TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar Artmetk ort. Tartılı Artmetk Geometrk ort. Karel ort. Harmok ort. Duyarlı Olmaya Ort. Mod Medya Kartller Değşkelk Ölçüler Değşm Aralığı (Rage) Stadart sapma Varyas Mutlak sapma Değşkelk katsayısı Kartl sapma katsayısı Ortalama sapma katsayısı Çarpıklık Ölçüler Bowley asmetr ölçüsü Pearso asmetr ölçüsü Basıklık Ölçüler
Artmetk Ortalama Üzerde celeme yapıla ver setdek elemaları toplaıp celee elema sayısıa bölümesyle elde edle yer ölçüsüe artmetk ortalama der. Halk dlde ortalama ades kullaıldığıda lk akla gele kavram artmetk ortalamadır. Örek: Sıav otlarıı ortalaması, Yaz aylarıda m ye düşe ortalama yağış mktarı Yer Ölçüler: Artmetk Ortalama - Mod - Medya Bast Verler İç Yaş: 4, 6, 0, 8, 4 X Artmetk Ortalama = X 8, 0, 4, 4, 6 Medya=4 Mod= 4 =(4+6+0+8+4)/5 =.4
Yer Ölçüler: Artmetk Ortalama - Mod - Medya Grupladırılmış Verler İç 0 bayaı ayakkabı umaraları: 35, 38, 36, 36, 37, 36, 38, 35, 39, 37, 35, 35, 36, 36, 36, 37, 37, 38, 38, 39, Grup 35 36 37 38 39 Frekas 3 0 X 70 08 74 76 39 367 X X : rekas k: grup sayısı =,,3,.,k =367/0 =36.7 Medya = (0+)/=5,5. Ver = 36.5 Mod=e çok tekrar ede ver=36 Sıılamış Serler İç Artmetk Ortalama x k k m : rekas k : sıı sayısı =,,3,.,k m : sıı orta oktası k Sıılamış serlerde her br sıı çdek değerler eler olduğu blmedğde ve yalızca her br sııı rekas değerler bldğde dolayı sııı temsl etmek üzere sıı orta oktaları hesaplamada kullaılır. Kullaıla ormül gruplamış serler ç kullaıla ormüle bezerdr. 3
Örek: Sııladırılmış Verler İç Artmetk ortalama Sıılar m.m Brkml = 0 0 da az 5 60 0-0 da az 6 5 90 8 0-30 da az 4 5 00 30 40 da az 35 70 4 40 50 da az 45 45 5 5 365 X m = 365/5 =4.6 Artmetk ortalamaı özellkler: Örek elemaları ortalama etraıda toplama eğlmdedr ya öreğ e y temsl ede tek br smetrk değerdr. x x x x x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Artmetk ortalamada sapmaları toplamı sıırdır. 4
AĞIRLIKLI ARİTMETİK ORTALAMA: İdex sayıları hesaplamasıda, yüzdeler ortalamasıda çarpımları ortalamasıı alımasıda kullaılır. wx x w w wx x xw w / w w Bast serler ç Frekas verler ç X w x... ˆ w xw w w x x w... x x...... Örek: İstatstk Bölge Brmler Sııladırmasıa göre Türkye toplam bölgeye ayrılmaktadır. Aşağıda bu bölgelere lşk 000 yılı üus ve kş başıa düşe GSYİH (YTL) mktarları verlmektedr. Bu verlerde yola çıkarak Türkye geele lşk ortalama kş başıa düşe GSYİH mktarıı buluuz. x w wx BÖLGE ADI GSYİH (000YTL) Toplam üus(.000.000) Kuzeydoğu Aadolu..5.75 Ortadoğu Aadolu.3 3.7 4.8 3 Güeydoğu Aadolu.4 6.6 9.4 4 İstabul 3.7 0.0 37 5 Batı Marmara.9.9 8.4 6 Ege 3. 8.9 7.59 7 Doğu Marmara 3.9 5.7.3 8 Batı Aadolu.8 6.4 7.9 9 Akdez.5 8.7.75 0 Orta Aadolu.9 4. 7.98 Batı Karadez. 4.8 0.08 Doğu Karadez.7 3. 5.7 TOPLAM 8.4 67.5 75.03 5
Artmetk ortalama le hesaplaırsa:..3.4 3.7.9 3.3.9.8.5.9..7 8.4 x.367 Sakıca edr? Ağırlıklı artmetk ortalama le hesaplaırsa: x w (..5) (.33.7)... (.73.).59.5 3.7... 3. GEOMETRİK ORTALAMA: Örek ver değerler çarpımıı, örek hacm derecesde köküe eşttr. G x. x. x3... x Özellkler:. 0 olmalıdır. x.serdek değerler her br yere geometrk ortalama koulduğuda ser çarpım soucu değşmez..4.8.6.3 = 3768 = 8.8.8.8.8 3.Geometrk ortalamaı orjal gözlemler logartmk sapmaları eşttr. Bu özellkte dolayı ortalama oralara, değşme oralarıa, logartmk dağılmış şekller uygulaır. Öreğ; yat dekslerde geometrk ortalama alamlı souçlar verr. 6
4.Artmetk ortalama gerçekte sp ola değerler yere mutlak değerlemş gb br şleme bağlı tutularak çok arta sp değerler olduğuda azla gösterr. Bu yüzde yukarı eğlmldr. 5.Logartmk br dağılımda geometrk ortalamaı terch ede böyle br dağılımda mutlak sapmaları değl acak merkez eğlm etraıda sp sapmaları smetrk olma eğlmdr. 6.G brmler değerler arasıdak oraa göre değer alır. 7.Uç değerlerde kadar etklemez. 8.log x -log G 9. G < x 0.. x x x * *... G G G x. x... x. G Bast ser : G x logg x. x. x... x 3 log x log x...log x log x G x. x. x3... x G at log Frekas serlerde se geometrk ser hesaplaması: G x. x... x x x... x tae tae tae G xx... xxx... x... xx... x N N x x... x x x... x log G G at log log x log x... log x! log x log x log x 7
Bleşk Faz Formülü P 0 =başlayış mktarı r= az =yıl P = yıl sorak meblağ P r 0 r r P P P 0 P P 0 r P P o log P log Po log( r) Örek: 3 yılda 000$, 5000$ a artmıştır. Yıllık ortalama artış yüzdes edr? % 500 gb gözükse de bu ortalama % artışı doğru değldr. 3 r ortalama artış yüzdes göstermektedr Başlagıç 000 yıl sora 000(+r) yıl sora 000(+r) 3 yıl sora 000(+r) 3 =5000 r 3 5 r 3 5 8
HARMONİK ORTALAMA Gözlemler tersler artmetk ortalamasıı tersdr. H.O bell koşullar altıda ve bell yat tpler altıda zama serler ortalamak ç kullaılır. H x... x x x G H x veya H Harmok ortalama aşağı eğmldr. H.O da x 0 olmalıdır. Eğer x x... se x G H olur. x x Uygulamada sabt ve değşke brmler vardır. Öreğ; brmlk mal A kşs taraıda 30 dk da ve ye brmlk mal B kşs taraıda 0 dk da üretlyorsa mal mktarı sabt, zama değşkedr. Ortalaması alıa değşkedr ya zamadır. H 0 30 4 dk da kg mal (ort.) üretlmektedr Uçakla 400 km, trele 60 km(570km) 4800 H. O 04km / h 46 46 400 60 400 Harmok Ortalama uygulama yerler Zama brm başıa hız Para brm başıa satı alıa brm sayısı 9
Örek: A ve B gb k şehr arasıda 00km lk br yol vardır. Br otomobll yolu lk yarısıı 30 km/saat hızla gdyor. Dğer yarısıı 40 km/saat hızla gdyor. Hız ortalaması edr? v = ortalama hız ; t = geçe zama ; d = alıa yol t: Yolu lk yarısıda geçe zama t: Yolu kc yarısıda geçe zama d t ve t d v v d vt. vt. d vt t tt. v v v v d vt v 34.8 t vt 30 40 x v v v v Harmok ortalama KUADRATİK ORTALAMA : Gözlemler kareler artmetk ortalamasıı köküdür. Stadart sapmaı hesaplamasıda kullaılır. Ortalama değerler ortalamasıda kullaılmaz. K x K x G H 0
Mod Br ver setde e çok gözlee ( e çok tekrar ede ) değere veya rekası e azla ola şas değşke değere mod adı verlr. Ver set modu olmayacağı gb brde azla da modu olablr. Mod geellkle keskl şas değşkel ç oluşturula gruplamış serlerde artmetk ortalama yere kullaılablr. Bast Serler İç Mod Örek: Br abrkada çalışa 7 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı moduu hesaplayıız. x :,0,,,0,,0 0,0,0,,,,. Ver setde e çok tekrar ede elema 0 olduğuda (3 kez ) mod değer 0 dır. Eğer ver set,0,,,0,,0 şeklde olsaydı ver set k modlu olacaktı. ( 0 ve ) Eğer ver set,0,,,0, şeklde olsaydı ver set moduu olmadığı ade edlecekt.
Gruplamış Serler İç Mod Örek: Aşağıdak tabloda br TV baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Ekra Satış Aded 5 66 3 7 4 8 5 94 7 Frekas dağılımıa bakıldığıda e azla satış mktarı 94 ekra LCD televzyoda olduğuda dolayı ( 7 adet ) dağılımı moduu 94 olduğu söyler. Eğer 8 ekra LCD televzyolarıda da 7 adet satılsaydı dağılımı k modu olduğu ade edlrd. ( 8 ve 94 ) Sıılamış Serler İç Mod Sıılamış serlerde mod değer hesaplaırke lk olarak mod sııı belrler. Mod sııı rekası e yüksek ola sııtır. Mod sııı belrledkte sora bu sıı çersde yer ala modu tam değer sıı rekası ve kede komşu ola sıı rekasları dkkate alıarak hesaplaır.
Sıılar 0 0 da az 0-0 da az 6 0-30 da az 4 30 40 da az 40 50 da az 5 Sııladırılmış Verler İç m 5 5 5 35 45.m 60 90 00 70 45 365 8 4 5 Mod Sııı Mod = L mod. Sıı aralığı Mod sıııı alt sıırı Mod sıııyla br öcek sıı r. arasıdak ark Mod sıııyla br sorak sıı r. arasıdak ark Medya Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda tam orta oktada ver set k eşt parçaya ayıra değere medya adı verlr. Ver setde aşırı uçlu elemalar olduğuda artmetk ortalamaya göre daha güvelrdr. Medya, ver setdek tüm elemalarda etklemez. 3
Bast Serler İç Medya Ver Set Hacm Tek Sayı İse; c gözlem değer medyadır. Ver Set Hacm Çt Sayı İse; ve c gözlem değer artmetk ortalaması medyadır. Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç medya değer hesaplayıız. 30,4,56,6,68,79,8,88,90,98 / ve (/)+ c elemalar 68 ve 79 olup buları ortalaması 73,5 medya değerdr. Ver Set 30,4,56,6,68,79,8,88,90 şeklde 9 adet verde oluşsaydı (+)/ c elema ola 68 ver set medyaı olacaktı. 4
Gruplamış Serler İç Medya Gruplamış serlerde medya değer hesaplaırke ver set tam orta oktasıı hag gruba at olduğuu belrlemek ç kümülat rekas sütuu oluşturulur. Sıra umarası belrledkte sora o sıra umarasıa at grup medya değer olarak ade edlr. Grup Frekas 5 66 3 4 7 4 8 8 5 3 94 7 0 Örek: Yadak tabloda br TV baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı medyaıı hesaplayıız. / ve (/)+ c gözlem değerlere karşılık gele değerler (0vecsıra) 8olduğuda dolayı medya değer 8 dr. Grup Frekas 5 66 3 4 7 4 8 8 5 3 94 5 Frekas dağılımı yadak gb olsaydı (+)/ c elemaa ( 8 c elemaa ) karşılık gele sayı 7 olduğuda dolayı ver set medyaı 7 olacak d. 5
Sıılamış Serler İç Medya Sıılamış serlerde medya değer hesaplaırke lk olarak medya sııı belrler. Medya sııı kümülat rekaslar dkkate alıdığıda toplam rekası yarısıı çde buludura sııtır. Medya sııı belrledkte sora medya sıııda br öcek sııı kümülat rekası ve medya sııı rekası dkkate alıarak hesaplaır. Sıılar 0 0 da az 0-0 da az 6 0-30 da az 4 30 40 da az 40 50 da az 5 Sııladırılmış Verler İç m 5 5 5 35 45.m 60 90 00 70 45 365 8 4 5 Medya Sııı Med = Medya sıııı alt sıırı L med. med Medya sıııı rekası Medya sıııda br öcek sııı Yığmalı rekası Sıı aralığı 6
Sıılar 0 0 da az 0-0 da az 6 0-30 da az 4 30 40 da az 40 50 da az 5 Sııladırılmış Verler İç m 5 5 5 35 45.m 60 90 00 70 45 365 8 4 5 Mod Sııı Mod = L mod. ( 0) 0.0 6.67 ( 0) ( 6) Sıılar 0 0 da az 0-0 da az 6 0-30 da az 4 30 40 da az 40 50 da az 5 Sııladırılmış Verler İç m 5 5 5 35 45.m 60 90 00 70 45 365 8 4 5 Medya Sııı Med = 5 med L med.0.0 0.83 6 med 7
4 0 8 6 4 0 0_0 0 _0 0_30 30_40 40_50 Mod = 6.67 Med =0.83 A.O.=4.6 Q L l 4 Q. Q Q Med L KARTİLLER l Q. Q Q L 3 3 l 4 Q. 3 Q3 %5 %5 %5 %5 Q Q Q 3 8
Sıılar 0-0 de az 8 8 0-40 da az 0 40-60 da az 5 45 60-80 de az 5 60 80-00 0 70 Q sııı Q L l Q 4. Q 70 8 0 4.0 35.83 Sıılar 0-0 de az 8 8 0-40 da az 0 40-60 da az 5 45 60-80 de az 5 60 80-00 0 70 Q sııı Q Med L l Q. Q 70 0 40.0 5 5 9
Sıılar 0-0 de az 8 8 0-40 da az 0 40-60 da az 5 45 60-80 de az 5 60 80-00 0 70 Q 3 sııı Q 3 L 3 l Q 4. 3 Q 3 370 45 60 4.0 70 5 0