Üite 6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Kışkırtıcı Soru:Sosuz te sıı toplmı solu bir sı eşit olur mu hocm? Soruu Sor: Selçuk Durum: Kvrmlr : Bölütü, Alt toplm, Üst toplm, Belirli itegrl, Belirsiz itegrl, Ortlm değer
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Thmi Dü televizod bir hber izledim, cım sıkıldı. Nede Gökçe, hber edi? Geçe z Bodrum d ttil ptığımız öree çok kı bir bölgede orm gıı bşlmış ve bir sti soud ılm hızı stte hektr ulşmış. Bir st sorki hberde, rüzgrı d etkisile, gıı ılm hızıı stte hektr çıktığıı dudum. Be de çevre illerde gı södürme ekiplerii ol çıktığıı dudum m dh sor eler olduğuu bilmiorum. Evet Selçuk, bir st sorki hber bülteide gıı hızıı giderek rttığı ve stte hektr kdr çıktığı söledi. Dördücü hber bülteide gıı kotrol ltı lıdığı, södürme çlışmlrıı krd ve hvd sürdürüldüğü, bu rğme ılm hızıı ck stte 5 hektr düşürülebildiği çıkldı. So izlediğim hber bülteide ise gıı ğmuru d etkisile södürüldüğü söledi. Güzelim ormlrımız böle ıp kül oluor hocm. Kim bilir e kdr orm kül oldu! Gerçekte çok üzücü bir durum Gökçe. Mdem merk ediorsu, e kdr ormı dığı kousud bir thmide bulubiliriz. Zte bu hesplmı biz pmsk bile ilgili kişiler pmk zorudlr. Hektr bşı kç ğç vr, e çok d e z e kdr hsr vr, e kdr ğç kullılrk ormlr eileecek gibi sorulrı cevplmsı gerekli. Be ilk dört stte kç hektrlık orm dığı hkkıd bsit bir thmide buluulbileceğii sölüorum. Peki hocm buu sıl pbiliriz?
Thmi Ygı beş st sürmüş ve Gökçe ilk dört sti her biri içi gıı ılm hızıı bizlere söledi. Bulrl ilgili dki tblou kurup, sor d ikilileri zm-ılm hızı koordit sistemide işretleebiliriz. Ygıı ıldığı l = Zm Yılm hızı eşitliğii kullrk d st içide klşık olrk hektrlık orm lıı thrip olduğuu lbiliriz. Bu thmiimizi birer st rl verile ılm hızı bilgilerie göre ptık. Dh ii bir thmide bulumk içi sizce ee ihticımız vr? Zm (st) Yılm hızı 5 (hektr/st) Yılm hızı (hektr/st) 9 8 7 6 5 Zm rlıklrıı dh kıs tutm ihticımız olbilir mi? Öreği stteki değil de her rım stteki ılm hızlrıı bilsedik dh ii bir thmi pbilirdik sırım. zm (st) Egi hklı! Biz birer stlik rlıklrl gıı değişme hızıı sbit kbul edioruz. Ack gıı ılm hızı her değişiklik gösterebilir. Yi çık olrk belirtemesek de ılm hızı zmı sürekli bir foksioudur. Hız ölçümü pıl zm rlıklrıı e kdr zltırsk, zrr içi o kdr ii bir thmide bulubiliriz. Hocm bşk hgi durumlr içi thmide bulubiliriz? NEHİR Bir çok durum içi thmide bulubiliriz. İsterseiz bşk bir örek vereim. Vrslım ki bir ksbı içide k, bir ehirle ol rsıd kl, şekilde görüle bölgei eşil l hlie getirmek istiorsuuz. Bu projei mlieti metrekre bşı 5 TL olsu. Bu proje içi klşık e kdr pr ırmız gerekir? YEŞİLLENDİRİLECEK BÖLGE YOL Bölgei lıı bulurum ve 5 ile çrprım. Ack bu bölgei şekli e üçgee e de dörtgee bezior. Be bir thmide bulumcğım. Hocm bu bir mühedislik işi, bizi buul uğrştırmsız.
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL 5m Doğru bir mtık ürütmele buu herkes pbilir, eter ki erede bşlcğıızı bili. Bu problemi çözebilmeiz içi size bir ipucu vereim: Bölgei ol e uzk oktsıı ol uzklığı 5 metre ve ol cephesi metre olsu. Bölgei ltt sıırl olu - eksei olrk lıp, bölgei bir dikdörtgele sıırldırlım. Yi bölgei ei metre, bou 5 metre ol bir dikdörtge içie llım. m Hocm şk mı pıorsuuz? Bu dikdörtgei lı 5 =9 m Bu değer istee ld oldukç büüktür, bu gerçeği pek sıtmz. Güzel! O hlde size göre dh ii bir thmide bulumk içi ee ihticımız vr? Mdem ki bölgei bir dikdörtge içie ldıız, dh küçük dikdörtgelere bölerek bu dikdörtgeleri llrı toplmı ile thmide bulusk hocm? Nsıl bir bölme öeriorsu Egi? 5 5 5 5 m 5m Yolu bölgei ltt sıırl kısmıı -ekseii bir prçsı olrk kbul etmiştik. Şimdi bu prçı ikie ırıp, bulr üzeride ol uzklıklrı e büük ol oktlrı uzklıklrıı lırsk, bölgei eleri ı fkt bolrı frklı iki dikdörtgele üstte sıırldırbiliriz. Bu dikdörtgeleri llrıı toplmı bölgei lı içi dh ii bir thmi 6 8 Güzel bir klşım. Heme ölçümleri vereim o zm:. prçd ol e uzk okt metre,. prçd e uzk okt 5 metre uzklıkt olsu. Be de hesbı pım. Dikdörtgeleri llrı toplmı: (5 7)+( 7)=(5+) 7=65 7=55 m olduğud bu dikdörtgeleri oluşturduğu bölgei eşilledirmei toplm mlieti: 55 5=75 TL olur ki prmız etmez bu durumd.
Thmi 5 Peki hocm dh fzl dikdörtge kullsk, öreği ei dikdörtgeleri elerii ort oktlrıı kullrk bölgei dört eşit prç bölüp, bu prçlrı ol uzklıklrı e büük ol oktlrıı uzklıklrıı kullsk sırım dh ii bir klşımd bulumuş oluruz. 5 5 5 m 5m m Bölgei dışt sıırl dikdörtgeleri llrı toplmıl m bölgei lı zlrk klşıorsu Egi, get güzel! Bu dört prçdki ol uzklığı e büük ol oktlrı uzklıklrı:. prçd metre, ikici prçd metre, üçücü prçd metre, dördücü prçd 5 metre ise souç e olur? Bu durumd 5 6 8 7 + 7 + 7 +5 7 =(+++5) 7 = 8 7 = m Proje mlieti 5=5 TL Hocm, ede olu bu dört prçsı içi de ol uzklıklrı e küçük ol oktlrıı lrk thmide bulumuoruz? 5 5 5 m Tbii, öle de düşüebilirsiiz. 5 5m m 6 8 Prçlrdki e kıs uzuluklr;. prçd metre,. prçd 5 metre,. prçd metre ve. prçd metredir. Hdi bklım hesplı! İlk prçd e kıs uzklık metre olduğud bir l oluşmz. Diğer prçlrd eler eşit ve,5 metre olduğud e kıs uzklıklrl oluşturul dikdörtgeleri llrı toplmı: 7 (5++)= 7 5=75 m Projei mlieti de 75 5 = 75 TL dir. Ne güzel, bu thmile proje oldukç ucuz ml olck. Ucuz gibi gözükse de bölgei büük bir kısmıı ihml ettik. Hocm, bölgei oldki sıırıı 8 prç bölerek işlemlerimizi tekrrlsk e olurdu?
6 6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Yol E E uzklık kıs uzu 8 6 5 7 6 5 6 6 7 8 Peki Selçuk, bu prçlrdki e kıs ve e uzu mesfeleri dki tblol veriorum. Hesplmlrı d be pım. Öce e uzu ollrı göz öüe lrk bşlım: 7 7 7 7 7 7 7 7 7 85. 8+ + 7+ + 6+ + + = = Bu durum içi proje mlieti 85 5=965 TL Şimdi de e kıs uzuluklrl hesplmı pım: 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 + 6+ 5+ 6+ + + + = 8=59. Projei bu durumd mlieti de 59 5=675 TL 5 5 6 8 Hocm, prç sısıı rttırdıkç e kıs ve e uzu uzuluklrl ptığımız hesplr soucud elde ettiğimiz mliet değerleri, birbirlerie gitgide klşıorlr. Bu dımd projei mlieti e z 675 TL e çok 965 TL Bu iki değeri ortlmsı lıırs klşık olrk 8 TL 5 5 5 5 Brvo sizlere, bu hesplmı prç sısıı rttırrk bölgei lı ltt ve üstte klşıp, lı oldukç doğru bir bkış çısıl hesplm çlıştıız. Yptığıız hesplmlrl ı zmd herhgi bir eğrile sıırlı llrı hesbı içi ilk dımı d tmış olduuz. 6 8 ALAN HESAPLAMALARI Al hesplmlrıı iki bi ılı şkı bir trihçesi vrdır. Eski Mısır ve Bbil de ehirler tşr ve ö değiştirirdi. Nehirler tklrıı değiştirdikçe bzı çiftçiler toprklrıı kbederke bzılrı ei toprklr kzırlrdı. Ödeecek vergiler ship olu toprklrı lı göre belirlediği içi ehir kıısıdki düzesiz şekilli rzileri llrıı sık sık hesplmk gerekirdi. Peki hocm, o zm bu l hesplmlrı sıl pılıordu? Belli bir ötem vr mıdı?
ALAN HESAPLAMALARI 7 Bbilliler ve Mısırlılr üçge ve dörtgei l hesbıı bildikleride l ölçümlerii üçgeleri ve dörtgeleri llrı ddırrk hesplıorlrdı. Fkt belli bir ötemleri oktu. Dh sor Yu mtemtikçiler Eudous (M.Ö. 8- M.Ö. 55) ve Arşimet (M.Ö. 87- M.Ö. ) eğrilerle sıırlı düzlemsel llrı belirleebilmesi içi "Tüketme Yötemi" dı verile bir ötem geliştirerek, bugü hl üzeride çlışıl itegrl kvrmıı temellerii tmışlrdır. Hocm, tüketme ötemide kısc bhsedebilir misiiz? Tbii ki, tüketme ötemide birz öce bizim ptıklrımız bezer bir ol izlioruz. Öcelikle lıı hesplbileceğimiz çokgeler kullrk bölgei dışt kuştıoruz. Dh sor d bölgei tmme içide kl ie lıı hesplbileceğimiz çokgelerle bölgei sıırı klşıoruz. Bölece dışt ve içte bölgei sıırı klşrk bölgei lı bir klşımd buluuoruz. Dh sor bu çokgeleri ker sılrıı dım dım rttırrk, dışt ve içte bölgei sıırlrı dh çok klşıoruz. So olrk d kulldığımız çokgeleri ker sılrıı sıırsız bir biçimde rttırrk bölgei eğrisel sıırı ulşm çlışıoruz. Bu pıllr bölgei lıı verior mu hocm? Bilie limit tekiklerii kullrk hespl limit değeri istee lı verecektir. Eudous ve Arşimet zmıd d l hesplmlrı limit kullılrk mı pılıordu? Hır Selçuk. Güümüzde kullıl limit tımıı, limit, süreklilik, türev kousud d söz ettiğimiz gibi, ülü mtemtikçi Cuch e (789-857) borçluuz. Eudous ve Arşimet limit kullmd, üçge, dörtge ve çokgeleri llrıı ve geometrii kullrk, tüketme ötemi ile l hesplmlrı pmışlrdır. Direi ve bzı özel eğrilerle sıırlı bölgeleri llrıı sıl değerlerie kı bir şekilde elde etmişlerdir.
8 6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Hocm, Eudous d Arşimet i o zm hespldıklrı bir düzlemsel lı, bugükü ötemleri birile hesplbilir miiz? Peki Egi. Dilerseiz Arşimet i iki bi ıl öce üçgeleri llrıı kullrk, tüketme ötemi ile çözdüğü bir problemi güümüzde vr ol ötemlerle çözüp belirli itegrl kousu bir giriş plım. D C Arşimet bir prbolik ı ltıd kl lı bu ı çevrelee dikdörtgei lıı üçte ikisi olduğuu ifde etmiştir. Diğer bir deişle Arşimet, şekildeki trlı lı ABCD dikdörtgeii lıı üçte ikisi olduğuu sölemiştir. A B Hocm, problemi iki bi ıllık oluşu gözümü korkuttu doğrusu. (, ) D E (, ) C Dh problemi çözmee bşlmd gözüüz korkmsı. Öceki eşil l problemii bir bezerii trtışcğız. Öce prbol ıı çevrelee dikdörtgei, tbıı ort oktsı dik koor- A (, ) B (, ) dit sistemii merkezie gelecek şekilde -eksei üzerie erleştirelim. Hocm, bu durumd şekil -ekseie göre simetrik oldu. Bu l hesplmlrıd kollık sğlr mı? Evet Zeep. Bu durumd şekli sğ rısıı göz öüe lmk eterli olcktır. Öce lı değerie bir klşımd bulucğız. Kollık olsu die OB = OE = llım. Sölei bklım bu prbolü deklemi e olur? Tepe oktsı -eksei üzeride ol prbolü deklemi = + c biçimidedi. Prbolü tepe oktsı(,) olduğud bu deklemde erie, erie zrsk c = elde edilir. Prbol -ekseii(,) oktsıd kestiğide = + deklemide erie, erie zılırs = buluur. Souç olrk prbolü deklemi = olur hocm.
ALAN HESAPLAMALARI 9 göstermee döüşür. Aferi Egi. Bölece problemimiz = eğrisii[,] rlığı üzerideki prçsıı ltıdki lı br olduğuu İlk olrk[, ] rlığıı ikie bölerek işe bşlıorduk. Buu içi, ve oktlrıı kullıp, ve, rlıklrıı llım ve bu rlıklr içide grfiğe e uzk ve e kı oktlrı değerleri ile işe bşllım. Bölgei dışt kuşt ve bölgee içte klş dikdörtgeleri llrıl bölgei lı bir klşımd bululım. Buu içi grfiği[, ] rlığı üzeride zldığıı kullmk eride Kulllım hocm, biz d e doğru hreket ettikçe grfik şğı doğru iior, i foksiou değerleri zlıor. Bu durumd foksio e büük değerii lt rlıklrı sol uç oktlrıd ve e küçük değerii de sğ uçlrd lır, değil mi? Evet Zeep, tm olrk buu demek istemiştim. Öce foksiou sırsıl e büük değerlerii kullıp bölgei dışt kuşt ve e küçük değerlerii kullıp bölgee içte klş dikdörtgeleri llrıl bölgei lı klşlım. Bulr sırsıl [,] i,, bölütüsüe krşı gele üst toplmı ve lt toplmı de- ir. f() f Şekil 6.:[, ] rlığıı,, bölütüsüe krşılık gele üst toplm f Şekil 6.:[, ] rlığıı,, bölütüsüe krşılık gele lt toplm Üst toplm (Şekil 6.) Ü (f)= f() +f = + = + 8 = 7 8 br ve lt toplm (Şekil 6.) A (f)= f( + ) f() = + = 8 br Şekil 6.:[, ] rlığıı,, bölütüsüe krşılık gele frk dikdörtgeleri = f() f()= Ardığımız l A dersek A (f) A Ü (f) eşitsizliği gerçekleşir. Bu durumd üst ve lt toplm gire dikdörtgeleri frklrıd oluş frk dikdörtgeleri şekildeki sütuu oluştururlr. Bu sütuu lı Ü (f) A (f)= f() f() dir. Şekil 6.:[, ] rlığıı,, bölütüsüe krşılık gele frk dikdörtgelerii frklr sütuu oluşturduğu
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Bece e 7 8 e de 8 istediğimiz souç ol e pek kı sı- lr değiller. Buu içi[,] rlığıı,,,, ve bölü- f() f f f tüsüü kullrk,,,,,,, gibi dört eşit prç ırsk dh ii olck hocm. Şekil 6.5: [, ] rlığıı,,,, bölütüsüe krşılık gele üst toplm f f f Şekil 6.6: [, ] rlığıı,,,, bölütüsüe krşılık gele lt toplm Hklısı Egi. Bu durumd üst toplm gire dikdörtgeler bölgei dışt kuşttıklrı içi dikdörtgeleri llrı toplmı bölgei lıd büük, fkt bir öceki dımdki toplmd küçük olcktır. Alt toplm gire diktörgeleri llrı toplmı ise, bölgei içide klcklrıd, bölgei lıd küçük, fkt bir öceki dımd elde ettiğimiz toplmd büük olcktır. Bu durumd üst ve lt toplmlr Ü (f)=f() +f A (f)= f = +f +f + 5 6 + + 6 7 = 5 ve +f +f = 5 6 + + 7 6 + = 7 +f() Şekil 6.7: [, ] rlığıı,,,, bölütüsüe krşılık gele frk dikdörtgeleri = Şekil 6.8: [, ] rlığıı,,,, bölütüsüe krşılık gele frklr sütuu Zeep i hesplmlrıl d gördüğümüz gibi bölgei lı ol A sısı bu iki sı rsıd klır. Yi A (f) A Ü (f) Bölece rdığımız l değerie üstte ve ltt birz dh klşmış oluruz. Arıc üst ve lt toplmlr gire diktörtgeleri frkı ile oluş frk dikdörtgeleri şekildeki sütuu oluştururlr. Bu sütu frklr sütuu dielim. Frklr sütuuu lı ise Ü (f) A (f)= f() f() olur ve bu dımdki frklr sütuuu lı bir öceki dımdkii rısı Bur kdr ptıklrımızı[, ] i,,,...,, bölütüsüü içi tekrrlrsk bolrı eşit ve br ol,,,,...,,,,
ALAN HESAPLAMALARI lt rlıklrıı elde ederiz. Bu lt rlıklrı uzuluğuu ile gösterirsek = Bölece üst toplm girecek dikdörtgeleri tb uzuluklrı birim, ükseklikleri ise bu lt rlıklrı sol uçlrıı f() i grfiğie birleştire doğru prçlrıı uzuluklrı kdrdır. = f()= olduğud bu ükseklikler f()= =, f =, f =,..., f = olur hocm. Üst toplm d Ü (f) = f() + f + + f = f()+ f + f + + f = + + + + + +( ) olrk buluur. = Aferi Zeep. Alt rlıklrı sğ uçlrı lııp bezer işlemler pılırs A (f)= + + + olrk elde edilir. Soud e bğlı iki toplm elde ettik. Bu toplmlr içide geçe te rdışık doğl sıı kreleri toplmıı + + +...+ = ()(+)(+) 6 olduğuu vere güzel bir geometrik klşımı d görebilirsiiz. Bu toplmlr d i sıırsız bir biçimde rttırırsk üst toplmı limiti lim Ü (f) = lim + 6 + + 6( + + + ) = (+)(+) + = lim (6) = 6 =
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL olrk elde edilir ve Arşimet i iddisıı doğruluğu d görülmüş Hocm, üst toplmlrı limitii bulduuz ve Arşimet i soucuu doğru olduğuu sölediiz. Alt toplmı limitii de bu eşit olmsı gerekmez midi? i i = Şekil 6.9: [, ] rlığıı,,,,, bölütüsüe krşılık gele frk dikdörtgeleri... Hklısı Zeep. Üst toplmlr gire dikdörtgelerle lt toplmlr gire dikdörtgeleri frklrıı oluşturduğu frk sütuuu tbı üksekliği ise f() f() birimdir. Burd sosuz giderke frk sütuuu lı sıfır gider. Yi ike Ü (f) A (f)= (f() f()) dır. Bölece bu örek içi üst ve lt toplmlrı limitleri eşit... = Belirli İtegrl Şekil 6.: [, ] rlığıı,,,,, bölütüsüe krşılık gele frklr sütuu Arşimet i problemii çözümüde izlee oll, egtif değer lm bir = f( ) sürekli foksiouu belli bir [, b] kplı rlığı üzerideki prçsıı ltıd kl bölgei lıı bezer işlemleri prk elde edebiliriz. Artık[, b] rlığı üzeride f i Belirli İtegrli die dldırcğımız sıı tımlbiliriz. oktsıı Şimdi tımımızı verelim. f, [, b] kplı rlığı üzeride sürekli bir foksio olsu. Öce[, b] rlığıı( ) te < < < <...< < b =b k k M k m k olck şekilde seçelim. = ve b = dierek [, b] i bir B ={,,..., } bölütüsüü oluşturlım. B bölütüsü [, b] i [, ],[, ],...,[, ],[, ] biçimide te lt rlığ ırır. Bu lt rlıklrd k=,,..., olmk üzere bir[ k, k ] lt rlığı seçelim. Bu lt rlık üzeride foksiou e küçük değerie m k ve e büük değerie M k dielim. Bu durumd k = k k dersek, her [ k, k ] içi m k k f() k M k k eşitsizliğii zrız. Şimdi şu iki toplmı oluşturlım: A (f) = m + m +...+m k Ü (f) = M + M +...+ M
Belirli İtegrl Hocm, bu toplmlr dh öce oluşturduğumuz lt ve üst toplmlr bezedi. Bezemek e kelime Zeep, bu iki toplm tmme ı. Bu toplmlr sırsıl B bölütüsüe krşı gele lt ve üst toplmlr deir. Öceki örekte bir bölütüe krşı gele lt toplm dim üst toplmd küçük oluordu. f, [, b] rlığıd sürekli bir foksio olmk üzere ) f()d = b ) f()d = f()d )α olmk üzere b αf()d =α b b f()d ) <c< b olmk üzere b Bezer bir eşitsizliği burd d zbiliriz, i B bölütüsü içi A (f) Ü (f) c f()d = f()d + b f()d zılbilir. Bölütü sısı sosuz giderke lt ve üst toplmlrı ı sı kısdığıı biliorduk. Bu sı A dersek c lim A (f)= lim Ü (f)=a Bu A sısı f i[, b] rlığı üzerideki belirli itegrli dieceğiz ve A sısıı b f()d biçimide göstereceğiz. Belirli itegrli tımı kullılrk bir çok özellik elde edilebilir. Bulrd bzılrıı trft verelim. Belirli itegrli değeri dim pozitif midir? Tbii ki hır Egi. f foksiou her [, b] içi f() oluors b f()d belirli itegrli pozitif bir sıdır. Bu sı: ltt[, b] rlığı, üstte f foksiouu grfiği ve lrd d = ve =b doğrulrı ile sıırlı bölgei lı eşit Bezer biçimde f foksiouu her [, b] içi f() oluors b f()d belirli itegrli egtif bir sıdır. Bu sı grfiği [, b] rlığı ltıdki prçsı ve -eksei ile sıırlı bölgei lıı eksi işretlisidir. f A b b Şekil 6.: f()d = A b A b f Şekil 6.: f()d = A
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Burd üstte[, b] rlığı, ltt f foksiouu grfiği ve lrd = ve = b doğrulrı ile sıırlı lı d b f( )d belirli itegrlii eksi işretlisie eşit olduğuu söleebiliriz, değil mi hocm? Peki, grfiği bir prçsı -ekseii üzeride gerie kl kısmı -ekseii ltıd ise durum e olur? -eksei üzeride ve ltıd rı rı f foksiouu grfiği ve -eksei ile sıırlı llrıı değerlerii biliorsk işler kol Zeep. Çükü belirli itegrl -ekseii üstüde ve ltıdki llrı işretli toplmı eşittir. Nihet limitlerde kurtuluoruz. Allrl belirli itegrli hesplbileceğiz. A A 5 A Şekil 6.: 5 f()d = A + A A 5 Heüz o şm gelmedik. Bzı özel durumlr içi buu pbiliriz Selçuk. Sölei bklım verile grfiğe göre f( )d i değeri edir? A ve A -eksei üstüde kl bölgeleri llrı olduğu içi pozitif işretli, A ise -ekseii ltıdki grfikle sıırlı bölgei lı olduğud egtif işretlidir. Bu durumd 5 f()d = A + A A = +(+) = sısı Alşıldı ki grfikle sıırlı bölgeler, lıı hesplbileceğimiz üçge, dörtge vs. gibi geometrik şekillerde oluşuors işler kol. Ack değilse e zıd bir üst d lt toplmı bulup içi limitie bkmlıız. Buu bşk bir olu ok mu hocm?
Belirsiz İtegrl 5 Belirsiz İtegrl Vr elbette! Bir büüklük bşk bir büüklüğe göre değişiors hgi hızl değiştiğii bulmı ötemlerii, i bir foksiou türevii bulm ötemlerii görmüştük. Şimdi buu tersi ol problemi üzeride durlım: Bir foksiou türevii biliorsk kedisii bulbilir miiz? Öreği belli bir(, b) çık rlığı içideki her içi türevi F ()= ol F() foksiou edir? Kol hocm, = F()= foksioudur. Am hocm, bu rlık üzeride + foksiouu türevi de Yi = + foksiou d buu sğlr. Her [, b] içi F ()= f()=g () ise (G() F()) = G () F () = f() f()= olduğud G() F()= c (sbit) d G()= F()+ c Bölece bir rlık üzeride türevleri eşit ol iki foksiou frkı sbittir. Zeep hklı. c bir sbit olmk üzere bu rlık üzeride + c foksiouu türevi de dir. c sbiti değiştikçe sosuz te foksio buluruz. O hlde(, b) rlığıd türev foksiou verilmişse, foksiou kedisi ve türev foksiou rsıd şöle bir ilgi kurbilirsiiz: G(), türevi ol herhgi bir foksio olsu. foksiouu türevii de olduğuu bilioruz. O hlde c bir sbit olmk üzere G ()= G()= + c dir. Tım Belli bir(, b) rlığıdki tüm ler içi F() foksiouu türevi f() foksiou eşit ise, i F ()= f() oluors F() foksiou f() i bir ilkeli deir. Bu durumd c sbitii her bir değeri içi +c fokisou foksiouu bir ilkeli ve bu ilkelleri oluşturduğu + c foksiolr ilesie de foksiouu belirsiz itegrli deir. Bu durum d = + c biçimide gösterilir. Bu gösterimde simgesie belirsiz itegrl işreti ve foksiou d itegrli lı (itegrt) deir. +c foksiouu grfiği foksiouu grfiğii c kdr kdırılmışı olduğud, bu ilei her bir üesii grfiklerii çizsek her biri foksiouu grfiğii prlel kdırılmışı ol sosuz te eğri elde ederiz, değil mi hocm? Tım Belli bir(, b) rlığıd F() foksiou, f() foksiouu bir ilkeli ise F()+ c ilesie f() foksiouu belirsiz itegrli deir ve f()d =F()+c şeklide gösterilir.
6 6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL c= c= c= Evet Egi, bu örek içi(, b)=(,+ )=rlığı seçilirse bu grfikler tüm düzlemi doldururlr. Düzlemde bir okt seçildiğide o oktd geçe ve bu ilee it ol bir tek foksio vrdır. Öreği, bu ilee it ol ve(, ) oktsıd geçe foksiou bulmk içi = + c eğrisii deklemide erie, erie zılırs = + c eşitliğide c= olrk buluur. O hlde (,) de geçe ilkel foksio = + Şekil 6.: +, ve eğrileri Hocm türev lmk içi kurllrımız vrdı, itegrl içi de bezer kurllr vr mıdır? Vrs bulrı türev kurllrıl ilgisi edir? (Kuvvet) r d = r+ r+ + c (r ) (Logritmik) d = l + c, (> ) (Üstel) e d = e + c Tbii ki vr Selçuk. Türev lm kurllrıı kullrk bzı öemli itegrl formüllerii elde edebiliriz. Ypmmız gereke şe f ()d = f()+ c eşitliğii doğruluğuu gerçeklemektir. Burd dki eşitliklere ulşbiliriz. Bu durumd türevi kullrk bütü foksiolrı belirsiz itegrlii heme bulbiliriz. Bu iş bitmiştir diebilir miiz hocm? ( ) d = l + c (>, ) Mlesef Egi! Türev kurllrı sistemtik bir şeklide ugulrk çok krmşık foksiolrı türevleri bulubilir. Ack bsit foksiolrı bile belirsiz itegrlii bulmk çok zor, htt belli bir lmd imksız olbilir. Olsı bzı durumlr içi birçok itegrl lm ötemi geliştirilmiştir. Bu ötemlere geçmede birkç geel kurlı verelim: Herhgi f ve g foksiolrı ve bir sısı içi f()d = f()d (f()± g())d = f()d ± g()d Birici eşitlikte sbitle çrpılmış bir foksiou belirsiz itegrlide sbiti itegrl dışı çıkbileceğii sölüoruz. İkici eşitlikte ise iki
Belirsiz İtegrl 7 foksiouu toplmlrı d frklrıı itegrlii, itegrller toplmı d frkı olrk zılbileceğii belirtioruz. Bulr birer örek verseiz hocm. Öce bsit öreklerde bşllım. Sölei bklım (+ )d itegrlii kim çözecek? İtegrli toplm üzerie dğıtrk bşlıorum hocm. (+ )d = d + d = d + d Sor d bu itegrllere kuvvet formülüü ugulrsm (+ )d = + c + c elde ederim. Evet Egi get güzel. İtegrl sbitlerii toplmı c=c + c dersek (+ )d = + c d belirsiz itegrlii bulu bklım. Şimdi de 5e
8 6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Öce itegrl işretii frk üzerie dğıtıp, dh sor çrpım hlideki sbitleri itegrli dışı llım. 5e d = d 5e d = d 5 Şimdi de logritmik ve üstel itegrl formüllerii ugulrsk 5e elde edilir. c= c 5c dersek elde ederiz. e d d = l +c 5( e +c )= l + 5 e +c 5c. 5e d = l + 5 + c İtegrtı, iki foksiou toplm ve frkı biçimide, d sbitle bir foksiou çrpımı biçimide ol itegrlleri sıl lıdığıı gördük hocm. İtegrt iki foksiou çrpımı biçimidese, bulrı itegrli çrpım gire foksiolrı itegrllerii çrpımı eşit midir? Hır Egi, isterse buu bsit bir örek üzeride görelim. İtegrtı f()= = foksiou ol bir itegrl, g( ) = i itegrli ile h( ) = i itegrlii çrpımı eşit değildir. Yi, Bu eşitlik olsdı, ( ) d = ( ) d d d = + c ve + c + c d d = + c olduğud = + c + c + c c elde edilirdi. Ack c ve c sbitleri e olurs olsu eşitliği sğ ıı türevi, itegrt eşit olmz. Peki iki foksiou çrpımıı itegrlii sıl bulcğız hocm?
Belirsiz İtegrl 9 İki foksiou çrpımıı türev formülü bize, çrpımlrı itegrllerii lımsı içi rrlı bir kurl çıkrmmızı sğlr. Türevi çrpım kurlı; f()g() = f ()g()+ f()g () dır. Burd d f()g ()d = f()g() f ()g()d fomülüü elde ederiz. Bu kısmi itegrso formülü deir. Bğı uzu bir formül bulduk hocm. Üstelik itegrlde de kurtulmuş değiliz. Hklısı Gökçe. Bu formül H()= f()g () foksiouu itegrlii G()= f ()g() i itegrlie idirger. İşi püf oktsı H() foksiou içi f() ve g () i seçimidir. İi bir seçim diğer itegrli kolc çözülür hle döüştürebilir. Şimdi e d itegrlii kim çözecek? Yi e foksiouu bir ilkelii kim bulck? Be deeeim hocm. Öce itegrtı f()g () çrpımı biçimide zlım. f()= ve g ()= e dersek f ()= olur ve g()= g ()d = e d = e lbiliriz. Burd f()g ()d = f()g() g()f ()d e d = e e d = e e + c İtegrtı iki foksiou çrpımı biçimide ol tüm itegrllerde bu formülü mü kullcğız hocm?
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Tbii ki hır. İtegrtı iki foksiou çrpımı biçimide ol itegrllerde türevler içi bilie zicir kurlıı rrlı bir itegrl lm ötemie çevirebilirsiiz. Buu öce bsit bir örek üzeride görelim. Sor ötemi çıkllım. Öreği; ( + ) d itegrli verilsi. Buu kısmi itegrlle birz zor çözersiiz.( +) ifdesi( +) i kedisile kez çrpımı olduğud çrpımı psız iş uzr d uzr. Buu erie( + ) ifdeside + i ei bir değişke olrk lıp itegrttki diğer çrpımı buu e göre türevi olup olmdığıı kotrol ederiz. Yi u= + deip du i e eşit olup olmdığı d bkrız. u = du = olduğud rdığımızı bulmuş oluruz. Bölece d du=u d = d olcğıd itegrl ei u değişkei ile u du bsit itegrlie döüşür. Souç olrk itegrl u du= u + c u, + idi. u erie tekrr( + ) zılırs ( + ) d = ( + ) buluur. + c Örekte ldığım kdrıl, çrpım hlideki iki foksiod biri diğerii bir prçsıı türevi oluors öcelikle bu oll çözmei deemekte rr vr, değil mi hocm? Gerçekte güzel bir tespitte buludu Zeep. Geel olrk f(g())g ()d itegrlii ele llım. Dikkt ederseiz itegrt f( g( )) bileşke foksiou ile g( ) i türevii çrpımıd oluşuor. Bu durumd u = g( ) dersek du d = g () d du= g ()d Bölece itegrl f(u)du biçimie döüşür. f(u) u bir F(u) ilkeli vrs olur ve bu f(u)du= F(u)+c f(g())g ()d =F(g())+ c olduğuu verir. Bu itegrlde değişke değiştirme deir.
Temel Teoremler Temel Teoremler f Bur kdr belirli itegrl, belirsiz itegrl lm tekikleri hkkıd z d ols bir fikir edidiiz. Şimdi de sürekli bir f foksiou ile bu foksiou grfiğii sııırldığı l rsıdki ilişkii iceleelim. f sürekli bir foksio ve[, b] rlığı içideki her bir içi f() pozitif olsu.[, b] içideki bir içi f i grfiği ltıd[, ] rlığı üzerideki lı A( ) ile gösterelim. değiştikçe A( ), i bir foksiou Bu durumd A ()= f() Buu doğruluğuu şöle sezilemeiz mümküdür: Şekildeki trlı lı A( ) ile göstermiştik. sıfır çok kı pozitif bir sı olsu.[, b] içide i kdr hreket ettirelim. + oktsı gelelim. Bu durumd A() lı çok z bir büümele A(+ ) sısı eşit olcktır. Bu durumd A( + ) A( ) ice şeridi lı Bu şeridi çok çok küçük tuttuğumuzd lıı, klşık olrk tbı[, + ] rlığı ve üksekliği[, + ] rlığı içideki bir k oktsıı f(k) görütüsü ol dikdörtgei lı eşit olduğuu söleebiliriz. Bu durumu A() b Şekil 6.5: A() l foksiou f A() b f A(+ ) A() = f(k) biçimide zlım. Ack olduğud f(k) değerleri f() e klşcklrdır. Bu tm olrk; A A(+ ) A() ()= lim = f() olmsı demektir. Bölece ile b rsıdki her içi A ()= f() Sizce buu bir bşk lmı vr mıdır? A ()= f() eşitliğii sğl A() foksiou f() i bir ilkeli olur hocm. A(+ ) A() + b Şekil 6.6: A(+ ) A() şeridii lı f f(k) Brvo Egi. f() i diğer bir ilkeli F() olsdı, A() ile F() rsıd sıl bir ilişki olcktı? k + Şekil 6.7: A(+ ) A() = f(k) b
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL A() i F() e bir sbit sı ekleerek elde ediorduk. Yi A()= F()+ c zbiliorduk hocm. Çok güzel Zeep. A() = olduğuu d kullırsk A( ) = F( ) + c eşitliğideki c sısıı şöle hesplbiliriz: =A()= F()+c eşitliğide c= F() olur ve A()= F()+ c= F() F() zbiliriz. Bu ise bize f() i herhgi bir ilkelile A() l foksiouu bulubileceğii gösterir. Bölece f,[, b] rlığıd sürekli bir foksio ve F(), f() i bir ilkeli i F ()= f() ol bir foksio ise b f()d =F() = F(b) F() b olrk hesplbilir. Arıc bu zım f( ) i ilkellerii seçimide bğımsızdır. Şimdi ( )d itegrlii hesplbilirsiiz. Teorem (İtegrli Temel Teoremi) f, [, b] rlığıd sürekli bir foksio ve F, f i ilkeli ise b f()d =F(b) F() Dh öce bu itegrli tüketme metodu ile uzu uzu hesplmıştık hocm. Alttıklrıız göre f()= foksiouu herhgi bir ilkelii kullrk buu hesplbiliriz. f( ) i belirsiz itegrli f()d = ( )d = + c olduğud, c sısıı herhgi bir seçimi içi f( ) i bir ilkelii buluruz. Öreği c= lırsk F()= Burd; buluur. f()d =F() F()= + =
İki Eğri ile Sıırl Al İki Eğri ile Sıırl Al =g() Belirli itegrli kullrk iki eğri ile sıırl lı hesplbiliriz.[, b] rlığı üzeride sürekli ve bu rlık üzeride f( ) g( ) eşitsizliğii sğl f ve g foksiolrı verilsi. Foksio değerleri rsıdki bu eşitsizlik, f i grfiğii tmme g i grfiğii ltıd olduğuu söler. Bu iki grfik rsıdki l A dersek A sısı A= b belirli itegrli ile belirleebilir. g() f() d f()= ve g()= + foksiolrıı[,] rlığı üzerideki grfik prçlrıı rsıdki bölgei lıı hesplbilir misiiz? Hocm öce grfikleri çizelim ve foksiolrı durumlrıı belirleelim.[, ] rlığıdki tüm ler içi f()= < + = g() olduğuu söleebiliriz. Bu eğrilerle sıırlı l, A= (g() f())d = = ( + ( ))d ( + 5)d = + 5 = + 5 + 5 = + 5 =5 br A = f() b Şekil 6.8: b A= g() f() d g()= + 9 8 7 6 5 f()= A 5 Şekil 6.9: f() = ve g() = + foksiolrıı[, ] rlığı üzerideki grfik prçlrıı rsıdki bölgei lı =, = doğrulrı ile sıırlı bölgei lıı bulu bklım. Şimdi de ltt =, üstte -eksei ve lrd
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL A Öce probleme ugu şekli çizelim ve lıı bulcğımız bölgei trlım hocm.[, ] rlığıdki her içi foksiou değerleri egtif olduğud f()d itegrli trlı bölgei lıı egtif işretlisidir. O hlde l f( )d itegrlii egtif işretlisi Yi Al=A= f()d = ( + )d = ( + )d 7 = = + = 8 + 6 + = 6 Bir Sürekli Foksiou Ortlm Değeri edi? Söle bklım Egi, geçe döem mtemtik dersii sıvlrıd hgi otlrı ldı ve bulrı ritmetik ortlmsı 77, 8 ve 95 ldım ve bulrı ritmetik ortlmsı; 77+8+95 = 5 = 8 hocm. Güzel, o hlde iki, üç d solu sıd büüklüğü ritmetik ortlmsıı e lm geldiğii biliorsuuz. Peki sizce [, b] kplı rlığı üzeride sürekli ol bir foksiou ortlmsı e lm gelir? Belli oktlrdki değerlerii toplmıı, okt sısı bölümü lşılır değil mi hocm? [, b] rlığı sosuz elemlı olduğud, tm olrk bu değil, ck öce bu durumu ele lmk, geel durum içi bir fikir verebilir.[, b] rlığıı, = < < < < < = b
Bir Sürekli Foksiou Ortlm Değeri 5 oktlrıı kullrk eşit uzuluklu prç bölüp, her bir prçı üst uç oktlrıı ritmetik ortlmsı bklım. Alt rlıklr eşit uzuluğ shipti: = k = k k = b olcğıd = Bölece b f( )+ f( )+ + f( ) = [f( )+ f( )+ + f( )] = b [f( )+ f( )+ + f( )] = f( ) + f( ) + + f( ) b buluur. Peki i sıırsız büütsek i psk souç e olur? Souçt pdki ifde f foksiouu d b e belirli i- tegrli olur hocm. Bu d f i[, b] rlığı üzerideki ort- M lm değerii b olcğıı vermez mi? f()d b m m M b b Aferi Zeep, beklediğim cevp tm d budu.[, b] rlığı b f()d üzeride f sürekli ise f( )= eşitliğii sğl b e z bir oktsı vrdır. Buu sıl söleeceği hkkıd bir fikriiz vr mı? b m(b ) f()d M(b ) f( ) ortlm değer olduğud, foksiou[, b] rlığı içide ldığı e küçük değerde büük; e büük değerde de küçüktür hocm. Ack e olduğuu tm olrk bilemeeceğim. m b f()d b M
6 6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL f( ) f( ) Hklısı Egi. f i[, b] rlığıdki ortlm değerii vere i heme bulmız. Ack f i[, b] rlığı üzeride pozitif kbul edip, dki şekil ve çıklm rdımıl vrlığıı b heme söleebiliriz. Arıc f()d = f( )(b ) eşitliğide bir geometrik orumuu d pbiliriz. Nemiş bu geometrik orum hocm? b b Şekil 6.: f() foksiouu [, b] rlığı üzerideki f( ) ortlm değeri Buu Şekil 6. de heme görebilirsi: f i [, b] rlığı üzerideki f( ) ortlm değeri, şekildeki trlı bölgele ı l ship ol dikdörtgei üksekliğidir. Sürekli bir foksiou ortlm değerii ldık d hocm bu gülük htt erede krşımız çıkr? Sürekli bir foksio, m e b küçük ve M e büük değerleri rsıdki bütü değerleri lcğıd [, b] r- lığıd f( ) = f()d b ol oktsı vrdır ve b f()d = f( )(b ) Heme bir örek vereim Gökçe. Bir şehre su sğl bir brjı içideki su seviesi sürekli bir değişim gösterir. O hlde brjdki su seviesi zmı sürekli bir foksioudur. Su seviesii, sttlik, gülük, hftlık, lık d ıllık ortlmlrıı bilmek isteebiliriz. Buu d su seviesi foksiouu belirli itegrlii kullrk hesplbiliriz. Peki hocm, bir de sürekli bir foksiou ortlm değerii hesplmsı bir örek verirsek bu kouu tmme lmış olcğım. Mdem öle f()=( ) foksiouu[,] rlığı üzerideki ortlm değeri edir Gökçe? Hesplmı bir deeeim hocm. f( )= b b f()d = ( ) d itegrlii hesplcğım. u = dersek, du = d olcğıd, sğ dki itegrl u du= u f( )= ( ) Bölece u= eşitliğide = ( ) ( ) =
ÖZET 7 Aferi Gökçe. Şimdi bu ortlmı vere oktsıı bullım. f( )=( ) = =± =, = + biçimide hesplrız. + / [,] olduğud istee okt = ÖZET Bu bölümde mtemtiği e temel kvrmlrıd biri ol itegrl kvrmıı ele ldık. Öcelikle kvrmı temelii oluştur fikirleri kullrk, gülük ştımızdki bzı problemleri çözümleride sıl bir thmide bulucğımızı gösterdik. Bu fikirler rdımıl belirli itegrli tımldık. Belirli itegrl rdımıl l hesplmlrı bir giriş ptık. Dh sor belirsiz itegrli tımldık ve hesplm ötemleri üzeride durduk. Belirli itegrli, belirsiz itegrl kullılrk kolc hesplmsıı sğl, itegrli temel teoremlerii çıkldık. İki eğri ile sıırl bölgeleri llrıı belirli itegrl rdımıl hesplmsı üzeride durduk. So olrk d, sürekli bir foksiou ortlm değerii belirli itegrl kullılrk sıl hesplcğıı gösterdik. Şekil 6.: f()=( ) foksiouu[, ] rlığı üzerideki ortlm değeri
8 6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Okum Prçsı DELESSE KURALI L L Bir elm dlıd koprılır koprılmz içideki şeker işst döüşmee bşlr. Elm e kdr uzu bekletilirse o kdr işstlır. Tze elmlrı btlrd hem tdı hem de sertliklerie bkrk ırbiliriz. Bir elmd e kdr işst olduğuu bulmk içi çok ice bir dilimie mikroskop ltıd bkmk eter. Nişst teciklerii kesitleri çıkç görülebilecektir. Bu kesitleri llrıı gözlemlediğimiz dilimi kçt kçı olduğuu i orıı thmi etmek koldır. İki boutlu durumd elde edile bu or, kesilmemiş elmı içide bulu işst teciklerii hcmii elmı hcmie orıl ı olcktır. Orlrı bu sihirli eşitliği ilk olrk bir Frsız jeolog ol Achille Ertest Delesse trfıd 8 d keşfedilmiştir. Buu çıklmsı ise itegrller içi ortlm değer kvrmıl verilebilir. Öcelikle bir cismi içideki tecikli mddei cismi hcmie orıı bulmk isteelim. Bu cisimde bir kerı birim uzuluklu küp şeklide bir umue llım. Bu kübü bir kerıd eksei geçecek şekilde çizelim ve kübü rlığı dik düzlemlerle dilimlediğimizi vrslım. İlgileile tecikli mlzemei (öreği, elmdki işstı) oktsıdki düzlemsel dilimdeki kpldığı lı orı dielim. değiştikçe i sürekli bir foksiou rlığıı bir bölütüsü lırk kübü eterice ice dilimlere ırck olursk dilimideki tecikleri oluşturduğu küçük silidirik prçcıklr d çizile dik düzlemi içideki kesitlerie bezeecektirler. Dilimdeki tecikleri kesiti hcmie orı d d çizile dik düzlemde bulu tecik kesitlerii llrıı kesiti lı orı ol eşit olcktır. Bölece toplmı umue kübü tmmıdki tecikli mlzeme miktrıı verir. Bu foksiouu rlığı üzeride ldığımız bölütüe krşı gele üst toplmıdır. Bölütü sısı sosuz götürülürse L Bu ötem mühedislik ve tıpt hle kullılmktdır. Ugulmd çok sıd kesit lırk kesitlere krşılık gele değerleri ortlmsı lıır. R.L. Fie, G.B. Thoms, M.D. Weir, Clculus, d Editio, Addiso Wesle, 99, sf:7-8.
ÇIKARIN KAĞITLARI 9 ÇIKARIN KAĞITLARI. = f() foksiouu grfiği şğıd verilmiştir. Bu göre f()d itegrlii soucu şğıdkilerde hgisidir? A A = f() A 6. d itegrlii soucu şğıdkilerde hgisidir? A) + c D) + c B) + c E) C) + + c + + c 7. = f( ) foksiouu grfiği şğıd verilmiştir. Grfiğe göre f ()d itegrlii soucu şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 5 E) 9 5. = f() foksiouu grfiği şğıd verilmiştir. Bu göre soucu edir? f()d itegrlii. = f() ( )d itegrlii soucu şğıdkilerde hgisidir? A) B)8 C) 6. D) 8 E) ( + )d itegrlii soucu şğıdkilerde hgisidir? A) B)8 C)6 + D) 5. d d =? E) A) 6 B) 5 C) D) E) 8. Üstte = + prbolü ltt - eksei ve lrd = ve = doğrulrıl sıırlı bölgei lı kç br dir? A) 8 B) C) D) E) 9. f() = prbolü ile g() = 7 prbolü rsıdki bölgei lı kç br dir? A) B) C)8 D) E). [,] rlığı üzeride f()= foksiouu ortlm değerii buluuz. A) 5 B) 7 C) D) E) 5
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL Çözümler. f()d = A +A +A = + +. I. Yol: = + + = dir. Köşeleri(, ),(,.5),(, ) ol üçgei lı A ve köşeleri(,),(,),(,) ol üçgei lı A dersek II. Yol: f()d = A A = = İki oktsı bilie doğru deklemii kullrk f()= olduğu buluur. Burd d = = ( ) =.. ( )d = ( +)d = = 6 ( )= + + + = 6 + 5. d d = d ( )(+ ) = d = (+ )d = + + c buluur. 6. d = d d = + + c dir. 7. İtegrli Temel Teoremii kullrk f ()d = f() f( )=5 ( )= 6 elde edilir. 8. = +, -eksei, = ve = doğrulrı ile sıırlı bölgei lı A= 5 = + ( +)d = + = 8 + = br 9. Öce prbolleri kesişim oktlrıı - koorditlrıı hesplrsk, = ± buluruz. [,] ike 7 olduğud, A= [(7 ) ]d = (7 )d =7 = 8 7+ 8 7= 8. f()= ü[,] rlığı üzerideki ortlm değeri; b f( ) = f()d = d b = = 8 8= biçimide buluur. Bu ortlmı vere sısı d = = dur.