DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKUZ EYÜ ÜİVERSİTESİ FE BİİMERİ ESTİTÜSÜ YAYII KÜTEİ SİSTEMERİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYOU TEORİSİ DİFERASİYE QUADRATURE (DQM) VE DİFERASİYE TRASFORMASYO (DTM) YÖTEMERİ KUAIARAK DİAMİK AAİZİ Yusuf YEŞİCE Hazira, 9 İZMİR

YAYII KÜTEİ SİSTEMERİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYOU TEORİSİ DİFERASİYE QUADRATURE (DQM) VE DİFERASİYE TRASFORMASYO (DTM) YÖTEMERİ KUAIARAK DİAMİK AAİZİ Dokuz Eylül Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Doktora Tezi İşaat Mühedisliği Bölümü, Yapı Aabilim Dalı Yusuf YEŞİCE Hazira, 9 İZMİR

DOKTORA TEZİ SIAV SOUÇ FORMU YUSUF YEŞİCE, tarafıda PROF. DR. HİKMET HÜSEYİ ÇATA yöetimide hazırlaa YAYII KÜTEİ SİSTEMERİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYOU TEORİSİ DİFERASİYE QUADRATURE (DQM) VE DİFERASİYE TRASFORMASYO (DTM) YÖTEMERİ KUAIARAK DİAMİK AAİZİ başlıklı tez tarafımızda okumuş, kapsamı ve iteliği açısıda bir doktora tezi olarak kabul edilmiştir. Prof. Dr. Hikmet Hüseyi ÇATA Yöetici Prof. Dr. Ömer Zafer AKU Prof. Dr. Ramaza KARAKUZU Tez İzleme Komitesi Üyesi Tez İzleme Komitesi Üyesi Doç. Dr. Semih KÜÇÜKARSA Prof. Dr. Yıldırım ERTUTAR Jüri Üyesi Jüri Üyesi Prof. Dr. Cahit HEVACI Müdür Fe Bilimleri Estitüsü ii

TEŞEKKÜR Yüksek lisas ve doktora eğitimim süresice yetişmemde büyük emeği ola, akademik ve mühedislik osyouu tüm özverisiyle baa yasıta ve kazadıra, kedisie ait ola; Tez Hocası, doktora öğrecisi zora girdiğide, oa ca simidi atabilmeli deyimii aye uygulaya ve bu doğrultuda, gece geç saatlere kadar beimle birlikte çalışa, üstü bilgi ve deeyimlerii bede hiçbir zama esirgemeye değerli hocam ve tez daışmaım S. Prof. Dr. Hikmet Hüseyi ÇATA a gösterdiği yakı ilgi, sosuz yardım ve sabır içi şükralarımı suarım. Yol gösterici değerli görüş ve katkılarıyla çalışmama büyük katkı sağlaya, tez izleme komitesi üyesi değerli hocalarım S. Prof. Dr. Ömer Zafer AKU ve S. Prof. Dr. Ramaza KARAKUZU ya teşekkürlerimi suarım. Egi matematik bilgisii ve kedi otlarıı bede asla esirgemeye, tezimle ilgili sayısıı beim bile uuttuğum, her soruma sabırla ve ilgiyle yaıt vere değerli hocam S. Yrd. Doç. Dr. Seval ÇATA a gösterdiği yakı ilgi ve maevi destekte ötürü teşekkür ederim. Yaşatım boyuca baa ola güvelerii bir gü bile eksik etmeye, bu güve duygusuu baa sürekli hissettirerek başarılı olmamı ve bu gülere gelmemi sağlaya, e değerli varlıklarım; emektar, iki gerçek kahramaa; Aem ve Babam a koşulsuz destekleri ve emekleride ötürü e deri şükralarımı suarım. Uzakta olmasıa rağme, her zama ve koşulda bei motive etmeyi başara değerli Ablam a; baa huzurlu ve sessiz bir çalışma ortamı sağlamak adıa elide gelei yapa ve tez kapsamıda egi bilgisayar programlama bilgisii ve becerisii bede esirgemeye değerli Kardeşim e ve ya yaa geldiğimizde, zamaımızı büyük bir çoğuluğuu birlikte geçirmekte büyük zevk aldığımız, ailemizi miik, yaramaz ve zeki üyesi Berkay a sosuz teşekkürlerimi suarım. iii

Doktora çalışmamda uzakta olmasıa rağme maevi desteğii her zama gördüğüm, hocam ve ağabeyim S. Yrd. Doç. Dr. Oktay DEMİRDAĞ a; çizimleri bilgisayar ortamıda yapılmasıda emeği geçe ağabeyim S. Tekik Ressam Mustafa PERİZ e teşekkür ederim. Yusuf YEŞİCE Yayılı Kütleli Sistemleri Yüksek Mertebede Kesme Deformasyou Teorisi, Diferasiyel Quadrature (DQM) ve Diferasiyel Trasformasyo (DTM) Yötemleri Kullaılarak Diamik Aalizi isimli tez çalışması, Dokuz Eylül Üiversitesi Bilimsel Araştırma Proeleri (BAP) Şube Müdürlüğü tarafıda, 7.KB.FE.4 umaralı proe kapsamıda desteklemiştir. iv

YAYII KÜTEİ SİSTEMERİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYOU TEORİSİ, DİFERASİYE QUADRATURE (DQM) VE DİFERASİYE TRASFORMASYO (DTM) YÖTEMERİ KUAIARAK DİAMİK AAİZİ ÖZ Taşıyıcı sistemleri diamik hesap modeli, yaygı olarak, kütlesi belli oktalarda topaklamış ya da kütlesi sistem boyuca yayılı olması durumlarıa göre kurulmaktadır. Gerçekte yapıları kütleleri, sistem boyuca yayılı olduğuda, sürekli hesap modeli kullaılarak yapıla tasarımlar, gerçek yapısal davraışı yasıtacak e uygu tasarımlardır. Sürekli sisteme ait diamik davraışı iceleebilmesi içi, kurulacak matematiksel modeli de, gerçek diamik davraışı tüm değişkeleriyle yasıtabilmesi gerekir. Bu amaçla, çalışma kapsamıda, yüksek mertebede kesme deformasyo teorileride biri ola Reddy-Bickford kiriş teorisii dikkate alıdığı matematiksel hesap modeli kullaılmıştır. Yapı ve deprem mühedisliğide, birçok araştırmacıı ilgisii çeke ve gücelliğii koruya öemli koularıda biri de, elastik zemie otura kirişleri serbest titreşim aalizidir. iteratürde, elastik zemie otura kirişleri diamik aalizi çeşitli ümerik metotlar kullaılarak icelemiştir. Bu çalışmalar daha çok Solu Farklar, Solu Elemalar, Sıır Elemalar, sayısal ya da çok ölçekli pertürbasyo yötemlerii kullaıldığı Pertürbasyo Tekikleri ile yapılmış çözümleri içermektedir. Bu ümerik yaklaşım metotlarıda, çok sayıda düğüm oktasıı kullaılması veya çok sayıda iterasyo yapılması edeleriyle problemleri çözümü içi büyük kapasiteli bilgisayarlara gereksiim duyulmaktadır. Hesaplamalardaki bilgisayar kapasitesi ve çözüm zamaı problemlerii e aza idirgemek amacıyla yapıla çalışmalar soucuda geliştirile Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ve Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM), bu çalışmada kullaıla metotlardır. v

Bu çalışmada, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiş elastik zemie otura; tek açıklıklı hesap modeli içi, sabit e kesitli ve farklı sıır koşullarıa sahip; iki açıklıklı hesap modeli içi, değişke e kesitli ve uçları yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşimie ait hareket deklemleri, Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ve Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) kullaılarak çözülmüş ve bu metotları kullaılmasıyla elde edile hesap modellerie ait ilk üç modu açısal frekas değerleri, aalitik metotla elde edile açısal frekas değerleri ile kıyaslamış, yötemleri etkiliği ve güveilirliği ortaya koulmuştur. Bu amaçla, DQEM ve DTM a ait hesap algoritmaları ve bilgisayar programları hazırlamış, bu programlar kullaılarak sayısal souçlar elde edilmiştir. Aahtar sözcükler: Diferasiyel Quadrature Elema Metodu, Diferasiyel Trasformasyo Metodu, Reddy-Bickford kiriş teorisi, serbest titreşim aalizi. vi

DYAMIC AAYSIS OF SYSTEMS WITH DISTRIBUTED MASS BY USIG HIGH-ORDER SHEAR DEFORMATIO THEORY, DIFFERETIA QUADRATURE (DQM) AD DIFFERETIA TRASFORMATIO (DTM) METHODS ABSTRACT Dyamic model of structural systems is widely formed as their masses are either cocetrated at certai poits or distributed alog the system. Sice the mass of the structures is i fact distributed alog the system desigs made by cotiuous model that shows the real structural behavior are the most coveiet desigs. The mathematical model also has to show the real dyamic behavior with all variables to study dyamic behavior of the cotiuous system. I this study, for this purpose, the mathematical model of Reddy-Bickford beam theory, oe of the high order shear deformatio theories, is used. Oe of the importat subects that is iterested by may researchers ad that protects its currecy i structural ad earthquake egieerig is free vibratio aalysis of beams o elastic foudatio. Dyamic aalysis of beams o elastic foudatio is ivestigated by differet umerical methods i literature. These studies mostly iclude the solutios made by Fiite Differece, Fiite Elemets, Boudary Elemets ad Perturbatio Techiques that umerical or may scaled perturbatio methods are used. High capacity computers are eeded for problem solutio sice the most accurate coclusio ca be obtaied by usig a lot of odes or by makig a lot of iteratios i these umerical approimatio methods. Differetial Quadrature Elemet Method (DQEM) ad Differetial Trasformatio Method (DTM), which are developed as a result of the studies made for reducig the computer capacity ad solutio time problems i calculatios, are the methods used i this study. I this study, equatio of motios for Reddy-Bickford beam o Wikler elastic foudatio that have uiform cross-sectio with differet boudary coditios for sigle-spa model ad ouiform cross-sectio with semi-rigid ed coectios for vii

two-spa model are solved by usig Differetial Quadrature Elemet Method (DQEM) ad Differetial Trasformatio Method (DTM), circular frequecies for the first three modes of the model obtaied usig these methods are compared with the oes obtaied by aalytic method ad effectiveess ad reliability of the methods are eposed. For this purpose, calculatio algorithms ad computer programs of DQEM ad DTM are prepared ad umerical results are obtaied by these programs. Key words: Differetial Quadrature Elemet Method, Differetial Trasformatio Method, Reddy-Bickford beam theory, free vibratio aalysis. viii

İÇİDEKİER Sayfa DOKTORA TEZİ SIAV SOUÇ FORMU...ii TEŞEKKÜR...iii ÖZ...v ABSTRACT...vii BÖÜM BİR GİRİŞ.... Giriş.... Amaç ve Kapsam....3 Daha Öce Yapıla Çalışmalar...4.4 Yapıla Kabuller....5 Temel Yaklaşımlar....5. Wikler Hipotezi....5. Diamik Aalizi Temel Kavramları...5 BÖÜM İKİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYO TEORİSİ.... Elastik Zemie Otura Reddy-Bickford Kirişie Ait Hareket Deklemlerii Elde Edilmesi...4. Elastik Zemie Otura Reddy-Bickford Kirişie Ait Hareket Deklemlerii Aalitik Çözümü ve İç Tesirleri Elde Edilmesi...8 BÖÜM ÜÇ DİFERASİYE TRASFORMASYO METODU (DTM)...3 3. Bir Boyutlu Diferasiyel Trasformasyo Metodu...3 3. İki Boyutlu Diferasiyel Trasformasyo Metodu...34 3.3 DTM u Elastik Zemie Otura Tek Açıklıklı Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması...35 i

3.4 DTM u Elastik Zemie Otura İki Bölgeli Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması...38 BÖÜM DÖRT DİFERASİYE QUADRATURE METODU (DQM)...4 4. Düğüm oktalarıı Sayısı ve Seçimi...48 4. Ağırlık Katsayıları Matrislerii agrage Poliomları İle Hesabı...49 4.3 Geelleştirilmiş Diferasiyel Quadrature Metodu (GDQM)...5 4.4 Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM)...58 4.4. DQEM u Elastik Zemie Otura Tek Açıklıklı Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması...6 4.4. DQEM u Elastik Zemie Otura Değişke Kesitli Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması...69 BÖÜM BEŞ SAYISA UYGUAMAAR...8 5. Örek : Aalitik Çözüme İlişki Sayısal Uygulamalar...8 5. Örek : DTM a İlişki Sayısal Uygulamalar...94 5.3 Örek 3: DQEM a İlişki Sayısal Uygulamalar...5 BÖÜM ATI SOUÇAR...8 KAYAKAR... EKER...

BÖÜM BİR GİRİŞ. Giriş Yapılar, zamaa bağlı yükler ve deplasmalar etkisiyle titreşim hareketi yaparlar. Bu hareket sırasıda oluşa atalet kuvvetleri, ewto u II. Yasasıa göre, kütle ve ivme ile doğru oratılıdır. Yükler veya deplasmalar sisteme yavaş etkiyorsa, atalet kuvvetleri ihmal edilebilir ve eşdeğer statik aaliz mümkü olabilir. Yapı aalizii kritik aşamalarıda birisi, taşıyıcı sistemi gerçek yapısal davraışıı yasıtacak uygu hesap modelii seçilmesidir. Diamik aalizde, pratik yaklaşımlar içi kullaıla, ayrık kütleli modelleme olarak bilie ve yapı sistemii kütlesii belirli oktalarda topakladığı kabulüe dayaa hesap modeli kullaılarak elde edile souçları güveilirliği tartışmaya açıktır. Bu edele diamik hesap modelii, kütlei sistem boyuca yayılı olduğu sürekli hesap modelie göre kurulması yapısal davraışa daha uygu bir yaklaşım tarzı olup, bu çalışmada sürekli hesap modeli dikkate alımıştır. Fiziksel sistemler ya da mühedislik problemleri geellikle doğrusal ya da doğrusal olmaya kısmi diferasiyel deklemler ile ifade edilirler. Modeli simgeleye kısmi diferasiyel deklemleri kapalı çözümlerii elde etmek çoğu zama güçtür. Bu edele, bu tür kısmi diferasiyel deklemleri çözümü içi sıklıkla kullaıla Solu Farklar, Solu Elemalar gibi yötemlerde, uygu sayıda düğüm oktası seçilerek yaklaşık souçlar elde edilmektedir (Wag ve Gu, 997). Bazı özel problemleri çözümüde yukarıda belirtile yötemleri etki ve güveilir souçlar verebilmesi içi çok sayıda düğüm oktasıa gereksiim olması ve özellikle doğrusal olmaya problemleri çok sayıda iterasyo gerektirmesi, aaliz süresii artırmaktadır. Hesaplamada daha az düğüm oktası kullaarak, daha hassas souçlar elde edebilecek ümerik yötemler araştırılırke, Diferasiyel Quadrature Metodu (DQM), DQM u olumsuzluklarıı e aza idirgemek içi Diferasiyel Quadrature

Elema Metodu (DQEM) ve bu iki yötemde bağımsız Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) geliştirilmiştir.. Amaç ve Kapsam Sürekli sistemleri diamik davraışıı gerçek davraışa uygu olması amacıyla çalışmada, sürekli sistemleri yüksek mertebede kesme deformasyolarıı dikkate alıdığı hesap modelii kurulması hedeflemiştir Çalışmada, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiş, elastik zemie üzerie otura Şekil. de suulmuş, ekseel basıç kuvveti etkisideki, değişke e kesitli ve uçları dömeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşimii icelemesi amaçlamıştır. C k C k F G H 3 k C P C θ m, EI,, AG m, EI,, AG R C θ P C S Şekil. Elastik zemi üzerie otura, iki bölgeli ve değişke e kesitli Reddy- Bickford kirişi Burada m ve m sırasıyla, FG ve GH kirişlerii taımlaya.ici ve.ici bölgeye ait yayılı kütleleri; EI, ve EI, sırasıyla,.ici ve.ici bölgeye ait eğilme riitliklerii; AG ve AG sırasıyla,.ici ve.ici bölgeye ait kayma riitliklerii;

3 ve sırasıyla, FG ve GH (.ici ve.ici bölge) kirişlerii açıklıklarıı; P, ekseel basıç kuvvetii; C S, zemi yatak katsayısı ile kiriş geişliğii çarpımıda elde edile zemi parametresii; C θ ve R C θ sırasıyla, sol ve sağ uçlardaki dömeye karşı elastik yay katsayılarıı; katsayılarıı göstermektedir. k C, k C ve k 3 C ise, çökmeye karşı elastik yay Wikler Hipotezi e uygu olarak modellee zemii, gerilme öteleme ilişkisi, zemii temsil ede yayı mekaik özelliklerie bağlı olarak taımlamıştır. Temel kirişii üzerie oturduğu zemi, kirişe belirli aralıklarla bağlamış yaylar ile temsil edilmektedir. Yayı mekaik özelliği, öteleme ile yük arasıdaki doğrusal ilişkiyi tarif edecek şekilde taımlamıştır. Şekil. deki temel kirişii uçlarıı mesetleme koşuluu temsil etmek üzere, kiriş uçları dömeye karşı elastik yaylar ile modellemiştir. Ayrıca, kiriş uçları ile kiriş e kesitii değiştiği oktaya yerleştirile çökmeye karşı elastik yaylar, gerçekte temel kirişie bağlaa düşey taşıyıcı elemaları temsil etmektedir. Çalışmada, tek ve iki bölgeli sürekli kirişleri yüksek mertebede kesme deformasyolarıı dikkate alıdığı diamik hareket deklemleri, aalitik olarak elde edilmiş, elde edile hareket deklemleri, değişik sıır koşulları altıda, Diferasiyel Quadrature Metoduu (DQM) özel hali ola Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ve Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) kullaılarak çözülmüştür. Kirişleri ilk üç modua ait açısal frekas değerleri hesaplaarak kıyaslamıştır. Bu amaçla, hesap algoritması ve bilgisayar programları hazırlamıştır. Detaylı literatür araştırmasıda, geçmişte yayılı kütleli sistemleri, yüksek mertebede kesme teorileride biri ola Reddy-Bickford kiriş teorisi (RBT) dikkate alıarak; Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ve/veya Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) kullaılarak diamik aalizi ile ilgili herhagi bir çalışma yapılmadığı belirlemiştir.

4 Çalışma altı aa bölümde oluşmaktadır. Birici bölümde çalışma ve kapsamı hakkıda bilgiler suulmuş, kou ile ilgili öceki çalışmalar özetlemiş ve çalışma kapsamıda dikkate alıa temel yaklaşımlara değiilmiştir. İkici bölümde yüksek mertebede kesme deformasyo teorisi hakkıda bilgiler suularak, elastik zemie üzerie otura, tek bölgeli, sabit e kesitli Reddy-Bickford kiriş modelie ait hareket deklemleri elde edilmiş ve bu deklemleri aalitik çözümüde hareketle diğer iç tesirler kapalı formda suulmuştur. Üçücü bölümde, Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) detaylı olarak taıtılmıştır. Bu bölümde DTM, tek ve iki bölgeli, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişlerii serbest titreşim aalizie ait hareket deklemlerii çözümüe uygulamıştır. Dördücü bölümde, Diferasiyel Quadrature Metodu (DQM) detaylı olarak taıtılmıştır. Bu bölümde, çalışmada kullaıla Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) u tercih edilme gerekçeleri suulmuş, kullaıla metoda ait bağıtılar verilerek, metot, tek ve iki bölgeli, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişlerii serbest titreşim aalizie ait hareket deklemlerii çözümüe uygulamıştır. Beşici bölümde, aalitik metot, DTM ve DQEM a ilişki sayısal uygulamalara yer verilmiştir. Altıcı bölüm, DTM ve DQEM kullaılarak elde edile sayısal souçları birbirleriyle ve aalitik metotla bulua açısal frekas değerleriyle kıyasladığı souç bölümüdür. Ekler kısmıda, tez kapsamıda hazırlaa bilgisayar programlarıa ait akış diyagramları suulmuştur..3 Daha Öce Yapıla Çalışmalar Birçok araştırmacı, elastik zemie otura kirişler, plaklar ile elastik zemie kısmi ya da tam gömülü kazıkları statik ve diamik aalizlerii, çeşitli kiriş teorileri ile aalitik ve/veya ümerik sayısal yötemleri kullaarak icelemişlerdir (Heteyi, 955; Doyle ve Pavlovic, 98; West ad Mafi, 984; Yokoyama, 99; Çatal, ; Çatal, 6a; Yesilce ve Catal, 8a, 8b). iteratür araştırmaları yüksek mertebede kesme deformasyo teorileride ola 3. mertebede kesme teorisii ilk kez eviso tarafıda kullaıldığıı

5 göstermiştir (eviso, 98). Bu çalışmada yazar, yayılı yük etkisideki kirişi statik aalizie ait diferasiyel deklemi, 3. mertebede kesme deformasyo teorisii kullaarak elde etmeyi başarmış, elde edile sayısal değerleri, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak elde edile souçlarla kıyaslamıştır. Bickford ve Reddy, birbiride bağımsız yürüttükleri çalışmalarıda, 3. mertebede kesme teoriside farklı olarak yei bir kiriş teorisii ortaya koymuşlardır. Bu teori, zama içeriside oldukça fazla uygulama alaı bulmuştur (Bickford, 98; Reddy, 984a, 984b). Bickford, çalışmasıı izotropik kirişler üzeride yoğulaştırırke, ayı döemde Reddy, özellikle çalışmalarıı tabakalı plaklar üzeride yoğulaştırmıştır. Heyliger ve Reddy, doğrusal ve doğrusal olmaya izotropik kirişleri titreşimleri üzeride çalışmışlardır (Heyliger ve Reddy, 988). Takip ede çalışmalarıda Reddy, Reddy-Bickford kiriş teorisii tabakalı kompozit plaklara ve elastik plaklara uygulamıştır (Reddy, 997, 999). Zekour, sırasıyla Euler-Beroulli, Timosheko ve Reddy-Bickford kiriş teorilerii kullaarak, kesme ve ekseel deformasyoları, tabakalı, sıkıştırılmış elastik kirişleri eğilme aalizleri üzerideki etkisii icelemiştir (Zekour, 999). Bu çalışmada yazar, farklı kiriş teorilerii kullaarak, ekseel ve kesme deformasyoları ile tabaka sayılarıı, kirişleri statik aalizi üzerideki etkilerii araştırmıştır. Soldatos ve Sophocleous, Reddy-Bickford kiriş teorisii kullaarak, homoe bir kirişi açısal frekaslarıı ve karakteristik foksiyolarıı elde etmişlerdir (Soldatos ve Sophocleous, ). Bu çalışmada kiriş, sırasıyla Euler-Beroulli, Timosheko ve Reddy-Bickford kiriş teorileri ile çözülmüş, özellikle Timosheko ve Reddy- Bickford kiriş teorilerie ait çözümleri kıyaslaması üzeride durulmuştur. Eiseberger, Reddy-Bickford kiriş teorisii kullaarak, izotrop bir kiriş elemaı içi statik riitlik matrisii elemalarıı elde etmiştir (Eiseberger, 3a). Bu

6 çalışmada yazar, oluşturduğu riitlik matrisii, Euler-Beroulli ve Timosheko kiriş teorileri kullaılarak elde edilmiş statik riitlik matrisleri ile kıyaslamıştır. Eiseberger diğer bir çalışmasıda, Reddy-Bickford kiriş teorisii kullaarak kiriş elemaı içi diamik riitlik matrisii geliştirmiştir (Eiseberger, 3b). Yazar, elde ettiği diamik riitlik matrisii kullaarak, farklı sıır koşullarıa sahip kirişleri serbest titreşimie ait açısal frekas değerlerii elde etmiştir. Çalışmada, diamik riitlik matrisi kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri, Euler-Beroulli ve Timosheko kiriş teorileri kullaılarak elde edilmiş açısal frekas değerleri ile kıyaslamıştır. ee ve Reddy, Reddy-Bickford kiriş teorisii, termo-mekaik yüklemeye maruz kompozit plakları doğrusal olmaya tepki aalizlerie uygulamışlardır (ee ve Reddy, 5). Bu çalışmada yazarlar, termo-mekaik yükleme altıda sıır koşullarıı ve malzeme özelliklerii etkilerii icelemişlerdir. Adi ve kısmi diferasiyel deklemleri ve/veya diferasiyel deklem sistemleri çözümüde oldukça etkili ümerik çözüm yötemleride biri ola Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM), ilk kez Zhou (986) tarafıda ortaya atılmıştır. Zhou geliştirdiği bir boyutlu DTM u, elektrik devrelerii doğrusal ve doğrusal olmaya başlagıç değer problemleride kullamıştır. Che ve Ho ise, ilk kez özdeğer problemlerii çözümüde bir boyutlu DTM u kullamışlardır (Che ve Ho, 996). İki boyutlu DTM u ilk kez uygulaya Che ve Ho dur (Che ve Ho, 999). Bu çalışmada yazarlar, iki boyutlu DTM u kullaarak, kapalı biçimdeki serileri ve kısmi diferasiyel deklemleri yaklaşık çözümlerii elde etmişlerdir. Yazarlar, DTM ile elde edile souçları, aalitik yolla hesaplaa souçlarla kıyaslamışlar ve diferasiyel trasformasyo metoduu güveilirliğii kaıtlamışlardır. Hassa, bir boyutlu DTM u, Sturm-iouville özdeğer problemi içi ormalize edilmiş karakteristik deklemlere ve seçile değişik tip özdeğer problemlerie

7 uygulamıştır (Hassa, a). Bu çalışmada yazar, özdeğer problemlerii diferasiyel trasformasyo metodu ile elde edile çözümlerii, bilie aalitik çözümlerle kıyaslamıştır. Hassa, diğer bir çalışmasıda, bir boyutlu DTM u kullaarak, ikici ve dördücü mertebede adi diferasiyel deklemleri ormalize edilmiş karakteristik deklemlerii ve özdeğerlerii elde etmiştir. Yazar ayrıca, iki boyutlu DTM u kullaarak da birici ve ikici mertebede kısmi diferasiyel deklemleri çözümlerii elde etmiştir (Hassa, b). Bu çalışmada yazar, her iki durum içi elde ettiği souçları, literatürdeki aalitik yötemlerle elde edile souçlarla kıyaslamıştır. Kuraz ve diğerleri, yaptıkları çalışmada, kısmi diferasiyel deklemleri çözümüde kullaıla bir ve iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metotlarıda farklı olarak, () boyutlu DTM u algoritmasıı sumuşlardır (Kuraz ve diğer., 5). Çalışmada, () boyutlu DTM kullaılarak kısmi diferasiyel deklemleri çözümleri elde edilmiştir. Yazarlar, metodu işlerliğii göstermek amacıyla hesaplaa çözümleri, başlagıç sıır-değer problemlerie uygulamışlardır. Bildik ve diğerleri, yaptıkları çalışmada, DTM u ve Adomia ayrışma teorisii kullaarak farklı tip kısmi diferasiyel deklemleri çözümlerii araştırmışlardır (Bildik ve diğer., 6). Bu çalışmada yazarlar, DTM ve Adomia ayrışma teorilerii kullaarak elde edile diferasiyel deklem çözümlerii kıyaslamışlardır. Arıkoğlu ve Özkol, DTM u değişke katsayılı doğrusal ve doğrusal olmaya literatürde farklı deklemler olarak isimledirile deklemlere uygulamışlardır (Arıkoğlu ve Özkol, 6). Yazarlar, DTM ile elde edile souçları, literatürdeki diğer çözüm yötemleri ile hesaplaa souçlarla kıyaslamışlardır. Ertürk, DTM u kullaarak, altıcı mertebede sıır-değer problemlerii yarı ümerik-aalitik çözümlerii elde etmiştir (Ertürk, 7). Bu çalışmada yazar,

8 seçtiği iki sıır değer problemii DTM ile hesaplamış çözümlerii, literatürdeki çözümlerle kıyaslamıştır. Ertürk ve Momai, DTM u ve Adomia ayrışma teorisii dördücü mertebede sıır-değer problemlerii karşılaştırmalı çözümüde kullamışlardır (Ertürk ve Momai, 7). Çatal, elastik zemie otura, iki ucu basit mesetli ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Timosheko kirişii serbest titreşimii, DTM u kullaarak icelemiştir (Çatal, 6b). Bu çalışmada yazar, Timosheko kirişii oturduğu zemii Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiştir. Çalışmada, farklı zemi yatak katsayısı, ekseel kuvvet değerleri içi frekas faktörleri hesaplamış ve bu değerler, literatürdeki ayı örek içi elde edilmiş frekas faktör değerleri ile kıyaslaarak DTM u güveilirliği ve etkiliği gösterilmiştir. Çatal, diğer bir çalışmada, elastik zemie otura, bir ucu akastre, diğer ucu basit mesetli Timosheko kirişii serbest titreşimie ait frekas faktörlerii, DTM u kullaarak hesaplamış ve bu değerleri, aalitik yötemle hesaplaa değerler ile karşılaştırmalı olarak sumuştur (Çatal, 8). Çatal ve Çatal, başka bir çalışmada, Timosheko teorisie uygu olarak modellemiş, ekseel kuvvet etkisideki elastik zemie kısmi gömülü kazığı, statik burkulma aalizii DTM u kullaarak icelemişlerdir (Çatal ve Çatal, 6). Bu çalışmada yazarlar, elastik zemie kısmi gömülü kazığı kritik burkulma yüküü DTM ve aalitik yötemle karşılaştırmalı olarak hesaplamışlardır. Özdemir ve Kaya, Euler-Beroulli kosol kirişii eğilme titreşimii, DTM u kullaarak icelemişlerdir (Özdemir ve Kaya, 6). Özgümüş ve Kaya, başka bir çalışmada, ekseel kuvvet ve burulma etkisideki kompozit Timosheko kirişii serbest titreşim hareketie, DTM u uygulamayı başarmışlardır (Özgümüş ve Kaya, 7).

9 Balkaya ve diğerleri, DTM u Wikler ve Pasterak zemiie otura kirişleri serbest titreşim aalizie uygulamışlardır (Balkaya ve diğer., 9). Çalışmada yazarlar, yötemi etkiliğii, çeşitli sıır koşullarıı içi elde edile açısal frekas değerlerii, literatürde ayı örekler içi mevcut ola açısal frekas değerleri ile kıyaslayarak göstermişlerdir. iteratürde adi/kısmi diferasiyel deklemleri çözümüde kullaıla ümerik yötemlerde biri ola Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) ilk kez, birbiride bağımsız olarak Che (995, 996) ve Wag ve Gu (997) tarafıda geliştirilmiştir. Che, DQEM ile ilgili ilk çalışmasıda, yötemi geel hatları ile taıtmıştır (Che, 995). Che, yötemle ilgili ikici çalışmasıda, iki boyutlu düzlem çerçeveleri modellemeyi başarmıştır (Che, 996). Bu çalışmada yazar, DQEM u kullaarak sırasıyla, iki katlı, iki açıklıklı ve dört katlı, dört açıklıklı düzlem çerçeve elemalarıı ve sistemi global doğrultularıdaki riitlik matrisii elde etmiştir. Yazar, bu matrisleri kullaarak, çubuk uç kuvvet ve mometlerii hesaplamıştır. Wag ve Gu tarafıda yapıla çalışmada, DQEM çeşitli yüklemeler etkisideki kiriş, kolo ve çerçeve sistemleri statik aalizide kullaılmıştır (Wag ve Gu, 997). Bu çalışmada yazarlar, DQEM u kullaarak elde ettikleri souçları, literatürdeki çözümlerle kıyaslamışlardır. Çalışmada, yötemi serbest titreşim ve burkulma aalizie uygulamasıa yöelik temel bilgiler de bulumaktadır. Gu ve Wag, dairesel kesitli plakları serbest titreşim aalizii; Wag ve diğerleri ise, dikdörtge kesitli plakları statik ve serbest titreşim aalizii DQEM u kullaarak icelemişlerdir (Gu ve Wag, 997; Wag ve diğer., 998). Her iki çalışmada da, DQEM kullaılarak elde edile souçlar, literatürde yer ala souçlar ile kıyaslaarak, yötemi etkiliği ortaya koulmuştur. Ha ve iew, DQEM u kullaarak, literatürde Midli plağı olarak aıla, dairesel ve halka şeklideki plakları, Midli kesme teorisii de dikkate alarak statik aalizii gerçekleştirmişlerdir (Ha ve iew, 999). Bu çalışmada yazarlar, Midli plaklarıa DQEM u uygulayarak elde ettikleri souçları, literatürdeki çözümler ile kıyaslamışlardır.

Che, elastik zemie otura prizmatik kirişleri, sadece eğilme tesirlerii dikkate alarak ve DQEM u kullaarak, serbest titreşimii icelemiştir (Che, ). Bu çalışmada yazar, DQEM u kullaarak hesapladığı kirişi ilk beş modua ait açısal frekas değerlerii, aalitik yötemle hesaplaa açısal frekas değerleri ile kıyaslamış, DQEM u etki ve güveilir souçlar verdiğii kaıtlamıştır. Che, diğer bir çalışmasıda, elastik zemie otura ve prizmatik olmaya kirişleri, kesme tesirlerii ve döme ataletlerii dikkate almış ve DQEM u kullaarak, kirişleri serbest titreşimii icelemiştir (Che, a). Bu çalışmada yazar, DQEM u kullaarak hesapladığı ilk beş moda ait açısal frekas değerlerii güveilirliğii göstermiştir. Che, kompozit, eğilme tesiri altıdaki aizotropik kirişleri, Hamilto ilkesii kullaarak elde ettiği serbest titreşimie ait diferasiyel deklemii, DQEM u kullaarak çözmüştür (Che, b). Che, diğer bir çalışmasıda, kesme deformasyolarıı dikkate alarak ve DQEM u kullaarak, dairesel plakları diamik tepkilerii elde etmiştir (Che, 4). Karami ve Malekzadeh, DQEM u kullaarak, tipik bazı kirişleri stabilite, deplasma ve serbest titreşim problemlerii çözmüşlerdir. Elde edile souçları, literatürdeki çözümlerle kıyaslamışlardır (Karami ve Malekzadeh, ). Bu çalışmada yazarlar, Euler-Beroulli kiriş teorisii dikkate almışlardır. Karami ve diğerleri, dömeye ve ötelemeye karşı elastik mesetlerle mesetlemiş Timosheko kirişii serbest titreşimii, döme ataleti ile üzeride topaklamış kütleleri dikkate alarak, DQEM ile icelemişlerdir (Karami ve diğer., 3). Bu çalışmada dikkate alıa Timosheko kirişi, elastik zemie otura ve değişke e kesitli bir kiriştir. Hamilto ilkesi kullaılarak elde edile diferasiyel deklemi, DQEM kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri, literatürdeki diğer yötemlerle elde edilmiş açısal frekas değerleriyle kıyaslamıştır.

Malekzadeh ve diğerleri, ekseel kuvvet etkiside, dömeye karşı elastik mesetlerle mesetlemiş ola, elastik zemie otura Timosheko kirişii serbest titreşimii, DQEM u kullaarak icelemişlerdir (Malekzadeh ve diğer., 3). Bu çalışmada yazarlar, ekseel kuvveti, değişke ve sabit e kesitli Timosheko kirişlerii serbest titreşimi üzerideki etkisii araştırmışlardır. Çalışmada, dikkate alıa modeller üzeride, farklı ekseel kuvvet değerleri içi, ilk beş moda ait açısal frekas değerleri, DQEM u kullaılarak hesaplamıştır. DQEM kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri, Solu Elemalar Metodu kullaılarak hesaplaa açısal frekas değerleri ile kıyaslamıştır. Malekzadeh ve diğerleri, DQEM u ve Timosheko kiriş teorisii kullaarak, kalı plakları serbest titreşimii icelemişlerdir (Malekzadeh ve diğer., 4). Çalışmada, DQEM kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri, Solu Elemalar Metodu kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri ile kıyaslamış ve DQEM u güveilirliği kaıtlamıştır. Che, DQEM u eğri ekseli kirişleri düzlemsel titreşimlerie uygulayarak, sistemi ilk beş moda ait açısal frekas değerlerii hesaplamıştır (Che, 5). Fraciosi ve Tomasiello tarafıda, iki ucu akastre ve kosol olarak tasarlamış iki ayrı kirişi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve Hamilto ilkesi kullaılarak elde edile statik duruma ait diferasiyel deklemleri, DQEM kullaılarak çözülmüştür (Fraciosi ve Tomasiello, 7). Çalışmada yazarlar, DQEM kullaılarak hesaplamış kiriş deplasma ve kesit dömesi değerlerii, Euler-Beroulli kiriş teorisi ile elde edilmiş deplasma ve kesit dömesi değerleri ile kıyaslamışlardır.

.4 Yapıla Kabuller Çalışma kapsamıda, hesaplamaları kolaylaştırıcı, aşağıda verile kabuller yapılmıştır:. Kirişi yapıldığı malzeme doğrusal elastik davramaktadır.. Kirişi e kesiti kademeli değişke olup e kesit geometrisi dikdörtgedir. 3. Kirişi kütlesi kiriş boyuca yayılıdır. 4. Kirişi oturduğu zemi Wikler Hipotezi e uygu olarak davramaktadır. 5. Kirişe etkiye ekseel basıç kuvveti kiriş boyuca sabittir. 6. Söüm etkisi ihmal edilmiştir. 7. Çubuklar doğru ekselidir..5 Temel Yaklaşımlar Çalışmada kullaıla Wikler Hipotezi ile diamik aalizi temel kavramları hakkıdaki geel bilgiler aşağıda suulmuştur..5. Wikler Hipotezi Kiriş zemi etkileşimide zemi davraışı, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiştir. Wikler Hipotezi, zemii gerilme öteleme ilişkisii, zemii temsil ede yayı mekaik özelliklerie bağlı olarak taımlamaktadır. Bu durumda kirişi oturduğu zemi, kirişe belirli aralıklarla bağlamış yaylar ile temsil edilir. Yayı mekaik özelliği ise, öteleme ile yük arasıdaki ilişkiyi doğrusal ya da doğrusal olmaya bir davraış biçimii tarif edecek şekilde taımlamaktadır. Diğer bir deyişle, elastik zemi davraışıı yasıta yayı mekaik özelliği yatak katsayısı ile taımlamaktadır (Birad, ).

3 Yatak katsayısı, herhagi bir oktada belirli bir doğrultuda zemi direci ile o oktadaki yer değiştirme arasıda doğrusal kabul edile ilişkideki oratılılık katsayısı olarak taımlaır (Birad, ). Herhagi bir oktada zemii zorlaya gerilme, q ve o oktada yer değiştirme, δ olmak üzere, zemi yatak katsayısı; k q s (.) δ bağıtısı ile ifade edilir. Uygulamada, bu katsayıı basıç alaı altıda her oktada ayı değerde olduğu kabul edilmektedir. Yatak katsayısı, yeterli sayıda yükleme deeyi soucuda belirlemektedir. Bu amaçla çok küçük olmaya bir yükleme plakası ile zemie giderek arta basıçlar uygulaıp her basıç aşamasıda zemii yer değiştirmeleri ölçülmektedir. Yükleme plakası boyutlarıı büyüklüğü oraıda daha deri zemi tabakalarıa hissedilir gerilmeler iletilebileceğide, büyük boyutlu plakalar ile elde edile deey souçları zemi davraışı hakkıda daha iyi bilgiler verebilmektedir (Bowles, 996). Yatak katsayısıı yükleme deeyleride hareket ile formüle edebilmek içi pek çok çalışma yapılmıştır. Bu formülasyolar, zemi cisie ve kullaılacak temel şeklie bağlı olarak değişmektedir. Zemi cisie ve temel şekillerie göre yatak katsayısı aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaabilir: Killi zemilerde yapılacak kare temeller içi yatak katsayısı; B S k. (.) B K kumlu zemilerde yapılacak kare temeller içi yatak katsayısı;

4 B B S k. (.3).B K bağıtıları ile hesaplaır. Burada K S, proede kullaılacak yatak katsayısıı; k, 3 3 cm boyutlu yükleme plakası deeyi ile bulua yatak katsayısıı; B, yapımı gerçekleştirilecek kare temeli boyutuu; B, yükleme plakası deeyide kullaıla kare plağı boyutuu göstermektedir (Terzaghi, 955). Killi ve orta sıklıktaki kumlu zemilerde yapılacak dikdörtge temeller içi yatak katsayısı; m,5 S k. (.4),5.m K bağıtısı ile hesaplaır. Burada m, dikdörtge temeli uzu kearıı kısa kearıa oraıı göstermektedir (Terzaghi, 955). Vesic (96) ise yatak katsayısıı hesabı içi aşağıdaki bağıtıyı öermiştir: K S 4,65 E s.b Es.. (.5) B E f.i f µ Burada E s, zemii elastisite modülüü; E f, temel ayağıı elastisite modülüü; µ, zemii poisso oraıı; B, temeli geişliğii ve I f, temel ayağıı ala atalet mometii göstermektedir (Vesic, 96). Vesic (96) tarafıda öerile bağıtı pratik uygulamalar içi basitleştirilirse; K S Es (.6) B.( µ )

5 bağıtısı elde edilir. Yukarıda verile bağıtılarda farklı olarak, temel ile zemi etkileşimii ortaya koya yatak katsayısı, temel biçimleri göz öüe alımaksızı sadece zemi türlerie göre de hesaplaabilmektedir. Zemi sııflarıa göre yatak katsayısıı değişimi Tablo. de suulmuştur (Bowles, 996). Tablo. Yatak katsayısı (K S ) değerii, zemi sııflarıa göre değişimi Zemi Türü K S (t/m 3 ) Gevşek kumlu zemi 48 6 Orta sıkılıktaki kumlu zemi 96 8 Sıkı kumlu zemi 64 8 Killi orta sıkılıktaki kumlu zemi 3 8 Siltli orta sıkılıktaki kumlu zemi 4 48 Killi zemi: Taşıma gücü t/m t/m < Taşıma gücü 8 t/m Taşıma gücü > 8 t/m 4 4 48 > 48.5. Diamik Aalizi Temel Kavramları Diamik yükler etkisi altıdaki yapıları aalizi ve tasarımı, zamaı bir foksiyou ola kuvvetleri, eylemsizlik kuvvetlerii dikkate alımasıı gerektirir. Diamik kuvveti zamala değişmesi edeiyle, yapıı kütlesie etkiyecek kuvvetler zamala değişecektir. Diğer bir deyişle, yapıı tepkisi zamala değişecektir. Diamik aaliz eticeside elde edile çözüm, zamaa bağlı bir foksiyo olup, bir çözüm kümesi şeklidedir. Diamik aaliz soucuda elde edile çözüm foksiyouu ya da kümesii ekstrem değerleri, çözüm olarak alıır.

6 Taşıyıcı bir sistemi diamik aalizide sıklıkla iki hesap modeli kullaılmaktadır. Bu hesap modelleri; ayrık sistem modeli ile sürekli sistem modelidir. Kütlei sürekliliği edei ile taşıyıcı bir sistemi atalet kuvvetleri, taşıyıcı sistemi koumua ve zamaa bağlı olarak hesaplamaktadır. Bu durum kimi zama hesap güçlüklerie yol açtığı içi, taşıyıcı sistemi yer değiştirmesi, bazı oktaları yer değiştirmesi ile ifade edilebilir. Sistemi kütlesii bu oktalarda topakladığı varsayılır. Bu varsayım altıda kullaıla diamik hesap yötemi ayrık sistem modellemesi olarak adladırılır. Kütleleri topaklamış olduğu bu oktaları deplasmalarıı sayısı, sistemi serbestlik derecesii verir. Sistemi serbestlik derecesi arttıkça diamik davraış, ayrık modelde sürekli modele doğru yaklaşmakta böylece sosuz sayıda serbestlik dereceli sistemler elde edilmektedir. Sosuz serbestlik derecesie sahip bu tür sistemleri hesap yötemi ise sürekli sistem hesap modeli olarak adladırılır. Hesap yötemii seçilmeside, tercih edile hesap modelii, sistemi doğru temsil edip etmediği öem kazamaktadır. Sürekli parametreli sistemler, kütle, söüm gibi yayılı değişkeleri belirli oktalarda topaklaması ile çok serbestlik dereceli, ayrık değişkeli sistemlere döüştürülebilirler. Ayrık hesap modelii kullaılması halide, yapısal davraışa daha uygu souçlara ulaşmak, serbestlik derecesii artırılması ile mümkü olmaktadır. Sürekli sistemleri, ayrık sistemler gibi modellemeside yer değiştirme, hız ve ivme, göz öüe alıa oktaı koumuu ve zamaı bir foksiyou olarak belirir. Böyle bir sistemde hareket deklemi, sistemde çıkartıla küçük parçaı serbest cisim diyagramıı dikkate alıması ile kısmi türevli diferasiyel deklem şeklide ifade edilir. Çalışma kapsamıda dikkate alıacak sürekli sistem modellemesi ile elde edile hareket deklemleri, kısmi diferasiyel deklemlerdir. Bu deklemleri çözümü,

7 ayrık sistemleri hareketii göstere diferasiyel deklemleri çözümüde daha zor ve karmaşık olduğuda geellikle ümerik yötemler kullaılarak aaliz yapılır. Sürekli sistemde bölgesel olarak uygulaa bir etki, sistemi meydaa getire ortam içide, diğer bölümlere etkir. Zemi içie gömüle bir kazığı büyesideki gerilme dalgasıı yayılması bu olaya basit bir örek olarak verilebilir. Bu dalga hareketi, ayrık sistemlerde kütle ve riitliğe bağlı olarak değişkelik gösterir. Düşük değerlerdeki riitlikler ve büyük kütleleri buluması, yayılış hızıı azaltırke, yüksek değerlerdeki riitlikler ve küçük kütleleri buluması, yayılış hızıı artırır (Birad, ). Sürekli sistemde ise hareketi yayılışıda, ayrık sistemdeki topaklamış kütle ve yay katsayısı etkisi yerie, sürekli sistemdeki kütlesel yoğuluk ve elastisite modülü ö plaa çıkacaktır. Maddesel oktaları etkileşimi ise, diferasiyel deklemdeki elemaları etkileşimi ile simgeleecektir. oktasal kütleleri birbirie bağlaya yaylardaki çekme ve basıç sıkışmaları, sürekli sistemdeki hacim elemalarıa çekme ve basıç gerilmelerii etkimesi şeklide oluşacaktır. Kütleleri belirli oktalarda topakladığı ayrık sistemlerde, diamik koumu belirleye değişkeler, topaklaa kütleleri yer değiştirmelerie bağlı olarak seçilir. Bu sistem, Şekil. de görüldüğü gibi tek bir topaklamış kütlei elastik yay ve söüme bir yöde öteleme yapacak şekilde bağlamış ise bu sistem tek serbestlik dereceli sistem (TSD) olarak adladırılır. δ c k m F(t) δ g Şekil. Tek serbestlik dereceli (TSD) sistem modeli

8 Bu sistemde diamik davraışı, sisteme etkiye ve zamaa bağlı F(t) dış kuvveti veya δ g yer hareketi soucu ortaya çıktığı açıktır. Bu sistem içi diamik kuvvetleri degesi aşağıdaki bağıtı ile ifade edilir (Paz, 997). F F F F(t) (.7) I D S Burada F I, atalet kuvveti olup, F I m. ( δ & & δ ) & & (.8) g bağıtısı ile; F D, söüm kuvveti olup, F c. δ & D (.9) bağıtısı ile; F S, elastik yay kuvveti olup, F S k.δ (.) bağıtısı ile hesaplaır. (.8), (.9) ve (.) umaralı bağıtıları, (.7) umaralı bağıtıda yerie yazılması ile sistemi hareket deklemi aşağıdaki gibi elde edilir. m. & δ c. δ & k. δ m. & δ g F(t) (.) Burada m, tek serbestlik dereceli sistemi kütlesii; δ, kütlei deplasmaıı; δ g, yeri deplasmaıı; k, yatay riitliği göstermektedir. Yapı, birde fazla topaklamış kütle ve bu kütleleri birbirie, zemie bağlaya yay ve söüm elemaları ile modelleiyor ise, bu ayrık sistem, çok serbestlik dereceli sistem (ÇSD) olarak adladırılır. Sistemi diamik davraışıı belirleye

9 hareket deklemi ise tek serbestlik dereceli sistemi geelleştirilmesi olarak düşüülebilir. Sadece teoride mümkü olsa da, söümü ihmal edildiği, serbest titreşim etkisideki taşıyıcı sisteme salıımıı durduracak bir dış kuvvet uygulamazsa, titreşim sosuz bir zama periyodu içi devam edebilir. Acak birçok yapı, pratikte küçük de olsa iç söüme sahiptir. Bu edele serbest titreşim, gelikte meydaa gele kademeli azalmalar ile çok uzu zama periyotları içi devam eder. İdeal bir yapıı serbest titreşim karakteri, başlagıç koşullarıa, yük-deplasma özelliklerie ve kütle dağılımıa bağlıdır (Chopra, 995). Doğal modda, yapıdaki her okta statik bir dege pozisyou etrafıda harmoik hareket gerçekleştirir. Salıım frekası her oktada ayıdır ve bu frekas yapıı o moddaki doğal frekasıdır. Bu edele doğal mod, her oktaı hareketii harmoik olduğu ve titreşimi o moda ait belli bir doğal frekasa sahip olduğu, sistemi şekil değiştirmiş halii bir gösterimidir (Chopra, 995). Elastik bir yapı birçok moda sahip olabilir. Gerçekte, yayılı özelliklere sahip bir yapı teoride sosuz sayıda moda sahiptir ve her mod diğerleride ayrıdır ve frekası da diğer modları frekaslarıda farklıdır. Modlar ve frekaslar hakkıda bilgiler, yapıı herhagi bir zorlama altıdaki diamik tepkisii alaşılmasıa temel teşkil eder. Ayrık olarak modellee ideal bir yapı içi taımlaabilecek mod sayısı yapıı serbestlik derecesi sayısıa eşittir.

BÖÜM İKİ YÜKSEK MERTEBEDE KESME DEFORMASYO TEORİSİ Geel bir yaklaşım olarak mühedislik problemleri, sürekli ve süreksiz ortam problemleri olmak üzere iki sııfa ayrılır. Serbestlik derecesi sosuz büyük ola sürekli ortam problemlerii çözümü bir diferasiyel deklem, bir itegral deklemi ya da deklem sistemii çözümüü gerektirmektedir (Eiseberger, 3b). Yayılı kütleli bu sürekli sistemleri hareket deklemlerii elde edilmesi aşamasıda çeşitli teoriler kullaılmaktadır. Bu teorileri başıda Euler-Beroulli kiriş teorisi (EBT) gelmektedir. iteratürde e basit kiriş teorisi olarak da isimledirile Euler-Beroulli kiriş teorisie göre ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır (Tuma ve Cheg, 983; Wag ve diğer., ). u E (,z) E dw z (.a) dz w E E (, z) w () (.b) Burada, kiriş ekseii; z, kiriş ekseie dik eksei; w, kirişi düşey deplasmaıı; w, kiriş ortasıda geçtiği düşüüle eksei (,) oktasıdaki deplasmaıı göstermektedir. (.) umaralı deklemdeki ifadeleri üzerideki E idisi, Euler- Beroulli kiriş teorisii simgelemektedir. Şekil.a da görüldüğü üzere, Euler-Beroulli kiriş teoremie göre, eğilmede öce düzlem ve kiriş ekseie dik ola kesit, eğilmede sora yie düzlem ve kiriş ekseie dik kalır. Bu kiriş teorisie göre tüm kayma şekil değiştirmeleri ihmal edilir. Kesme deformasyouu dikkate alımadığı kiriş içi eğilme aalizideki temel varsayım, deformasyo süresice kiriş kesitii kirişi asal ekseie dik olmasıdır. Kesme deformasyolarıı dikkate alıdığı Timosheko kiriş teoriside (TBT), kirişeğilme aalizleride, eğilme öcesi asal eksei ormali yöüdeki düzlem kesit,

eğilme sorası yie düzlem kalır, acak kesme deformasyoları edeiyle Şekil.b de görüldüğü gibi, asal eksei ormali yöüde değildir. İlk kez Timosheko (9) tarafıda geliştirile ve literatürde. mertebede kesme teorisi olarak da isimledirile Timosheko kiriş teorisie göre, ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır (Wag ve diğer., ). u T T (,z) z φ ( ) (.a) w T T (,z) w () (.b) Burada φ, kesit dömesii ve T idisi, Timosheko kiriş teorisii göstermektedir (Wag ve diğer., ). iteratürde. mertebede kesme teorisi olarak isimledirile Timosheko kiriş teoriside farklı olarak, çeşitli çalışmalarda. mertebede kesme teorisi kullaılmıştır.. mertebede kesme teorisie göre, ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır (Wag ve diğer., ). u (,z) z φ( ) z ψ( ) (.3a) (, z) w () w (.3b) Yakı geçmişte, 3. mertebe kesme teorisi olarak isimledirile yei bir teori ortaya atılmıştır (eviso, 98; Bickford, 98; Reddy, 984a, 984b; Heyliger ve Reddy, 988). iteratürde Reddy kiriş teorisi olarak aıla bu teoriye göre, ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır (Wag ve diğer., ). u R R R 3 R (,z) z φ ( ) z ψ ( ) z θ ( ) (.4a) w R R (,z) w () (.4b)

Burada R idisi, Reddy kiriş teorisii simgelemektedir. z, w u z dw d, u a. (u, w) φ (u, w ) dw d b. (u, w) φ (u, w ) dw d c. (u, w) (u, w ) dw d Şekil.a. Euler-Beroulli kiriş teorisi içi yerdeğiştirmeler ve dömeler b. Timosheko kiriş teorisi içi yerdeğiştirmeler ve dömeler c. Yüksek mertebede kesme teorileri içi yerdeğiştirmeler ve dömeler 3. mertebe teorisii geliştirildiği çalışmalarda, 3. mertebe kesme teoriside farklı olarak yei bir kiriş teorisi ortaya atılmış ve bu teori zama içeriside oldukça fazla uygulama alaı bulmuştur (Bickford, 98; Reddy, 984a, 984b; Heyliger ve Reddy, 988). Reddy-Bickford kiriş teorisi (RBT) olarak isimledirile bu teoriye göre, ekseel ve düşey deplasma sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır.

3 u R R 3 R (,z) z φ ( ) α z φ ( ) R dw d (.5a) w R R (, z) w () (.5b) Burada h, kiriş yüksekliği olmak üzere, dikdörtge e kesitli kirişler içi 4 α (.6) 3 h bağıtısı ile hesaplaır. Yüksek mertebede kesme deformasyolarıı dikkate alıdığı Reddy-Bickford kiriş teoriside, kiriş-eğilme aalizleride, eğilme öcesi asal eksei ormali yöüdeki düzlem kesit, eğilme sorası; Şekil.c de görüldüğü gibi düzlem kalmamakla birlikte kesme deformasyoları edeiyle asal eksei ormali yöüde değildir. Gerek Reddy kiriş teoriside, gerekse tez kapsamıda kullaıla Reddy-Bickford kiriş teoriside, kesit geometrisie göre değişkelik göstere ve Timosheko kiriş teoriside kullaıla şekil faktörüü kullaılmasıa gerek yoktur. Yayılı kütleli, sürekli bir sistem içi, Euler-Beroulli veya Timosheko kiriş teorileri kullaılarak elde edile diferasiyel hareket deklemi, 4. mertebede ike, Reddy-Bickford kiriş teorisi kullaılarak ayı sistem içi elde edilecek diferasiyel hareket deklemi, 6. mertebededir. Diğer bir deyişle, Reddy-Bicford kiriş teorisie göre diamik aalizi yapıla bir modeli, her bir ucuda, deplasma, kesit dömesi ve eğim olmak üzere, toplam 3 adet serbestlik derecesi vardır. Reddy-Bickford kiriş teorisi kullaılarak elde edilecek 6. mertebede diferasiyel hareket deklemii aalitik çözümü içi, 6 adet sıır koşulua gereksiim vardır.

4. Elastik Zemie Otura Reddy-Bickford Kirişie Ait Hareket Deklemleri Elde Edilmesi Elastik zemie otura ve Şekil. de verile, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı, sabit e kesitli temel kirişie ait yöüdeki birim şekil değiştirme, ε ve kayma açısı, γ z sırasıyla, (.7a) ve (.7b) bağıtıları ile hesaplaabilir (Wag ve diğer., ). P P Elastik Zemi z C S w(, t) Şekil. Elastik zemie otura, tek açıklıklı ve sabit e kesitli temel kirişi u ε (.7a) u w γ z (.7b) z (.5a) ve (.5b) umaralı bağıtılar kullaılarak, yöüdeki birim şekil değiştirme ve kayma açısı aşağıdaki bağıtılar ile ifade edilir. ε ( ), t φ(, t) w(, t) φ 3 z α z (.8a) (, t) w(, t) w γ z φ(, t) β z φ(, t) (.8b)

5 Burada dikdörtge kesitli kirişler içi, 4 β 3 α (.9) h bağıtısı ile hesaplaır. g, agragia yoğuluk foksiyou olmak üzere, Hamilto ilkesi aşağıdaki bağıtı ile taımlaır. δ t d dt t (.) g agragia yoğuluk foksiyou aşağıdaki bağıtı ile taımlaır. g V (.) Burada V, toplam kietik eeriyi; П, toplam potasiyel eeriyi göstermektedir. m, kirişi yayılı kütlesii; A, kiriş e kesit alaıı;, kirişi uzuluğuu; C S, zemi yatak katsayısı ile kiriş geişliğii çarpımıda elde edile zemi değişkeii; P, kirişe etkiye ekseel basıç kuvvetii; σ, ekseel gerilmeyi ve σ z, kayma gerilmesii göstermek üzere, toplam virtüel kietik eeri ve toplam virtüel potasiyel eeri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. (, t) δw(, t) d w δv m (.a) t t δ A ( σ δε σ δγ ) da d C w(, t) δw(, t) z z S w P d (, t) δw(, t) d (.b)

6 (.b) umaralı bağıtıda verile σ, ekseel gerilmesi; E, elastisite modülü olmak üzere, (.3a) umaralı bağıtı ile; σ z, kayma gerilmesi ise; G, kayma modülü olmak üzere, (.3b) umaralı bağıtı ile hesaplaır (Wag ve diğer., ). σ E ε (.3a) σ z G γ z (.3b) (.8a) ve (.8b) umaralı bağıtılar, (.b) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise; δ A A σ σ C S z w δφ z (, t) δφ(, t) δw(, t) ( β z ) δφ(, t) (, t) δw(, t) α z d 3 δw (, t) w P da d (, t) δw(, t) d da d (.4) bağıtısı elde edilir. M σ z da (.5a) A Q σ da (.5b) A z P A 3 σ z da z M (.5c) R σ z da z Q (.5d) A z olmak üzere, (.4) umaralı bağıtı aşağıdaki gibi yazılabilir.

7 δ ( M α P ) ( Q β R ) δφ(, t) w P δφ (, t) δw(, t) d (, t) δw(, t) α P δw (, t) d C S w d (, t) δw(, t) d (.6) Burada M, eğilme mometii, Q, kesme kuvvetii, P ve R yüksek mertebede gerilme bileşelerii göstermektedir (Wag ve diğer., ). (.a) ve (.6) umaralı bağıtılar dikkate alıarak, Hamilto ilkesi uygulaır ise elastik zemie otura, sabit e kesitli ve ekseel basıç kuvveti etkisideki kirişi, serbest titreşimie ait hareket deklemleri aşağıdaki gibi elde edilir. M P α Q βr (.7a) w Q R P w m β α CS w P (.7b) t (.5a) - (.5d) umaralı bağıtılar, (.7) umaralı bağıtıda yerie yazılarak, elastik zemie otura, dikdörtge e kesitli kirişi, serbest titreşimie ait diferasiyel hareket deklemleri, w(,t) deplasma ve Ф(,t) kesit dömesi foksiyolarıa bağlı olarak aşağıdaki gibi elde edilir. 3 (, t) 6 w(, t) ( t) 68 φ 8 w, EI EI AG (, t) 3 5 5 5 φ (.8a) m w t (, t) 8 3 φ(, t) w(, t) 6 φ(, t) AG 5 EI 4 w (, t) 4 - C S EI 5 w (, t) - P w 3 (, t) (.8b)

8 Burada EI, kirişi eğilme riitliğii; AG, kayma riitliğii göstermektedir. w ( z, t) w( z) si( ω t) (.9a) ( z, t) φ( z) si( ω t) φ (.9b) olmak üzere, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak (.8a) ve (.8b) deklemleri aşağıdaki gibi yazılır. 3 () z 6 EI d w( z) 68 EI d φ 8 dw z AG () z 3 3 5 dz 5 dz 5 φ dz (.a) () m ω w () z 8 5 AG dφ dz ( z) d w( z) 3 6 EI d φ( z) EI 4 dz 4 d w dz () z 4 5 - C S 3 P w() z - dz 3 d w dz () z (.b) Burada ω, kirişi açısal frekasıı; göstermektedir. z olmak üzere, boyutsuz koum değişkeii. Elastik Zemie Otura Reddy-Bickford Kirişie Ait Hareket Deklemleri Aalitik Çözümü ve İç Tesirleri Elde Edilmesi (.a) ve (.b) umaralı bağıtılar ile taımlaa elastik zemie otura, dikdörtge e kesitli ve ekseel basıç kuvveti etkisideki kirişi, serbest titreşimie ait hareket deklemlerii çözümü içi; w isz () z C e (.a) isz () z D e φ (.b)

9 kabulü yapılır ve (.a) ve (.b) umaralı bağıtılar ile bu bağıtıları ilgili türevleri, (.a) ve (.b) umaralı bağıtılarda yerie yazılırsa aşağıdaki bağıtılar elde edilir. 8 68 EI 8 AG 6 EI AG s D s i s 3 i C (.a) 3 5 5 5 5 8 5 AG 6 EI si 3 5 mω 3 s i D 8 AG s 5 EI 4 s 4 C S P r π EI 4 s C (.b) (.a) ve (.b) umaralı bağıtılar matris formda aşağıdaki gibi yazılır. 8 68 EI AG s 5 5 8 AG 6 EI 3 si s i 3 5 5 8 AG 6 EI 3 si s i D 3 5 5 8 AG EI 4 π EI mω s s C P s 4 S r 4 C 5 Burada, (.3) P r P (.4) π EI olmak üzere, ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüü göstermektedir. Cebrik çözüm içi, (.3) umaralı bağıtıda verile katsayılar matrisii determiatıı sıfır a eşitlemesi ile aşağıdaki bağıtı elde edilir.

3 4 55 68 EI 5 ( EI ) 68 π ( EI ) 6 s 5 8 π AG EI 8 ( C mω ) P s AG ( C m ω ) S 6 5 6 P 4 r 8 AG EI 4 5 r s 5 4 S (.5) (.5) umaralı deklemi çözülmesi ile w(z,t), boyutsuz deplasma foksiyou aşağıdaki gibi elde edilir. is z is z is ( ) [ 3z is z is5z is6z C e C e C e C e C e C e ] 4 si( ω t) w z,t (.6) 3 4 5 6 (.5) umaralı bağıtıı çözümü kullaılarak, boyutsuz φ ( z, t) foksiyou aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır., kesit dömesi is z is z is ( ) [ 3z is z is5z is6z z,t D e D e D e D e D e D e ] 4 si( ω t) φ (.7) 3 4 5 6 Boyutlu (.8b) umaralı diferasiyel deklem değişkelerie ayırma yötemi kullaılıp, koum değişkeie bağlı olarak aşağıdaki gibi yazılabilir. 6 EI d 5 d 3 ( ) EI d w( ) dw( ) d d 8 AG φ 5 dw d ( ) ( C mω ) w( ) d d φ P ( ) 3 S (.8) (.8) umaralı bağıtıda eşitliği sağ tarafı, elastik zemie otura kirişe etkiye düşey yayılı yük olup, kirişi boyutsuz T(z,t) kesme kuvveti foksiyou aşağıdaki gibi yazılır. ( ) φ() z T z,t 8 AG 5 3 ( ) EI d w( z) P dw( z) 6EI d φ() z dw z dz 3 dz 3 dz 5 dz si ( ω t) (.9)

3 Boyutlu (.8a) umaralı diferasiyel deklem değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak, koum değişkeie göre bir kez türetilir ve (.8b) umaralı diferasiyel deklemde çıkartılırsa aşağıdaki bağıtı elde edilir. d d 6 EI 5 dφ EI d d w d P w d d 6 EI 5 d w d 68 5 EI dφ d ( C m ω ) w( ) S (.3) (.3) umaralı bağıtıda eşitliği sağ tarafı, elastik zemie otura kirişe etkiye düşey yayılı yük olup, literatürde momet bileşeleri olarak da isimledirile (Fraciosi ve Tomasiello, 7); boyutsuz M(z,t), eğilme mometi foksiyou ile boyutsuz M h (z,t), yüksek mertebede momet foksiyoları aşağıdaki gibi elde edilir. ( t) M z, () z 6 EI dφ( z) EI d w P w(z) si( ω t) dz 5 dz (.3a) M h ( z, t) () z 68 EI dφ( z) 6 EI d w si( ω t) 5 dz 5 dz (.3b)

BÖÜM ÜÇ DİFERASİYE TRASFORMASYO METODU (DTM) ümerik çözüm yötemleride biri ola Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM), adi ve kısmi diferasiyel deklemleri ve/veya diferasiyel deklem sistemlerii çözümüde oldukça etkilidir. DTM, veri foksiyolarıı türevlerii elde etmek kousuda sembolik hesaplamalara gerek duyula geleeksel yüksek mertebede Taylor seriside farklıdır. Taylor serisi, bu özelliği edeiyle uygulamada oldukça süre alır. DTM ise, doğrusal ya da doğrusal olmaya diferasiyel deklemleri Taylor serisi kullaılarak hesaplaa aalitik çözümlerii, iteratif olarak elde edilmesii sağlaya bir metottur. Temeli solu Taylor serisi ilkelerie dayaa ve literatürde yarı aalitik-ümerik metot ismi de verile DTM da, türevleri elde edilmesi içi, sembolik hesaplamalara gerek olmadığı gibi, bu türevler, diferasiyel trasformasyo kullaılarak oriial deklemlerde hesaplamış, trasfer edilmiş deklemlerce taımlaa iterasyo aşamalarıda elde edilir (Çatal, 6b; Çatal, 8). iteratürdeki temel mühedislik problemleri dikkate alıdığıda, adi/kısmi diferasiyel deklemleri yaı sıra, özdeğer problemlerii çözümüde de kullaıla DTM, iki farklı başlık altıda iceleebilir. Bular sırasıyla, bir boyutlu diferasiyel trasformasyo metodu ve iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metodudur. 3. Bir Boyutlu Diferasiyel Trasformasyo Metodu Bir boyutlu diferasiyel trasformasyo metoduda, herhagi bir w() foksiyouu, gibi bir oktada diferasiyel trasformasyou aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. k d W( k) w( ) k! k (3.) d 3

33 Burada w(), ele alıa foksiyou ve W(k), trasfer edilmiş foksiyou k k göstermektedir. Ayrıca (3.) umaralı deklemdeki ( / d ) d ifadesi, w() foksiyouu, oktasıdaki k.ici mertebede türevii sembolize etmektedir. W(k) foksiyouu, oktasıdaki diferasiyel ters döüşümü; w k d k k! d k k k k ( ) W( k) ( ) ( ) w( ) (3.) bağıtısı ile elde edilir. (3.) umaralı deklemde, DTM u solu Taylor serisi metoduda türetildiği kolaylıkla alaşılmaktadır. (3.) ve (3.) umaralı deklemler kullaılarak; bir boyutlu diferasiyel trasformasyo metodu içi elde edile temel matematiksel işlemler Tablo 3. de suulmuştur (Çatal, 6b; Çatal, 8). Tablo 3. Bir boyutlu DTM içi temel matematiksel işlemler Oriial Foksiyo Trasfer Edilmiş Foksiyo ( ) u( ) v( ) W ( k) U( k) ± V( k) w ± w ( ) a u( ) W( k) a U( k) m d u ( ) ( ) w ( k) d m ( k ) m! W U k k! ( m) w k ( ) u( ) v( ) W ( k) U( r) V( k r) r

34 3. İki Boyutlu Diferasiyel Trasformasyo Metodu Bir boyutlu diferasiyel trasformasyo metodua bezer şekilde, iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metoduda herhagi bir w(,y) foksiyouu, ve y y içi diferasiyel trasformasyou aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. k h k h (3.3) k! h! y ( h) w(, y) W k, y y Burada w(,y), ele alıa foksiyou ve W(k,h), ise trasfer edilmiş foksiyou göstermektedir. W(k,h) foksiyouu, ve y y içi diferasiyel ters döüşümü; w k (, y) W( k, h) ( ) ( y ) k h y h k h k! h! k h ( ) ( y y ) w(, y) k h k y h y y (3.4) bağıtısı ile elde edilir. (3.4) umaralı deklemde, iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metoduu; iki boyutlu Taylor seriside türetildiği alaşılmaktadır. (3.3) ve (3.4) umaralı deklemler kullaılarak; iki boyutlu diferasiyel trasformasyo metodu içi elde edile temel matematiksel işlemler Tablo 3. de suulmuştur (Che ve Ho, 999; Hassa, b).

35 Tablo 3. İki boyutlu DTM içi temel matematiksel işlemler Oriial Foksiyo Trasfer Edilmiş Foksiyo (, y) u(, y) v(, y) W ( k, h) U( k, h) ± V( k, h) w ± w w w (, y) a u(, y) W( k, h) a U( k, h) u ( ) (, y), y W ( k, h) ( k ) U( k, h) u ( ) (, y), y W ( k, h) ( h ) U( k, h ) y w (, y) r s u r (, y) y s ( k r)! ( h s)! W ( k,h) U k k! s! ( r,h s) w k h (, y) u(, y) v(, y) W ( k, h) U( r, h s) V( k r,s) r s 3.3 DTM u Elastik Zemie Otura Tek Açıklıklı Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması Elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı Reddy- Bickford kirişii serbest titreşime ait (.8) umaralı hareket deklemleri, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak (z) boyutsuz koum parametresie göre aşağıdaki gibi yazılır. d 3 w dz () z 7 d φ() z 7 dw( z) 3 7 β β φ() z (3.5a) 4 dz dz 4 d w dz 3 () z 6 d φ() z 56 d w( z) 4 5 dz 3 β Pr π 5 dz 56 dφ β 5 dz () z 4 ( λ α) w() z (3.5b)

36 Burada λ, frekas faktörüü; α, rölatif riitliği ve β, riitlik oraıı göstermek üzere; aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. 4 m ω λ 4 (3.6a) EI 4 CS α (3.6b) EI AG β (3.6c) EI Bir boyutlu DTM içi Tablo 3. de verile temel matematiksel işlemler dikkate alıarak, DTM, (3.3a) ve (3.3b) deklemlerie uygulaırsa, aşağıdaki ifadeler elde edilir. ( 3) W k 7 Φ 4 6 W( k 4) 5 56 β 5 ( k ) ( k 3) 7 β Φ( k 3) 56 ( k 4) 5 Φ( k ) ( k ) ( k 3) ( k 4) W( k ) ( k ) ( k 3) β P r π 7 β W( k ) ( k 3) ( k 4) 4 W ( ) ( k) λ α Burada W ( k) ve Φ ( k) foksiyoları sırasıyla, w ( z) ve ( z) trasfer foksiyolarıı göstermektedir. Φ( k) ( k ) ( k ) ( k 3) (3.7a) ( k ) ( k ) ( k 3) ( k 4) (3.7b) φ foksiyolarıa ait (3.) umaralı bağıtıı ve (3.) umaralı bağıtı ile taımlaa diferasiyel ters döüşüm kullaılarak, aşağıdaki bağıtılar elde edilir.

37 w k () z ( z z ) W() k k k ( z z ) d w( z) k (3.8a) k k k! dz z z φ k () z ( z z ) Φ() k k k ( z z ) d φ( z) k (3.8b) k k k! dz z z Uygulamada, () z w ve φ () z foksiyoları solu bir seri ile ifade edilirler. Bu durumda, (3.8a) ve (3.8b) deklemleri aşağıdaki gibi yazılır (Çatal, 6b; Çatal, 8). w k () z ( z z ) W( k) k (3.9a) φ k () z ( z z ) ( k) k Φ (3.9b) k k (3.9a) ve (3.9b) bağıtılarıda alaşılacağı üzere, ( z z ) W( k) ve k k ( z z ) ( k) Φ değerleri ihmal edilebilecek düzeyde küçük değerlerdir. Burada, açısal frekas değerlerii yakısamasıa göre değişe seri boyutu ya da diğer bir değişle terim sayısıdır. Diferasiyel ters döüşüm kullaılarak, w ( z), deplasma foksiyou ve ( z) φ, kesit dömesi foksiyou içi elde edile (3.9a) ve (3.9b) bağıtılarıa bezer şekilde, diğer iç tesirler aşağıdaki gibi solu bir seri ile ifade edilir. k () z ()( k z z ) W( k) w k (3.a)

38 k () ( z z ) M( k) M z k (3.b) M h k () z ( z z ) M ( k) k h (3.c) T k () z ( z z ) T( k) k (3.d) Burada ( k) M, () z M eğilme mometi foksiyouu; M h ( k), () z mertebede momet foksiyouu ve T ( k), ( z) trasfer foksiyolarıı göstermektedir. M h yüksek T kesme kuvveti foksiyouu 3.4 DTM u Elastik Zemie Otura İki Bölgeli Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması Şekil. de verile elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, iki bölgeli ve uçları dömeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii serbest titreşime ait hareket deklemleri, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak (z) boyutsuz koum değişkeie göre aşağıdaki gibi yazılabilir. d 3 w dz ( z ) 7 d φ ( z ) 7 dw ( z ) i 3 i i i i 7 βi βi φi ( zi ) (3.a) 4 dz dz i i i i d 4 w dz 3 ( z ) 6 d φ ( z ) 56 () d w ( z ) i 4 i i 5 i i 3 i dz 5 β 56 β 5 i P i i r π dφi dz ( z i ) 4 ( λ α ) w ( z ) i i zi (i, ) (3.b) dz i i i i i i i

39 Burada EI,i ve AG i sırasıyla, i.ici bölgei eğilme riitliğii ve kayma riitliğii; () i m i, λ i, α i, β i ve P r sırasıyla, i.ici bölgei yayılıı kütlesii, frekas faktörüü, rölatif riitliğii, riitlik oraıı ve ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüü;, toplam kiriş uzuluğuu; i, i.ici bölgedeki kiriş uzuluğuu göstermek üzere; 4 mi ω λ i 4 (3.a) EI,i,i 4 CS α i (3.b) EI AGi β i (3.c) EI,i () i P r P (i, ) (3.d) π EI,i bağıtıları ile hesaplaır. Tez kapsamıda, geişliği sabit, yüksekliği değişke, iki bölgeli kiriş dikkate alıdığı içi, (3.) umaralı bağıtı ile verile terimler arasıda aşağıdaki ilişkiler yazılır. 3 m 4 h λ λ m h (3.3a) 3 h α α h (3.3b)

4 h β β h (3.3c) 3 () ( ) h Pr Pr h (3.3d) Burada h ve h sırasıyla,. bölge ve. bölge içi kiriş yüksekliğii göstermektedir. Bir boyutlu DTM içi Tablo 3. de verile temel matematiksel işlemler dikkate alıarak, DTM, (3.a) ve (3.b) deklemlerie uygulaırsa, aşağıdaki ifadeler elde edilir. W i ( k 3) 7 Φ 4 6 Wi ( k 4) 5 56 βi 5 i ( k ) ( k 3) 7 β i Φi ( k 3) 56 β ( k 4) 5 Φi ( k ) ( k ) ( k 3) ( k 4) i Wi ( k ) ( k ) ( k 3) 7 β P i Φi ( k) ( k ) ( k ) ( k 3) () i Wi ( k ) r π ( k 3) ( k 4) 4 Wi ( ) ( k) λ α i i (3.4a) ( k ) ( k ) ( k 3) ( k 4) (i, ) (3.4b) Burada W i ( k) ve Φ ( k) foksiyoları sırasıyla, w ( ) ve ( ) ait trasfer foksiyolarıı göstermektedir. i i z i φ foksiyolarıa i z i (3.) umaralı bağıtıı ve (3.) umaralı bağıtı ile taımlaa diferasiyel ters döüşümü dikkate alıması eticeside, w i ( z i ) ve i ( z i ) seri ile aşağıdaki gibi ifade edilir. φ foksiyoları solu bir

4 w i k ( z ) ( z z ) W ( k) i k i (3.5a) φ i k ( z ) ( z z ) Φ ( k) i k i (i, ) (3.5b) Diferasiyel ters döüşüm kullaılarak, w i ( z i ), deplasma foksiyoları ve φ i ( z i ), kesit dömesi foksiyoları içi elde edile (3.5a) ve (3.5b) bağıtılarıa bezer şekilde, diğer iç tesirler aşağıdaki gibi solu bir seri ile ifade edilir. k ( z ) ( k) ( z z ) W ( k) w i i k i (3.6a) M i k ( z ) ( z z ) M ( k) i k i (3.6b) M h,i k ( z ) ( z z ) M ( k) i k h, i (3.6c) T i k ( z ) ( z z ) T ( k) i k i (3.6d) Burada M i ( k), M i ( z i ) eğilme mometi foksiyouu; M h, i ( k), h,i ( zi ) mertebede momet foksiyouu ve T i ( k i ), i ( z i ) trasfer foksiyolarıı göstermektedir. M yüksek T kesme kuvveti foksiyouu

BÖÜM DÖRT DİFERASİYE QUADRATURE METODU (DQM) Kısmi diferasiyel deklemleri çözümü içi geliştirilmiş Solu Farklar Metodu ve Solu Elemalar Metodu gibi birçok ümerik çözüm metodu mevcuttur. Bu metotlar çeşitli mühedislik problemlerie uygulamış olup, güümüzde yaygı olarak kullaılmaya devam edilmektedir. Solu Farklar Metodu ve Solu Elemalar Metodu gibi ümerik yaklaşım metotlarıda çok sayıda düğüm oktasıı kullaılmasıyla, gerçek değerlere oldukça yakı değerleri elde edildiği bilimektedir. Acak bu ümerik yaklaşım metotlarıda çok sayıda düğüm oktasıı kullaılması, problemleri çözümü içi büyük kapasiteye sahip bilgisayarlara gereksiimi zorulu kılmaktadır. Güümüzde bilgisayar sektörüü hızlı ilerlemesi; daha hızlı ve yüksek kapasiteli bilgisayarları üretilmesie, mühedislik problemlerii çözümüe ilişki yei metotları araştırılmasıa ve bu tür problemlerde daha pratik ve gerçeğe daha yakı souçları elde edilmesi koşulu ile yei çözüm metotlarıı bulumasıa olaak taımıştır. Richard Bellma (Bellma ve Casti, 97), kabul edilebilir doğruluğa sahip souçlar elde etmek içi daha az sayıda düğüm oktası kullaa alteratif bir ümerik çözüm metodu bulma çalışmaları esasıda, mühedislik bilimlerii başlagıç ve/veya sıır değer problemleri içi farklı bir çözüm yötemi ola Diferasiyel Quadrature Metoduu (DQM) geliştirmiştir. DQM, herhagi bir foksiyou, verile bir oktadaki herhagi bir değişkee göre kısmi türevii, o değişke bölgesii bütü ayrık oktalarıdaki foksiyo değerlerii, ağırlıklı lieer toplamı şeklide ifade edildiği ümerik bir yötemdir (Shu, ; Civalek, 3). DQM ile Solu Elemalar Metodu arasıda temelde iki farklılık vardır. Bu farklılıklarda ilki; DQM u yüksek derecede bir poliom kullaarak problemi çözümüe ilişki global bir yaklaşım kurarke, Solu Elemalar Metodu u yerel elemalar seviyesideki bir foksiyo yaklaşımıda düşük derecede poliomlar kullamasıdır. İkici farklılık ise; DQM u bir foksiyou türevie doğruda 4

43 yaklaşım kurarke, Solu Elemalar Metodu u yaklaşımı bir yerel elema üzeride kurmasıdır. DQM kullaılarak yapıla çözüm esasıda, bad tipi ve simetrik olmaya matrisler elde edilir. Çözümler özellikle birkaç özel oktada istediğide DQM, Solu Farklar veya Solu Elemalar Metodu gibi ümerik metotlara bir alteratif olabilir (Shu, 99, ). DQM kullaılarak, tek değişkeli w() foksiyouu, i (i,, 3,, ) oktalarıyla taımlamış adet ayrık okta dikkate alıırsa, i.ici ayrık oktadaki birici mertebede kısmi türevi aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. w w ( i ) Ai w( ) i (4.) Burada, değişke bölgesideki ayrık oktaları; w ( i ), i.ici ayrık oktadaki w() foksiyouu birici türevii; w( ), ayrık oktalara karşılık gele foksiyo değerlerii ve A i ise, birici türev yaklaşımı içi ayrık oktalarıa karşılık gele değerleri; foksiyo değerlerie bağlaya ağırlık katsayısıı göstermektedir. DQM u uygulamasıda e öemli usur ağırlık katsayılarıı belirlemesidir. Foksiyoel yaklaşımlar ile seçile ağırlık katsayıları belirleirke, süreklilik koşulları dikkate alımalıdır. Süreklilik koşulları dikkate alıarak seçile ağırlık katsayılarıı, sıır koşullarıı sağlamak kousuda zorululuğu olmamakla birlikte, seçile ağırlık katsayısı foksiyolarıı, diferasiyel deklem ile ya da sıır koşullarıyla taımlamış e yüksek mertebede diferasiyel türevii alıabilmesi gerekir. Diğer bir deyişle; DQM da, seçile düğüm oktası sayısıı; diferasiyel deklemdeki bağımsız değişkee karşılık gele e yüksek mertebede türevi bir fazlasıa eşit olmalıdır (Bellma ve diğer., 97; Shu, ). iteratürde, Richard Bellma ve arkadaşları tarafıda ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa yöelik iki farklı yötem öerilmiştir (Bellma ve diğer., 97). Bu yötemleri ilkide; (-) adet veya daha az sayıdaki poliom foksiyou içi, (k,, 3,, ) olmak üzere;

44 ( ) k w (4.) ile verile deklemi, (4.) umaralı deklemde yerie yazılmasıyla elde edilecek doğrusal deklem takımı, (i,, 3,, ) olmak üzere, aşağıda suulmuştur (Bellma ve diğer., 97). ( ) k i k i A k (4.3) (4.3) umaralı deklem matris formda aşağıdaki gibi yazılır... A A A........ A A A A A A.. (4.4) Bezer işlemleri, (i,, 3,, ) olmak üzere, ikici mertebede türev foksiyoları içi gerçekleştirilmesi soucuda, ( ) ( ) i i w B w w i (4.5) bağıtısı elde edilir. Burada w ( i ), i. ici ayrık oktadaki w() foksiyouu ikici türevii; B i, ikici mertebede türev içi ağırlık katsayılarıı göstermektedir. (4.5) umaralı deklemi, birici mertebede türev içi elde edilmiş ağırlık katsayıları ciside ifadesi, (4.6) umaralı deklemle ve (4.) umaralı deklem ile verile poliom foksiyou uygulaması soucuda elde edilecek ikici mertebede türev ifadesi ise, (4.7) umaralı deklemdeki gibidir.

45 w ( ) A A w( ) i w i i k k k (4.6) k 3 ( ) ( k ) i k k B (4.7) i (4.7) umaralı deklem matris formda aşağıdaki gibi yazılır. B B.... B B B B.... B B B.... (4.8) Birici ve ikici mertebede türevler içi yukarıda elde etmiş ağırlık katsayılarıa bezer şekilde sırasıyla, üçücü ve dördücü mertebede türevler içi ağırlık katsayıları, C i ve D i aşağıdaki gibi elde edilirler. C i A k ik B k (4.9a) D i A k ik C k (4.9b) Bellma ve arkadaşları tarafıda ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa yöelik olarak taımlamış bu ilk yötemde, (4.4) ve (4.8) umaralı bağıtılarda alaşılacağı üzere, boyutuda doğrusal deklem takımı elde edilir. Bu deklem takımıı matrisi Vadermode formuda olduğuda, büyük değerleri içi souçlar tekilleşir ve bu doğrusal deklemleri çözümü güçleşir. Düğüm oktası sayısıı de büyük olması durumuda elde edile doğrusal deklem takımıı çözümüde tekillik problemi ortaya çıkar ve çözüm yapılamaz (Shu, ). Düğüm oktası sayısıı ye kadar ola değerleri içi, DQM kullaılarak elde edile

46 ağırlık katsayılar ile daha sora geliştirile Geelleştirilmiş Diferasiyel Quadrature Metodu (GDQM) kullaılarak elde edile ağırlık katsayıları karşılaştırıldığıda, düğüm oktası sayısıı de büyük değerleri içi DQM ile hesaplaa ağırlık katsayılarıı hatalı olduğu gözlemiştir (Shu, ; Che, 6). Bu edele, ağırlık katsayılarıı belirlemeside Bellma ve arkadaşları tarafıda öerile bu ilk yötem kullaılacaksa düğüm oktası sayısı e fazla olarak alımalıdır. Ayrıca bu yötemde, her işlem adımı içi boyutuda deklem takımı çözme zorululuğu bulumaktadır. DQM da, daha hassas souçlar elde edebilmek içi, büyük sayıda düğüm oktası seçmek gerekir. Acak literatürde yapıla çalışmalar göstermiştir ki, kirişleri eğilme, stabilite ve titreşim problemleride 7; plak ve kabukları stabilite ve titreşim hesabıda ise 9 yeter yaklaşıkta souçlar vermektedir (Bert ve diğer., 993; Shu, ). iteratürde, Bellma ve arkadaşları tarafıda ağırlık katsayılarıı hesaplaması hususuda taımlamış ikici yötemde de, birici yöteme bezer olarak bir test foksiyou seçilir. Bu yötemde seçile foksiyo aşağıda verilmiştir (Bellma ve diğer., 97). w k ( ) ( ) () ( ) ( ) (4.) k k Burada, düğüm oktası sayısıı; (),.ici derecede egedre poliomuu, () () egedre poliomuu birici türevii; k, ötelemiş egedre poliomuu köklerii göstermektedir. (4.) umaralı foksiyou, (4.) umaralı deklemde yerie yazılmasıyla ağırlık katsayıları aşağıdaki gibi elde edilir (Bellma ve diğer., 97).

47 A i ( ) i ( i ) ( i ) ( ) (4.) i ( i ) i ( i ) Bellma ve arkadaşları tarafıda ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa yöelik olarak taımlamış ikici yötemde, farklı sıır koşulları içi metoduu etki olarak kullaılabilirliği azalmaktadır (Shu, ). DQM, bir boyutlu problemlere bezer olarak, iki boyutlu problemler içi de kullaılmaktadır. Acak, iki boyutlu problemlerde DQM u kullaılabilmesi içi, problemi her iki doğrultusu içi yeter sayıda düğüm oktası dikkate alımalıdır. İki boyutlu problemde dikkate alıması gereke düğüm oktaları sayısı, sırasıyla, ve y olmak üzere, iki boyutlu probleme ait türev ifadeleri elde edilebilir. Araa foksiyo w(,y) olmak üzere; bu foksiyou, ( i, y ) oktalarıdaki, değişkeie göre r.ici mertebede kısmi türevi, y değişkeie göre s.ici mertebede kısmi türevi ve, y değişkelerie göre (rs).ici mertebede kısmi türevleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar kullaarak hesaplaır (Shu, ). r w r i k A (r) ik w (, y ) k ( r,, 3,..., ) (4.) s y y w (s) B w(, y ) ( s,, 3,..., ) s y y k k i k (4.3) y ( r s) w r y s i y y r r s w s y i y y k A y () r (s) B w(, y ) ik m m k m (4.4)

48 4. Düğüm oktaları Sayısı ve Seçimi DQM da, daha hassas souçlar elde edebilmek içi, düğüm oktası sayısıı seçimi öemlidir. DQM daki düğüm oktaları, Solu Farklar Metodu daki şebeke seçimi ve Solu Elemalar Metodu daki solu elema ağ tipi seçimi ile bezerdir. iteratürdeki çalışmalar, homoe sıır koşullarıa ve doğrusal deklemlere sahip modeller içi eşit aralıklı düğüm oktası seçimii, hassas çözüm elde etme açısıda yeterli olduğuu göstermiştir. Zamaı bir foksiyou ola deklemlerde ve başlagıç değer problemleride ise, eşit aralıklı olmaya düğüm oktası seçimi e uygu souçları vermektedir. Acak, eşit aralıklı düğüm oktası ile yapıla işlem kısme daha kolay ike, eşit aralıklı olmaya düğüm oktası ile çalışmak çözümü güçleştirebilmektedir. iteratürde, düğüm oktalarıı seçimi içi sıklıkla tavsiye edile iki adet metot mevcuttur. Bu metotlarda ilki, tek boyutlu problemler içi, mevcut tek bir koordiat yöüde; iki boyutlu problemler içi, her bir koordiat yöüde, eşit aralıklı alıa ve (4.5) umaralı deklem ile verile düğüm oktası seçimidir (Shu, ). i i ( i,, 3,..., ) (4.5a) y (,, 3,..., ) y y (4.5b) Düğüm oktalarıı seçimide kullaıla ikici metot ise, tek boyutlu problemler içi, mevcut tek bir koordiat yöüde; iki boyutlu problemler içi, her bir koordiat yöüde, eşit aralıklı olmaya ve (4.6) umaralı deklem ile verile düğüm oktası seçimidir (Shu, ). i i cos ( i,, 3,..., ) π (4.6a)

49 y cos π (,, 3,..., ) y (4.6b) y DQM da, farklı koordiat yöleride, farklı düğüm oktası sayısı ve modeli seçilebileceği gibi, farklı test foksiyoları da seçilebilir. Bu çalışma kapsamıda, dikkate alıa model tek doğrultulu bir model olduğuda, (4.6a) umaralı bağıtı ile verile tek doğrultulu, eşit aralıklı olmaya düğüm oktası seçimi kullaılmıştır. 4. Ağırlık Katsayıları Matrislerii agrage Poliomları İle Hesabı Ağırlık katsayıları yukarıda belirtildiği gibi, düğüm oktası sayısı de küçük olması durumuda kuvvet poliomları, de büyük olması durumuda egedre poliomları kullaılarak hesaplaabileceği gibi, ayı zamada bu ağırlık katsayıları agrage poliomları da kullaılarak aşağıda suulduğu biçimde elde edilir. Bağımlı agrage w çokterimlisi, w ( ) c c c c (4.7) olarak alıabilir (Che, 994). okal koordiat sistemide, düğüm aralığı [, ] aralığıda alıır ise, global koordiatlara döüşüm aşağıdaki bağıtı ile yapılır (Che, 994). (4.8) ( ) i ( ) i Burada i ve, global koordiat sistemideki uç oktaları ifade etmektedir. (4.7) umaralı bağıtı ile verile agrage çokterimlisi matris formda aşağıdaki gibi yazılır.

5 ( ) []{} c b w (4.9) Burada, [] [ ] b (4.a) {} { } T c c c c c c (4.b) olarak taımlamaktadır. (4.a) ve (4.b) bağıtıları kullaılarak w çokterimlisi, ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c c c w w w w w w K K K K K K K K (4.) bağıtısı ya da { } [ ] {} c w (4.) şeklide ifade edilir. (4.) umaralı bağıtı e geel haliyle aşağıdaki gibi ifade edilir (Che, 994). { } [ ] {} c w (4.3)

5 Burada, { w } { w( ) w ( ) w( ) w( ) w ( ) } T (4.4a) [ ] [[] b [ b ] [] b [ b] [ b ] T (4.4b) (4.) umaralı bağıtı kullaılarak, { c } vektörü; {} c [ ] { w} (4.5) olarak elde edilir. (4.3) umaralı bağıtıı türevi alıır ve (4.5) umaralı bağıtı elde edile deklemde yerie yazılırsa, d d d d { w} [ ] [ ] { w} (4.6) bağıtısı elde edilir. (4.6) umaralı bağıtı [ A] [ ] [ ] (4.7) olmak üzere, aşağıdaki gibi yazılır. d d { w} [ A] { w} (4.8) Burada [ A ] matrisi, agrage poliomları kullaılarak elde edile, birici derecede türeve ilişki ağırlık katsayı matrisidir. (4.7) umaralı bağıtıdaki [ ] matrisi, [ ] matrisii türevi olup, aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır (Che, 994).

5 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.9) agrage poliomları kullaılarak elde edile birici derecede türeve ilişki [A], ağırlık katsayı matriside hareketle, ikici, üçücü ve dördücü mertebede türevlere ait ağırlık katsayı matrisleri sırasıyla aşağıda bağıtılar ile hesaplaır (Che, 994). [ ] [ ] [ ] A A d d d d d d B (4.3a) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A B A A A d d d d d d d d C 3 3 (4.3b) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A C A A A A d d d d d d d d d d D 4 4 (4.3c) 4.3 Geelleştirilmiş Diferasiyel Quadrature Metodu (GDQM) İlkeleri yukarıda suula DQM u ağırlık katsayılarıı hesaplaması aşamasıda, özellikle, karmaşık sistemlerde güçlüklerle karşılaşılmaktadır. Ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa ilişki Bellma ve arkadaşları tarafıda ileri sürüle birici yötemde elde edile katsayılar matrisie ait determiatı hesaplamasıda güçlükler çıkabileceği gibi, deklemi çözümü tekildir. Yapıla çalışmalar, DQM kullaılarak yapıla çözümde, düğüm oktası sayısıı de fazla olması

53 durumuda, yötemi yakısamadığıı ve güveilirliği azalta souçlar verdiğii göstermiştir (Shu, ; Che, 6). Ayrıca birici yöteme ait her işlem adımıda, boyutlu deklem takımı çözme zorululuğu, DQM u diğer bir olumsuzluğudur. Ağırlık katsayılarıı hesaplamasıa ilişki Bellma ve arkadaşları tarafıda ileri sürüle ikici yötemde, farklı sıır koşulları içi metodu uygulaabilirliği azalmaktadır. Olumsuzlukları yukarıda belirtile DQM u güçlüklerii e aza idirmek ve uygulaabilirliğii artırmak amacıyla yapıla çalışmalar soucuda, Shu ve Richards tarafıda Geelleştirilmiş Diferasiyel Quadrature Metodu (GDQM) geliştirilmiştir. Bu metot ilk kez, akışkalar mekaiğide kullaıla bazı kısmi diferasiyel deklemleri çözümüe uygulamıştır (Shu ve Richards, 99a, 99b). GDQM da, seçile düğüm oktalarıda herhagi bir sıırlama olmaksızı, ağırlık katsayıları hesaplamasıda, basit cebirsel ifadeler bulmak içi, Bellma ve arkadaşları tarafıda öerile, yüksek derecede poliomlar ya da egedre poliomları yerie test foksiyou olarak, agrage iterpolasyo poliomu seçilmesi öerilmiştir (Shu ve Richards, 99a, 99b; Shu ve Chew, 999; Shu, ). GDQM da test foksiyou olarak kullaıla agrage iterpolasyo poliomu, düğüm okta sayısı olmak üzere aşağıda suulmuştur. r ( ) M( ) ( ) M () ( ) k k k ( k,, 3,..., ) (4.3) Burada, k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M K (4.3) bağıtısı ile, M ( ) foksiyouu birici mertebede türevi ola M () ( i ) ise

54 () ( ) ( ) M (4.33) i k,k i i k bağıtısı ile hesaplaır. δ i, Kroecker operatörü olmak üzere, M ( ) (, ) ( ) ( k,, 3,..., ) (4.34a) k k ( ( ) ) i, M ( i ) δi (4.34b) basitleştirmesi yapılır ise, (4.3) umaralı bağıtı aşağıdaki gibi yazılır. r ( ) ( ) ()( k ), ( k,, 3,..., ) (4.35) M k k (4.35) umaralı bağıtı, (4.) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, () ( i, ) () ( ) A i (4.36) M ( olarak elde edilir. Burada M ) ( ) ifadesi, (4.33) umaralı bağıtı kullaılarak kolaylıkla hesaplaabilir. ( ) (, ), (, ) ifadesii parametresie göre i birici mertebede türevi olup, bu ifadei hesaplaabilmesi içi (4.34a) umaralı bağıtıı, değişkeie göre bir kez türetilmesi gerekir. (4.34a) umaralı bağıtıı değişkeie göre ardışık türevleri (k,, 3,, ) ve (m,, 3,, -) olmak üzere aşağıdaki gibi formüle edilir. i M ( m ) ( m ( ) ) ( m (, ) ( ) m ) (, ) (4.37) k k k

55 Burada ( M m) ( ) ve ( m ) (, ) sırasıyla, M ( ) ve (, ) k mertebede türevleridir. (4.37) umaralı bağıtı kullaılarak, (,, 3,, ) olmak üzere, aşağıdaki gibi elde edilir. ifadelerii m.ici k () (, ) ifadesi i () (, ) i () ( ) M i ( i ) ( i ) (4.38) ( M ) ( i ) ( i ) (4.38) umaralı bağıtı, (4.36) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, birici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları aşağıdaki bağıtı ile elde edilir (Shu ve Richards, 99a, 99b; Shu, ). A i () ( ) M i ( i ) () ( i ) M ( ) (4.39) ( M ) ( ) ()( i ) ( i ) M i (4.35) umaralı bağıtı, (4.5) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, ikici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları içi aşağıdaki ifade elde edilir. ( ) ( i, ) () ( ) B i (4.4) M (4.37) umaralı bağıtı kullaılarak, ( ) (, ) ifadesi (,, 3,, ) olmak i üzere, aşağıdaki gibi elde edilir.

56 ( ) (, ) i ( ) ( ( ) ) i ( i, ) ( ) M ( i ) i (4.4) ( 3 M ) ( i ) ( i ) 3 (4.4) umaralı bağıtı, (4.4) umaralı bağıtıda yerie yazılır ise, ikici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları aşağıdaki bağıtı ile elde edilir (Shu ve Richards, 99a, 99b; Shu, ). B i ( ) () ( i ) ( i, ) () ( ) M ( ) M ( i ) i (4.4) ( 3 M ) ( ) ()( i ) ( i ) 3 M i (4.39) umaralı bağıtı, (4.4) umaralı bağıtıya ait, ( i ) durumuu ifade ede ilk satırda yerie yazılır ise, ikici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları, birici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları ciside ve ( i ) durumu içi aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır (Shu, ). B i Ai Aii ( i ) (4.43) ( i ) ( i ) durumu içi, ikici mertebede türeve ait ağırlık katsayıları arasıda, aşağıdaki gibi bir ilişki kurulur (Shu, ). ( i ) Bii Bi, i (4.44)

57 Bu yaklaşımda öcelikle, ( i ) durumu içi, (4.43) umaralı bağıtı ile verile B i ağırlık katsayıları hesaplaır. Daha sora, (4.44) umaralı bağıtı kullaılarak, B ii ağırlık katsayıları elde edilir. Birici ve ikici mertebede türevler içi yukarıda elde edile ağırlık katsayılarıa bezer şekilde, m.ici mertebede türevler içi, ağırlık katsayıları aşağıda verilmiş geelleştirilmiş bağıtılar kullaılarak hesaplaır (Shu, ). ( m) ( m ) W m Ai Wii ( m ) W ( ) i ( i ) ( i,,, 3,..., ) ( m, 3,..., -) i i (4.45a) W ( m) ( m) W ( i ) ii i, i (4.45b) (4.45) umaralı bağıtıda, daha öce kullaılalarda farklı olarak ( m) W terimi i kullaılmıştır. Bu bağıtı kullaıla ( m) W terimi, m içi, A i ağırlık katsayılarıa; i m içi, B i ağırlık katsayılarıa; m 3 içi, C i ağırlık katsayılarıa ve m 4 içi, D i ağırlık katsayılarıa karşılık gelmektedir. Tek boyutlu problemlere ait türev ağırlık katsayılarıı hesabı yukarıda verile GDQM u, iki boyutlu problemlere uygulaması sırasıda, iki boyutlu DQM içi taımlamış (4.), (4.3) ve (4.4) umaralı bağıtılar kullaılır. GDQM da, DQM da olduğu gibi, tek boyutlu problemlere ait tek koordiat yöüde; iki boyutlu problemlere ait her bir koordiat yöüde, (4.5) umaralı bağıtı kullaılarak, eşit aralıklı düğüm oktası seçilebileceği gibi, (4.6) umaralı bağıtı kullaılarak, eşit aralıklı olmaya düğüm oktaları da seçilebilir (Shu ve Richards, 99a, 99b).

58 4.4 Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) Detayları yukarıda suula DQM ve GDQM da, hesaplama yapıla elema, tek bir elema olarak dikkate alımaktadır. Her iki yötemde de elemaı alt elemalara ayrılamayışı, üiform olmaya yüklemeler ve değişke kesitli sistemlerde çözümleme yapılamaması edeiyle, Striz ve arkadaşları tarafıda, DQM u devamı iteliğide yei bir metot ola, Quadrature Elema Metodu (QEM) geliştirilmiştir (Striz ve diğer., 994). QEM, süreksiz yüklemelere sahip çeşitli kiriş elemalarıı çözümüde kullaılmış olsa da, yötemde hesaplama yapıla elemaı uç oktalarıda düğüm oktası taımlamayıp, uç oktalarda küçük bir mesafe uzaklıkta düğüm oktası taımlama zorululuğu olması edeiyle, yeteri kadar yakısak souçlar elde edilememiştir (Wag ve Gu, 997). DQM u yei bir düzelemesi ola Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) u geliştirilmesiyle, DQM, GDQM ve QEM da karşılaşıla bütü zorlukları üsteside geliilmiştir. Birbiride bağımsız olarak Che (995, 996) ve Wag ve Gu (997) tarafıda geliştirile DQEM da, QEM da farklı olarak dikkate alıa elemaı her iki ucuda birer düğüm oktası taımlaır. Bu yötemde isteile her türlü yükleme koşullarıda ve kesit biçimleride çözümleme rahatlıkla yapılabilmektedir. Düğüm oktalarıı isteğe bağlı olarak seçilebilmesi, çözümü araa sistemi, birde fazla alt elemalara ayrılabilme özelliği, elemaa ait riitlik matrisii kolaylıkla kurulabilmesi, DQEM u, diğer yötemlere göre üstülüğü olarak sayılabilir. Bu özellikleri ile DQEM, diğer diferasiyel quadrature metotlarıda farklı olarak, kolaylıkla uygulaabilmekte ve elemaa etkiye yükleme biçimi e olursa olsu, kesi souçlara oldukça yakı souçlar elde edilebilmektedir. DQEM u birbiride bağımsız olarak ortaya ata iki grup arasıdaki temel farklılık; kulladıkları test foksiyouda kayaklamaktadır. Che tarafıda geliştirile DQEM da kullaıla test foksiyou, agrage iterpolasyo poliomu ike, Wag ve Gu tarafıda geliştirile DQEM da kullaıla test foksiyou ise, elema düzeyide seçile düğüm sayısıa bağlı olarak, derecesi tespit edilebile

59 kuvvet poliomlarıdır. Doktora tezi kapsamıda, deplasma ve kesit dömesi foksiyoları içi test foksiyou olarak, Wag ve Gu tarafıda öerile kuvvet poliomları kullaılmıştır. DQEM da, her elema içi, dikkate alıacak düğüm oktası sayısıı belirleye temel etke, elemaı üzerideki yüklemei tipidir. Elema üzerideki yük, tekil yük ve/veya tekil momet ise, tekil yük ve mometi buluduğu her oktada düğüm oktası taımlamak zoruludur. Euler-Beroulli ve Timosheko kiriş teorisi kullaılarak elde edile, dördücü mertebede diferasiyel hareket deklemide olduğu gibi, elema üzerideki yük, düzgü yayılı yük ise, e az üç düğüm oktası; üçge ya da trapez yayılı yük ise, e az dört düğüm oktası; ikici derecede parabolik yayılı yük ise, e az beş düğüm oktası seçilmedir (Wag ve Gu, 997). Bu tezde olduğu gibi, çözümü araa diferasiyel hareket deklemi altıcı mertebede bir diferasiyel deklem ise, elema üzeride düzgü yayılı yük olması durumuda e az beş; üçge ya da trapez yayılı yük olması durumuda e az altı; ikici derecede parabolik yayılı yük mevcut olması durumuda e az yedi düğüm oktası seçilmelidir. Geelleştirilecek oluursa, DQEM kullaılarak çözümü araa,.ici mertebede bir diferasiyel deklem ise, elema üzeride düzgü yayılı yük olması durumuda e az (-) adet; üçge ya da trapez yayılı yük olması durumuda () adet ve ikici derecede parabolik yayılı yük olması durumuda () adet düğüm oktası seçilmelidir. Euler-Beroulli ve Timosheko kiriş teorisi kullaılarak elde edile dördücü mertebede diferasiyel hareket deklemii çözümüde, elema riitlik matrisi oluşturma aşamasıda, elde edile diferasiyel deklem, her ara düğüm oktasıa uygulaırke, sadece elemaa ait başlagıç ve bitiş düğüm oktalarıdaki eğilme mometi ve kesme kuvveti ifadeleri dikkate alıır (Wag ve Gu, 997). Bu kural,.ici mertebede bir diferasiyel deklemi çözümüde de geçerli olduğuda, tez kapsamıda, elde edile diferasiyel hareket deklemleri, her ara düğüm oktasıa uygulaırke, elemaa ait ilk ve so düğüm oktalarıdaki eğilme mometi, yüksek mertebede momet ve kesme kuvveti ifadeleri kullaılmıştır.

6 DQEM kullaılarak yapıla statik aalizde, her elema içi, ara düğüm oktaları taımlamaz ise, elde edile deklemler, Solu Elema Metodu kullaılarak elde edile deklemlerle ayıdır. Acak, DQEM u kullaılarak yapıla serbest titreşim ve burkulma aalizleride, elde edile deklemler ile Solu Elemalar Metodu kullaılarak elde edile deklemler arasıda herhagi bir bezerlik yoktur (Wag ve Gu, 997). 4.4. DQEM u Elastik Zemie Otura Tek Açıklıklı Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması Tez kapsamıda dikkate alıa model, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiş elastik zemie otura ve hareket deklemi, altıcı mertebede bir diferasiyel deklemle ifade edilebile Reddy-Bickford kirişidir. Bir öceki bölümde geel kuralları suula DQEM u, Reddy-Bickford kirişie ait bu modele uygulaabilmesi içi, elema düzeyide başlagıç ve bitiş oktaları dahil olmak üzere, e az beş düğüm oktasıa gereksiim vardır. Diğer bir değişle, 5 olmalıdır. Bu durumda, elastik zemie otura, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişie ait riitlik matrisi, [() ()] boyutuda, kare bir matristir. Tek açıklıklı, düğüm oktasıa sahip, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişi Şekil 4. de suulmuştur. w P 3 P z T M C S w( z, t) T M M h, M h, Şekil 4. Elastik zemie otura, tek açıklıklı ve düğüm oktalı Reddy- Bickford kirişi

6 Burada T, M ve M h, sırasıyla, () umaralı düğüm oktasıı kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii; T, M ve M h, ise sırasıyla, () umaralı düğüm oktasıı kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii göstermektedir. DQEM u, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy- Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması aşamasıda, toplam düğüm oktasıa sahip bir elemaa ait deplasma foksiyou içi, (4.46a) bağıtısı; kesit dömesi foksiyou içi, (4.46b) bağıtısı ile verile çözüm foksiyoları kabul edilir (Wag ve Gu, 997; Fraciosi ve Tomasiello, 7). w () z h () z w h () z w h () z w (4.46a) () k () z φ z φ (4.46b) Burada h (z), deplasma foksiyoua ait ().ici derecede test foksiyouu; k (z), kesit dömesi foksiyou içi (-).ici derecede test foksiyouu göstermektedir. Deplasma ve kesit dömesi foksiyoları içi kabul edile test foksiyoları aşağıda suula koşulları sağlamalıdır (Wag ve Gu, 997): h h ( z ) h ( z ) ; h ( z i ) δi ( i,,, 3,..., ) i ( z ) h ( z ) (,, 3,..., ) ; h ( z ) (4.47a) h k ( z) h ( z ) ; h ( z) ( ) δi (,,, 3,..., ) z i i (4.47b)

6 (4.46) umaralı bağıtı ile verile deplasma ve kesit dömesi foksiyolarıı, i.ici düğüm oktasıdaki, k.ici mertebede türevleri aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır: ( ) ( ) ( ) ( ) i k k i k k i k k i k k w z z dz h d w z z dz h d w z z dz h d z z dz w d (4.48a) ( ) ( ) φ φ i k k i k k z z dz k d z z dz d (4.48b) (4.48a) ve (4.48b) umaralı bağıtılar kapalı formda; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) k i i k i k i k i k w A w z h w z h w z h z w (4.49a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ k i i k i k B z k z (4.49b) bağıtılarıyla ifade edilir. Burada A (k) matrisi, i.ici düğüm oktasıdaki deplasma foksiyouu, k.ici mertebede türevie ait, () adet satır ve () adet sütuda oluşa ağırlık katsayıları matrisii; B (k) matrisi, i.ici düğüm oktasıdaki kesit dömesi foksiyouu, k.ici mertebede türevie ait, () adet satır ve sütuda oluşa ağırlık katsayıları matrisii göstermektedir. DQEM u özelliği gereği, elde edile diferasiyel deklemler, her ara düğüm oktasıa uygulamaktadır. Elemaa ait ilk ve so düğüm oktalarıda ise, eğilme mometi, yüksek mertebede momet ve kesme kuvveti ifadeleri dikkate alıdığı içi, başlagıç ve bitiş düğüm oktalarıda, deplasma, eğim ve kesit dömesi ifadeleri; ara düğüm oktalarıda ise, sadece deplasma ve kesit dömesi ifadeleri

63 bilimeye olarak dikkate alımıştır. Toplam bilimeye sayısı, düğüm oktasıa sayısıa bağlı olarak, () bağıtısıyla hesaplaır. Elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişii, serbest titreşimie ait hareket deklemleri, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak, (z) boyutsuz koum değişkeie göre aşağıdaki gibi yazılır. 4 d w dz 3 () z 6 d φ() z 56 d w( z) 4 5 dz 3 β Pr π 5 dz 56 dφ β 5 dz () z 4 ( λ α) w() z (4.5a) d 3 w dz () z 7 d φ() z 7 dw( z) 3 7 β β φ() z (4.5b) 4 dz dz Elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişie ait M(z), eğilme mometi foksiyou; M h (z), yüksek mertebede momet foksiyou ve T(z), kesme kuvveti foksiyou, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak, (z) boyutsuz koum değişkeie göre aşağıdaki bağıtılarla ifade edilir. () M z () z 6 EI dφ( z) EI d w P w(z) (4.5a) dz 5 dz M h () z () z 68 EI dφ( z) 6 EI d w (4.5b) 5 dz 5 dz EI T() z 3 3 d w z 3 dz () 6EI d φ( z) P dw( z) 5 dz dz 8AG φ 5 () z dw() z dz (4.5c) (4.49) ve (4.5) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, () umaralı başlagıç düğüm oktasıa ait kuvvetler vektörüü oluştura; kesme

64 kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. ( ) ( ) () () φ φ 3 3 w A 5 AG 8 w A P B 5 EI 6 w A EI T (4.5a) ( ) () w P B 5 EI 6 w A EI M φ (4.5b) ( ) () φ, h B 5 EI 68 w A 5 EI 6 M (4.5c) (4.49) ve (4.5) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, ara düğüm oktalarıa hareket deklemleri uygulaması soucuda, aşağıdaki bağıtılar elde edilir. ( ) ( ) ( ) ( ) () φ β π β φ α λ i i r 3 i 4 i m 4 B 5 56 w A P 5 56 B 5 6 w A w (4.53a) ( ) ( ) () m i i 3 i 7 w A 7 B 4 7 w A φ β β φ (m, 3,, -) (4.53b) (4.49) ve (4.5) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, () umaralı so düğüm oktasıa ait kuvvetler vektörüü oluştura; kesme kuvveti,

65 eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. ( ) ( ) () () φ φ 3 3 w A 5 AG 8 w A P B 5 EI 6 w A EI T (4.54a) ( ) () w P B 5 EI 6 w A EI M φ (4.54b) ( ) () φ, h B 5 EI 68 w A 5 EI 6 M (4.54c) Şekil 4. de verile düğüm oktasıa sahip kirişe ait, (4.5), (4.53) ve (4.54) umaralı bağıtılar, matris formda aşağıda suulmuştur.

66 ( ) ( ) () () ( ) () ( ) () ( ) ( ) () () ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () φ β β φ φ β π β φ φ β β φ φ β π β φ φ φ φ φ φ φ φ φ 7 w A 7 B 4 7 w A B 5 56 w A P 5 56 B 5 6 w A 7 w A 7 B 4 7 w A B 5 56 w A P 5 56 B 5 6 w A B 5 EI 68 w A 5 EI 6 w P B 5 EI 6 w A EI w A 5 AG 8 w A P B 5 EI 6 w A EI B 5 EI 68 w A 5 EI 6 w P B 5 EI 6 w A EI w A 5 AG 8 w A P B 5 EI 6 w A EI,, 3,,, r 3, 4, 3 r 3 4 3 3 3 3 M M (4.55) T M M h, T M M h, ( ) 4 w α λ ( ) 4 w α λ M M

67 (4.55) umaralı bağıtı, kapalı formda aşağıdaki gibi gösterilir. [ ] [ ] [ ] [ ] { } { } { } ( ) []{ } δ α λ δ δ i 4 e i ii ie ei ee S F K K K K e (4.56) Burada e idisi, kiriş elemaıı başlagıç ve bitiş oktalarıı; i idisi ise, ara düğüm oktalarıı göstermektedir. [K ee ], [K ei ], [K ie ] ve [K ii ] alt matrislerii elemaları, (4.55) umaralı eşitliği so tarafıdaki terimleri açılımıda elde edilmektedir. {δ e } ve {F e } sırasıyla, elemaı başlagıç ve bitiş uç düğüm oktalarıa ait deplasma ve kuvvet vektörüü; {δ i }, elemaı ara düğüm oktalarıa ait deplasma vektörüü göstermektedir. Bu vektörler ile (4.56) umaralı bağıtıdaki [S] matrisi aşağıda taımlamıştır. { } { } h, h, T e M M T M M T F (4.57a) { } { } T e w w w w φ φ δ (4.57b) { } { } 3 3 T i w... w w φ φ φ δ (4.57c) [] ( ) ( ) [ ], S K K K M M M M M K K K K K K (4.57d) (4.56) umaralı bağıtıdaki çarpım işlemii yapılmasıyla, [ ] { } [ ] { } { } e i ei e ee F K K δ δ (4.58a)

68 4 [ K ] { δ } [ K ] { δ } ( λ α) [ S] { δ } ie (4.58b) e ii i i bağıtıları elde edilir. (4.58a) umaralı bağıtı kullaılarak, elema uç deplasma vektörü, { δ } [ K ] { F } [ K ] { δ } e ee e ei i (4.59) olarak elde edilir. (4.59) umaralı bağıtıı, (4.58b) umaralı bağıtıda yerie yazılmasıyla, 4 [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] { δ } ( λ α) []{ S δ } [ K ] [ K ] { F } ii ie ee ei i i ie ee e (4.6) bağıtısı elde edilir. Elemaı uç deplasma veya kuvvet değerleri, sıır koşullarıa bağlı olarak sıfır olduğu veya elimie edilebildiği içi, [ K ] [ K ] { F } ie ee e ifadesi, (4.6) umaralı bağıtıda kaldırılabilir. Bu durumda, çeşitli sıır koşulları içi (4.6) umaralı bağıtı; 4 [[ Kˆ ] ( λ α) [] S ] { δ } { } (4.6) i olarak yazılır. Burada [ Kˆ ] matrisi, elastik zemie otura, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişie ait, idirgemiş sistem global riitlik matrisii göstermekte olup, aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. [ Kˆ ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] ii ie ee ei (4.6)

69 (4.6) umaralı bağıtı, DQEM u, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması problemii, özdeğer problemie idirgemiş olduğuu göstermektedir. (4.6) umaralı bağıtıı çözümü ile frekas faktör değerleri ve bua bağlı olarak, açısal frekas değerleri elde edilir. DQEM u, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması aşamasıda, eşit aralıklı olmaya düğüm oktası seçimi kullaılmış olup, seçile düğüm oktalarıı koumu aşağıdaki bağıtı ile hesaplamıştır. i z i cos ( i,, 3,..., ) π (4.63) 4.4. DQEM u Elastik Zemie Otura Değişke Kesitli Reddy-Bickford Kirişii Serbest Titreşim Aalizie Uygulaması Şekil 4. de, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, farklı iki kesite sahip Reddy-Bickford kirişi gösterilmiştir. Kirişi, kesitii değiştiği oktada itibare iki elemaa ayrılması tercih edilmiştir. Kirişi her elemaı adet düğüm oktasıa sahiptir.

7 w P 3 P z T, ( z, t) CS w T, T, ( z, t) CS w T, M, M, M, M, M h,, M h,, M h,, M h,, Şekil 4. Elastik zemie otura, değişke kesitli Reddy-Bickford kirişi Burada T,, M, ve M h,, sırasıyla, açıklığıdaki birici elemaı, () umaralı düğüm oktasıa ait kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii; T,, M, ve M h,, ise sırasıyla, ayı elemaı, () umaralı düğüm oktasıa ait kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii göstermektedir. Bezer şekilde; T,, M, ve M h,, sırasıyla, açıklığıdaki ikici elemaı, () umaralı düğüm oktasıa ait kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii; T,, M, ve M h,, ise sırasıyla, ayı elemaı, () umaralı düğüm oktasıa ait kesme kuvvetii, eğilme mometii ve yüksek mertebede momet değerii göstermektedir. DQEM kullaılarak, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizide, toplam düğüm oktasıa sahip her iki elemaa ait deplasma foksiyou içi, (4.64a) bağıtısı; kesit dömesi foksiyou içi, (4.64b) bağıtısı ile verile çözüm foksiyoları kabul edilir.

7 w (4.64a) ( z ) h,( z ) w, h, ( z ) w, h, ( z ) w, φ ( ) k ( z ) φ (, ) z (4.64b),, Burada h, (z ),.ici elemaı, deplasma foksiyoua ait ().ici derecede test foksiyouu; k, (z ),.ici elemaı, kesit dömesi foksiyoua ait (-).ici derecede test foksiyouu göstermektedir. Deplasma ve kesit dömesi foksiyoları içi kabul edile test foksiyoları, (,) olmak üzere, aşağıda verile koşulları sağlamalıdır. h h ( z, ) h, ( z, i ) ; h,( z,i ) δ, i, ( z ) h ( z ) (,, 3,..., ),,,, ( i,,, 3,..., ) (4.65a) ; h ( z ),, h k ( z ) h ( z ) ; ( z ),,,,, ( z,i ) δ, i h,, (,,, 3,..., ) i (4.65b) (4.64) umaralı bağıtı ile verile.ici elemaa ait deplasma ve kesit dömesi foksiyolarıı, i.ici düğüm oktasıdaki, k.ici mertebede türevleri aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır: d k dz w k ( z ), z,i ( z z,i ) k d k h d dz k h dz, k w, d k h, ( z z,i ) w, ( z z,i ) w, dz k (4.66a)

7 d k φ k dz, ( z z,i ) ( z z,i ) k d k k dz φ, (4.66b) (4.66a) ve (4.66b) umaralı bağıtılar kapalı formda, w ( k ) ( k ( ) ) ( k ) z,i h, ( z,i ) w, h, ( z,i ) h w, ( k ) ( k ), ( z,i ) w, A,i w, (4.67a) φ ( k ) ( k ( ) ) ( k ) i k, ( z,i ) φ, B,i z φ (4.67b), (k) bağıtılarıyla ifade edilir. Burada A matrisi,.ici elemaı, i.ici düğüm oktasıdaki deplasma foksiyouu, k.ici mertebede türevie ait, () adet satır (k) ve () adet sütuda oluşa ağırlık katsayıları matrisii; B matrisi,.ici elemaı, i.ici düğüm oktasıdaki kesit dömesi foksiyouu, k.ici mertebede türevie ait, () adet satır ve sütuda oluşa ağırlık katsayıları matrisii göstermektedir. Elde edile diferasiyel deklemler, her elemaı ara düğüm oktalarıa uygulamaktadır. Her elemaı başlagıç ve bitiş düğüm oktalarıda, deplasma, eğim ve kesit dömesi ifadeleri; ara düğüm oktalarıda ise, sadece deplasma ve kesit dömesi ifadeleri bilimeyelerdir. Elema düzeyide toplam bilimeye sayısı, düğüm oktasıa sayısıa bağlı olarak, () bağıtısıyla; sisteme ait toplam bilimeye sayısı ise, her elemaıı düğüm oktasıa sahip olması koşuluyla ve toplam elema sayısı olmak üzere, [.(-)3] bağıtısı ile hesaplaır. Elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, değişke kesitli Reddy- Bickford kirişii serbest titreşime ait hareket deklemleri, değişkelerie ayırma

73 yötemi kullaılarak, (z) boyutsuz koum değişkeie göre, her elema içi aşağıdaki gibi yazılır. d 4 w dz 3 ( z ) 6 d φ ( z ) 56 ( ) d w ( z ) 4 5 3 dz 56 β 5 5 β dφ dz P ( z ) 4 ( λ α ) w ( z ) r π dz (4.68a) 3 d w dz ( z ) 7 d φ ( z ) 7 dw ( z ) 3 4 dz β dz 7 β (, ) φ ( z ) (4.68b) Elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, değişke kesitli Reddy- Bickford kirişii.ici elemaıa ait M (z ), eğilme mometi foksiyou; M h, (z ), yüksek mertebede momet foksiyou ve T (z ), kesme kuvveti foksiyou, değişkelerie ayırma yötemi kullaılarak, (z) boyutsuz koum değişkeie göre aşağıdaki bağıtılarla ifade edilir. M ( z ) ( z ) 6 EI dφ ( z ) EI, d w, P w (z ) (4.69a) dz 5 dz M h, ( z ) ( z ) 68 EI dφ ( z ) 6 EI, d w, (4.69b) 5 dz 5 dz T ( z ) EI, 3 d 3 w dz ( z ) 6 EI d φ ( z ) P dw ( z ) 3, 5 dz 8 AG 5 φ ( z ) dz dw dz ( z ) (4.69c) Her kiriş elemaıı, k.ici mertebede türevlerie ait ağırlık katsayıları matrislerii hesapladıkta sora, (4.67) ve (4.69) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki birici elemaıı, () umaralı

74 başlagıç düğüm oktasıa ait, kesme kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. T, EI, 3 ( 3) 6 EI, ( ) P () A, w, B, φ, A, w 5, 8 AG 5 φ, () A w,, (4.7a) M EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5,,, P w, φ (4.7b) 6 EI ( ), 68 EI, () M h,, A, w, B, φ, (4.7c) 5 5 (4.67) ve (4.68) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki birici elemaıı, ara düğüm oktalarıa hareket deklemlerii uygulaması soucuda, aşağıdaki bağıtılar elde edilir. 4 ( 4) 6 ( 3) ( λ α ) w,m A,i w, B,i 56 β 5 () ( ) 56 () Pr π A,i w, β B,i φ 5 5 φ,, (4.7a) ( 3) 7 ( ) 7 () 7 A,i w, B,i φ, β A,i w, β φ 4,m (m, 3,, -) (4.7b) (4.67) ve (4.69) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki birici elemaıı, () umaralı so düğüm oktasıa ait kesme

75 kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. T, EI, 3 ( 3) 6 EI, ( ) P () A, w, B, φ, A 5 8 AG 5 φ, () A,, w, w, (4.7a) M EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5,,, P w, φ (4.7b) 6 EI, ( ) 68 EI, () M h,, A, w, B, φ, (4.7c) 5 5 (4.67) ve (4.69) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki ikici elemaıı, () umaralı başlagıç düğüm oktasıa ait kesme kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. T, EI, 3 ( 3) 6 EI, ( ) P () A, w, B, φ, A 5, w, 8 AG 5 φ, () A, w, (4.73a) M EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5,, φ, P w, (4.73b)

76 6 EI ( ), 68 EI, () M h,, A, w, B, φ, (4.73c) 5 5 (4.67) ve (4.68) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki ikici elemaıı, ara düğüm oktalarıa hareket deklemleri uygulaır ise, aşağıdaki bağıtılar elde edilir. 4 ( 4) 6 ( 3) ( λ α ) w,m A,i w, B,i 56 β 5 ( ) ( ) 56 () Pr π A,i w, β B 5 5 φ,,i φ, (4.74a) ( 3) 7 ( ) 7 () 7 A,i w, B,i φ, β A,i w, β φ 4,m (m, 3,, -) (4.74b) (4.67) ve (4.69) umaralı bağıtılar kullaılarak, Şekil 4. de verile kirişi, açıklığıdaki ikici elemaıı, () umaralı so düğüm oktasıa ait kesme kuvveti, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet ifadeleri sırasıyla, aşağıdaki bağıtılar ile hesaplaır. T, EI, 3 ( 3) 6 EI, ( ) P () A, w, B, φ, A 5 8 AG 5 φ, () A, w,, w, (4.75a) M EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5,,, P w, φ (4.75b)

77 6 EI, ( ) 68 EI, () M h,, A, w, B, φ, (4.75c) 5 5 Kirişe ait global riitlik matrisii kurulabilmesi içi,.ici elema ile ().ici elema arasıdaki ortak düğüm oktasıda, süreklilik koşulları yazılmalıdır (Wag ve Gu, 997; Karami ve diğer., 3; Che, 6). Şekil 4. de verile Reddy- Bickford kirişii, açıklığıdaki birici elemaıı, () umaralı düğüm oktası ile ayı kirişi, açıklığıdaki ikici elemaıı, () umaralı düğüm oktası, her iki elema arasıdaki ortak düğüm oktası olması edeiyle, bu oktada süreklilik koşulları aşağıdaki gibi yazılır. w (4.76a), w, φ (4.76b), φ, w (4.76c), w, T,, T (4.76d) M (4.76e) M,, M (4.76f) M h,, h,, (4.76d-f) umaralı bağıtıları açık formu sırasıyla, aşağıda suulmuştur.

78 EI, 3 8 AG 5 6 EI 5 8 AG 5, φ φ ( 3) 6 EI, ( ) P φ () A, w, B,, A 5,, () EI, ( 3 A ), w, 3 A ( ) P φ () B,, A () A, w,, w,, w,, w, (4.77a) EI, EI, ( ) 6 EI, () A, w, B 5 ( ) 6 EI, () A, w, B 5,, φ φ,, P w P w,, (4.77b) 6 EI 5, 6 EI 5, ( ) 68 EI, () A, w, B 5 ( ) 68 EI, () A, w, B 5,, φ, φ, (4.77c) Şekil 4. de verile Reddy-Bickford kirişie ait global kuvvetler vektörü, {F} aşağıda suulmuştur.

79 {} F T M M,, h,, T, M, M h,, T, M, M h,, T, M, M w, M M w, w, M M w, h,, 4 ( λ α ) ( λ α ) 4 ( λ α ) ( λ α ) 4 4 (4.78) Şekil 4. de verile Reddy-Bickford kirişie ait global riitlik matrisi ile deplasma ve kuvvet vektörleri, kapalı formda aşağıdaki gibi gösterilir. [ K ee ] [ K ei ] [ K ] [ K ] ie ii { δ } { δ } { F } ( ) [ ] { } e e (, ) (4.79) 4 i λ α S δi Burada e idisi, kiriş elemalarıı başlagıç ve bitiş uç oktalarıı; i idisi ise, ara düğüm oktalarıı göstermektedir. { δ e } ve { F e } ve bitiş uç düğüm oktalarıa ait deplasma ve kuvvet vektörüü; { δ } sırasıyla, elemaları başlagıç i, elemaları ara düğüm oktalarıa ait deplasma vektörüü göstermektedir. Bu vektörler ile (4.79) umaralı bağıtıdaki [ S ] matrisi aşağıda taımlamıştır.

8 T { } { T M M T M M } F (4.8a) e,, h,,,,,h, T { δ } { w φ w w w φ φ w w w φ w } e,,,,,,,,,,,, (4.8b) T { δ } { w φ w φ... w φ w φ w φ... w φ } i,,,3,3,,,,,3,3,, (4.8c) [ S ] M M M M M K K K K K K K K K [ 4( ),4 ( )] (4.8d) (4.79) umaralı bağıtıdaki çarpım işlemii yapılmasıyla, [ K ] { δ } [ K ] { δ } { F } ee (4.8a) e ei i 4 [ K ] { δ } [ K ] { δ } ( λ α ) [ S] { δ } ie e ii i e (4.8b) i bağıtıları elde edilir. (4.8a) umaralı bağıtı kullaılarak, elemalara ait uç deplasma vektörü, { δ } [ K ] { F } [ K ] { δ } e ee e ei i (4.8) olarak elde edilir.

8 (4.8) umaralı bağıtıı, (4.8b) umaralı bağıtıda yerie yazılmasıyla, 4 [ K ii ] [ K ie ] [ K ee ] [ K ei ] { δi} ( λ α ) [ S] { δi} [ K ie ] [ K ee ] { F e } (4.83) bağıtısı elde edilir. Kirişe ait uç deplasma veya kuvvet değerleri, sıır koşullarıa bağlı olarak sıfır olduğu veya elimie edilebildiği içi, [ K ] [ K ] { F } ie ee e ifadesi, (4.83) umaralı bağıtıda kaldırılabilir. Bu durumda, çeşitli sıır koşulları içi (4.83) umaralı bağıtı, [[ K ~ 4 ] ( λ α ) [ S] ] { δ } {} (4.84) i olarak yazılabilir. Burada [ K ~ ] matrisi, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, iki elemaa ayrılmış Reddy-Bickford kirişie ait, idirgemiş sistem global riitlik matrisii göstermekte olup, aşağıdaki bağıtı ile hesaplaır. [ K ~ ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] ii ie ee ei (4.85) (4.84) umaralı bağıtı, DQEM u, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, iki elemaa ayrılmış Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması problemii, özdeğer problemie idirgemiş olduğuu göstermektedir. (4.84) umaralı bağıtıı çözümü ile frekas faktör değerleri ve bua bağlı olarak, açısal frekas değerleri elde edilir.

BÖÜM BEŞ SAYISA UYGUAMAAR Tez kapsamıda, daha öceki bölümlerde suula aalitik çalışmalar kullaılarak, aşağıdaki sayısal uygulamalar gerçekleştirilmiştir. 5. Örek : Aalitik Çözüme İlişki Sayısal Uygulamalar Kapalı formda, iç tesirleri ikici bölümde elde edile elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit dikdörtge e kesitli ve ekseel basıç kuvveti etkisideki kirişi serbest titreşimie ait açısal frekas ve deplasmaları, aalitik yötem kullaılarak hesaplamıştır. Her bir kiriş ucuda üç tae olmak üzere, toplam altı adet sıır koşulu bağıtısıa gereksiim vardır. C, C, C 3, C 4, C 5 ve C 6 katsayılarıı içere bu altı adet koşulu, katsayılar matrisii determiatıı sıfır kıla her ω değeri, elastik kirişi serbest titreşimie ait açısal frekasları olacaktır. Bu amaçla, Şekil 5. de suula ve. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli,. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli, 3. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli, olmak üzere, üç farklı kiriş dikkate alımıştır. Elastik zemi üzerie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı, uçları yukarıda belirtile üç farklı meset koşulua sahip Reddy-Bickford kirişi özellikleri aşağıda suulmuştur: h,5 m; b, m ; m,74 t.s /m EI,96875 tm ; 4 AG 5,7 to ; 5 8

83 w a. m, EI, AG 5 m; 7,5 m C S b. m, EI, AG 5 m; 7,5 m C S c. m, EI, AG z 5 m; 7,5 m C S Şekil 5.a. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş b. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş c. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş Kiriş açıklığı sırasıyla, 5, m ve 7,5 m olarak alımıştır. Mesetleme türü açısıda üç farklı kiriş içi, ekseel basıç kuvveti boyutsuz çarpım faktörü sırasıyla, P r,5 ve P r,5; kirişleri oturduğu elastik zemii yatak katsayısı sırasıyla, 5 t/m 3 ve t/m 3 olarak alımıştır. Kiriş uçlarıı sabit veya hareketli mesetli olması halide sıır koşulları aşağıda suulmuştur. w () z (5.a)

84 M () z (5.b) M h () z (5.c) Kiriş uçlarıı akastre veya kayıcı akastre mesetli olması halide sıır koşulları aşağıda suulmuştur. w () z (5.a) () z w (5.b) φ () z (5.c) Reddy-Bickford kiriş teorisi kullaılarak elde edile açısal frekas değerlerii Timosheko kiriş teorisi kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri ile kıyaslamak amacıyla dikdörtge kesitli bir kirişi k, şekil faktörüe ihtiyaç vardır. Dikdörtge kesitli ve kesmeli eğilmeye maruz bir kiriş içi literatürde değişik şekil faktörleri taımlamıştır (Gruttma ve Wager, ; Soldatos ve Sophocleous, ). Bu çalışma kapsamıda, dikdörtge kesiti şekil faktörü içi kullaılmıştır. 6 k değeri 5 Reddy-Bickford kiriş teorisi kullaılarak elde edile, elastik zemie otura, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kirişi serbest titreşimie ait ilk o mod açısal frekas değerleri, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak hesaplaa ayı kirişi açısal frekas değerleri ile sırasıyla, C S 5 t/m ve C S t/m olmak üzere karşılaştırmalı olarak, Tablo 5. ve Tablo 5. de suulmuştur. Elastik zemie otura, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kirişi, Reddy-Bickford kiriş teorisie göre hesaplamış açısal frekas değerleri, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak hesaplamış açısal frekas değerleri

85 ile karşılaştırmalı olarak, C S 5 t/m içi Tablo 5.3 de; C S t/m içi Tablo 5.4 de suulmuştur. Bir ucu (z) akastre mesetli, diğer ucu (z) hareketli mesetli kirişi, her iki kiriş teorisie göre hesaplamış açısal frekas değerleri, karşılaştırmalı olarak, C S 5 t/m içi Tablo 5.5 de; C S t/m içi Tablo 5.6 da suulmuştur.

Tablo 5. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S 5 t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 56,6 56,559 37,7444 38,666,5,96 6,758 6,85 ω 79,44 73,4354 73,98 78,484 376,8455 377,4 367,53 368,9 ω 3 538,58 54,478 5,34 5,6445 74,9436 743,88 73,6 733,944 ω 4 56,74 569,36 534,45 548,683 54,668 55,7793 4,7767 46,9 ω 5 376,689 3733,4 3696,68 374,99 874,96 876,868 86,99 867,499 ω 6 4975,7979 4978,8568 494,8486 496,4453 578,4378 58,669 565,889 57,86 ω 7 674,668 669,45 639, 653,37 3343,4596 3344,3 333,935 3335,766 ω 8 76,733 758,749 7563,48 7566,873 45,9866 45,5578 439,463 443,48 ω 9 8944,635 89,53 893,4359 8888,69 4994,9 4988,536 4979,4455 498,7877 ω 96,956,6553 5,7797 9,847 5856,99 5845,885 584,5844 5837,7677 86

Tablo 5. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 48,66 48,455 47,447 47,9477 4,889 4,843 4,5869 4,6355 ω 85,934 87,9 783,79 787,9 59,646 59,9338 5,554 53,5 ω 3 575,833 58,7 549,697 558,876 88,3435 89,948 88,47 8,796 ω 4 585,679 59,848 557,3655 57,6738 3,3485 3,875 89,69 9,3986 ω 5 374,449 3748,7754 37,9976 373,66 96,478 97,937 894,53 898,6878 ω 6 4987,63 499,6649 4954,745 4973,947 6,656 6,9788 588,769 594,73 ω 7 684,47 678,837 648,548 66,7767 336,8 336,876 3347,9 3353,3648 ω 8 769,454 7589,54 757,8 7574,645 467,355 465,76 453,344 457,695 ω 9 895,3 898,666 89,444 8894,8888 55,784 5,889 499,5 499,59 ω 3,678 8,45 58,59 5,65 5866,954 5855,499 585,658 5847,847 87

Tablo 5.3 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S 5 t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 44,88 44,64 48,5584 43,67 68,375 68,467 64,779 64,558 ω 57,6533 57,9677 38,346 4,78 53,44 53,634 5,6437 53,544 ω 3 94,77 9,776 9,967 94,473 957,3 956,7736 947,996 948,9688 ω 4 956,46 94,79 93,648 96,77 5,455 499,973 49,55 49,974 ω 5 499,374 469,633 47,74 454,35 37,3686 3,787 6,5354 3,885 ω 6 538,755 566,378 586,987 55,6465 84,498 83,8395 83,4394 83,88 ω 7 6587,399 657,58 6553,374 6493,543 3599,535 358,488 3587,94 3573,593 ω 8 789,84 7775,776 785,7685 776,48 4396,86 4367,576 4383,69 436,465 ω 9 95,97 959,5 974,7935 946,684 53,8695 58,986 59,8 575,88 ω 555,9489 35,3 5,43 338,936 67,996 65,949 658,95 69,94 88

Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 558,95 559,545 548,9838 55,595 435,5693 435,6553 433,53 433,54 ω,934,4 93,5646 97,37 63,73 63,8877 65,9 65,9546 ω 3 955,59 95,74 93,895 935,39 6,763 6,4333 8,7 9,9 ω 4 975,8879 96,65 95,64 946,38 54,734 538,6497 53,9479 53,936 ω 5 43,757 484,69 485,54 468,759 64,73 59,638 54,366 5,476 ω 6 539,38 577,5357 598,5 56,846 86,6855 85,556 85,59 843,9543 ω 7 6596,3 656,545 656,33 65,575 365,8458 3596,8835 363,58 3589,4949 ω 8 7897,548 7783,937 786,64 777,6 44,894 438,76 4397,6 4373,8845 ω 9 9,5949 965,6964 98,68 953,88 535,5 593,379 5,79 586,444 ω 56,535 355,6985 57,9989 343,8855 68,677 65,7 667,7997 69,8 89

Tablo 5.5 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S 5 t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 334,3946 335,76 38,885 39,85 3,799 3,86 8,78 8,369 ω 89,365 89, 868,4586 873,35 449,48 449,857 44,83 44,7547 ω 3 73,438 733,46 77,96 74,5663 848,466 848,766 838,798 839,99 ω 4 76,34 759,4893 735,4798 74,4643 377,93 377,897 367,68 369,6 ω 5 396,3 395,98 3886,778 3888,64 6,8984 5,455 995,53 996,87 ω 6 549,5488 55,89 57,54 59,83 7,564 77,97 699,4534 698,9389 ω 7 643,895 639,7787 6398,7 6375,788 347,956 3464,8 346,47 3456,57 ω 8 7747,574 768,87 779,3647 7666,5 476,43 46,68 46,73 453,638 ω 9 98,794 898,633 939,949 8968,499 5,99 586,695 595,844 579,46 ω 46,933 86,987 383,63 74,6745 5965,98 593,685 595,7948 594,759 9

Tablo 5.6 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford ve Timosheko kirişlerii ilk o mod açısal frekas değerleri, C S t/m 5, m 7,5 m ω i (rad/s) P r,5 P r,5 P r,5 P r,5 RBT TBT RBT TBT RBT TBT RBT TBT ω 479,4 479,58 468,48 469,53 44,5779 44,63 4,47 4,57 ω 954,87 955,735 933,778 938,5 565,4674 565,767 558,678 559,346 ω 3 766,53 767,363 74,836 748,559 95, 95,4364 95,778 97,795 ω 4 783,53 78,7377 756,933 76,853 4,5 49,97 49,68 4,439 ω 5 393,336 39,3348 39,894 393,37 36,6 34,5447 4,87 6,854 ω 6 56,9664 537,93 58,999 5,394 733,78 78,885 7,77 7,66 ω 7 644,384 6399,983 647,3 6385,33 3489,89 348,677 3477, 3473,4 ω 8 7754,754 7687,947 776,9959 7673,94 489,9856 475,54 476,569 467,448 ω 9 987,99 8988,84 946,4337 8975,598 5,646 598,534 57,34 59,9765 ω 43,5568 9,7 388,776 8,46 5975,7598 594,596 596,778 5934,643 9

9 7,5 m, P r,5 ve C S t/m olmak üzere, elastik zemie otura, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii ilk beş moda ait mod şekilleri, Şekil 5. de; bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii ilk beş moda ait mod şekilleri, Şekil 5.3 de ve bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii ilk beş moda ait mod şekilleri, Şekil 5.4 de suulmuştur. Sıır koşullarıı tamamı içi mod şekilleri, düşey deplasma değerlerii, e büyük düşey deplasma değerie göre ormalleştirilmiş durumlarıa göre çizilmiştir.. mod. mod 3. mod 4. mod 5. mod ormalleştirilmiş Düşey Deplasmalar,,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - -,,,,3,4,5,6,7,8,9 Boyutsuz Koum Parametresi (z) Şekil 5. Elastik zemie otura, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk beş moda ait ormalleştirilmiş mod şekilleri, 7,5 m, P r,5 ve C S t/m

93. mod. mod 3. mod 4. mod 5. mod ormalleştirilmiş Düşey Deplasmalar,,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - -,,,,3,4,5,6,7,8,9 Boyutsuz Koum Parametresi (z) Şekil 5.3 Elastik zemie otura, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk beş moda ait ormalleştirilmiş mod şekilleri, 7,5 m, P r,5 ve C S t/m

94. mod. mod 3. mod 4. mod 5. mod ormalleştirilmiş Düşey Deplasmalar,,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - -,,,,3,4,5,6,7,8,9 Boyutsuz Koum Parametresi (z) Şekil 5.4 Elastik zemie otura, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk beş moda ait ormalleştirilmiş mod şekilleri, 7,5 m, P r,5 ve C S t/m 5. Örek : DTM a İlişki Sayısal Uygulamalar Tez kapsamıda, 3. bölümde suula DTM a ait aalitik çalışmalar dikkate alıarak,. Tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli (Şekil 5.5a),. Tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli (Şekil 5.5b), 3. Tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli (Şekil 5.5c),

95 4. İki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetli (Şekil 5.5d) olmak üzere, dört farklı kirişi açısal frekas değerleri, farklı ekseel basıç kuvvetleri, farklı zemi yatak katsayıları ve farklı riitlik oraları içi DTM kullaılarak elde edilmiştir. w a. m, EI, AG 3 m C S b. m, EI, AG 3 m C S c. m, EI, AG 3 m C S d. k C k C 3 k C C θ m, EI,, AG m, EI,, AG m C S m R C θ z Şekil 5.5a. Tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş b. Tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş c. Tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş d. İki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylarla mesetli kiriş

96 Sayısal uygulama kapsamıda dikkate alıa farklı sıır koşularıa sahip, elastik zemie otura, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişii (Şekil 5.5a, b, c) özellikleri aşağıda suulmuştur. m,5968 t.s /m; ve,5 ; α,,, ve 3 EI,9 tm ; 3, m; β, ve ; P r,5 Farklı sıır koşullarıa sahip, tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişi içi, α rölatif riitlik değerie bağlı olarak, (3.6b) bağıtısı kullaılarak hesaplaa C S değerleri Tablo 5.7 de suulmuştur. Tablo 5.7 Farklı sıır koşullarıa sahip, tek açıklıklı Reddy- Bickford kirişi içi, zemi yatak katsayısı ile kiriş geişliğii çarpımıda elde edile (C S ) değerlerii, rölatif riitlik (α) değerlerie bağlı değişimi C 4 S α C S (t/m ) EI.345679.345679 3.345679 4.345679 5.345679 Sayısal uygulama kapsamıda dikkate alıa elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş kirişi (Şekil 5.5d) özellikleri aşağıda suulmuştur. m,5968 t.s /m; m,5484 t.s h /m;, 5 ; 3, m;, m; h 3,,9 EI t.m ; EI,,375 t.m ; f, 5 ; k C.7 t/m; 5

97 k C,4 t/m; 5 α,,, ve 3 5 k C,875 t/m; β, ve ; ( ) P,5 ve,5; r İki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş kiriş içi, α rölatif riitlik değerie bağlı olarak, (3.b) bağıtısı kullaılarak hesaplaa C S değerleri Tablo 5.8 de suulmuştur. Tablo 5.8 İki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş kiriş içi, zemi yatak katsayısı ile kiriş geişliğii çarpımıda elde edile (C S ) değerlerii, rölatif riitlik (α ) değerlerie bağlı değişimi, 4 CS α C S (t/m ) EI.9399.9399.9399 3.9399 4.9399 Tek açıklıklı Reddy-Bickford kirişie ait açısal frekas değerlerii aalitik yötem kullaılarak hesaplaabilmesi içi, [66] boyudaki katsayılar matrisie; iki açıklıklı Reddy-Bickford kirişie ait açısal frekas değerlerii aalitik yötem ile hesaplaabilmesi içi ise, [] boyudaki katsayılar matrisie gereksiim vardır. Diğer bir değişle; aalitik yötem kullaılarak açısal frekas değerleri hesaplaırke, bölge sayısı ile doğru oratılı bir şekilde katsayılar matrisii boyutu büyümektedir. DTM da aalitik yötemde farklı olarak, Reddy-Bickford kirişie ait açısal frekas değerlerii hesaplaması içi gerekli ola katsayılar matrisii boyutu, bölge sayısıda bağımsız olup, daima [33] boyutudadır. Tek açıklıklı bir kiriş içi DTM da, (z) oktasıdaki sıır koşulları başlagıçta kullaılır ve sadece (z) oktasıdaki sıır koşullarıa bağlı olarak elde edile katsayılar matrisii determiatıı sıfır kıla her ω değeri, elastik kirişi serbest titreşim açısal frekas

98 değeri olarak hesaplaır. İki açıklıklı bir kiriş içi DTM da, (z ) oktasıdaki sıır koşulları başlagıçta; ( ) ve sadece ( ) z oktasıdaki süreklilik koşulları arada kullaılır z oktasıdaki sıır koşullarıa bağlı olarak elde edile katsayılar matrisii determiatıı sıfır kıla her ω değeri, elastik kirişi serbest titreşim açısal frekas değeri olarak hesaplaır. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişie ait sıır koşulları aşağıda suulmuştur. ( z ) w (5.3a) ( z ) w (5.3b) ( z ) φ (5.3c) ( z ) w (5.3d) ( z ) w (5.3e) ( z ) φ (5.3f) Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait sıır koşulları aşağıda suulmuştur. ( z ) w (5.4a) ( z ) w (5.4b) ( z ) φ (5.4c)

99 ( z ) w (5.4d) ( z ) M (5.4e) ( z ) M h (5.4f) Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait sıır koşulları aşağıda suulmuştur. ( z ) w (5.5a) ( z ) M (5.5b) ( z ) M h (5.5c) ( z ) w (5.5d) ( z ) M (5.5e) ( z ) M h (5.5f) Şekil 5.5d de verile, elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy- Bickford kirişie ait sıır koşulları aşağıda suulmuştur. ( z ) C φ ( z ) M θ (5.6a) ( z ) M h, (5.6b)

( ) ( ) z w k z T C (5.6c) ( ) z w z w (5.6d) ( ) z w z w (5.6e) ( ) z z φ φ (5.6f) ( ) z M z M (5.6g) ( ) z M z M h h (5.6h) ( ) ( ) z T z w k z T C (5.6i) φ θ z C z M R (5.6) z M, h (5.6k) z w k z T 3 C (5.6l) C θ ve R C θ ; f, sayısal değeri yay bağlatısıı türüe göre, sıfır ile bir arasıda değişe, dömeye karşı elastik yay katsayıları içi boyutsuz çarpım

faktörüü göstermek üzere, aşağıdaki bağıtılar kullaılarak hesaplaır (Moforto ve Wu, 963). 3 EI, f Cθ (5.7a) ( f ) R 3 EI, f Cθ (5.7b) ( f ) Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişie ait (5.3a) - (5.3f) sıır koşulları, (3.9a) ve (3.9b) bağıtıları kullaılarak, trasfer foksiyoları ciside aşağıdaki gibi yazılır. z içi W ( ) (5.8a) W () (5.8b) Φ ( ) (5.8c) z içi k ( k) W (5.8d) ( ) W( k) k k (5.8e) k ( ) Φ k (5.8f)

Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre mesetli, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait (5.4a) - (5.4f) sıır koşulları, (3.9) ve (3.) bağıtılarıda ilgili olaları kullaılarak, trasfer foksiyoları ciside aşağıdaki gibi yazılır. z içi W ( ) (5.9a) W () (5.9b) Φ ( ) (5.9c) z içi k ( k) W (5.9d) k ( k) M (5.9e) k ( k) M h (5.9f) Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait (5.5a) - (5.5f) sıır koşulları, (3.9) ve (3.) bağıtılarıda ilgili olaları kullaılarak, aşağıdaki gibi trasfer foksiyoları ciside yazılır. z içi W ( ) (5.a)

3 W ( ) (5.b) Φ () (5.c) z içi k ( k) W (5.d) k ( k) M (5.e) k ( k) M h (5.f) Bezer şekilde; elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişie ait (5.6a) - (5.6l) sıır koşulları, (3.5) ve (3.6) bağıtılarıda ilgili olaları kullaılarak, aşağıdaki gibi trasfer foksiyoları ciside yazılır. z içi ( ) C Φ ( ) M θ (5.a) M ( ) h (5.b) ( ) k W ( ) T C (5.c)

4 z ve z içi k k ( k) W ( ) z W (5.d) k ( k) W ( ) k W k z (5.e) k k ( k) Φ ( ) z Φ (5.f) k k ( k) M ( ) z M (5.g) k k ( k) M ( ) z M h, h, (5.h) k k ( k) k W ( ) T ( ) z T C (5.i) z içi k R k M ( k) Cθ z Φ ( k) k k z (5.) k k ( k) z M h, (5.k)

5 k k T ( k) k C z W ( k) k k z (5.l) Tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi ile bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi, W ( ) c, Φ ( ) c ve Φ ( ) c3 diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi, () c ; bir ucu (z) sabit, W, Φ ( ) c ve Φ ( ) c3; iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişi içi ise, W ( ), () c ( ) 3 c c W ve Φ olmak üzere, sıır koşulları farklı dört kiriş içi elde edile deklemler, her kiriş içi ayrı ayrı olmak üzere, matris formda aşağıdaki gibi gösterilir. A A A ( ) ( ( ) ) ( ω A ( ω) A ) ( ω) ( ) ( ( ) ) ( ω A ( ω) A ) ( ω) c c ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ω A ω A ω c3 3 3 33 3 3 (5.) (5.) umaralı bağıtı ile verile katsayıları matrisii determiatıı sıfır kıla her ω değeri, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki elastik kirişi serbest titreşim açısal frekas değeri olarak elde edilir. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DTM kullaılarak elde edile ilk üç mod açısal frekas değerleri ile aalitik yötem kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.9-Tablo 5.4 de suulmuştur. Ayı sıır koşulua sahip kirişi, farklı β ve P r değerleri içi ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, Şekil 5.6 Şekil 5. de suulmuştur.

Tablo 5.9 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 6,554 337,8758 554,595 7,9696 343,957 558,368 67,93 399,659 594,539 7 6,557 337,8736 554,678 7,9698 343,9484 558,3997 67,934 399,65 594,338 7 6,557 333,8733 554,6887 7,9698 343,9483 558,4 67,934 399,657 594,348 74 6,557 337,8733 554,6897 7,9698 343,9483 558,4 67,934 399,657 594,345 76 6,557 337,8733 554,6899 7,9698 343,9483 558,4 67,934 399,657 594,348 Aalitik Metot 6,557 337,8733 554,6899 7,9698 343,9483 558,4 67,934 399,657 594,348 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 696,885 757,5788 875,98 5,798 7,657 5,77 DTM 7 696,886 757,5778 876,39 5,799 7,654 5,735 7 696,886 757,5777 876,399 5,799 7,653 5,734 74 696,886 757,5777 876,44 5,799 7,653 5,7344 76 696,886 757,7777 876,4 5,799 7,653 5,7345 Aalitik Metot 696,886 757,7777 876,4 5,799 7,653 5,7345 6

Tablo 5. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 4,936 55,585 446, 3,68 63,499 45,644 4,68 33,6683 494,4674 7 4,936 55,585 446,76 3,68 63,499 45,6469 4,68 33,6683 494,474 7 4,936 55,585 446,8 3,68 63,499 45,6474 4,68 33,6683 494,476 74 4,936 55,585 446,8 3,68 63,499 45,6475 4,68 33,6683 494,479 76 4,936 55,585 446,83 3,68 63,499 45,6476 4,68 33,6683 494,473 Aalitik Metot 4,936 55,585 446,83 3,68 63,499 45,6476 4,68 33,6683 494,473 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 687,654 74,48 8,64 48,8 6,39 9,577 DTM 7 687,654 74,48 8,67 48,8 6,39 9,58 7 687,654 74,48 8,674 48,8 6,39 9,588 74 687,654 74,48 8,675 48,8 6,39 9,589 76 687,654 74,48 8,676 48,8 6,39 9,59 Aalitik Metot 687,654 74,48 8,676 48,8 6,39 9,59 7

Tablo 5. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 69,44 355,633 578,48 8,973 36,469 58,5968 7,3445 44,775 66,783 7 69,646 355,49 58,35 8,9936 36,696 584,7844 7,3583 44,655 69,88 7 69,649 355,47 58,745 8,9939 36,5 585,54 7,3584 44,6366 69,63 74 69,649 355,477 58,7674 8,9939 36,499 585,366 7,3584 44,6344 69,697 76 69,649 355,477 58,766 8,9939 36,499 585,346 7,3584 44,6344 69,689 Aalitik Metot 69,649 355,477 58,766 8,9939 36,499 585,346 7,3584 44,6344 69,689 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 698,838 765,66 89,9985 5,838 74,4588,697 DTM 7 698,843 765,5973 893,83 5,8397 74,436,575 7 698,8436 765,589 893,393 5,8399 74,433,65 74 698,8436 765,588 893,43 5,8399 74,438,6678 76 698,8436 765,588 893,499 5,8399 74,438,667 Aalitik Metot 698,8436 765,588 893,499 5,8399 74,438,667 8

Tablo 5. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 6,46 78,479 479,65 4,864 85,83 483,37 48,87 35,8697 54,436 7 6,437 78,466 479,596 4,865 85,84 483,895 48,833 35,869 54,953 7 6,437 78,464 479,6746 4,865 85,8 483,978 48,833 35,8598 55,38 74 6,437 78,464 479,685 4,865 85,8 483,9833 48,833 35,8598 55,38 76 6,437 78,464 479,6854 4,865 85,8 483,9836 48,833 35,8598 55,337 Aalitik Metot 6,437 78,464 479,6854 4,865 85,8 483,9836 48,833 35,8598 55,337 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 689,745 733,6 83,885 48,9 63,795 98,94 DTM 7 689,7453 733, 83,588 48,93 63,783 98,38 7 689,7453 733,5 83,574 48,93 63,779 98,55 74 689,7453 733,5 83,5799 48,93 63,779 98,568 76 689,7453 733,5 83,583 48,93 63,779 98,575 Aalitik Metot 689,7453 733,5 83,583 48,93 63,779 98,575 9

Tablo 5.3 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 76,73 378,8 547,5 87,45 384,49 55,659 76,664 434,8 587,638 7 76,959 37,7857 59,6835 88,94 378,997 596,67 77,66 49,5699 69,9488 7 77,79 37,99 64,84 88,4 377,55 68,34 77,3436 48,88 64,374 74 77,957 37,884 66,948 88,474 377,46 6,389 77,354 48,7884 643,3558 76 77,957 37,8837 66,949 88,474 377,4 6,39 77,354 48,7877 643,356 Aalitik Metot 77,957 37,8837 66,949 88,474 377,4 6,39 77,354 48,7877 643,356 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 7,534 776,73 87,53 5,3887 78,373 3,9449 DTM 7 7,769 773,7786 9,579 5,466 77,333 5,5497 7 7,85 773,3959 98,676 5,4766 77,94 8,87 74 7,856 773,3459 9,68 5,4779 77,76 9,389 76 7,856 773,345 9,7 5,4779 77,76 9,384 Aalitik Metot 7,856 773,345 9,7 5,4779 77,76 9,384

Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 36,995 3,737 484,339 5,9 37,5465 488,589 53,598 368,7888 59,83 7 37,585 99,6 55, 5,469 36,4366 59,938 53,6679 367,8637 548,459 7 37,78 99,45 59,8 5,4345 36,9 53,8474 53,6773 367,747 55,6839 74 37,783 99,4333 5,698 5,4348 36,77 54,656 53,6786 367,764 553,478 76 37,783 99,439 5,68 5,4348 36,693 54,658 53,6786 367,744 553,4377 Aalitik Metot 37,783 99,439 5,68 5,4348 36,693 54,658 53,6786 367,744 553,4377 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 69,746 74,764 833,75 49,5454 66,58 99,76 DTM 7 69,7736 74,39 845,579 49,554 66,8 3,8685 7 69,777 74,43 848,394 49,5553 65,98 4,953 74 69,7775 74,37 848,855 49,5555 65,9775 5,9 76 69,7775 74,37 848,87 49,5555 65,977 5,43 Aalitik Metot 69,7775 74,37 848,87 49,5555 65,977 5,43

6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.6 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.7 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

3 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.8 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.9 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

4 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy- Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DTM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötemi kullaılması soucuda elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.5-Tablo 5. de suulmuştur. Ayı sıır koşulua sahip kirişi, farklı β ve P r değerleri içi ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, Şekil 5. Şekil 5.7 de suulmuştur.

Tablo 5.5 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 66 8,886 36,635 54,6847 44,63 3,7455 58,67 49,347 38,556 566,44 68 8,886 36,65 54,6387 44,6 3,747 58,575 49,347 38,5573 566,3995 7 8,886 36,654 54,6334 44,6 3,7473 58,566 49,347 38,5574 566,394 7 8,886 36,654 54,633 44,6 3,7473 58,565 49,347 38,5575 566,3934 74 8,886 36,654 54,639 44,6 3,7473 58,5649 49,347 38,5575 566,393 Aalitik Metot 8,886 36,654 54,639 44,6 3,7473 58,5649 49,347 38,5575 566,393 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66 69, 748,9 857,3563 49,487 68,368 8,44 DTM 68 69,9 748,97 857,38 49,486 68,368 8,43 7 69,9 748,98 857,345 49,486 68,3685 8,48 7 69,9 748,98 857,34 49,486 68,3685 8,47 74 69,9 748,98 857,34 49,486 68,3685 8,45 Aalitik Metot 69,9 748,98 857,34 49,486 68,3685 8,45 6

Tablo 5.6 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 66 66,7846 3,639 4,75 9,748 39,463 47,73 3,657 34,3 464,655 68 66,7846 3,64 4,785 9,748 39,464 47,763 3,657 34,3 464,649 7 66,7846 3,64 4,777 9,748 39,464 47,756 3,657 34,3 464,6486 7 66,7846 3,64 4,776 9,748 39,464 47,755 3,657 34,3 464,6485 74 66,7846 3,64 4,776 9,748 39,464 47,755 3,657 34,3 464,6485 Aalitik Metot 66,7846 3,64 4,776 9,748 39,464 47,755 3,657 34,3 464,6485 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66 68,34 76,9 793,7933 46,96 57,5394 84,59 DTM 68 68,34 76, 793,7898 46,96 57,5394 84,5 7 68,34 76, 793,7894 46,96 57,5394 84,56 7 68,34 76, 793,7893 46,96 57,5394 84,55 74 68,34 76, 793,7893 46,96 57,5394 84,55 Aalitik Metot 68,34 76, 793,7893 46,96 57,5394 84,55 7

Tablo 5.7 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 66 35,9678 333,398 553,836 5,43 339,4859 557,548 53,8 395,869 593,539 68 35,9585 333,44 55,58 5,4 339,5684 555,797 53,753 395,8877 59,88 7 35,9575 333,448 55,85 5,49 339,579 555,55 53,747 395,8969 59,6548 7 35,9574 333,456 55,7777 5,48 339,583 555,569 53,746 395,8977 59,64 74 35,9574 333,458 55,778 5,48 339,584 555,59 53,746 395,8978 59,63 Aalitik Metot 35,9574 333,458 55,778 5,48 339,584 555,59 53,746 395,8978 59,63 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66 69,5583 755,56 875,4856 49,4849 7,93 5,55 DTM 68 69,557 755,599 874,376 49,4847 7,9359 5,757 7 69,5565 755,64 874,98 49,4844 7,936 5,55 7 69,5563 755,646 874,983 49,4843 7,9378 5,7 74 69,5563 755,647 874,954 49,4843 7,9379 5,59 Aalitik Metot 69,5563 755,647 874,954 49,4843 7,9379 5,59 8

Tablo 5.8 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 66 79,84 53,854 447,798,55 6,8853 45,38 7,8965 33,6689 495,9993 68 79,8388 53,87 447,389,5489 6,97 45,6479 7,896 33,688 495,3848 7 79,8387 53,879 446,939,5487 6,936 45,5498 7,896 33,6834 495,346 7 79,8387 53,873 446,9377,5487 6,939 45,549 7,896 33,6835 495,939 74 79,8387 53,873 446,9376,5487 6,939 45,5476 7,896 33,6835 495,934 Aalitik Metot 79,8387 53,873 446,9376,5487 6,939 45,5476 7,896 33,6835 495,934 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66 68,7449 74,8 85,5384 46,6657 6,48 9,439 DTM 68 68,7445 74,77 8,634 46,6655 6,5 9,649 7 68,7444 74,84 8,44 46,6654 6,53 9,468 7 68,7444 74,85 8,84 46,6654 6,54 9,446 74 68,7444 74,85 8,76 46,6654 6,54 9,443 Aalitik Metot 68,7444 74,85 8,76 46,6654 6,54 9,443 9

Tablo 5.9 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 4,49 348,83 586,3335 56,855 354,778 589,8537 56,637 48,9566 63,978 7 4,3673 349,433 578,4373 56,385 355,38 58,98 56,575 49,37 66,5659 7 4,368 349,36 577,46 56,35 355,87 58,9763 56,573 49,356 65,5944 74 4,3597 349,364 577,5 53,38 355,865 58,855 56,57 49,365 65,456 76 4,3597 349,364 577,495 56,38 355,865 58,853 56,57 49,365 65,453 Aalitik Metot 4,3597 349,364 577,495 56,38 355,865 58,853 56,57 49,365 65,453 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 69,8556 76,57 896,49 49,97 73,357 3,865 DTM 7 69,8449 76,767 89,674 49,8993 73,433,7974 7 69,8436 76,74 89,594 49,8988 73,437,57 74 69,8434 76,746 89,495 49,8987 73,4335,493 76 69,8434 76,746 89,4947 49,8987 73,4335,49 Aalitik Metot 69,8434 76,746 89,4947 49,8987 73,4335,49

Tablo 5. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) DTM 68 9,4885 74,365 485,93,45 8,84 489,3439 3,846 347,684 59,979 7 9,4686 74,5593 479,84,5 8,5 483,385 3,8338 347,777 54,48 7 9,466 74,5844 478,3,3 8,6 48,57 3,839 347,796 53,6773 74 9,4658 74,5875 478,989,3 8,89 48,53 3,838 347,794 53,676 76 9,4658 74,5879 478,987,3 8,93 48,5 3,838 347,7943 53,6757 Aalitik Metot 9,4658 74,5879 478,987,3 8,93 48,5 3,838 347,7943 53,6757 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68 684,75 73,4655 833,75 47,879 6,6545 99,3439 DTM 7 684,689 73,5384 89,7893 47,87 6,679 98,58 7 684,686 73,5486 89,738 47,87 6,683 97,8339 74 684,685 73,549 89,736 47,869 6,687 97,8336 76 684,685 73,549 89,76 47,869 6,688 97,8335 Aalitik Metot 684,685 73,549 89,76 47,869 6,688 97,8335

6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

3 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.4 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

4 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.6 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.7 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DTM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötemi kullaılmasıyla elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.-Tablo 5.3 de suulmuştur. Ayı sıır koşulua sahip kirişi, farklı β ve P r değerleri içi ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, Şekil 5.8 Şekil 5.3 de suulmuştur.

Tablo 5. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 99,636 --- --- 8,639 --- --- 35,5573 --- --- 99,667 --- --- 8,635 --- --- 35,573 --- --- 4 99,6589 --- --- 8,6336 --- --- 35,57 --- --- 6 99,6589 93,95 --- 8,6336 3,734 --- 35,57 36,58 --- DTM 8 99,6589 94,59 --- 8,6336 3,6 --- 35,57 363,357 --- 99,6589 93,9553 --- 8,6336 3,98 --- 35,57 363,796 --- 99,6589 93,968 --- 8,6336 3,955 --- 35,57 363,857 --- 4 99,6589 93,963 498,38 8,6336 3,95 5,584 35,57 363,853 54,67 6 99,6589 93,963 496,688 8,6336 3,95 5,767 35,57 363,853 54,539 8 99,6589 93,963 496,793 8,6336 3,95 5,948 35,57 363,853 54,76 3 99,6589 93,963 496,778 8,6336 3,95 5,944 35,57 363,853 54,6899 3 99,6589 93,963 496,7743 8,6336 3,95 5,959 35,57 363,853 54,693 34 99,6589 93,963 496,774 8,6336 3,95 5,958 35,57 363,853 54,69 Aalitik Metot 99,6589 93,963 496,774 8,6336 3,95 5,958 35,57 363,853 54,69 6

Tablo 5. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 685,3397 --- --- 47,493 --- --- 685,345 --- --- 47,494 --- --- 4 685,3449 --- --- 47,4939 --- --- 6 685,3449 738,693 --- 47,4939 65,98 --- DTM 8 685,3449 739,748 --- 47,4939 65,4 --- 685,3449 739,368 --- 47,4939 65,7 --- 685,3449 739,398 --- 47,4939 65,79 --- 4 685,3449 739,396 84,555 47,4939 65,8,36 6 685,3449 739,396 84,4677 47,4939 65,8,95 8 685,3449 739,396 84,575 47,4939 65,8,9534 3 685,3449 739,396 84,5646 47,4939 65,8,9495 3 685,3449 739,396 84,5655 47,4939 65,8,9499 34 685,3449 739,396 84,5654 47,4939 65,8,9498 Aalitik Metot 685,3449 739,396 84,5654 47,4939 65,8,9498 7

Tablo 5.3 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3,9953 --- --- 7,4335 --- --- 5,69 --- --- 3,88 --- --- 7,475 --- --- 5,747 --- --- 4 3,783 --- --- 7,4696 --- --- 5,74 --- --- 6 3,783 3,78 --- 7,4696 3,85 --- 5,74 39,578 --- DTM 8 3,783 4,9446 --- 7,4696 33,973 --- 5,74 3,7 --- 3,783 4,835 --- 7,4696 33,8539 --- 5,74 3,8 --- 3,783 4,833 --- 7,4696 33,863 --- 5,74 3,99 --- 4 3,783 4,836 49,584 7,4696 33,866 44,697 5,74 3,94 46,8675 6 3,783 4,836 47,337 7,4696 33,866 4,39 5,74 3,94 459,8759 8 3,783 4,836 47,567 7,4696 33,866 4,69 5,74 3,94 46,749 3 3,783 4,836 47,54 7,4696 33,866 4,595 5,74 3,94 46,557 3 3,783 4,836 47,549 7,4696 33,866 4,593 5,74 3,94 46,573 34 3,783 4,836 47,547 7,4696 33,866 4,59 5,74 3,94 46,57 Aalitik Metot 3,783 4,836 47,547 7,4696 33,866 4,59 5,74 3,94 46,57 8

Tablo 5.4 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 678,7683 --- --- 45,397 --- --- 678,773 --- --- 45,44 --- --- 4 678,77 --- --- 45,454 --- --- 6 678,77 74,334 --- 45,454 56,89 --- DTM 8 678,77 74,3989 --- 45,454 56,949 --- 678,77 74,367 --- 45,454 56,993 --- 678,77 74,3638 --- 45,454 56,933 --- 4 678,77 74,3636 79,646 45,454 56,93 --- 6 678,77 74,3636 79,5 45,454 56,93 83,936 8 678,77 74,3636 79,9 45,454 56,93 83,53 3 678,77 74,3636 79,97 45,454 56,93 83,5533 3 678,77 74,3636 79,5 45,454 56,93 83,549 34 678,77 74,3636 79,6 45,454 56,93 83,5495 Aalitik Metot 678,77 74,3636 79,6 45,454 56,93 83,5495 9

Tablo 5.5 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,769 --- ---,956 --- --- 37,776 --- --- 4,8 --- ---,984 --- --- 37,798 --- --- 4 4,798 --- ---,984 --- --- 37,79 --- --- 6 4,798 39,535 ---,984 36,55 --- 37,79 375,9948 --- DTM 8 4,798 3,578 ---,984 37,7 --- 37,79 376,87 --- 4,798 3,498 ---,984 37,3 --- 37,79 376,765 --- 4,798 3,475 ---,984 37,88 --- 37,79 376,738 --- 4 4,798 3,47 55,478,984 37,84 59,445 37,79 376,734 567,767 6 4,798 3,47 53,6768,984 37,84 57,667 37,79 376,734 565,584 8 4,798 3,47 53,868,984 37,84 57,84 37,79 376,734 565,6798 3 4,798 3,47 53,844,984 37,84 57,787 37,79 376,734 565,663 3 4,798 3,47 53,8455,984 37,84 57,784 37,79 376,734 565,6647 34 4,798 3,47 53,8454,984 37,84 57,784 37,79 376,734 565,6645 Aalitik Metot 4,798 3,47 53,8454,984 37,84 57,784 37,79 376,734 565,6645 3

Tablo 5.6 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 686,55 --- --- 47,7368 --- --- 686,3 --- --- 47,7387 --- --- 4 686, --- --- 47,7386 --- --- 6 686, 745,3693 --- 47,7386 67,3966 --- DTM 8 686, 745,7794 --- 47,7386 67,5377 --- 686, 745,7386 --- 47,7386 67,536 --- 686, 745,748 --- 47,7386 67,549 --- 4 686, 745,746 --- 47,7386 67,547 8,66 6 686, 745,746 857,849 47,7386 67,547 8,747 8 686, 745,746 856,7398 47,7386 67,547 8,86 3 686, 745,746 856,859 47,7386 67,547 8,44 3 686, 745,746 856,84 47,7386 67,547 8,48 34 686, 745,746 856,849 47,7386 67,547 8,47 Aalitik Metot 686, 745,746 856,849 47,7386 67,547 8,47 3

Tablo 5.7 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 44,8439 --- --- 78,44 --- --- 8,3 --- --- 44,9 --- --- 78,479 --- --- 8,68 --- --- 4 44,967 --- --- 78,477 --- --- 8,6 --- --- 6 44,967 44,9356 --- 78,477 53,498 --- 8,6 34,8935 --- DTM 8 44,967 46,78 --- 78,477 54,355 --- 8,6 35,7558 --- 44,967 45,96 --- 78,477 54,4 --- 8,6 35,6667 --- 44,967 45,9697 --- 78,477 54,5 --- 8,6 35,6739 --- 4 44,967 45,969 44,38 78,477 54,495 446,7976 8,6 35,6734 49,9668 6 44,967 45,969 439,9333 78,477 54,495 444,659 8,6 35,6734 488,983 8 44,967 45,969 44,558 78,477 54,495 444,836 8,6 35,6734 489,85 3 44,967 45,969 44,343 78,477 54,495 444,848 8,6 35,6734 489,63 3 44,967 45,969 44,36 78,477 54,495 444,866 8,6 35,6734 489,648 34 44,967 45,969 44,36 78,477 54,495 444,865 8,6 35,6734 489,646 Aalitik Metot 44,967 45,969 44,36 78,477 54,495 444,865 8,6 35,6734 489,646 3

Tablo 5.8 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 679,545 --- --- 45,6489 --- --- 679,5459 --- --- 45,653 --- --- 4 679,5456 --- --- 45,65 --- --- 6 679,5456 7,943 --- 45,65 59,83 --- DTM 8 679,5456 7,33 --- 45,65 59,48 --- 679,5456 7,9 --- 45,65 59,348 --- 679,5456 7,95 --- 45,65 59,356 --- 4 679,5456 7,95 89,476 45,65 59,358 9,74 6 679,5456 7,95 88,74 45,65 59,358 89,864 8 679,5456 7,95 88,395 45,65 59,358 89,87 3 679,5456 7,95 88,3835 45,65 59,358 89,8668 3 679,5456 7,95 88,3845 45,65 59,358 89,867 34 679,5456 7,95 88,3844 45,65 59,358 89,867 Aalitik Metot 679,5456 7,95 88,3844 45,65 59,358 89,867 33

Tablo 5.9 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9,597 --- --- 6,858 --- --- 39,797 --- --- 9,986 --- --- 6,8393 --- --- 39,894 --- --- 4 9,968 --- --- 6,8378 --- --- 39,886 --- --- 6 9,968 34,634 --- 6,8378 33,9496 --- 39,886 389,3674 --- DTM 8 9,968 35,6449 --- 6,8378 33,9437 --- 39,886 389,834 --- 9,968 35,5445 --- 6,8378 33,845 --- 39,886 389,9 --- 9,968 35,554 --- 6,8378 33,859 --- 39,886 389,898 --- 4 9,968 35,559 55,87 6,8378 33,854 554,5743 39,886 389,896 59,7393 6 9,968 35,559 548,893 6,8378 33,854 55,757 39,886 389,896 589,97 8 9,968 35,559 549,89 6,8378 33,854 55,94 39,886 389,896 589,56 3 9,968 35,559 549,639 6,8378 33,854 55,9 39,886 389,896 589,887 3 9,968 35,559 549,65 6,8378 33,854 55,935 39,886 389,896 589,895 34 9,968 35,559 549,653 6,8378 33,854 55,937 39,886 389,896 589,9 Aalitik Metot 9,968 35,559 549,653 6,8378 33,854 55,937 39,886 389,896 589,9 34

Tablo 5.3 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 686,866 --- --- 47,969 --- --- 686,88 --- --- 47,969 --- --- 4 686,85 --- --- 47,968 --- --- 6 686,85 75,7654 --- 47,968 69,7564 --- DTM 8 686,85 75,36 --- 47,968 69,743 --- 686,85 75,6 --- 47,968 69,749 --- 686,85 75,635 --- 47,968 69,743 --- 4 686,85 75,633 873,5995 47,968 69,744 4,776 6 686,85 75,633 87,4444 47,968 69,744 4,35 8 686,85 75,633 87,563 47,968 69,744 4,36 3 686,85 75,633 87,557 47,968 69,744 4,3575 3 686,85 75,633 87,555 47,968 69,744 4,3577 34 686,85 75,633 87,556 47,968 69,744 4,3579 Aalitik Metot 686,85 75,633 87,556 47,968 69,744 4,3579 35

Tablo 5.3 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α,, β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 54,53 --- --- 84,3545 --- ---,389 --- --- 54,5899 --- --- 84,395 --- ---,335 --- --- 4 54,587 --- --- 84,396 --- ---,38 --- --- 6 54,587 63,776 --- 84,396 7,587 ---,38 339,389 --- DTM 8 54,587 64,996 --- 84,396 7,653 ---,38 34,5 --- 54,587 64,798 --- 84,396 7,58 ---,38 34,4 --- 54,587 64,8 --- 84,396 7,59 ---,38 34,4 --- 4 54,587 64,86 47,967 84,396 7,54 476,3348,38 34,9 57,995 6 54,587 64,86 469,7854 84,396 7,54 474,733,38 34,9 56,45 8 54,587 64,86 47,7 84,396 7,54 474,393,38 34,9 56,64 3 54,587 64,86 469,9857 84,396 7,54 474,377,38 34,9 56,869 3 54,587 64,86 469,9875 84,396 7,54 474,3735,38 34,9 56,885 34 54,587 64,86 469,9873 84,396 7,54 474,3734,38 34,9 56,884 Aalitik Metot 54,587 64,86 469,9873 84,396 7,54 474,3734,38 34,9 56,884 36

Tablo 5.3 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5; α, β ve P r,5 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68,494 --- --- 45,873 --- --- 68,54 --- --- 45,8745 --- --- 4 68,539 --- --- 45,8747 --- --- 6 68,539 77,558 --- 45,8747 6,336 --- DTM 8 68,539 77,977 --- 45,8747 6,4753 --- 68,539 77,99 --- 45,8747 6,46 --- 68,539 77,936 --- 45,8747 6,46 --- 4 68,539 77,934 86,468 45,8747 6,46 96,486 6 68,539 77,934 84,94 45,8747 6,46 96,83 8 68,539 77,934 85,87 45,8747 6,46 96,658 3 68,539 77,934 85,65 45,8747 6,46 96,6 3 68,539 77,934 85,75 45,8747 6,46 96,65 34 68,539 77,934 85,74 45,8747 6,46 96,66 Aalitik Metot 68,539 77,934 85,74 45,8747 6,46 96,66 37

38 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.8 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.9 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

39 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

4 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5 6. mod 5 4. mod 3. mod λ 3 α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P r,5

4 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DTM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötem kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, ( ) P ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo r 5.33 - Tablo 5.38 de suulmuştur. Ayı sıır koşulua sahip elastik kirişi, farklı β ve ( ) P değerleri içi ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, Şekil 5.4 r Şekil 5.9 da suulmuştur.

Tablo 5.33 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r,5 β ve ( ) P r α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 48,97 35,76 379,485 5,747 37,3 379,9467 67,43 34,948 388,38 DTM 3 48,97 35,793 379,7 5,749 37,347 379,9343 67,434 34,99 388,737 34 48,97 35,7965 379,933 5,749 37,35 379,9 67,434 34,997 388,378 36 48,97 35,7969 379,899 5,749 37,35 379,8966 67,434 34,998 388,34 38 48,97 35,7969 379,896 5,749 37,35 379,8964 67,434 34,998 388,338 Aalitik Metot 48,97 35,7969 379,896 5,749 37,35 379,8964 67,434 34,998 388,338 α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 8,436 434,9655 48,633 773,897 844,463 6,337 DTM 3 8,4363 434,973 48,584 773,898 844,44 6,838 34 8,4363 434,9739 48,5769 773,898 844,3957 6,9486 36 8,4363 434,974 48,5763 773,898 844,395 6,969 38 8,4363 434,974 48,576 773,898 844,395 6,9634 Aalitik Metot 8,4363 434,974 48,576 773,898 844,395 6,9634,5 4

Tablo 5.34 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r,5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 36,9369 77,7857 356,8485 38,85 79,566 357,633 56,453 96,695 365,836 3 36,937 77,7999 356,844 38,853 79,5773 357,5889 56,454 96,6936 365,4493 34 36,937 77,84 356,7998 38,853 79,5788 357,584 56,454 96,6937 365,434 36 36,937 77,85 356,7994 38,853 79,5789 357,5839 56,454 96,6938 365,3986 38 36,937 77,85 356,7993 38,853 79,5789 357,5838 56,454 96,6938 365,398 Aalitik Metot 36,937 77,85 356,7993 38,853 79,5789 357,5838 56,454 96,6938 365,398 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 76,489 46,3 45,973 77,9645 836,53 99,43 3 76,49 46,385 45,365 77,9646 836,58 99,35 34 76,49 46,39 45,95 77,9646 836,596 99,3797 36 76,49 46,393 45,83 77,9646 836,595 99,383 38 76,49 46,393 45,85 77,9646 836,595 99,3833 Aalitik Metot 76,49 46,393 45,85 77,9646 836,595 99,3833 43

Tablo 5.35 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r,5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 54,955 335,5 389,367 55,968 336,657 39,8773 7,7996 35,57 397,985 3 54,96 335,6 389,77 55,9688 336,667 39,397 7,83 35,64 397,8869 34 54,96 335,6 389,69 55,9688 336,668 39,487 7,83 35,654 397,8763 36 54,96 335,6 389,597 55,9688 336,6683 39,384 7,83 35,657 397,875 38 54,96 335,6 389,596 55,9688 336,6683 39,375 7,83 35,657 397,875 Aalitik Metot 54,96 335,6 389,596 55,9688 336,6683 39,375 7,83 35,657 397,875 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 85,485 443,594 489,3756 774,993 849,853 5,66 3 85,49 443,649 489,47 774,995 849,669 5,858 34 85,49 443,688 489,3 774,995 849,649 5,8886 36 85,49 443,693 489,36 774,995 849,647 5,89 38 85,49 443,693 489,35 774,995 849,647 5,893 Aalitik Metot 85,49 443,693 489,35 774,995 849,647 5,893 44

Tablo 5.36 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r,5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 4,833 89,497 367,976 44,647 9,9595 368,8557 6,69 37,467 376,44 3 4,834 89,543 367,9566 44,648 9,9643 368,797 6,69 37,4735 376,936 34 4,834 89,547 367,955 44,648 9,9647 368,755 6,69 37,474 376,79 36 4,834 89,548 367,955 44,648 9,9648 368,74 6,69 37,474 376,776 38 4,834 89,548 367,955 44,648 9,9648 368,74 6,69 37,474 376,775 Aalitik Metot 4,834 89,548 367,955 44,648 9,9648 368,74 6,69 37,474 376,775 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 79,33 44,86 459,3963 77,9877 84,98,3957 3 79,333 44,8398 459,93 77,9878 84,596,4644 34 79,333 44,844 459,695 77,9878 84,56,474 36 79,333 44,847 459,67 77,9878 84,556,473 38 79,333 44,847 459,669 77,9878 84,556,4733 Aalitik Metot 79,333 44,847 459,669 77,9878 84,556,4733 45

Tablo 5.37 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 59,336 343,886 399,733 6,934 345,64 399,795 76,37 358,643 47,5858 3 59,337 343,968 399,45 6,9336 345,889 399,7683 76,338 358,674 47,3457 34 59,337 343,995 399,83 6,9336 345,96 399,7656 76,338 358,6774 47,376 36 59,337 343,996 399,58 6,9336 345,9 399,7653 76,338 358,6777 47,35 38 59,337 343,996 399,55 6,9336 345,9 399,765 76,338 358,6777 47,345 Aalitik Metot 59,337 343,996 399,55 6,9336 345,9 399,765 76,338 358,6777 47,345 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 87,9656 45,847 495,7694 775,87 853,686 4,57 3 87,9664 45,9555 495,458 775,834 853,676 4,6349 34 87,9664 45,977 495,4 775,834 853,6757 4,7 36 87,9664 45,978 495,46 775,834 853,6755 4,7 38 87,9664 45,978 495,456 775,834 853,6755 4,7 Aalitik Metot 87,9664 45,978 495,456 775,834 853,6755 4,7 46

Tablo 5.38 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DTM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DTM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 48,3335 99,6363 378,6834 5,75 3,9 379,7539 66,488 37,94 386,749 3 48,3338 99,649 378,6437 5,753 3,333 379,489 66,4884 37,384 386,779 34 48,3338 99,655 378,6394 5,753 3,347 379,379 66,4884 37,34 386,736 36 48,3338 99,657 378,639 5,753 3,348 379,3748 66,4884 37,35 386,733 38 48,3338 99,657 378,639 5,753 3,348 379,3743 66,4884 37,35 386,73 Aalitik Metot 48,3338 99,657 378,639 5,753 3,348 379,3743 66,4884 37,35 386,73 DTM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 8,395 433,364 466,678 77,984 845,936,73 3 8,397 433,447 466,639 77,984 845,939,468 34 8,397 433,456 466,669 77,984 845,935,4457 36 8,397 433,457 466,663 77,984 845,934,4477 38 8,397 433,457 466,66 77,984 845,934,4479 Aalitik Metot 8,397 433,457 466,66 77,984 845,934,4479 47

48. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.4 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.5 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5

49. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.6 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.7 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5

5. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.8 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5. mod 8. mod 3. mod 6 λ 4 α Şekil 5.9 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait frekas faktörlerii değişimi, β ve P ( ) r, 5

5 5.3 Örek 3: DQEM a İlişki Sayısal Uygulamalar DTM kullaılarak sayısal çözümü elde edile ve kiriş özellikleri Örek de suula, dört farklı kirişi açısal frekas değerleri, değişik ekseel basıç kuvvetleri, zemi yatak katsayıları ve riitlik oraları içi, DQEM kullaılarak elde edilmiştir. İlk üç mod içi elde edile açısal frekas değerleri, aalitik yötemle elde edile açısal frekas değerleri ile karşılaştırılmalı olarak tablolar halide suulmuştur. Tek açıklıklı ve farklı sıır koşullarıa sahip kirişleri üzerie oturduğu zemie ait zemi yatak katsayısı ile temel geişliğii çarpımıda elde edile (C S ) değerleri içi, Tablo 5.7 de verile değerler; iki elemaa ayrılmış kirişi oturduğu zemie ait (C S ) değerleri içi, Tablo 5.8 de verile değerler dikkate alımıştır. DQEM u uygulaması aşamasıda öcelikle, serbest titreşim aalizi yapılacak her modeli, açıklık sayısıa eşit elema ya da elemalara ayrılması tercih edilmiş, her elema içi, (4.63) umaralı bağıtı ile verile eşit aralıklı olmaya düğüm oktası taımlamıştır. Çözüm aşamasıda, her elemaı başlagıç ve bitiş düğüm oktalarıda, deplasma, eğim ve kesit dömesi ifadeleri; ara düğüm oktalarıda ise, sadece deplasma ve kesit dömesi ifadeleri bilimeye olarak dikkate alımıştır. Kiriş elemaları içi, deplasma ve kesit dömesi foksiyolarıı, k.ici mertebede türevlerie ait ağırlık katsayıları matrisleri, sıır ve/veya süreklilik koşulları dikkate alıarak, sisteme ait idirgemiş global riitlik matrisi hesaplamış ve problem, özdeğer problemie idirgeerek, kirişi serbest titreşim aalizie ait frekas faktör değerleri, bu faktörlere bağlı olarak açısal frekas değerleri hesaplamıştır. Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DQEM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile Reddy-Bickford kiriş teorisi içi aalitik yötemi kullaılması soucuda elde edile açısal frekas

5 değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.39-Tablo 5.44 de suulmuştur.

Tablo 5.39 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 6,5474 337,8578 554,598 7,964 343,93 558,38 67,839 399,6 594,3 3 6,55 337,8699 554,6443 7,9689 343,9443 558,3967 67,9 399,6399 594,335 5 6,554 337,873 554,679 7,9698 343,9487 558,474 67,93 399,6494 594,34 7 6,554 337,8739 554,6887 7,9698 343,949 558,4 67,93 399,65 594,346 9 6,554 337,8739 554,6899 7,9698 343,949 558,4 67,93 399,65 594,348 Aalitik Metot 6,557 337,8733 554,6899 7,9698 343,9483 558,4 67,934 399,657 594,348 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 696,77 757,73 875,8753 5,568 7,668 5,663 3 696,7996 757,757 876,8 5,75 7,635 5,77 5 396,874 757,773 876,99 5,78 7,649 5,787 7 696,88 757,7769 876,398 5,799 7,65 5,735 9 696,88 757,7775 876,4 5,799 7,65 5,734 Aalitik Metot 696,886 757,7777 876,4 5,799 7,653 5,7345 53

Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,87 55,36 445,993 3,569 63,44 45,63 4,48 33,6453 494,4339 3 4,883 55,45 446,95 3,634 63,488 45,6379 4,6 33,6568 494,453 5 4,97 55,578 446,99 3,67 63,495 45,6465 4,65 33,66 494,4663 7 4,935 55,587 446,75 3,68 63,5 45,6473 4,65 33,6674 494,475 9 4,935 55,588 446,8 3,68 63,5 45,6476 4,65 33,6683 494,473 Aalitik Metot 4,936 55,585 446,83 3,68 63,499 45,6476 4,68 33,6683 494,473 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 687,696 74,47 8,5465 48,98 6,735 9,83 3 687,646 74,4764 8,5788 48,9 6,887 9,47 5 687,653 74,4799 8,596 48,7 6,973 9,55 7 687,653 74,48 8,67 48,7 6,36 9,587 9 687,653 74,48 8,676 48,7 6,33 9,598 Aalitik Metot 687,654 74,48 8,676 48,8 6,39 9,59 54

Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,6 355,57 58,338 8,9897 36,8 585,33 7,3558 44,574 69,3 3 69,645 355,99 58,6463 8,99 36,339 585,37 7,357 44,63 69,433 5 69,649 355,457 58,7593 8,9933 36,478 585,8 7,358 44,633 69,677 7 69,649 355,4693 58,763 8,9938 36,5 585,339 7,358 44,634 69,688 9 69,649 355,47 58,766 8,9938 36,53 585,349 7,358 44,634 69,689 Aalitik Metot 69,649 355,477 58,766 8,9939 36,499 585,346 7,3584 44,6344 69,689 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 698,84 765,549 89,96 5,8383 74,5,37 3 698,8435 765,56 893,35 5,84 74,3,538 5 698,8435 765,587 893,388 5,843 74,43,6585 7 698,8435 765,589 893,484 5,843 74,439,6657 9 698,8435 765,589 893,433 5,843 74,439,6669 Aalitik Metot 698,8436 765,588 893,499 5,8399 74,438,667 55

Tablo 5.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 6,4 78,4493 478,7578 4,864 85,7974 483,964 48,74 35,84 54,989 3 6,43 78,454 479,3 4,869 85,7989 483,9734 48,794 35,8475 55,6 5 6,433 78,4589 479,4553 4,863 85,8 483,9778 48,88 35,8549 55,9 7 6,433 78,46 479,685 4,863 85,8 483,98 48,83 35,858 55,37 9 6,433 78,46 479,6859 4,863 85,8 483,983 48,83 35,8587 55,34 Aalitik Metot 6,437 78,464 479,6854 4,865 85,8 483,9836 48,833 35,8598 55,337 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 689,749 73,488 89,49 48,8999 6,855 97,9 3 689,7448 73,8989 83,59 48,9 63,9 97,8 5 689,745 733, 83,487 48,93 63,45 98,9 7 689,745 733,9 83,5795 48,93 63,763 98,56 9 689,745 733,9 83,587 48,93 63,77 98,569 Aalitik Metot 689,7453 733,5 83,583 48,93 63,779 98,575 56

Tablo 5.43 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 77,93 37,874 66,79 88,43 377,373 6,873 77,359 48,7794 643,457 3 77,95 37,88 66,837 88,47 377,393 6,375 77,3537 48,7844 643,33 5 77,954 37,883 66,9 88,474 377,485 6,3 77,354 48,786 643,3489 7 77,954 37,8836 66,947 88,474 377,48 6,376 77,354 48,787 643,3559 9 77,954 37,8836 66,95 88,474 377,48 6,38 77,354 48,787 643,3568 Aalitik Metot 77,957 37,8837 66,949 88,474 377,4 6,39 77,354 48,7877 643,356 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 7,8 773,339 98, 5,473 76,955 9,855 3 7,849 773,339 98,935 5,4774 77,6 9,85 5 7,85 773,3438 99,7587 5,4775 77,7 9,377 7 7,85 773,3448 9,83 5,4775 77,747 9,38 9 7,85 773,3448 9,99 5,4775 77,754 9,385 Aalitik Metot 7,856 773,345 9,7 5,4779 77,76 9,384 57

Tablo 5.44 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 37,75 99,498 5,575 5,43 36,489 54,678 53,6775 367,73 553,473 3 37,779 99,454 5,5843 5,4333 36,574 54,644 53,6784 367,78 553,459 5 37,783 99,499 5,595 5,4345 36,64 54,65 53,6786 367,74 553,433 7 37,783 99,435 5,667 5,4347 36,685 54,6569 53,6786 367,745 553,437 9 37,783 99,435 5,678 5,4347 36,69 54,6577 53,6786 367,745 553,4379 Aalitik Metot 37,783 99,439 5,68 5,4348 36,693 54,658 53,6786 367,744 553,4377 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,7763 74,99 848,7837 49,559 65,9684 5,97 3 69,7774 74, 848,88 49,5547 65,975 5,4 5 69,7775 74,94 848,84 49,555 65,9763 5,96 7 69,7775 74,3 848,894 49,555 65,9767 5,37 9 69,7775 74,39 848,8 49,555 65,9767 5,46 Aalitik Metot 69,7775 74,37 848,87 49,5555 65,977 5,43 58

59 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi,. moda ait açısal frekas değerlerii, farklı β ve α değerlerie göre değişimi üç boyutlu grafik halide Şekil 5.3 da suulmuştur. ω (rad/s) β α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii,. moda ait açısal frekas değerlerii değişimi, P r,5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli ve bir ucu (z) akastre mesetli, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DQEM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötemi kullaılması soucuda elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.45- Tablo 5.5 de suulmuştur.

Tablo 5.45 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 8,8845 36,64 54,66 44,6 3,7448 58,5579 49,3457 38,559 566,388 3 8,8854 36,63 54,678 44,6 3,746 58,564 49,3469 38,5555 566,387 5 8,8857 36,646 54,634 44,6 3,747 58,563 49,347 38,5567 566,39 7 8,8857 36,65 54,63 44,6 3,7473 58,5639 49,347 38,557 566,393 9 8,8857 36,65 54,633 44,6 3,7473 58,5643 49,347 38,557 566,397 Aalitik Metot 8,886 36,654 54,639 44,6 3,7473 58,5649 49,347 38,5575 566,393 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,99 748,83 857,89 49,453 68,3548 8,375 3 69, 748,884 857,396 49,48 368,363 8,387 5 69,5 748,9 857,398 49,485 68,3678 8,3989 7 69,5 748,94 857,33 49,485 68,368 8,44 9 69,5 748,94 857,337 49,485 68,368 8,4 Aalitik Metot 69,9 748,98 857,34 49,486 68,3685 8,45 6

Tablo 5.46 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66,7837 3,5983 4,78 9,7469 39,493 47,6868 3,6557 34,5 464,633 3 66,7845 3,63 4,733 9,748 39,449 47,6937 3,6569 34,83 464,6397 5 66,7846 3,63 4,77 9,7483 39,46 47,73 3,657 34,97 464,6445 7 66,7846 3,636 4,778 9,7483 39,467 47,75 3,657 34,3 464,648 9 66,7846 3,636 4,779 9,7483 39,467 47,759 3,657 34,3 464,6488 Aalitik Metot 66,7846 3,64 4,776 9,748 39,464 47,755 3,657 34,3 464,6485 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68,345 76,939 793,7743 46,8 57,539 84,55 3 68,343 76,997 793,789 46,9 57,5359 84,537 5 68,344 76,4 793,786 46,95 57,538 84,583 7 68,344 76,9 793,7888 46,95 57,5389 84,5 9 68,344 76,9 793,7896 46,95 57,5389 84,5 Aalitik Metot 68,34 76, 793,7893 46,96 57,5394 84,55 6

Tablo 5.47 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 35,956 333,49 55,76 5,473 339,574 555,499 53,735 395,898 59,655 3 35,9569 333,437 55,7669 5,49 339,5779 555,53 53,743 395,895 59,63 5 35,957 333,45 55,77 5,4 339,5797 555,58 53,744 395,8965 59,68 7 35,957 333,46 55,775 5,48 339,583 555,5 53,744 395,897 59,63 9 35,957 333,46 55,773 5,48 339,583 555,54 53,744 395,897 59,64 Aalitik Metot 35,9574 333,458 55,778 5,48 339,584 555,59 53,746 395,8978 59,63 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,555 755,5987 874,89 49,48 7,9335 4,988 3 69,5564 755,6 874,877 49,4835 7,936 4,9939 5 69,5566 755,639 874,9 49,484 7,9376 5, 7 69,5566 755,643 874,949 49,484 7,938 5,47 9 69,5566 755,643 874,96 49,484 7,938 5,66 Aalitik Metot 69,5563 755,647 874,954 49,4843 7,9379 5,59 6

Tablo 5.48 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 79,8353 53,869 446,973,5466 6,8985 45,537 7,894 33,6793 495,89 3 79,8369 53,87 446,938,548 6,9 45,545 7,895 33,685 495,865 5 79,838 53,879 446,935,5484 6,97 45,5449 7,8959 33,689 495,9 7 79,8384 53,8735 446,9374,5484 6,934 45,5463 7,8959 33,6835 495,99 9 79,8384 53,8735 446,9383,5484 6,934 45,547 7,8959 33,6835 495,938 Aalitik Metot 79,8387 53,873 446,9376,5487 6,939 45,5476 7,896 33,6835 495,934 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68,743 74,4 8,98 46,6635 6,45 9,3 3 68,744 74,53 8,995 46,6648 6,473 9,38 5 68,744 74,7 8,44 46,665 6,49 9,49 7 68,744 74,8 8,7 46,665 6,499 9,436 9 68,744 74,8 8,83 46,665 6,499 9,448 Aalitik Metot 68,7444 74,85 8,76 46,6654 6,54 9,443 63

Tablo 5.49 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,358 349,39 577,37 56,99 355,89 58,847 56,5695 49,3575 65,4389 3 4,3594 349,349 577,389 56,3 355,84 58,89 56,578 49,3593 65,4443 5 4,3598 349,36 577,435 56,36 355,855 58,8 56,574 49,36 65,4485 7 4,3598 349,364 577,47 56,36 355,863 58,845 56,574 49,36 65,457 9 4,3598 349,364 577,489 56,36 355,863 58,859 56,574 49,36 65,459 Aalitik Metot 4,3597 349,364 577,495 56,38 355,865 58,853 56,57 49,365 65,453 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,843 76,7443 89,489 49,8974 73,493,4795 3 69,843 76,7458 89,487 49,898 73,434,484 5 69,8434 76,7464 89,497 49,8983 73,433,4874 7 69,8434 76,7464 89,494 49,8983 73,4338,4895 9 69,8434 76,7464 89,4953 49,8983 73,4338,498 Aalitik Metot 69,8434 76,746 89,4947 49,8987 73,4335,49 64

Tablo 5.5 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9,4639 74,5858 478,877,3 8,3 48,4965 3,83 347,7884 53,668 3 9,4649 74,587 478,98,5 8,69 48,56 3,834 347,799 53,6689 5 9,4654 74,5878 478,953,7 8,88 48,57 3,839 347,7938 53,677 7 9,4654 74,5878 478,98,7 8,97 48,597 3,839 347,7946 53,675 9 9,4654 74,5878 478,995,7 8,97 48,59 3,839 347,7946 53,6763 Aalitik Metot 9,4658 74,5879 478,987,3 8,93 48,5 3,838 347,7943 53,6757 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 684,663 73,5448 89,773 47,854 6,68 97,889 3 684,679 73,547 89,745 47,86 6,684 97,856 5 684,679 73,5484 89,793 47,865 6,683 97,833 7 684,686 73,5495 89,7 47,865 6,683 97,833 9 684,686 73,5495 89,733 47,865 6,683 97,8343 Aalitik Metot 684,685 73,549 89,76 47,869 6,688 97,8335 65

66 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi,. moda ait açısal frekas değerlerii farklı β ve α değerlerie göre değişimi üç boyutlu grafik halide Şekil 5.3 de suulmuştur. ω (rad/s) β α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii,. moda ait açısal frekas değerlerii değişimi, P r,5 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi, Reddy-Bickford kiriş teorisi ve DQEM kullaılarak elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile aalitik yötemi kullaılmasıyla elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, P r ve α değerleri içi karşılaştırmalı olarak Tablo 5.5-Tablo 5.56 da suulmuştur.

Tablo 5.5 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 99,658 93,96 496,769 8,633 3,94 5,989 35,57 363,89 54,6797 3 99,6589 93,96 496,774 8,6337 3,93 5,9 35,579 363,846 54,6859 5 99,6593 93,968 496,773 8,6339 3,944 5,943 35,57 363,85 54,689 7 99,6593 93,963 496,7747 8,6339 3,948 5,956 35,57 363,85 54,699 9 99,6593 93,963 496,7753 8,6339 3,948 5,963 35,57 363,85 54,699 Aalitik Metot 99,6589 93,963 496,774 8,6336 3,95 5,958 35,57 363,853 54,69 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 685,3434 739,368 84,5577 47,498 65,35,939 3 685,3446 739,383 84,568 47,4937 65,6,9435 5 685,3449 739,39 84,5637 47,4938 65,7,947 7 685,3449 739,397 84,565 47,4938 65,77,949 9 685,3449 739,397 84,5658 47,4938 65,77,95 Aalitik Metot 685,3449 739,396 84,5654 47,4939 65,8,9498 67

Tablo 5.5 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3,77 4,835 47,538 7,4689 33,8588 4,583 5,73 3,59 46,45 3 3,779 4,838 47,536 7,4693 33,863 4,586 5,74 3,84 46,56 5 3,78 4,83 47,5393 7,4695 33,867 4,5898 5,743 3,95 46,54 7 3,78 4,83 47,54 7,4695 33,864 4,59 5,743 3,99 46,563 9 3,78 4,83 47,544 7,4695 33,864 4,599 5,743 3,99 46,578 Aalitik Metot 3,783 4,836 47,547 7,4696 33,866 4,59 5,74 3,94 46,57 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 678,779 74,364 79,993 45,456 56,975 83,547 3 678,776 74,363 79,44 45,46 56,995 83,5448 5 678,779 74,3637 79,83 45,463 56,938 83,548 7 678,779 74,3643 79,4 45,463 56,934 83,5496 9 678,779 74,3643 79,5 45,463 56,934 83,554 Aalitik Metot 678,77 74,3636 79,6 45,454 56,93 83,5495 68

Tablo 5.53 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,79 3,455 53,8388,98 37,76 57,779 37,793 376,73 565,6569 3 4,798 3,469 53,845,985 37,84 57,785 37,799 376,738 565,66 5 4,793 3,474 53,8438,986 37,88 57,783 37,79 376,73 565,667 7 4,793 3,474 53,845,986 37,88 57,784 37,79 376,73 565,6638 9 4,793 3,474 53,8458,986 37,88 57,7848 37,79 376,73 565,6643 Aalitik Metot 4,798 3,47 53,8454,984 37,84 57,784 37,79 376,734 565,6645 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 686,4 745,7364 856,857 47,7374 67,54 8,3 3 686, 745,7396 856,8349 47,738 67,53 8,75 5 686,4 745,74 856,8394 47,7383 67,54 8, 7 686,4 745,745 856,845 47,7383 67,548 8,3 9 686,4 745,745 856,848 47,7383 67,548 8,46 Aalitik Metot 686, 745,746 856,849 47,7386 67,547 8,47 69

Tablo 5.54 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 44,96 45,9659 44,84 78,477 54,476 444,837 8,46 35,676 489,558 3 44,965 45,9673 44,3 78,477 54,485 444,895 8,57 35,673 489,593 5 44,967 45,9685 44,335 78,4773 54,49 444,83 8,6 35,6736 489,6 7 44,967 45,969 44,353 78,4773 54,495 444,853 8,6 35,6736 489,638 9 44,967 45,969 44,364 78,4773 54,495 444,867 8,6 35,6736 489,649 Aalitik Metot 44,967 45,969 44,36 78,477 54,495 444,865 8,6 35,6734 489,646 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 679,5453 7,933 88,37 45,6495 59,34 89,854 3 679,5456 7,947 88,3785 45,653 59,336 89,8599 5 679,5457 7,95 88,38 45,654 59,353 89,8635 7 679,5457 7,95 88,3835 45,654 59,359 89,8659 9 679,5457 7,95 88,3846 45,654 53,359 89,8674 Aalitik Metot 679,5456 7,95 88,3844 45,65 59,358 89,867 7

Tablo 5.55 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9,959 35,5498 549,597 6,8374 33,855 55,954 39,869 389,865 589,798 3 9,964 35,55 549,64 6,8377 33,858 55,99 39,88 389,883 589,849 5 9,965 35,557 549,64 6,8379 33,854 55,93 39,88 389,894 589,876 7 9,965 35,55 549,649 6,8379 33,854 55,98 39,88 389,898 589,895 9 9,965 35,55 549,654 6,8379 33,854 55,936 39,88 389,898 589,93 Aalitik Metot 9,968 35,559 549,653 6,8378 33,854 55,937 39,886 389,896 589,9 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 686,83 75,597 87,548 47,969 69,74 4,3398 3 686,8 75,6 87,5475 47,967 69,748 4,3486 5 686,85 75,65 87,559 47,963 69,746 4,3548 7 686,85 75,63 87,554 47,963 69,746 4,3575 9 686,85 75,63 87,557 47,963 69,749 4,3583 Aalitik Metot 686,85 75,633 87,556 47,968 69,744 4,3579 7

Tablo 5.56 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P r,5 DQEM β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 54,586 64,7975 469,9793 84,3899 7,583 474,365,3 34,65 56,787 3 54,5868 64,7998 469,983 84,398 7,5 474,3674,37 34,9 56,84 5 54,5869 64,8 469,9857 84,399 7,58 474,37,33 34,3 56,85 7 54,5869 64,85 469,987 84,399 7,58 474,373,33 34, 56,873 9 54,5869 64,85 469,9877 84,399 7,58 474,3738,33 34, 56,886 Aalitik Metot 54,587 64,86 469,9873 84,396 7,54 474,3734,38 34,9 56,884 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 68,534 77,935 85,64 45,874 6,4585 96,489 3 68,54 77,93 85,5 45,8746 6,463 96,545 5 68,54 77,936 85,39 45,8747 6,46 96,583 7 68,54 77,936 85,66 45,8747 6,46 96,65 9 68,54 77,936 85,78 45,8747 6,46 65,6 Aalitik Metot 68,539 77,934 85,74 45,8747 6,46 96,66 7

73 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi,. moda ait açısal frekas değerlerii, farklı β ve α değerlerie göre değişimi, üç boyutlu grafik halide Şekil 5.3 de suulmuştur. ω (rad/s) β α Şekil 5.3 Elastik zemie otura, tek açıklıklı, sabit e kesitli, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii,. moda ait açısal frekas değerlerii değişimi, P r,5 İki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş, Reddy-Bickford kirişie ait, DQEM kullaılarak elde edile ilk üç mod açısal frekas değerleri ile aalitik yötem kullaılarak elde edile açısal frekas değerleri arasıdaki yakısama ilişkisi, farklı β, karşılaştırmalı olarak Tablo 5.57 - Tablo 5.6 de suulmuştur. ( ) P ve α değerleri içi r

Tablo 5.57 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 48,975 35,797 379,8 5,73 37,38 379,8836 67,434 34,965 388,6 5 48,973 35,7943 379,84 5,74 37,334 379,8889 67,439 34,98 388,8 7 48,975 35,7956 379,866 5,743 37,348 379,893 67,433 34,99 388,34 9 48,975 35,796 379,887 5,743 37,356 379,8944 67,433 34,996 388,39 48,975 35,796 379,899 5,743 37,356 379,8955 67,433 34,996 388,34 Aalitik Metot 48,97 35,7969 379,896 5,749 37,35 379,8964 67,434 34,998 388,338 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 8,435 434,9693 48,564 773,885 844,393 6,953 5 8,436 434,974 48,569 773,89 844,39 6,9567 7 8,4365 434,978 48,573 773,894 844,3937 6,96 9 8,4365 434,9737 48,5755 773,894 844,3945 6,968 8,4365 434,9737 48,5766 773,894 844,3945 6,963 Aalitik Metot 8,4363 434,974 48,576 773,898 844,395 6,9634 74

Tablo 5.58 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 36,9357 77,7965 356,7889 38,84 79,573 357,579 56,459 96,698 365,384 5 36,9365 77,7999 356,793 38,849 79,5744 357,5774 56,455 96,693 365,394 7 36,9366 77,8 356,7965 38,85 79,5763 357,58 56,456 96,694 365,396 9 36,9366 77,89 356,7989 38,85 79,5777 357,583 56,456 96,6945 365,3975 36,9366 77,89 356,8 38,85 79,5785 357,5843 56,456 96,6945 365,3987 Aalitik Metot 36,937 77,85 356,7993 38,853 79,5789 357,5838 56,454 96,6938 365,398 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 76,474 46,345 45,688 77,9635 836,549 99,369 5 76,486 46,373 45,739 77,9643 836,578 99,3754 7 76,489 46,386 45,784 77,9644 836,59 99,3799 9 76,489 46,394 45,85 77,9644 836,596 99,384 76,489 46,394 45,89 77,9644 836,596 99,384 Aalitik Metot 76,49 46,393 45,85 77,9646 836,595 99,3833 75

Tablo 5.59 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 54,953 335,563 389,446 55,968 336,6648 39, 7,7987 35,63 397,86 5 54,96 335,588 389,57 55,9689 336,6669 39,89 7,7995 35,64 397,868 7 54,96 335,6 389,55 55,969 336,6677 39,35 7,7999 35,65 397,87 9 54,96 335,68 389,576 55,969 336,668 39,37 7,7999 35,655 397,8745 54,96 335,68 389,589 55,969 336,668 39,384 7,7999 35,655 397,8756 Aalitik Metot 54,96 335,6 389,596 55,9688 336,6683 39,375 7,83 35,657 397,875 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 85,395 443,669 489,93 774,984 849,64 5,88 5 85,484 443,68 489,4 774,99 849,68 5,8874 7 85,487 443,69 489,8 774,996 849,639 5,898 9 85,487 443,696 489,34 774,996 849,644 5,89 85,487 443,696 489,3 774,996 849,644 5,893 Aalitik Metot 85,49 443,693 489,35 774,995 849,647 5,893 76

Tablo 5.6 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 4,834 89,5 367,945 44,6389 9,963 368,699 6,68 37,47 376,656 5 4,833 89,58 367,9496 44,64 9,963 368,765 6,689 37,474 376,79 7 4,835 89,54 367,957 44,647 9,9643 368,74 6,69 37,4733 376,744 9 4,835 89,546 367,9545 44,649 9,9646 368,73 6,69 37,4739 376,768 4,835 89,546 367,955 44,649 9,9646 368,748 6,69 37,4739 376,779 Aalitik Metot 4,834 89,548 367,955 44,648 9,9648 368,74 6,69 37,474 376,775 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 79,338 44,8383 459,556 77,9866 84,59,4598 5 79,335 44,843 459,69 77,987 84,547,4673 7 79,336 44,845 459,654 77,9874 84,556,475 9 79,336 44,844 459,668 77,9874 84,56,473 79,336 44,844 459,674 77,9874 84,56,474 Aalitik Metot 79,333 44,847 459,669 77,9878 84,556,4733 77

Tablo 5.6 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 59,38 343,96 399,7 6,937 345,93 399,7553 76,36 358,674 47,3 5 59,335 343,979 399,8 6,933 345,9 399,767 76,333 358,6763 47,388 7 59,337 343,99 399,8 6,9334 345,99 399,7638 76,335 358,6775 47,3 9 59,337 343,997 399,45 6,9334 345,99 399,7657 76,335 358,678 47,343 59,337 343,997 399,59 6,9334 345,99 399,7665 76,335 358,678 47,35 Aalitik Metot 59,337 343,996 399,55 6,9336 345,9 399,765 76,338 358,6777 47,345 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 87,9659 45,968 495,44 775,8 853,6743 4,697 5 87,9664 45,973 495,465 775,87 853,675 4,77 7 87,9667 45,97 495,48 775,83 853,6754 4,763 9 87,9667 45,973 495,449 775,83 853,6754 4,795 87,9667 45,973 495,463 775,83 853,6754 4,77 Aalitik Metot 87,9664 45,978 495,456 775,834 853,6755 4,7 78

Tablo 5.6 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişi içi DQEM ile aalitik metot arasıdaki yakısama ilişkisi, β ve P ( ) r, 5 DQEM ( ) β ve P r,5 α α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 48,334 99,6463 378,697 5,744 3,3 379,368 66,4875 37,36 386,699 5 48,333 99,6489 378,6338 5,75 3,34 379,367 66,488 37,39 386,6965 7 48,3334 99,65 378,636 5,75 3,339 379,375 66,4884 37,34 386,7 9 48,3334 99,659 378,6376 5,75 3,345 379,373 66,4884 37,39 386,75 48,3334 99,659 378,6385 5,75 3,345 379,3746 66,4884 37,39 386,738 Aalitik Metot 48,3338 99,657 378,639 5,753 3,348 379,3743 66,4884 37,35 386,73 DQEM α α ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3 8,38 433,49 466,5936 77,989 845,987,4358 5 8,39 433,44 466,5994 77,9837 845,999,447 7 8,394 433,45 466,637 77,984 845,937,4448 9 8,394 433,45 466,658 77,984 845,937,4474 8,394 433,45 466,669 77,984 845,937,4486 Aalitik Metot 8,397 433,457 466,66 77,984 845,934,4479 79

β α 8 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yay ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, ( ) r,5 değeri içi,. moda ait açısal frekas değerlerii, farklı β ve α P değerlerie göre değişimi, üç boyutlu grafik halide Şekil 5.33 de suulmuştur. ω (rad/s) Şekil 5.33 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii,. moda ait açısal frekas değerlerii değişimi, P ( ) r,5

BÖÜM ATI SOUÇAR Yapıları diamik davraışı iceleirke, diamik karakteristikleri etkili ve başarılı bir şekilde ifade edebilmek içi, doğru ve yapısal davraışa uygu bir hesap modeli seçilmelidir. Bu edele, yapı aalizii e kritik aşaması, gerçek davraışı yasıtacak uygu bir hesap modelii kurulmasıdır. Yapılar, diamik davraışa daha uygu düşe bir modelleme ola sürekli kütle ile modellediğide, sosuz sayıda moda sahip olurlar. Bu çalışmada, sürekli sistemi matematiksel hesap modeli, yüksek mertebede kesme deformasyo teorileride biri ola, Reddy-Bickford kiriş teorisi dikkate alıarak kurulmuş, sistemi diamik davraışıı gerçeğe daha yakı olması amaçlamıştır. Doğrusal ya da doğrusal olmaya statik ve diamik mühedislik problemlerii çözümü içi, Solu Elemalar, Solu Farklar, E Küçük Kareler gibi ardışık yaklaşımlarla çözüme ulaşa birçok ümerik metot geliştirilmiştir. Acak bu yötemlerle deklemleri çözümü aşamasıda, çeşitli stabilite ve yaklaşım soruları ortaya çıkabildiği gibi, hassas souçlar elde edebilmek içi, çok sayıda iterasyoa ve düğüm oktasıa gereksiim duyulmaktadır. Bu durum, gerek bilgisayarı hafıza kapasitesii, gerekse çözüm içi gereke süreyi artırabilmektedir. Yukarıda bahsedile bu olumsuzlukları ortada kaldırmak amacıyla, geliştirile metotlarda ikisi de Diferasiyel Trasformasyo Metodu (DTM) ve Diferasiyel Quadrature Elema Metodu (DQEM) dur. Tez kapsamıda, Wikler Hipotezi e uygu olarak modellemiş elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek açıklıklı, sabit dikdörtge e kesitli ve farklı sıır koşullarıa sahip Reddy- Bickford kirişi ile Şekil. de verile iki elemaa ayrılmış, değişke e kesitli, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, serbest titreşimie ait hareket deklemleri, yarı aalitik-ümerik metot ola DTM ve DQEM kullaılarak çözülmüştür. İlk üç mod içi elde edile açısal frekas değerleri, aalitik yötemle elde edile açısal frekas değerleri ile karşılaştırmalı olarak tablolar halide suulmuştur. 8

8 Aalitik metotla çözüme ilişki sayısal uygulamalarda, zemi yatak katsayısıı sırasıyla, 5 t/m 3 ve t/m 3 alıması durumuda, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 ve 5, m değerleri içi, ilk altı moda ait açısal frekas değerleri ile P r,5 ve 7,5 m değerleri içi, ilk yedi moda ait açısal frekas değerleri, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak ayı değişkeler içi elde edile açısal frekas değerleride daha düşüktür. Ayı sıır koşulua sahip Reddy-Bickford kirişii, P r,5 ve 5, m değerleri içi, ilk sekiz moda ait açısal frekas değerleri ile P r,5 ve 7,5 m değerleri içi, ilk dokuz moda ait açısal frekas değerlerii, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak ayı değişkeler içi elde edile açısal frekas değerleride daha düşük olduğu gözlemiştir. Farklı zemi yatak katsayıları dikkate alıması durumuda, farklı uzuluklardaki, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi, ilk iki moda ait açısal frekas değerleri ile P r,5 değeri içi, ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak ayı değişkeler içi elde edile açısal frekas değerleride daha düşük olduğu, aalitik metotu uyguladığı sayısal uygulamalarda gözlemiştir. Bezer şekilde, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli ve farklı uzuluklara sahip Reddy-Bickford kirişii, P r,5 değeri içi, ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ile P r,5 değeri içi, ilk beş moda ait açısal frekas değerlerii, Timosheko kiriş teorisi kullaılarak ayı değişkeler içi elde edile açısal frekas değerleride daha düşük olduğu gözlemiştir. Aalitik metotla çözüme ilişki sayısal uygulamalarda kullaıla, her iki kiriş teorisi ve tüm sıır koşulları içi, zemi yatak katsayısıı sabit kalması durumuda, elastik zemie otura kirişe etkiye ekseel basıç kuvveti arttırıldıkça, açısal frekas değerleri azalmaktadır. Özellikle kısa kirişlere ait yüksek modlarda ekseel basıç kuvvetii etkisi çok daha belirgidir.

83 Tüm sıır koşulları ve her iki kiriş teorisi içi, P r ve C S değerleri sabit kalmak koşuluyla, kiriş boyları arttırıldıkça, aalitik metotla hesaplaa açısal frekas değerleride azalma gözlemlemiştir. Bezer şekilde, P r ve değerleri sabit kalmak koşuluyla, zemi yatak katsayısı arttırıldıkça açısal frekas değerleri artış göstermiştir. DTM a ilişki sayısal uygulamaları tamamıda, tüm sıır koşulları içi, riitlik oraı ve rölatif riitlik değerlerii sabit kalması durumuda, elastik zemie otura kirişe etkiye ekseel basıç kuvveti arttırıldıkça, açısal frekas değerleri azalmaktadır. Farklı rölatif riitlik değerleri, diğer bir değişle, farklı zemi yatak katsayıları dikkate alıması durumuda, ayı riitlik oraı ve ekseel basıç kuvveti değeri içi, zemi yatak katsayısı arttırıldıkça, hesaplaa ilk üç moda ait açısal frekas değerleride artış gözlemiştir. Bezer şekilde, rölatif riitlik ve ekseel basıç kuvveti değerlerii sabit kalması durumuda, riitlik oraı arttırıldığıda, kirişi kayma riitliği artacağıda, ilk üç moda ait açısal frekas değerleride artış gözlemiştir. DTM u elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek ve iki açıklıklı, dikdörtge, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması soucuda, aalitik yötemle hesaplaa açısal frekas değerleriyle örtüşe açısal frekas değerleri elde edilmiştir. Elastik zemie otura, tek açıklıklı ve ekseel basıç kuvveti etkisideki Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii tamamıı, yüksek duyarlılıkla ve DTM kullaılarak hesaplaabilmesi içi gerekli terim sayısı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli kiriş ile bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi e az 76; bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli kiriş içi e az 34 dür. Elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, iki elemaa ayrılmış ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişii, ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii tamamıı, DTM kullaılarak hesaplaması

84 içi e az 38 terime gereksiim vardır. Tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişi ile bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi, 76. terimde sora; tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişi içi, 34. terimde sora; iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişi içi ise, 38. terimde sora sırasıyla, dördücü mod, beşici mod ve diğer modlara ait açısal frekas değerleri, hızlı bir şekilde yakısamaktadır. Acak tez kapsamıda dikkate alıacak öreklerde ilk üç modu yakısaması gösterilmiştir. DTM kullaılarak çözüle tüm sayısal örekler dikkate alıdığıda, farklı sıır koşulları, riitlik oraları ve ekseel kuvvet değerleri içi, DTM ile hesaplaa ilk üç mod açısal frekas değerlerii, aalitik yötemle elde edile açısal frekas değerlerie yakısaması içi gerekli terim sayısı, Tablo 6. de özet halide suulmuştur. Tablo 6. de görüldüğü gibi, elastik zemie otura, tek açıklıklı, farklı sıır koşullarıa sahip Reddy-Bickford kirişlerii serbest titreşimie ait ilk üç mod açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayıları farklılık göstermektedir. Bu farklılığıı temel edei, elastik zemie otura kirişi meset koşullarıdır. Bu meset koşullarıda, (z) oktasıdaki meset tipi e etke olaıdır. Kirişi (z) oktasıdaki meseti, akastre meset olması durumuda, deplasma foksiyoua ait solu Taylor seri açılımıdaki ilk iki terimi; kesit dömesi foksiyoua ait solu Taylor seri açılımıda ise ilk terimi sıfır olması bu souca ede olmaktadır. Bu durumda, ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii, aalitik yötemle elde edile açısal frekas değerlerie yakısaması içi gerekli terim sayısı artış göstermektedir. Acak, kirişi (z) oktasıdaki meseti, basit meset olması durumuda, deplasma foksiyouu seri açılımıı birici ve üçücü terimi; kesit dömesi foksiyouu ise sadece ikici terimi sıfır olmaktadır. Böylece (z ) oktasıda basit meset bulua kirişe ait ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayısı, ayı oktada akastre meset bulua kirişi

85 ilk üç modua ait açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayısıda daha azdır. Tablo 6. DTM u elastik zemie otura Reddy-Bickford kirişie uygulaması durumuda farklı sıır koşullarıa ait ilk üç modu yakısaması içi gerekli terim sayısı Sıır Koşulları Bir ucu akastre, diğer ucu kayıcı akastre mesetli kiriş Bir ucu akastre, diğer ucu hareketli mesetli kiriş Bir ucu sabit, diğer ucu hareketli mesetli kiriş Her iki ucu yarı-riit bağlatılı kiriş β (β ) P r ( ( ) P ) r. mod. mod 3. mod,5 7 7 76,5 66 68 76,5 7 74 76,5 7 7 76,5 74 76 76,5 74 76 76,5 68 7 74,5 66 68 7,5 7 74 74,5 7 7 74,5 74 74 76,5 74 76 76,5 4 4 34,5 4 4 34,5 4 4 34,5 4 4 34,5 4 4 34,5 4 4 34,5 3 36 38,5 3 36 38,5 3 36 38,5 3 36 38,5 3 36 38,5 3 36 38

86 Kirişi (z) oktasıdaki meset koşulu, (z) oktasıdaki meset koşulu kadar etkili olmasa da, yakısama içi gerekli terim sayısıı etkileye diğer bir faktördür. Kirişi (z) oktasıda basit meset buluması durumuda, deplasma foksiyouu yaı sıra, eğilme mometi ve yüksek mertebede momet foksiyoları sıfır olacağıda, bu kirişi ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayısıı, (z) oktasıda akastre meset bulua kirişi ilk üç moda ait açısal frekas değerlerii yakısaması içi gerekli terim sayısıda daha az olduğu gözlemlemiştir. DQEM u, tek açıklıklı ve farklı sıır koşullarıa sahip kirişleri serbest titreşim aalizie uygulaması aşamasıda hesap modelii, tek bir alt elemaa; uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş, değişke kesitli kirişi serbest titreşim aalizie uygulaması aşamasıda ise, modeli iki alt elemaa ayrılması tercih edilmiştir. iteratürdeki çalışmalar hesap modelii, açıklık sayısı kadar alt elamalara ayrılabileceği gibi, açıklık sayısıda fazla alt elemaa da ayrılabileceğii göstermiştir. Hesap modeli açıklık sayısıda fazla alt elemaa ayrılması durumuda, yakısama içi gerekli düğüm oktası sayısı azalmakta acak, bilgisayar programlarıda, kapasite problemleri ile karşı karşıya kalımaktadır (Karami ve diğer., 3). Bu edele, tez kapsamıda, açıklık sayısıa eşit elema sayısı dikkate alımıştır. DQEM u, elastik zemie otura ve ekseel basıç kuvveti etkisideki, dikdörtge, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması soucuda, bazı örekler içi, aalitik yötemle hesaplaa açısal frekas değerleriyle örtüşe; bazı örekler içi ise, aalitik yötemle hesaplaa açısal frekas değerlerie oldukça yakı sayısal değerler elde edilmiştir. DQEM u, elastik zemie otura, tek açıklıklı ve farklı sıır koşullarıa sahip Reddy-Bickford kirişlerie uygulaması durumuda, birici modlar, geellikle 5 düğüm oktası; ikici modlar, 7 düğüm oktası ve üçücü modlar, 9 düğüm oktası dikkate alıması durumuda, aalitik metot kullaılarak elde edile açısal frekas değerlerie büyük bir yakısaklık göstermiştir. Düğüm oktalarıı

87 artırılması durumuda, dördücü mod, beşici mod ve diğer modlara ait açısal frekas değerleri yakısamaktadır. DQEM kullaılarak gerçekleştirile, elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizide, birici modları, geellikle 7 düğüm oktası; ikici modları, 9 düğüm oktası ve üçücü modları, düğüm oktası dikkate alıması durumuda, aalitik metot kullaılarak elde edile açısal frekas değerlerie büyük orada yakısadığı gözlemiştir. Doktora tezi kapsamıda kullaıla metotları etkiliğii kıyaslayabilmek amacıyla, farklı β, α ve P r değerleri içi, tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişie ait ilk üç mod karşılaştırmalı açısal frekas değerleri Tablo 6.-Tablo 6.4 de; tek açıklıklı, bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait ilk üç mod karşılaştırmalı açısal frekas değerleri Tablo 6.5-Tablo 6.7 de; tek açıklıklı, bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişie ait ilk üç mod karşılaştırmalı açısal frekas değerleri Tablo 6.8-Tablo 6. da; farklı β, α ve ( ) P değerleri içi; iki elemaa ayrılmış ve her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy- r Bickford kirişie ait ilk üç moda ait açısal frekas değerleri ise, karşılaştırmalı olarak Tablo 6.-Tablo 6.3 de suulmuştur. Ayrıca, elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış ve uçları yarı-riit bağlatılı kiriş modeli içi, β,, ; α ve ( ) P,5 ve,5 alıması durumda, aalitik metot, DTM ve DQEM kullaılarak r elde edile ilk üç moda ait açısal frekas değerleri, karşılaştırmalı olarak Şekil 6.- Şekil 6.8 de suulmuştur.

Tablo 6. Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 6,557 337,8733 554,6899 6,557 337,8733 554,6899 6,554 337,8739 554,6899 7,9698 343,9483 558,4 7,9698 343,9483 558,4 7,9698 343,949 558,4 67,934 399,657 594,348 67,934 399,657 594,348 67,93 399,65 594,348 696,886 757,7777 876,4 696,886 757,7777 876,4 696,88 757,7775 876,4 5,799 7,653 5,7345 5,799 7,653 5,7345 5,799 7,65 5,734 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,936 55,585 446,83 4,936 55,585 446,83 4,935 55,588 446,8 3,68 63,499 45,6476 3,68 63,499 45,6476 3,68 63,5 45,6476 4,68 33,6683 494,473 4,68 33,6683 494,473 4,65 33,6683 494,473 687,654 74,48 8,676 687,654 74,48 8,676 687,653 74,48 8,676 48,8 6,39 9,59 48,8 6,39 9,59 48,7 6,33 9,598 88

Tablo 6.3 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 69,649 355,477 58,766 69,649 355,477 58,766 69,649 355,47 58,766 8,9939 36,499 585,346 8,9939 36,499 585,346 8,9938 36,53 585,349 7,3584 44,6344 69,689 7,3584 44,6344 69,689 7,358 44,634 69,689 698,8436 765,588 893,499 698,8436 765,588 893,499 698,8435 765,589 893,433 5,8399 74,438,667 5,8399 74,438,667 5,843 74,439,6669 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 6,437 78,464 479,6854 6,437 78,464 479,6854 6,433 78,46 479,6859 4,865 85,8 483,9836 4,865 85,8 483,9836 4,863 85,8 483,983 48,833 35,8598 55,337 48,833 35,8598 55,337 48,83 35,8587 55,34 689,7453 733,5 83,583 689,7453 733,5 83,583 689,745 733,9 83,587 48,93 63,779 98,575 48,93 63,779 98,575 48,93 63,77 98,569 89

Tablo 6.4 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) kayıcı akastre mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 77,957 37,8837 66,949 77,957 37,8837 66,949 77,954 37,8836 66,95 88,474 377,4 6,39 88,474 377,4 6,39 88,474 377,48 6,38 77,354 48,7877 643,356 77,354 48,7877 643,356 77,354 48,787 643,3568 7,856 773,345 9,7 7,856 773,345 9,7 7,85 773,3448 9,99 5,4779 77,76 9,384 5,4779 77,76 9,384 5,4775 77,754 9,385 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 37,783 99,439 5,68 37,783 99,439 5,68 37,783 99,435 5,678 5,4348 36,693 54,658 5,4348 36,693 54,658 5,4347 36,69 54,6577 53,6786 367,744 553,4377 53,6786 367,744 553,4377 53,6786 367,745 553,4379 69,7775 74,37 848,87 69,7775 74,37 848,87 69,7775 74,39 848,8 49,5555 65,977 5,43 49,5555 65,977 5,43 49,555 65,9767 5,46 9

Tablo 6.5 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 8,886 36,654 54,639 8,886 36,654 54,639 8,8857 36,65 54,633 44,6 3,7473 58,5649 44,6 3,7473 58,5649 44,6 3,7473 58,5643 49,347 38,5575 566,393 49,347 38,5575 566,393 49,347 38,557 566,397 69,9 748,98 857,34 69,9 748,98 857,34 69,5 748,94 857,337 49,486 68,3685 8,45 49,486 68,3685 8,45 49,485 68,368 8,4 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 66,7846 3,64 4,776 66,7846 3,64 4,776 66,7846 3,636 4,779 9,748 39,464 47,755 9,748 39,464 47,755 9,7483 39,467 47,759 3,657 34,3 464,6485 3,657 34,3 464,6485 3,657 34,3 464,6488 68,34 76, 793,7893 68,34 76, 793,7893 68,344 76,9 793,7896 46,96 57,5394 84,55 46,96 57,5394 84,55 46,95 57,5389 84,5 9

Tablo 6.6 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 35,9574 333,458 55,778 35,9574 333,458 55,778 35,957 333,46 55,773 5,48 339,584 555,59 5,48 339,584 555,59 5,48 339,583 555,54 53,746 395,8978 59,63 53,746 395,8978 59,63 53,744 395,897 59,64 69,5563 755,647 874,954 69,5563 755,647 874,954 69,5566 755,643 874,96 49,4843 7,9379 5,59 49,4843 7,9379 5,59 49,484 7,938 5,66 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 79,8387 53,873 446,9376 79,8387 53,873 446,9376 79,8384 53,8735 446,9383,5487 6,939 45,5476,5487 6,939 45,5476,5484 6,934 45,547 7,896 33,6835 495,934 7,896 33,6835 495,934 7,8959 33,6835 495,938 68,7444 74,85 8,76 68,7444 74,85 8,76 68,744 74,8 8,83 46,6654 6,54 9,443 46,6654 6,54 9,443 46,665 6,499 9,448 9

Tablo 6.7 Bir ucu (z) akastre, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,3597 349,364 577,495 4,3597 349,364 577,495 4,3598 349,364 577,489 56,38 355,865 58,853 56,38 355,865 58,853 56,36 355,863 58,859 56,57 49,365 65,453 56,57 49,365 65,453 56,574 49,36 65,459 69,8434 76,746 89,4947 69,8434 76,746 89,4947 69,8434 76,7464 89,4953 49,8987 73,4335,49 49,8987 73,4335,49 49,8983 73,4338,498 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9,4658 74,5879 478,987 9,4658 74,5879 478,987 9,4654 74,5878 478,995,3 8,93 48,5,3 8,93 48,5,7 8,97 48,59 3,838 347,7943 53,6757 3,838 347,7943 53,6757 3,839 347,7946 53,6763 684,685 73,549 89,76 684,685 73,549 89,76 684,686 73,5495 89,733 47,869 6,688 97,8335 47,869 6,688 97,8335 47,865 6,683 97,8343 93

Tablo 6.8 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 99,6589 93,963 496,774 99,6589 93,963 496,774 99,6593 93,963 496,7753 8,6336 3,95 5,958 8,6336 3,95 5,958 8,6339 3,948 5,963 35,57 363,853 54,69 35,57 363,853 54,69 35,57 363,85 54,699 685,3449 739,396 84,5654 685,3449 739,396 84,5654 685,3449 739,397 84,5658 47,4939 65,8,9498 47,4939 65,8,9498 47,4938 65,77,95 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 3,783 4,836 47,547 3,783 4,836 47,547 3,78 4,83 47,544 7,4696 33,866 4,59 7,4696 33,866 4,59 7,4695 33,864 4,599 5,74 3,94 46,57 5,74 3,94 46,57 5,743 3,99 46,578 678,77 74,3636 79,6 678,77 74,3636 79,6 678,779 74,3643 79,5 45,454 56,93 83,5495 45,454 56,93 83,5495 45,463 56,934 83,554 94

Tablo 6.9 Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,798 3,47 53,8454 4,798 3,47 53,8454 4,793 3,474 53,8458,984 37,84 57,784,984 37,84 57,784,986 37,88 57,7848 37,79 376,734 565,6645 37,79 376,734 565,6645 37,79 376,73 565,6643 686, 745,746 856,849 686, 745,746 856,849 686,4 745,745 856,848 47,7386 67,547 8,47 47,7386 67,547 8,47 47,7383 67,548 8,46 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 44,967 45,969 44,36 44,967 45,969 44,36 44,967 45,969 44,364 78,477 54,495 444,865 78,477 54,495 444,865 78,4773 54,495 444,867 8,6 35,6734 489,646 8,6 35,6734 489,646 8,6 35,6736 489,649 679,5456 7,95 88,3844 679,5456 7,95 88,3844 679,5457 7,95 88,3846 45,65 59,358 89,867 45,65 59,358 89,867 45,654 53,359 89,8674 95

Tablo 6. Bir ucu (z) sabit, diğer ucu (z) hareketli mesetli Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 9,968 35,559 549,653 9,968 35,559 549,653 9,965 35,55 549,654 6,8378 33,854 55,937 6,8378 33,854 55,937 6,8379 33,854 55,936 39,886 389,896 589,9 39,886 389,896 589,9 39,88 389,898 589,93 686,85 75,633 87,556 686,85 75,633 87,556 686,85 75,63 87,557 47,968 69,744 4,3579 47,968 69,744 4,3579 47,963 69,749 4,3583 4 CS α EI β ve P r,5 Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 54,587 64,86 469,9873 54,587 64,86 469,9873 54,5869 64,85 469,9877 84,396 7,54 474,3734 84,396 7,54 474,3734 84,399 7,58 474,3738,38 34,9 56,884,38 34,9 56,884,33 34, 56,886 68,539 77,934 85,74 68,539 77,934 85,74 68,54 77,936 85,78 45,8747 6,46 96,66 45,8747 6,46 96,66 45,8747 6,46 65,6 96

Tablo 6. Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β α α, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 48,97 35,7969 379,896 48,97 35,7969 379,896 48,975 35,796 379,899 5,749 37,35 379,8964 5,749 37,35 379,8964 5,743 37,356 379,8955 67,434 34,998 388,338 67,434 34,998 388,338 67,433 34,996 388,34 8,4363 434,974 48,576 8,4363 434,974 48,576 8,4365 434,9737 48,5766 773,898 844,395 6,9634 773,898 844,395 6,9634 773,894 844,3945 6,963, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 36,937 77,85 356,7993 36,937 77,85 356,7993 36,9366 77,89 356,8 38,853 79,5789 357,5838 38,853 79,5789 357,5838 38,85 79,5785 357,5843 56,454 96,6938 365,398 56,454 96,6938 365,398 56,456 96,6945 365,3987 76,49 46,393 45,85 76,49 46,393 45,85 76,489 46,394 45,89 77,9646 836,595 99,3833 77,9646 836,595 99,3833 77,9644 836,596 99,384,5,5 97

Tablo 6. Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β α α, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 54,96 335,6 389,596 54,96 335,6 389,596 54,96 335,68 389,589 55,9688 336,6683 39,375 55,9688 336,6683 39,375 55,969 336,668 39,384 7,83 35,657 397,875 7,83 35,657 397,875 7,7999 35,655 397,8756 85,49 443,693 489,35 85,49 443,693 489,35 85,487 443,696 489,3 774,995 849,647 5,893 774,995 849,647 5,893 774,996 849,644 5,893, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 4,834 89,548 367,955 4,834 89,548 367,955 4,835 89,546 367,955 44,648 9,9648 368,74 44,648 9,9648 368,74 44,649 9,9646 368,748 6,69 37,474 376,775 6,69 37,474 376,775 6,69 37,4739 376,779 79,333 44,847 459,669 79,333 44,847 459,669 79,336 44,844 459,674 77,9878 84,556,4733 77,9878 84,556,4733 77,9874 84,56,474,5,5 98

Tablo 6.3 Her iki ucu yarı-riit bağlatılı Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri, β α α, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 59,337 343,996 399,55 59,337 343,996 399,55 59,337 343,997 399,59 6,9336 345,9 399,765 6,9336 345,9 399,765 6,9334 345,99 399,7665 76,338 358,6777 47,345 76,338 358,6777 47,345 76,335 358,678 47,35 87,9664 45,978 495,456 87,9664 45,978 495,456 87,9667 45,973 495,463 775,834 853,6755 4,7 775,834 853,6755 4,7 775,83 853,6754 4,77, 4 CS EI β ve ( ) P r Aalitik Metot DTM DQEM ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω 3 (rad/s) 48,3338 99,657 378,639 48,3338 99,657 378,639 48,3334 99,659 378,6385 5,753 3,348 379,3743 5,753 3,348 379,3743 5,75 3,345 379,3746 66,4884 37,35 386,73 66,4884 37,35 386,73 66,4884 37,39 386,738 8,397 433,457 466,66 8,397 433,457 466,66 8,394 433,45 466,669 77,984 845,934,4479 77,984 845,934,4479 77,984 845,937,4486,5,5 99

67,5 ω (rad/s) 67,3 Aalitik Metot DTM DQEM 67, Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 34, ω (rad/s) 34,9 Aalitik Metot DTM DQEM 34,7 Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

388,4 ω (rad/s) ω3 (rad/s) Aalitik Metot DTM 388, DQEM 388, Metotlar Şekil 6.3 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 56,46 Aalitik Metot DTM 56,44 DQEM 56,4 Metotlar Şekil 6.4 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

96,7 ω (rad/s) 96,68 Aalitik Metot DTM DQEM 96,66 Metotlar Şekil 6.5 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 365,4 ω3 (rad/s) 365,38 Aalitik Metot DTM DQEM 365,36 Metotlar Şekil 6.6 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

3 7,8 ω (rad/s) 7,79 Aalitik Metot DTM DQEM 7,77 Metotlar Şekil 6.7 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 35,7 ω (rad/s) 35,5 Aalitik Metot DTM DQEM 35,3 Metotlar Şekil 6.8 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

4 397,88 ω (rad/s) ω3 (rad/s) Aalitik Metot DTM 397,86 DQEM 397,84 Metotlar Şekil 6.9 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 6,6 Aalitik Metot DTM 6,6 DQEM 6,58 Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

5 37,48 ω (rad/s) 37,46 Aalitik Metot DTM DQEM 37,44 Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 376,8 ω3 (rad/s) 376,6 Aalitik Metot DTM DQEM 376,4 Metotlar Şekil 6. Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

6 76,3 ω (rad/s) 76,3 Aalitik Metot DTM DQEM 76,8 Metotlar Şekil 6.3 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 358,68 ω (rad/s) 358,66 Aalitik Metot DTM DQEM 358,64 Metotlar Şekil 6.4 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

7 47,3 ω (rad/s) ω3 (rad/s) Aalitik Metot DTM 47,3 DQEM 47,8 Metotlar Şekil 6.5 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 66,49 Aalitik Metot DTM 66,47 DQEM 66,45 Metotlar Şekil 6.6 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

8 37,3 ω (rad/s) 37,3 Aalitik Metot DTM DQEM 37,8 Metotlar Şekil 6.7 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi,. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri 386,7 ω3 (rad/s) 386,69 Aalitik Metot DTM DQEM 386,67 Metotlar Şekil 6.8 Elastik zemie otura, iki elemaa ayrılmış, uçları dömeye ve çökmeye karşı elastik yaylar ile mesetlemiş Reddy-Bickford kirişii, β, α ve P ( ) r, 5 değerleri içi, 3. moda ait karşılaştırmalı açısal frekas değerleri

9 Tablo 6.-Tablo 6.3 de görüldüğü gibi, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, tek ve iki elemaa ayrılmış, dikdörtge, sabit ve değişke e kesitli Reddy-Bickford kirişlerii serbest titreşim aalizie uygulaa ümerik metotlarda, DTM u, DQEM a orala so derece etki olduğu gözlemiştir. DTM u, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması soucuda, aalitik yötemle hesaplaa yüksek duyarlılıklı açısal frekas değerleriyle birebir örtüşe açısal frekas değerleri elde edilmiştir. Bu edele DTM, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizi içi, aalitik çözüme alteratif bir metot olarak değerledirilebilir. DQEM u, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizie uygulaması soucuda, aalitik metotla hesaplaa açısal frekas değerleriyle birebir örtüşe değerler elde edilebildiği gibi, bazı örekler içi, aalitik metotla hesaplaa açısal frekas değerleride % mertebesie bile ulaşmaya sapmalar görülmüştür. Bu etkiliği edeiyle DQEM, Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizide güvele kullaılabilir. DTM da, DQEM da ve aalitik yötemde farklı olarak, Reddy-Bickford kirişie ait açısal frekas değerlerii hesaplaması içi gerekli ola katsayılar matrisii boyutu, kiriş açıklık sayısıda bağımsız olup, daima [33] boyutuda olduğuda, hazırlaa bilgisayar programlarıı geelleştirilmesi so derece kolay olmaktadır. Böylece DTM kullaılarak oluşturula bilgisayar programları etki bir şekilde çalışabilmesi içi gerekli hesaplayıcı kapasitesi ve hesap süresi oldukça azalmaktadır. DQEM ve aalitik metotta, açıklık sayısıa bağlı olarak, katsayılar matrisii boyutu artış gösterdiği içi, özellikle DQEM da, alt elema ve düğüm oktası sayısı arttıkça, hazırlaa bilgisayar programlarıda etki souçlar alabilmek, oldukça fazla hesaplayıcı kapasitesie ve hesap süresie gereksiimi zorulu kılmaktadır. DTM ve DQEM, elastik zemie otura, ekseel basıç kuvveti etkisideki, sabit ve değişke e kesitli, tek ve iki elemaa ayrılmış Reddy-Bickford kirişii serbest titreşim aalizide etki metotlar olup, özellikle, DTM, daha az bilgisayar kapasitesi

ve işlem sayısı, kısme daha az hesap süresi ve problemi çözümüe ilişki daha az ö işlem gerektirmesi edeiyle ö plaa çıkmaktadır. Tez kapsamıda, DTM uygulamaları içi, Matlab 7.; DQEM uygulamaları içi, özel Fortra yazılımları ile bellek kapasitesi artırıla Visual Basic 8 programlama dilleri kullaılarak geliştirile, hesap algoritmalarıa dayalı bilgisayar programları kullaılmıştır. Matlab 7. ve Visual Basic 8 programlama dilleri kullaılarak geliştirile programlara ait değişkeler listesi Ek- de; bu programlara ait akış diyagramları sırasıyla, Ek- ve Ek-3 de ve Visual Basic 8 programlama dili kullaılarak geliştirile programa ait ara yüzey Ek-4 de suulmuştur.

KAYAKAR Arıkoğlu, A. ve Özkol, İ. (6). Solutio of differece equatios by usig differetial trasform method. Applied Mathematics ad Computatio, 74, 6-8. Balkaya, M., Kaya, M.O. ve Sağlamer, A. (9). Aalysis of the vibratio of a elastic beam supported o elastic soil usig the differetial trasform method. Archive of Applied Mechaics, 79, 35-46. Bellma, R. ve Casti, J. (97). Differetial quadrature ad log-term itegratio. Joural of Mathematical Aalysis ad Applicatios, 34, 35-38. Bellma, R., Kashef, B.G. ve Casti, J. (97). Differetial quadrature: A techique for the rapid solutio of oliear partial differetial equatio. Joural of Computatioal Physics,, 4-5. Bert, C.W., Wag, X. ve Striz, A.G. (993). Differetial quadrature for static ad free vibratio aalysis of aisotropic plates. Iteratioal Joural of Solids ad Structures, 3, 737-744. Bickford, W.B. (98). A cosistet higher order beam theory. Developmet i Theoretical ad Applied Mechaics,, 37-5. Bildik,., Kouralp, A., Bek, F.O. ve Küçükarsla, S. (6). Solutio of differet type of the partial differetial equatio by differetial trasformatio method ad Adomia s decompositio method. Applied Mathematics ad Computatio, 7, 55-567. Birad, A.A. (). Kazıklı Temeller. Akara: Tekik Yayıevi.

Bowles, J.E. (996). Foudatio Aalysis ad Desig (5. Baskı). USA: McGraw Hill. Che, C.K. ve Ho, S.H. (996). Applicatio of differetial trasformatio to eigevalue problems. Applied Mathematics ad Computatio, 79, 73-88. Che, C.K. ve Ho, S.H. (999). Solvig partial differetial equatios by twodimesioal differetial trasform method. Applied Mathematics ad Computatio, 6, 7-79. Che, C.. (995). A differetial quadrature elemet method. I: Proceedigs of the First Iteratioal Coferece of Egieerig Computig, ad Computer Simulatios. Chasha, Chia. Che, C.. (996). The two-dimesioal frame model of the differetial quadrature elemet method. Computers & Structures, 6, 555-57. Che, C.. (). Vibratio of prismatic beam o a elastic foudatio by the differetial quadrature elemet method. Computers & Structures, 77, -9. Che, C.. (a). DQEM vibratio aalyses of o-prismatic shear deformable beams restig o elastic foudatios. Joural of Soud ad Vibratio, 55, 989-999. Che, C.. (b). A derivatio ad solutio of dyamic equilibrium equatios of shear udeformable composite aisotropic beams usig the DQEM. Applied Mathematical Modellig, 6, 833-86. Che, C.. (4). Dyamic respose of shear-deformable aisymmetric orthotropic circular plate structures solved by the DQEM ad EDQ based time itegratio schemes. Composite Structures, 64, 339-348.

3 Che, C.. (5). DQEM aalysis of i-plae vibratio of curved beam structures. Advaces i Egieerig Software, 36, 4-44. Che, C.. (6). Discrete Elemet Aalysis Methods of Geeric Differetial Quadratures. The etherlads: Spriger-Verlag Berli Heidelberg. Che, W.. (994). A ew approach for structural aalysis: The quadrature elemet method (Ph.D. Dissertatio). orma: Uiversity of Oklahoma. Chopra, A.K. (995). Dyamics of structures, theory ad applicatios to earthquake egieerig. ew Jersey: Pretice-Hall. Civalek, Ö. (3). Çok Serbestlik Dereceli Sistemleri Harmoik Diferasiyel Quadrature (HDQ) Metodu ile ieer ve ieer Olmaya Diamik Aalizi (Doktora Tezi). İzmir: Dokuz Eylül Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü. Çatal, H.H. (). Free vibratio of partially supported piles with the effects of bedig momet, aial ad shear Force. Egieerig Structures, 4, 65-6. Çatal, H.H. (6a). Free vibratio of semi-rigid coected ad partially embedded piles with the effects of the bedig momet, aial ad shear force. Egieerig Structures, 8, 9-98. Çatal, S. (6b). Aalysis of free vibratio of beam o elastic soil usig differetial trasform method. Structural Egieerig ad Mechaics, 4, 5-6. Çatal, S. ve Çatal, H.H. (6). Bucklig aalysis of partially embedded pile i elastic soil usig differetial trasform method. Structural Egieerig ad Mechaics, 4, 47-68. Çatal, S. (8). Solutio of free vibratio equatios of beam o elastic soil by usig differetial trasform method. Applied Mathematical Modellig, 3, 744-757.

4 Doyle, P.F. ve Pavlovic, M.. (98). Vibratio of beams o partial elastic foudatios. Joural of Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics,, 663-674. Eiseberger, M. (3a). A eact high order beam elemet. Computers ad Structures, 8, 47-5. Eiseberger, M. (3b). Dyamic stiffess vibratio aalysis usig a high-order beam elemet. Iteratioal Joural for umerical Methods i Egieerig, 57, 63-64. Ertürk, V.S. (7). Applicatio of differetial trasformatio method to liear sithorder boudary value problems. Applied Mathematical Scieces,, 5-58. Ertürk, V.S. ve Momai, S. (7). Comparig umerical methods for solvig fourth-order boudary value problems. Applied Mathematics ad Computatio, 88, 963-968. Fraciosi, C. ve Tomasiello, S. (7). Static aalysis of a Bickford beam by meas of the DQEM. Iteratioal Joural of Mechaical Scieces, 49, -8. Gruttma, F. ve Wager, W. (). Shear coefficiet factors i Timosheko s beam theory for arbitrary shaped cross-sectio. Computatioal Mechaics, 7, 99-7. Gu, H. ve Wag, X. (997). O the free vibratio aalysis of circular plates with stepped thickess over a cocetric regio by the differetial quadrature elemet method. Joural of Soud ad Vibratio,, 45-459. Ha, J.B. ve iew, K.M. (999). Static aalysis of Midli plates: The differetial quadrature elemet method (DQEM). Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 77, 5-75.

5 Hassa, I.H.A.H. (a). O solvig some eigevalue problems by usig a differetial trasformatio. Applied Mathematics ad Computatio, 7, -. Hassa, I.H.A.H. (b). Differet applicatios for the differetial trasformatio i the differetial equatios. Applied Mathematics ad Computatio, 9, 83-. Heteyi, M. (955). Beams o Elastic Foudatios (7. Baskı). Michiga: The Uiversity of Michiga Press. Heyliger, P.R. ve Reddy, J.. (988). A higher-order beam fiite elemet for bedig ad vibratio problems. Joural of Soud ad Vibratio, 6, 39-36. Karami, G. ve Malekzadeh, P. (). A ew differetial quadrature methodology for beam aalysis ad the associated differetial quadrature elemet method. Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 9, 359-356. Karami, G., Malekzadeh, P. ve Shahpari, S.A. (3). A DQEM for vibratio of shear deformable ouiform beams with geeral boudary coditios. Egieerig Structures, 5, 69-78. Kuraz, A., Oturaç, G. ve Kiris, M.E. (5). -Dimesioal differetial trasformatio method for solvig PDEs. Iteratioal Joural of Computer Mathematics, 8, 369-38. ee, S.J., Reddy, J.. (5). o-liear respose of lamiated composite plates uder thermomechaical loadig. Iteratioal Joural of o-liear Mechaics, 4, 97-985. eviso, M. (98). A ew rectagular beam theory. Joural of Soud ad Vibratio, 74, 8-87.

6 Malekzadeh, P., Karami, G. ve Farid, M. (3). DQEM for free vibratio aalysis of Timosheko beams o elastic foudatios. Computatioal Mechaics, 3, 9-8. Malekzadeh, P., Karami, G. ve Farid, M. (4). A semi-aalytical DQEM for free vibratio aalysis of thick plates with two opposite edges simply supported. Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 93, 478-4796. Matlab 7..4.365 (R4) Service Pack (5). The MathWorks, Ic. Microsoft Visual Studio 8 Professioal Editio 9...8 (RTM) (7). Microsoft Corporatio. Moforto, G.R. ve Wu, T.S. (963). Matri aalysis of semi-rigid coected frames. Joural of Structural Divisio, ASCE, 89, 4-4. Özdemir, Ö. ve Kaya, M. (6). Flapwise bedig vibratio aalysis of a rotatig tapered catilever Beroulli-Euler beam by differetial trasform method. Joural of Soud ad Vibratio, 89, 43-4. Özgümüş, O.O. ve Kaya, M. (7). Fleural-torsioal-coupled vibratio aalysis of aially loaded closed-sectio composite Timosheko beam by usig DTM. Joural of Soud ad Vibratio, 36, 495-56. Paz, M. (997). Structural Dyamics, theory ad computatio. Chapma & Hall. Reddy, J.. (984a). A simple higher-order theory for lamiated composite plates. Joural of Applied Mechaics, 5, 745-75. Reddy, J.. (984b). Eergy ad Variatioal Methods i Applied Mechaics. ew York: Joh Wiley.

7 Reddy, J.. (997). Mechaics of amiated Composite Plates: Theory ad Aalysis. Florida: CRC Press. Reddy, J.. (999). Theory ad Aalysis of Elastic Plates. Philadelphia: Taylor & Fracis. Shu, C. (99). Geeralized differetial-itegral quadrature ad applicatio to the simulatio of icompressible viscous flows icludig parallel computatio (Ph.D. Dissertatio). UK: Uiversity of Glasgow. Shu, C. (). Differetial Quadrature ad Its Applicatio i Egieerig. Great Britai: Spriger-Verlag odo imited. Shu, C. ve Chew, Y.T. (999). Applicatio of multi-domai GDQ method to aalysis of waveguides with rectagular boudaries. I: Kog JA (ed) Electromagetic waves: PIER. Massachusetts: EMW Publishig. Shu, C. ve Richards, B.E. (99a). Parallel simulatio of icompressible viscous flows by geeralized differetial quadrature. Comput. Syst. Eg., 3, 7-8. Shu, C. ve Richards, B.E. (99b). Applicatio of geeralized differetial quadrature to solve two-dimesioal icompressible avier-stokes equatios. Iteratioal Joural for umerical Methods i Fluids, 5, 79-798. Soldatos, K.P. ve Sophocleous, C. (). O shear deformable beam theories: The frequecy ad ormal modes equatios of the homogeous orthotropic Bickford beam. Joural of Soud ad Vibratio, 4, 5-45. Striz, A.G., Che, W.. ve Bert, C.W. (994). Static aalysis of structures by the quadrature elemet method (QEM). Iteratioal Joural of Solid Structures, 3, 87-88.

8 Terzaghi, K. (955). Evaluatio of coefficiet of subgrade reactio. Geotechique, 5, 97-36. Timosheko, S.P. (9). O the correctio for shear of the differetial equatio for trasverse vibratios of prismatic bars. Philosophical Magazie, 4, 744-746. Tuma, J.J. ve Cheg, F.Y. (983). Theory ad Problems of Dyamic Structural Aalysis, Schaum s Outlie Series. ew York: Mc Graw-Hill. Vesic, A.S. (96). Bedig of beams restig o isotropic elastic solid. Joural of Egieerig Mechaical Divisio, 87, 35-53. Wag, C.M., Reddy, J.. ve ee, K.H. (). Shear Deformable Beams ad Plates: Relatioships with Classical Solutios. The etherlads: Elsevier Sciece imited. Wag, X. ve Gu, H. (997). Static aalysis of frame structures by the differetial quadrature elemet method. Iteratioal Joural for umerical Methods i Egieerig, 4, 759-77. Wag, X., Wag, Y.. ve Che, R.B. (998). Static ad free vibratioal aalysis of rectagular plates by the differetial quadrature elemet method. Commuicatios i umerical Methods i Egieerig, 4, 33-4. West, H.H. ve Mafi, M. (984). Eigevalues for beam colums o elastic supports. Joural of Structural Egieerig,, 35-3. Yesilce, Y. ve Catal, H.H. (8a). Free vibratio of piles embedded i soil havig differet modulus of subgrade reactio. Applied Mathematical Modellig, 3, 889-9.

9 Yesilce, Y. ve Catal, H.H. (8b). Free vibratio of semi-rigidly coected piles embedded i soils with differet subgrades. Iteratioal Joural of Structural Stability ad Dyamics, 8, 99-3. Yokoyama, T. (99). Vibratios of Timosheko beam-colums o two parameter elastic foudatios. Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics,, 355-37. Zekour, A.M. (999). Trasverse shear ad ormal deformatio theory for bedig aalysis of lamiated ad sadwich elastic beams. Mechaics of Composite Materials ad Structures, 6, 67-83. Zhou, J.K. (986). Differetial Trasformatio ad Its Applicatios for Electrical Circuits. Wuha: Huazhog Uiversity Press.

EKER Ek-: DTM ve DQEM Uygulamaları İçi Geliştirile Bilgisayar Programlarıa Ait Değişkeler istesi DTM ve DQEM uygulamaları içi, Matlab 7. ve Visual Basic 8 programlama dilleri kullaılarak geliştirile, hesap algoritmalarıa dayalı bilgisayar programlarıda kullaıla değişkeler aşağıda suulmuştur. AG : Tek açıklıklı kirişi kayma riitliğidir. AG : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait kayma riitliğidir. AG : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait kayma riitliğidir. AFA : Tek açıklıklı kirişi rölatif riitlik değeridir. AFA : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait rölatif riitlik değeridir. AFA : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait rölatif riitlik değeridir. BETA : Tek açıklıklı kirişi riitlik oraıdır. BETA : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait riitlik oraıdır. BETA : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait riitlik oraıdır. CC : İki açıklıklı kirişi sol ucua bağlaa dömeye karşı elastik yay katsayısıdır. CC : İki açıklıklı kirişi sağ ucua bağlaa dömeye karşı elastik yay katsayısıdır. CS : Tek ve iki açıklıklı kiriş içi, zemi yatak katsayısı ile temel geişliğii çarpımıda elde edile zemi parametresidir. EI : Tek açıklıklı kirişi eğilme riitliğidir. EI : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait eğilme riitliğidir. EI : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait eğilme riitliğidir. F : İki açıklıklı kirişe ait dömeye karşı elastik yay katsayıları içi boyutsuz çarpım faktörüdür. H : İki açıklıklı kirişte,. bölgeye ait kiriş yüksekliğii,. bölgeye ait kiriş yüksekliğie oraıdır.

KC KC KC3 M M M MD MS P PR PR PR T W : İki açıklıklı kirişi sol ucua bağlaa çökmeye karşı elastik yay katsayısıdır. : İki açıklıklı kirişte, kiriş e kesitii değiştiği oktaya bağlaa çökmeye karşı elastik yay katsayısıdır. : İki açıklıklı kirişi sağ ucua bağlaa çökmeye karşı elastik yay katsayısıdır. : Tek ve iki açıklıklı kirişleri boylarıdır. : İki açıklı kirişi. bölgesie ait kiriş uzuluğudur. : İki açıklı kirişi. bölgesie ait kiriş uzuluğudur. : Tek açıklıklı kirişi yayılı kütlesidir. : İki açıklı kirişi. bölgesie ait yayılı kütledir. : İki açıklı kirişi. bölgesie ait yayılı kütledir. : Elastik zemie otura Reddy-Bickford kirişii mesetleme durumudur (MD değeri, tek açıklıklı, her iki ucu akastre mesetli kirişi; MD değeri, tek açıklıklı, bir ucu akastre, diğer ucu basit mesetli kirişi; MD 3 değeri, tek açıklıklı, her iki ucu basit mesetli kirişi; MD 4 değeri, iki açıklıklı, her iki ucu yarı-riit bağlatılı kirişi taımlamaktadır). : Dikkate alıa mod sayısıdır (Çalışmada MS 3 alımıştır). : Sadece DQEM programıda kullaıla, yakısama içi gerekli düğüm oktası sayısıdır. : Tek ve iki açıklıklı kirişe etkiye ekseel basıç kuvveti değeridir. : Tek açıklıklı kirişe ait ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüdür. : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüdür. : İki açıklıklı kirişi. bölgesie ait ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörüdür. : Sadece DTM programıda kullaıla, yakısama içi gerekli terim sayısıdır. : Tek ve iki açıklıklı kirişi hesaplamak istee moda ait açısal frekas değeridir.

Ek-: DTM Uygulamaları İçi Geliştirile Bilgisayar Programıa Ait Akış Diyagramı BAŞA B Terim Sayısı ve Mesetleme Durumuu Girişi T, MD MD4 Evet Verileri Girişi M, M, EI, EI,,, KC, KC, BETA, AFA, PR, H, F AG, AG, AFA, BETA, CC, CC,, CS, PR, P W W, I I Hayır Verileri Girişi M, EI,, BETA, AFA, PR AG, CS, P A Tek açıklıklı, her iki ucu akastre mesetli kirişe ait trasfer edilmiş foksiyo elemalarıı hesabı Tek açıklıklı, her iki ucu akastre mesetli kirişe ait katsayılar matrisii hesabı C Tek açıklıklı, bir ucu akastre, diğer ucu basit mesetli kirişe ait trasfer edilmiş foksiyo elemalarıı hesabı Tek açıklıklı, bir ucu akastre, diğer ucu basit mesetli kirişe ait katsayılar matrisii hesabı D MD Evet B Tek açıklıklı, her iki ucu basit mesetli kirişe ait trasfer edilmiş foksiyo elemalarıı hesabı Hayır MD Evet C Tek açıklıklı, her iki ucu basit mesetli kirişe ait katsayılar matrisii hesabı Hayır E MD3 Hayır MD4 Hayır Evet D Evet E Aa Akış İki açıklıklı, her iki ucu yarı-riit bağlatılı kirişe ait trasfer edilmiş foksiyo elemalarıı hesabı İki açıklıklı, her iki ucu yarı-riit bağlatılı kirişe ait katsayılar matrisii hesabı

3 Aa Akış Determiat Hesabı (Souç DET(I) değişkeie ataır) KIYAS() DET() KIYAS(I ) DET(I) DET DET(I) KIYAS(I) KIYAS(I) Evet Hayır KIYAS(I)> KIYAS(I)> Evet A Hayır KIYAS(I)< KIYAS(I)< Evet Hayır MS MS DET Determiat Değeri W Açısal Frekas Değeri Evet MS>3 DUR Hayır Frekası Yazdırılması

4 Ek-3: DQEM Uygulamaları İçi Geliştirile Bilgisayar Programıa Ait Akış Diyagramı BAŞA Açıklık Sayısıı Belirlemesi Seçile açıklık sayısıa bağlı olarak; kütle, eğilme ve kayma riitliği, rölatif riitlik, riitlik oraı, ekseel basıç kuvveti içi boyutsuz çarpım faktörü, dömeye ve çökmeye karşı elastik yay sabitleri değerlerii girilmesi A Düğüm oktası Sayısıı Belirlemesi Seçile açıklık sayısıa göre mesetleme tipii belirlemesi A i ve B i Ağırlık Katsayılarıı Hesabı B

5 B [K] Global Riitlik Matrisii Hesabı [K ee ], [K ei ], [K ie ], [K ii ] Alt Matrisleri Hesabı [ Kˆ ], [ K ~ ] İdirgemiş Global Riitlik Matrisii Hesabı Özdeğer problemii çözümü Frekas Faktörüü Yazdırılması Açısal Frekas Değerii Hesabı Açısal Frekas Değerii Yazdırılması Souçlar Hassas mı? Hayır A Evet DUR

6 Ek-4: DQEM Uygulamaları İçi Geliştirile Bilgisayar Programıa Ait Ara Yüzey Görüümü