenin elemanlarý a,{b,c} dir. D = {1,2,3} Kümenin elemanlarý 1,2,3 tür. = D, = D, = B, B = C, B = C Eþit kümeler ayný zamanda denktirler. Denk kümeler eþit olmayabilirler. þaðýdaki kümelerin sonlu ya da sonsuz küme olup olmadýklarýný inceleyiniz. SONSUZ KÜMELER N : Doðal sayýlar kümesi N = { 0,1,2,3,4,5,...} Z : Tam sayýlar kümesi Z = {...,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...} R : Reel(Gerçek) sayýlar kümesi R = { x : x reel sayý } Q : Rasyonel sayýlar kümesi Q : Ýrrasyonel sayýlar kümesi = { x : x 2, x R } B = { x : x 2, x N } C = { x : 1 x 3, x N } D = { x : 1 x 3, x Z } = { x : x 2, x R } 2 ye eþit ve 2 den küçük gerçek sayýlar sonsuz sayýdadýr. B = { x : x 2, x N } 2 ye eþit ve 2 den küçük doðal sayýlar sonlu sayýdadýr. C = { x : 1 x 3, x N } 1 den büyük 3 ten küçük veya eþit doðal sayýlar sonlu sayýdadýr. D = { x : 1 x 3, x Z } 1 den büyük 3 ten küçük veya eþit tam sayýlar sonsuz sayýdadýr. ÖÐRENCÝ TEKRR ÖÐRENCÝ TEKRR 8
KONU BİLGİSİ 5.LT KÜME, ÖZLT KÜME nýn her elemaný B nin de elemaný ise, B nin altkümesidir. Öz alt küme ise bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine denir. B B :, B nin altkümesidir. : B, yý kapsar. Boþ küme her kümenin alt kümesidir. Her küme kendisinin alt kümesidir. n elemanlý kümenin alt küme sayýsý 2 n n elemanlý kümenin özalt küme sayýsý 2 n -1 B ve B ise = B = {1,2,3} kümesinin alt kümelerini yazýnýz. 6 elemanlý bir kümenin alt küme ve öz alt küme sayýsýný bulunuz. 0 elemanlý altkümesi 1 elemanlý altkümesi 2 elemanlý altkümesi 3 elemanlý altkümesi lt küme sayýsý : 2 6 Öz alt küme sayýsý : 2 6-1 ={1,2,3} kümesinin {1} {2} {3} {1,2} {2,3} {1,3} {1,2,3} 6 elemanlý kümenin 6.LT KÜMELERDE BÝR ELEMNIN BULUNUP BULUNMM DURUMU Bir kümenin alt kümelerinin kaçýnda a elemaný bulunmaz deniyorsa, a elemaný atýlýr. Geriye kalan elemanlarýn alt küme sayýsý bulunur. Bir kümenin alt kümelerinin kaçýnda a elemaný bulunur deniyorsa, kümesinin tüm alt kümelerinden a elemanýnýn bulunmadýðý alt küme sayýsý çýkartýlýr. Bulunma durum sayýsý = Bulunmama durum sayýsý = { 1,2,3,4,5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a) 1 elemaný bulunmaz? b) 1 elemaný bulunur? a) = { 1,2,3,4,5 } 1 elemanýný atarýz. Geriye kalan 4 elemanýn alt küme sayýsý lt küme sayýsý : 2 4 = 16 b) = { 1,2,3,4,5 } Tüm alt küme sayýsýný buluruz. 1 elemanýnýn bulunmadýðý durumlarý çýkartýrýz. lt küme sayýsý : 2 5-2 4 = 16 ÖÐRENCÝ TEKRR ÖÐRENCÝ TEKRR 9
KONU BİLGİSİ 7.n ELEMNLI KÜMENÝN r ELEMNLI LT KÜMELERÝ n elemanlý bir kümenin r elemanlý alt kümelerinin sayýsý; C(n;r) = n n! r = r!.(n-r)! n a n r 7 elemanlý bir kümenin 3 elemanlý ve 2 elemanlý altküme sayýsýný bulunuz. = b n ise a = b veya n = a + b n = n - r n + n + n n +...+ 0 1 2 n 0 elemanlý 1 elemanlý 2 elemanlý alt küme sayýsýalt küme sayýsý alt küme sayýsý 7 elemanlý kümenin 2 elemanlý altküme sayýsý 7 2 = 2 n toplam n elemanlý alt küme sayýsý alt küme sayýsý 7 elemanlý kümenin 3 elemanlý altküme sayýsý 7 3 = 7! = 7! 2!.(7-2)! 2!.5! = 7.6.5! 2!.5! = 7! = 7! 3!.(7-3)! 3!.4! = 7.6.5.4! 3!.4! = 21 = 35 8.n ELEMNLI KÜMENÝN r ELEMNLI LT KÜMELERÝNDE BÝR ELEMNIN BULUNUP BULUNMM DURUMU = {a,b,c,...} n elemanlý kümesinin r elemanlý alt kümelerinin kaç tanesinde a elemaný bulunmaz denirse a elemaný atýlýr. Geriye kalan elemanlardan r tane seçim yapýlýr. n - 1 r = {a,b,c,...} n elemanlý kümesinin r elemanlý alt kümelerinin kaç tanesinde a elemaný bulunur denirse tüm durumlardan a elemanýnýn bulunmadýðý alt küme sayýsý çýkarýlýr. = { a,b,c,d,e,f} kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin kaç tanesinde; a) c elemaný bulunmaz? b) c elemaný bulunur? a) = { a,b,c,d,e,f} c elemanýný atarýz. Geriye kalan 5 elemanýn 3 elemanlý alt küme sayýsý b) = { a,b,c,d,e,f} Tüm 3 elemanlý alt küme sayýsýný buluruz. c elemanýnýn bulunmadýðý durumlarý çýkartýrýz. 6 3 5 3 = 5! 3!.2! 5.4.3! = 3!.2! = 10 5 - = 20-10 = 10 3 ÖÐRENCÝ TEKRR ÖÐRENCÝ TEKRR 10
KONU BİLGİSİ 9.EVRENSEL KÜME, BÝR KÜMENÝN TÜMLEYENÝ Üzerinde iþlem yapýlan bütün kümeleri kapsayan en geniþ kümeye evrensel küme denir. E ile gösterilir. Bir kümenin dýþýnda kalan elemanlarýn oluþturduðu kümeye o kümenin tümleyeni denir. ve ile gösterilir. ( ) = s() + s( ) = s(e) = E E = E evrensel küme olmak üzere; E = { x : x bir rakam } = { 2,4,5 } olduðuna göre, nýn tümleyenini ( ) bulunuz. E kümesinin elemanlarýnýn 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 olduðunu görün. kümesinin elemanlarýný E kümesinin elemanlarýndan çýkarýn. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10. KÜMELERDE KESÝÞÝM ÝÞLEMÝ Hem kümesine hem de B kümesine ait elemanlarýn oluþturduðu kümeye kesiþim kümesi denir. B ile gösterilir. B = { x : x ve x B } = = = = { a, {b,c}, d, {e}, f} E = B = B B = ise kümeler ayrýktýr. B ise B = B = { a, b, c, d, {e}, k} olduðuna göre, B kümesini bulunuz. Ortak elemanlarý iþaretle. b ve c elemanlarýna dikkat! = { a, {b,c}, d, {e}, f} B = { a, b, c, d, {e}, k} = { 0,1,3,6,7,8,9 } B = { a, d, {e} } ÖÐRENCÝ TEKRR ÖÐRENCÝ TEKRR 11
KONU BİLGİSİ 11.KÜMELERDE BÝRLEÞÝM ÝÞLEMÝ ve B kümelerindeki bütün elemanlardan oluþan kümeye birleþim kümesi denir. B ile gösterilir. B = { x : x veya x B } = = E = B = B = { a, {b}, c } B = { a, b, c, d, e } yný elemanlarý birkez yazýn. Tüm elemanlarý küme parantezi içine yerleþtirin. B ise B = B olduðuna göre, = { a, {b}, c } E = E B kümesini bulunuz. B = { a, b, c, d, e } B = { a, b, {b}, c, d, e } 12. KESÝÞÝM VE BÝRLEÞÝM ÝÞLEMÝNÝN ÖZELLÝKLERÝ - DE MORGN KURLLRI olduðuna göre, s( ( B) = B ( B) = B (B C) = ( B) ( C) (B C) = ( B) ( C) Birleþim Kümesinin Eleman Sayýsý s( B) = s() + s(b) - s( B) s( B C)=s()+s(B)+s(C)-s( B)-s( C)-s(B C)+s( B C) ve B birer küme olmak üzere; s( ) = 5, s( B ) =7, s( B ) = 9 B) ý bulunuz. Birleþim Kümesinin Eleman Sayýsý s( B) = s() + s(b) - s( B) 9 = 5 + 7 - s( B) s( B) = 3 ÖÐRENCÝ TEKRR ÖÐRENCÝ TEKRR 12
KONU BİLGİSİ 13.ÝKÝ KÜMENÝN FRKI ve B iki küme olmak üzere; da olup, B de olmayan elemanlarýn oluþturduðu kümeye fark B kümesi denir. - B veya B ile gösterilir. - B = { x : x ve x B } - B = B E - = - = - = - B = - ( B) s( B) = s( - B) + s(b - ) + s( B) s( B) = s( - B) + s(b) = s() + s(b-) = { a, b, c, d, e, f, g } B = {c, d, k, m } olduðuna göre, - B ve B - kümelerini bulunuz. = { a, b, c, d, e, f, g } B = {c, d, k, m } kümesinin elemanlarýndan B kümesinin elemanlarýný çýkarýn.hangi elemanlarýn kaldýðýný görün. - B = { a, b, e, f, g } 14. KÜME PROBLEMLERÝ Ý a b c Yukarýdaki kümede Ýngilizce ve Fransýzca bilenlerin bulunduðu sýnýf kümesi verilmiþtir. Ýngilizce bilenler : a + b Fransýzca bilenler : b + c Ýngilizce ve Fransýzca bilenler : b Ýngilizce veya Fransýzca bilenler : a + b+ c Ýki dilide bilmeyenler : d En az bir dil bilenler : a + b + c En çok bir dil bilenler : a + c + d Ýngilizce ve Fransýzca dillerinin konuþulduðu 38 kiþilik bir sýnýfta 18 kiþi Ýngilizce konuþmakta, 7 kiþi ise her iki dili konuþabilmektedir. 9 kiþide her iki dili konuþamamaktadýr. Bu sýnýfta yalnýz Fransýzca konuþabilen kaç kiþi vardýr? Bu tip sorularý Venn þemasýnda göstererek çözmek daha iyi sonuç verir. Ýngilizce bilenlerin kümesi : Ý Fransýzca bilenlerin kümesi : F Sýnýf kümesi : S her iki dili bilenler 18 Ý F F d S S 38 B kümesinin elemanlarýndan kümesinin elemanlarýný çýkarýn.hangi elemanlarýn kaldýðýný görün. 11 7 x 9 hiç dil bilmeyenler B - = { k, m } ÖÐRENCÝ TEKRR 11 + 7 + x + 9 = 38 x = 11 yalnýz fransýzca konuþabilenler ÖÐRENCÝ TEKRR 13
KONU BİLGİSİ 15.SIRLI ÝKÝLÝ (a,b) þeklindeki ifadelere sýralý ikili denir. a : birinci bileþen b : ikinci bileþen (a,b) = (b,a) (a,b) = (c,d) ise a = c ve b = d dir. ( x + 1, 4 ) = ( 5, y - 2 ) olduðuna göre x.y iþleminin sonucunu bulunuz. Birinci bileþenleri ayrý, ikinci bileþenleri ayrý eþitle. x + 1 = 5 x = 4 ( x + 1, 4 ) = ( 5, y - 2 ) 4 = y - 2 y = 6 16. KRTEZYEN ÇRPIM ve B boþ kümeden farklý iki küme olmak üzere; birinci bileþenini dan, ikinci bileþenini B den alan elemanlarýn oluþturduðu tüm sýralý ikililerin kümesine kartezyen çarpým B denir. x B ile gösterilir. x B = { ( x, y ) : x ve y B } ve B birer küme olmak üzere; = { a, b, c } B = { 1, 2 } ise x B kümesini bulunuz. Kartezyen çarpým kümesini oluþturan sýralý ikililerin 1. bileþenleri kümesinden, 2. bileþenleri B kümesinden alýnacak. = { a, b, c } B = { 1, 2 } x B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} x. y = 4. 6 = 24 ÖÐRENCÝ TEKRR ÖÐRENCÝ TEKRR 14
KONU BİLGİSİ 17.KRTEZYEN ÇRPIMIN ÖZELLÝKLERÝ s( x B) = s(). s(b) s(b x ) = s(b). s() B x = x B } Kartezyen çarpým özelliðinden s(b x ) = s( x B) x (B C) = ( x B) ( x C) x (B C) = ( x B) ( x C) x (B - C) = ( x B) - ( x C) = { a, b, c } B = { 1, 2, 3 } C = { 2, 3, 4, 5 } olduðuna göre ( x B) ( x C) kümesinin eleman sayýsýný bulunuz. ( x B) ( x C) = x (B C) B = { 1, 2, 3 } = { a, b, c } C = { 2, 3, 4, 5 } B C = { 2, 3 } 18. x B GRFÝKLERÝ (SONLU ÝKÝ KÜMENÝN KRTEZYEN ÇRPIMI) x B nin grafiði çizilirken kümesinin elemanlarý x eksenine, B kümesinin elemanlarý y eksenine yerleþtirilir. Daha sonra oluþturulan tüm sýralý ikililer koordinat sistemine yerleþtirilir. Noktalar yerleþtirilir. x B nin grafiðine ulaþýlýr. ve B birer küme olmak üzere; = { 1, 2 } B = { 3, 4, 5 } ise x B grafiðini çiziniz. Kartezyen çarpým kümesini oluþturan sýralý ikililerin 1. bileþenleri kümesinden, 2. bileþenleri B kümesinden alýnacak. = { 1, 2 } B = { 3, 4, 5 } x B = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} B 5 4 x B x B = {(a,2),(a,3),(b,2),(b,3),(c,2),(c,3)} Ya da s() = 3 ve s(b C) = 2 olduðundan s( x (B C)) = s().s(b C) = 3.2 = 6 3 0 1 2 ÖÐRENCÝ TEKRR ÖÐRENCÝ TEKRR 15
KONU BİLGİSİ 19. x B GRFÝKLERÝ (SONLU BÝR KÜME ÝLE SONSUZ BÝR KÜMENÝN KRTEZYEN ÇRPIMI) sonlu, B sonsuz küme olmak üzere; x B nin grafiði doðru parçalarýndan oluþur. = { x 1, x 2 } B = [ y 1, y 2 ] B y 2 y 1 0 x 1 x 2 (sadece x ve x noktalarý) 1 2 (y ve y aralýðý-dahil) 1 2 x B = { 1, 2, 3 } B = (-1,3] olduðuna göre x B grafiðini çiziniz. B 3 [a,b):a dahil, b dahil deðil ve aradaki tüm gerçek sayýlar (a,b) :a, b dahil deðil ve aradaki tüm gerçek sayýlar [a,b] :a, b dahil ve aradaki tüm gerçek sayýlar Kartezyen çarpým kümesini oluþturan sýralý ikililerin 1. bileþenleri kümesinden, 2. bileþenleri B kümesinden alýnacak. Sonsuz küme -1 ile 3 aralýðýndaki sonsuz elemandan oluþan kümedir. -1 dahil olmadýðý için grafikte içi boþ býrakýlýr. x B 20. x B GRFÝKLERÝ (SONSUZ ÝKÝ KÜMENÝN KRTEZYEN ÇRPIMI) ve B sonsuz iki küme olmak üzere; x B nin grafiði taralý bölgeyi ifade eder. = [ x 1, x 2 ] B B = [ y 1, y 2 ] y 2 y 1 = (-4,-2] B = [1,5) x 1 x B olduðuna göre x B grafiðini çiziniz. Kartezyen çarpým kümesini oluþturan sýralý ikililerin 1. bileþenleri kümesinden, 2. bileþenleri B kümesinden alýnacak. = (-4,-2] Sonsuz küme -4 ile -2 aralýðýndaki sonsuz elemandan oluþan kümedir. -4 dahil olmadýðý için grafikte içi boþ býrakýlýr. B = [1,5) Sonsuz küme 1 ile 5 aralýðýndaki sonsuz elemandan oluþan kümedir. 5 dahil olmadýðý için grafikte içi boþ býrakýlýr. B x B 5 x 2 1 2 3 1-1 -4-2 ÖÐRENCÝ TEKRR ÖÐRENCÝ TEKRR 16
MODEL SORULR = { köfte kelimesindeki harfler } B = { döner kelimesindeki harfler} = { 1, {2,3}, {4,5,6} } kümeleri ile ilgili aþaðýdaki sorularý cevaplandýrýnýz. B = { } C = { 1, {1}, 2, } ) ÇB =? kümelerinin eleman sayýlarýný bulunuz. B) s(èb) =? 1. 3. 2. = { a, b }, B = { a, b, c, d, e } { ö, e } ve 8 K B olacak þekilde yazýlabilecek kaç farklý K kümesi vardýr? = { a, b } È B = { a, b, c, d, e, f } 3, 1 ve 4 olduðuna göre, B kümesinin eleman sayýsýnýn en küçük ve en büyük deðerini bulunuz. 4. 8 4 ve 6 17
MODEL SORULR E = { x 2 x 11, x Î Z } = { x 10 x 100, x Î Z } evrensel kümesinin iki alt kümesi ve B dir. = { 2, 5, 7 }, B = { 5, 6, 7, 8 } B = { y 30 y 140, y Î Z } olduðuna göre, Ç B =? olduðuna göre, s(èb) yi bulunuz. 5. 7. 6. { 3, 4, 9, 10, 11} 8 elemanlý bir kümenin 6 elemanlý alt kümelerinin sayýsýný bulunuz. 131 B C Taralý bölgeyi ifade ediniz. 8. 28 C ( B) - ( B) 18
MODEL SORULR, B ve C birer kümedir. = { x : x - 1 2, x Î R } s() = 12, s(b) = 17, s(c) = 18 s( Ç B) = 3, s(b Ç C) = 8, s( Ç C) = 4 s( È B È C) = 34 olduðuna göre, s( Ç B Ç C) =? B = { y : y + 3 5, y Î R } olduðuna göre, koordinat düzleminde x B nin kapladýðý alaný bulunuz. 9. 11. 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s( ) = 10, s() - s(b) = 6 olduðuna göre, B kümesinin eleman sayýsýný bulunuz. 2 40 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 3, 4, 6, 7, 8 } olduðuna göre, ( - B) (B - ) kümesini bulunuz. 12. 16 { 1, 2, 5, 7, 8} 19
MODEL SORULR, B ve C ayný E evrensel kümesinin alt kümeleridir. 1 ile 112 arasýnda 3 veya 5 ile tam bölünebilen kaç farklý doðal sayý vardýr? s() + s(b ) = 17 s( ) + s(b) = 15 s(c ) = 6 olduðuna göre, s(c) kaçtýr? 13. 15. 14. ve B iki kümedir. 2.s( - B) = 5.s( Ç B) =s(b - ) s( È B) = 34 52 olduðuna göre, Ç B nin eleman sayýsýný bulunuz. 10 ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s( È B) = 6 s( Ç B) = 40 s(e) = 48 olduðuna göre, s() + s(b) toplamýný bulunuz. 16. 4 42 20
MODEL SORULR = { x 2 x 5, x Î R } B = { y 3 y 7, y Î R } ve B boþ kümeden farklý iki küme olmak üzere, s( È B) = 14 s( Ç B) = 2 olduðuna göre, x B nin grafiðini çiziniz. s( B) = 7 olduðuna göre, s(xb) deðerini bulunuz. 17. 19. 18. = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 3, 5 } C = { a, b, c } olduðuna göre, s((xb) È (xc)) deðerini bulunuz. 7 3 2 5 63 = { x 1 < x 3, x Î R } olduðuna göre, x nýn grafiðini çiziniz. 20. 3 24 1 1 3 21
MODEL SORULR x B = { (1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4) } B x C = { (2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5) } olduðuna göre, È B È C kümesini bulunuz. Matematik ve Türkçe derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduðu 40 kiþilik bir sýnýfta Türkçe den kalan 18 kiþi vardýr. Her iki dersten geçen 8 kiþi olduðuna göre, matematik dersinden geçen kaç kiþi vardýr? 21. 23. 22. { 1, 2, 3, 4, 5} Satranç veya müzik kurslarýndan en az birine katýlanlarýn bulunduðu 36 kiþilik bir sýnýfta satranç kursuna katýlanlar, sadece müzik kursuna katýlanlarýn 3 katýna eþittir. Buna göre, satranç kursuna katýlan kaç kiþi vardýr? 26 Bir sýnýfta Ýngilizce veya lmanca dillerinden en az birini bilen 36 öðrenci vardýr. Ýngilizce bilenlerin sayýsýnýn lmanca bilenlerin sayýsýna oraný 5 dir.yalnýz Ýngilizce bilenlerin sayýsý, 2 her iki dili bilenlerin 4 katýdýr.yalnýz bir dil bilen kaç kiþi vardýr? 24. 27 30 22
MODEL SORULR Bir sýnýfta futbol veya basketbol oynayanlarýn sayýsý 24, futbol ve basketbol oynayanlarýn sayýsý 3 tür. Bu sýnýfta futbol oynayanlarýn sayýsý, basket oynayanlarýn 2 katý olduðuna göre, sadece basketbol oynayan kaç kiþi vardýr? Ýngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bilenlerden oluþan bir sýnýfta, lmanca bilen herkes Ýngilizce de bilmektedir. lmanca bilen 5, lmanca bilmeyen 9 kiþi olduðuna göre, Ýngilizce bilen kaç kiþi vardýr? 25. 27. 26. Ýngilizce ve lmanca dillerinin konuþulduðu bir sýnýfta en az bir dil bilenlerin sayýsý, her iki dili de bilmeyenlerin 5 katýdýr. Bu sýnýfýn mevcudu 36 olduðuna göre, Ýngilizce veya lmanca bilen kaç kiþi vardýr? 6 14 Bir gezi grubunda 17 kiþi Fransýzca, 14 kiþi Ýtalyanca ve 7 kiþi de her iki dili bilmektedir. Yalnýz bir dil bilen kaç kiþi vardýr? 28. 30 17 23
MODEL SORULR 60 kiþilik bir sýnýfta futbol, basketbol, voleybol oyunlarýndan en az ikisini oynayabilen 40, en çok ikisini oynayabilen 25 öðrenci vardýr. Sadece iki oyun oynayabilen kaç öðrenci vardýr? Bir sýnýfta Ýngilizce konuþan 20 kiþi, lmanca konuþan 18 kiþi, Fransýzca konuþan 15 kiþi vardýr. Bu üç dilden sadece birini konuþabilenlerin sayýsý 10, sadece ikisini konuþabilenlerin sayýsý 8 dir. Bu üç dili de konuþan kaç kiþi vardýr? 29. 31. 30. Futbol, basketbol ve voleybol oyunlarýndan en az birini oynayanlarýn bulunduðu 70 kiþilik bir grupta, futbol oynayan 40, basketbol oynayan 30, voleybol oynayan 25 kiþi vardýr. Basketbol ve futbol oynayan 6, futbol ve voleybol oynayan 10, basketbol ve voleybol oynayan 10 kiþi olduðuna göre, her üç oyunu oynayan kaç kiþi vardýr? 5 9 38 kiþilik bir sýnýfta 20 kiþi tenis oynamaktadýr. Tenis oynamayan 8 kýz öðrenci vardýr. Tenis oynayan kýz öðrenci sayýsý, tenis oynamayan erkek öðrenci sayýsýndan 4 eksik olduðuna göre, tenis oynayan kaç erkek öðrenci vardýr? 32. 1 14 24
MODEL SORULR Ýngilizce veya lmanca dillerinden en az birini bilenlerin bulunduðu 40 kiþilik bir sýnýfta, yalnýz lmanca bilenler, Ýngilizce ve lmanca bilenlerin 6 katýdýr. Ýngilizce bilenler, lmanca bilenlerin 2 katý olduðuna göre, yalnýz bir dil bilen 43 kiþilik bir grupta lmanca ve Fransýzca bilen 10 kiþi, yalnýz lmanca bilenler, yalnýz Fransýzca bilenlerin 2 katý, hiçbir dili bilmeyenlerin 3 katýdýr. Buna göre, en az bir dil bilen kaç kiþi vardýr? kaç kiþi vardýr? 33. 35. 34. Türkçe veya matematikten geçen ve kalanlarýn bulunduðu 60 kiþilik bir grupta öðrencilerin %40 ý Türkçe den geçmiþ, %10 u ise her iki dersten kalmýþtýr. Matematikten geçenlerin sayýsý, her iki dersten geçenlerin 6 katý olduðuna göre, yalnýz bir dersten geçen kaç öðrenci vardýr? 38 37 En çok iki dersten kalanlarýn bulunduðu bir sýnýfta, bir dersten kalan 10 kiþi, en az bir dersten kalan 14 kiþi, en çok bir dersten kalan 18 kiþi vardýr. Bu sýnýfýn mevcudu kaçtýr? 36. 48 22 25
MODEL SORULR = { a, b, c, d, e } = { a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, kümesinin, ) a elemaný bulunur? ) En az 3 elemanlý alt küme sayýsý kaçtýr? B) d elemaný bulunmaz? B) lt kümelerinin kaçýnda a ve c bulunur? C) a elemaný bulunur, d elemaný bulunmaz? C) lt kümelerinin kaçýnda a veya c bulunur? 37. 39. 38. = { a, b, c, d, e } kümesinin 4 elemanlý alt kümelerinin kaç tanesinde, ) a elemaný bulunur? B) d elemaný bulunmaz? 16, 16 ve 8 C) a elemaný bulunur, d elemaný bulunmaz? kümesinin, = { 1, 2, 3, 4, 5 } 16, 8 ve 24 ) 3 elemanlý alt kümelerinin kaçýnda 2 ve 5 bulunur? B) 3 elemanlý alt kümelerinin kaçýnda 2 veya 5 bulunur? 40. 4, 1 ve 1 3 ve 7 26
MODEL SORULR Boþ kümeden farklý ve B kümeleri için, = { a, b, c } ve B = { 3, 5 } 3.s( - B) = 4.s( Ç B) = 5.s(B - ) kümeleri veriliyor. olduðuna göre, È B kümesinin eleman sayýsý en az kaçtýr? Buna göre, x B kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde (a,3) ve (b,5) ikilileri bulunur? 41. 43. 42. 47 ve B ayný evrensel kümenin alt kümeleridir. B s( ) = 30 s(b ) = 12 s( Ç B ) = 9 olduðuna göre, s( È B) deðerini bulunuz. = { -7, -6, -4, -1, 5, 8, 9 } 16 kümesinin beþ elemanlý alt kümelerinin kaç tanesinde elemanlar çarpýmý negatiftir? 44. 27 12 27
S YZILI ÖRNEĞİ 1. 2. 3. 4. KZZEDE kelimesinin harflerinin oluþturduðu kümeyi liste yöntemine göre yazýnýz. lt küme sayýsýný bulunuz. = { x -5 < x < 17, x = 3k ve k Î Z + } olduðuna göre, kümesinin eleman sayýsýný bulunuz. þaðýdakilerden hangisi küme belirtir, hangisi belirtmez? ) Okulun bazý öðrencileri B) Türkiye nin B ile baþlayan illeri C) Boyu 50 metre olan insanlar D) 13 ile 17 arasýndaki asal sayýlar E) 1 ile 2 arasýndaki gerçek sayýlar = { 1, {2,3}, {4}, 5, 6 } kümesi ile ilgili verlen ifadelerin yanýna doðru ya da yanlýþ olduklarýný yanlarýna yazarak belirtiniz. ) 1 Î... B) { 2, 3 }... C) 4 Î... D) s() = 5... E) { 2, 3, 4 }... 5. = { a, b, c } kümesinin alt kümelerinin yazýnýz. Öz alt küme sayýsýný bulunuz. 28
S YZILI ÖRNEĞİ = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 3, 4, 6, 7 } C = { 4, 5, 6, 8 } olduðuna göre, Ç B Ç C ve È B È C kümelerini bulunuz. Yukarýda verilen ve B kümelerine göre, ( - B) È (B - ) kümesini tarayýp gösteriniz. = { a, b, 1, 2, D, } B = {, 1, 3, a, 4, d,? } olduðuna göre, - B ve B - kümelerini bulunuz. Bir sýnýfta 27 öðrenci vardýr. Türkçe den geçen 18 öðrenci, matematikten geçen 19 öðrenci olduðuna göre, her iki dersten geçen kaç öðrenci vardýr? B 6. 7. 8. 9. Ý 7 3 8 4 Yandaki þemada bir sýnýfta Ýngilizce, lmanca dillerini konuþabilenler gösterilmiþtir. Buna göre, ) Her iki dili konuþabilen kaç kiþi vardýr? B) Yalnýzca lmanca konuþan kaç kiþi vardýr? C) Hiçbir dil konuþamayan kaç kiþi vardýr? 29 10.
M YZILI ÖRNEĞİ 1. 2. 3. 4. = { a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a elemaný bulunmaz? = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin sayýsý kaçtýr? = { a, b, c, d, e, f, g } B = { b, c, m, n } C = { a, b, d, k } olduðuna göre, ( Ç B) È C kümesini bulunuz. ve B iki küme, º B s( È B) = 17 s( Ç B) = 3 olduðuna göre, s( - B) deðerini bulunuz. 5. ve B iki küme, È B, - B ve B - kümelerinin alt küme sayýlarý sýrasýyla 256, 64 ve 2 olduðuna göre, Ç B kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? 30
M YZILI ÖRNEĞİ = { x 10 x 50,x = 3k, k Î N } B = { y 18 < y < 55,y = 5m, m Î N } olduðuna göre, s( Ç B) yi bulunuz..3.2.1.5.7.8 Ç B kümesini bulunuz. = { 1, 2, 3 } B = { 4, 5 } olduðuna göre, B x nýn grafiðini bulunuz. Matematik veya Türkçe derslerinin en az birinden baþarýlý olan öðrencilerin bulunduðu bir sýnýfta, sýnava giren öðrencilerin %80 i matematik ten, %50 si Türkçe den baþarýlý olmuþtur. Sadece matematik ten baþarýlý olan öðrenciler % kaçtýr? B.9 E 6. 7. 8. 9. 30 kiþilik bir sýnýfta basketbol ve voleybol oynayanlarýn sayýsý bu iki oyunu oynamayanlarýn sayýsýna eþit ve voleybol oynayanlardan 6 eksiktir. 10 kiþi sadece basket oynadýðýna göre, voleybol oynayanlarýn sayýsý kaçtýr? 10. 31
L YZILI ÖRNEĞİ 1. 2. 3. 4. = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, 2 elemaný bulunur, 3 elemaný bulunmaz? = { a, b, c, d, e } kümesinin en az 3 elemanlý alt kümelerinin sayýsý kaçtýr? = { x : 16 < x < 72, x = 4k, k Î N } B = { y : 8 y 50, y = 3m, m Î N } olduðuna göre, s( B) ve s( È B ) yi bulunuz. = { (x, y) : 3x + 4y = 96, x, y Î Z + } olduðuna göre, s() yý bulunuz. 5. = { (x, y) : y =, x, y Î Z } x + 4 x + 1 olduðuna göre, s() yý bulunuz. 32
L YZILI ÖRNEĞİ kümesinin eleman sayýsý 4 azalýrsa, alt küme sayýsý 120 azalýyor. kümesinin 3 elemanlý alt küme sayýsý kaçtýr? Bir kümenin 7 elemanlý alt küme sayýsý, 3 elemanlý alt küme sayýsýna eþittir. Buna göre bu kümenin en fazla iki elemanlý alt küme sayýsý kaçtýr? = [- 2, 5] B = [4, 7] olduðuna göre, x B nin oluþturduðu þeklin alaný kaç birim karedir? 70 kiþilik bir grupta futbol ve basket oynayanlarýn sayýsý, hiçbir oyun oynamayanlarýn 3 katýdýr. Futbol veya basketbol oynayan 60 kiþi olduðuna göre, yalnýz bir oyun oynayan kaç kiþi vardýr? 6. 7. 8. 9. 40 kiþilik bir grupta 22 kiþi futbol oynuyor. Basket oynamayan 18 kiþi, her iki oyunu da oynamayan 5 kiþi olduðuna göre, her iki oyunu da oynayan kaç kiþi vardýr? 10. 33
XL YZILI ÖRNEĞİ 1. 2. 3. 4. = { a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaçýnda, ) a ve b birlikte bulunur? B) a vey b bulunur? = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin kaçýnda 2 elemaný bulunur? = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 3, 5, 6 } ise, hem kümesinin hem de B kümesinin alt kümesi olan kaç küme vardýr? Ç B = s() = 5.s(B) s( - B) = 6.s(B - ) olduðuna göre, kümesi en az kaç elemanlýdýr? 5. = { 1, 2, 3 } B = { x : - 1 < x 3, x Î R } olduðuna göre, B x nýn grafiðini çiziniz. 34
XL YZILI ÖRNEĞİ ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s() = s(b - ) s( Ç B ) = 1 s(e) = 11 s(b ) =3 olduðuna göre, s( Ç B) deðerini bulunuz. 48 kiþilik bir grupta gitar veya saz çalmayý bilenlerin sayýsý her ikisini de çalanlarýn sayýsýnýn 3 katýdýr. Gitar veya sazdan en az birini çalanlarýn sayýsý 30 olduðuna göre, bu grupta her iki müzik aletini çalanlar ile hiçbirini çalmayanlarýn toplamý kaçtýr? Bir gruptaki öðrencilerin %70 i lmanca bilmekte, %55 i Fransýzca bilmemekte ve %15 i her iki dili bilmektedir. Yalnýz Fransýzca bilen 90 kiþi olduðuna göre, her iki dili bilen kaç kiþi vardýr? 40 kiþilik bir grupta herkes saz çalabilmektedir. Gitar ve ud çalabilen 18 kiþi, yalnýz saz çalabilen 7 kiþi olduðuna göre, yalnýz iki müzik aleti çalabilen kaç kiþi vardýr? 6. 7. 8. 9. Fizik veya kimya derslerinin en çok birinden geçenlerin bilindiði 30 kiþilik bir sýnýfta kimya dan geçen 18 kiþi vardýr. Bu iki derstende kalan 8 kiþi olduðuna göre, fizik derinden geçen kaç öðrenci vardýr? 10. 35
XXL YZILI ÖRNEĞİ 1. 2. 3. 4. = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin kaçýnda 2 elemaný bulunur fakat 5 elemaný bulunmaz? = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 elemanlý alt kümelerinin kaçýnda c ya da e bulunur? = { RTÝST kelimesinin harfleri } B = { M, N, R, T } kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi B kümesinin alt kümelerinden farklýdýr? ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s(e) = 38 s() + s(b) = 41 s( È B ) = 30 olduðuna göre, s( Ç B ) deðerini bulunuz. 5. = { - 3, - 2, - 1, 0 } B = { 1, 2, 3, 4 } kümeleri veriliyor. x B kümesinin noktalarýný dýþarýda býrakmayan en küçük çemberin yarýçapý kaçtýr? 36
XXL YZILI ÖRNEĞİ 26 kiþilik bir gruptaki öðrenciler lmanca veya Fransýzca dillerinden en az birini bilmektedir. lmanca bilenlerin sayýsý, Fransýzca bilenlerin 4 katýdýr. lmanca bilmeyen 2 kiþi olduðuna göre, her iki dili bilen kaç kiþi vardýr? Bir sýnýftaki öðrencilerin %25 i erkektir. Kýz öðrencilerin %30 u, erkek öðrencilerin %40 ý gözlüklü olduðuna göre, sýnýftaki gözlüksüz öðrenci sayýsý en az kaçtýr? Ýngilizce bilen herkesin lmanca bildiði fakat Fransýzca bilmediði bir grupta yalnýz bir dil bilenlerin sayýsý 22, lmanca bilenlerin sayýsý 18, iki dil bilen sayýsý 13 tür. Buna göre, Fransýzca bilen fakat lmanca bilmeyen kaç kiþi vardýr? Futbol veya basketbol oyunlarýndan en az birini oynayabilenlerin oluþturduðu bir grupta, futbol oynayanlarýn sayýsý basketbol oynayanlarýn 5 katý, her iki spor dalýyla uðraþanlarýn 8 katýdýr. Yalnýz futbol oynayanlarýn sayýsýnýn, yalnýz basketbol oynayanlara oranýný bulunuz. 6. 7. 8. 9. Bir sýnýfta Türkçe, matematik ve fizik derslerinin en çok birinden geçen 16 kiþi, en az ikisinden geçen 24 kiþi ve en çok ikisinden geçen 30 kiþi olduðuna göre, üç dersten de geçen kaç kiþi vardýr? 10. 37
Yazýlý sorularýnýn çözümlerini www.geometrigormete kümeler Yazılı Cevapları S YZILI CEVPLRI M YZILI CEVPLRI L YZILI CEVPLRI XL YZILI CEVPLRI XXL YZILI CEVPLRI 1. 1. 1. 1. 1. { K,, Z, E, D } 16 8 8 ve 24 6 S YZILI CEVPLRI M YZILI CEVPLRI L YZILI CEV 2. 2. 2. 1. 2. 1. 2. 1. 7 10 16 { K,, Z, E, 6D } 16 8 8 3. 3. 3. 3. 3. 2. 2. 2. belirtmez, diðerleri belirtir. 4. 4. 4. 3. 4. 4. 3. 3. ve D doðru, diðerleri yanlýþ 5. 5. 5. 5. 5. 4. 4. 4. {a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c},{a,b,c} ve O özalt küme sayýsý 7 6. 6. 6. 5. 6. 5. 6. 5. {4} ve {1,2,3,4,5,6,7,8} 7. 7. 7. 6. 7. 7. 6. 6. 8. 8. 8. 8. 8. 7. 7. 3 { b, 2, D } ve { 3, 4, d,? } 9. 9. 9. 9. 9. 8. 8. 3 10 10. B { a, b, c, d, k } 2 1 7 1 2 { 9 } 4 5 %30 10. 16 ve 30 7 4 35 56 21 30 10. 7 4 belirtmez, 29 diðerleri belirtir. 3 ve D doðru, 2 diðerleri yanlýþ -1 {a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c},{a,b,c} ve O 3 {4} ve 28 {1,2,3,4,5,6,7,8} özalt küme sayýsý 7 1 30 { b, 2, D } ve 15 { 3, 4, d,? } 9. 10. B 3 B 28 { a, b, c, d 5, k } 2 1 10 7 1 2 { 9 } 4 5 9. 3ñ2 2 4 27 17 35 3 10. 16 16 ve 3 7 4 35 7. 56 8. 21 9. 3, 8 ve 4 13 9 10 4 %30 10 30 Yazýlý sorularýnýn çözümlerini adresinden 10. takip edebilirsiniz. 10. 38 3, 8 ve 4 13 10. 9