CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın sonlarında yazdığı makalelerinde, sonsuzluğu sonsuz kümeleri matematiksel ciddiyetle inceleyen ilk kişidir. Çeşitli sonsuzlukları birbirleriyle karşılaştırmış sonsuz büyüklüklerin de kendi aralarında bir aritmetiği olduğunu farketmiştir. Sonsuzluklarla ilgilenen okurlara bu derginin daha önceki bir sayısındaki (cilt:, sayı:5, sayfa: ) bir yazıyı öneriyoruz. Bu yazıda inceleyeceğimiz kümeleri Cantor, konuya oldukça ilgisiz gibi görünen trigonometrik serilerle ilgili bir problemi çözmek için bulmuştur. Bu kümelerin insanın sezgisine çok aykırı gelen özellikleri vardır. Bundan dolayı daha çok, ilk bakışta doğru gibi görünen bazı iddiaların yanlışlığını göstermede örnek olarak kullanılırlar. A. Cantor un Üçte Birlik Kümesi Önce en basit haliyle bir Cantor kümesinin nasıl inşa edildiğini göreceğiz. Reel sayılardaki [0, ] kapalı aralığını C 0 ile gösterelim. C 0 bizim evrensel kümemiz olacak bütün işlemleri onun içinde yapacağız. C 0 in tam ortasındaki üçte birlik kısım olan ( J, =, ) açık aralığını çıkartalım. Geriye uzunlukları olan iki kapalı aralık kalır: I, = [ 0, ] I, = [ ],. Bunların ikisine birden C diyelim; yani C = I, I,. Kümemizin inşasının ilk adımını böylece tamamladık. Şimdi, I, I, den, ortalarındaki üçte birlik açık aralıklardan meydana gelen [ V = J, J, =, ] [ 7, 8 ] kümesini atalım. Geriye kalan C kümesi uzunlukları olan dört kapalı aralıktan oluşur: C = I, I, I, I,4 [ = 0, ] [, ] [, 7 ] [ ] 8,. Yukarıda V = J, de diyebiliriz. Üçüncü aşamada ise atılanlar kalanlar V = J, J, J, J,4 ( = 7, ) ( 7 7 7, 8 ) 7 ( 7, 0 ) ( 5 7 7, 6 ) 7 C = I, I, I, I,4 I,5 I,6 I,7 I,8 [ = 0, ] [ 7 7, ] [, 7 ] 7 [ 8 7, ] [, ] [ 0 7 7, 7 ] [ 8, 5 ] [ ] 6 7 7, kümeleridir. Genel olarak n nci aşamada atılan açık aralıklar n tanedir V n = J n, J n, n = ile gösterilirler. tanedir n k= J n,k Kalan kapalı aralıklar ise n C n = I n, I n, n = n I n,k k= ODTÜ Matematik Bölümü öğretim üyesi 5
ile gösterilirler. V n C n yi meydana getiren her bir parçanın uzunluğu dir bu parçalar n birbirlerinden ayrıktır. İlk bir kaç aşamada elde edilenler Şekil de görülüyor. 0 C = C n = C C. n= V atılan kümelerin hepsidir; C de elimizde kalan kısımlardır. Tanım gereği, V C = [0, ] V C = () 0 olduğu açıktır. Tanım. C ye Cantor kümesi adı rilir. 0 7 8 Özellik K. Cantor kümesi, [0, ] kapalı aralığının bir alt kümesidir. Şekil İlk bakışta C de bir şey kalmamış gibi görünse de, C boş küme değildir; örneğin 0 noktaları C dedir; yani V [0, ]. Hatta, I n,k kapalı aralıklarının her birinin uçnoktaları, hep ortadan attığımız için, C dedir. Ama sonsuz sayıda I n,k aralığı vardır. Okuyucuya düşen görev, burada aşağıda sözü edilen bütün kümeleri şekilde bulmak rilen eşitlikleri kontrol etmektir. Bu kümeler arasındaki bazı bağıntıları yazalım: V n C n = C n (n =,,,...) bize bir önceki aşamadaki C n kümesinin atılan (V n ) kalan (C n ) kısımlardan meydana geldiğini söyler. [0, ] = C 0 C C C ise bize n nci aşamada kalan kısımların, bir önceki aşamada kalan kısımların bir parçası olduğunu belirtir. Dikkatli okurlar, n =,,,... k =,,..., n için I n,k J n,k I n,k = I n,k eşitliğinin de doğru olduğunu da görmüşlerdir. Bu eşitlik, atılan kalan parçaların daha ayrıntılı bir hesabını tutar. Bir diğer nokta da, n arttıkça V n kümelerinin [0, ] aralığının daha fazla kısmını kapladıkları, C n kümelerinin de daha fazla köşeye sıkıştığıdır. Artık atma işlemini elimize geçen her kapalı aralık için yapıp, bu süreci hiç bir sınır tanımadan devam ettirelim; yani n yi sonsuza gönderelim. O zaman iki yeni kümemiz daha olur: V = V n = V V n= Özellik K. Cantor kümesi sonsuz sayıda nokta içerir. Akla gelebilecek bir soru, C de uçnoktalardan başka noktalar da olup olmadığıdır. Bu sorunun cevabını B kısmında K7 özelliğinde receğiz. Açık küme diye açık aralıkların sonlu ya sonsuz bileşimlerine diyoruz. Açık kümelerin tümleyenlerine de kapalı kümeler denir. C n kümelerinin her biri kapalıdır, çünkü sonlu sayıda kapalı aralığın bileşimidir. V n kümelerinin her biri açıktır, çünkü açık kümelerin bileşimidir. V ise açık kümelerin bileşimi olduğundan açıktır. C kapalı kümelerin kesişimidir; dolayısıyla kapalıdır. Bunu görmenin bir başka yolu da, () denklemlerini kullanmaktır. Özellik K. Cantor kümesi kapalı bir kümedir. Biraz da elde ettiğimiz kümelerin uzunluklarını hesaplayalım. A kümesinin uzunluğunu m(a) ile gösterelim. Daha önce de söylediğimiz gibi, k n l n için, m(i n,k ) = m(j n,l ) = n doğrudur. Bu kümeler ayrık olduğundan, C n V n nin uzunlukları kendilerini meydana getiren eşit uzunluktaki aralıkların uzunluklarının toplamlarıdır. Hesaplarsak, m(c n ) = n n m(v n ) = n n 6
V n ler de birbirlerinden ayrık olduk- buluruz. larından, m(v ) = m(v ) + m(v ) + m(v ) + = + + 4 7 + = n n n= yazarız. Elde ettiğimiz bu toplam bir sonsuz geometrik seridir; ilk terimi a = ortak çarpanı r = tür. < olduğundan, bu toplamı aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz: m(v ) = a r = =. Sonra da m ( [0, ] ) = () i kullanarak m(c) = 0 olduğunu görürüz. Özellik K4. Cantor kümesinin uzunluğu sıfırdır. Şimdi α < β (α, β) [0, ] olmak üzere bir açık aralık alalım. < β α olacak şekilde n büyük bir n bulabiliriz. O zaman (α, β) aralığı, I n,k aralıklarından daha uzun olur onların hiç birinin içinde olmaz. Böyle bir aralığın C de olmasına imkân yoktur. Özellik K5. Cantor kümesi hiç bir açık aralık içermez. B. Üç Tabanına Göre Yazılım [0, ] aralığındaki her x sayısı 0 tabanında, yani her zaman kullandığımız sayı sisteminde, 0.x x x şeklinde yazılabilir. Burada lerin her biri 0,,..., 8, rakamlarından biridir. x onda birler, x yüzde birler, x binde birler,... basamağını gösterdiğinden, bu açılımı x = 0.x x x = n= 0 n şeklinde de yazabiliriz. ler bir noktadan sonra hep 0 da olabilir, 6 = 0.565000 = 0.565 örneğinde olduğu gibi. için 0. açılımını kullanırız. Bu konuda çok daha fazla bilgi, bu dergide daha önce çıkan bir yazıdan (cilt:, sayı:, sayfa:-5) elde edilebilir. Aynı tip bir açılımı, ler için yalnız 0, rakamlarını kullanarak, tabanına göre de yapabiliriz. O zaman x = 0. x x x... = n= n olur. x üçte birler, x dokuzda birler, x yirmi yedide birler,... basamağıdır. Bazı sayılar için bu cinsten biri sonlu, diğeri sonsuz iki açılım vardır; örneğin = 0. = 0. 0 = 0. = 0.. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, x in sonlu açılımının son rakamı ise sonlu açılımı, değilse sonsuz açılımı tercih edeceğiz; yani = 0. 0 = 0. alacağiz. Ayrıca 0 = 0. 0 = 0. kullanacağız. Bu kısımdaki bütün açılımlar tabanında olacaktır. İddiamız, C n kümesini meydana getiren her kapalı aralığın sol uçnoktasının açılımının ilk n basamağının yalnız 0 lerden ibaret olduğu n+ inci sonraki basamakların hepsinin 0 olduğudur. Bu iddiamızı tümevarım ile ispatlayacağız. n = iken, C kümesindeki iki aralığın sol uçnoktaları 0 tür. Önceki paragrafta gösterildiği gibi, birinin ilk basamağı 0, diğerinin dir; sonraki basamakları 0 dır. Böylece tümevarımın ilk adımını bitirdik. İkinci olarak, C n kümesi hakkındaki iddiamızdan, C n+ kümesi hakkındaki iddiamızın doğruluğunu elde edelim. C n nin bileşimindeki aralıklardan biri [a, b] = [0. a a, 0. b b ] ise, a,..., a n nin 0 lerden meydana geldiğini 0 = a n+ = a n+ = olduğunu kabul ediyoruz. C n+ in aralıklarından biri [c, d] = [0. c c, 0. d d ] ise, yukarıdaki [a, b] gibi bir aralığın orta kısmının atılmasıyla ortaya çıkar. Eğer [c, d] sol tarafta kalan kısımsa, c = a dır. O zaman da yukarıdaki kabul gereği, c,..., c n+ in 0 lerden oluştuğu (özellikle c n+ = 0) 0 = c n+ = c n+ = olduğu görülür. Eğer [c, d] sağ tarafta kalan kısımsa, n+ inci adımda atılan kalan aralıkların uzunlukları olduğundan dolayı, c = a+ n+ dir. n+ Fakat = 0. n+ 0 0 dir rakamı n+ inci basamaktadır. Yani, hem a nın, hem de in n+ n + nci sonraki basamakları hep 0 dır (ayrıca a n+ = 0). Bu da c n+ = 0 = c n+ = c n+ = rir. Böylece tümevarım sona erdi iddiamızın doğruluğunu ispatladık. Bu sonucu şöyle kullanacağız: C n nin aralıklarından birine [a, b] = [0. a a n, 0. b b ] dersek, a hakkında iddiamız geçerlidir b = a + dir. Fakat n = 0. n 0 0 yazıldığında, lerden önce tam n tane 0 vardır. O zaman da b = 0. a... a n + 0. 0... 0 = 0. a a n olur. = b n+ = b n+ = olduğu da 7
buradan çıkan bir başka sonuçtur. Kelimelerle tekrarlarsak, [a, b] aralığında a dan b ye giderken değişiklik sadece n + inci sonraki basamaklarda olmaktadır. Başka bir deyişle, x = 0. x x [a, b] ise, x = a,..., = a n dir. Buradan çıkaracağımız sonuç, C n de alınan her hangi bir oktasının tabanına göre açılımında ilk n basamağın 0 lerden oluştuğudur. n nci adımda atılan her açık aralığı ( ) b, b + şeklinde yazabiliriz. b = n 0. a... a n açılımında son 0 rakamı k nci basamakta olsun; yani a k = 0 a k+ = = a n = olsun. Elimizdeki aralıktaki her hangi bir noktayı t = 0. t t ile gösterirsek, t k = olur, çünkü artık k nci basamak değişmek zorundadır ayrıca aralığın uzunluğu, yukarıda da gösterildiği gibi, sadece n + inci sonraki basamaklarda değişikliğe ( izin rmektedir. Örneğin, n = iken,, ) te alınan her t sayısının açılımı 0. ile başlamak zorundadır. 0. olduğunda bunu 0. diye yazar [, ] e girmiş oluruz. Cantor kümesinde alacağımız bir x = 0. x x noktası bütün C n lerin içinde olacaktır. Bu da bize n =,,... için = 0 ya = olduğunu söyler. Eğer t C ise, t bir aşamada atılan açık aralıkların birinde olacağından, t nin açılımında mutlaka vardır. Şimdi bu ifadeleri birleştirelim: Özellik K6. Cantor kümesi tamı tamına [0, ] aralığındaki, tabanına göre açılımlarında yalnız 0 rakamları bulunan sayılardan oluşur. Bu sonucu kullanarak, Cantor kümesinde I n,k aralıklarının uçnoktalarından başka eleman bulunup bulunmadığını görebiliriz. Bu uçnoktaların her biri k m negatif olmayan birer tamsayı olmak üzere, k şeklinde m yazılabilir. 4 ün ise böyle yazılamayacağı açıktır. Fakat, 4 = n = 0. 000 n= açılımından görüleceğı gibi, 4 Cantor kümesindendir. Geometrik seri toplamlarını kullanarak, C de bu cinsten diğer sayılar bulmayı okuyuculara bırakıyoruz. Özellik K7. Cantor kümesinde I n,k kapalı aralıklarının uçnoktalarından başka noktalar da vardır. Bu uçnoktalar gene de C nin önemli elemanlarıdır. Verilen bir n için, k l ise, I n,k I n,l birbirlerinden ayrık olduğundan, x C ise, x bu tip yalnız bir tek aralıktadır. Diyelim ki x [a n, b n ]. Cantor kümesinin elde edilişinden, n arttıkça, a n lerin arttığını b n lerin azaldığını anlarız. Üstelik, lim m( [a n, b n ] ) = lim (b n a n ) = lim n n n n = 0 olduğundan, x = lim n a n = lim n b n sonucunu elde ederiz. Bu yöntemi kullanarak, x = 4 e yakınsayan dizilerin {a, a, a, a 4,...} = {0., 0. 0, 0. 00, 0. 000,... } {b, b, b,... } = {0. 0, 0. 00, 0. 000,... } olduğunu görürüz. x uçnoktalardan biri değilse, a n lerin b n lerin hiç biri x e eşit değildir. Özellik K8. Cantor kümesinin her elemanı, I n,k kapalı aralıklarının uçnoktalarından oluşan, biri artan, diğeri azalan iki tekdüze dizinin limitidir. Kapalı her noktası, diğer noktalarının bir limiti olarak elde edilebilen kümelere yetkin (ya mükemmel) kümeler denir. Yetkin bir kümenin hiç bir noktası diğerlerinden yalıtık olamaz. Diğer bir deyişle, böyle bir kümenin her noktasının her komşuluğunda gene bu kümeden sonsuz çoklukta nokta vardır. Hatırlanacağı gibi C de kapalı bir kümedir. Özellik K. Cantor kümesi yetkin bir kümedir. Okuyucuyu ( de yazarı) tümevarım ispatlarıyla daha fazla sıkmamak için aşağıdaki özelliği ifade etmekle yetineceğiz. x Özellik K0. x C ise, C + x C y olur. Ayrıca, y V ise, V + y V y olur. Hatta, y J n,k ise, J n+,k + y J n+, n +k de doğrudur. Bu kısmı C nin çok şaşırtıcı bir özelliğiyle kapatalım. Önce bir tanım: C + C = { x + y : x C, y C }. 8
z = x + y C + C ise, z nin [0, ] aralığında olacağı açıktır. Ama z hangi noktalara erişebilir? z = n= x n n + n= y n n = n= + y n n yazdığımızda, y n yalnız 0 değerlerini alırlar; dolayısıyla, + y n ya 0 dır, ya dir, ya da 4 tür. + y n = z n dersek, z n, 0, ya olmalıdır. O halde n= z n n açılımında [0, ] aralığındaki her hangi bir sayı çıkabilir. Dolayısıyla z = n= z n n = z n n, n= [0, ] aralığındaki her hangi bir sayı olabilir. Başka bir deyişle, Cantor kümesi [0, ] aralığına son derece seyrek dağılmış bir küme olmasına hiç bir aralık içermemesine rağmen, iki tanesinin küme toplamı bir aralık edebilmektedir. Özellik K. C + C = [0, ]. C. Cantor Kümesinde Kaç Nokta Vardır? B kısmının başında 0 tabanı için yaptığımızı şimdi de tabanında yapalım. [0, ] aralığında aldığımız bir x sayısını, bilgisayarların yaptığı gibi, ler için yalnızca 0 değerlerini kullanarak, x = 0. x x x = n= n şeklinde yazabiliriz. Gene bazı sayıların iki açılımı vardır; = 0. = 0. 0 gibi. = 0. sayısının birinci cinsten açılımı yoktur. 0 ı da ilgi alanımızdan çıkartalım. Eğer ikinci cinsten açılımları kullanmamayı kabul edersek, (0, ) açık aralığındaki her sayının bir tek açılımı olur. Bunun faydası, tabanına göre açılımlarda aynı sayıyı iki kere saymamamızdır. Şimdi Cantor kümesinden 0 ı tabanındaki açılımlarında bir basamaktan sonra hep ler olan sonsuz çokluktaki noktaları çıkartalım kalan noktalara B kümesi diyelim. = 0. B, fakat = 0. B = 0. 0 B olur. B de alacağımız her oktasına karşılık, (0, ) de bir y sayısı bulabiliriz; bu işlemin tersini de yapabiliriz. Verilen bir x in tabanında açılımındaki leri lere çeviririz yeni sayıyı tabanında okuruz; bu y olur. Örneğın, x = 0 7 = 0. 0 in karşılığı y = 0. 0 = 5 8 dir. Daha açık olarak yazarsak, n noktası n= n= / n = n+ n= sayısına karşılık gelir. Diğer yöndeki gönderimde bu işlemi tersine çeviririz. Kabullenişlerimiz sayesinde, B deki her elemanın tabanında (0, ) deki her noktanın tabanında tek bir açılımı olduğu için, her iki yöndeki gönderim bire birdir. İlk bakışta (0, ) de 0. 0 gibi noktalar elde edilmez gibi görünse de, bunlar değişik şekilde de, 0. gibi, yazılabilirler B deki 0. gibi sayılardan elde edilirler. Böylece B ile (0, ) arasında bire bir eşleme kurmuş olduk. Reel sayılar kümesini R ile gösterelim f : (0, ) R olmak üzere f(x) = x ( ) x (0, ) x( x) fonksiyonunu tanımlayalım. Okurlara, f nin (0, ) üzerindeki grafiğini çizmeyi öneriyoruz. lim x x (0,) f(x) = + ile lim f(x) = x 0 x (0,) olduğundan f de (0, ) üzerinde sürekli olduğundan, f nin değerleri her gerçel sayıyı alır; yani f örtendir. Ayrıca, f (x) = x x + (x x ) ( x (0, ) ). Paydaki polinomun kökleri karmaşık sayılar olduğundan, polinom (0, ) üzerinde ya hep eksi, ya da hep artı işaretlidir. f ( ) = > 0 olduğundan dolayı, (0, ) aralığında pay hep pozitif olur. Payda zaten pozitiftir. Dolayısıyla, aralığımızda f(x) > 0 dir. Bu da f nin tekdüze artan bunun sonucu olarak da bire bir olduğunu rir. Özetlersek, f fonksiyonu (0, ) ile R arasında bire bir eşlemedir. Böylece B ile R arasında bire bir eşleme kurabileceğimizi gösterdik. Bu, her ikisinin aynı çoklukta elemanı olduğu anlamına gelir. Cantor kümesi B den büyüktür, fakat R nin içindedir. Sonuç olarak, C ile R nin aynı çoklukta eleman içerdiğini anlarız.
Özellik K. Cantor kümesinde, reel sayılarda olduğu kadar, yani sayılamayacak çoklukta nokta vardır. D. Lebesgue in Tekil Fonksiyonu Henri Lebesgue (875 4), modern integral teorisini başlatan Fransız matematikçisidir. 0 de yayımladığı doktora tezinde, o zamana dek bilinen integral anlayışını genişleterek integrali, sonsuzluklarla daha iyi iş gören limit alma işlemi altında daha iyi davranış gösteren hale getirmiştir. Bugün de matematikte en çok kullandığımız integral, Lebesgue integralidir. Bu kısımda tanımlayacağımız fonksiyon, Cantor kümesi üzerinde ilginç özellikleri olan türevinin sonsuz sayıda tekil noktası olan bir fonksiyondur. Cantor kümesini inşa ederken attığımız açık aralıklara değişik isimler rerek başlayalım. Her aşamanın sonunda, o ana kadar attığımız (daha önceki aşamalarda attıklarımız dahil) aralıklara L n,k diyeceğiz; burada k =,..., n değerlerini alır. Örneğin, L, = J,, L, = J,, L, = J, L, = J,, L, = J,, L, = J,, L, = J,, L,4 = J,, L,5 = J,, L,6 = J,, L,7 = J,4,.... Böylece her aralığın L n,k ler cinsinden birden fazla ismi olur. J n,k lerin olduğu gibi, L n,k lerin de hepsinin bileşimi V kümesidir: V = n= ( n k= L n,k ). Artık fonksiyonumuzu V üzerinde tanımlayabiliriz: F (x) = k n = c n,k (x L n,k ) () deriz; bu F yi her L n,k aralığı üzerinde sabit yapar. Aslında F her aşamada, daha önceki aşamalarda atılan aralıklar üzerinde tekrar tanımlanmaktadır; ama bu önceki tanımları değiştirmeyecek şekildedir, çünkü, k n için, L n+,k = L n,k c n+,k = c n,k dir. F nin tanımı gereği V üzerinde artan bir fonksiyon olduğu kolayca görülür; yani x < y ise F (x) F (y) dir. Ayrıca, F (0) = 0 F () = diyelim; şimdi her x V için, 0 F (x) sağlanır. Şekil, F nin grafiğinin bir kısmını gösteriyor. 0 Şekil x L n,k y L n,k ise, 7 8 F (y) F (x) = k n k n = n olur. L n,k L n,k aralıkları arasında uzunluğu olan I n n,k kapalı aralığı vardır. Bu yüzden, x, y V y x < ise, x y artık n+ inci n daha sonraki aşamalardaki açık aralıklardadır; F nin artan olma özelliğinden F (y) F (x) n elde ederiz. Bu son eşitsizlikten, x y nin birbirlerine yaklaştıklarında, F (x) F (y) nin de birbirlerine yaklaştıkları sonucu çıkar. Bu da F nin V üzerinde sürekli olduğunu söyler. Biz F fonksiyonunu, artan olma süreklilik özelliklerini bozmadan, bütün [0, ] aralığı üzerinde tanımlamak istiyoruz. Bunun için F yi C üzerinde uygun biçimde tanımlamak yeter. Önce I n,k aralıklarının uçnoktalarında, bitişik oldukları L n,k L n,k deki değerleri alacak şekilde tanımlayalım F yi. Eğer I n,k = [a, b] ise, F (a) = k n F (b) = k n () olsun. x C bir uçnokta değilse, K8 özelliğini kullanarak, x e yakınsayan tekdüze {a n } {b n } 0
dizilerini buluruz. F artan olduğundan, { F (a n ) } { F (b n ) } dizileri de tekdüzedir. Üstelik F nin değerleri alttan 0 üstten ile sınırlı olduğundan, bu son iki dizinin limitleri vardır. Limitlere sırasıyla c d diyelim. ( d c = lim F (bn ) F (a n ) ) n = lim n ( k n k n ) = lim n n = 0 bize c = d rir 0 c. x e yakınsayan her dizi, {a n } {b n } dizileri arasında kalmak zorundadır. Böyle bir dizinin F altındaki görüntüsü de c ye yakınsar. Artık F (x) = c diye tanımlayabiliriz. Böylece F bütün [0, ] aralığı üzerinde tanımlanmış olur. Böyle bir tanımın F nin artanlığını koruyacağı açıktır. Özellik F. F : [0, ] [0, ] artan bir fonksiyondur. Eğer elimizde bir g fonksiyonu varsa olan her { } dizisi için lim = x n lim g() = g(x) n eşitliği sağlanıyorsa, g fonksiyonu oktasında sürekli olur. Yukarıdaki F, V üzerinde sürekliydi. C üzerindeki tanımını da sürekli olacak şekilde yaptık. Özellik F. F : [0, ] [0, ] sürekli bir fonksiyondur. F (0) = 0 F () = olduğunu hatırlayalım. F nin sürekli olmasını Ara Değer Teoremi ile birleştirirsek, F nin 0 ile arasında her değeri aldığını görürüz. Özellik F. F : [0, ] [0, ] örten bir fonksiyondur. Şimdi bu fonksiyonun Cantor kümesi üzerinde aldığı değerlere biraz daha yakından göz atalım. x = 0. x x C alalım K6 özelliğini hatırlayalım. Göstermek istediğimiz ( ) x l F (x) = F l = l= l= x l l+ (4) eşitliğidir. x = 0 x = de yapacak bir şey yoktur. K8 özelliğinden F nin C üzerindeki tanımından dolayı, bu eşitliğin doğru olduğunu sadece I n,k lerin uçnoktalarında göstermek yeter. Bir kez daha tümevarım kullanacağız. n = halinde, () ten F ( ) = F ( ) = dir. Aynı zamanda, geometrik dizi toplamı formülü sayesinde, F ( ) ( ) = F l = l= F l+ = 4 = l= ( ) = = olur. (4) ün, n nci aşamadaki bütün kapalı aralıkların uçnoktaları için doğru olduğunu varsayalım. Bunlardan biri I n,k = [a, b] olsun. Uçnoktaların tabanındaki açılımlarının nasıl olduğunu B kısmından hatırlayalım. () den varsayımımızdan ( n ) a l F (a) = F l = l= n l= a l l+ = k n. n + inci aşamada [a, b] nin ortasından L n+,k = (c, d) aralığını atarız. d = a + n c = a + n = a + l=n+ l olduğundan, 0. d d n d n+ = 0. a a n 0. c c n c n+ c n+ = 0. a a n 0 olur. () ise F (c) = F (d) = k rir. Fakat n+ n+ l= l= d n l l+ = a l l+ + l= n+ n+ = F (a) + = k n + k = n+ n+ = F (d) c n l l+ = a l l+ + l= = F (a) + l=n+ l=n+ = k n+ = F (c), (4) ün doğruluğunu ispatlar. c l l+ l+ = k n + n+
Özellik F4. x = 0. x x Cantor kümesinde ise, F (x) = n+. n= F nin sağladığı bazı denklikleri görelim şimdi de. x C ise + x = + n= n = + n+ n= = + x + x 7 + = n+ n=0 olur; son ifadede x 0 = diye yazdık. Buradan da, K0 F4 özelliklerini kullanarak, F F ( ) ( x ) = F n+ = n= = = F (x) n+ n= n= n+ ( + x ) ( ) = F n+ n=0 = n+ = n=0 n=0 = + n+ n= = F (x) n+ özdeşliklerini elde ederiz. x J n,k V ise, K0 özelliğini () yi kullanarak, F ( ) x ( ) k = n+ ( F + x ) = olduğunu görürüz. = k = F (x) n+ ( n + k n+ = n + k n n n = k n = F (x) ) Özellik F5. Lebesgue fonksiyonu, x [0, ] için, aşağıdaki denklikleri sağlar: ( ) ( ) x F = F (x) F +x = F (x). Bunlar gibi, bir fonksiyonun bazı noktalardaki değerlerini başka noktalardaki değerleri cinsinden ren denklemlere fonksiyonel denklemler denir. Bu konuda bir yazı bu dergide daha önce (cilt:, sayı:4, sayfa: 5) çıkmıştı. Şimdi okuyuculara ( de o yazının yazarına) bir kaç sorumuz var: F5 özelliğindeki denklemleri sağlayan F nin bazı özelliklerine sahip F den başka fonksiyon bulunabilir mi? F nin başka hangi özellikleri (sürekli, artan, örten,... ) çözümün sadece F olmasını sağlar? Fonksiyonumuz V nin her bir parçasında sabit değerli m(v ) = olduğundan, [0, ] üzerinde hemen her yerde, yani uzunluğu 0 olan bir parça dışında, F nin türevi F (x) = 0 olur. Böyle fonksiyonlara tekil fonksiyon diyoruz. Bu bize F nin yalnız C üzerinde arttığını söyler. m(c) = 0 nedeniyle, 0 F (x) dx integralini, sadece V üzerinde integral alarak hesaplayabiliriz; tabii Lebesgue integrali kullanarak. 0 F (x) dx = F (x) dx = 0 dx V V = 0 m(v ) = 0 = 0 < Bu eşitsizlik, klâsik b a = 0 = F () F (0). g (x) dx = g(b) g(a) teoremine aykırı gibi görünür. Fakat bu teorem, g nin (a, b) aralığının her noktasında (hemen her yerde olması yetmez) türevli olmasını gerektirdiğinden, çelişki yoktur. E. Genel Cantor Kümeleri Yazımızın başlığında birden fazla Cantor kümesindan bahsetmişitk. Son olarak, Cantor kümelerinin genel olarak nasıl elde edilebileceğine kısaca değinelim. Gene [0, ] de kapalı aralıkların tam ortasından parçalar atarız; fakat kalan I n,k kapalı aralıklarının uzunluklarını yerine t n n gibi 0 < t n < t n eşitsizliklerini sağlayan sayılardan seçeriz; o zaman atılan J n,k açık aralıklarının uzunluları r n = t n t n olur.
Örneğin, I, = [0, t ], I, = [ t, ] J, = (t, t ); I, = [0, t ], I, = [t t, t ], I, = [ t, t + t ], I,4 = [ t, ] J, = (t, t t ), J, = ( t +t, t );.... C n, C, V n V nin de tanımları aynı kalır. Uzunlukları önceki gibi hesaplarız; (C n ) = n t n m(v n ) = n r n buluruz. O zaman m(c) = lim n n t n m(v ) = lim n n r n = m(c) olur; yukarıda t n ler üzerine koyduğumuz şarttan dolayı bu limitler vardır. Tabii artık m(c) = 0 olması gerekmez. Hatta, bir 0 s < alıp, t n = s n + s n seçerek m(c) = s olmasını sağlayabiliriz. Özellik K. Genel bir Cantor kümesi, basit Cantor kümesinin K, K, K, K7, K, K K özelliklerini paylaşır. Ayrıca uzunluğu 0 ile arasındaki her hangi bir değeri alabilir. F. Kaynakça Bu yazıda anlattıklarımız, genellikle ünirsitelerin matematik bölümlerinde 4. sınıfta ya yüksek lisansta okunan Lebesgue integrali kullanan Reel Analiz derslerinin konusudur. Bu konuda daha fazla bilgi edinmek isteyenler böyle bir ders kitabına başvurabilirler. Biz, İngilizce olmalarına rağmen, nispeten daha fazla bilgi ren tanesini önereceğiz. Aşağıdaki kitapların ilki, genel Cantor kümeleri için, üçüncüsü ise, Lebesgue tekil fonksiyonun değişik bir tanımı için faydalıdır. K. R. Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth, Belmont, 8. I. P. Natanson, Theory of Functions of a Real Variable, Frederick Ungar, New York, 55. W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 74.