ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Sayfa o.... 8 9 İstatistik, Veri ve Grafikler.... 8 Merkezi, Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 8 Açıklık, Çeyrekler Açıklığı........................................................ 8 Varyas ve Stadart Sapma.... 8 Uygulama Adımı... 89 Pekiştirme Adımı.... 9 Sıama Adımı... 9 gelir (bi),,, y l A) C) B) D) ( x i ) i σ =
KAVRAMSAL ADIM İSTATİSTİK İstatistik, toplum olaylarıı gözlem, sayma, ölçme, iteliklerii saptama ve karşılaştırarak iceleye ve bu şekilde olayları edelerii, aralarıdaki ilişkileri belirlemeye yardım ede bir bilim dalıdır. İstatistik deilice ilk akla gele belli bir kouda bilgileri verileri toplaması, bu verileri belirli kurallara göre işlemesi ve bulua souçları yayımlamasıdır.. yüzyılda itibare istatistiği uygulama alaları geişlemiş, güümüzde her alada kulaılır hâle gelmiştir. Her bilim dalıda olduğu gibi istatistik bilimide de sistematik bir yötem izlemektedir. İstatistikte izlee sıra çoğulukla. İlk bilgileri toplaması. Toplaa bilgileri işlemesi ve düzelemesi. Düzelee bilgileri gösterilmesi. İstatistiksel aaliz ve yorum şeklidedir. İcelee bir kouya açıklık getirmek amacıyla toplaa bilgiler, belgeler, ölçümler gibi işlememiş bilgi parçacığıa veri deir.. GRAFİKLER A. ÇİZGİ VE SÜTU GRAFİKLERİ Gösterilmek istee olayı büyüklüğü, sadece çizile çizgi ya da sütuları uzuluğu ile gösterilir. Gösterimde sadece uzuluk esas alıdığıda bu tür grafikler tek boyutludur. 9 8... Uçak Say s Çar Per Cu Ctesi Pz Güler Yukarıdaki çizgi grafiğide Atalya hava alaıa beş gü boyuca ie uçak sayısı gösterilmektedir. Bu grafiğe göre aşağıdaki yorumlarda hagisi yalıştır? A) E çok uçak cumartesi güü imiştir. B) Beş güde ortalama uçak imiştir. C) Cuma güü uçak imiştir. D) E az uçak perşembe güü imiştir. E) Cuma güü ie uçak sayısı cumartesi ve pazar güü ie uçak sayılarıı ortalamasıda fazladır. Grafik icelediğide A, B, C ve D seçeeklerideki yorumlar doğrudur. Cumartesi, pazar uçak imiştir. + Ortalama = = ve cuma güü ie uçak sayısı da dur. Ortalamada fazla değildir. 8... Soru Say s. Gü. Gü. Gü. gü Güler Yukarıdaki sütu grafiği Özüm ü gü boyuca çözdüğü soru sayılarıı göstermektedir. Özüm ü gü boyuca ortalama kaç soru çözdüğüü bulalım. Sütu grafiği iceleirse,. gü : soru. gü : soru. gü : soru. gü : 8 soru çözmüştür. güde çözüle soru sayılarıı ortalaması + + + 8 = tir. B. DAİRE GRAFİKLERİ Gösterilmek istee bir olay bütü olarak tüm kısımlarıyla karşılaştırma yapılmak isteiyorsa bölümüş daire grafikleri kullaılabilir. Burada öemli ola olayı tüm kısımlarıı birarada gösterilmesidir. ÜİTE
ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Yiyecek % E itim Di er % Daire grafiğie göre, % + % + %x = % x = Yadaki şekilde verile grafik bir ailei aylık harcamalarıı gösteriyor. Ailei eğitime ayırdığı para TL olduğua göre ailei diğer giderlerie ayırdığı parayı bulalım. olup gelirii % ii eğitime harcamaktadır. Oratı kurularak % i TL ise % ı P TL dir. Doğru oratı: P. =. P = TL olur. 9 Ö reci say s Almaca Fras zca gilizce Diller Yukarıdaki grafik bir sııftaki Almaca (A), Frasızca (F) ve İgilizce (İ) dillerii bile öğreci sayılarıı göstermektedir. Bu grafikteki bilgileri dairesel grafikle gösterimii bulalım. Verile grafiğe göre sııftaki öğreci sayısı 9 + + = tür. Dairesel grafikte öğreci lik daire dilimi ile gösterildiğide öğreci = = ile gösterilir. Almaca bile 9 öğreci : 9. = Frasızca bile öğreci :. = IV İgilizce bile öğreci :. = 8 ile gösterilir. A Yukarıda verile dairesel grafikleri hagiside taralı ala bütü alaı % idir? Grafikler iceleirse II olu grafikte x =. = olup taralı ala tüm alaı % i dir. F C. SERPİLME GRAFİKLERİ Serpilme grafiği, koordiat ekseleride yatay eksedeki değerleri buluduğu oktalarda çıkıla dikmelerle, dikey eksedeki değerleri buluduğu oktalarda çizile yatay çizgileri kesişmesiyle belire oktaları oluşturduğu bir grafiktir. Serpilme grafiği iki değişke arasıdaki ilişkiyi göstere bir grafiktir. 8
KAVRAMSAL ADIM 8. MERKEZİ EĞİLİM VE YAYILIM ÖLÇÜLERİ A. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Veri yapısıı taımlamaı yollarıda birisi ola histogram, verii hagi değer etrafıda merkezlediğii veya başka bir ifadeyle yoğulaştığıı ve bu merkez etrafıda asıl dağıldığıı görmeye yaraya görsel bir araçtır. Merkezi eğilim ve dağılımı sayısal ölçüleri veri hakkıda daha kullaışlı ve etki bilgi sağlar. Bu ölçüler histogramla birlikte verildiğide hem görsel, hem de sayısal alamda veriyi özetlemiş ve yığı veya öreği karakterii taımış oluruz. ÜİTE 8 Bir işletmede geçmiş o yıl içideki satış giderleri,,,,,, 8, 9,, birim, satış gelirleri ise,,,, 8, 9,,,, birimdir. Pazarlama bilgi sistemide elde edile bu verilere göre bu iki değişke arasıdaki ilişki grafikle yadaki şekilde gösterilir. (,), (,), (,), (,), (,8), (,9), (8,), (9,), (,), (,) ikilileri oluşturduğu koyu rekli oktalar serpilme grafiğii oluşturur. Matematik otları (x) Fizik otları (y) Ahmet Burçak Our Ali Ayşe Özüm Seda Eda 8 9 8 9 8 8 9 9 Bir öğretme öğrecilerii matematik otları ile fizik otları arasıda bir ilişki olup olmadığıı belirlemek içi rastgele seçtiği 8 öğrecii matematik ve fizik otlarıı yukarıdaki gibi ot ediyor. Bu veriler kullaılarak aşağıdaki serpilme grafiği çizilir. 8. Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama, yığıı merkezi eğilim ölçüsüü taımlamaı e bilie yötemidir. Acak aritmetik ortalama e az eşit aralıklı ölçme düzeyide taımlaa sayısal veriler içi kullaılabilir. Taım: Herhagi bir sayısal değişkee ilişki verileri toplamıı o yığıda (ya da örekte) bulua veri sayısıa (gözlem birimi sayısıa) bölümüe verileri aritmetik ortalaması deir. Aritmetik ortalama yığı içi hesaplaıyorsa Yua alfabesideki µ (mü) harfiyle, örek içi hesaplaıyorsa x (x-bar) sembolüyle gösterilir. Yığı ortalaması / xi i = x+ x +... + x µ = = Örek ortalaması / xi i = x+ x +... + x x = = Yukarıdaki eşitliklerde kullaıla sembolleri alamları şöyledir: : Yığı hacmi, yığıdaki birimleri sayısı : Örek hacmi, örekteki birimleri sayısı x i : Yığı ya da örekteki gözlem değerleri : Toplam sembolü µ : Yığı ortalaması x : Örek ortalaması 8 Grafikte öğrecileri matematik derside aldıkları otları yükseldikçe fizik derside aldıkları otları da yüksekldiği görülmektedir. 8 kişide oluşa bir grup atleti metreyi koşma süreleri aşağıdaki gibi verildiğie göre bu atletleri ortalama koşma süresii buluuz. x i (saiye) :,,,,,,, (i =,,, 8) 9
ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Yığı aritmetik ortalaması 8 / xi i= + + + + + + + µ = = 8 8 µ = = 9 saiye buluur. 8 yılıda yapılacak yarışlara katılmak isteye atletler arasıda kişi rastgele seçiliyor ve metreyi kaç saiyede koştukları belirleiyor. Bu atleti ortalama koşma süresii buluuz. x i (saiye) :,,,,, 8,,,, 8 (i =,,, ) Öreği aritmetik ortalaması formülüe göre / xi i= + + + + + 8 + + + + 8 x = = 8 x = =,8 saiye buluur.. gü : soru. gü : x soru. gü : 8 soru. gü : soru çözmüştür. + x + 8 + Ortalama = 8 = = + x x = soru buluur.. Medya (Ortaca) Bir veri kümesi içideki veriler küçükte büyüğe doğru dizilir. Bu verileri tam ortasıa düşe değer medyadır. Histogram üzeride düşüüldüğüde ortaca histogramdaki dikdörtge alaları toplamıı iki eşit parçaya böle değerdir. Medya hem yığı hem de örek içi hesaplaabilir. Hesaplama yötemide herhagi bir değişiklik yoktur. Medya; yığı içi M, örek içi m harfleriyle gösterilir. x, x,..., x bir örekteki gözlemler olmak üzere, eğer gözlem sayısı tek ise sıralamış verii ortasıa düşe eğer gözlem sayısı çift ise + ci gözlem; Soru say s ortaya düşe iki gözlemi ortalaması yai ci ve + ici gözlemleri aritmetik ortalaması medya (ortaca)dır. Gözlem sayısı tek ise m = x + 8 Gözlem sayısı çift ise dır. x + x + m =. gü. gü. gü. gü Güler Yukarıdaki sütu grafiği bir öğrecii gü boyuca çözdüğü soru sayılarıı gösteriyor. Bu öğreci gü boyuca ortalama 8 soru çözdüğüe göre. güde,. güde kaç fazla soru çözmüştür? Beş erkek öğrecii ayakkabı umaraları şöyle olsu. 9 Bua göre, ortaca ayakkabı umarası kaçtır? 8
KAVRAMSAL ADIM Öce küçükte büyüğe doğru sıralayalım. 9. ortaca ortadaki terim 9 olup ortaca ayakkabı umarası 9 dur. Dizi içide e çok tekrar ede 8 olup dizide tepe değer (mod) 8 dir. Bir ekra TV fiyatı 8 dükkada şöyle gözlemiştir.,, 8,,, 8,, Bua göre bu değerleri moduu bulalım. ÜİTE a),,, 9,,, b),,,, 9, 8,,,, sayı dizilerii medyaıı buluuz. a),,, 9,,, diziside terim var. Medya (ortaca) = 9 dur. b),,,, 9, 8,,, sayı diziside terim var. Veriler küçükte büyüğe doğru dizilir.,,,,, 9,, 8,, Medya (ortaca) = buluur. + 9 =,. Tepe Değer (Mod) Merkezi eğilim ölçüsüdür. Aritmetik ortalama ve medya (ortaca) sayısal veriler içi hesaplaabilirke, tepe değer hem sayısal hem de sııflaa ölçme düzeyideki itel veriler içi hesaplaabilir. Veri kümesi içideki e çok tekrarlaa değere tepe değer (mod) deir.,,, 8, 8,, dizisii tepe değerii bulalım. OT Değerlere dikkat edilirse iki dükkada lira diğerleride farklı fiyatlar görülmektedir. O halde bu serileri modu (tepe değeri) dir. Bir yıl öce rastgele seçile ailei aylık mutfak harcamaları 8, 9,,,,,, 8, 9, 8 lira olduğua göre, bu veri grubuu modu (tepe değeri) kaçtır? ve 8 ikişer kez gözlediğide mod ve 8 dir. Aritmetik Ortalama, Medya ve Tepe Değere Ait Özellikler Aritmetik ortalama, eşit aralıklı ve orasal ölçme düzeyideki veriler içi hesaplaabilir. Medya sıralama, eşit aralıklı ve orasal ölçme düzeyideki veriler içi hesaplaabilir. Tepe değer, tüm ölçme düzeyideki veriler içi hesaplaabilir. Aritmetik ortalama tüm verileri kulladığıda uç değerlere karşı duyarlıdır. Medya sadece sıralamış verii ortasıa düşe veriyi kulladığıda uç değerlere karşı duyarlı değildir. Bir veri kümesii aritmetik ortalaması bir tae ike, tepe değeri birde çok olabilir. 8
ÜİTE KAVRAMSAL ADIM B. DAĞILIM ÖLÇÜLERİ Bir veri kümesii (ya da değişkei) yapısıı taımlaya ikici tür ölçü dağılım ölçüleridir. Dağılım ölçüsüü e alama geldiğii bir örekle açıklayalım. Bir firmaı iki pazarlama elemaıı yedi gü boyuca gülük satışlarıı aşağıdaki gibi olduğuu varsayalım. 9 öğrecii fizik derside aldıkları otlar,, 9, 8,,,, 9, 8 olduğua göre bu veri grubuu açıklığıı buluuz. Veri grubuda e büyük değer, e küçük değer olduğuda grubu açıklığı R = = dır. Gü Pazarlamacı A Pazarlamacı B 9 8 8 8 9 Toplam 98 98 Pazarlamacı A ı ortalama gülük satışı x A = 98 = Pazarlamacı B i ortalama gülük satışı x B = 98 = tür. Hem A ı hem de B i gülük ortalama satışları birimdir. Acak her iki pazarlamacıya ilişki gülük satış verisi ayı ortalamaya sahip ike birbirie bezerlik göstermez. Pazarlamacı A ı gülük satışları daha istikrarlı (daha birbirie yakı değerler) ike Pazarlamacı B i gülük satışları istikrarsızdır (birbirie bezemez). Bir veri kümesii taımlarke, ou sadece merkezi eğilim ölçüsüü elde etmek verii yapısıı yeteri kadar taımlamaz. Buu yaı sıra verii asıl dağıldığıı bir ölçüsü olarak değişkelik (ya da dağılım) ölçüsü elde etmek gerekir. ÇEYREKLER AÇIKLIĞI Çeyrekler açıklığı bir yayılma (dağılım) ölçüsüdür. Veri kümesii birici ve üçücü çeyrek değerleri arasıdaki farktır. Çeyrek açıkılğı = Q Q = Q Q Q : Veri kümesii üçücü çeyrek değerii Q : Veri kümesii birici çeyrek değerii göstermektedir. Çeyrekler açıklığıı hesaplaışıda veriler sıraya kour. Daha sora sıraya koa veriler ortaya düşe % lik kısmıı e küçük ve e büyük değerleri hesaplaır. Ortaya düşe % lik kısmı e küçük değeri birici çeyrek Q i, e büyük değeri ise üçücü çeyrek Q ü gösterir. Buu şöyle ifade etmek de mümküdür: Q veri kümesii ilk % lik kısmıı ortacası, Q ise soraki % lik kısmı ortacasıdır. Bu ortacalar arasıdaki fark çeyrekler açıklığıı verir. Çeyrek açıklığı AÇIKLIK Dağılım ölçüleri arasıda e basit olaı açıklıktır. Açıklık eşit aralıklı ve orasal ölçme düzeyideki sayısal veriler içi hesaplaabilir. Taım: Bir veri kümesideki e büyük ve e küçük değerler arasıdaki farktır. Açıklık, R ile gösterilir. R = E büyük değer E küçük değer % % % % % öğrecii geometri derside aldıkları otlar, 8,,,,, 8, 8, 98,,,, 8, 8, 9,, 9 şeklidedir. 8
Alt uç değer KAVRAMSAL ADIM Bu veri grubuu, a) Ortacasıı f) Tepe değerii (mod) b) Alt uç değerii g) Çeyrek açıklığıı c) Üst uç değerii h) Grubu açıklığıı d) Alt çeyrek değerii i) Aritmetik ortalamasıı e) Üst çeyrek değerii buluuz. Verileri küçükte büyüğe doğru sıralayalım. 8 8 8 8 8 9 9 98 Alt çeyrek Otaca Üst çeyrek Üst uç değer a) Ortaca 8 + = = b) Alt uç değer = 8 c) Üst uç değer = d) Alt çeyrek değer = e) Üst çeyrek değer = 9 f) Tepe değeri (mod) = Yok g) Çeyrek açıklığı = 9 = h) Grubu açıklığı = 8 = i) Aritmetik ortalama = = buluur. 8 + + + + + + + 8 + + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 98 + = 9, Aşağıdaki dağılımları hagi merkezi eğilim ölçüsüyle temsil edilmesii uygu olduğuu belirtiiz. I. Ağırlık ölçüleri: 8,,, 8,,,,, 9, II. Tasiyo ölçüm değerleri:,,,,,,,,, III. Göz rekleri: S, K, S, S, M, K, S, M, S, K, M, S, S, M, K, S, S E küçük değer I. Ortalama II. Ortaca III. Tepe değeri (mod) kullamak uygudur. KUTU GRAFİKLERİ Veri yapısıı ortaya çıkarmada yaygı olarak kullaıla bir grafik düzeleme biçimi de kutu grafikleridir. Kutu grafikleride verii değişim aralığıı, medya alt ve üst çeyrek değerlerii birlikte görmek mümküdür. Kutu grafikleride birici ve üçücü çeyrekler arası bir kutu olarak gösterilir. Kutuu iki ucuda çıkarıla yatay doğrular verii e küçük ve e büyük gözlemlerie kadar uzatılır. Kutuyu dikey olarak kese doğru ise medyaı göstermektedir. Çeyrek aralığı Q Medya Q E büyük değer Aşağıdaki veri sporcuu belirli egzersizleri yaptıkta sora ölçüle kalp atışlarıı göstermektedir. 9,, 98,,,, 9, 9,,, 8, olduğua göre verii kutu grafiğii çizelim. Öce verileri sıralayalım. 9, 9, 98,,,,,,,, 8, 9 + Medya (ortaca) = =, Alt uç değer = 9 Üst uç değer = 9 Alt çeyrek = 98 Üst çeyrek = Çeyrekler açıklığı = 98 = 9 Grubu açıklığı = 9 9 = ÜİTE 8
ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Q i Hesaplaması: VARYAS VE STADART SAPMA Ortacada küçük ilk % lik kısım verileri ortacası Q i verecektir. Bu veriler tae olduğuda + = içi m = x olur. = x = 98 = Q Hem açıklık, hem de çeyrekler açıklığıı hesaplamasıda veri kümesii tamamıı kullaamayız. Dolayısıyla bu iki dağılım ölçüsü de veri kümesii sahip olduğu bilgii tamamıı yasıtmamaktadır. Varyas ve stadart sapma verii tamamıı kullaa daha duyarlı dağılım ölçüleridir. Q ü hesaplaması Varyas: Veri değerlerii aritmetik ortalamada farklarıı kareleri toplamıı ortalamasıdır. Ortacada büyük ikici % lik kısım verilerii ortacası Q ü verecektir. Bu veriler de tae olduğuda alır. Bu ölçü yığı üzeride hesapladığıda yığı varyası adıı = içi m = x olup çeyrekler arası açıklık: Q Q = 98 = 9 olur. + = x = = Q Şimdi kutu grafiğii çizebiliriz. Stadart Sapma: Varyası karekökü stadart sapmadır. Bu ölçü de yığı üzeride hesapladığıda yığıı stadart sapması adıı alır. Eğer bu ölçüler örekte hesaplaıyorsa örek varyası ve örek stadart sapması adıı alır. : Yığı aritmetik ortalaması : Yığı hacmi 9 98, 9 σ : Yığı varyası σ : Yığı stadart sapması olmak üzere, OT Bir değişkei bir bütü içerisideki oraıı belirlemede e uygu grafik daire grafiğidir. Bir değişkei zama içideki gidişatıı icelemek içi e uygu grafik çizgi grafiğidir. İki değişke arasıdaki ilişkiyi göstermek içi e uygu grafik serpilme grafiğidir. Yığı varyası Yığı stadart sapması / ( x ( x i ) σ i ) / i = = σ = i = dir. Verileri geişliğii, yığılımıı öğremek içi e uygu grafik kutu grafiğidir. 8
KAVRAMSAL ADIM Öce pazarlamacı A ı gülük satışlarıı varyasıı ve stadart sapmasıı bulalım. Pazarlamacı A ı ortalama gülük satışı + + 9+ + + + 8 µ A = = = Pazarlamacı A ı gülük satışları varyasıı hesaplaması ÜİTE / ( x i A ) = (x µ A ) + (x µ A ) +... + (x µ A ) i = = ( ) + ( ) + (9 ) + ( ) +. adım: Yukarıda, bir okulda çalışa üç yöeticii yaşları verilmiştir. Bu verileri stadart sapmasıı bulalım. + + = =. adım: ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + + = + + =. adım: = = 8. adım: σ = 8 = buluur. ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + + ( ) + + + ( ) + = + + 9 + + + + = / ( xi μa) i= σ = = b,8 br A Stadart sapma σ A = 8,,,8 birim Pazarlamacı B i ortalama gülük satışı + + + + + + 8 µ B = = = Pazarlamacı B i gülük satışları varyası / ( x i ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + i = B ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + + + + + ( ) Bir firmaı iki elemaı olduğuu ve buları yedi gü boyuca gülük satışlarıı aşağıdaki gibi olduğuu varsayalım. (Verileri ayı birici haftasıda topladığıı, birici haftaya ilişki varyası hesaplayacağımızı, dolayısıyla bu verileri yığı verisi olduğuu varsayalım.) = + + + + + + = dir. / ( x ) i μb i = σ = = B buluur. b, 8 br Gü Pazarlamacı A Pazarlamacı B 9 8
ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Örek A) B) Örek varyası ve stadart sapması, yığı varyasıda biraz farklı olarak aşağıdaki gibi hesaplaır. x : Örek aritmetik ortalaması : Örek hacmi S : Örek varyası S : Örek stadart sapması C) E) D) Yukarıda verile grafiklerde hagisideki değerleri stadart sapması daha büyüktür? olmak üzere Örek varyası Örek stadart sapması ( xi x) / ( xi x) i i = S = S = şeklidedir. Öceki öreği ele alarak örek varyası ve stadart sapmasıı bulalım. Pazarlamacıları gülük satışlarıda tesadüfi olarak güü öreğe seçildiğii ve verileri bir öceki problemdeki gibi olduğuu düşüelim. Böylece örek istatistiğe dayaarak yığı varyasıı tahmi etmiş oluruz. Grafiklerdeki değerler aşağıdaki gibidir. A daki grafikte,,,,,, ; B deki grafikte,,,,, ; C deki grafikte,,,, ; D deki grafikte,,,, ; E deki grafikte,,,, olup E deki değerler arasıdaki fark fazla olduğuda stadart sapması büyük olur. Stadart Sapma σ B =, 8,, birim Pazarlamacı B i gülük satışları varyası () pazarlamacı A ı gülük satışları varyasıda () daha büyüktür. Buu alamı B i gülük satışları A ya göre daha fazla dalgalama göstermektedir. Gü Pazarlamacı A Pazarlamacı B 9 Öce A ı stadart sapmasıı bulalım. Pazarlamacı A ı ortalama gülük satışı x A olsu. + + 9+ + + + 8 x A = = = i =,,..., x =, x =, x = 9,..., x = 8
KAVRAMSAL ADIM Pazarlamacı A ı gülük satışları varyası / ( xi xa) = (x x A ) + (x x A ) + (x x A ) +... + (x x A ) i= Varyas = ( ) + ( ) + (9 ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + + ( ) + + + ( ) + = + + 9 + + + + = Stadart sapma S A = / ( x x ) i A i = S = = = br A,, birim Şimdi de B i satışlarıı varyasıı ve stadart sapmasıı bulalım. Pazarlamacı B i ortalama gülük satışı x B olsu. x B = dir. + + + + + + 8 = = Pazarlamacı B i gülük satışları varyası / ( xi xb) = (x x B ) + (x x B ) +... + (x x B ) i = = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + + + + + ( ) = + + + + + + = e Zama Hagi Merkezi Eğilim Ölçüsü Kullaılır? Bir veriyi e iyi temsil edebilecek merkezi eğilim ölçüsüü seçerke, değişkei tipie ve de değişkee ait değerleri dağılımıa bakılır. Bir verideki değişke değerlerii dağılımı ya simetrik ya da çarpıktır. Veriler içide aşırı düşük veya yüksek değerler varsa, bu verileri dağılımı simetrik değildir. OT Herhagi bir veriyi hagi ortalamaı temsil edeceğii belirlemede kullaıla bazı ölçütler şöyledir: Sadece aralıklı/oralı değişkei ortalaması hesaplaabilir (Tepe değeri ve medyaı da buluabilir.). Aritmetik ortalamaı hesaplamasıda tüm değerler kullaılır. Bu edele aritmetik ortalama çoğulukla aralıklı/oralı değişkelere uygudur. Ortaca, çoğulukla sıralı değişkelerde seçilmiş bir ortalamadır. Soludaki değerler ortacada küçük, sağıdaki değerler ortacada büyüktür. Ortaca, sadece isimsel değişkeleri ortalamasıı bulumasıda kullaılır. Baze bir değişkele ilgili dağılımı bulumasıda aritmetik ortalama veya ortaca uygu olamaz. Böyle bir seriye e uygu ortalama tepe değeridir. Ve bir veri grubuu gerçek dağılımıı bulumasıda yarar sağlar. ÜİTE / ( x x ) i i = B Varyas S = = B Stadart sapma = br olur. S B =,, birim dir. Pazarlamacı A ve pazarlamacı B i ortalama gülük satışları eşit olduğuda stadart sapmalarıı karşılaştırmak mümküdür. Stadart sapmalar karşılaştırılarak hagisii gülük satışlarıı daha geiş bir dağılıma sahip olduğuu ya da hagisii satışlarıı daha çok dalgalama gösterdiğii söyleyebiliriz. 8
ÜİTE. farklı güde Atalya limaıa gele gemileri sayısı, 8, 9,,,, olduğua göre, a) Aritmetik ortalaması kaçtır? b) Ortaca değeri kaçtır? c) Tepe değeri kaçtır? a) Aritmetik ortalama = + 8 + 9 + + + + = 8 b) Ortaca değer içi veriler sıraya dizilir.,,, 8, 9,, xortaca = x = x = x = 8 + + buluur. c) Veriler içide tekrar ede olmadığıda verileri tepe değeri yoktur.. x i :, 8,,,,,, 8 verilerii açıklığı edir? UYGULAMA ADIMI.,,,,,, verilerii varyasıı ve stadart sapmasıı buluuz. Bu verileri aritmetik ortalaması, + + + + + + x = 8 x = = dü. r / ( xi x) = / ( xi x) i = i = = (x x) + (x x) +... + (x x) = ( ) + ( ) + ( ) +( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 9 + + + + + + = Varyas: S = / ( x x) i i = =. () =, Stadart sapma: S =,,, 8 buluur. Açıklık değişimi aralığıı göstere bir dağılım ölçüsü olup e kaba ölçülerde biridir. R = E büyük değer E küçük değer = 8 8 =. 8,,,, x, x + dizisii aritmetik ortalaması 8 olduğua göre, dizii tepe değeri kaçtır? terim var.. x i :,,,,,,, 8, dizisii çeyrekler açıklığı edir?,,,,,,, 8, Öce dizii ortacası buluur. Dizii ortacası dur. da küçük değerlere ilişki ortaca, + Q = =, da büyük değerlere ilişki ortaca, + 8 Q = = Çeyrek açıklığı: Q = Q Q = = 8+ + + + x+ x+ = 8 + x =. 8 x = 8 & x = ve dizii terimleri 8,,,,, olup tepe değeri tür. dir. 88
. Öğreciler Ali Ahmet Burcu Özgür Ayşe Burçak YGS eti UYGULAMA ADIMI 8. % Mutfak % K rtasiye % Taksit Giyecek % E itim Şekildeki daire grafiği bir ailei aylık harcamalarıı gösteriyor. Verilelere göre ailei mutfak harcamaları lira ise giyecek harcamaları kaç liradır? ÜİTE Yukarıdaki tabloda altı öğrecii YGS deki etleri verilmiştir. Bu etleri stadart sapmasıı buluuz. Öce etleri aritmetik ortalamasıı bulalım: + + + + + x = = = / ( xi x) = / ( xi x) i = i = = (x x) + (x x) +... + (x x) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = + + + + + = + + + + + = Varyas: S = / ( x x) i i = =. = =, br Stadart sapma: S =,,, birim buluur.. Aşağıdaki veriler Akara da beş ayrı kavşakta beş hafta boyuca meydaa gele trafik kazası sayılarıı göstermektedir. Bu kavşakları hagiside trafik kazası olma riski e fazladır? A) 9,,,, B) 8,,,, C),,,, D), 9,,, E),,,, Seçeeklerdeki değerleri arasıdaki açıklıklar icelediğide e fazla farkı E deki değerlerde olduğu görülmektedir. Bu edele E deki kavşakta kaza olma riski daha fazladır. 9. Giyecek %x olsu. %x + % + % + % + % = % %x = % Mutfak harcamaları : % $ lira % $ 8 lira O halde, Giyecek: % =. 8 = liradır. 8 Ö reci say s Al a ot Yukarıdaki grafik bir sııftaki öğrecileri Geometri dersi sıavıda aldıkları otları dağılımıı göstermektedir. ve üzeride ot alalar başarılı sayıldığıa göre bu sııfta başarısız olalar sıfı yüzde kaçıdır? alaları sayısı : kişi Sıfı tamamı : + 8 + + + + = 8 8 $ $ x. x = & 8,8 dir. 8 Sııfı yaklaşık %8,8 si geometri derside başarısız olmuştur. 89
ÜİTE. 9,,,,, 9, 8,, PEKİŞTİRME ADIMI.,,, 9,,, 8, dizisii aritmetik ortalaması kaçtır? sayı dizisii alt ve üst çeyrek değerlerii buluuz. Alt çeyrek : 9 Üst çeyrek:. 8, 9,,,,, dizisii ortacası kaçtır?. Boy y A B Verile şekilde A ve B bitkilerii boylarıı yıllara göre değişimi gösterilmiştir. Bu değişime göre. yılda, bitkileri boyları arasıdaki fark kaç birim olacaktır?.,,, 8,, 9,, dizisii meydaı kaçtır? x Y l 9, 9. 8,,,, 8,, 8,, sayı dizisii alt uç değeri kaçtır? 8 8. C Yadaki grafik, başlagıç sıcaklığı (t = içi) C ola bir cismi t ısıtılması sırasıda sıcaklığı, t zamaıa bağlı olarak değişimii göstermektedir. F(fahreayt), C(satigrat) dereceleri arasıda 9 F = C + bağıtısı.,,, 9,, 8,, sayı dizisii üst uç değeri kaçtır? Zama buluduğua göre, bu cismi t = zamaıdaki sıcaklığı kaç F dir? 9
9. Homoje bir çubuğu dm üü ağırlığı kg dır. Bu çubuğu ağırlığıı, hacmie bağlı olarak değişimi göstere grafiği çiziiz. PEKİŞTİRME ADIMI a rl k (kg). litre y L K Yadaki grafik sabit hızla hareket ede K ve L araçlarıı yolda geçe süreye göre depolarıda kala yakıt miktarıı göstermektedir. ÜİTE hacim (dm ) t saat x Hareketleride kaç saat sora, bu araçları depolarıda kala yakıt miktarı eşit olur?. Aşağıdaki grafik, yolculuk sırasıda defa mola vere bir aracı aldığı yolu süreye göre değişimii göstermektedir. Al a yol (km). Ö reci say s y Yadaki sütu grafik, bir sııftaki öğrecileri matematik sıavıda aldıkları otları dağılımıı göstermektedir. x 8 Al a ot ve i üzeride ot alalar başarılı olduğua göre, bu sııfta başarısız olaları yüzdesi kaçtır? 8 Yolculuk süresi (saat) Bua göre, birici molaı başlagıcı ile ikici molaı bitimi arasıdaki süre kaç saattir? % 9
ÜİTE SIAMA ADIMI.,,,, 8, 8,, sayı dizisii aritmetik ortalaması kaçtır? A) B) 8 C) 9 D) E).,,, 8,,, sayı dizisii tepe değeri (modu) kaçtır? A) 8 B) C) D) E)., 9,,,,, 8, 9 sayı dizisii medyaı kaçtır? A) 8 B) 8, C) 9 D) 9, E).,, 8, 9,,, sayı dizisi içi I. Aritmetik ortalaması : II. Medyaı : III. Tepe değeri : IV. Alt çeyrek : V. Üst çeyrek : 9 VI. Çeyrekler açıklığı : Yukarıdaki yargılarda kaç taesi doğrudur? A) B) C) D) E).,,, 8,,, sayı dizisii medyaı kaçtır? A) B) C) D) 8 E).,, 8, 9,, sayı dizisii modu (tepe değeri) x, medyaı (ortaca değeri) y ise, x + y toplamı kaçtır? A) 8 B) C) 8 D) E) 9 ) E ) B ) C ) B ) E ) D
SIAMA ADIMI.,, 8,,, 8, sayı dizisii aritmetik ortalaması x, tepe değeri y, medyaı z ise, x + y z ifadesii değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 9. 8 8 8 Yadaki grafik kişi üzeride yapıla bir araştırma soucu gösteriliyor. ÜİTE 8. Bir okuldaki öğrecileri YGS de aldıkları puaları ile LYS de aldıkları puaları arasıda bir ilişki olup olmadığıı belirlemek içi rastgele 8 öğreci seçerek aldıkları pualar aşağıdaki gibi ot ediliyor. Verilelere göre lik merkez açı ile gösterile duruma uya kaç kişi vardır? A) B) C) D) E) Our Seda Burçak Cemre Ali Özüm Burak Ayşe YGS Puaı (x) 8 9 LYS Puaı (Y) 9., 8,,, sayılarıda oluşa bir dizii varyası kaçtır? A) B) 8 C) D) E) LYS pualar.,,,, 8 sayı dizisii stadart sapması kaçtır? A) B) C) D) E) YGS pualar Yukarıdaki verilerle serpilme grafiği oluşturuluyor. I. YGS puaları arttıkça LYS puaları da artmaktadır. II. LYS pualarıı medyaı tir. III. LYS pualarıı ortalaması 9, tir. IV. YGS pualarıı tepe değeri dür. V. LYS pualarıı tepe değeri yoktur. Yukarıdaki verilere göre, verile yargılarda kaç taesi doğrudur? A) B) C) D) E). I. Aritmetik ortalama II. Stadart Sapma III. Medya IV. Tepe Değeri V. Açıklık Yukarıdaki verilerde kaç taesi merkezi eğilim ölçüsüdür? A) B) C) D) E) ) E 8) D 9) C ) C ) E. C 9
ÜİTE. C (s cakl k) SIAMA ADIMI. Sulama Kaçak Resmi daire Yadaki dairesel grafik bir ilçede tüketile elektrik tüketim alalarıa göre dağılımıı göstermektedir. Ev t (dakika) Şekildeki grafikte bir sıvıı sıcaklığıı zamaa göre değişimi verilmiştir. Bua göre, kaçıcı dakikada sora sıvıı sıcaklığı i altıa düşer? Bua göre, tüketile elektriği kaçta kaçı kaçaktır? A) B) C) D) E) 8 A) B) C) D) E). gelir (bi) Yadaki grafik bir ailei yıllara göre gelirlerii göstermektedir.. Beyaz K rm z Yadaki dairesel grafik bir depodaki boya miktarlarıı göstermektedir.,,, Mavi y l Yukarıdaki verilere göre, bu ailei yılda kazadıkları paraları ortalaması kaç liradır? A) 9 B) 8 C) 8 D) 9 E) Sar Mavi boyaı gösterildiği dilimi merkez açısıı ölçüsü kaç derecedir? A) B) C) 8 D) 9 E). gelir (bi) Gider Gelir. Beyaz 8 Di er Yadaki dairesel grafik bir ilde yetişe ürüleri ekim alalarıa göre dağılımıı göstermektedir. Tütü 8 Zeyti Pamuk y l Yukarıdaki grafik bir şirketi beş yıllık gelir-gider durumuu göstermektedir. Bua göre, şirketi beş yıl soudaki kârı kaç bi liradır? A) B) C) D) E) Bua göre, diğer bölümüyle gösterile ala üretimi e kadarıı oluşturmaktadır? A) B) C) D) E) 8 9 9 ) C ) B ) E ) C ) B ) B
. y(l) 9 SIAMA ADIMI Yadaki grafik bir isaı su tüketimii göstermektedir.. Koyu Tavuk Yadaki grafik bir çiftlikteki iek, koyu, tavuk ve kaz miktarıı göstermektedir. ÜİTE t (zama) Bu isaı,hagi zama dilimide su tüketme hızı e fazladır? A) t < B) t < C) t < D) t < E) t < ek Kaz lik merkez açı ile gösterile iek sayısı tae ise, koyu sayısı edir? A) B) C) 8 D) E) 8. Ö reci say s Yadaki sütu grafik, bir okuldaki öğrecileri soruluk bir sıavdaki et sayılarıı göstermektedir.. 8 Ö reci say s Şekil sütu grafiğide bir sııftaki öğrecileri Matematik derside aldığı otlar verilmiştir. et Bua göre, et yapa öğreciler sıava katılaları yüzde kaçıdır? A) B) C) D) E) otlar Yukarıdaki verilere göre, bu sııftaki öğrecileri yüzde kaçı almıştır? A) B) C) 8 D) E) 9. Ö reci say s Yadaki grafik bir sııftaki öğrecileri Fizik derside aldığı ot dağılımıı göstermektedir.. Sat fl ( TL) Şekildeki çizgi grafik bir mağazaı aylara göre satış grafiğidir. 8 8 ot Ocak fiubat Mart isa May s Aylar ve yukarı ot alalar başarılı sayıldığıa göre, sııfı başarı oraı kaçtır? A) B) C) D) E) Yukarıdaki verilere göre, şubat ayıdaki satış beş aylık satışı yüzde kaçıdır? A) B) C) 8 D) E). B 8. A 9. B. A. E. A 9