1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme Testleri...22 2. BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME)... 30. A. SEÇME (KOMBİNASYON)... 30 B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ... 35. Ölçme ve Değerlendirme...39 Kazanım Değerlendirme Testleri...41 3. BÖLÜM: BİNOM AÇILIMI... 48 A. PASCAL ÜÇGENİ (HAYYAM ÜÇGENİ)... 48 B. BİNOM AÇILIMI... 48 Ölçme ve Değerlendirme...54 Kazanım Değerlendirme Testleri...55 4. BÖLÜM: OLASILIK... 59 A. KOŞULLU OLASILIK... 59 B. BAĞIMSIZ OLAYLAR... 61 C. BAĞIMLI OLAYLAR... 67 Ölçme ve Değerlendirme...68 Kazanım Değerlendirme Testleri...69 5. BÖLÜM: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ... 74 A. SİMETRİ... 74 B. ÖTELEME... 78 C. TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR... 86 D. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER... 88 Ölçme ve Değerlendirme...91 Kazanım Değerlendirme Testleri...94 6. BÖLÜM: FONKSİYONLARDA BİLEŞKE, FONKSİYONUN TERSİ, FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR... 100. A. BİLEŞKE FONKSİYON... 100 B. BİR FONKSİYONUN TERSİ... 102 C. FONKSİYONUN GRAFİĞİ... 107 5

İçindekiler D. FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR... 108 Ölçme ve Değerlendirme... 115 Kazanım Değerlendirme Testleri... 118 7. BÖLÜM: ANALİTİK GEOMETRİ... 130 KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ... 130 EĞİM... 136 DOĞRU DENKLEMİ KURMA... 140 DOĞRUNUN GRAFİĞİ... 142 İKİ DOĞRUNUN DURUMLARI... 144 BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI... 148 PARALEL İKİ DOĞRU ARASINDAKİ UZAKLIK... 149 GEOMETRİK YER... 149 Ölçme ve Değerlendirme... 152 Kazanım Değerlendirme Testleri... 154 8. BÖLÜM: DÖRTGENLER... 164 DÖRTGENLER... 164 DÖRTGENLERDE AÇI VE UZUNLUK... 164 ÜÇGENİN ALANI... 167 DÖRTGENİN ÇEVRESİ ve ALANI... 168 Ölçme ve Değerlendirme... 171 Kazanım Değerlendirme Testleri... 172 9. BÖLÜM: YAMUK... 176. İKİZKENAR YAMUK... 179 DİK YAMUK... 180 YAMUĞUN ALANI... 181 Ölçme ve Değerlendirme... 187 Kazanım Değerlendirme Testleri... 189 10. BÖLÜM: PARALELKENAR ve EŞKENAR DÖRTGEN... 195 PARALELKENAR... 195 PARALELKENARIN ALANI... 201 ANALİTİK DÜZLEMDE PARALELKENAR... 209 Ölçme ve Değerlendirme... 210 EŞKENAR DÖRTGEN... 211 EŞKENAR DÖRTGENİN ALANI... 213 Ölçme ve Değerlendirme... 217 Kazanım Değerlendirme Testleri... 218 6

İçindekiler 11. BÖLÜM: DİKDÖRTGEN, KARE ve DELTOİD... 226. DİKDÖRTGEN... 226 DİKDÖRTGENİN ALANI... 229 Ölçme ve Değerlendirme... 231 KARE... 232 Ölçme ve Değerlendirme... 239 DELTOİD... 240 Ölçme ve Değerlendirme... 246 Kazanım Değerlendirme Testleri... 247 12. BÖLÜM: ÇOKGENLER... 257 ÇOKGENLER... 257 ÇOKGENLERDE AÇILAR... 258 DÜZGÜN ÇOKGENLER... 260 Ölçme ve Değerlendirme... 270 Kazanım Değerlendirme Testleri... 271 13. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER... 277 A. x 2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI... 277 B. ax 2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI... 278 C. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ... 279 Ölçme ve Değerlendirme... 285 Kazanım Değerlendirme Testleri... 287 14. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYI, KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA, ÇIKARMA, ÇARPMA... 295 KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR... 298 Ölçme ve Değerlendirme... 303 Kazanım Değerlendirme Testleri... 305 15. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ, KARMAŞIK SAYILARDA BÖLME, KARMAŞIK KÖKLÜ DENKLEM ÇÖZÜMLERİ... 313 Ölçme ve Değerlendirme... 322 Kazanım Değerlendirme Testleri... 324 16. BÖLÜM: 2. DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖK KATSAYI İLİŞKİSİ... 331 A. KÖKLER İLE KAT SAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR... 331 B. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI... 335 Ölçme ve Değerlendirme... 338 Kazanım Değerlendirme Testleri... 340 7

İçindekiler 17. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ - 1... 348 A. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR... 348 B. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ... 349 Ölçme ve Değerlendirme... 360 Kazanım Değerlendirme Testleri... 362 18. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ 2... 368 Ölçme ve Değerlendirme... 375 Kazanım Değerlendirme Testleri... 376 19. BÖLÜM: TEMEL KAVRAMLAR, POLİNOMLAR KÜMESİNDE TOPLAMA, ÇIKARMA, ÇARPMA... 381 A. POLİNOMLAR... 381 B. POLİNOMLARDA İŞLEMLER... 388 Ölçme ve Değerlendirme... 392 Kazanım Değerlendirme Testleri... 394 20. BÖLÜM: POLİNOMLARDA BÖLME... 399 A. POLİNOMLARDA BÖLME İŞLEMİ... 399 B. BÖLÜM VE KALAN BULMA... 400 Ölçme ve Değerlendirme... 406 Kazanım Değerlendirme Testleri... 408 21. BÖLÜM: POLİNOMLARDA ÇARPANLARA AYIRMA... 417 ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ... 417 Ölçme ve Değerlendirme... 427 Kazanım Değerlendirme Testleri... 429 22. BÖLÜM: x 3 ± y3, (x ± y) 3, TERİM EKLEME ÇIKARMA VE DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YOLUYLA ÇARPANLARA AYIRMA... 435 Ölçme ve Değerlendirme... 443 Kazanım Değerlendirme Testleri... 446 23. BÖLÜM: POLİNOM VE RASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMESİ... 452 A. RASYONEL İFADELER... 452 B. POLİNOM DENKLEMLER VE RASYONEL DENKLEMLER... 455 C. RASYONEL İFADELERİN BASİT KESİRLERE AYRILIŞI... 457 Ölçme ve Değerlendirme... 458 Kazanım Değerlendirme Testleri... 460 8

İçindekiler 24. BÖLÜM: ÇEMBERİN TEMEL ELEMANLARI VE AÇI ÖZELLİKLERİ... 468 ÇEMBER... 468 ÇEMBERDE TEMEL KAVRAMLAR... 468 ÇEMBERDE AÇILAR... 468 Ölçme ve Değerlendirme... 480 Kazanım Değerlendirme Testleri... 481 25. BÖLÜM: ÇEMBERDE UZUNLUKLAR... 487 ÇEMBERDE UZUNLUK... 487 Ölçme ve Değerlendirme... 499 Kazanım Değerlendirme Testleri... 501 26. BÖLÜM: ÇEMBERİN ÇEVRESİ ve DAİRENİN ALANI... 509 BİR ÇEMBERİN ve YAYININ UZUNLUĞU... 509 DAİRENİN ALANI... 511 Ölçme ve Değerlendirme... 523 Kazanım Değerlendirme Testleri... 525 27. BÖLÜM: DİK PRİZMALAR... 531 PRİZMALAR... 531 DİKDÖRTGENLER PRİZMASI... 536 KARE DİK PRİZMA... 541 Ölçme ve Değerlendirme... 547 Kazanım Değerlendirme Testleri... 548 28. BÖLÜM: DİK PİRAMİTLER... 552 PİRAMİT... 552 PİRAMİDİN HACMİ... 552 PİRAMİDİN ALANI... 553 Ölçme ve Değerlendirme... 567 Kazanım Değerlendirme Testleri... 568 29. BÖLÜM: SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE... 572 SİLİNDİR... 572 KONİ... 581 KÜRE... 589 Ölçme ve Değerlendirme... 596 Kazanım Değerlendirme Testleri... 597 CEVAP ANAHTARI... 609 9

BÖLÜM 1 PERMÜTASYON (SIRALAMA) A. SAYMA KURALLARI Kazanım Bu bölümü bitirdiğimde; Ü Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplamayı Ü Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) Ü n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilip sıralanabileceğini öğreneceğim. Örnek 1 20 kişi arasından bir başkan bir de yardımcı kaç farklı şekilde seçilir? 20 kişiden, bir başkan 20 farklı şekilde seçilebilir. Kalan 19 kişiden 1 başkan yardımcısı ise 19 farklı şekilde seçilebilir. O hâlde bu seçim, 20 19 = 380 farklı şekilde yapılabilir. 1. Eşleme Yoluyla Sayma Bir kümenin eleman sayısını, N + = {1, 2, 3,...} (sayma sayıları) kümesinin elemanlarıyla bire bir eşleyerek bulmaya eşleme yoluyla sayma denir. Sıra Sizde - 1 15 kişinin bulunduğu bir yönetim kurulunda bir başkan bir de sözcü kaç farklı şekilde seçilir? 2. Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olsun. Bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Yani, s(a B) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını bu yolla bulmaya toplama yoluyla sayma denir. Örneğin; 6 kitap ve 10 defter arasından 1 kitap ya da 1 defter, 6 + 10 = 16 yolla seçilebilir. Örneğin; 8 kız öğrenci ve 5 erkek öğrenci arasından 1 kız ya da 1 erkek 8 + 5 = 13 yolla seçilebilir. Örnek 2 Farklı renkte 6 gömlek ve 4 pantolonu olan bir kişi bir gömlek ve bir pantolonu kaç farklı şekilde giyebilir? 6 gömlek arasından, bir gömlek 6 farklı şekilde giyilebilir. 4 pantolon arasından, bir pantolon 4 farklı şekilde giyilebilir. O hâlde bu işlem, 6 4 = 24 farklı şekilde yapılabilir. 3. Çarpma Yoluyla Sayma İkişer ikişer ayrık ve her biri n elemanlı m tane kümenin birleşiminin eleman sayısı m n dir. Bu kümelerin birleşiminin eleman sayısını bu şekilde bulmaya çarpma yoluyla sayma denir. Sıra Sizde - 2 Farklı renkte 3 ceket ve 6 kravatı olan bir kişi bir ceket ve bir kravatı kaç farklı şekilde giyebilir? 10 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama)

Örnek 3 Ayşe'nin 4 farklı kumbarası vardır. Ayşe'nin elinde 1 tane 5 TL lik, 1 tane 1 TL lik, 1 tane de 10 TL lik para vardır. Ayşe bu paraları bu kumbaralara atacaktır. K M N a. Kaç farklı şekilde atabilir? b. Her para farklı kumbarada olacağına göre kaç farklı şekilde atabilir? a. Ayşe 5 TL yi istediği 4 kumbaradan birine 4 farklı şekilde atabilir. Ayşe 1 TL yi istediği 4 kumbaradan birine 4 farklı şekilde atabilir. Ayşe 10 TL yi istediği 4 kumbaradan birine yine 4 farklı şekilde atabilir. O hâlde bu işlem, 4 4 4 = 64 farklı şekilde yapılabilir. b. Ayşe 5 TL yi istediği 4 kumbaradan birine 4 farklı şekilde atabilir. Her para farklı kumbarada olacağı için Ayşe 1 TL yi geriye kalan 3 kumbaradan birine 3 farklı şekilde atabilir. 10 TL yi de geriye kalan 2 kumbaradan birine 2 farklı şekilde atabilir. O hâlde bu işlem, 4 3 2 = 24 farklı şekilde yapılabilir. a. K şehrinden M şehrine gidiş 4 farklı yolla ve M şehrinden N şehrine gidiş 6 farklı yolla belirlenebileceği için; K şehrinden N şehrine gidiş, 4 6 = 24 farklı yolla olabilir. b. K şehrinden N şehrine gidiş 4 6 yolla ve N şehrinden K şehrine dönüş 6 4 yolla belirlenebileceği için, K şehrinden N şehrine gidiş dönüş, 4 6 6 4 = 576 farklı yolla olabilir. c. K şehrinden N şehrine gidiş 4 6 yolla belirlenebilir. Gidişte yolun biri kullanıldığı için; N şehrinden M şehrine dönüş 5 farklı yolla ve M şehrinden K şehrine dönüş 3 farklı yolla belirlenebilir. Buna göre, K şehrinden N şehrine gidiş dönüş istenen koşulda, 4 6 5 3 = 360 farklı yolla olabilir. Erdem'in 5 farklı kumbarası vardır. Erdem'in elinde 1 tane 50 Kr lik, 1 tane 1 TL lik, 1 tane 5 TL lik, 1 tane de 10 TL lik para vardır. Erdem bu paraları bu kumbaralara atacaktır. a. Kaç farklı şekilde atabilir? b. Her para farklı kumbarada olacağına göre kaç farklı şekilde atabilir? Örnek 4 Sıra Sizde - 3 Sıra Sizde - 4 K şehrinden M şehrine 3 farklı yol ve M şehrinden N şehrine 5 farklı yol vardır. a. M şehrine uğramak koşuluyla, K şehrinden N şehrine kaç değişik yolla gidilebilir? b. Hem gidişte hem dönüşte M şehrine uğramak koşuluyla, K şehrinden N şehrine kaç değişik yolla gidilip dönülebilir? c. Giderken kullanılan yollar dönüşte kullanılmamak ve hem gidişte hem dönüşte M şehrine uğramak koşuluyla, K şehrinden N şehrine kaç değişik yolla gidilip dönülebilir? K şehrinden M şehrine 4 farklı yol ve M şehrinden N şehrine 6 farklı yol vardır. a. M şehrine uğramak koşuluyla, K şehrinden N şehrine kaç değişik yolla gidilebilir? b. Hem gidişte hem dönüşte M şehrine uğramak koşuluyla, K şehrinden N şehrine kaç değişik yolla gidilip dönülebilir? c. Giderken kullanılan yollar dönüşte kullanılmamak ve hem gidişte hem dönüşte M şehrine uğramak koşuluyla, K şehrinden N şehrine kaç değişik yolla gidilip dönülebilir? Örnek 5 10 soruluk bir testte her soru beş seçeneklidir. Aynı seçenek art arda iki soruda doğru cevap olmamak şartıyla kaç farklı cevap anahtarı oluşturulabilir? 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama) 11

1. sorunun cevabı beş seçenekten biridir. Yani 1. sorunun cevabını yazabileceğimiz 5 farklı durum vardır. 2. sorunun cevabı 1. sorunun cevabıyla aynı olmayacağından 2. sorunun cevabını yazabileceğimiz 4 farklı durum vardır. 3. sorunun cevabı 2. sorunun cevabıyla aynı olmayacağından 3. sorunun cevabını yazabileceğimiz yine 4 farklı durum vardır.... 10. sorunun cevabı 9. sorunun cevabıyla aynı olmayacağından 10. sorunun cevabını yazabileceğimiz yine 4 farklı durum vardır. O hâlde 5 4 4 4... 4 = 5 4 9 farklı cevap anahtarı oluşturulabilir. A = {3, 4, 6, 8, 9} Örnek 7 Sıra Sizde - 6 kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? {3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanları ile üç basamaklı; Sıra Sizde - 5 12 soruluk bir testte her soru beş seçeneklidir. Aynı seçenek art arda iki soruda doğru cevap olmamak şartıyla kaç farklı cevap anahtarı oluşturulabilir? a. kaç doğal sayı yazılabilir? b. kaç tek doğal sayı yazılabilir? c. rakamları tekrarsız kaç doğal sayı yazılabilir? d. rakamları tekrarsız kaç tek doğal sayı yazılabilir? Örnek 6 A = {5, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? Sayı üç basamaklı olup rakamları tekrarlanabilir. Birler basamağına gelecek rakam 4 farklı şekilde, onlar basamağına gelecek rakam 4 farklı şekilde, yüzler basamağına gelecek rakam 4 farklı şekilde belirlenebilir. Buna göre, 4 4 4 4 4 4 = 64 tane üç basamaklı doğal sayı yazılabilir. a. Her basamak için 6 seçenek vardır. 6 6 6 Buna göre, 6 6 6 = 216 tane üç basamaklı doğal sayı yazılabilir. b. Bir sayının tek sayı olması için birler basamağı tek olmalıdır. Birler basamağına yazılabilecek verilen kümedeki rakamlar 3, 5, 7 olduğundan birler basamağı için 3, diğer basamaklar için 6 seçenek vardır. 6 6 3 Buna göre, 6 6 3 = 108 tane üç basamaklı tek doğal sayı yazılabilir. c. Rakamların tekrarı olmayacağından, birler basamağına 6 rakamdan biri yazıldıktan sonra, onlar basamağına kalan 5 rakamdan biri, yüzler basamağına kalan 4 rakamdan biri yazılabilir. 4 5 6 Buna göre, 4 5 6 = 120 tane rakamları tekrarsız üç basamaklı doğal sayı yazılabilir. 12 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama)

d. Birler basamağına yazılabilecek verilen kümedeki rakamlar 3, 5, 7 olduğundan birler basamağı için 3 rakam yazılabilir. Rakamların tekrarı olmayacağından, birler basamağına 3 rakamdan biri yazıldıktan sonra, onlar basamağına kalan 5 rakamdan biri, yüzler basamağına kalan 4 rakamdan biri yazılabilir. 4 5 3 Buna göre, 4 5 3 = 60 tane rakamları tekrarsız üç basamaklı tek doğal sayı yazılabilir. b. Sayının çift olması için birler basamağına {0, 2, 4} rakamlarının gelmesi ve sayının üç basamaklı olması için yüzler basamağına 0 gelmemesi gerekir. Bu yüzden yüzler basamağına 0 ın dışındaki 5 rakamdan biri 5 farklı yolla yazılabilir. Onlar basamağına tüm rakamlar 6 farklı yolla, birler basamağına {0, 2, 4} rakamlarından biri 3 farklı yolla yazılabilir. 5 6 3 Buna göre, 5 6 3 = 90 tane üç basamaklı çift doğal sayı yazılabilir. c. Birler basamağı 0 olanları ayrı, birler basamağı 2, 4 rakamlarından biri olanları ayrı yazıp sonuçları toplayalım. Sıra Sizde - 7 {3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları ile üç basamaklı; a. kaç doğal sayı yazılabilir? b. kaç tek doğal sayı yazılabilir? c. rakamları tekrarsız kaç doğal sayı yazılabilir? d. rakamları tekrarsız kaç tek doğal sayı yazılabilir? I. Birler basamağı 0 ise; 0 birler basamağına 1 farklı yolla, yüzler basamağına kalan 5 rakam 5 farklı yolla, onlar basamağına kalan 4 rakam 4 yolla yazılabilir. II. 5 4 1 Bu durumda, birler basamağı 0 olan rakamları tekrarsız, 5 4 1 = 20 çift doğal sayı yazılabilir. Birler basamağı 2 veya 4 ise; bu rakamlar birler basamağına 2 farklı yolla, 0 ve birler basamağına yazılan hariç kalan 4 rakam yüzler basamağına 4 farklı yolla, 0 ve kalan 4 rakam onlar basamağına 4 farklı yolla yazılabilir. Örnek 8 {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile üç basamaklı; a. kaç doğal sayı yazılabilir? b. kaç çift doğal sayı yazılabilir? c. rakamları tekrarsız kaç çift doğal sayı yazılabilir? a. Yüzler basamağı 0 olamaz. Bu yüzden yüzler basamağına 0 ın dışındaki 5 rakamdan biri 5 farklı yolla yazılabilir. Onlar basamağına tüm rakamlar 6 farklı yolla, birler basamağına tüm rakamlar 6 farklı yolla yazılabilir. 5 6 6 Buna göre, 5 6 6 = 180 tane üç basamaklı doğal sayı yazılabilir. 4 4 2 Bu durumda, birler basamağı 2, 4 rakamlarından biri olan rakamları tekrarsız, 4 4 2 = 32 çift sayı yazılabilir. Sonuç olarak verilen rakamlarla 20 + 32 = 52 tane rakamları tekrarsız çift doğal sayı yazılabilir. {0, 1, 2, 3, 4} Sıra Sizde - 8 kümesinin elemanları ile üç basamaklı; a. kaç doğal sayı yazılabilir? b. kaç çift doğal sayı yazılabilir? c. rakamları tekrarsız kaç çift doğal sayı yazılabilir? 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama) 13

Örnek 9 A = {a, b, c, d, e} kümesinin elemanlarıyla her harf en çok bir kez kullanılmak koşuluyla 4 harfli anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? 4 harfli kelimenin; ilk harfi 5 harf arasından 5 farklı şekilde, ikinci harfi geriye kalan 4 harf arasından 4 farklı şekilde, üçüncü harfi geriye kalan 3 harf arasından 3 farklı şekilde ve dördüncü harfi de geriye kalan 2 harf arasından 2 farklı şekilde seçilir. Buna göre, 5 4 3 2 = 120 farklı kelime yazılabilir. b. Matematik kitapları bir arada olacaksa matematik kitapları 1 taneymiş gibi düşünülür. Yani bu kitapları birbirine yapıştırmışız gibi düşünün lütfen. Bu durumda toplam 1 + 3 + 2 = 6 kitap vardır. 6 kitap yan yana 6 5 4 3 2 1 = 6! kadar sıralanır. Matematik kitapları kendi içinde, 4 3 2 1 = 4! kadar sıralanır. Buna göre matematik kitapları bir arada olmak koşuluyla kitaplar 6! 4! farklı şekilde sıralanır. c. Aynı türden kitaplar bir arada olacaksa matematik kitapları 1 kitap, fizik kitapları 1 kitap, kimya kitapları da 1 kitap olarak düşünülmelidir. Bu durumda 3 kitap vardır. 3 kitap yan yana 3 2 1 = 6 farklı şekilde sıralanır. Matematik kitapları kendi içinde, 4 3 2 1 = 24 farklı şekilde, fizik kitapları kendi içinde, 3 2 1 = 6 farklı şekilde, kizik kitapları da kendi içinde, 2 1 = 2 farklı şekilde sıralanır. Buna göre, aynı türden kitaplar bir arada olmak koşuluyla, 6 24 6 2 = 1728 farklı şekilde sıralanır. A = {a, k, l, n, i, s} Örnek 10 Birbirinden farklı 4 matematik, 3 fizik ve 2 kimya kitabı bir rafa yan yana sıralanacaktır. Aşağıdaki soruları çözelim. a. Kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir? b. Matematik kitapları bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? c. Aynı türden kitaplar bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? Sıra Sizde - 9 kümesinin elemanlarıyla her harf en çok bir kez kullanılmak koşuluyla 4 harfli anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? a. 4 + 3 + 2 = 9 kitap vardır. 9 kitap yan yana, 9 8 7 6 2 1 = 9! farklı şekilde sıralanabilir. Birbirinden farklı 3 tarih, 5 dil anlatım ve 1 coğrafya kitabı bir rafa yan yana sıralanacaktır. Aşağıdaki soruları çözünüz. a. Kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir? b. Dil anlatım kitapları bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? c. Aynı türden kitaplar bir arada olmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? B. FAKTÖRİYEL Sıra Sizde - 10 Anahtar Bilgi Ü n N + olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Ü Özel olarak 0! = 1 ve 1! = 1 şeklinde tanımlanmıştır. Ü n! = 1 2 3... (n 1) n n! = (n 1)! n n! = (n 2)! (n 1) n 14 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama)

2! = 1 2 = 2 3! = 1 2 3 = 6 4! = 1 2 3 4 = 24 5! = 1 2 3 4 5 = 120 6! = 1 2 3 4 5 6 = 720 7! = 1 2 3 4 5 6 7 = 5040 ( n + 2)! = 210 ( n 1)! ( n+ 2)( n+ 1) nn ( 1)! = 5$ 6$ 7 ( n 1)! nn ( + 1)( n + 2) = 5$ 6$ 7 n = 5 Örnek 11 11! 10! 9! + 8! ifadesini sadeleştirelim. 11! 10! 11 $ 10! 10! = 9! + 8! 9$ 8! + 8! Sıra Sizde - 12 ( n + 1)! = 56 ( n 1)! olduğuna göre, n kaçtır? 10! $ ( 11 1) = 8! $ ( 9+ 1) 10! $ 10 = 8! $ 10 10 $ 9$ 8! = 8! = 90 Örnek 13 10! 9! 8! + 7! işleminin sonucu kaçtır? Örnek 12 ( n + 2)! = 210 ( n 1)! olduğuna göre, n kaçtır? Sıra Sizde - 11 m ve n do ðal sa yý ol mak üze re, 5! = m 2 n eþit li ði ni sað la yan en bü yük n de ðe rini bulalým. 1. YOL : 5! = m 2 n 1 2 3 4 5 = m 2 n 1 2 1 3 2 2 5 = m 2 n 3 5 2 1+2 = m 2 n 15 2 3 = m 2 n dir. Bu eþit li kte, (n = 0, m = 120) ve ya (n = 1, m = 60) ve ya (n = 2, m = 30) ve ya (n = 3, m = 15) ola bi lir. Bu na gö re, ve ri len eþit li ði sað la yan en bü yük n deðe ri 3 tür. 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama) 15

2. YOL : 5! sayısının içinde kaç tane 2 çarpanı olduğu soruluyor. 5 sayısı 2 ye bölünür. Kalan dikkate alınmadan bölüm tekrar 2 ye bölünür. Kalanlar dikkate alınmadan bölümler tekrar tekrar 2 ye bölünür. Ta ki en son bölüm 2 den küçük olana kadar bu işleme devam edilir. Elde edilen bölümlerin toplamı 5! sayısı içindeki 2 çarpanlarının sayısını verir. 5 2 2 2 1 Yuvarlaklar içindeki bölümlerin toplamı 2 + 1 = 3 olduğundan 5! sayısının içinde 3 tane 2 çarpanı vardır. Yani n nin en büyük değeri 3 tür. Örnek 15 Sıra Sizde - 14 m ve n do ðal sa yý ol mak üze re, 37! = m 5 n eþit li ði ni sað la yan en bü yük n de ðe rini bulunuz. 33! sa yý sý nýn son dan kaç basamağının sıfır olduğunu bulalým. 2 5 = 10 dur. m ve n do ðal sa yý ol mak üze re, 9! = m 3 n eþit li ði ni sað la yan en bü yük n de ðe rini bulunuz. Örnek 14 m ve n do ðal sa yý ol mak üze re, 27! = m 5 n eþit li ði ni sað la yan en bü yük n de ðe rini bulalým. Sıra Sizde - 13 Yan yana sayıların çarpıldığı bir işlemin sondan kaç basamağının sıfır olduğu bulunurken çarpanlarda kaç tane 2 ve 5 çarpanı olduğu bulunmalıdır. Çünkü 2 ile 5 in çarpımı üste de görüldüğü üzere işlemin sonunda 1 sıfır oluşturur. 33! sayısı 1 den 33 e kadar olan doğal sayıların çarpımıdır. Bu çarpımda 5 çarpanlarının sayısı 2 çarpanlarının sayısından azdır. Bu nedenle sayısı az olan 5 çarpanlarının sayısı bulunmalıdır. 33! sayısının içindeki 5 çarpanlarının sayısı, 33 5 6 5 1 6 + 1 = 7 dir. 7 tane 5 çarpanı 7 tane 2 çarpanı ile çarpıldığında işlemin sondan 7 tane basamağı sıfır olur. 27! sayısının içinde kaç tane 5 çarpanı olduğu soruluyor. 27 sayısı 5 e bölünür. Kalan dikkate alınmadan bölüm tekrar 5 e bölünür. Kalanlar dikkate alınmadan bölümler tekrar tekrar 5 e bölünür. Ta ki en son bölüm 5 ten küçük olana kadar bu işleme devam edilir. Elde edilen bölümlerin toplamı 27! sayısı içindeki 5 çarpanlarının sayısını verir. 27 5 5 5 1 Yuvarlaklar içindeki bölümlerin toplamı 5 + 1 = 6 olduğundan 27! sayısının içinde 6 tane 5 çarpanı vardır. Yani n nin en büyük değeri 6 dır. Örnek 16 Sıra Sizde - 15 40! sa yý sý nýn son dan kaç basamağının sıfır olduğunu bulunuz. 33! 1 sa yý sý nýn son dan kaç basamağının 9 olduğunu bulalým. 16 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama)

33! sayısının sondan kaç basamağı sıfır ise 33! 1 sayısının da sondan o kadar basamağı 9 olur. Bir önceki problemde 33! sayısının sondan 7 basamağının sıfır olduğunu bulmuştuk. Buna göre 33! 1 sayısının sondan 7 basamağı 9 dur. Sıra Sizde - 16 43! 1 sa yý sý nýn son dan kaç basamağının 9 olduğunu bulunuz. C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri) Kazanım Burada formülü Anahtar kullanmadan, Bilgi aşağıdaki yolla permütasyon işleminin sonucu bulunabilir. Örneğin : 4 P(5, 2) işleminin sonucu bulunacaksa 5 sayısından başlanarak sayılar 1 er 1 er azaltılarak 2 tane çarpan yazılır. Yani, P(5, 2) = 5 4 = 20 dir. 4 P(7, 3) işleminin sonucu bulunacaksa 7 sayısından başlanarak sayılar 1 er 1 er azaltılarak 3 tane çarpan yazılır. Yani, P(7, 3) = 7 6 5 = 210 dur. 4 P(n, 3) işleminin sonucu bulunacaksa n den başlanarak sayılar 1 er 1 er azaltılarak 3 tane çarpan yazılır. Yani, P(n, 3) = n (n 1) (n 2) dir. 4 P(n, n) = n! 4 P(n, 0) = 1 4 P(n, 1) = n dir. Bu bölümü bitirdiğimde; Ü n elemanlı bir kümenin r tane elemanın kaç farklı şekilde sıralanabileceğini öğreneceğim. Anahtar Bilgi n, r birer pozitif tam sayı ve r n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı tüm permütasyonlarının (dizilişlerinin) sayısı P(n, r) ile gösterilir ve bu işlem n! Pnr (, ) = ( n r)! Pnr (, ) = n$ ( n 1) $ ( n ) $... $ ( n r+ 1) 144444444 244444444 3 r taneçarpan şeklinde hesaplanır. Örneğin : 5! 5! 4 P( 5, 2) = = = 5$ 4 = 20 dir. ( 5 2)! 3! 6! 6! 4 P( 6, 3) = = = 6$ 5$ 4 = 120 dir. ( 6 3)! 3! 4! 4! 4 P( 4, 4) = = = 4$ 3$ 2$ 1 = 24 ( 4 4)! 0! 7! 7! 4 P( 71, ) = = = 7 dir. ( 7 1)! 6! tü. r Örnek 17 P(n, 2) = 2 P(3n, 1) olduðuna göre, n kaçtýr? P(n, 2) = 2 P(3n, 1) n (n 1) = 2 3n, (n 0 dýr.) n 1 = 2 3 n 1 = 6 n = 7 dir. Sıra Sizde - 17 P(2n, 2) = 7 P(2n, 1) olduðuna göre, n kaçtýr? 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama) 17

Örnek 18 P(n + 1, 3) = 6 P(n, 2) olduðuna göre, n kaçtýr? P(n + 1, 3) = 6 P(n, 2) (n + 1) n (n 1) = 6 n (n 1) n + 1 = 6 n = 5 tir. 4 A = {a, b, c} Anahtar Bilgi kümesinin 2 li permütasyonları, ab, ac, ba, bc, ca, cb dir. Buna göre, A kümesinin 2 li permütasyonları sayısı 6 dır. 4 A = {a, b, c} kümesinin 3 lü permütasyonları, abc, acb, bac, bca, cab, cba dır. Buna göre, A kümesinin 3 lü permütasyonları sayısı 6 dır. A kümesinin permütasyonları, seçilen 2 elemanın ya da 3 elemanın farklı sıralanışı ile ilgilidir. Sıra Sizde - 18 P(n + 2, 3) = 9 P(n + 1, 2) olduðuna göre, n kaçtýr? Örnek 20 Örnek 19 2 P(n + 1, 2) + 50 = P(2n + 1, 2) eşitliğini sağlayan n değerini bulalım. 2$ Pn ( + 1, 2) + 50 = P( 2n+ 1, 2) 2 $ ( n+ 1) $ n+ 50 = ( 2n+ 1) $ 2n 2 2 2n + 2n+ 50 = 4n + 2n 2 50 = 2n a. 6 elemanlı bir kümenin 3 lü permütasyonları sayısını, b. 5 elemanlı bir kümenin 2 li permütasyonları sayısını, c. 4 elemanlı bir kümenin 4 lü permütasyonları sayısını bulalım. 6! 6! 3! $ 4$ 5$ 6 a. P63 (, ) = = = = 4$ 5$ 6 = 120 ( 6 3)! 3! 3! 5! 5! 3! $ 4$ 5 b. P52 (, ) = = = = 4$ 5 = 20 ( 5 2)! 3! 3! 4! 4! 1$ 2$ 3$ 4 c. P44 (, ) = = = = 24 ( 4 4)! 0! 1 2 n = 25 n = 5 tir. Sıra Sizde - 19 P(2n + 2, 1) + 3 P(n, 2) = 46 eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? Sıra Sizde - 20 a. 8 elemanlı bir kümenin 3 lü permütasyonları sayısını, b. 7 elemanlı bir kümenin 2 li permütasyonları sayısını, c. 6 elemanlı bir kümenin 6 lı permütasyonları sayısını bulunuz. 18 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama)

Örnek 21 A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde; a. 5 bulunmaz? Örnek 22 A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde; 1 ve 5 birlikte bulunur. b. 1 bulunur, 5 bulunmaz? c. 1 veya 5 bulunur? a. A kümesinden 5 in çıkarılmasıyla oluşan {1, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonlarında 5 bulunmaz. 4! P43 (, ) = ( 4 3)! 4$ 3$ 2$ 1 = 1! = 24 b. Verilen kümeden 1 çıkarılırsa, diğer elemanların oluşturacağı üçlü permütasyonların sayısı P(4, 3) = 24 tür. 1 ve 5 in bulunmadığı (2, 3 ve 4 ün oluşturacağı) üçlü permütasyonların sayısı P(3, 3) = 3! = 6 dır. Buna göre A kümesinin, 1 in bulunmadığı ve 5 in bulunduğu 3 lü permütasyonları sayısı, 1, 2, 3, 4, 5 elemanlarının dörtlü permütasyonları sayısı, P(5, 4) = 5 4 3 2 = 120 dir.... (P) 1, 2, 3, 4 elemanlarının dörtlü permütasyonlarında ve 2, 3, 4, 5 elemanlarının dörtlü permütasyonlarında 1 ile 5 birlikte bulunmaz. Bunların sayısını bulup toplam permütasyon sayısından (P dan) çıkaralım. 1, 2, 3, 4 elemanlarının dörtlü permütasyonları sayısı P(4, 4) = 4 3 2 1 = 24 tür. 2, 3, 4, 5 elemanlarının dörtlü permütasyonları sayısı P(4, 4) = 4 3 2 1 = 24 tür. Buna göre 120 24 24 = 72 tane dörtlü permütasyonda 1 ve 5 birlikte bulunur. P(4, 3) P(3, 3) = 24 6 = 18 olur. c. A kümesinin elemanları arasından 1 ve 5 i ayırırsak, kalan 3 eleman ile yazılabilecek 3 lü permütasyonların sayısı, P(3, 3) = 6 dır. Buna göre, 1 veya 5 in bulunduğu 3 lü permütasyonların sayısı, P(5, 3) P(3, 3) = 60 6 = 54 tür. Sıra Sizde - 22 A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin beşli permütasyonlarının kaç tanesinde; a ve f birlikte bulunur. Sıra Sizde - 21 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde; a. 5 bulunmaz? b. 1 bulunur, 5 bulunmaz? c. 1 veya 5 bulunur? 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama) 19

Kazanım Pekiştirme - 1 / Doğru Yanlış Aşağıdaki ifadeleri doğru (D) - yanlış (Y) olarak değerlendiriniz. 1. A = {5, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıyla iki basamaklı 12 farklı doğal sayı yazılabilir. 2. K şehrinden M şehrine 6 farklı yol ve M şehrinden N şehrine 5 farklı yol vardır. M şehrine uğramak koşuluyla, K şehrinden N şehrine 30 değişik yolla gidilebilir. 3. {3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanları ile iki basamaklı rakamları tekrarsız 16 tek doğal sayı yazılabilir. 4. {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları ile iki basamaklı 12 çift doğal sayı yazılabilir. 5. 12! + 11! = 130 10! + 9! ( n + 3)! 1 6. = olduğuna göre, n = 7 dir. ( n + 5 )! 56 7. 10 elemanlı bir kümenin 3 lü permütasyonları sayısı 120 dir. 8. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin ikili permütasyonlarının 8 tanesinde 1 bulunur, 5 bulunmaz. 9. P(n + 1, 3) = 210 olduğuna göre, P(n, n) = 6! dir. 10. NİMET kelimesinin harfleri kullanılarak yazılabilen anlamlı ve anlamsız kelimelerin 16 tanesi sesli harf ile başlar ve sesli harf ile biter. 11. SEDAT kelimesinin harfleri yer değiştirilerek yazılabilen bütün anlamlı ve anlamsız kelimeler sözlükteki sıraya göre dizildiğinde SEDAT kelimesi baştan 80. sıradadır. 20 1. Bölüm Permütasyon (Sıralama)