REEL ANALİZ. Tunç Mısırlıoğlu

REEL ANALİZ Tunç Mısırlıoğlu 9 Ocak 2011

Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Tunç Mısırlıoğlu C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul Kültür Üniversitesi Bakırköy 34156 İstanbul t.misirlioglu@iku.edu.tr

Cezir de kuma bir satır yazdım O satıra aklımı, ruhumu koydum Medd de okumak için geri döndüm O vakit cehaletimi gördüm. HALİL CİBRAN

İçindekiler Önsöz vii 1 Ön Bilgiler 1 1.1 Kümeler ve fonksiyonlar....................... 1 1.2 Sayılabilirlik.............................. 2 1.3 R içinde kümelerin topolojik özellikleri............... 3 1.4 Riemann integrali........................... 4 2 Ölçü Kavramı 9 2.1 Ölçüsü sıfır olan kümeler....................... 9 2.2 Dış ölçü................................ 11 2.3 (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçüsü.. 12 2.4 Lebesgue ölçüsünün özellikleri.................... 13 2.5 Borel kümeleri............................ 15 3 Ölçülebilir Fonksiyonlar 19 3.1 Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar.................. 19 3.2 Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri................. 20 4 Lebesgue İntegrali 23 4.1 Tanım................................. 23 4.2 Monoton yakınsaklık teoremleri................... 26 4.3 İntegrallenebilir fonksiyonlar..................... 27 4.4 Sınırlı yakınsaklık teoremi...................... 28 4.5 Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki.......... 30 4.6 Çeşitli Problemler.......................... 32 Kaynakça 37 Dizin 38 v

Önsöz İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi nin 2010-2011 Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders notu sıkıntısı çekilen Türkiye de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine ulaşılma hedefi güdülmektedir. 2009-2010 Güz yarıyılından bu yana İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü nde vermekte olduğum Reel Analiz dersinin Kaynakça kısmında belirtilen eserler temel alınarak oluşturulmuş notlarından oluşan ve bundan ötürü özgün olma iddiası taşımayan bu derleme, her türlü eleştiri ve yoruma açık bir denemedir. Okuyucunun ilgisini ölçü teorisinin temel kavramlarına yönlendirebilirse, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır. Bu ders notunda Teoremler ve Önermeler ispatsız olarak verilmektedir. Bunun amacı, hem ispatların derste yapılacak olması ve hem de öğrenciyi dersten önce kendi kendilerine ispatlamalaya teşvik etmesidir. Ayrıca okuyucunun bu notlar içerisindeki Problemleri çözmeye çalışması konuları pekiştirmek açısından çok yararlı olacaktır. İstanbul, Ekim 2010 Tunç Mısırlıoğlu vii

1 Ön Bilgiler Ölçü teorisinde, verilen keyfi bir kümenin alt kümelerinin aileleri ve reel sayıları bu ailelere ait kümelere götüren fonksiyonlar ile uğraşılır. Dolayısıyla bu bölümde kümelerin bazı temel yapıları ve bunların üzerinde tanımlı fonksiyonların özellikleri, sonsuz kümelerin sayılabilirliği ve sayılamazlığı, yine analizden bildiğimiz R (reel sayılar) de dizilerin yakınsaklığı, seriler, açık ve kapalı kümeler gibi topolojik kavramlar, ve ayrıca Riemann integralinin tanımı ve temel özelliklerini hatırlayacağız. 1.1 Kümeler ve fonksiyonlar Tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel kümeyi E ile göstereceğiz. Hiç bir elemanı olamayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir. E ye ait herhangi bir A alt kümesinin tüm alt kümelerinin ailesine A nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ya da 2 A ile gösterilir. A, B E olsun. A ile B nin arakesiti : A B = {x : x A ve x B} A ile B nin birleşimi : A B = {x : x A veya x B} A ile B nin farkı : A B = {x A : x B} = B A c A nın tümleyeni : A c = E A A ile B nin simetrik farkı : A B = (A B) (B A) A B = olması için gerek ve yeter koşul (gyk) A = B olmasıdır. Λ herhangi bir indeks kümesi olsun. \α Λ A α = {x : x A α, α Λ},[α Λ A α = {x : x A α, α Λ} Aşağıdaki iki özellik, de Morgan kuralları olarak bilinir. ([α Λ A α ) c =\α Λ A c α, (\α Λ A α ) c =[α Λ A c α 1

2 1 Ön Bilgiler A B = ise, A ile B kümelerine ayrıktır denir. Eğer α, β Λ olmak üzere, α β iken A α A β = ise, (A α ) α Λ küme ailesine ikişer ikişer ayrıktır denir. A ile B nin kartezyen çarpımı : A B = {(a, b) : a A, b B} A B nin herhangi f : A B alt kümesi, "(a, b), (a, c) f iken b = c" koşulunu sağlarsa, f ye bir fonksiyon denir. f nin tanım kümesi D f = {a A : (a, b) f, b B} ve değer kümesi R f = {b B : (a, b) f, a A} şeklinde tanımlanır. Herhangi bir X A alt kümesinin görüntüsü f(x) = {b B : b f (a), a X} ve herhangi bir Y B alt kümesinin ters görüntüsü f 1 (Y ) = {a A : f(a) Y } şeklindedir. Bir g fonksiyonunun bir f fonksiyonunu genişletmesi, D f D g ve D f üzerinde g = f olması demektir. Bir başka ifade ile, f, g yi D f ye kısıtlıyor demektir. A kümesinin işaret fonksiyonu, 1 A (x) = 1; x A 0 ; x / A şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyona ait bazı özellikler aşağıdaki şekildedir: 1 A B = 1 A.1 B, 1 A B = 1 A + 1 B 1 A.1 B, ve 1 A c = 1 1 A. Herhangi bir A E kümesi verilsin. A A nın bir R alt kümesine bir bağıntı denir. Notasyonel olarak (x, y) R elemanını x y ile ifade edeceğiz. bağıntısı aşağıdaki 3 özelliği de sağlıyorsa bu bağıntıya eşdeğerlik bağıntısı denir. 1. (Yansıma) x A, x x 2. (Simetrik) x y ise, y x 3. (Geçişme) x y ve y z ise, x z A üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısı A yı (ayrık) eşdeğerlik sınıflarına parçalar. Verilen bir x A elemanının eşdeğerlik sınıfı ˆx = {z : z x} şeklindedir (yani, A nın x e eşdeğer olan tüm elemanlarının kümesi). Şu halde, x ˆx dir ve böylece A =Sx A ˆx dir. Bu birleşim ayrık bir birleşimdir (Göster!). Bu şekilde elde edilen tüm eşdeğerlik sınıflarının kümesi A/ ile gösterilir. 1.2 Sayılabilirlik Herhangi bir A kümesi ile N doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi arasında birebir bir tekabül kurulabiliyorsa A ya sayılabilirdir denir. Böyle bir tekabül kurulamıyorsa kümeye sayılamaz denir. Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimleri de sayılabilirdir (Göster!). Dahası, Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. Buna karşın Cantor, R nin sayılamaz olduğunu göstermiştir. Bunu göstermek için [0, 1]

1.3 R içinde kümelerin topolojik özellikleri 3 kapalı aralığının sayılamazlığını göstermemiz yeterlidir (Neden?). Gerçekten, [0, 1] aralığı sayılabilir olsaydı, bu aralığın elemanlarını x n = 0.a n1 a n2 a n3...a nn... olacak şekilde bir (x n ) dizisi şeklinde gözönüne alabilirdik. Burada a ij ler rakamlardan oluşmaktadır. Bu durumda, x 1 = 0.a 11 a 12 a 13... x 2 = 0.a 21 a 22 a 23... x 3 = 0.a 31 a 32 a 33...... olur. Şimdi b n rakamlarını a nn lerden farklı olacak şekilde seçersek, y = 0.b 1 b 2 b 3... şeklinde [0, 1] aralığına ait bir y eleman bulurduk ki bu eleman x n lerden farklıdır ve dolayısıyla çelişki elde ederiz. Q sayılabilirdir ve sayılabilir kümelerin birleşimi de sayılabilir olduğundan, R Q sayılamazdır. 1.3 R içinde kümelerin topolojik özellikleri Bir A R alt kümesi verilsin. Eğer A, açık aralıkların bir birleşimi ise, yani açık aralıkların (I α ) α Λ ailesi için, A =Sα Λ I α ise, A ya açık küme denir. Bütünleyeni açık olan kümeye kapalı küme denir. R n (n > 1) deki açık kümeler, aralıkların n defa çarpımlarının birleşimi şelindedir. Sonlu sayıda açık kümenin arakesiti de açıktır. Bununla birlikte, sayılabilir sayıda açık kümenin arakesiti açık olmak zorunda değildir. Örneğin, n 1 olmak üzere, A n = ( 1 n, 1) için,t n=1 A n = [0, 1) açık değildir. f : R R bir fonksiyon olmak üzere, her açık A R alt kümesi için, f 1 (A), R de açık ise f fonksiyonuna süreklidir denir. Kapalı ve sınırlı bir küme üzerinde tanımlı her sürekli reel fonksiyon, bu küme üzerinde bir maksimum ve bir minimum değere sahiptir (Göster!). Örneğin, eğer f : [a, b] R fonksiyonu sürekli ise, öyle x max, x min [a, b] noktaları vardır ki, M = sup{f(x) : x [a, b]} = f(x max ) ve m = inf{f(x) : x [a, b]} = f(x min ) dir. Ara değer teoreminden bildiğimiz gibi, her sürekli fonksiyon tüm ara değerlerini uç noktalar arasında alır. Yani, her y [m, M] için öyle bir θ [a, b] vardır ki y = f(θ) dır. (x n ) R herhangi bir dizi olsun. (x n ) nin üst limiti lim sup x n := inf{ sup x m : n N} n m n

4 1 Ön Bilgiler (x n ) nin alt limiti lim inf n x n := sup{ inf m n x m : n N} şeklinde tanımlanır. (x n ) dizisinin yakınsak olması için gyk alt ve üst limitlerin birbirine eşit olmasıdır (Göster!) ve bunların ortak değeri bu dizinin limitidir. Eğer her ε > 0 sayısına karşılık öyle bir N N vardır ki her n N için x n x < ε oluyorsa, (x n ) dizisi yakınsaktır denir. x noktasına bu dizinin limiti denir ve lim n x n = x yazılır. Eğer (x n ) dizisinin kısmi toplamlar dizisi olan s n =Pn k=1 x k yakınsak ise P n=1 x n serisine yakınsaktır denir ve bu durumda kısmi toplamlar dizisinin limiti bu serinin toplamıdır. 1.4 Riemann integrali Bu kısımda Analiz den bildiğimiz Riemann integralinin kısa bir tekrarını yapıp bazı (daha ileri) durumlarda neden yatersiz kaldığına dair sebepleri göreceğiz. f : [a, b] R sınırlı bir fonksiyon olsun. [a, b] aralığının, a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b olmak üzere, sonlu bir P = {x 0, x 1, x 2,..., x n } alt kümesini gözönüne alalım. Bu P alt kümesine [a, b] aralığının bir parçalanışı denir. P parçalanışı, sırasıyla, U(P, f) = nxi=1 M i x i ve L(P, f) = nxi=1 m i x i üst ve alt Riemann toplamlarını doğurur. Burada x i = x i x i 1, her 1 i n için, alt aralıkların uzunlukları, ve her bir i n için, M i = sup ai 1 x a i f(x) ve m i = inf ai 1 x a i f(x) dir. (Not: M i ve m i ler daima mevcutturlar zira f, her bir [a i 1, a i ] aralığı üzerinde sınırlıdır.) f nin Riemann integralini tanımlamak için öncelikle verilen herhangi bir P parçalanışı için L(P, f) U(P, f) olduğunu ve daha sonra P yi kapsayan herhangi bir P parçalanışı için L(P, f) L(P, f) ve U(P, f) U(P, f) olduğunu göstermemiz gereklidir. Sonunda, herhangi iki P 1 ve P 2 parçalanışları için P 1 P 2, P 1 ve P 2 yi kapsayan bir parçalanış olduğundan herhangi iki P ve Q parçalanışları için L(P, f) U(Q, f) olduğu görülür. Böylece {L(P, f) : P, [a, b] nin bir parçalanışı} kümesi R de üstten sınırlıdır, ve bu kümenin supremumuna f nin [a, b] üzerinderb a f alt integrali denir. Benzer şekilde, üst toplamların kümesinin infimumunarb a f üst integrali denir. Eğer bu iki sayı eşit oluyorsa, bu durumda

1.4 Riemann integrali 5 f fonksiyonuna [a, b] üzerinde Riemann anlamında integrallenebilir denir. Bu sayıların ortak değerine f nin Riemann integrali denir verb a f(x)dx ile gösterilir. Bu tanım, bazı fonksiyonların integrallenebilirliğini kontrol etmek için uygun bir kriter değildir ancak aşağıda bunun için uygun bir kriter vardır. Teorem (Riemann kriteri). f : [a, b] R fonsiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk her ε > 0 için öyle bir P ε parçalanışı vardır ki U(P ε, f) L(P ε, f) < ε olmasıdır. Örnek. f(x) = x içinr1 0 f(x)dx integralini hesaplayalım. [0, 1] aralığının parçalanışlarının bir dizisi olarak P n = {0, ( 1 n )2, ( 2 n )2,..., ( i n )2,..., 1} dizisini seçelim. Bu durumda, U(P n, f) = ( nxi=1 i n )[( i n )2 ( i 1 n )2 ] = 1 n 3 (2i nxi=1 2 i) L(P n, f) = ( nxi=1 i 1 n )[( i n )2 ( i 1 n )2 ] = 1 n 3 (2i nxi=1 2 3i + 1) U(P n, f) L(P n, f) = 1 n 3 (2i 1) = nxi=1 1 n bulunur. n yi yeterince büyük seçerek bu farkı verilen herhangi bir ε > 0 sayısından küçük yapabiliriz. Bu ise bize f nin integrallenebilir olduğunu gösterir. Ayrıca integralin sonucu 2 3 tür çünkü kolayca görülebileceği gibi U(P n, f) ve L(P n, f) bu değere yakınsarlar. Not. Her sınırlı monoton fonksiyon ve her sürekli fonksiyon Riemann integrallenebilirdir. (Göster!) Teorem (İntegral Hesabın Esas Teoremi). f : [a, b] R fonksiyonu sürekli olsun. Eğer F : [a, b] R fonksiyonunun türevi (a, b) de f ise, F (b) F (a) =Rb a f(x)dx dir. Burada F fonksiyonuna f nin ilkeli denir ve F (x) =Rx a f(x)dx yazılır. Sınırlı f : [a, b] R fonksiyonunu [a, b] deki sonlu sayıdaki nokta dışında sürekli olarak alırsak, f Riemann anlamında integrallenebilir olur. Gerçekten, aralığı f nin sürekli olduğu alt aralıklara parçalarsak, f her bir aralıkta integrallenebilir olur ve dolayısıyla bütün aralıkta integrallenebilir olur. Buna bir örnek olarak, x = a f(x) = 1; 1,..., a n 0 ; x [0, 1] {a 1,..., a n }

6 1 Ön Bilgiler fonksiyonu gösterilebilir. Bu fonksiyon [0, 1] üzerinde integrallenebilirdir ve integrali 0 a eşittir. Bununla birlikte, ileride, Lebesgue ölçüsünü ve "hemen hemen her yerde" kavramlarını tanımlayarak, "Sınırlı bir f : [a, b] R fonksiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk f in, [a, b] aralığının Lebesgue ölçüsüne göre hemen hemen her noktasında sürekli olmasıdır" şeklindeki sonucu kanıtlayacağız. Bu sonuçtan yararlanarak, örneğin Dirichlet fonksiyonu olarak bilinen f(x) = 1 n ; x = m n Q 0 ; x R Q fonksiyonunun [0, 1] aralığında Riemann anlamında integrallenebilir olduğunu gösterebileceğiz. Burada şunu belirtmek gerekir ki, f nin rasyonel olmayan noktalarda sürekli ve her rasyonel noktada süreksiz olduğu (Göster!) aşikar olmakla birlikte bu fonksiyonun, Riemann integralinin tanımını kullanarak integralini almak mümkün değildir (Lütfen deneyiniz). Şimdi, bu dersin amacının integrasyon kavramının Lebesgue teorisini ortaya koymak olduğundan, yeni bir integrasyon teorisine neden ihtiyaç duyduğumuzu ortaya koymamız gerekir. Yani yukarıda anlattığımız Riemann integralinin yetersiz kaldığı durumu anlamamız gerekiyor. Bunun için bir çok sebep sayılabilir. Biz bunlardan birini anlatmağa çalışalım. Öncelikle Riemann integrali aralıklara bağlıdır. Ancak daha genel kümeler üzerinde ya da dağınık duran ayrık olmayan bir çok aralığın birleşimi veya başka bir şekli üzerinde integrali almak her zaman mümkün olmayabilir. Örneğin, [0, 1] aralığındaki rasyonel sayılar kümesinin 1 Q işaret fonksiyonu için alt ve üst Riemann toplamlarını gözönüne alalım. [0, 1] aralığını parçaladığımızda herbir alt aralık mutlaka rasyonel ve irrasyonel noktalar içerir. Şu halde, herbir üst toplam 1 ve herbir alt toplam da 0 olur. Böylece bu fonksiyonun [0, 1] aralığı üzerinde Riemann anlamında integrali yoktur. Ölçü, R de uzunluk kavramının, R 2 de alan kavramının, R 3 te ise hacim kavramının, genelleştirilmesidir. Bu dersin amacı Lebesgue integrali kavramını tanımak olacaktır. Bu kavramı 3 aşamada tanıyacağız: Öncelikle ölçü kavramı ve ölçülebilir kümeleri, daha sonra ölçülebilir fonksiyonları ve nihayet ölçülebilir fonksiyonların integralini vereceğiz. Riemann integralinde [a, b] aralığı aralıklara ayrılırken ve nokta seçerken fonksiyon hiç kullanılmıyor. Buna karşın Lebesgue integralinde aralığı verilen fonksiyona göre ayrı ayrı kümelere ayırıyoruz. Yani Riemann integralinde aralığın parçalanması fonksiyondan bağımsız olarak yapılmaktadır. Ayrıca bu parçalanış herhangi alt kümeler olarak değil sıralanmış alt aralıklar olarak seçilmektedir. Buna karşın

1.4 Riemann integrali 7 Lebesgue integralinde aralık, fonksiyonun değerlerine bağlı olarak, sıralanmış alt aralıklara değil, kümelere ayrılır. Örneğin, aralık, [a, b] = A 1 A 2... A n şeklinde kümelerin bir ayrışımına sahip olsun. Her bir A i kümesinden rasgele c i noktalarını seçelim. Bu durumda Riemann toplamı,pn i=1 f(c i) A i şeklinde olacaktır. Burada A i, Riemann ile karşılaştırdığımızda A i kümelerinin uzunluğu olmalıdır. Ancak bir kümenin uzunluğunun ne olduğu hakkında hiç bir bilgimiz bulunmamaktadır. Bilindiği gibi uzunluk kavramı sadece aralıklar için tanımlıdır. Bu nedenle uzunluk kavramının genelleştirilmesi olarak ölçü kavramını vereceğiz. x Q D(x) = 1; 0 ; x R Q fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyonun hiç bir yerde sürekli değildir (Göster!).Pn i=1 D(c i) x i toplamının limiti c i noktalarının seçimine bağlıdır. Gerçekten, c i Q nxi=1 D(c i ) x i = D(c i ) x i = 1 Z1 D(x)dx = 1 nxi=1 0 c i R Q D(c i ) x i = 0 Z1 D(x)dx = 0 nxi=1 olur. Sonuçta integral toplamının limiti c i lerin seçimine bağlıdır. Dolayısıyla tanımdan dolayı D(x) fonksiyonunun Riemann integrali yoktur. Bu fonksiyonun Lebesgue integralini vermek için aralığın başka türlü bir parçalanışını seçmeliyiz. Örneğin bu aralığı, bu aralığa ait rasyonel irrasyonel noktaların birleşimi olarak alalım. Bu durumda integral toplamı, c 1 irrasyonel ve c 2 rasyonal olmak üzere, D(c 1 ). (R Q) + D(c 2 ). (Q) şeklinde olur. Burada (R Q) ve (Q) yerine ne yazacağımızı bilmiyoruz. Dolayısıyla, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ölçülerini belirlememiz gerekir. Sonuç olarak bir kümenin ölçüsü ne demektir, öncelikle bunu tanımlamamız gerekir. 0

2 Ölçü Kavramı Önceki bölümde sözünü ettiğimiz gibi, örneğin Q ya da R Q gibi kümeler aralıklardan çok daha farklı kümelerdir ve bunların uzunluklarını nasıl ölçebileceğimiz pek açık değildir. Bu bölümün amacı herhangi bir küme üzerinde ölçü kavramını vermek olacaktır. Bunun için öncelikle reel sayılardaki sınırlı aralıklarının uzunluğunu verme R de ölçü, uzunluk kavramının genelleştirilmesi olduğundan R deki kümeleri iki sınıfa ayırabiliriz: 1. Uzunluğu belli olan kümeler sınıfı -ki bunlar aralıklardır-. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü uzunluğuna eşit kabul ediyoruz. 2. Aralıklar sınıfının dışındaki kümeler. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü aralıklar yardımıyla buluyoruz. I, R de herhangi bir sınırlı aralık (yani I = [a, b], (a, b], [a, b) veya (a, b)) olmak üzere, I aralığının uzunluğu l(i) = b a olarak tanımlanır. Her nokta bir aralıktır ve uzunluğu sıfırdır. Gerçekten, [a, b] aralığında a = b seçersek aralık {a} noktasına denk gelir. Dahası, l({a}) = l([a, a]) = 0 elde edilir. Dolayısıyla sonlu kümelerin de uzunluğu sıfırdır. R de bir kümeyi aşikar olmayan bir takım aralıklara bölmemiz her zaman mümkün olmayabiliyor. Bu nedenle bu kümeyi örten bir takım (hatta sayılabilir sayıda) aralıkların bir sistemini gözönüne alabiliriz. Buradan yola çıkarak, aşağıda verilen tanım ile ölçü yolculuğumuza başlayabiliriz. 2.1 Ölçüsü sıfır olan kümeler Tanım 2.1.1. A R alt kümesi verilsin. Verilen herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık, A I n [n=1 ve l(i n ) < ε Xn=1 olacak şekilde aralıkların bir {I n : n 1} dizisi bulabiliyorsa A kümesine ölçüsü sıfır olan küme ya da kısaca sıfır kümesi denir. 9

10 2 Ölçü Kavramı Açıklama 2.1.2. Üstteki tanımda aralıklar olarak açık, kapalı ya da yarı-açık aralılar alınabilir.ayrıca, aralıkların ayrık olmaları gerekmez. Şu halde, tanımdan boş kümenin bir sıfır kümesi olduğu kolaylıkla görülebilir. Örnek 2.1.3. Tek-elemanlı kümeler sıfır kümesidir. Gerçekten, ε > 0 verilsin. I 1 = (x ε 4, x + ε 4 ) ve n 2 için I n = [0, 0] alalım. Bu durumda,p n=1 l(i n) = l(i 1 ) = ε 2 < ε bulunur. Daha genel olarak, herhangi bir sayılabilir A = {x 1, x 2,...} kümesi sıfır kümesidir. Aslında, aralıkları I n = [x n, x n ] alarak bunu göstermek mümkündür. Ancak biz bunu, A kümesini örten aralıkları açık aralıklar alarak göstereceğiz. Şimdi, ε > 0 verilsin ve A kümesini örten aralıların dizisini aşağıdaki şekilde alalım: I 1 = (x 1 ε 8, x 1 + ε 8 ), l(i 1) = ε 2. 1 2 1 P n=1 I 2 = (x 2 ε 16, x 2 + ε 16 ), l(i 2) = ε 2. 1 2 2 I 3 = (x 3 ε 32, x 3 + ε 32 ), l(i 3) = ε 2. 1 2 3...... I n = (x n ε 2.2 n, x n + ε 2.2 n ), l(i n) = ε 2. 1 2 n 1 2 = 1 olduğundan,p n n=1 l(i n) = ε 2 < ε bulunur. Yukarıdaki örnekteki A kümesi, sayılabilir sayıda tek-elemanlı kümenin birleşimi şeklindedir. Tek-elemanlı kümeler sıfır kümelerdir ve A kümesi de sıfır kümesi olmaktadır. Bu durumu aşağıdaki teorem ile genelleştirebiliriz. Teorem 2.1.4. {N n } n 1 sıfır kümelerin bir dizisi ise, bunların birlesimi olan N =S n=1 N n kümesi de sıfır kümesidir. Sayılabilir kümeler sıfır kümeler olmakla birlikte, sayılamayan kümeler için aynı şeyi söyleyemeyiz. Buna karşın, sayılamayan sıfır kümeleri mevcuttur. Bununla ilgili Cantor kümesi olarak bilinen aşağıdaki örneği verebiliriz. Örnek 2.1.5. [0, 1] aralığını üç eşit parçaya bölelim ve ortadaki ( 1 3, 2 3 ) aralığını atarak elde ettiğimiz kümeye C 1 diyelim. Bu durumda, C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1] olur. Daha sonra C 1 deki iki aralığı da üçer eşit parçaya bölelim ve ortalarındaki aralıkları atalım ve geri kalan kümeye C 2 diyelim. Bu durumda C 2, uzunlukları 1 9 olan dört tane aralıktan oluşur. Bu şekilde devam ederek, herbirinin uzunluğu 1 3 olan 2 n tane ayrık kapalı aralıkların birleşimi olan C n n kümesini elde ederiz.

2.2 Dış ölçü 11 Kolayca görülebileceği gibi, C n kümesinin toplam uzunluğu ( 2 3 )n dir. C n lerin arakesiti olan C = C n \n=1 kümesine Cantor kümesi denir. Cantor kümesi sayılamazdır (Göster!) ve sıfır kümesidir. Gerçekten, verilen herhengi bir ε > 0 sayısına karşılık yeterince büyük n için ( 2 3 )n < ε dur. C C n ve C n kümeleri, toplam uzunlukları ε dan küçük olan aralıkların sonlu bir dizisi olduğundan, C nin sıfır kümesi olduğu görülür. 2.2 Dış ölçü Tanım 2.2.1. A R alt kümesi verilsin. Z A = { l(i n ) : I n ler aralıklar, A Xn=1 I n } [n=1 olmak üzere, m (A) = inf Z A sayısına A kümesinin (Lebesgue) dış ölçüsü denir. Herhangi bir A R alt kümesi için m (A) 0 dır. Bazı A alt kümeleri için, A nın her örtülüşüne karşınp n=1 l(i n) serisi ıraksak olabileceğinden, m (A) = olabilir. Z A kümesi 0 ile alttan sınırlıdır. Dolayısıyla, sözü edilen infimum daima mevcuttur. Eğer r Z A ise, [r, + ] Z A dır. Şu halde Z A, ya {+ } ya da bir x real sayısı için (x, + ] veya [x, + ] aralığıdır. Dolayısıyla, Z A nın infimumu sadece x olur. Teorem 2.2.2. A R alt kümesinin sıfır kümesi olması için gyk m (A) = 0 olmasıdır. Üstteki teoremdem, m ( ) = 0, her x R için m ({x}) = 0, m (Q) = 0, ve daha genel olarak, X sayılabilir bir küme olmak üzere, m (X) = 0 olduğu görülür. Aşağıdaki teoremden görülebileceği gibi dış ölçü monotondur. Teorem 2.2.3. A B ise, m (A) m (B) dır. Teorem 2.2.4. Bir aralığın dış ölçüsü uzunluğuna eşittir.

12 2 Ölçü Kavramı Teorem 2.2.5. Dış ölçü sayılabilir alttoplamsaldır; yani, herhangi bir {E n } kümeler dizisi için, m ( E n ) [n=1 m Xn=1 (E n ) dir. Problem 2.2.6. m (A) = 0 ise, her B için, m (A B) = m (B) dir. Gösteriniz. Problem 2.2.7. Eğer m (A B) = 0 ise, m (A) = m (B) dir. Gösteriniz. Önerme 2.2.8. Her A R alt kümesi ve her t R reel sayısı için, dir. m (A) = m (A + t) 2.3 (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue ölçüsü Tanım 2.3.1. E R alt kümesi verilsin. Her A R için, m (A) = m (A E) + m (A E c ) ise, E kümesine (Lebesgue anlamında) ölçülebilirdir denir ve E M yazılır. Herhangi A ve E kümeleri için daima A = (A E) (A E c ) dır. Şu halde, dış ölçünün alttoplamsallık özelliğinden (bkz. Teorem 2.2.5), m (A) m (A E) + m (A E c ) olur. Dolayısıyla, bir kümenin ölçülebilirliğini aşağıdaki şekilde test etmemiz yeterli olacaktır: "E M olması için gyk her A R için m (A) m (A E) + m (A E c ) olmasıdır." Teorem 2.3.2. (i) Her sıfır kümesi ölçülebilirdir. (ii) Her aralık ölçülebilirdir. Teorem 2.3.3. (i) R M dir.

2.4 Lebesgue ölçüsünün özellikleri 13 (ii) E M ise, E c M dir. (iii) Her n = 1, 2,... için, E n M ise,s n=1 E n M dir. Dahası, her n = 1, 2,... için, E n M ve j k için E j E k = ise, m ( E n ) = [n=1 m Xn=1 (E n ) (2.3.1) dir. (Sayılabilir toplamsallık özelliği) Açıklama 2.3.4. Üstteki teorem bu bölümün en önemli teoremidir ve bundan sonrakilere de temel teşkil etmektedir. X herhangi bir küme olmak üzere X in alt kümelerinin bir alt ailesi C olsun. Eğer (i) X C, (ii) C C için C c C ve (iii) C 1, C 2,... C içins n=1 C n C ise, C ailesine bir σ-cismi denir. Dolayısıyla, teoremdeki (i), (ii) ve (iii) özelikleri ile birlikte M ailesi bir σ-cismidir. Bir σ- cismi üzerinde tanımlı [0, ]-değerli µ fonksiyonu, ikişer ikişer ayrık kümeler için sayılabilir toplamsallık özelliğine sahip (yani (2.3.1) eşitliğini sağlıyor) ise, bu fonksiyona bir ölçü denir. Bu durumda, (X, C, µ) üçlüsüne bir ölçü uzayı denir. Şu halde, (R, M, m ) bir ölçü uzayıdır. Önerme 2.3.5. k = 1, 2,... için E k M ise, E =T k=1 E k M dir. Tanım 2.3.6. Herhangi bir E M için, m (E) yerine m(e) yazacağız ve m(e) ye de Lebesgue ölçüsü diyeceğiz. Dolayısıyla, m : M [0, ] Lebesgue ölçüsü, ölçülebilir M σ-cismi üzerinde tanımlı sayılabilir toplamsal küme fonksiyonudur. Bir aralığın Lebesgue ölçüsü uzunluğuna eşittir. Bir sıfır kümenin Lebesgue ölçüsü sıfırdır. 2.4 Lebesgue ölçüsünün özellikleri Lebesgue ölçüsü dış ölçünün kümelerin özel bir sınıfına kısıtlanışı olduğundan, dış ölçünün bazı özellikleri Lebesgue ölçüsü için de geçerlidir: Önerme 2.4.1. A, B M olsun. (i) A B ise, m(a) m(b) dir. (ii) A B ve m(a) sonlu ise, m(b A) = m(b) m(a) dır. (iii) Her t R için, m(a + t) = m(a) dır.

14 2 Ölçü Kavramı M olduğundan, (2.3.1) de her i > n için E i = alarak, Lebesgue ölçüsünün toplamsal olduğu sonucunu çıkarabiliriz: E i M ler ikişer ikişer ayrık kümeler ise, m( E i ) = n[n=1 m(e i ) nxn=1 dir. Problem 2.4.2. m(a B) ve m(a B C) için birer formül çıkarınız. Önerme 2.4.3. A M ve m(a B) = 0 ise, B M ve m(a) = m(b) dir. Bilindiği gibi R deki her açık küme sayılabilir sayıda açık aralıkların birleşimi olarak yazılabilir. Dolayısıyla, R deki açık kümeler, Lebesgue anlamında ölçülebilirdir çünkü M ailesi aralıkları içerir ve sayılabilir birlerşimler altında kapalıdır. Aşağıdaki theorem yardımı ile,herhangi bir A M kümesinin Lebesgue ölçüsüne, A kümesini içeren açık kümeler dizisinin ölçüleri ile üstten yaklaşabiliriz. Teorem 2.4.4. (i) A M olsun. Herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık A kümesini kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(o) m (A) + ε dur. Şu halde, herhangi bir E M için E kümesinin kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(o E) < ε dur. (ii) Herhangi bir A M için, açık kümelerin O n dizisi vardır ki A \n O n, m(\n O n ) = m (A) dır. Teorem 2.4.5. Her n 1 için A n M olsun. Bu durumda, (i) Eğer her n 1 için A n A n+1 ise, m([n A n ) = lim n m(a n) dir. (ii) Eğer her n 1 için A n+1 A n ve m(a 1 ) sonlu ise, m(\n A n ) = lim n m(a n) dir.

2.5 Borel kümeleri 15 Teorem 2.4.6. (i) m sonlu toplamsaldır. Yani, ikişer ikişer ayrık (A i ) n i=1 kümeleri için, m(sn i=1 A i) =Pn i=1 m(a i) dir. (ii) m, boş kümede süreklidir. Yani (B n ), boş kümeye doğru azalan bir dizi ise, m(b n ), sıfıra doğru azalır. 2.5 Borel kümeleri Teorem 2.5.1. σ-cisimlerinden oluşan bir ailenin elemanlarının arakesiti de bir σ-cismidir. Tanım 2.5.2. B =T{F : F, tüm aralıkları içeren bir σ -cismi} ailesi tanımlansın. Bu durumda B, üstteki teoremden, tüm aralıklar tarafından üretilen σ- cismidir. B ailesinin elemanlarına Borel kümeleri denir. B ailesi, tüm aralıkları içeren en küçük σ-cismidir. Daha genel olarak, A kümelerin bir ailesi olmak üzere, eğer G :=T{F : F, A ailesini kapsayan bir σ -cismi} ise, G ailesine A tarafından üretilen σ-cismi denir. Örnekler 1. Aşağıdaki örnekler, B σ-cisminin kapanış özelliklerinin, R deki bilinen kümelerin B ye ait olması ile ilgili, nasıl kullanılabileceklerini göstermektedir. (i) Tüm aralıklar B ye aittir ve B bir σ-cismi olduğundan, tüm açık kümeler B ye aittir çünkü herhangi bir açık küme (açık) aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. (ii) Sayılabilir kümeler Borel kümeleridir çünkü her sayılabilir küme [a, a] şeklindeki kapalı aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. Dahası, Doğal sayılar ve rasyonel sayılar Borel kümeleridir. Şu halde, Borel kümelerinin tümleyenleri de Borel kümeleri olduğundan, irrasyonel sayılar da Borel kümesidir. Benzer şekilde, sonlu ve tümleyeni sonlu olan kümeler de Borel kümeleridir. Teorem 2.5.3. Eğer tüm aralıkların ailesi yerine tüm açık aralıkların, tüm kapalı aralıkların, (a, ) (veya [a, ) veya (, b) veya (, b]) şeklindeki aralıkların, tüm açık kümelerin, ya da tüm kapalı kümelerin ailesini alırsak, bunlar tarafından üretilen σ-cismi B ile aynı olur. Problem 2.5.4. (a, b] (veya [a, b)) şeklindeki aralıkların ailesinin de Borel kümelerin σ-cismini ürettiğini gösteriniz.

16 2 Ölçü Kavramı Açıklama 2.5.5. M, tüm aralıkları içeren bir σ-cismi olduğundan ve B, bu şekildeki en küçük σ-cismi cismi olduğundan, B M dir. Yani, R deki her Borel kümesi Lebesgue anlamında ölçülebilirdir. Dolayısıyla, bu şekildeki σ- cisimlerinin aynı olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Aslında B, M nin öz alt kümesidir. Teorem 2.4.4 (ii) den, verilen herhangi bir E M için, O n ler açık kümeler olamak üzere B =Tn O n olacak şekilde öyle bir B E Borel kümesi bulabiliriz ki m(e) = m(b) olur. Dahası, m(b E)m(B E) = 0 dır. Böylece m, ölçülebilir E kümesi ve inşa ettiğimiz B Borel kümesi arasındaki farkı ayırt edemez. Gördüğümüz gibi, verilen bir Lebesgue anlamında ölçülebilir E kümesine karşılık daima bir B Borel kümesi bulabiliriz ki E B simetrik farkı sıfır kümesi olur. E B M olduğunu biliyoruz. Ayrıca, açıktır ki, sıfır kümelerin alt kümeleri de sıfır kümelerdir ve dolayısıyla ölçülebilirdirler yani M dedir. Bunula birlikte, buradan, her sıfır kümesinin bir Borel kümesi olduğu sonucunu çıkaramayız (eğer B tüm sıfır kümelerini içermiş olsaydı, Teorem 2.4.4 (ii) den, B = M olurdu). Tanım 2.5.6. (X, F, µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer µ(f ) = 0 olan her F F ve her N F için N F (ve dolayısıyla µ(n) = 0) ise, bu ölçü uzayına tamdır denir. Tanım 2.5.7. Verilen bir µ ölçüsüne göre bir G σ-cisminin tamamlanışı, G yi içeren en küçük F σ-cismidir öyle ki eğer N G G ve µ(g) = 0 ise, N F dir. Bu tanımlardan yola çıkarak, M, R üzerindeki en küçük σ-cismi olup, m ölçüsüne göre B nin tamamlanışı olur. Ayrıca, (R, M, m) ölçü uzayı tam olmakla birlikte, (R, B, m) ölçü uzayı tam değildir. Önerme 2.5.8. Bir G σ-cisminin tamamlanışı, şeklindedir. {G N : G F, N F F, µ(f ) = 0} Bu Önermeden yola çıkarak, µ ölçüsünü F üzerindeki bir µ ölçüsüne, G G için µ(g N) = µ(g) yardımıyla, tek bir şekilde genişletebiliriz. Teorem 2.5.9. M, B nin tamamlanışıdır. Teorem 2.5.10. E M ise, herhangi bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F E alt kümesi vardır ki m(e F ) < ε olur. Böylece, F n ler kapalı kümeler olmak üzere, B =Sn F n olacak şekilde öyle bir B E alt kümesi vardır ki m(e B) = 0 olur.

2.5 Borel kümeleri 17 Problem 2.5.11. E M olsun. Aşağıdakilerin eşdeğer olduğunu gösteriniz. (i) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir açık O E kümesi vardır ki m (O E) < ε olur. (ii) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F E kümesi vardır ki m (E F ) < ε olur. Tanım 2.5.12. µ, B üzerinde tanımlı negatif olmayan sayılabilir toplamsal küme fonksiyonu olsun. Eğer her B Borel kümesi için ve µ(b) = inf{µ(o) : B O (açık)} µ(b) = sup{µ(f ) : F (kapalı) B} ise, µ fonsiyonuna düzenli Borel ölçüsü denir. Teorem 2.4.4 ve Teorem 2.5.10 de, bu ilişkilerin Lebesgue ölçüsü için sağlandığını gösterdik. Düzenli Borel ölçüleri ile ilgili diğer örnekleri daha ileride göreceğiz.