SAYISAL ANALİZ Ders Notları MART 7, 06 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Ösöz Mühedslkte aaltk olarak çözemedğmz brçok problem, sayısal olarak çözüleblmektedr. Bua leer olmaya deklem sstemler çözümü veya karışık tegraller msal verleblr. Bu ders otları lsas eğtm ala Make Mühedslğ öğrecler ç hazırladı. Koular ve verle msaller kolayda zora doğru sıralamaya çalışıldı. Çözümler sayısal olarak verld. Ders otlarıda Türkçe ble tüm öğrecler parasız olarak faydalaablmes ç PDF formatı terch edld. Böylece öğrecler derste ayı şeyler yazmak yere, zamalarıı alamaya ayırması ve daha başarılı olması arzu edld. İlk defa yazılmaya başladığı ç hataları çıkması doğaldır ve bu hatalar gözde geçrldkçe düzeltlecektr. Notları geşletlmese mümkü olduğuca devam edlecektr. Ya zama geçtkçe daha düzgü ve hatasız hale geleceğ kaaatdeym. Ayrıca ye bölümler de ekleeblecektr. Ders otlarıda görüle hataları tarafıma bldrlmes be daha da memu edecektr. Böylece daha düzgü hale gelecektr. İşâallah laveler yapıldıkça ye hâlyle tekrar web sayfasıda yayılaacaktır. Br söz var, Amelzde rızâ-yı İlahî olmalı. Eğer o râzı olsa, bütü düya küsse ehemmyet yok. Eğer o kabul etse, bütü halk reddetse tesr yok. O râzı oldukta ve kabul ettkte sora, sterse ve hkmet ktzâ ederse, szler stemek talebde olmadığıız halde, halklara da kabul ettrr, oları da râzı eder. İylk yap deze at, Balık blmese de Hâlık blr. Mart 06 Doç.Dr. Zekerya Grg Pamukkale Üverstes Mühedslk Fakültes Make Mühedslğ Bölümü Kııklı Kampüsü 0070 Dezl, Türkye Web page: http://zgrg.pau.edu.tr/ İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg İçdekler Ösöz.... Sayısal Aalze Grş (Itroducto to Numercal Aalyss):... 6. Hata Taımlamaları (Error Deftos):... 6. Kesme Hatası (Trucato Error):... 7.. Msal... 7. Bağıl Hata (Relatve Error):... 8.. Msal... 8.. Msal... 9. Mutlak Hata (Absolute Error):... 9.. Msal... 9.4 Yuvarlatma Hatası (Roudg Error):... 9. (Leer olmaya br değşkel deklemler çözümler (Solutos of Nolear Equatos Oe Varable)... 0. İkye Bölme Metodu (Bsecto Method)... Şekl -: İkye bölme metoduu grafk gösterm..... Msal.... Doğrusal İterpolasyo Metodu (Lear Iterpolato Method, False Posto Method, Regula Fals method)... Şekl -: Doğrusal terpolasyo metoduu grafk gösterm..... Msal... 4.. Msal... 5. Tekrarlama Metodu (The Fed-Pot Iterato method)... 5.. Msal... 6.. Msal... 7.. Msal... 9..4 Msal.....5 Msal.....6 Msal... 5..7 Msal... 9.4 Newto-Raphso Yötem (Newto Raphso Method):... Şekl -: Newto-Raphso metoduu grafk gösterm... Şekl -4: Newto-Raphso metoduda k tekrarlama le köke yaklaşımı....4. Msal:....4. Msal:... 4.4. Msal:... 4 İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg.4.4 Msal:... 5.4.5 Msal:... 6.5 İkc Mertebe Newto-Raphso Yötem (Secod Order Newto Raphso Method):... 7.5. Msal:... 7.5. Msal:... 8.6 Krş Yötem (Secat Method):... 8 Şekl -5: Secat metoduu grafk gösterm... 9.6. Msal:... 9.6. Msal:... 40.6. Msal:... 4.7 Leer olmaya Deklem Sstemler (Nolear Systems of Equatos)... 4.7. Msal... 4 Şekl -6: Dört-Kol mekazmasıı kapalı vektörel eştlğ ve açılarıı gösterm... 44.7. Msal... 46 4. Eğr Uydurma (Curve Fttg):... 48 4. Leer Düzeltme (Lear Regresso):... 48 4. E y sağlama Krter... 48 4.. Msal... 50 4.. Msal... 5 5. Leer Olmaya Eğr Uydurma... 5 5. Msal... 54 5. Msal... 55 5. Msal... 58 5.4 Msal... 60 5.5 Msal... 6 5.6 Msal... 64 5.7 Msal... 65 5.8 Msal... 66 5.9 Problem... 67 6. İterpolasyo (Iterpolato)... 68 Şekl 6-: Doğrusal terpolasyo ve eğrsel terpolasyo... 68 6. Doğrusal Yaklaşım Usulü (Lear Iterpolato Method)... 68 6. Eğrsel Yaklaşım Usulü (Quadratc Iterpolato Method)... 68 6.. Msal:... 69 6. Kübk Yaklaşım Usulü (Cubc sple Method)... 69 İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 6.4 Lagrage terpolasyo polomu (Lagrage Iterpolato polyomals)... 69 6.4. Msal... 7 6.4. Msal... 7 6.4. Msal... 74 7. Matrs İşlemler... 75 7. Matrs ters alma şlemler (Matr Iverse):... 76 7.. Kare Matrs Ters (Iverse of Square Matr)... 76 7... Msal:... 76 7.. Pseudo Ters Matrs Metodu (Pseudo Matr Iverse)... 77 7... Msal... 79 7... Msal... 79 7... Msal... 80 7...4 Msal... 8 7...5 Msal... 8 7. Doğruda çözümü elde ede yötemler:... 8 7.. Gauss Yok etme metodu (Gauss Elmato Method)... 8 7... Msal:... 8 7.. Gauss-Jorde Yötem (Gauss Jorde Method):... 84 7... Msal:... 84 7. Tekrarlama (Iterato) le çözümü elde edleble yötemler:... 86 7.. Jacob Yötem (Jacob Method):... 86 7... Msal:... 88 7... Msal:... 90 7.. Gauss-Sedel Yötem (Gauss-Sedel Method):... 9 7... Msal:... 94 7.. SOR Yötem (Successve Over Relaato Method):... 97 7... Msal:... 98 7... Msal:... 0 7... Msal:... 0 7...4 Msal:... 04 7...5 Msal:... 05 7...6 Msal:... 07 7...7 Msal:... 08 8. Dferasyel Deklemler Sayısal Yötemler le Çözümler (Numercal Solutos of Ordary Dfferetal Equatos)... 0 İzsz kopyalamayıız. 4
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 8. Taylor Sers Çözümü (Taylor Seres Soluto)... 0 8.. Msal... 8.. Msal... 8.. Msal... 8. Euler Metodu (Euler s Method)... 4 8.. Msal... 4 8.. Msal... 4 8. Ruge-Kutta Metodu (Ruge-Kutta Method)... 5 8.. İkc Derecede Ruge-Kutta Metotları (Secod-Order Ruge-Kutta Methods)... 6 8... Heu Metodu (Heu Method) a =/... 7 8... Orta Nokta Metodu (Mdpot Method) a =... 9 8... Ralsto Metodu (Ralsto s Method) a =/... 0 8.. Üçücü Derecede Ruge-Kutta Metotları (Thrd-Order Ruge-Kutta Methods)... 8... Msal... 8... Msal... 8... Msal... 5 8...4 Msal... 6 8.. Dördücü Derecede Ruge-Kutta Metotları (Fourth-Order Ruge-Kutta Methods)... 7 8... Msal... 8 8.4 İkc Mertebede Dferasyel Deklemler... 9 8.4. Msal... 9 8.4. Msal... 8.4. Msal... 8.4.4 Msal... 4 8.5 Dferasyel Quadrature Metodu (Dfferetal Quadrature Method)... 6 8.5. Msal... 6 8.5. Msal... 9 8.6 Solu Farklar Metodu (Fte Dfferece Method = FDM)... 40 8.6. Msal... 4 8.6. Msal... 44 9. Sayısal İtegrasyo (Numercal Itegrato)... 46 9. Yamuk Kuralı (Trapezodal Rule)... 46 9.. Msal... 46 İzsz kopyalamayıız. 5
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 9. Smpso Kuralı (Smpso s Rule)... 47 9.. Smpso / Kuralı (Smpso s / Rule)... 47 9... Msal... 48 9.. Smpso /8 Kuralı (Smpso s /8 Rule)... 49 9... Msal... 49 9... Msal... 50. Sayısal Aalze Grş (Itroducto to Numercal Aalyss): Sayısal Aalz; dferasyel deklem, tegral veya deklemler blgsayar yardımı le aaltk olarak değl, sayısal olarak çözümleme tekğdr. Mühedslkte br çok leer olmaya dferasyel deklem aaltk olarak çözülemedğ halde, sayısal olarak çözümleeblmektedr. Gerçek hayatta ble brçok fzksel olayı gerçek hâl leer olmaya dferasyel deklemler le fade edleblmektedr. Bua örek olarak Naver-Stokes Deklemler, Burger s Deklem vesare verleblr. Veya salıım hareket yapa br salıcağı hareket deklem, leer olmaya dferasyel deklem le fade edleblmekte ve bu deklem aaltk çözümü hâlâ blmemektedr. Br yağmur damlasıı gökyüzüde yere erke rüzgar drec hesaba alıdığıda, sabt hızla yere dğ blmektedr. Eğer ormal Damk dersdek gb dkey atış problem olsaydı, yere ceye kadar o kadar hızlaırdı k, düştüğü yerde hasara ede olablrd. Bu çözümler sayısal olarak yapılablmektedr. Brçok karmaşık foksyouu tegral, aaltk olarak yapılamamasıa rağme, sayısal olarak yapılablmektedr. Blgsayar tekolojs gelşmesyle brlkte, sayısal aalz metotları da gelşmştr. Buu e ble örekler, Solu Elemalar Metodu, Solu Farklar Metodu ve Geelleştrlmş Dferasyel Kuvadratüre Metotlarıdır. Ayrıca brçok leer veya leer olmaya deklem sstemler sayısal aalz metotları le çözüleblmektedr. Bu şlemler yapılablmes ç de br çok program gelştrlmştr (Fortra, Basc, Pascal, C++, C#, Matlab, Dymola gb). Buu yaı sıra Sembolk hesaplama yapa programlar da gelştrlmştr (Maple, Mathematca, Mathcad, Mupad, Sclab, Derve gb ). Bu programlar sayesde dferasyel deklemler ble sembolk olarak çözüleblmektedr. Hatta so zamalara Ecel programıa lave edle Matematksel Foksyolarda (Matrs Ters, Matrs Çarpımı gb) sora, Sayısal Aalz le lgl bütü souçlar Mcrosoft Ecel kullaılarak da elde edleblmektedr.. Hata Taımlamaları (Error Deftos): Blgsayar le hesaplama yaparke, blgsayarda / gb sayıları odalık le belrl kesrl sayılarla fade ederke sayılar kısaltmalarda dolayı hatalar meydaa gelr ve bu edele, Gerçek Değer Hesaplaa Değer Hata İzsz kopyalamayıız. 6
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg şeklde yazılablr. Bu hataları türler belrleyeblmek ç aşağıdak taımlamalar yapılmıştır.. Kesme Hatası (Trucato Error): Foksyoları Taylor serse açılımı aşağıdak gbdr. f f! f f f f f R!! Buradak arta değer, f R,! şeklde taımlıdır. Taylor sersde, 0 alıdığıda, Maclaur Sers elde edlr. 4 f 0 f 0 f 0 4 f f 0 f0 ()!! 4! Bazı foksyoları Maclaur serse açılımı aşağıdak gbdr. 4 5 6 7 8 9 0 e!! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0! s s 0 cos0 s 0 4 s0 cos0!! 4! cos0 5 s 0 6 cos0 7 s0 8 cos 0 9 5! 6! 7! 8! 9! 5 7 9 s cos! 5! 7! 9!! k k s R k0 k Deklem () de görüldüğü gb serde alıa term sayısı arttıkça hata payı azalacaktır. Bu hata payı kesme hatası olarak taımlaır. Deklem olarak kesme hatası, Kesme Hatası Gerçek Değer HesaplaaDeğer şeklde taımlaablr. Veya, E t eact ap p yazılablr. Buula lgl msal aşağıda verlmştr... Msal.5 e sayısıı, Maclaur serse açıp maksmum, a). mertebedee kadar ola termlerler alarak, b) 5. mertebedee kadar ola termlerler alarak, kesme hatasıı hesaplayıız. İzsz kopyalamayıız. 7 ()
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Çözüm: a) lk öce ser yazılmalıdır. 4 5 6 7 8 9 0 e!! 4! 5! 6! 7! 8! 9!! 0.5. 5.5 e e.5 e.5 4.875!!!! E t eact ap p Et eact ap p Et 0.948907080650 b) lk öce ser yazılmalıdır. E e.8 Et 4.4868907080650 4. 875.5 t 4 75 4 5 6 7 8 9 0 e!! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0! e 4 5 e!! 4! 5! E t eact ap p Et eact ap p Et 0.09970080650 4 5. 5.5.5.5.5.5 e.5 4.467875!! 4! 5! E e.8 Et 4.4868907080650 4.467875.5 t 4 75 Görüldüğü gb Maclaur sersde alıa term sayısı artırıldıkça, kesme hatası da o derece azalmaktadır.. Bağıl Hata (Relatve Error): Gerçek değer blyor ve hesaplaa değer de blyor se Mutlak hata, Veya, Gerçek Değer Hesaplaa Değer Bağıl Hata Gerçek Değer E * eact app rel Ere l () ea ct le taımlıdır. Buu le lgl bast br msal aşağıda verlmştr... Msal P sayısıı yaklaşık hal, a) bayağı kesr olarak şeklde verldğde, 7 b).46 olarak verldğde bağıl hatayı hesaplayıız. Çözüm: a) E rel * 7 Erel Erel -0.00040499447708 olarak hesaplaır. E rel.45965589790 7.45965589790 İzsz kopyalamayıız. 8
b) E PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg eact app rel Erel eact.. Msal.46 Erel -0.000008449968 Tab logartma e sayısı ve yaklaşık hesaplamış olarak verle.78 sayısı ç bağıl hatayı hesaplayıız. Çözüm: E eact rel app eact Erel 0.0000678896097 E.788884590450.78 Erel e.788884590450 e.78 rel. Mutlak Hata (Absolute Error): Gerçek değer blyor ve hesaplaa değer de blyor se Mutlak hata, Mutlak hata Gerçek Değer HesaplaaDeğer Gerçek Değer deklemyle hesaplaır. Bu deklem aşağıdak şeklde de taımlaablr. E eact abs app eac t E abs * le taımlıdır... Msal Yukarıda verle Msal.. de bağıl hataları hesaplayıız. Çözüm: a) E rel * Erel 7 E rel.45965589790 7.45965589790 Erel 0.00040499447708 olarak hesaplaır. b) E eact app rel Erel eac t.46 Erel 0.000008449968.4 Yuvarlatma Hatası (Roudg Error): Hesap makesde alıa termlerde, kesrl kısmı hâe sayısı le lgldr. Kedsde sorak sayı değer 5 değere eşt ve büyükse poztf yöde sayı artırılarak yazılır. Eğer (5) te küçük se kala kesrl kısım atılır. Buu le lgl msaller aşağıda verlmştr. Aşağıda verle sayıları kesrl kısmı hae olacak şeklde yuvarlatma hatası yaparak yazıız..6666666.667,.5550.56, 85.449999 85.4 0.7849999 0.78 İzsz kopyalamayıız. 9
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg. (Leer olmaya br değşkel deklemler çözümler (Solutos of Nolear Equatos Oe Varable) Bazı leer olmaya deklemler aaltk olarak çözülemedğde sayısal çözümleme yollarıa gdlr. Deklem, br tarafı sıfıra eştleecek şeklde aşağıdak gb yazılır. f,,, 0 Öcek bölümlerde zah edldğ gb leer olmaya deklemlerde br ve/veya brde fazla leer olmaya term olduğuda çözümü yapılamaz. Bua msal olarak aşağıdak deklemler verleblr. 0 leer değl çükü sy 0 leer değl çükü y 0 s y ve term mevcut..termlerde dolayı dsler toplamı brde büyük olduğuda leer değldr. Paydada değşke olduğuda leer değldr. Temel problem leer olmaya br deklemde kökler buluması olduğuda verle br foksyo f () = 0 şeklde taımladığıda köküü varlığı öce blmeldr. Grafk olarak buu görmek daha kolaydır. Verle foksyo [a,b] aralığıda sürekl ve foksyo bu aralıkta şaret değştryorsa mutlaka br sıfır oktasıda geçyor demektr. Çözümü mevcut olması (Estece of Solutos): Foksyou değer sıfır yapa kökü bulmak ç brkaç teorem verlmştr. Ara Değer Teorem (Itermedate-Value Theorem): f foksyou, a,b arlığıda sürekl ve herhag br C katsayısı f a özellğe sahp se öyle br p sayısı vardır k bu sayı pa,b özellğe sahptr C f b taımlıdır öyle k f c Ortalama Değer Teorem (Mea-Value Theorem): f foksyou, a,b aralığıda sürekl ve f af b 0 se, bu aralıkta e az br tae kök vardır. Foksyou kökler buluması temel olarak k farklı yolla yapılır. Bular;. Kapalı aralık (Braket)metotlar (Bracketg Methods): ya kapalı br a,b aralığıda foksyo şaret değştryor se, problem çözümüe k tae başlagıç değer grlerek çözüme gdlr. Başlagıç değerler doğru grldğde çözüme gdlr. fakat köke yavaş yaklaşır.. Açık Metotlar (Ope methods): Bu metotlarda başlagıç değer br tae grlerek çözüme gdlr. Bu metotlarda köke yaklaşma braket metotlara orala daha hızlıdır. İlk olarak burada kullaıla k tae Braket (Kapalı aralık) metot verlecektr. C İzsz kopyalamayıız. 0
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg. İkye Bölme Metodu (Bsecto Method) Bu metot a,b kapalı aralığıda a, b foksyo sürekl ve f a f b 0 özellğe sahp se, foksyo şaret değştrdğde dolayı mutlaka br sıfır değerde geçecektr. Aşağıda verle şeklde de görüldüğü gb ve olduğuda,. terasyo soucuda buluacak ola f 0 f 0 oktası bu k değer artmetk ortalaması alıır. Ya; (4) L U,,, L U r r olacak şeklde çaplı çzle dare merkez göstermektedr.. terasyo ç; olduğuda, f af b 0 şartıı sağlaması ç, ola öcek değer kullaılması mecburdr. Böylece f f 0 ; f 0 L U,,, L U 4 r r 4 çaplı çzle dare merkez göstermektedr. f 0 4 f 0 olacak şeklde. terasyo ç; olduğuda, f af b 0 şartıı sağlaması ç, so k değerde ola öcek değer kullaılması mecburdr. Böylece f f 0 ; f 0 L U 4,,, L 4 U 5 r r 5 4 f() f() f(4) f(5) 4 5 f() f() Şekl -: İkye bölme metoduu grafk gösterm olacak şeklde çaplı çzle dare merkez göstermektedr. 4 Böylece terasyo (yeleme) devam ettkçe foksyo kök değere yaklaşmaktadır. Bu metodu algortması aşağıdadır. İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg İkye bölme metoduu program algortması: Gve f () = 0, ε ad the tal ed pots [a 0,b 0 ], where f(a 0 )*f(b 0 )<0; Gve ma=mamum umber of teratos; For =0 to ma Compute c = (a +b )/; If f(a )*f(c )<0 Update b + = c ad a + =a ; If f(a )*f(c ) > 0 Update a + = c ad b + = b ; If c c < ε Soluto= c ; Stop the teratos; Edfor.. Msal 5 0,4 şeklde verle deklem köküü aralığıda kye bölme metoduu kullaarak hesaplayıız. Çözüm: lk öce foksyou bu aralıkla şaret değştrp değştrmedğ test edlmeldr. f 5 f 5 5 f 5 0 f 4 4 4 5 f 4 7 0 Burada f f 4 0 olduğu görülür. Ye kullaılacak değer artmetk ortalama le hesaplaır. 4 f 5 4 0 f 0 Öcek k farklı değerde foksyou değer hagsde sıfırda küçük se o değer seçlerek, kc terasyoa bu değerle başlaır. İterasyo L U C f( L ) f( U ) f( C ) sayısı 4-5 7 4.5-5 4 -.875.5.75 -.875 4 0.67875 4.5.75.65 -.875 0.67875-0.69598 5.65.75.6875-0.6959 0.67875-0.044 5.690647 -.7766e-5 Tabloda verldğ gb, değşmeye değerler 5. terasyoda sora olduğu görülmüştür..6906474480864 değer kök değerdr.. Doğrusal İterpolasyo Metodu (Lear Iterpolato Method, False Posto Method, Regula Fals method) Bu metot a,b kapalı aralığıda a, b foksyo sürekl ve f a f b 0 özellğe sahp se, foksyo şaret değştrdğde dolayı mutlaka br sıfır değerde geçecektr. Fakat hesaplaa değer kabaca kye bölme olduğuğuda, tahm edle değerde hata payı yüksek olmaktadır. Buu yere, bu k okta arasıda leer terpolasyo yapılarak daha yakı br değer hesaplaması esas alımıştır. Dğer şlemler tamamı kye bölme metodu gbdr. İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Aşağıda Şekl - de görüldüğü gb soucuda buluacak ola faydalaılır f f f() f f f 0 ve f 0 olduğuda,. terasyo oktasıı bulmak ç Şekl - dek üçgelerde f f f() [,] [,] 4 f(4) [4,] 5 f(5) 4 5 f() f() Şekl -: Doğrusal terpolasyo metoduu grafk gösterm f f f f f f f f f f f f (5) deklem veya aşağıda gelecek deklem, doğrusal terpolasyo metodu ç kullaılablr. f f f f f f Yukarıdak dekleme term, f f term eklep çıkarılarak tekrar yazıldığıda; f f f f f f term le çarpılıp ye bölüerek yazıldığıda; f f f f f f f f f f elde edlr. Bu termler ortak paydada yazıldığıda; f f f f f f olur. Gerekl sadeleştrmeler yapıldığıda; f f f f İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg f f f Bu veya yukarıda verle deklem, metodu temel deklemdr. Program algortması (temel kuralı, matığı,şlem yapısı) aşağıdadır. Algorthm for False Posto Method: Gve f () = 0, ε ad the tal ed pots [a0, b0] where f (a0) f (b0) < 0; Gve ma=mamum umber of teratos; For =0 to ma Compute c()=((a()*f(b()-b()*f(a()))/( f(b()-f(a())); If f(a )*f(c ) < 0 Update b + = c ad a + =a ; Edf If f(a )*f(c ) > 0 Update a + = c ad b + = b ; Edf If c c < ε Soluto= c ; Stop the teratos; Edf Edfor İkcs, açık metotlar olarak taımlaa üç tae metot verlecek ve celeecektr. Bu metotları temel özellğ, başlagıç değer sadece br taedr. Blmeyee başlagıç değer verdkte sora tekrarlamaya devam ettkçe, foksyou kök değere yaklaşılır... Msal şeklde verle deklem köküü,4 5 0 (6) aralığıda doğrusal terpolasyo metoduu kullaarak hesaplayıız. Çözüm: lk öce foksyou bu aralıkla şaret değştrp değştrmedğ test edlmeldr. f 5 f 5 5 f 5 0 f 4 4 4 5 f 4 7 0 Burada değer artmetk ortalama le hesaplaır. f f 45 7.5 f f 5 7 f.5.5.5 5 -.886 0 f f 4 0 olduğu görülür. Ye kullaılacak f.5 0 Öcek k farklı değerde foksyou değer hagsde sıfırda küçük se o değer seçlerek, kc terasyoa bu değerle başlaır. İterasyo f( ) f( ) f( ) sayısı 4.5-5 7 -.886.5 4.4977.8867 7 -.89494.4977 4.5964 -.89494 7-0.98086 4.5964 4.64546-0.98086 0.67875-0.4880 5.6906 4.69064-0.00058 0.67875-0.00009 8.69065 4.69065 İzsz kopyalamayıız. 4
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Tabloda verldğ gb, değşmeye değerler 40. tekrarlamada sora olduğu görülmüştür..69064744809 değer kök değerdr... Msal Br paraşütçüü yukarıda aşağı doğru düşerke karşılaştığı sürtüme katsayısı; c mg t m v e deklem le verlmştr. Burada t:zama, m:kütle, g:yerçekm vmes, c v:yukarıda aşağıya düşme hızı ve c:sürtüme katsayısıdır. sayısal olarak t=0s, m=68.kg, g=9.8m/s ve v=40m/s olduğua göre, c sürtüme katsayısıı c= ve c=6 başlagıç değerler kullaarak hesaplayıız Çözüm: lk öce deklem sıfıra eştleerek yazılmalıdır ve temel değşke c katsayısıdır. c c mg t 68. 9.8 0 m 68. f c e v f c e 40 c c 00 668.06 68 c = ç f c e 40 6.9 elde edlr ve c =6 ç 00 668.06 6 68 f c e 40.0 buluur. f c f c 0 şartı sağladığıda 6 değer, bu k değer arasıda terpolasyo deklem kullaılarak hesaplaır. c c f c f c c c f c c c f c f c c c f c.0 6 6.9.0 c 6 4.909. tekrarlama souda; f=6.94, f=-.06, cr=4.909 f*fr=-.5758 < 0 Ye kök değer c ve cr arasıdadır. tekrarlama souda; f=6.94, f=-0.5487, cr=4.85 f*fr=-0.65964 < 0 Ye kök değer c ve cr arasıdadır. tekrarlama souda; f=6.94, f=-0.0745, cr=4.806 Tekrarlama sayısı artırıldığıda kök değer cr=4.80 olarak hesaplaır. Aşağıda verle çözüm tarzları açık ala usullerdr. ya Başalagıçta k okta alıarak çözüme başlamaz. Br değerde başlaır ve tekrarlama soucuda yavaş yavaş kök değere doğru gdlr.. Tekrarlama Metodu (The Fed-Pot Iterato method) f 0 deklem yazıldığıda, değer hesaplamak gerekyorsa, deklemde değer br tarafta kalacak şeklde tekrar yazılır. g (7) olarak taımlaır. Bu durumda; f () g 0 (8) c İzsz kopyalamayıız. 5
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Kökler buluması ç; g (9) Fakat burada çözümü yakısaması ç br şart vardır. Bu şart aşağıda verlmştr. le taımlı ve bu aralıkta her değer ç foksyo İterasyou yapılacağı aralık türev alıablr ve f a f b 0 a s a,b se bu türev değer; d d g L, g L, L (0) d d b olduğuda Tekrarlama Metodu uygulaablr. Şart sağlamadığı takdrde çözüm çıkablr, fakat mutlaka çözüm çıkacağıa garat vermez. a,b Veya aralığıda ve bu aralıkta, şartı sağlaıyor ve ayı zamada g a ç ve b alıdığıda, f a f b 0 g g L,, a,b, L 0, () şartı sağlaıyor se tekrarlama usulü kullaılablr. Deklem () kullaılması her zama değerler hesaplamalarda daha uygudur. Deklem () sağlaya bütü a,b başlagıç değer olarak kullaılablr. İşlemler alaşılması ç Msal.. bakıız... Msal s şeklde verle deklemde, 0, köküü buluup bulumayacağıı test edz. aralığıda tekrarlama metodu le Çözüm: lk öce verle aralığıda foksyou değerlerde brs poztf se dğer f s egatf olmalıdır. Bu durum test edlmeldr. f 0, f 0 s 0 0 f s f 0f 0.8447 0 f 0.8447 f 0 f 0 olduğuda verle aralık uygudur. Şmd de seçlecek ola g() foksyouu uygu olup olmadığı test edlmeldr. Buu ç lk olarak Deklem (0) le test edleblr. s 0 s d g d Burada g() foksyou ç, g s cos d g L, L d cos0 L, L L, L a yazılablr. Şartı sağlamadığı görüldü. Bu demektr k şart sağlamasa da çözüm çıkablr. Fakat mutlaka çözümü olacağıı garat etmez. Bu sebeple, Deklem () kullaılır se, her zama garatl souç elde edlr. =0 ç; g g 0 s(0) İzsz kopyalamayıız. 6
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g0 s 0 g s g g g 0 L,, a,b, L 0,, g s g 0.58590 g 0 g 0.58590 0 0 0.84470984807897 uygudur. Ayı şlem = yapılmalıdır. g g s() 0.585905 g s g s g 0.585905 g0.585905 s0.585905 g0.58590 0.84466 g g g g 0.585905 0.585905 0.84470984807897 0.585905 0.84466 0.8900 0.585905 0.8900 < şartı da sağladığıda seçle g() foksyouu kullaılması uygudur. Görüldüğü gb test foksyou olarak Deklem (0) yere, Deklem () kullaılması seçlecek her br 0, daha uygudur. Aartık buda sora başlagıç değer olarak değer ç çözüm mevcuttur. g s s s 0.5 0.75596040745477. tekrarlama soucu: 0. tekrarlama soucu:. tekrarlama soucu: 4. tekrarlama soucu: Bu şlemler artırıldığıda kök değer.. Msal 9 0 0 s 0.75596040745477 0.64640449987 s 0.64640449987 =0.68879856958 s 0.68879856958 0.649506089658 4 r 0.5097494 olarak buluur. le verle deklemde değer tekrarlama metodu le 8, aralığıda çözümü olup olmadığıı tesbt edz. Çözümü varsa uygu ola g() foksyolarıı belrleyz. Çözüm: lk öce tekrarlama usülü le çözülüp çözülemyeceğ test edlmeldr. =-8 ç f()=6 ve = ç f()=-8 ve f 8f 0 olduğuda bu aralıkta kök değer vardır ve bu değerler ç lk öce uygu g() foksyou belrlemeldr.. yol: Öyle br g() foksyou seçlmeldr k bu fosyou verle aralıktak. türevlerde bu değerler yazıldığıda, elde edle sayı de küçük olmalıdır. f 9 0 0 olduğu görülür. Burada; 9 0 0 yazılablr veya olur. Burada g() foksyou ç; 0 9 g 0 yazılablr. Bu foksyou. türev alıdığıda, 9 9 0 d 0 g d 9 olur. (Deklem (0) le test edldğde dolayı). İzsz kopyalamayıız. 7
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg = ç test edlmeldr. d 0 0 0 g 0.565 L d 9 9 8 olduğuda. şart sağladı.. şart ç =-8 değer yazıldığıda çıka değer de küçük olmalıdır. d 0 0 0 g d 8 7 9 9 0 0.0460076 L 89 Bu değerler aşağıdak şartı sağladığıda uygudur. d d g 0.0460076 L, g 0.565 L L,, ya, b, L d d 8 Elde edle bu k değer, de küçük ve sıfırda büyük olduğuda, bu aralıkta alıa her değer ç g() foksyou çözüme gder. Dğer br test Deklem () le yapılablr. İlk öce f a f b 0 şartı test edlmeldr. f 9 0 0 f 90 8 f 8 8 9 8 0 64 7 0 6 şartı sağladı Şmd dğer şart, g g g g g g g 0 9 L g L L g 0 9 g 0 5 9 4 f f 8 0 g 0 9 5 40 4 4 5 0.9595 0 < 0.9595 < 5 4 4 0 9 g 8 0 0 70 g 7 0 9 6 7 0 0 8 9 7 0 0.0649695 0< 0.0649695 < 6 g g 5 0 40 g 4 5 9 4 4 L 0 70 7 6 0 8 7 olduğuda seçle g() foksyou le çözüm yapılableceğ görülmektedr. f() foksyouda elde edle tüm g() foksyolarıda bu şartlar deemeldr.. yol: başka br g() foksyou seçls. İzsz kopyalamayıız. 8
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg f 9 0 0 g 0 9 0 0 g, 9 g g L 0 9 0 0 g 9 0 g 9 0.0 < 0 Şart sağladığı ç, seçle kc g() foksyou da çözüm ç kullaılablr Böylece;. tekrarlama soucu:. tekrarlama soucu:. tekrarlama soucu: 4. tekrarlama soucu: Bu şlemler artırıldığıda kök değer 8 0 00 g 6 9 9. yol: başka br g() foksyou seçls. f 9 0 0 =- ç test edlmeldr. 6 0 0 6 g.88888888888889 9 9 9.88889 0 0 g -0.88 9 9-0.88 0 0 g 4 -.076 9 9 r olarak buluur. 9 0 9 0 g 9 0 d g 9 0 4.588 989454067 şart sağlamadı d d g 9 8 0 6 sayı gerçel sayı değldr ve uygu değl. d Ya bu değerler ç Deklem (0) kullaıldığıda, çözümü mutlaka olacağı garat edlemez. Buu ç Deklem () le g() foksyou tekrar test edlmeldr. g 9 0.. Msal e 4 verle deklem kökler 0.7480594 ve 4.0658478 olduğu blyor. Bu souçları elde ede uygu g() foksyolarıı belrleyz. Çözüm: lk olarak g() foksyoları belrles... e 4 e e 4 e 4 g () 4 e g 4 e () 9 İzsz kopyalamayıız. 9
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg. l e l 4 l g l 4 l () Üç farklı g() foksyou belrled. İlk kök değer hesaplaablmes ç aralık değer aralığıı 0, olarak, aralığı seçldğde bu aralığı uygu olmadığı fakat uygu olduğu görülecektr. () olu g() foksyouda =0 alıdığıda, 0 e e g g0 4 40 0 alııp Deklem () le test edldğde, 0. e g0..769 40. g g 0., olduğu görülecektr. Buu yere 0., aralığı dkkate.769 e g.769.48 4.769 L.769.48 0.499 0..769 Daha yeterl değldr. Ayı zamada = ç de test edlmeldr. e g 0.67957 4 g g 0.67957 e g0.67957 0.7584 40.67957 L 0.67957 0.7584 0.4995 0.67957 Olduğuda bu aralıktak kökü bu g() foksyou le çözmek mümküdür. Fakat ayı 4,5 olarak seçldğde, g() foksyou kc kökü bulmak ç uygu değldr. Çükü, 4.44 e e g4.44 g.44.6 44 4.44 g g L.44.6 4.44.048 olduğuda uygu değldr. Ya br aralıkta geçerl ola g() foksyou dğer aralıkta geçerl olmayablr. 4,5 aralığıa uygu ola g() fosyou, g l 4 l fadesdr. g4 l 4 l 4 g l 4 l g4.589 l 4 l 4.589 g4.589 4.68 g g L 4.589 4.68 0.490 4 4.589 5 5 g l 4 l g 5 4. 605 4.605 l 4.605 g l 4 g g g 4.605 4.4407 L 4.605 4.4407 0.4668 5 4.605 g 4 4. 589 İzsz kopyalamayıız. 0
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg e 0., aralığıda, Deklem () sağladığıda, g() foksyou da uygudur. 0 = alıdığıda elde edle değerler aşağıdak tabloda verlmştr. İterasyo sayısı e g().0000000000 0.8460654 0.8460654 0.75505554 0.75505554 0.796786 4 0.796786 0.7007987 5 0.7007987 0.76675 6 0.76675 0.7547865 7 0.7547865 0.750440 8 0.750440 0.74896 9 0.74896 0.7486687 0 0.7486687 0.74867976 0.74867976 0.74809808 0.74809808 0.7480708 0.7480594 0.7480594 Bu şlemler devam ettğde,. Tekrarda =0.7480594 değere ulaşır. Dğer br l e l 4 l l 4 l g g l 4 l alıdığıda uygudur. Burada başlagıç değer daha büyük ola 0 =5 çözüm olarak g() foksyou, olarak alımıştır ve bua uygu souçlarda aşağıda verlmştr. İterasyo sayısı g l 4 l 5.0000000000 4.60570860 4.60570860 4.4406567 4.4406567 4.6789755 4 4.6789755 4.4857909 5 4.4857909 4.96706 6 4.96706 4.650 İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 7 4.650 4.0940096 8 4.0940096 4.0789055 9 4.0789055 4.07985 0 4.07985 4.06866659 4.06866659 4.06756508 4.06756508 4.06645584 4.06645584 4.066969... 4.0658478 4.0658478 terasyoa devam edldğde =4.0658478 değer elde edlr. Her k kök değer de 4,5 aralığıdak bütü değerler doğrudur. Burada terasyoa 5 değer le başlatıldı. ç g() foksyou ayı souçları hesaplar. Aşağıda foksyou grafğ verlmştr...4 Msal le verle deklem köküü, tekrarlama metodu le çözeblmek ç,4 5 e aralığıı kullaarak; bu aralıkta çözümü vere g() foksyouu buluuz ve Tekrarlama Metodu le verle aralıkta.5 başlagıç değer kullaarak,. tekrarlamaya kadar ola kök değer hesaplayıız. Çözüm: lk olarak g() foksyoları belrles. lk olarak g() foksyoları belrles. 4. 5 e 5 e l l l e g l l 5 () İzsz kopyalamayıız.
5. 6. 7. PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 5 e g 5 e 5 e e 5 5 e 5 e e 5 g g e 5 () e (4) 5 Dört farklı g() foksyou belrled. Kök değer hesaplaablmes ç, seçlr ve bu aralığı uygu olmadığı test edlmeldr. g l l 5 g l l 5 l l 7 5 g.78.78. 8 g g g L.78.577 0.447.78 4 l 4 l 45 g 4.57706684 g 4.585898456 l l 85 5 g.585.585.5 g g L.585.46 0.7776.585 foksyou le çözmek mümküdür. g.7805804795 4 uygudur. g.585.46894485 (),4 aralığı ç ayı test yapılmalıdır. olduğuda bu aralıktak kökü, bu g() İterasyo sayısı g l l 5 00.50000000.989 00.989.490479 00.490479.0805 004.0805.8085 005.8085.99669 006.99669.8609 0.76660.76660 0.76660.76660..5 Msal le verle deklemde f af b 0, a,b lk öce a,b 0 İzsz kopyalamayıız. şartıı sağlaya aralığı belrleyz ve daha sora bu aralıkta çözümü vere g() foksyouu bulup değer tekrarlama metodu le belrleyz.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Çözüm: lk görüüşte f deklemde uygu aralık belrlemeldr. f 0 0 0, f 5 5 5 f 5 9 alıa aralık uygudur. Fakat bu 0,5 aralığı daha da daraltılablr. f 0 f 0 f 5 9 0 olduğuda f 0f 5 0 seçlrse daha da uygu olur. Şmd de çözümü vereblecek g() foksyou belrlemeldr. Buu ç;. terch: edldğde, dg 0 d a 0 0, dg g olur. =a değer yere yazılarak test d b kc şart sağlamadığıda seçle g() foksyou uygu değldr. Ayı test Deklem () le yapıldığıda, g g g 0 g 0 7 4 L,, ya,b, L 0, 0 ye geçersz çözüm foksyou olduğu görülmektedr. Dolayısıyla başka br g() çözüm foksyou belrlemeldr:. terch: 0 / / g olur. Şmd ye g() foksyou ç Deklem () le test yapılablr. g g g 0 g 0 0.47850 0 0.47850 < Şartı sağladığı görülmektedr. Foksyo celedğde,. terch: 0 Deklem () le test edldğde; g g 0 g 0 g 0 / g olur. 0.6666666667 L,, y a,b, L 0, 0 olduğuda çözüm foksyou olarak seçle g() foksyouu geçerl olduğu görülmektedr. 4. terch: 0 0 g olur. Deklem () le test edldğde, g g g 0 g 0 0.864965809 L,, y a,b, L0, 0 olduğuda uygu olmadığı görülmektedr.. terchte verle g() foksyou seçlerek çözüm yapıldığıda; g / başlagıç olarak değer seçld. İzsz kopyalamayıız. 4
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Tekrar sayısı g İterasyo sayısı..0000000000.4449570..477994.477964..4449570.46676707..477964.4779586..46676707.88758858..4779586.4779575 4..88758858.550779 4..4779575.477957 5..550779.48678680 5..477957.477957 6..48678680.474647 6..477957.477957 7..474647.47659 7..477957.477957 8..47659.4789846 8..477957.477957 9..4789846.47854 9..477957.477957 0..47854.477994 0..477957.477957 7. tekrarlamada sora kök değer =.477957 olarak değşmedğ görülmektedr. Aşağıda gösterldğ gb, foksyou grafğe bakarak da kök değer tahm görülmektedr.edleblr. g..6 Msal 4 5 0 le verle deklemde deklem köküü Tekrarlama metodu le 0, aralığıı kullaarak, çözeblmek ç a) Bu aralıkta çözümü vere uygu br g() foksyouu buluuz. b) Tekrarlama Metodu (Fed pot terato) le verle aralıkta 0 tekrarlamaya kadar kök değer hesaplayıız. c) Bu aralıktak gerçek kök değer =.55957480649964 olduğua göre,. Tekrarlama soucuda elde edle kök değer le yapıla bağıl hatayı hesaplayıız. İzsz kopyalamayıız. 5
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Çözüm: lk görüüşte f 4 5 deklemde uygu aralık belrlemeldr. f 0 0 0 0 5, f 4 5 f 0f 56 0 olduğuda alıa aralık uygudur. Şmd de çözümü vereblecek f 0 5 g() foksyou belrlemeldr. Buu ç;. terch: 4 5 0 yere yazılarak test edldğde, dg d 4 4 0 0 0 5 yere yazılarak test edldğde, 0 dg d 4 4 5 f 6 g olur., şart sağlamadı. Uygu değldr. g g0 4 5 0 4 0 0 5 değer değer. 75 kc şart da sağlamadığıda seçle g() 4 4 foksyou uygu değldr. Ayı test Deklem () le yapıldığıda, lk öce test edlmeldr. g g g 0 g.5 0.5 L,, a,b, L 0, g g 0.5.5.79968750.475 şartı sağlamadığıda geçerszdr. 0.5 =b ç kotrol edlmeldr. g g.5.5 0 ç ye geçersz çözüm foksyou olduğu görülmektedr. Dolayısıyla başka br g() çözüm foksyou belrlemeldr.. terch: 4 5 0 yere yazılarak test edldğde, 8 0 g 8 0 olur. =a değer 6 8 6 dg 0 8 0.645550 d 4 4 0 8 0 0 8 0 0 saal çıktı. dg 6 8 6 8 d 4 4 8 0 8 0.87965094, şart sağlamadı. Sayı kc şart da sağlamadığıda seçle g() foksyou uygu değldr Ayı test Deklem () le yapıldığıda, lk öce 0 g g g 0 ç test edlmeldr..58880 I. Souç saal sayı olduğuda uygu değldr. Şart sağlamadı. =b ç kotrol edlmeldr. İzsz kopyalamayıız. 6
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g g g 4. g g 4.0566 4.6.8690995.056699 4.0566 4. ye geçersz çözüm foksyou olduğu görülmektedr. Dolayısıyla başka br g() çözüm foksyou belrlemeldr.. terch: 4 5 0 yere yazılarak test edldğde, 4 5 g 4 5 olur. =a değer dg 4 4 40 4 d 0.455995859 / / 4 0 5 0 4 5 0, şart sağladı. dg 4 4 4 4 0.59466887 / d 4 5 / 4 5 kc şart da sağladığıda seçle g() foksyou uygudur Ayı test Deklem () le yapıldığıda, g g.709975947. lk öce 0 g g ç test edlmeldr. L,, a,b, L 0, g 0 g.709975947 0.709975947 g 0.709975947.5884760 0.07055960 Şart sağladı. Ayı şlem =b ç yapılmalıdır. 0.709975947 g g.98009.98.8674404 0.5477770.98009.98 br çözüm foksyoudur. 0 = alıdığıda elde edle değerler aşağıdak tabloda verlmştr. Tekrar sayısı g 4 5 0.0000000000.7099759467.7099759467.58847606.58847606.545649686 4.545649686.59754 5.59754.577780456 6.577780456.5650655 7.5650655.5690 8.5690.56007057 9.56007057.55974868 Şart sağladı. Dolayısıyla, bu İzsz kopyalamayıız. 7
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 0.55974868.55960000 5.559574806.559574806 5. tekrarlamada sora souçları değşmedğ görülmektedr. =0 alıdığıda. tekrarlamada sora yapıla Bağıl hata mktarı; Gerçek Değer Hesaplaa Değer. 55957480649964.545649686 BağılHata Gerçek Değer.55957480649964 Bağıl Hata 0.04097004708 olarak hesaplaır. Eğer başlagıç değer olarak = alııp şleme devam edlrse aşağıdak tablo değerler buluur. Tekrar sayısı g 4 5.0000000000.9800906.9800906.8674404.8674404.60450 4.60450.55978848 5.55978848.5640089 6.5640089.5977098 7.5977098.5694598 8.5694598.564595 9.564595.56044659 0.56044659.5598649 7.559574806.559574806 Souçlar her k durumda da elde edlmektedr. = alıdığıda. tekrarlamada sora yapıla Bağıl hata mktarı; Gerçek Değer Hesaplaa Değer. 55957480649964.60450 BağılHata Gerçek Değer.55957480649964 BağılHata 0.90558994664 olarak hesaplaır. İzsz kopyalamayıız. 8
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg..7 Msal 5 0 le verle deklem köküü tekrarlama metodu le çözeblmek ç aralığıı kullaarak, 0, a. Bu aralıkta çözümü vere br g() foksyouu buluuz (hag g() foksyouu uygu olduğu test edlerek gösterlecek) b. Tekrarlama Metodu (Fed pot terato) le verle aralıkta = başlagıç değer kullaarak, tekrarlamaya kadar ola kök değer hesaplayıız. Çözüm: lk öce tekrarlama usülü le çözülüp çözülemyeceğ test edlmeldr. =0 ç f(0)=-5 ve = ç f()=0 ve f 0f 50 0 olduğuda bu aralıkta kök değer vardır ve bu değerler ç lk öce uygu g() foksyou belrlemeldr. Şartları sağlaya g() foksyou belrledkte sora 0 şartıı sağlaya her değer kullaılablr. başlagıç değer olarak. terch: Öyle br g() foksyou seçlmeldr k bu fosyou verle aralıktak. türevlerde bu değerler yazıldığıda, elde edle sayı de küçük olmalıdır. f 5 0 olduğu görülür. Burada; 5 olur. Burada g() foksyou ç; g 5 yazılablr. Bu foksyou. türev alıdığıda, d g d olur. (Deklem (0) le test edldğde dolayı). =0 ç test edlmeldr. d g 0 0 0 0. 565 L d olduğuda. şart sağladı.. şart ç = değer yazıldığıda çıka değer de küçük olmalıdır. d g şart sağlamadığıda uygu değldr. d Dğer br test Deklem () le yapılablr. İlk öce f af b 0 şartı test edlmeldr. şart, g g L g 5 5 5 5 55 g g L f 0 f 50 0 şartı sağladı Şmd dğer g g0 0 0 5 g0 5 5 5 55 50 0 5 5 0 Uygu değldr. g 5 İzsz kopyalamayıız. 9
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g g L g 5 0 g g L g g 5 0 5 0 0 Uygu değldr. g g 5. terch: başka br g() foksyou seçls. 5 0 5 0 Deklem () le test edldğde; g g g 5 L 5 5 5 g g g L 5 g 5 0 g 5 0.7479 5 0.7479 0 5 5 0 0 g 5 g 0 5.0448759> uygu değldr. g 5. terch: başka br g() foksyou seçls. 5 0 5 Deklem () le test edldğde; g 5 5 g0 0 0 5 4. terch: başka br g() foksyou seçls. g 5 g 0 5 sayı saal sayı olduğuda uygu değldr. 5 0 5 g 5 Deklem () le test edldğde; 5 g 5 g0 0 5 5 0 g 0 5 sayı saal sayı olduğuda uygu değldr. 5. terch: başka br g() foksyou seçls. 5 0 5 5 g 5 Deklem () le test edldğde; g g L.7.7.7 5 g g g L g 5 g0 0 0 5 g0.7 g.7.7877.7.7877 0.7 0.4458056 Uygudur. İzsz kopyalamayıız. 0 g 5
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g g L 5 g 5 g g.57.57.57 5 g 5 g g L.57.40585. 57 g.57.40585 0.5504544< Uygudur. 0 = alıdığıda elde edle değerler aşağıdak tabloda verlmştr. g.57859 Tekrar sayısı g 5..0000000000.5785907..5785907.405859..405859.680854445 4..680854445.4988668 5..4988668.45849 6..45849.44044 7..44044.406489898 8..406489898.40884886 9..40884886.409844 0..409844.4067847 4.405080.405080 4. tekrarlamada sora souçları değşmedğ görülmektedr..4 Newto-Raphso Yötem (Newto Raphso Method): Newto Raphso metodu da açık aralıklı ve br başlagıç değer le çözüm yapılable br metottur.foksyouu başlagıçta verle oktasıdak eğm ya brc türev yazıldığıda grafkte terasyo yötem elde edlr. Foksyou f ve eğm ya brc türev karşı dk kearı komşu dek değer dk keara oraı olduğuda; f f le taımlıdır. Bu fade tekrar düzeledğde; İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg f f f f Bu fade Newto-Raphso metodu le asıl kök buluacağıı gösterr. Ayı fade Taylor sersde de elde edleblr. f f f f f f ()!!! f() + + f( ) () f ( ) = f( ) - + + Şekl -: Newto-Raphso metoduu grafk gösterm Yukarıdak Taylor sersde lk k fade alııp sıfıra eştledğde Newto-Raphso deklem ortaya çıkar. f f f 0 f f (4) f Görüldüğü gb Deklem (4) le verle ayısı elde edlmştr. Eğer Newto-Raphso deklem daha hassas hale getrlmek sterse, Taylor sersde k term yere üç alıır ve daha hızlı, hassas souçlar elde edleblr. f f f 0! Aşağıdak grafkte se foksyoa başlagıçta 0 değer verldğde. ve. terasyolarda değer asıl köke yaklaştığı grafk olarak verlmştr. İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg f() 0 f() 0 f() f(0) Şekl -4: Newto-Raphso metoduda k tekrarlama le köke yaklaşımı Algorthm for The Newto Raphso Method: Gve f()=0, ε ad the tal pot 0; Gve ma=mamum umber of teratos; Fd f (); For =0 to ma Compute (+)=()-f()/f (); If + < ε Soluto= + ; Stop the teratos; Edf Edfor.4. Msal: Br yay üzere h kadar yükseklkte br m kütles serbest olarak bırakılıyor. Bu yayı davraışı oleer olup kuvvet ve yerdeğştrme bağıtısı, F k y k y le verlmektedr. Sstemde eerj kaybolmadığıa göre, yayı çökebleceğ mamum değer hesaplayıız. (Başlagıç değer olarak y 0 =0.5 alıız.) Çözüm: Mamum çökme haldek toplam eerj mktarı; yayı ketk eerjs le potasyel eerj toplamı olduğuda, yayı ketk eerjs ç; y 5/ Fdy k y k y dy ky ky 5 0 fades yazılablr. Potasyel eerj aşağı doğru egatf olduğuda, toplam eerj, 5/ f ky mgy mgh ky 5 le taımlıdır. Burada k 40000, k 40, m 95, g 9.8, h 0.4 alıacaktır. Newto- Raphso presb uygulaablmes ç,y ye göre türev alıdığıda; df / fy k y mg k y dy olur. Burada Newto Raphso uygulamasıa geçldğde; 5/ fy k y y y mg y m g h k y y 5 y / f y k y m g k y İzsz kopyalamayıız.
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 5/ 40000 y 959.8 y 959.80.4 40 y y 5 y / 40000 y959.840 y 5/ 400000.5 959.80.5 959.80.4 400.5-9.88 y 0.5 5 0. 0.95804 / 400000.5 959.8 40 0. 5 067.54 - olarak hesaplaır. Bu değerler tablo halde verleblr. Tekrar sayısı. 0.500000 0.847 4.65e+0.9089e+04. 0.847 0.9844 9.405540e+0.04098e+04. 0.9844 0.6876.65785e+0 6.78500e+0 4. 0.6876 0.6677.65e+0 5.8060e+0 5. 0.6677 0.6674 7.99558e-0 5.7407e+0 6. 0.6674 0.6674.87979e-06 5.7976e+0 7. 0.6674 0.6674 6.658e-5 5.7976e+0 8. 0.6674 0.6674 6.658e-5 5.7976e+0 9. 0.6674 0.6674 6.658e-5 5.7976e+0 0. 0.6674 0.6674 6.658e-5 5.7976e+0.4. Msal: y y Newto-Raphso metoduu kullaarak f (y) f y f e foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç değer olarak 0 0 kullaıız. Çözüm: temel formülü kullaılablmes ç foksyou e göre türev hesaplaması f e f e olur. verle değerler aşağıdak deklemde gerekr. yere yazıldığıda. terasyo souda değer; f 0 e e 0 0 f e 0 e 0 e 0 0 0 0 0.5 olarak hesaplaır. Bu değerler tablo halde verleblr. e f () Tekrar f sayısı. 0 0.5 -. 0.5 0.566 0.065 -.6065. 0.566 0.5674 0.00045 -.5676 4. 0.5674 0.5674.9648e-07 -.5674 5. 0.5674 0.5674 4.559e-5 -.5674.4. Msal: 0 4 40 0 le verle deklem kökler başlagıçta 0 = alarak, Newto- Raphso yötem le hesaplayıız. İzsz kopyalamayıız. 4
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Çözüm: foksyou lk öce e göre türev hesaplaması gerekr. f 0 4 40 f 0 4 olur. verle değerler aşağıdak deklemde yere yazıldığıda. terasyo souda değer; f 0 4 40 f 0 4 40 5.885 0 4 0 4 7 olarak hesaplaır. Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. Dkkat edlrse, 9. terasyoda sora değerler değşmemektedr. İterasyo sayısı... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0. f ( ) f.000000.885-5.0000000 7.0000000.885.564449-4.768740 6.986990.564449.649 -.7078808.4404.649 4.4078-0.7870654 0.680947 4.4078 4.90.67670 4.060 4.90 4.0604 0.68647.589650 4.0604 4.00057 0.0558.050897 4.00057 4.000000 0.0008.000676 4.000000 4.000000 0.0000000.000000 4.000000 4.000000-0.0000000.0000000 Görüldüğü gb 9. tekrarlamada sora değerler değşmemektedr..4.4 Msal: e s 0 0 le verle deklem kökler başlagıçta 0 =0 alarak, Newto Raphso yötem le hesaplayıız. Çözüm: foksyou lk öce e göre türev hesaplaması gerekr. e s e e cos s f 0 f olur. verle değerler aşağıdak deklemde yere yazıldığıda. terasyo souda değer; e s f 0 f e e cos s İzsz kopyalamayıız. 5
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 0 e s 0 0 0 0.65090 0 0 8.88497 olarak hesaplaır. 0 0 e e cos0 s0 984.8940 0 0 0 0 Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. Dkkat edlrse, 9. terasyoda sora değerler değşmemektedr. f ( ) İterasyo sayısı. 0.000000 8.88497.65097 984.894 İzsz kopyalamayıız. 6 f. 8.88497 7.750550 80.664668 7.484. 7.750550 6.59004 05.858400 6.05464 4. 6.59004 5.4065.69005 95.68976 5. 5.4065 4.089 4.95999 5.4578 6. 4.089.98698 4.686 4.06407 7..98698.64665 4.06594 7.590588 8..64665.54559 0.55550 5.4904 9..54559.5400 0.0400 5.6858 0..5400.54009 0.0000076 5.07798..54009.54009 0.0000000 5.0776 Görüldüğü gb. tekrarlamada sora değerler değşmemektedr..4.5 Msal: e 0 le verle deklem kökler başlagıçta değer kullaarak, Newto-Raphso yötem le. tekrarlamaya kadar ayrıtılı olarak hesaplayıız Çözüm: lk öce foksyou e göre türev alımalıdır. f e f f e 0.7078400 e 4.7078400.99000.7058070.7058070.7857600.796400 4.76700460 0.885865.7857600 4.46960 İterasyo sayısı f ( ) f..000000.7058 0.7078 4.7078..7058.7858.99.796..7858 0.884 4.767005 4.464 4. 0.884-0.4800.469008.0565985 5. -0.4800-0.4860 0.007685.990947 6. -0.4860-0.4859-0.0000006.000586 7. -0.4859-0.4859-0.0000000.000584
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 8. -0.4859-0.4859 0.0000000.000584 9. -0.4859-0.4859 0.0000000.000584 0. -0.4859-0.4859 0.0000000.000584 Yedc tekrarlamada sora souçlar değşmemektedr..5 İkc Mertebe Newto-Raphso Yötem (Secod Order Newto Raphso Method): Bu usül le çözüm yapıldığıda, geel olarak daha hızlı br şeklde köke yaklaşıldığı görülür. Fakat baze de zorlukla karşılaşılmaktadır. Temel formül olarak aşağıdak deklem kullaılır. Veya deklem daha sade olarak yazılablr..5. Msal: f f f f f f (5) f f f f (6) f f İkc Mertebede Newto-Raphso usulüü (tarzıı, metoduu, yötem) kullaarak yukarıda Msal.4. le verle f 0 4 40 foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç değer olarak 0 kullaıız. Çözüm: temel formülü kullaılablmes ç foksyou e göre türevler f 0 4 40 f 0 4 f 6 0 hesaplaması gerekr. olur. verle değerler aşağıdak deklemde yere yazıldığıda. terasyo souda değer; f f f f f f 0 4 f f f f f 0 4 0 4 406 0 6 0 6 0 olarak hesaplaır. Bu değerler tablo halde verleblr. İterasyo sayısı f f..000000.486-5.0000000 7.0000000-4.0000000 f f ()..486.79004-0.64449.4867-6.74857..79004.9748 -.484965.5496 -.59794 4..9748.68960-0.7900-0.60864-0.50999 5..68960 4.07-0.458458.0464698.666 6. 4.07.999998 0.05098.0697586 4.069 7..999998 4.000000-0.0000048.999990.9999855 İzsz kopyalamayıız. 7
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg 8. 4.000000 4.000000 0.0000000.0000000 4.0000000 9. 4.000000 4.000000-0.0000000.0000000 4.0000000 0. 4.000000 4.000000 0.0000000.0000000 4.0000000 Görüldüğü gb 8. tekrarlamada sora değerler değşmemektedr. Zorluklar dkkate alıdığıda. mertebede Newto-Raphso usulüü daha kolay uyguladığı görülmektedr..5. Msal: İkc Mertebede Newto-Raphso usulüü (tarzıı, metoduu, yötem) kullaarak e s yukarıda Msal.4.4 le verle f 0 foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç değer olarak kullaıız. 0 0 Çözüm: temel formülü kullaılablmes ç foksyou e göre türevler hesaplaması gerekr. e s e e cos s f 0 f f e e e s cos s f f 4 6 olur. Verle değerler aşağıdak 4 deklemde yere yazıldığıda. terasyo souda değer; f f f f f f değerler tablo halde verleblr. f olarak hesaplaır. Bu f f İzsz kopyalamayıız. 8 f f f f () İterasyo sayısı f f. 0.000000 8.90.65097 984.894 806.675. 8.90 7.77064 456.6978 9.78754 45.584889. 7.77064 6.6855 0.897879 67.669 6.50967 4. 6.6855 5.45776 65.88098 5.0005478 4.50080 5. 5.45776 4.68 4.9074 7.0578567 0.09900 6. 4.68.94958 8.56954 8.765077 5.554 7..94958.55 4.0074 7.0557 4.08844 8..55.54009-0.5485 5.5948.590589 9..54009.54009 0.00000 5.07777.4990 0..54009.54009 0.0000000 5.0776.49907 Görüldüğü gb 9. tekrarlamada sora değerler değşmemektedr. Zorluklar dkkate alıdığıda. mertebede Newto-Raphso usulüü daha kolay uyguladığı görülmektedr..6 Krş Yötem (Secat Method): Newto-Raphso yötemdek e büyük zorluklarda br, karmaşık ola foksyoları türev almaktır. Foksyou bu oktada türev almak yere, başlagıçta brbre eşt olmaya fakat brbre yakı k başlagıç oktası seçldğde, Bu k oktada geçe
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg doğru, foksyou bu oktada yaklaşık olarak eğm verdğde bu metoda Secat (eğm) metodu der. İkye bölme metoduda, şeçle k oktaı keyf olmayıp foksyou bu k oktada brsde egatf se dğerde poztf olma zorululuğu vardı. Burada se böyle br şart yoktur. Sadece seçle k okta brbre yakı olursa foksyou eğm de o derece doğru hesaplaacaktır. Bu durum Şekl -5 e dkkat bakıldığıda, le oktaları, brbre e kadar çok yakı seçlrse, mav çzg le gösterle doğruu eğm de o derece foksyou eğme yakı olacaktır. Tekrarlama soucuda elde edle souç, kök değere e yakı olduğu ç, kc tekrarlamada seçlecek kc değer, tekrarlama değere e yakı olursa, daha hızlı kök değere gdlr. Foksyou yazıldığıda; f f f dek değer f ve eğm ya brc türev ger farklar kullaılarak f f f hale gelr. Bu fade Newto-Raphso metodudak türevde yere koulduğuda; f f (8) f f f Bu fade Secat metoduu temel deklemdr ve kök değerler bu deklem le hesaplaır Aşağıdak grafkte se foksyoa başlagıçta 0 değer verldğde. ve. terasyolarda değer asıl köke yaklaştığı grafk olarak verlmştr. f( -) f() - + + f( ) + f( ) f ( ) = - Şekl -5: Secat metoduu grafk gösterm.6. Msal: Secat metoduu kullaarak değer olarak 0.0 ve 0.0 kullaıız. f( -)-f( ) -- (7) f e foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç f e 0 0 0 Çözüm: f e, f e f f f 0 0-0.605588 0 +0.605588 f 0 e e İzsz kopyalamayıız. 9
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg -0.605588 0 0.605588 0.670-0.605588 0.605588 İzsz kopyalamayıız. 40 0.670 değer brc terasyo soucuda elde edle değerdr. Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. İterasyo sayısı f 0.00000000.00000000 0.669984.00000000-0.6056.00000000 0.669984 0.56889-0.6056-0.070895 0.669984 0.56889 0.567706-0.070895 0.00585 4 0.56889 0.567706 0.5674 0.00585-0.000044 5 0.567706 0.5674 0.56749-0.000044-0.0000000 6 0.5674 0.56749 0.56749-0.0000000 0.00000000 Görüldüğü gb kök değer 4. terasyoda sora değşmemektedr..6. Msal: Krş (Secat) metoduu kullaarak hesaplayıız. başlagıç değer olarak f 0.0 e s 0 foksyouu köküü ve kullaıız. 5.0 0 Çözüm: f e s 0 e s 0 f 0 0 0 0 0 5 e s e s5 f 0.65097 f0 0 f 5 5 0 5 5 f 9.709888 0 5 f 5 9.709888 5 f f.65097 9.709888 4.994 değer brc terasyo soucuda elde edle değerdr. Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. Görüldüğü gb kök değer 0. tekrarlamada sora değşmemektedr. İterasyo sayısı. 0.000000 5.000000 4.994.65097 9.709888. 5.000000 4.994.866 9.709888 8.0598. 4.994.866.499 8.0598 9.5495040 4..866.499.754669 9.5495040 4.970 5..499.754669.578048 4.970.6477 6..754669.578048.544745.6477 0.847809 7..578048.544745.540 0.847809 0.0090860 8..544745.540.54009 0.0090860 0.000078 9..540.54009.54009 0.000078 0.0000000 0..54009.54009.54009 0.0000000 0.0000000 E bast halyle, tabloya bakıldığıda, tekrarlamadak so k değer, br sorak tekrarlamada kullaılmaktadır. Bu özellk lk dört tekrarlamada mav rekle belrtlmştr. Kök değere erşldğde, tekrarlamada elde edle değerler değşmez hale gelr. Bu durum 0. tekrarlamada kırmızı rekle gösterlmştr. 0 f f f
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg.6. Msal: Krş (Secat) metoduu kullaarak e s f foksyouu köküü hesaplayıız. başlagıç değer olarak 0.5 ve 0.0 kullaıız. f e 0 s f 0 e 0 s 0 Çözüm: f 0.5.88454 f e s f 0.9864 f f 0.5.0 f f f 0.5 f İzsz kopyalamayıız. 4.45 değer brc tekrarlama soucuda elde edle değerdr. Bu değerler tablo halde aşağıda verlmştr. Görüldüğü gb kök değer 7. tekrarlamada sora değşmemektedr. İterasyo sayısı 0.500000.000000.45.88454 0.9864.000000.45.70884 0.9864 0.0605.45.70884.7486 0.0605 0.00478 4.70884.7486.759 0.00478 0.000067 5.7486.759.759 0.000067 0.000000 6.759.759.759 0.000000 0.000000 7.759.759.759 0.000000 0.000000 E bast halyle, tabloya bakıldığıda, tekrarlamadak so k değer, br sorak tekrarlamada kullaılmaktadır. Bu özellk lk dört tekrarlamada mav rekle belrtlmştr. Kök değere erşldğde, tekrarlamada elde edle değerler değşmez hale gelr. Bu durum 7. tekrarlamada kırmızı rekle gösterlmştr..7 Leer olmaya Deklem Sstemler (Nolear Systems of Equatos) Baze karşımıza brde fazla deklem ve ayı deklem çersde brde fazla değşke olup bu deklemler ayı ada çözümlemes gerekr. Buu br msal Mekazma dersde kullaıla mekazmaları koum, hız ve vme aalzlerdr. Mesele daha rahat alaşılması ç; k foksyo kabul edelm ve bu k foksyo hem hem de y ye bağlı olsu. Taylor sers k değşke ç yazıldığıda;! f k k f, y y k k y y 0! k0 k! k! y,y hale gelr.bu fade brkaç term ç açılarak yazıldığıda; f f y y y f f f, y f, y y y y! f y y y Sadece. derecede türevler dkkate alıarak tekrar yazıldığıda; f f f f y y (9) y f(,y) ç yazıla değerler kc g(,y) foksyou ç de yazıldığıda, f f
PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg g g g g y y (0) y olur. Deklem (9) ve (0) brer deklem olarak ele alıdığıda f + ve g + değerler sıfıra eşt olacaktır. Böylece bu k deklem, f f f f f f f f y y 0 y y f y y y g g g g g g g g y y 0 y y g y y y Burada buluması gereke değerler + ve y + olduğuda, bu değerler eştlğ br tarafıda kalacak şeklde tekrar düzeledğde, f f f f y y f y y g g y y g g y y g hale gelr. İk blmeyel deklemler ç Cramer kuralı yazıldığıda, f f f f f f y f y y f y y g g g y g y y f f y g g y, y g g g y g y f f y g olur. İfadeler açılarak tekrar düzeledğde, f f g g g f y f y g y y y y f g f g y y f g g g f f y g y f y y y f g f g y y hale gelr. Gerekl kısaltmalar yapılarak Newto-Raphso formatıda yazıldığıda, g f f g f g g f y y, y y () f g f g f g f g y y y y olur. Deklem () veya Deklem () le k blmeyel sstemler ç, ayı souçlar elde edlr. Ayı souçlar Jacoba Matrs kullaılarak da elde edleblr. g, y olsu. Sayısal çözümleme ç Newto- Yukarıdak gb bu k foksyo f, y ve Rahpso yötem kullaılablr. Buu ç matrs formu gerekldr. Foksyolarda ve y oldğu ç matrs formu kullaılmalıdır. Burada; g y İzsz kopyalamayıız. 4