Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ Murat BEŞER muratbeser @ yahoo.com ÖZET Bu çalışmada gerek esek üretim süreçleri gerek kısmi firma ortaklıklarıda ortaya çıka geliri e adil paylaşımı soruu Tsurumi geişleme formuda taımlı bulaık kla oyuları temelli icelemiş, bulaık Shapley değerlerii gösterimi psödo- Boolea foksiyolarıı Lovasz geişlemesi formuda ifade edilmiştir. Aahtar Kelimeler: Choquet itegrali, Bulaık kla oyuları, Lovasz geişlemesi, Tsurumi geişlemesi, Bulaık Shapley değeri. GİRİŞ Üretim süreci içide ki işgücü girdisi yapısal olarak iki aa gruba ayrılmaktadır. Yöetici kesim olarak ifade edebileceğimiz birici grup, mevcut sistemi yöete, plalaya ve fiziki sermaye üzeride tam etkiliğe sahip grup yapısıı geri kala ve ikici grubu oluştura kısım ise tamame birici gruba ait üyeleri mevcut durumua bağlı ola kesimi oluşturmaktadırlar. Birici grubu fiziki sermaye üzerideki etkiliği, üretim süreci içide var olma zorululuğuu da ortaya çıkarmaktadır. Bu duruma ait e basit örek toprak sahibi ile toprak sahibii kiraladığı işçiler olarak verilebilir. (Muto ve diğerleri, 988), (Potters ve diğerleri 989), (Tijs, 990) ve (Tijs ve diğerleri, 2004) çalışmalarıda ortaya koa kla ve bulaık (fuzzy) kla tipi işbirliğie dair oyu teorik aalizleri, üretim süreci soucu elde edile faydaı Pareto optimum şekilde asıl paylaşılacağıı göstermesi açısıda oldukça kullaışlı metotlarda biri olmuştur. Bu çalışmada klasik işbirliğie dayalı oyu yapısı Tsurumi operatörü yardımı ile bulaık oyuları özel bir alt kümesie geişletilmesi gösterilmiştir. Literatürde Choquet itegral tipi bulaık oyular olarak da adladırıla ve psödo-boolea foksiyolarıı Lovasz geişlemelerii özel bir durumuu oluştura bu yei tip oyular Shapley foksiyouu açık şekilde ifade edilebilmesie olaak sağlaması açısıda oldukça öemlidir.,, S P içi Çalışma boyuca solu küme, bu kümei tüm alt kümelerii kümesi P ve S ifadesi alt kümei kardialitesii göstermektedir.. 2. LOVASZ GENİŞLEMESİ ve CHOQUET İNTEGRALİ Bu bölümde Tsurumi tipi bulaık oyuları taımlamasıda gerekli ola Choquet itegralii Lovasz geişlemesi yardımı ile gösterimi verilecektir. 2. Bulaık Ölçü Ölçü teoriside toplamsallık yapısı gerçek düyaya ait pek çok problemi aalizide oldukça kısıtlayıcı bir özellik olarak karşımıza çıkmaktadır. Bua e basit örek olarak ayrık iki kümei ayrık toplamlarıı oluşturduğu değeri her zama bu iki kümei birleşim değerie eşit olmayacağı sierji durumuu toplamsallık yapısı ile açıklaamaz. Bu yei durum içi ölçü teorisie ait varsayımları yumuşatılması zorululuğu soucu olarak bulaık ölçü yapısı karşımıza çıkmaktadır.
Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. Taım 2..: v : P valüasyo döüşümü 0 v içi oyu olarak, bu özelliklere ek olarak ilgili döüşüm pozitif taım kümeli ve mooto yapıya sahip ise bulaık ölçü ya da kapasite olarak adladırılır. Bua göre ormalleştirilmiş bulaık ölçü döüşümü : 0, 0 AB, P, eğer A B ise A B P aşağıdaki şartları sağlamaktadır. 2.2 Choquet İtegrali F ölçülebilir foksiyolar kümesi içi I : F 0, operatörü her c 0, içi I c X c özelliğii sağlıyorsa bulaık itegral deir. Ayrık uzaylar üzeride taımlı lieer bulaık itegralleri Lebesgue itegrali olduğu açıktır. Choquet itegrali bulaık itegraller kümesi içide Sugeo itegrali gibi uygulamalarda e fazla kullaıla operatörlerdir. (de Campos ve Jorge, 992) Taım 2.2.: h: X C h H d şeklide taımlaır. 0 foksiyou ve H x X : hx seviye kümesi verilsi. Choquet itegrali Choquet itegral operatörü toplamsal değildir. Toplamsallığı sağladığı durum ayı latis yapısı üzeride taımlı foksiyolar içi oluşmaktadır. Bulaık ölçü yapısı toplamsal ise Choquet itegrali liear yapılıdır. toplamsal ölçü içi Choquet ve Lebesgue itegrallerii eşitliğiii ortaya koyar ki bu durum ilgili foksiyoeli sürekliliğie sebep olur. Foksiyo ayrık küme üzeride taımlı ise Choquet itegrali aşağıdaki şekilde taımlaır. Taım 2.2.2: elemalı X taım kümesi ve h: X foksiyou verilsi. Her i X içi elde edile değerleri küçükte büyüğe tam sıralaması h h ve A h,, h içi bulaık ölçüsü üzeride taımlı Choquet itegrali C h hi Ai Ai i i i ile gösterilir. 2.3 Lovasz Geişlemesi Öklid uzayı üzeride taımlı permütasyo döüşümü içi x : x x kümesii 0, birim -küresie kısıtlaışıı köşe oktasıa sahip simpleks olduğu açıktır. Bu souçta hareketle : 0, psödo-boolea foksiyouu taım kümesii geişletilmesi ola Lovasz geişlemesi aşağıdaki şekilde taımlaır. (Mesiar ve Mesiarova 2008) Taım 2.3.: : 0, 0, -küresie psödo-boolea foksiyou verilsi. Her x : x x alt taım kümesi üzeride afi foksiyo yapısıa ve 0, ayı değerlere sahip f : foksiyoua, i Lovasz geişlemesi deir. simpleksii uç oktalarıda foksiyou ile Özellikle karar alma süreçleride kriterlere ağırlık ataması, işbirliğie dayalı bulaık oyular içi oyucuları oyua katılım derecesi ile ilgili aalizlerde psödo-boolea foksiyouu taım kümesii 0, -küpüe geişletilmesi ile ilgileilmektedir. (Couceiro ve Marichal, 20) 2
Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. Taım 2.3.2: : 0, psödo-boolea foksiyou ve f ilgili foksiyou Lovasz geişlemesi A i f f x f 0 x x x eşitliği geçerlidir. Burada verilsi. Bua göre f i i f0 0 0 i2 A, A ise A ı karakteristik vektörüdür. ve x f x taımlaır. (Mesiar ve Mesiarova 2008) f x f x şeklide f 0 0 içi yukarıda verile deklemde. derecede Choquet itegralii elde edebiliriz.. Bua göre f foksiyou azalmaya ve orijide sıfıra eşit ise buu Lovasz geişlemesi Choquet itegrale eşittir. 0, f A 3. BULANIK KLAN OYUNLARI Bu bölümde klasik işbirliğie dayalı oyuları bazı temel özellikleri verilecek, daha sora bu oyuları geişlemesi ola bulaık oyu yapıları ve bu geişlemei özel bir alt kümesi ola kla oyuları gösterilecektir. 3. Bulaık Oyular Klasik işbirliğie dayalı oyu teorik yaklaşımda,, oyucu kümesii oluşturmuş olduğu koalisyolarda oyucuları işbirliğie katılma dereceleri 0 veya olarak ifade edilmektedir. 0 oyucuu mevcut koalisyo içie katılmadığıı, ise oyucuu tam performası ile koalisyo içide olduğuu gösterir. S Böylelikle S P koalisyouu vektör yapısı olarak e olarak gösterebiliriz. Geometrik olarak koalisyo yapılarıı 0, küpüü köşe oktaları ile ifade edilebileceği açıktır. Bulaık işbirliği tipi oyular, 0, küpüü köşe oktaları üzeride taımlı koalisyo yapılarıı, küpü her oktasıda taımlaacak şekilde geişletmemizi sağlamaktadır. Bua göre i oyucusuu işbirliğie katılma derecesi 0, aralığıda taımlamaktadır. Diğer bir ifade ile 0, vektörü,, kümesii oyucularıı meydaa getirdiği işbirliğie katılım derecesii göstermektedir. 0, küpü içide kala vektörü. i koordiat bölgesie projeksiyou ola : 0, 0, i foksiyou i. oyucuu koalisyoa katıla derecesii göstere i değerii verecektir. Tüm bulaık işbirliklerii kümesii F ile gösterelim. (Tijs ve diğerleri, 2004), (Wu, 202) Taım 3.: 0 v özelliğie sahip v : F foksiyoua bulaık oyu deir. Tüm bulaık oyular kümesii FG ile gösteririz. Bu küme lieer ve sosuz boyutlu bir uzay meydaa getirmektedir. Taım 3.2: v FG oyuu her STF, ve S T içi vs T vs vt eşitsizliğii sağlıyorsa üst-toplamsal, vs T vs vt içi toplamsal oyu olarak adladırılır. Tüm toplamsal oyular kümesii A ile gösteririz.,, kümeside meydaa gele işbirliği yapılarıı elde ettiği toplam faydaı katılımcılar arasıda farklı şekillerde pay edilebileceği açıktır. Bua göre x A toplamsal foksiyou aşağıda taımlı maddeleri sağladığı müddetçe paylaşım foksiyou olarak adladırır. (Tijs ve diğerleri, 2004) Her isupps xi S vs isupp S Her i SuppS içi xi S 0 içi x S S i vi i Supp S i : S i 0 3
Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. Paylaşım foksiyolarıda, bireysel ve işbirlikleri üzeride rasyoalite özelliği sağlaya alt kümeleri veri v FG oyuuu çözüm kümesii meydaa getirir ve öz (core) olarak adladırılır. Bu kümeyi C v x : xi v, ixi vs, s A F i i şeklide taımlarız.,, kümeside ki oyucuları işbirliğie katılım dereceleri üzeride koyacağımız kısıtlar bulaık oyuları özel bir sııfıı meydaa getirmektedir. içi bu alt kümei oyucularıı işbirliğie katılım dereceleri 0,, alt kümesii oyucularıı işbirliğie katılım dereceleri 0, ise bu yei bulaık oyuu v : 0, 0, şeklide ifade edebiliriz. kümesii işbirliğie katılımı tam olduğu müddetçe v bulaık oyuuu değeri sıfırda büyük, buu dışıda ki şartlarda sıfıra eşit olarak kabul edersek bulaık kla oyularıı elde etmiş oluruz. Bulaık kla oyuları kümesii F şeklide gösterebiliriz. Taım 3.3: v : 0, 0, adladırılır. (Tijs ve diğerleri, 2004) döüşümü aşağıdaki şartları sağlarsa bulaık kla oyuu olarak s 2 içi vs 0 s t eşitsizliğii sağlaya her Her i, s 2 st, F vektörü içi vs vt s eşitsizliğii sağlaya 2 s, s F vektörleri ve her, 2 0 içi 2 2 i i 2 v s v s e v s v s e i 2 i 0 s e s 2e eşitsizlikleri içi 2 3.2 Tam Katılımlı İşbirliğie Dayalı Oyuları Tsurumi Geişlemesi Tam katılımlı işbirliğie dayalı oyulara ait Shapley foksiyouu çeşitli gösterimleri (formülasyoları) literatürde oldukça geiş yer almasıa rağme ayı şeyi bulaık işbirliğie dayalı oyular içi söylemek oldukça güçtür. (Butariu, 980), bulaık Shapley değerlerii açık şekilde hesaplaabilmesii sağlayacak FG uzayıı özel bir alt kümesii taımlamıştır. (Tsurumi ve diğerleri, 200) FG i mootoluk ve süreklilik özelliğie sahip ve Shapley değerlerii formülasyouu sağlayacak özel alt-kümeyi göstermiştir. Taım 3.2.: v : 0, tam katılımlı oyu içi v foksiyouu küpüe geişlemesi ola f : 0, A i f f x f 0 x x x Lovasz geişlemesi foksiyouu f i i şeklide göstereceğimizi vermiştik. 0 f0 f0 0 0 i2 f x f v içi ilgili bulaık işbirliği oyuu, tam katılımlı v A i v oyuuu Tsurumi geişlemesi olarak adladırılır. Böylece v i i elde edilmiş olur. Bu oyular kümesi FG T şeklide gösterilir. v x x x x oyuu Yukarıdaki taımda da alaşılacağı gibi tam katılımlı işbirliğie dayalı oyular kümesi ile bulaık işbirliğie dayalı oyular kümesi arasıda bire-bir bir ilişki vardır. v oyuu üst-toplamsal oyu içi bu oyuu Tsurumi geişlemesi de üst toplamsal yapıya sahiptir (Tsurumi ve diğerleri, 200). i2 2 4
Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. 4. BULANIK SHAPLEY DEĞERİ İşbirliğie dayalı oyu teorileride oyucuu her alt-işbirliğie kattığı marjial değer göz öümde buludurularak elde edile Shapley değeri, uygulamalarda tek okta çözüm değerleri arasıda e çok kullaıla yötem olmaktadır. Tam katılımlı işbirliğie dayalı oyular içi Shapley değeri çeşitli formül yapıları ile gösterilmesie rağme, bulaık işbirliğie dayalı oyularda bu tarz kesi bir gösterim her zama mümkü olmamaktadır. Aşağıda verile taımlar yardımı ile tam katılımlı işbirliğie dayalı kla oyularıı Tsurumi geişlemelerii Shapley değerleri açık şekilde yazılabilmektedir. (Li ve Zhag, 2009) Taım 4.: Her v G üst toplamsal tam katılımlı işbirliğie dayalı oyu ve her W P s alt-işbirliği içi T! W T! vt vt i i W oyucuu Shapley değeri f i vw TP W : it W! ile ifade edilir. 0: iw P G s f v!! şeklidedir. W içi Shapley foksiyou fi v vt vt i TP : it F Taım 4.2: f : FG foksiyou ve W T bulaık Shapley değeri i i T T! F bulaık kümesi verilsi, i W oyucuu A i f v W x f x x f ile gösterilir. i i v i v i2 F FG T f v SONUÇ İş gücüü tam performasta çalışmadığı ya da firma ortaklıklarıda sermaye katılımıı kısmi gerçekleştiği durumlarda geliri e adil şekilde paylaşımı soruuu çözümüde bulaık oyu teorik yaklaşımlar oldukça yardımcı olmaktadır. Bu çalışmada üretim yapısıı merkezi bir oyucu grubu tarafıda yöetildiği ve bu oyucu grubuu her hagi bir alt kümesii olmaması durumuda diğer oyucuları oluşturduğu alt işbirliklerii üretim sürecide etki olamayacağı varsayımıı göstere ve Tsurumi geişlemesi ile taımlaa kla tipi bulaık oyular taıtılmıştır. Tsurumi geişlemesi soucu elde edile bulaık oyuları e öemli özelliği Shapley foksiyouu açık şekilde yazılabilmesi olduğuda, ilgili değerler psödo-boolea foksiyoları Lovasz geişlemesi formuda e şekilde ifade edilebileceği gösterilmiştir. 5
Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. KAYNAKÇA Azrieli, Y., Lehrer, E. (2007), O Some Families of Cooperative Fuzzy Games, Iteratioal Joural of Game Theory, Vol. 36, (-5) Butariu, D. (980), Stability ad Shapley Value for a -Persos Fuzzy Game, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.4, (63-72) Couceiro, M.; Marichal, J.L. (20), Axiomatizatios of Lovasz Extesios of Pseudo-Boolea Fuctios, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.8, (28-38) De Campos, L.M.; Jorge, M. (992), Characterizatio ad Compariso of Sugeo ad Choquet Itegrals, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.96, (234-245) Hwag, Y. (2007), Fuzzy Games: A Characterizatio of the Core, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.58, (2480-2493) Li, S.; Zhag, Q. (2009), A Simplified Expressio of the Shapley Fuctio for Fuzzy Game, Europea Joural of Operatioal Research, Vol. 29, (596-68) Mesiar, R.; Mesiarova, A. (2008), Fuzzy Itegrals ad Liearity, Iteratioal Joural of Approximate Reasoig, Vol. 2008, (352-358) Tijs, S.H.; Brazei, M.R., Muto, S.; Ishihara S.; Fukuda E. (2004), Fuzzy Cla Games ad Bi-Mootoic Allocatio, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.46, (27-284) Tijs, S.H.; Brazei, M.R., Muto, S.; Ishihara S.; Muto, S. (2004), O Cores ad Stable Sets for Fuzzy Games, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.46, (285-296) Tsurumi, M.; Taio, T.; Iuiguchi M. (200), A Shapley Fuctio o a Class of Cooperative Fuzzy Games, Europea Joural of Operatioal Research, Vol. 29, (596-68) Wu, H. C. (202), Cores of Fuzzy Games ad Their Covexity, Fuzzy Sets ad Systems, Vol.98, (59-69) 6