T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ Tezi Hazırlayan Süleyman CENGİZCİ Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi TEMMUZ 4 NEVŞEHİR

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ Tezi Hazırlayan Süleyman CENGİZCİ Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi TEMMUZ 4 NEVŞEHİR

TEŞEKKÜR Dört yıllık lisans ve sonrasında iki yıllık yüksek lisans eğitimlerim süresince yaşadığım tüm zorluklarda yanımda olmuş, maddi ve manevi desteğini esirgememiş olan rahmetli büyükbabam Süleyman YILMAZ a; büyükannem Dudu YILMAZ a, annem Ferda CENGİZCİ ve kardeşim Şemsi CENGİZCİ ye, Niğde de tanımış olduğum ve her zaman destekçilerim olan hocalarım Semin GÜLEÇ ve Ebru GÜLEÇ e; akademik dünyayı tanımamda çok büyük katkıları olan, tanıştığım günü hayatımın dönüm noktası olarak nitelendirdiğim yardımcı danışman hocam Yrd. Doç. Dr. M. Tarık ATAY a ve Arş. Grv. Nurettin IRMAK a, yüksek lisans eğitimim sırasında tanıştığım, öğütleriyle ve destekleriyle her zaman yanımda olan danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ a, Spectral Methods adlı dersini aldığım ve kendisinden çok şey öğrenmiş olduğum Orta Doğu Teknik Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Bölümü öğretim üyesi Prof. Dr. Hakan I. TARMAN a, Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi ve Niğde Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyelerine ve son olarak kıymetlim Tülin e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Süleyman CENGİZCİ iii

SİNGÜLER PERTÜRBASYON PROBLEMLERİNİN ASİMPTOTİK ANALİZİ (Yüksek Lisans Tezi) Süleyman CENGİZCİ NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEMMUZ 4 ÖZET Bu çalışmada asimptotik yaklaşım metotları incelenmiştir. Asimptotik metotların, akışkanlar ile ilgili denklemlerin, özellikle de lineer olmayan, çözümü zor Navier- Stokes denklemlerinin çözüm çalışmaları sırasında ortaya çıktığını söylemek yanlış olmayacaktır. Bunun dışında gök mekaniği, kuantum mekaniği, Newton mekaniği ve optik başta olmak üzere hemen hemen tüm fizik dallarında ve ayrıca kimya, biyoloji gibi diğer bilim dallarında karşılaşılan problemlerin matematiksel modellemelerinde asimptotik yaklaşımlar yardımıyla yüksek hassaslıkta çözümler elde edilebilmektedir. Bu tezde asimptotik yaklaşımlar başlangıç seviyesinden itibaren ele alınmış, çok sayıda örneğe yer verilmiş, farklı durumlar için ortaya çıkan farklı çözüm yöntemleri incelenmiştir. Bu yöntemler: Eşleştirilmiş açılımlar Metodu (MMAE), Ara Eşleştirme Metodu (Intermediate Matching), SCEM ve WKB Metodu dur. Ayrıca problemler sadece matematiksel açıdan ele alınmamış, aynı zamanda fiziksel temellerine de konu ve tez kapsamından çıkılmadan değinilmiştir. Anahtar kelimeler: Asimptotik Metotlar, Pertürbasyon Teorisi, Singüler Pertürbasyon, Sınır Tabaka Problemi, Başlangıç ve Sınır Değer Problemleri Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Aytekin ERYILMAZ Sayfa Adedi: 7 iv

ASYMPTOTIC ANALYSIS OF SINGULAR PERTURBATION PROBLEMS (M. Sc. Thesis) Süleyman CENGİZCİ NEVSEHIR HACI BEKTAS VELI UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES JULY 4 ABSTRACT In this study asymptotic approimation methods are eamined. That is not wrong to say that asymptotic approimation methods have emerged from the equations in fluid mechanics and dynamics especially from non-linear Navier-Stokes Equations which are tedious to solve. In addition to this, mainly in celestial mechanics, quantum mechanics, Newtonian mechanics and optics, virtually in all physics branches thanks to the asymptotic approimations high accuracy solutions can be obtained. In this study asymptotic approimations, from begining point to advanced levels, are investigated in an easy way and a lot of eamples are solved. For each different case, different ways and methods are followed to reach the solutions. These methods: The Method of Matched Asymptotic Epansions (MMAE), The Method of Intermediate Matching, The SCEM and The Method of WKB. Moreover, problems that are solved in this study were not only eamined from mathematical aspects but also eamined using their physical significances. Keywords: Asymptotic Methods, Perturbation Theory, Singular Perturbation, Boundary Layer Problem, Initial and Boundary Value Problems Thesis supervisor: Assist. Prof. Aytekin ERYILMAZ Page number: 7 v

İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI..i TEZ BİLDİRİM SAYFASI... ii TEŞEKKÜR. iii ÖZET iv ABSTRACT.. v İÇİNDEKİLER. vi TABLOLAR LİSTESİ...viii ŞEKİLLER LİSTESİ...i SİMGE VE KISALTMALAR LİSTESİ.... BÖLÜM GİRİŞ.. BÖLÜM ASİMPTOTİK YAKLAŞIMLARA AİT GENEL BİLGİLER.... 5.. Taylor Seri Açılımları ve L Hospital Kuralı......5.. Mertebe Sembolleri 7.3. Asimptotik Yaklaşımlar.8.3.. Asimptotik açılımlar....3.. Asimptotik serilerin yakınsaklığı ve hassaslığı... 4.3.3. Asimptotik açılımlarla işlemler.......5.4. Cebirsel ve Transandantal Denklemlerin Asimptotik Çözümleri......7.5. Diferansiyel Denklemlerin Asimptotik Çözümlerine Giriş.... vi

.6. Asimptotik Yaklaşımların Geçerliliği..7 3. BÖLÜM EŞLEŞTİRİLMİŞ ASİMPTOTİK AÇILIMLAR METODU...... 9 3.. Eşleştirilmiş Açılımlara Giriş..9 3.. Metodun İşleyişi..9 3... Dış çözüm (Adım)..... 3 3... Sınır tabaka çözümü (Adım ). 3 3..3. Açılımların eşleştirilmesi (Adım 3).....33 3..4. Birleştirilmiş çözüm (Adım 4).... 34 3..5. Ara eşleştirme..37 3.3. Birden Fazla Sınır Tabakaya Sahip Problemler...4 3.3.. Dış çözüm (Adım ).... 4 3.3.. Sınır tabakalar ve eşleme işlemi (Adım )...4 3.3.3. Birleşik çözümün elde edilmesi (Adım 3)...45 3.4. Transandantal Olarak Küçük Terimler....47 4. BÖLÜM ARDIŞIK TAMAMLAYICI AÇILIMLAR METODU.. 54 5. BÖLÜM TARTIŞMA, SONUÇ VE ÖNERİLER..64 KAYNAKLAR 65 EKLER....67 ÖZGEÇMİŞ.7 vii

TABLOLAR LİSTESİ Tablo 4. (4.3) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo.57 Tablo 4. (4.3) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo...58 Tablo 4.3 (4.7) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo.58 Tablo 4.4 (4.7) probleminin. için mutlak hatalarını veren tablo...59 viii

ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil. Dikey atış hareketinin zamana bağlı grafiksel gösterimi...3 Şekil.3.. Örnek.3.5. f ile asimptotik yaklaşımı ( ) in kıyaslanması... Şekil.4.. Şekil.4.. Şekil.5.. Örnek.4.. in çözümlerini ' un değerleri için kıyaslayan grafik.9 Örnek.4.. farklı değerleri için asimptotik-gerçek çözüm grafiği. Örnek.5.. nin asimptotik - nümerik çözümlerini kıyaslayan grafik...7 Şekil 3..4... için (3..) denkleminin asimptotik ve tam çözüm grafik..35 Şekil 3..4... için (3..) denkleminin asimptotik ve tam çözüm grafiği...35 Şekil 3..4.3. Eşleştirme Metodu nun temeli ve iç - dış açılımların ortak geçerlilik bölgesi olan örtüşme bölgesi ni gösteren şekil.. 36 Şekil 3..5.. (3..) probleminin. parametresi için ara eşleştirme çözümü..4 Şekil 3..5.. (3..) probleminin. için ara eşleştirme çözümü....4 Şekil 3.3.3.. (3.3.) denkleminin. için nümerik ve asimptotik çözümü 46 Şekil 3.3.3.. (3.3.) denkleminin çözümlerini. parametre değeri için kıyaslayan grafik 46 Şekil 3.4.. Örnek 3.4.. dış açılıma transandantal olarak küçük terimlerin etkisi. 5 Şekil 4.. (4.3) problemi. için SCEM - tam çözüm kıyaslayan grafik...59 Şekil 4.. (4.3) problemi. için MMAE - tam çözüm kıyaslayan grafik...6 Şekil 4.3. (4.3) problemi. için SCEM - tam çözüm kıyaslayan grafik..6 Şekil 4.4. (4.3) problemi. için MMAE - tam çözüm kıyaslayan grafik.6 Şekil 4.5. (4.7) problemi. için SCEM ve tam çözüm kıyaslayan grafik..6 Şekil 4.6. (4.7) problemi. için MMAE ve tam çözüm kıyaslayan grafik 6 Şekil 4.7. (4.7) problemi. için SCEM ve tam çözüm kıyaslayan grafik 6 Şekil 4.8. (4.7) problemi. için MMAE ve tam çözüm grafiği... 63 i

SİMGE VE KISALTMALAR LİSTESİ : Elemanıdır sembolü : Doğal sayılar kümesi : Reel (gerçel) sayılar kümesi : Küçük epsilon parametresi : Mertebe (gauge) fonksiyonu d d u : Adi türev operatörü : Kısmi türev operatörü : (Asimptotik olarak) denklik sembolü o : Asimptotik kıyaslayıcı (küçük o ) O : Asimptotik kıyaslayıcı (büyük O ) f (n) : f fonksiyonunun n. mertebeden türevi : parametresi sabitine yaklaşıyor (limit) J (z) : Bessel fonksiyonu : Ara değişken (intermediate variable) ep( ): e fonksiyonu : Sabit bir reel sayı : Sabit bir reel sayı : Sabit bir reel sayı

. BÖLÜM GİRİŞ Matematikte karşılaşılan problemlerin birçoğu aslında günlük hayatta meydana gelen fiziksel olayların matematiksel modellenmelerinin bir sonucudur. Bu problemlerin, özellikle de integral ve diferansiyel denklem içerenlerinin tam çözümlerinin bulunabilmesi her zaman mümkün olamamaktadır. Bu tür durumlarda genelde iki seçenekten biri benimsenmektedir. Bunlardan ilki, günümüzde yazılımların olağanüstü gelişimi ve işlemci hızlarının müthiş artmasıyla birlikte oldukça popüler hale gelmiş olan bilgisayarların kullanımıdır. Böylece hem vakit kaybetmeden, hem de zahmet çekmeden ilgili problemlerin sonucuna ulaşılabilmektedir. Diğer seçenek ise ilgili problem ya da problemlerin çözümüne asimptotik açılımlar yardımıyla yaklaşmaktır. Daha zahmetli olmalarına rağmen asimptotik açılımlar geçtiğimiz yüzyıldan bu yana uygulamalı matematiğin, mühendislik bilimlerinin, fiziksel matematiğin ve özellikle de akışkanlar mekaniğinin köşe taşlarından biri haline gelmiştir [7-8]. Asimptotik yaklaşımlar ile ilgili en basit ve açıklayıcı örnekler polinom kökleri bulunurken karşılaşılanlardır. Örneğin denklem incelendiğinde bu denklemin katsayılarının aslında katsayılarına ne kadar yakın olduğu göze çarpmaktadır. 3.99 3. şeklindeki kuadratik 43 denkleminin 3.99 3. denkleminin katsayıları için 3.99 4. ve 3. 3 (.) eşitliklerinin doğru olduğu açıktır. Bu noktada. alınması ile 3.99 3. denklemi ( 4) (3 ) formuna dönüşür. Kuadratik denklem çözümü formülleri ile ( 4) (3 ) denkleminin çözümleri, 4 4 43 şeklinde bulunur. Buradaki en önemli nokta için ( 4) (3 ) denkleminin 43 denklemine dönüştüğü ve dolayısıyla, çözümünün de ve 3 şeklinde oluşudur. Yani küçük bir parametresi ile oynanarak ilgili denklem istenilen şekle dönüştürülebilmektedir. Burada ilgilenilen 3.99 3.

denklemi olduğundan. için çözümler.9748 ve.5 olarak bulunur. ( 4) (3 ) denkleminin kuadratik yapıda olması nedeniyle kök formülleri kullanılarak çözümler elde edilebildi. Ancak durum her zaman bu kadar basit olmamaktadır ve daha sonraki bölümlerde görüleceği üzere yaklaşımlar yapılmak zorunda kalınmaktadır. Asimptotik yaklaşımlar konusunun yapısını daha iyi anlamak amacıyla, bu tezin ana konusu olan diferansiyel denklemlere yaklaşık çözüm bulmayı örnekleyen, fiziksel temellere dayanan başka bir örneğin incelenmesi yerinde olacaktır. Bunun için Newton un. Kuralı ndan elde edilen dikey atış hareketi formülü incelenirse [6] gr t R, t (.) diferansiyel denklemine ulaşılır. Bu denklemde (t) nesnenin yerküre (dünya) yüzeyine olan uzaklığını, g yerçekim sabitini ve R yerkürenin yarıçapını belirtmektedir. Cismin dünyanın yüzeyinden atıldığı ve bir ilk hıza ( v ) sahip olduğu varsayılırsa (), '() v, v başlangıç koşulları elde edilir. Dolayısıyla (.) denklemi bu başlangıç koşulları ile birlikte bir başlangıç değer problemi oluşturmaktadır. Ancak bu başlangıç değer probleminin non-lineer doğası kapalı formda analitik bir çözüm elde etmeyi zorlaştırmaktadır. Hatta çoğu lineer olmayan problem için tam çözümü bulmak olanaksızdır. Bu nedenle problemi daha basit hale getirilip getirilemeyeceği, eğer basitleştirilebiliyor ise bunun doğuracağı sonuçlar araştırılır. Örneğin bu problem için (nesnenin yerküre yüzeyine olan uzaklığı) küçük bir değere sahip ise (.) denklemi gr ''(t) g, (), '() v t R R ye göre önemsenmeyecek derecede (.) başlangıç değer problemine dönüşür. (.) probleminin (.) problemine göre çok daha basit olduğu açıktır. Çünkü artık lineer bir problemdir. Probleme ait genel çözüm

'( t) gt c ( t) gt ct c şeklinde olup başlangıç şartlarının uygulanmasıyla () t gt vt çözümüne ulaşılır. Bu çözüm ise lise fizik derslerinden bilinen dikey atış hareketi formülüdür. Basit türev işlemleri ile cismin yüksekliğe ulaşacağı ve bu yüksekliğin t v g zamanında (noktasında) maksimum ( t ) v g m olduğu bulunur [6]. Şekil. Dikey atış hareketinin zamana bağlı grafiksel gösterimi Görüldüğü üzere (.) denklemi çeşitli varsayımlarla kolayca çözülebilen bir problem olan (.) problemine dönüştü. Burada karşılaşılan problem, (.) probleminde R ye göre çok küçük olduğu için ihmal edilen teriminin (.) denkleminde yok sayılışının denklemin çözümünde meydana getirdiği hatadır. Bu konu daha sonraki bölümlerde ayrıntılı bir biçimde işlenecektir. Denklem ve problemleri bu şekilde daha basit hale getirip çözme işlemini daha sistematik hale getirmek için değişkenleri ölçeklendirme yolu izlenir. Bunun için (.) 3

denklemi için t t c () t ve y( ) c dönüşümleri uygulanabilir. Burada t c ve c sırasıyla, ilgilenilen problem için karakteristik bir anı ve karakteristik bir değeri belirtirler. Bu karakteristik değerlerin seçilmesinde ilgilenilen problemi iyi ifade edebilecek nitelikte olmalarına dikkat etmekten başka sınırlayıcı bir durum yoktur. Örneğin (.) problemi için Şekil. yardımı ile c v g v g ve tc seçilebilir. Böylece problem y,, y(), y'() v o y Rg (.3) başlangıç değer problemine dönüşür. v Rg alınması ile de (.3) problemi y,, y(), y'() y (.4) problemine dönüşür. Görüldüğü gibi problemin çözümü parametresine bağlıdır. noktası civarlarında Taylor seri açılımı yardımıyla y y ( ) y ( )... (.5) şeklindeki yaklaşımla bulunulur. Ana hatları ile asimptotik yaklaşımlar önceki sayfalarda gösterilen örneklerdeki yaklaşımlarla ilgilenirler. Bu tür problemlerin ayrıntılı çözümlerine geçebilmek için konuyla ilgili bazı tanım ve teoremleri bilmek faydalı olacaktır. 4

. BÖLÜM ASİMPTOTİK YAKLAŞIMLARA AİT GENEL BİLGİLER.. Taylor Seri Açılımları ve L Hospital Kuralı Taylor Teoremi ve sonuçları matematikte kullanılan en önemli araçlardandır. Asimptotik yöntemlerde de geniş kullanıma sahiptir. Teorem... Verilen bir f () fonksiyonunun n. mertebeye kadar olan türevleri mevcut ve ( n ). mertebeden türevi olan ( n) f de belirli bir a b aralığı için sürekli olsun. Bu durumda, ve, ( a, b) aralığına ait noktalar olmak üzere f ( ) f ( ) ( ) f '( )... ( ) f ( ) R n n! n ( n) (..) ve R ( n )! ( ) ( n n ) ( n f ) (..) biçiminde tanımlıdır. Burada noktası ve arasında bulunan herhangi bir noktadır. Bu teorem ve sonuçları oldukça önemlidir. Çünkü herhangi bir f () fonksiyonuna n terimli Taylor serisi yardımıyla yaklaşıldığında (..) hata formülü yardımıyla bu yaklaşımda yapılan hata belirlenmektedir. Örnek... Bazı önemli fonksiyonların noktası civarlarındaki Taylor seri açılımları: 3! 5! 3 5 sin( )... 4! 4 cos( )... 3 6 4 3 5 arcsin( )... 3 6 4 3 5 arccos( )... 5

3 5 3 45 3 5 tan( )... 3 cot( )... 3... 8 6 3... e 6 3... ln( ) ln( )... ln( a) a e a a 6 3 5 sinh( )... 4 4 cosh( )... tanh( ) 3 5 şeklindedir [6-8]. 3 5... Şimdi de matematiksel analizin önemli bir konusu olan limit işlemi ile ilgili L Hospital kuralını verelim. Teorem... f ( ) ve ( ) fonksiyonları (, b) aralığı üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyonlar ve yine bu aralık üzerinde '( ) şartı sağlanıyor olsun. Ayrıca A olmak üzere f '( ) A olsun. Bu durumda aşağıdaki iki özellikten biri lim '( ) sağlanıyor ise f () lim () A dır: için f ve, ya da. 6

.. Mertebe Sembolleri Asimptotik yaklaşımlar ile ilgili tanımları vermeden önce mertebe sembollerinin ne anlama geldiğini vermek faydalı olacaktır. Bu semboller ilk olarak Bachmann (894) tarafından kullanılmaya başlanmış olsa da kullanımı Landau (99) sayesinde yaygınlaşmıştır. Bu nedenle bu semboller çoğu zaman Bachmann-Landau sembolleri olarak bilinirler [4,7]. Limit işlemi altındaki bir fonksiyonun davranışının doğru bir şeklide belirlenebilmesi için mertebe fonksiyonlarından yararlanılır. Örneğin, () fonksiyonunun için a yakınsama hızı f () fonksiyonuna göre daha düşüktür. Bu gerçeği ifade etmek ve bu tür kıyaslamaları yapabilmek için aşağıda tanımı verilen mertebe sembollerinden yararlanılmaktadır. Tanım... f () - L olmak üzere lim L sağlanıyorsa bu durum için () f O ( ) şeklinde ifade edilir ve için f fonksiyonu fonksiyonunun büyük O sudur biçiminde okunur. Tanım... f () lim () ise için f o( ) şeklinde ifade edilir ve için f fonksiyonu fonksiyonunun küçük o sudur biçiminde okunur. Örnek... için o eşitliği ele alınsın. Bu örnekte f () ve g()= şeklinde alınır ve Tanım... kullanılırsa f ( ) lim lim lim g( ) elde edilir. Örnek... için O() 3 eşitliği ele alınsın. f ( ) ve g( ) alınıp Tanım.3. göz önüne alınırsa 3 7

f () lim lim 3 lim L g() 3 3 olup - L özelliği sağlanmaktadır. Örnek..3. Aşağıda mertebe sembolleri ile ilgili çeşitli örnekler ve hangi nokta komşuluğunda geçerli oldukları verilmiştir. o( ), için sin( ) ( ), 3 o için O( ), için sin(3 ) O( ), için tan( ) ( ), O için 4 3e 4 3e O( e ), için O( ), için 6 O( 3 5 ), için o ln( ) ( ), için. Örnek..4. f() e fonksiyonu incelenip L Hospital kuralı uygulandığında nın tüm reel değerleri için f o ( ) olduğu görülür. Bu durum f, ya göre transandantal olarak küçüktür şeklinde ifade edilmektedir..3 Asimptotik Yaklaşımlar Bu tezin ana amacı diferansiyel denklemlerin çözümleri için asimptotik yaklaşımlar oluşturmaktır. Bu yüzden asimptotik yaklaşım kavramının ne anlama geldiğinin anlaşılması çok önemlidir. Tanım.3.. f ( ) ve ( ) fonksiyonları verilsin. f () lim () koşulu sağlanıyorsa için f ve fonksiyonları asimptotik olarak özdeştirler denir. Bu durum 8

f biçiminde ifade edilir. Bu aslında, için f ( ) ve ( ) fonksiyonlarının birbirlerinin asimptotik yaklaşımları olması demektir. Örnek.3.., 3 dur. Tanım.3.. i kullanarak bunu göstermek zor değildir. 5 Örnek.3.., e dır. Tanım.3.. yardımıyla 5 lim e lim lim lim ( e ) e e lim e elde edilir. Örnek.3.3. sin(3 ) 3, olduğu da Tanım.3.. kullanılarak kolayca gösterilebilir. Örnek.3.4. f ( ) sin( ) fonksiyonu ile ilgilenilsin. olmak üzere f () fonksiyonunun civarlarındaki Taylor seri açılımı ele alınsın. Böylece, Teorem... yardımıyla f 6 3 5 ( ) cos( ) elde edilir. Bu sonuç kullanılarak aşağıdaki asimptotik yaklaşımlar elde edilebilir: A. f, B. 3, f 6 C. f. Bu asimptotik yaklaşımlardan en iyi (doğru, hassas) sonuç vereni B. iken en kötü yaklaşım C. dir. Tanım.3.. in bu karşılaştırmayı yapabilmek için pek yardımcı 9

f() olduğu söylenemez. Tanım.3.. in bu eksikliği.3.. bölümünde Asimptotik Açılımlar başlığı altında incelenecek olan tanımlar yardımıyla giderilecektir. Örnek.3.5. f ( ) e fonksiyonu için ele alınsın. Bu durumda küçük bir parametresi için f olduğu açıktır. Bununla beraber bu asimptotik yaklaşım ne kadar iyi sonuç verebileceği sorusu akla gelmektedir. Bu nedenle bu örnek Şekil.3.. üzerinde incelenecektir. Şekil.3.. den kolayca görülebileceği üzere noktasından uzak noktalarda yaklaşım oldukça iyidir. Ancak noktası civarlarında aynı durumdan bahsetmek mümkün değildir. ' un seçiminden bağımsız olarak f () olduğundan bu durum meydana gelmektedir ve yaklaşımın aralığında uniform olarak geçerli olmaması olarak adlandırılmaktadır. Belirli Bir Parametre Değeri İçin f Fonksiyonu İle Asimptotik Yaklaşımının Kıyaslanması.9.8.7.6.5.4.3.. f Fonksiyonu Asimptotik Yaklaşım...3.4.5.6.7.8.9 Şekil.3.. Örnek.3.5. f ile asimptotik yaklaşımı olan ( ) in kıyaslanması

.3.. Asimptotik açılımlar Daha önce incelenen örneklerden de anlaşılacağı gibi bir fonksiyona ait asimptotik yaklaşım tek değildir. Aynı zamanda belirtilmelidir ki, şu ana kadar incelenen asimptotik yaklaşımların iyiliği ya da kötülüğü konusunda pek de bilgilenildiği söylenemez. Bu yüzden daha güçlü yapılar incelenmelidir. Bu noktaya kadar olan örneklerde ' un,,, şeklindeki kuvvetlerini (,,, 3,... ) kabul eden asimptotik açılımlara yer verildi. Ancak bilinmelidir ki farklı şekildeki kuvvetlerle de karşılaşılmaktadır. Hatta yeri geldikçe bu farklı türdeki fonksiyonların kullanılması ilgilenilen problem için daha uygun olacaktır. Bu nedenle bazı tanımlara ihtiyaç duyulmaktadır. Henri Poincaré e atfen Poincaré Açılımı adı da verilen asimptotik açılım tanımı aşağıda verilmiştir. Tanım.3... ( ), ( ), 3( ),... şeklindeki fonksiyonlar dizisi iken m için ( ) ( ( )) o özelliğini gerçekliyor ise bu dizi bir asimptotik dizidir. m m Yani m için m lim m özelliğinin sağlanması gerekmektedir. Tanım.3... ( ), ( ), 3( ),... bir asimptotik dizi olsun. Bu durumda f () fonksiyonu m terimli bir asimptotik açılıma sahiptir a k katsayıları ' dan bağımsız olmak üzere, için m k k m k f ( ) a o( ), m,,3,... dur. Bu durumda f a ( ) a ( )... a m m ( ) yazılabir. Burada bahsedilen k () için fonksiyonları açılımın baz fonksiyonları ya da gauge fonksiyonları olarak adlandırılırlar. Örnek.3... ( ) ep m m, m,,3,... fonksiyon dizisi, için bir asimptotik dizidir. Gerçekten de Tanım.3... gereğince m için ( m ) ep m lim lim lim ep m m ep asimptotik dizi olduğunu gösterir. elde edilir. Bu ise ilgili dizinin bir

n Örnek.3... ( ) fonksiyon dizisi için bir asimptotik dizidir. n n n Örnek.3..3. ( ) e fonksiyon dizisi için asimptotik bir dizi oluşturur. n Yukarıda verilen tanım ve örneklerden sonra sıra asıl soruya geldi: Verilen bir f () fonksiyonuna ait asimptotik açılım nasıl bulunur?. Bunun için en sık kullanılan yöntemler: A. Taylor Teoremi, B. L Hospital Kuralı, C. Tahmin, dir. Tahmin yoluyla asimptotik açılımı belirlemek bir şans olayıdır ve tecrübe gerektirmektedir. Bundan daha ziyade Taylor Teoremi ve L Hospital Kuralı kullanılmaktadır. L Hospital Kuralı na göre ise Taylor Teoremi nin kullanılması çok daha avantajlıdır. Çünkü Taylor Teoremi yardımı ile açılımda yapılan hatayı analiz etme şansı doğmaktadır. Bu da Taylor Teoremi ni çok daha önemli kılmaktadır. Örnek.3..4. f ( ) ep( ) fonksiyonun üç terimli asimptotik açılımı ele alınsın. Taylor seri açılım kullanılarak ya da doğrudan Örnek... den f e 6 3 ( ) ep( )... elde edilir. Örnek.3..5. cos( ) f () fonksiyonu için iki terimli asimptotik açılım aransın. Burada Taylor Teoremi ni doğrudan uygulamak olanaksızdır. Çünkü f () fonksiyonu için tanımsızdır. Bu nedenle tanımsızlık yaratan bölümü göz ardı edip için tanımlı bölümü Taylor serisi ile ifade etmek gerekmektedir. Böylece f ( )... elde edilir. Beklenildiği gibi asimptotik açılım, f () fonksiyonu gibi noktasında tanımsızdır.

Örnek.3..6. f () fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı aransın. sin( ) 3... ve sin( )... olduğuna dikkat edilirse 6...... f () 3...... 6 6...... 6 3 asimptotik açılımı elde edilir. Uyarı.3... Verilen bir f () fonksiyonuna ait için asimptotik açılım a () nn biçiminde olsun. Bu durumda katsayılar n a m lim m an n n f( ) ( ) m () ile tanımlıdır. Bu şekilde oluşturulan asimptotik açılım tektir. Örnek.3..7. f() e fonksiyonu ve fonksiyonları verilsin. Bu durumda Uyarı.3... den gauge ( ), ( ), 3( ),... f a lim a a f lim f lim 3 elde edilir. Dolayısıyla f... elde edilir. Burada ilginç olan fonksiyonunun asimptotik açılıma hiçbir etkisinin olmayışıdır. Bunun nedeni ise 3 e e

fonksiyonunun çok hızlı a yaklaşmasıdır. Yani e o( ), a için, dir. Bu durumda bu e fonksiyonuna gauge fonksiyonlarına göre transandantal olarak küçüktür denir. Yine bu örnekte de görüldüğü gibi iki farklı fonksiyon aynı asimptotik açılıma sahip olabilmektedir..3.. Asimptotik serilerin yakınsaklığı ve hassaslığı Taylor seri açılımı ile elde edilen bir asimptotik açılımda daha fazla terim ekleyerek açılımın hassaslığını artırmak mümkündür. İstenilen hassaslıktaki sonuç elde edilene dek terim ekleme işine devam edilir. Ancak bir asimptotik açılım için bu her zaman doğru sonuç vermeyebilir. Çünkü asimptotik açılımlar için limit durumuyla ilgilenirken, serinin terim sayısının artması n durumudur. Bilinmelidir ki bir asimptotik açılım yakınsak olmayabilir. Yakınsak olan bir asimptotik açılım ise açılımı olduğu fonksiyona yakınsamayabilir. Örneğin, Örnek.3..7. de incelenen f() e fonksiyonuna ait asimptotik açılım f... olarak bulunmuştu. Bu açılım ise aslında Dolayısıyla asimptotik açılım fonksiyonunun Taylor seri açılımıdır. fonksiyonuna yakınsamaktadır. Bu ise asimptotik açılımın açılımı olduğu fonksiyona yakınsamamasına bir örnektir. Iraksak asimptotik açılımlara örnek olarak özel bir fonksiyon olan ve J ( z ) ile gösterilen Bessel fonksiyonu verilebilir. J ( ) z () k k z k k ( k!) şeklinde ifade edilen bu fonksiyon göz önüne alınır ve f( ) J ( ) kabul edilirse küçük bir parametresi için f ( ) fonksiyonuna ait asimptotik açılım (Abramowitz ve Stegun, 97) 4

cos sin f 4 4 (.3..) şeklinde tanımlı olup buradaki ve 3 4.3.3.5.7... (.3..) 4!8 4!8 3 3.3.5... (.3..3) 3 8 3!8 ile verilir. dan farklı değerdeki her için (.3..) ve (.3.3.3) açılımlarının ıraksak olduğunun gösterilmesi zor değildir. (.3..) şeklindeki ıraksak serinin ilk bir ya da iki terimi kullanılarak elde edilen hassaslık, J ( ) z () k k z k k ( k!) serisinin en az yirmi teriminin açılması ile elde edilebilmektedir [7,4]. Asimptotik açılımlar ile uğraşılırken yukarıda incelenen iki örnek karşılaşılabilecek durumlar açısından unutulmamalıdır..3.3. Asimptotik açılımlarla işlemler Aynı baz (gauge, scale) fonksiyonlarına sahip olan asimptotik açılımlar için toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabileceğini göstermek zor değildir. Çarpma işlemi de zahmetli olmasına rağmen zor değildir. Ancak bir fonksiyonun türevinin asimptotik açılımının o fonksiyonun asimptotik açılımının türevine denk olduğunu söylemek doğru değildir. Özel olarak için f (, ) (, ) (, ) alınsın. Burada ilgilenilen soru d d d f (, ) (, ) (, ) d d d için olup olmadığıdır. Hemen belirtmeli ki bu her zaman doğru değildir. Örnek olarak f (, ) e sin( e ), fonksiyonu incelenirse küçük parametresi için f..... asimptotik açılımı elde d edilir. Oysa f (, ) e cos( e ) bir asimptotik açılım değildir. Diğer bir d işlem olan integral işleminde ise durum türev işlemine göre daha iyimserdir. 5

için f (, ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) şeklindeki asimptotik açılım ile ilgilenildiğinde a b şartı sağlanmak üzere için f (, ) d a ( ) d ( ) a ( ) d ( ) b b b a a a bağıntısı geçerlidir. Örnek.3.3.. f () e d şeklinde tanımlı f fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı ile ilgilenilsin. Taylor Seri Açılımı yardımı ile e... bulunur ve bu özel olarak için de geçerlidir. Dolayısıyla ( )...... f d 3 elde edilir ki ilk iki terim istendiğinden f ( ) yazılır. 3 Örnek.3.3.. ilgilenilsin. f () d fonksiyonunun iki terimli asimptotik açılımı ile... 4 şeklinde Taylor açılımına sahiptir. Ancak bu için geçerlidir. noktasında için singülarite mevcuttur. Bu yüzden bu açılımın için integrallenebilirliğinden bahsedilemez. Bu nedenle olmak üzere f () d d 6

yazılabilir. Burada iki parçaya ayrılan integrallerden ilki çok küçük bir aralıkta singülarite ihtiva etmektedir. İkinci integral ise singülarite ihtiva etmediğinden integrandı için... 4 açılımı uygulanabilir durumdadır. Yani 3 d =... d 3 3 4 3 elde edilir. İlk integral için de d arctan( )... bulunur ki bu iki integral açılımının toplanmasıyla 3 d 3 3 3 3 f ( )...... açılımı elde edilir. Örnek.3.3.3. Hemen önceki örnekteki çözüme benzer yaklaşımda bulunularak 3 d 3 f ( ) ln( ) ln sin( ) 3 asimptotik açılımı elde edilir. Görüldüğü gibi bu açılımda logaritmik bir gauge fonksiyonu bulunmaktadır. Bu çok sık karşılaşılan bir durum olmamakla beraber bazen karşılaşılabilinmektedir..4. Cebirsel ve Transandantal Denklemlerin Asimptotik Çözümleri Giriş bölümünde de belirtildiği gibi yaklaşık çözümler üretebilmek adına asimptotik metotların kullanım alanları oldukça geniştir ve bunların en kolay tipte olanlarına cebirsel denklemlerde rastlanmaktadır. Bu tezin asıl amacı diferansiyel denklemlerin çözümlerine asimptotik yaklaşımlarda bulunmak olduğundan bu bölüm bir ön hazırlık gibi düşünülebilir. 7

Örnek.4.. Basit bir örnek olarak. kuadratik denklemi ele alınsın. değişkeninin katsayısı olan. değerinin diğer katsayılardan oldukça küçük olduğu gözlenmektedir. Bu yüzden yaklaşık bir çözüm elde edilmeye çalışılacaktır. Öncelikle hemen belirtilmeli ki MATLAB Ra programı kullanılarak tam çözümler (eact solutions) hemen aşağıda verilen kod yardımıyla >> format long >> roots([. -] ans =.999499999875... -.499999875... (.4.) şeklinde bulunur. Bu köklerin kuadratik denklem kökü formülleriyle bulunması biraz zahmetli olduğundan MATLAB Ra programından yararlanılmıştır. Şimdi de asimptotik bir yaklaşımda bulunulacak ve en son gerçek çözümle olan farkları (mutlak hatalar) değerlendirilecektir. için. denkleminin. formunda olduğu açıktır. Bu problem için... (.4.) şeklindeki bir yaklaşımın benimsenmesi olağandır ve burada ' dır. (.4.) yaklaşımı çözüm olarak kabul edilip denklemine uygulanırsa...... (.4.3) eşitliğine ulaşılır. Polinom eşitliği kullanılırsa ve O() O( ) elde edilir. Böylece (.4.) yaklaşımı (.4.4) iki terimli asimptotik yaklaşımına dönüşür. Çözümlerin kıyaslanması grafik üzerinde incelenirse Şekil.4.. den de görüldüğü üzere parametresinin değeri a 8

ÇÖZÜMLER yaklaştıkça asimptotik yaklaşım gerçek çözüme oldukça iyi bir hassaslıkla yaklaşmaktadır. Örnek.4.. ile verilen problem formunun regüler pertürbasyon problemi olarak anılmasına sıkça rastlanmaktadır. regüler sıfatı, ' un farklı değerleri için denklemin doğasının (denklemin mertebesinin, derecesinin, ) değişmediğini belirtmektedir. Parametre Değerleri İçin Tam Çözümler İle Asimptotik Çözümlerin Kıyaslanması.5 -.5 - -.5 - ASİMPTOTİK YAKLAŞIM(kök) ASİMPTOTİK YAKLAŞIM(kök) TAM ÇÖZÜMLER -.5-3 - - PARAMETRE DEĞERİ Şekil.4.. Örnek.4.. in çözümlerini ' un farklı değerleri için kıyaslayan grafik Örnek.4.. Bu konunun ikinci örneği olarak şeklindeki kuadratik denklem ele alınsın. Burada ise parametresi en yüksek dereceli terimin önünde katsayı olarak bulunmaktadır. Bu ise özel olarak için denklemin lineer hale gelmesi anlamını taşır. Yani denklemin derecesi düşecektir. Bu önemli bir durumdur çünkü denklemin doğası değişmektedir ve problemin singüler sıfatını almasına neden olmaktadır. Bu tür problemlere singüler pertürbasyon problemi denilmektedir. Örnek.4.. de uygulanan yaklaşım burada da uygulanırsa 9

(.4.5) 8 yaklaşımı elde edilir. Beklenildiği üzere noktası civarlarında bir asimptotik yaklaşım elde edildi. Çünkü için oluşan lineer denklemin kökü dir. Ancak denklemi kuadratik bir denklemdir ve iki kökünün olması gerekmektedir. Oysa (.5..) yaklaşımı ise yalnız bir tek çözüm üretmektedir. Bu nedenle farklı bir çözüm yaklaşımının benimsenmesi gerekmektedir. Bu yaklaşım (...), (.4.6) formunda olsun. alınmasıyla açılımın iyi sıralı olması şartı sağlanmış olur. Sonuç olarak (.4.6) açılımının denklemine uygulanmasıyla...... (.4.7) A B C denklemi elde edilir. Bulunulan bu nokta oldukça önemlidir. (.4.7) denkleminin sol yanı a eşit olmalıdır. Bunun için ise polinom eşitliği kuralınca birbirini dengeleyen (balancing) terimlere ihtiyaç vardır. Bu ise 3 3 farklı durumun söz konusu olabileceğine işaret eder (terimler ikililer olarak birbirlerini dengeleyeceklerdir, aksi durumu sağlayan reel kökü yoktur). Şimdi ise bu durumları teker teker incelenmesi gerekmektedir. Durum : olması durumudur ki bu durumda B ve C terimleri birbirlerini dengeleyeceklerdir. Dengelemekten kasıt aynı dereceden olmalarıdır. Bu durumda daha önce elde edilmiş olan (.4.5) yaklaşımı elde edilir. Bu 8 nedenle diğer çözümü bulmak için diğer durumlar incelenmelidir. Durum : A ve C terimlerinin birbirlerini dengelediği durum ele alınsın. Bu durumda elde edilir. Bu durumda B teriminin katsayısı ' dan bağımsız, yani olmalıdır ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla diğer durum incelenmelidir.