Eskşehr Osmagaz Üverstes Müh.Mm.Fak.Dergs C.XX, S., 7 Eg&Arch.Fac. Eskşehr Osmagaz Uversty, Vol..XX, No:, 7 Makale Gelş Tarh :.3.6 Makale Kabul Tarh : 3..6 RAYLEIGH DAĞILIMININ ARDIŞIK OLASILIK ORAN TESTİ Sevl BACANLI, Uygur KÖSE ÖZET: Webull dağılımıı özel br durumu ola Raylegh dağılımı, güverlk aalzde, haberleşme mühedslğ alaıda ve özellkle rüzgar hız dağılımı üzere yapıla çalışmalarda yaygı olarak kullaılmaktadır. Dağılımı Webull dağılımıa göre üstülüğü tek parametre le verlmesdr. Dağılımı ble br ktle parametres, Wald ı ardışık olasılık ora test kullaarak test edleblr. Test kullaımı ver ardışık olarak elde edldğ alalarda avataj sağlamaktadır. Bu çalışmada, Raylegh dağılımı ç Wald ı ardışık olasılık ora test kullaılableceğ gösterlmş ve rüzgar hızı verler üzerde br uygulama verlmştr. ANAHTAR KELIMELER: Raylegh dağılımı, Ardışık Olasılık Ora Test, Rüzgar Hızı. SEQUENTIAL PROBABILITY RATIO TEST OF RAYLEIGH DISTRIBUTION ABSTRACT: Raylegh dstrbuto, whch s a specal case of Webull dstrbuto, used wdely relablty aalyss, commucato egeerg ad especally studes based o wd speed. Advatage to Webull s, ths dstrbuto gve wth oly oe parameter. Parameter of a populato, whch the dstrbuto kow, ca be tested by usg Wald s sequetal probablty rato test. Area that the datas obtaed sequatally usg the test creates a advatage. I ths study, show that Wald s sequetal probablty rato test ca be used for Raylegh dstrbuto ad gve a applcato o wd speed data. KEYWORDS: Raylegh Dstrbuto, Sequetal Probablty Rato Test, Wd Speed., Hacettepe Üverstes, Fe Fakültes, İstatstk Bölümü, Beytepe, ANKARA.
I. GİRİŞ Meteorolojstler, verler meteroloj stasyolarıda veya hava alalarıda, hava tahmler yapmak amacıyla toplarlar. Rüzgar eerjs parkıa aday yerlerdek koşulları geel olarak değerledrmek amacıyla, rüzgar hızı ve rüzgar yöü blgler çok sık kullaılmaktadır. Gerçekte rüzgarı hızı hassas aletlerle ölçülmektedr. Aletlerle ölçme olaaksız olduğu durumlarda rüzgar, tahmsel olarak ölçülür.tahmsel rüzgar ölçümüde, Beaufort ölçeğ kullaılır. Ölçek doğrultusuda belrlee rüzgar hız (RH) (m/s) değşm aralıklarıda rüzgar taımlarıı yapmak mümküdür. Beauford rüzgar ölçeğ ç ölçek umarası(bn), değşm aralıkları ve rüzgar taımları Tablo de verlmştr []. Tablo. Beauford rüzgar ölçeğ. Elde edle rüzgar kayıtları, kalte kotrolü yapılarak statstksel çözümlemelerde kullaılmak üzere değerledrlmektedr. Değerledrmelerde, uzu döeml rüzgar kayıtlarıı elde etmek ayrıca farklı ste ve yükseklklerde rüzgar özelllkler belrlemek gerekr. Bu amaçla, rüzgar hızı dağılımı ç Webull ve Raylegh dağılımlarıı olasılık yoğuluk foksyolarıda yararlaılmaktadır[-]. Rüzgarı bell br peryotta değşm ve dağılımı, eerj üretm değerledrmelerde ve rüzgar edüstrsde çok öemldr. Eğer yıl boyuca rüzgar ölçülürse, geel olarak çok şddetl rüzgarları adre, ılımlı ve şddetl rüzgarları se daha çok ortaya çıktığı görülür.br ste ç rüzgar dağılımı ölçülerek veya ölçümlere dayalı değşk okta ve yükseklklerde Webull dağılımı le belrler. Dağılım, şekl ve ölçek parametreler le belrtlmektedr. Eğer Webull dağılımıı şekl parametres se dağılıma Raylegh dağılımı adı
3 verlr.acak uygulamalarda rüzgar hız dağılımları Raylegh dağılımıa göre verlr. Buu ede değşk yerlerdek rüzgar dağılımlarıı blmemesdr[]. Dağılımı ble br ktle parametreler, Wald ı ardışık olasılık ora test (AOOT) kullaılarak test edleblr. Lteratürde çestl dağılımları parametreler test etmek ç AOOT öerlmştr[3]. Öreğ Webull dağılımıı ölçek parametres AOOT Sharma &Raa [4], şekl parametres test se Ba&Egelhardt [5-6] tarafıda öerlmştr. Bu çalışmada se AOOT Raylegh dağılımıı ölçek parametres test etmek ç kullaılableceğ gösterlmş ve test plaı ç gerekl eştlkler elde edlmştr. II. RAYLEİGH DAĞILIMI İÇİN ARDIŞIK OLASILIK ORAN TESTİ II. Raylegh Dağılımı Webull dağılımı üstel dağılım alesde ola sürekl br dağılımdır. Webull dağılımlı X raslatı değşke olasılık yoğuluk foksyou, k k k f ( ;, k) ep ; >, >, k > () dır. Burada, ölçek parametres ve k se şekl parametresdr. Dağılımı beklee değer ve varyası, E ( X) Γ( + k ) ( ) Γ( + k ) [ Γ( + k )] V X () (3) olarak fade edlmektedr. Burada Γ (). gamma foksyoudur. Dağılımı şekl parametres e çok olablrlk tahm, kˆ,
4 kˆ kˆ kˆ l l (4) ve ölçek parametres e çok olablrlk tahm; ˆ, se ˆ kˆ le fade edlmektedr [6-7]. / kˆ Webull dağılımıda şekl parametres k se, dağılım Raylegh dağılımı olarak adladırılır. Bu durumda Raylegh dağılımıa sahp X raslatı değşke olasılık yoğuluk foksyou,eştlk () de (5) ( ) f ; ep,, >, dır. Dağılımı beklee değer ve varyası se, > (6) + ( X) Γ E (7) ( ) Γ( ) V X bçmde taımlaır. - Γ + (8) II. Test İstatstğ Çıkarımı Raylegh dağılımı ölçek parametres, test edlmek stedğde hpotezler, H H : : ( < ) (9) bçmde kurulablr.
5 AOOT de test statstğ, olablrlk oraıda yararlaılarak bulumaktadır. Eştlk (6) da, Raylegh dağılımı ç olablrlk oraı, ( ) ( ) ' ep ep, f, f L () bçmde taımlaır. İşlemlerde kolaylık sağlaması açısıda () eştlğ logartması alıır ve gerekl sadeleştrmeler yapılırsa, test statstğ, Z, ll Z ep ep l Z l () olarak taımlaır. Z se, l Z () bçmdedr. Z değer la ve lb değerler le karşılaştırılarak aşağıdak üç kararda bre ulaşılır.
6. Z l B verlr.. Z l A verlr. se H hpotez kabul edlerek sürece so se H hpotez reddedlerek sürece so 3. l B Z l A se gözlemler yeterszlğe karar verlp, br gözlem daha lave edlerek sürece devam edlr. Burada, α, brc tp hata olasılığı, β se kc tp hata olasılığı olmak üzere, B β α ve A β α dır [8]. II.3 Karakterstk İşlem Foksyou Karakterstk şlem foksyou, P ( ), H hpotez kabul edlme olasılığıdır ve P ( ) h h A A h (3) B bçmde taımlaır. Burada, h dır. Wald ı öerdğ yöteme göre, f E f ( ; ) ( ; ) h olacak şeklde parametres elde edlmes gerekr. X raslatı değşke sürekl olduğuda bu fade, ( ;) ( ; ) h + f f( ;) d f (4) (5) dır. İtegral soucu ya göre düzeledğde,
7 h h ( ) (6) bçmde elde edlr [4], [8]. Bu eştlk yardımıyla, h değerler ç parametres değerler buluur ve P ( ) değerler hesaplaablr (Tablo ). Tablo. AOOT ç çeştl h değerlerde ve P () değerler. h - + ( ) P β α II.4 Ortalama Öreklem Sayısı Foksyou AOOT de öreklem büyüklüğü(), test süresce değşe br raslatı değşkedr. Dolayısıyla öreklem büyüklüğüü beklee değer ı br foksyoudur ve E ( ;) P ( ) l B+ ( P( ) ) E( Z;) l A (7) bçmde taımlaır [8]. Raylegh dağılımı ç, eştlk () de, Z l
8 E X Γ olarak buluur. dır. Eştlk (7) ve (8) de se ( ) ( ) Dolayısıyla test statstğ beklee değer, ( ) Z; l E (8) bçmde yazılablr. Test ç gereke ortalama öreklem sayısı foksyou H hpotez doğru ke, ( α) l B+ α l A E ( ;) (9) l H doğru ke se, ( β) βl B+ l A E ( ;) () l bçmde verleblr. III. UYGULAMA Bu kesmde 99-99 yılları arasıda Bursa lde hava krllğe etk ede etkeler araştırmak üzere meteoroloj müdürlüğüde elde edle verlerde 99 Kasım-Aralık ve 99 Ocak-Şubat-Mart aylarıa at rüzgar hızı verler üzerde çalışılmıştır [9].Verler Ek-A da verlmştr. Lteratürde, rüzgar hızı verler Webull ve Raylegh dağılımlarıa uyguluğu geellkle K-kare ( χ ) veya Kolmogrov-Smrov test le gerçekleştrlmektedr [], [-].
9 Bu çalışmada da, kullaıla rüzgar hızı verler Webull ve Raylegh dağılımlarıa sahp olup olmadığıı celemek ç Mathwave yazılım frmasıı Easy-Ft programıı. versyou kullaılmıştır[]. Program yardımıyla, 5 ayı verler ç Kolmogrov-Smrov (KS) ve Aderso-Darlg (AD) test statstkler hesaplamış veα.,.5,. ç test krtk değerler Tablo 3 te verlmştr. Tablo 3. Kolmogrov-Smrov ve Aderso-Darlg test souçları. KS Test İstatstğ AD Test İstatstğ Aylar Webull Raylegh Webull Raylegh Kasım(99)..44.733.74 Aralık(99).3.3.598.576 Ocak(99).6.7.774.739 Şubat(99).4.5.44.3 Mart(99).9.9.599.744 α..5...5. Krtk Değer.3.48.98.99.5 3.98 Tablo 3 de verle test souçlarıda, 5 ay ç rüzgar hızı verler Webull ve Raylegh dağılımlarıa sahp olduğu söyleeblr (Test statstğ<krtk değer). Aderso-Darlg test souçlarıda, Mart ayı harç verler Raylegh dağılımıa daha y uyum sağladığı söyleeblr( Test İst. < Test ). Raylegh İst. Webull Çalışmada, ayrıca aylara lşk rüzgar hız verler dağılımıa at parametreler Easy-Ft programı kullaılarak elde edlmştr ve Tablo4 de verlmştr. Tablo 4. Aylara lşk rüzgar hız verler Webull dağılımıa lşk k ve Parametreler. AYLAR Kasım Aralık Ocak Şubat Mart k.7.48.843.363.69 4.439 8.89 8.8 6.58 8.363
Tablo-4 te görüldüğü gb ölçek parametres mart ayı dışıda tüm aylarda k olarak bulumuştur. Raylegh dağılımı ç AOOT şleyş göstermek amacıyla Ocak-99 rüzgar hızı verler kullaılmıştır. Tablo-de verle rüzgar hız taımlarıda yararlaarak Ocak ayı ç hpotezler, H : 8. : H 5.5 ve hata olasılıkları se α β. 5 olarak belrlemştr. Belrlee hpotez ve hata olasılıklarıda ortalama öreklem büyüklüğü eştlk (9) ve () de E ( ;8.) 7 ve E ( ;5.5) la ve lb -.944 Burada.944 sora H hpotez kabul edlerek testte so verlr. dr. AOOT souçları Tablo 5 te verlmştr. tür. Dolayısıyla gözlemde Tablo 5. α. 5, β. 5, 8., 5. 5 ç AOOT souçları. V.SONUÇLAR AOOT le dağılımı ble br ktle parametres test edleblr ve teste başlamada öce ortalama öreklem büyüklüğü, α, β hata olasılıkları ve kurula hpotez ç hesaplaablr. Test bu özellğde dolayı, uygulamalarda zama ve malyet açısıda tasarruf sağlamaktadır. Meterolojk gözlem çalışmalarıda rüzgar hızı ve rüzgar yöü verler cok sık kullaılmaktadır. Rüzgar yöü verler açısal gözlemlerde oluşmaktadır.dolayısıyla rüzgar yöü dağılımı ç Vo-Mses dağılımda yararlaılmaktadır[3].gadsde&kaj [4], Vo-Mses dağılımıı kullaarak ortalama yö ç AOOT gelştrmştr. Rüzgar hız dağılımı se Raylegh dağılımıa sahptr. Bu çalışmadada, Raylegh dağılımıı AOOT elde edlmş ve test plaı ç gerekl karakterstk şlem ve ortalama öreklem sayısı foksyoları verlmştr.
KAYNAKLAR []Youth for Habtat Türkye, http://www.youthforhab.org.tr/tr/yayılar/eerj/ruzgar/olcumler.html [] E.K.Akpıar ad S.Akpıar, A Statstcal aalyss of wd speed data used stallato of wd eergy coverso systems, Eergy Coverso&Maegemet, Vol.46, pp.55-53, 5 [3] Ü.Kemerkaya ve S.Bacalı, Yaşam testde kullaıla Üstel ve Webull Dağılımlarıı ardışık test, Aadolu Üverstes Blm ve Tekoloj Dergs, Clt.7, Sayı., ss.65-74, 6. [4] K.K.Sharma, R.S.Raa ad R.K.Bhuta, Estmatg epected watg-tme Webull SPRT, Relablty Egeerg ad Systems Safety, Vol.39, pp.9-, 993. [5] L.J.Ba ad M.Egelhardt, Sequetal probablty rato tests for the shape parameter of a ohomogeous posso process, IEEE Trasactos o Relablty, Vol.3, pp.79-83, 98. [6] L.J.Ba ad M.Egelhardt, Statstcal Aalyss of Relablty ad Lfe- Testg Models-Theory ad Methods, d Ed, Marcel Dekker Ic. New York, 99. [7] A.N.Çelk, Statstcal aalyss of wd power desty based o the webull ad raylegh models at the souther rego of Turkey,Reewable Eergy, Vol.9, pp.593-64, 3. [8] A.Wald, Sequatal Aaylss, J.Wley ad sos.new York, 947. [9] M.Cada ve A.Erar, Doğrusal regresyo çözümlemesde sağlam kestrcler ve çoklu bağlatılı verlerde uygulamalar, Hacettepe Fe ve Mühedslk Blmler Dergs, ss.67-78, 996. [] A.N.Çelk, O the dstrbutoal parameters used assessmet of the sutablty of wd speed probablty desty fuctos, Eergy Coverso&Maegemet,Vol.45, pp.735-747, 4. [] V.Yılmaz, H.Aras ad H.Çelk, Statstcal aalyss of wd speed data, Eskşehr Osmagaz Üverstes Müh.Mm.Dergs C.XVII, Sayı., ss.45-54, 5.
[] MathWaveTechologes,EasyFtVersyo.,http:// www.mathwave.com, 4,5 (ücretsz deeme sürümü) [3] Ö.K.Peker ve S.Bacalı, Daresel verlere uygulaa taımlayıcı statstksel yötemler ve meterolojk Uygulama, Aadolu Üverstes Blm ve Tekoloj Dergs, Clt5,Sayı, ss.5-, 4. [4] R.J.Gadsde ad G.K.Kaj, Sequatal aalyss for agular data, The Statstca, Vol.3,No, pp.9-9, 98. EK-A Rüzgar Hızı Verler (m/s) Kasım Aralık Ocak Şubat Mart 7. 6. 3. 3. 4. 9. 7. 5. 7. 3. 7. 6. 4. 3. 4. 4. 3. 6. 6. 9. 3. 3. 5. 3. 7. 5. 4. 4. 6. 7. 4. 9.. 6. 6.... 4. 9.... 4.. 3. 4.. 4... 8. 7. 4. 9. 4. 9. 3. 4. 8.. 6. 8. 3. 4. 3... 4. 8.. 3. 3. 8. 9.. 9. 4. 4. 6. 4... 3.... 5. 6.. 6. 3.. 7. 7.. 9. 5. 5. 8. 3. 3.. 7. 7. 3. 9... 5. 4. 4. 6.. 4. 5. 4. 9. 6. 6. 4. 4.. 4. 5. 4. 4... 4. 5.. 7. 3. 6. 5... 4. 5. 5. 5.. 7. 3. 3.. 5. 4. 4. 4.