LOGARİTMA ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu. Kazanım : Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar.. Kazanım : Üstel fonksiyonların birebir ve örten olduğunu gösterir.. Kazanım : Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyonunun tersi olarak kurar. 4. Kazanım : Onluk logaritma fonksiyonunu ve doğal logaritma fonksiyonunu açıklar. 5. Kazanım : Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gösterir ve uygulamalar yapar. Üslü ve Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler. Kazanım : Üslü ve logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
LOGARİTMA ÜSTEL FONKSİYON 9. sınıfta üslü ifadeler ve özelliklerini öğrenmiştik. Bu özellikleri bir kez daha hatırlayalım. a, b R + {} ve, y R olmak üzere, a.a y = a +y a.b = (a.b) (a ) y = a y a a y = a y a b a = b l a b = a Şimdi de üstel fonksiyonu tanımlayalım. a R + {} ve R olmak üzere, f: R R +, f() = a fonksiyonuna, tabanı a olan üstel fonksiyon denir. f() =, g() = (v) ve h() = c m fonksiyonlarının her biri, birer üstel fonksiyondur. Bu fonksiyonlardan f() = y = fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım. f() = y = fonksiyonu için e bazı değerler verip, y değerlerini bulalım. = için, y = = 4 = için, y = = = 0 için, y = 0 = = için, y = = = için, y = = 4 olur. O halde, y = fonksiyonunun grafiği c, m, c, m, (0, ), (, ) ve (, 4) noktalarından geçmektedir. 4 Reel sayıların tümünü y = fonksiyonunda yerine yazıp y değerlerini bularak düzlemde işaretleseydik yukarıdaki grafiği elde ederdik. Bu grafiği incelediğimizde; R için, y = > 0 olduğunu görürüz. değerleri büyüdükçe, y değerlerinin büyüdüğünü görürüz. O halde, f() = fonksiyonu artan bir fonksiyondur. e verilen farklı değerlerin fonksiyondaki görüntüleri de farklıdır. Yani,, R, için f( ) f( ) dir. O halde, f() = fonksiyonu bire bir fonksiyondur. y R + için, = y eşitliğini sağlayan bir değeri vardır. O halde, f() = örten fonksiyondur. 8
f() = y = c m fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım. = için, y = c m = = için, y = c m = 4 = 0 için, y = 0 c m = = için, y = c m = = = için, y = c m olur. 4 O halde, y = c m fonksiyonunun grafiği, (, 4), (, ), (0, ), c, m, c, m noktalarından geçmektedir. 4 Bulduğumuz bu grafiği incelediğimizde; R için y = c m > 0 olduğunu görürüz. değerleri büyüdükçe, y değerlerinin küçüldüğünü görürüz. O halde, f() = c m fonksiyonu azalan fonksiyondur., R, için f( ) f( ) dir. f() = c m fonksiyonu bire bir fonksiyondur. y R + için c m = y eşitliğini sağalayan bir değeri vardır. O halde, f() = c m örten fonksiyondur. a R + {} olmak üzere, f: R R +, f() = a fonksiyonu a > için artan fonksiyon, 0 < a < için azalan fonksiyondur. f() = a fonksiyonu bire bir ve örtendir. Üstel fonksiyonların özellikleri yardımıyla bir çok denklemin çözüm kümesini elde edebileceğimizi biliyoruz. Aşağıda bu denklemlere bazı örnekler verilmiştir. = 6 = 4 = 4 4 = 6. ( ) = 4. = 4+ = 4 + = 6 = 4 + + + = 8 +. +. = 8. 7 = 8 = 8 = = Ancak = 5, =, 5 = 6 gibi denklemleri sağlayan değerlerini üslü ifadelerin kuralları yardımıyla bulamayız. Bu tür denklemlerin çözüm kümelerini bulmak için yeni bir fonksiyon olan logaritma fonksiyonunu tanımlayacağız. 8
LOGARİTMA FONKSİYONU f: R R +, a R + {} için f() = a fonksiyonunun bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunu öğrendik. O halde bu fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. a R + {} ol mak üze re, f: R R +, f() = a fonk si yo nu nun ters fonk si yo nu na, a ta ba nı na gö re lo ga rit ma fonk si yo nu de nir. f: R + R, f() = log a biçiminde gösterilir. Bu tanıma göre, y = a = log a y dir. Yandaki şema incelendiğinde, üstel fonksiyonun verilen belli bir tabana üs koyma işlemi, logaritma fonksiyonunun ise verilen belli bir tabana göre üs indirme işlemi olduğu söylenebilir. y = log a eşitliğini, y eşittir a tabanına göre logaritma biçiminde okuruz. Bu eşitlikte, sayısının pozitif gerçek sayı a sayısının den farklı bir pozitif gerçek sayı y sayısının bir gerçek sayı olduğuna dikkat ediniz. Örneğin, log 6 ifadesinin değerini, sayısının hangi üssü 6 dır? biçiminde düşünerek bulabiliriz. Bu durumda, 4 = 6 olduğundan log 6 = 4 sonucuna ulaşabiliriz. Benzer şekilde, log 7 = eşitliğini sağlayan değerini bulmak için, sayısının hangi üssü 7 dir? sorusuna cevap bulmalıyız. = 7 olduğundan log 7 = olur. Bu durumu daha sade olarak a b = c b = log a c biçiminde ifade edebiliriz. Örneğin, 4 = 6 log 6 = 4, = 9 log 9 =, 0 = 000 log 0 000 =, = log = tür. 8 8 ÖRNEK Aşağıda bazı logaritmalı ifadeler, üstel biçimde yazılmıştır. İnceleyiniz. log = 5 = 5 = ÖRNEK log (log ) = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. log 5 = = 5 = 5 log 7 = 0 = 7 0 = log = log = 4 = 4 ^ h = 9 84
ÖRNEK log 4 [ + log ( )] = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 6 Aşağıda a b = c log a c = b eşitliğinden yararlanılarak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanılarak yazılmıştır. İnceleyiniz. = log = = 5 log 5 = = 0 log 0 = = + log 0 5 + = log 5 = + = (log 5 ) olur. ÖRNEK 4 f() = log ( ) olduğuna göre, f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 7 f() = ise f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 5 f() = [log ( + )] olduğuna göre, f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 8 f() = ise f () fonksiyonunu bulunuz. 85
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİNİ BULMA f() = log a fonksiyonunda a R + {} ve R + olduğundan bu fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulurken, a > 0, > 0 ve a koşullarını birlikte sağlayan aralıklar bulunur. ÖRNEK f() = log ( ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 f() = log ( 4) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK 0 f() = log (9 ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK f() = log( m + 4) fonksiyonu R için tanımlı bir fonksiyon ise m nin değer aralığını bulunuz. ÖRNEK f() = log 4 ( ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 86
ÖRNEK 4 f() = log ( 5 9) + log c m + fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU Tabanı 0 olan logaritma fonksiyonuna, onluk ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU logaritma fonksiyonu denir. f() = log 0 veya f() = log biçiminde gösterilir. ÖRNEK 5 Aşağıda a b = c log a c = b eşitliğinden yararlanılarak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanılarak yazılmıştır. İnceleyiniz. 0 0 = 0 = 0 0 = 00 log 0 00 = 0 = 000 log 0 000 = 0 = 0 0 = 00 ETKİNLİK Okyanus coğrafyası (oşinografi) alanındaki araştırmalar sonucunda, plajın eğimi ile üzerindeki kum taneciklerinin büyüklüğü arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmıştır. Plajın eğimi: m, Kum taneciklerinin ortalama çapı: d mm olmak üzere, m = 0,59 + 0,8.logd bağıntısı vardır. Örneğin, kum taneciklerinin ortalama çapı: 0, mm olan bir plajın eğimini hesap makinesi yardımıyla m = 0,59 + 0,8.log(0,) 0,59 + 0,8.( 0,99) 0,59 0,05 0,4 bulunur. Benzer şekilde işlem yaparak aşağıdaki tabloyu siz doldurunuz. Çap (d) 0,08 mm 0,6 mm mm 5 mm Kum türü nce kum Kal n kum Çok iri taneli kum Çak l Plaj n e imi (m) 87
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU e Sayısı Bir çok bilim dalında ve mühendisliklerde yaygın olarak kullanılan e sayısı da π sayısı gibi irrasyonel bir sayıdır. Bu sayıyı kimin bulduğu tam bilinmesede Euler in bulduğu kabul edilmektedir. Dolayısıyla e, Euler Sayısı olarak adlandırılmıştır. Euler c + m ifadesinin, sonsuz büyüdüğünde,78888459... sayısına yaklaştığını tespit etmiş ve bu sayıyı virgülden sonraki ondalığa kadar hesaplamıştır. Hesap makinesi yardımıyla doldurulan aşağıdaki iki tabloyu inceleyiniz. + + 0,597446 0,8679799 00,704889 00,799906 000,7699 000,79646 000 000,7880 000 000,788758 000 000 000,78887 000 000 000,78887 Bu iki tabloda, sayısının alacağı çok büyük pozitif ve çok küçük negatif değerler için c + m ifadesinin bir sayıya yaklaştığı görülmektedir. Bu sayı e sayısı olup e =,788884590455608747... dir. Tabanı e olan loga rit ma fonk si yo nu na, doğal lo ga rit ma fonk siyonu denir. f() = lo g e ve ya f() = ln bi çi min de gös te ri lir. Leonhard Euler (707-78) İsviçre li matemmatikçi ve fizikçi. 8. Yüzyıl ın en önemli ve tüm zamanların önde gelen matematikçilerinden biri kabul edilmektedir. Euler matematiğin neredeyse bütün dallarında çalışmıştır. Temel analiz, grafik teorisi ve şu anda inşaat, elektrik ve havacılık mühendisliklerine temel teşkil eden matematiğin fiziksel uygulamalarının bir çoğunun kurucusu olmuştur. 88
ALIŞTIRMALAR. 0 4. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde değerini bulunuz. a. = y = b. = v Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz noktaları analitik düzlemde işaretleyerek f: R R +, f() = fonksiyonunun grafiğini elde ediniz. c. + + = d. + + + =... e. + + + 4+ 4+ = 7 5 f. 9 = 4 Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz noktaları analitik düzlemde işaretleyerek f : R R +, f() = c m fonksiyonunun grafiğini elde ediniz. 5. Aşağıdaki logaritmalı ifadelerin her birini, üstel biçimde yazıp değerlerini bulunuz. a. log = 4 b. log = c. log 8 =. a R + {}, y R + ve R olmak üzere aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. f() = a fonksiyonu bire bir dir. d. log = 9 e. log = 6 f() = a fonksiyonu örten değildir. a > için, f() = a artan bir fonksiyondur. f. log 5 = 0 < a < için, f() = a azalan bir fonksiyondur. g. log = 89
6. log (log ) = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz.. Aşağıdaki üstel ifadelerin her birini logaritma kullanarak yazıp değerlerini bulunuz. a. = b. 5 = 7. log [log (log 4 )] = 0 eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. c. 0 + = 4 d. = 5 8. log [5 + log ( )] = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz.. Aşağıdaki fonksiyonların her birinin ters fonksiyonlarını bulunuz. a. f() = + b. f() = 9. log[log (ln)] = 0 eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. 0. Aşağıdaki fonksiyonların her birinin ters fonksiyonlarını bulunuz. c. f() = 5 5 d. f() = +. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a. f() = log 8 ( ) a. f() = log b. f() = log 4 ( + ) b. f() = log ( + ) c. f() = log(6 ) c. f() = log ( ) d. f() = log ( 5) e. f() = log 5 ( ) d. f() = + log( ) f. f() = log ( 8 9) 90
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ a R + {} olmak üzere, log a a = dir. ÖRNEK 8 log 4 = log =.log =. = a = a log a a = bulunur. log = log = log 9 =. = ÖRNEK 6 log = log0 = log 0 0 = logc0 = log 0 = log0 =. = log000 = log0 =.log0 =. = lne = log e e = dir. 9 log = log = log = log = a R + {} olmak üzere, log a = 0 dır. a 0 = log a = 0 bulunur. lne =.lne =. = e ln = lne = lne =.lne = e ÖRNEK 7 log = 0 log = 0 ln = 0 log = 0 dır. a R + {} ve, y R + olmak üzere, log a (.y) = log a + log a y dir. log a = k ve log a y = p olsun. log a = k = a k ve log a y = p y = a p olup R +, a R + {} ve n R olmak üzere, log a n = n.log a tir..y = a k.a p.y = a k+p bulunur..y = a k+p log a (.y) = k + p log a n = k ve n.log a = p olsun. log a n = k n = a k... (I) p n.log a = p log a = n p = a n n = a p... (II) I ve II eşitliklerinden n n = a = a k p 4 a k = a p k = p dir. k = p log a n = n.log a bulunur. log a (.y) = log a + log a y olur. ÖRNEK 9 log = ve log = y ise log nin ve y cinsinden değerini bulunuz. 9
ÖRNEK 0 loga =, logb = 4 ve logc = ise log(a.vb.c ) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 4 ln = ise ln8e ifadesinin eşitini bulunuz. a R + {} ve, y R + olmak üzere, log a = loga log y a y dir. log a = k ve log a y = p olsun. log a = k = a k ÖRNEK log a y = p y = a p olacağından log + log + log5 ifadesinin eşitini bulunuz. y k a = = a k p dir. ap = a k p y loga = k p y log a = log a log a y olur. y ÖRNEK 5 ÖRNEK log abc a + log abc b + log abc c ifadesinin eşitini bulunuz. log = ise log5 in cinsinden değerini bulunuz. log5 = log, log = log5 ÖRNEK log + log 8 + log 9 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 4 log =, log = y ve log7 = z ise log ifadesinin 49 eşitini bulunuz. 9
ÖRNEK 7 log logy + logz logt ifadesini tek bir logaritma altında yazınız. ÖRNEK log =, log 5 = y ve log 7 = z ise log 40 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 log = a, logy = b ve logz = c ise log y z ifadesinin eşitini bulunuz. Taban Değiştirme Kuralı a, c R + {} ve b R + olmak üzere, logc b log a b = log a c dir. log a b = k ve log c a = p olsun. log a b = k a k = b log c a = p c p = a c p = a (c p ) k = a k c p.k = b olur. ÖRNEK 9 + log log ifadesinin eşitini bulunuz. c p.k = b log c b = p.k log c b = log c a.log a b logc b log a b = log a c bulunur. ÖRNEK log = ise log 8 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 0 log + log 5 ifadesinin eşitini bulunuz. 9
ÖRNEK log 8 7 = ise log ifadesinin cinsinden değerini bulunuz. a, b R + {} olmak üzere, log a b = log b a Taban değiştirme özelliğine göre, log log a b = log b b dır. b = bulunur. a log a b ÖRNEK 6 + ifadesinin eşitini bulunuz. log 6 log 6 4 9 ÖRNEK 4 Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. log log 4 = log 4 log 4 In4 = = log In ÖRNEK 7 + + ifadesinin eşitini bulunuz. log 70 log 70 log 70 7 5 log 5 log7 5 In5 log5 = = = log 0 log 0 In0 log ln7 = log 5 5 7 log 7 = e log e 7 ÖRNEK 8 ÖRNEK 5 log In + ifadesinin eşitini bulunuz. log 6 In6 + log ifadesinin eşitini bulunuz. 94
a R + {}, b R + ve n R n n a log a b = loga b ve log a b = log b dir. olmak üzere, log a nb = loga b dir. n ÖRNEK 40 Taban değiştirme özelliğine göre, log a nb = loga b loga b log a n = n. loga a a log 4 9 = log log 8 7 = log loga b = = loga b n n olur. log v = log loga nbm = n m loga b log = log 5 a, b, c,... p, k R + {} olmak üzere, log a b.log b c.log c d... log p k = log a k dır. ÖRNEK 9 log 4 = log = log =. = log v 9 = log / log a b.log b c.log c d... log p k log b log c log d = log k log a log b log c log p log k = = loga k bulunur. log a 4 log = log ÖRNEK 4 log.log 5.log 5 6 ifadesinin eşitini bulunuz. log 0, 5v5 = log ÖRNEK 4 log 5.log v5 49.log 7 v ifadesinin eşitini bulunuz. 7 log 4 = log 8 9 95
ÖRNEK 4 log = a ve log 5 = b ise log ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz. ÖRNEK 45 log = log a = log a = a log 4 5 = log v4 c5 = log 5 = 5 0 log = e ln5 = 5 0 +log = 0.0 log = 0. = 0 e ln = e.e ln = e.e ln = e. = In = log ÖRNEK 44 log v 4 = a ve log 9 = b ise log ab 4 ifadesinin eşitini bulunuz. a, b, c R + {} olmak üzere, a log b c = c log b a dir. log b c.log b a = log b a.log b c log b a log b c = log b c log b a a log b c = c log b a bulunur. ÖRNEK 45 log + log = 8 ise değerini bulunuz. a R + {} ve b R + olmak üzere, a log a b = b dir. a log a b = log a b = log a b = olur. O halde, b = a log a b elde edilir. 96
ÖRNEK 46 f() = log ( ) ise f () fonksiyonunun eşitini bulunuz. ÖRNEK 49 f() = ise f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 47 f() = log( ) + fonksiyonunun tersini bulunuz. ÖRNEK 50 f() = 0 ise f () fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK 5 f() = e + fonksiyonunun tersini bulunuz. ÖRNEK 48 f() = ln( ) fonksiyonunun tersini bulunuz. 97
ÖRNEK 5 f() = log ( ) + ise f (5) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 55 f() = 6 + log ise (fof)(7) kaça eşittir? ÖRNEK 5 f() =. + olmak üzere, f (7) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 56 f() = log ve (fog)() = olduğuna göre, g (8) nedir? ÖRNEK 54 f() = ln( + n) ve f ( ) = olduğuna göre, n kaçtır? 98
ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki ifadelerden her birini sonuçlandırınız. a. log 6 + log v + log 0. log = ve log = y ise aşağıdakilerin her birinin ve y cinsinden değerlerini bulunuz. a. log8 b. log 4 log5 5v5 b. log0,4 c. lnve + ln e lne c. log600 d. log0 log 0 + log000 d. log75 e. log0, + log0,00 log00 6 e. log 7. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız. log( + y) = log.logy 4. log [log (5 log 5 65)] ifadesinin eşitini bulunuz. log(.y) = log + logy logc m = log logy y log = log logy log y log n = n.log 5. log 5 + 4log v + ifadesini tek bir logaritma cinsinden yazınız. log.y n = n.log.y (log) n = n.log a 6. log (a.b) = ve log = 4 ise a + b kaçtır? b 99
7. log = ise log 8 54 ifadesinin cinsinden değerini bulunuz.. Aşağıdaki işlemlerin her birini sonuçlandırınız. a. log b. 4 log 5 c. log 9 8. log a b a.log b a = 6 ise a kaçtır? d. 0 log e. e ln5 f. e +ln 9. log v v6.log v v.log v6 8 ifadesinin eşiti kaçtır? 4. log 4 (+) = v5 ise kaçtır? 0. log = 0,00 ise log65 in değerini bulunuz. 5. log 5! = a ise log 6! ifadesinin a cinsinden değerini bulunuz.. log5 = a ise log 0, 0004 ifadesinin eşitini bulunuz.. log 4.log 4 5.log v5 = ise kaçtır? 6. log + log + log +... + log 99 4 00 ifadesinin eşiti kaçtır? 00
7. log 4 9 = 9 4 ise kaçtır?. f() = + log ise (fof)() kaçtır? 8. a = b ise log 6 7 ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz. + log( ) 4. f() = bulunuz. ise f () fonksiyonunu 9. log = a ise log 6 ifadesinin a cinsinden de- ğerini bulunuz. 5. f() = + e ve g() = ln ise (fog )() kaçtır? 0. e ln( ) = log ( + log 7) eşitliğini sağlayan değeri kaçtır? 6. f() = ln(e ) ise f () fonksiyonunu bulunuz.. f() = e ise f (e ) kaçtır? 7. log 5 = ise log 8 5 ifadesinin cinsinden değerini bulunuz.. f() = log ( ) ise f ( ) kaçtır? 8. f() = log ( + ) ve g() = log ( ) ise (gof )(0) kaçtır? 0
Bir Gerçek Sayının Logaritmasının Hangi İki Ardışık Tam Sayı Arasında Olduğunu Bulma ÖRNEK 57 Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulunuz. a. log 40 b. log 4 c. ln4 d. log70 e. log57 f. log0,004 g. log0,00 h. log0,0000 Bu sonuçlara göre, den büyük bir sayının onluk logaritması pozitiftir. 0 ile arasındaki bir sayının onluk logaritması negatiftir. den büyük bir sayının onluk logaritmasının tam kısmı, sayının tam kısmının eksiğine eşittir. 0
0 ile arasındaki bir sayının onluk logaritması, ondalık yazılışta, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısının eksiğinin negatif işaretlisidir. Bu sonuçlara göre doldurulmuş aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. ÖRNEK 59 log = 0,00 ise 0 sayı olduğunu bulunuz. Logaritma sayısının kaç basamaklı bir Onluk say n n logaritmas Onluk logaritman n tam k sm log4 0 log log97 log756, log457 log00,6 log0,06 4 ÖRNEK 60 log = 0,00 ise 40 40 sayısı kaç basamaklı bir sayıdır? log0,0000 log0,0000 Bu tablodan aşağıdaki sonuçlara da ulaşabiliriz. den büyük bir sayının tam kısmının kaç basamaklı olduğunu bulmak için sayının logaritması alınır ve çıkan sayının tam kısmına eklenir. 0 ile arasındaki bir sayının onluk gösterimindeki sıfırdan farklı ilk rakamının solunda kaç sıfır olduğunu bulmak için sayının logaritması alınır ve çıkan sayının mutlak değerinin tam kısmına eklenir. ÖRNEK 6 log = 0,00 ise log80 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 58 log = 6, ise sayısı, 6 + = 7 basamaklı bir sayıdır. log = 5,46 ise sayısı 5 + = 54 basamaklı bir sayıdır. 0
ÖRNEK 6 log7,5 = a ise log0,75 ifadesinin a cinsinden değerini bulunuz. f() = lo g a fonk si yo nu a > için ar tan fonk siyon 0 < a < için azalan fonksiyondur. ÖRNEK 65 a = log, b = log 4, c = log 8 sayılarını karşılaştırınız. ÖRNEK 6 log = 0,00 ise log0,004 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 66 a = log, b = log 4, c = log 8 ÖRNEK 64 log = 0,00 ise log50 ifadesinin eşitini bulunuz. sayılarını karşılaştırınız. 04
ÖRNEK 67 a = log 5, b = log 5 ve c = log 0 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 70 a = log 4, b = log ve c = log 5 4 6 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 68 a = log 7, b = log 4 ve c = log 8 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 7 a = log 6 5, b = log v 5 ve c = log sayıları 5 arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 69 a = log 7 6, b = log 4 5 ve c = log 0 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. ÖRNEK 7 a < b ve a ile b ardışık tam sayılardır. a < log 60 < b olduğuna göre, a + b kaçtır? 05
ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ Bir f() fonksiyonu ile bu fonksiyonun tersi olan f () fonksiyonlarının grafikleri y = doğrusuna göre simetriktir. Buna göre, f() = a fonksiyonu ile f () = log a fonksiyonlarının grafikleri y = doğrusuna göre simetrik olur. f() = a fonksiyonu ile ilgili özellikleri bir kez daha hatırlayalım. f() = a fonksiyonunda, a > iken f() = a fonksiyonu artandır. y y=a R için f() = a > 0 dır. = 0 için y = f(0) = a 0 = noktasından geçer. Bu bilgiler ışığında, f() = a fonksiyonunun a > iken grafiği yandaki gibidir. 0 0 < a < iken f() = a fonksiyonu azalandır. R için f() = a > 0 dır. y=a y = 0 için y = f(0) = a 0 = dir. Yani f() in grafiği (0, ) noktasından geçer. Bu bilgiler ışığında, f() = a fonksiyonunun 0 < a < iken grafiği yandaki gibidir. 0 Elde ettiğimiz bu iki grafiğin de y = doğrusuna göre simetriklerini çizersek f() = log a fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. a > için 0 < a < için 06
ÖRNEK 7 f() = fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 75 f() = c m fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 74 f() = + fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Pratik Yol c > 0 olmak üzere, y = f() + c fonksiyonunun grafiği; y = f() fonksiyonunun grafiğinin y ekseni üzerinde c kadar kaydırılmışıdır. y y = f() + c y = f() c y = f() c 0 c 07
ÖRNEK 76 y = fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak, y = +, y = +, y = ve y = fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz. ÖRNEK 78 f() = log ( ) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 77 f() = log ( + 4) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 79 f() = ln( e) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 08
Pratik Yol ÖRNEK 8 c > 0 olmak üzere, y = f( c) fonksiyonunun grafiği; y y = a + log b ( c) y = f() fonksiyonunun grafiğinin ekseni üzerinde c kadar kaydırılmışıdır. y y = f( + c) y = f() y = f( c) 0 5 f() = a + log b ( c) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. Buna göre f(9) değerini bulunuz. c c ÖRNEK 80 y = log fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak, y = log ( ), y = log ( ), y = log ( + ) ve y = log ( + ) fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz. y y=log (+) y=log (+) y=log y=log ( ) y=log ( ) 0 09
ÜSTEL DENKLEMLER = 4, 9 + = 0 e e = 0, 4 = 0 biçimindeki denklemler üstel denklemlerdir. Bu tür denklemler genellikle değişken dönüştürülüp. dereceden denklem elde edilerek çözülür. ÖRNEK 84 e + e 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 8 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. LOGARİTMALI DENKLEMLER Verilen logaritmalı denklemler log a f() = b biçiminde ise log a f() = b f() = a b olacağından f() = a b denklemi çözülür. ÖRNEK 8 e e = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. log a f() = log a g() biçiminde ise f() = g() denklemi çözülür. (f() > 0, g() > 0 dır.) ÖRNEK 85 log ( ) = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 0
ÖRNEK 86 ln[ log ( ) ] = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 89 log ( ) + log ( + 5) = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 87 log (+) (4 + ) = eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 90 log + log = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 88 log( + 8) log( ) = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 log + log = 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK 9 0 log e ln(+7) = log 8 denklemini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 95 ln + ln = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 (log ) log 4 + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 96 log = log eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 97 log = 00 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 94 (ln) ln = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK 98 log = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 00 In In = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz. ÖRNEK 99 log ( + ) log v ( ) = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 0 ln = 4log e denkleminin kökler toplamını bulunuz.
ab eşitliğini sağlayan değerini bu- ÖRNEK 0 e lna.e lnb = lunuz. ÖRNEK 05 log + (log ) = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 0 log ( + 4) = log 5 + log eşitliğini sağlayan değerini bulunuz. ÖRNEK 06 ln = e 6+ln denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 04 log ( 4) + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4
ETKİNLİK Türkiye nin 990 ve 000 yıllarında yapılan genel nüfus sayımlarına göre nüfusu aşağıdaki gibi tespit edilmiştir. Say m Tarihi.0.990.0.000 Nüfus 56.47.05 67.844.90 Bu verilerle yıllık nüfus artış hızının yaklaşık %,85 olduğu sonucu çıkarılabilir. 000 yılından sonraki herhangi bir t yılındaki N nüfusu N(t) = 67,8.e 0,085.t milyon kişi biçiminde modellenebilir. Bu bağıntıyı kullanarak hesap makinesi yardımıyla Türkiye nin 00 yılındaki nüfusunu bulunuz. t = 00 000 = 0 N(0) = 67,8.e 0,085.0 = 67,8.e 0,85 = 67,8.(,0) = 8,6 olur. O halde Türkiye nin 00 yılındaki nüfusu 8 600 000 kişidir. Türkiye nin nüfusunun 00 000 000 kişiye ulaşacağı yılı bulunuz. 67,8.e 0,085.t = 00 e 0,085.t =,47496 lne 0,085.t = ln(,47496) 0,085.t = 0,88608 t 000 + = 0 bulunur. O halde, Türkiye nin nüfusu 0 yılı içinde 00 000 000 kişi olacaktır. 5
ÜSLÜ EŞİTSİZLİKLER a f() > a g() eşitsizliği çözülürken a > ise f() > g() eşitsizliği çözülür. 0 < a < ise f() < g() eşitsizliği çözülür. ÖRNEK 07 ÖRNEK 0 + 9 c m > c m eşitsizliğinin çözüm kümesini 4 bulunuz. 4 > 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 08 c m c m eşitsizliğinin çözüm kümesini bu- lunuz. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER log a f() < b eşitsizliği çözülürken a > ise, f() < a b } sistemi çözülür. f() > 0 0 < a < ise, f() > a b } sistemi çözülür. f() > 0 ÖRNEK 09 + c m > c m eşitsizliğinin çözüm kümesini bu- 4 4 lunuz. ÖRNEK log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 6
ÖRNEK log ( ) log 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 5 < log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 6 < log ( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. ÖRNEK 4 log ( ) < log ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 7 log 4 ( 9) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 7
ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık sayı arasında olduğunu bulunuz. a. log 70. log = 0,00 ise a. 400 kaç basamaklıdır? b. 0 0 kaç basamaklıdır? b. log 0 c. 400 00 kaç basamaklıdır? c. log 5 6 d. ln8 4. log7 = 0,845 ise a. 7 50 kaç basamaklıdır? e. log987 b. 49 0 kaç basamaklıdır? f. log0,000 c. 490 40 kaç basamaklıdır? g. log4, h. log9,9 5. Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız. a. = log 0, y = log 5, z = log 40. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutuya D yanlış olanlar için Y yazınız. log = 4, ise, basamaklıdır. logy =,4 ise, basamaklıdır. logz = 96,8 ise z, 95 basamaklıdır. logt =,4 ise t, basamaklıdır. b. = log 00, y = log, z = log 56 c. = log 7 8, y = log9, z = log 0 5 d. = log, y = log, z = log 9 8
6. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz. a. y = 7. log = 4,47 ise logv ifadesinin eşitini bulunuz. b. y = + + 8. log =,4 ve logy =,5 ise log(.y ) ifadesinin eşitini bulunuz. c. y = d. y = log 9. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. 9 + 0 = 0 e. y = log ( ) b. 6.e e + = 0 f. y = log( ) c. e ln = g. y = ln( + e) h. y = log 4 ( + ) d. 6 + 4 = 9
0. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. log ( ) log ( ) =. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a. < b. log ( ) + log ( 4) = b. c m 4 4 c m c. log( + ) log( ) = log log( ) c. 4 < + d. log ( + ) + log ( + ) = 6 d. 4 c m 9 + 7 > c m 8 e. e ln = 7 f. log = log g. log = log e. log ( ) f. log ( 6) h. log 6 = 6 g. log ( ) i. ln log e = h. log ( ) j. log = 0 +log i. log log < 0 k. log = log j. log ( ) < 4 0
TEST. log ( ) = ise kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5. log = ise kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) 9 E) 7. = 5 ise aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) log 5 B) log C) log5 D) log 5 0 E) log 5 6. log4 = ise log5 in cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) D) B) E) C). log 9 = ise kaçtır? A) v B) v C) D) E) 6 7. ln( + ln) = eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e e B) e e C) e e D) e e E) e 4. log + log 4 = log 6 5 eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 D) 5 8 B) 5 E) 5 9 C) 5 6 8. ln[ + log ( log )] = 0 eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 5
9. f() = log( ) olmak üzere, f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B) 0 C) 0 + D) 0 E) 0 + 9 6. + + ifadesinin eşiti aşa- log 6 log 6 log 6 ğıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 0. f() = + olmak üzere, f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? + A) log c m B) log ( + ) C) log ( ) D) log c m 4. f() = log ( ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) {} D) [, ) E) (0, ) {} E) log c m. log = 46, ise sayısı kaç basamaklıdır? A) B) C) 45 D) 46 E) 47 5. log ( + ) + log ( ) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, } B) {, } C) {} D) {} E) {4}. a = log 7 8, b = log9 ve c = log 5 4 olmak üzere, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) b < c < a B) b < a < c C) a < c < b D) a < b < c E) c < a < b 6. 4 + = denkleminin gerçek köklerinin toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E).C.E.D 4.E 5.D 6.B 7.C 8.C 9.C 0.A.E.B.B 4.C 5.C 6.C 6
TEST 4. log [log (4 )] = 0 eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 5. log 5 = ise log5 in cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) + D) B) + E) + C). log(.y) = log y ise logy ifadesinin eşiti aşağıdakileden hangisidir? A) B) C) D) E) 6. = log 5 4, y = log 6 7, z = log 7 8 sayıları arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir? A) z < < y B) z < y < C) y < < z D) y < z < E) < y < z log ( + log ). ^ h 4 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) 8 8 B) 8 C) v D) 4 E) 7. log = 0,00 ise 0 0 sayısı kaç basamaklıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. log ab a = ise log b a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) D) + B) + E) C) 8. log ( ) log ( + 4) = ise log 5 kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6
9. = denkleminin kökler çarpımı kaçtır? A) B) C) D) E) ifadesinin eşiti aşağıdaki- +. log 5 = ise + lerden hangisidir? A) log 40 0 B) log 0 0 C) log 40 0 D) log 0 0 E) log 0 40 0. log + log = 4 denkleminin kökler çarpımı aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 4 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 4. log < eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) c, 4m B) (, 4) C) (, 8) D) c, 8m E) c, m 4. lne = + e ln eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? 5. log + log = 6 ise kaçtır? A) v B) C) v D) E) v6 A) ln B) ln C) ln5 D) ln6 E) ln0 6. y y=log a. f: R (, ), f() =. fonksiyonu için f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) + log B) : log D C) ; log E D) log E) ; + log E 0 8 f() = log a fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. Buna göre f (4) kaçtır? A) 4 B) 8 C) D) 6 E).B.E.A 4.E 5.A 6.A 7.C 8.A 9.C 0.C.A.E.E 4.D 5.B 6.D
TEST 5. log = a ve log 4 = b ise log ab 6 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 5. log 4 5 sayısından küçük olan en büyük tam sayı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. log6! = a ve log7! = b ise a + b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) log9! B) log0! C) log! D) log! E) log! 4 6. alog 6k + ^log 4h ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4. log 5 = ise log 5 75 ifadesinin cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? + A) B) + + D) E) + + C) + + + + + 4 7. log 4 hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden A) B) C) D) 7 E) 4 4 4 4. ln(.y) = 4 ve ln = ise y aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) e D) e E) e e 8. log = eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) log B) 0 log C) 0 log 0 D) log 0 E) log
9. 5 f() = log c m fonksiyonunun tanım kümesi + aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, 5) C) (5, ) D) (, 5) E) (, ). log + ln = lne eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) e C) D) e E) 0 4. log = 4 eşitliğini sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır? A) 7 B) 4 C) 9 D) 5 E) 0. log 50 < < log 50 olmak üzere, in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5. f( ) = + log a ( + ) fonksiyonunda f() = ise f (4) kaçtır? A) B) C) 0 D) 8 E) 6. log6 = 0,778 ise 60 00 sayısı kaç basamaklı bir sayıdır? A) 54 B) 55 C) 56 D) 57 E) 58 6. y y=log a y=log b 0 y=log c. log ( + ) log = ise log 4 kaçtır? A) B) C) D) E) 4 Şekildeki grafiği çizilen fonksiyonlara göre a, b ve c arasındaki doğru sıralanış aşağıdakilerden hangisidir? A) c < b < a B) b < a < c C) c < a < b D) b < c < a E) a < b < c.c.b.b 4.E 5.C 6.D 7.A 8.D 9.C 0.D.C.B.E 4.C 5.B 6.C 4
TEST 8. log (+) ( 5) = ise log ( + 6) kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5. log = ve log 5 = y ise log6 ifadesinin ve y cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? y + y y y + A) B) C) y + y + y y + y y + y D) E) y y. a = ln ve b = log ise a sayısı, b sayısının kaç katıdır? A) 0 B) loge C) 0e D) e E) ln0 6. (log0 )log = log denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden 00 hangisidir? A) {0} B) {00} C) ', 0 0 D) ', 00 E) ', 0 0 00. ln(ln) + ln = + ln eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e B) e C) e D) e E) 4e 7. log 9 = ise aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur? A) (6, 7) B) (5, 6) C) (4, 5) D) (, 4) E) (, ) 4. = log 4 ve y = 4 log ise log y ifadesinin eşiti kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 8. log a = log b 4 ise log ab a log ab b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 9
9. log b + c.log va a b = ise a c + ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) b B) b C) b D) b E) vb. log y + log y = log y ise log(.y) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 log 0. log 4 log5 = eşitliğini sağlayan değeri 5 log 6 aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. log0 =,00 ise log ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,69897 B),69897 C) 0,00 D) 0,69897 E),00. f() = log ( m + ) fonksiyonu R için tanımlı olduğuna göre m nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 4, 0) B) (, 0) C) (0, ) D) (0, 4) E) (, ) 5. = logy ve 0 < y < 400 ise aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. y y=log a (+b) 6. ABC üçgeninde A 0 0 AB = log cm AC = log6 cm log log6 f() = log a ( + b) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. Buna göre f(4) kaçtır? A) B) C) D) E) 5 BC = log cm ise B log in değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (0, ) C) (0, 4) D) (, 5) E) (, 4) C.B.E.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.A 0.E.E.C.A 4.C 5.A 6.E 40
TEST 9. log + log5 = eşitliğini sağlayan değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 0 5. log(cot) = 0 ise in en küçük radyan ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir? r r r r r A) B) C) D) E) 6 4 4. R olmak üzere, log < 0 olması için aşağıdaki aralıkların hangisinde değer almalıdır? A) (, ) B) (, 0) C) (, 0) D) (0, ) E) (, ) 6. log a = log b olduğuna göre, log(a.b) nin değeri nedir? A) B) C) D) 4 E) 0. log( + ) log = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ' B) 99 D) ' C) 9 ' E) {} ' 7. log 0 (log ) = log 00 olduğuna göre, in değeri nedir? A) v5 B) 5 C) 5 D) 5 E) 65 4. loga =,44 olduğuna göre, 9 a 5 nin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 0 C) D) 0 4 E) 4 8. log (v + )log 9 = 0 denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4
9. n = a ve log a 6 = n olduğuna göre, n kaçtır? A) B) C) 4 D) 8 E) 6. log e = ln n olduğuna göre, n aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) log e e B) lne C) + ln D) In E) log e 0. g(f()) = f( + ) ve f() = ln ise g(g(ln)) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) ln( + ) + B) ln( + ) C) ln D) ln( + ) E) ln( + ) 4. = log, y = log, z = log4 9 5 5 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) z < y < B) z < < y C) y < < z D) < y < z E) < z < y. log0 log( ) = denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 5 D) E) 4 5. ln ln = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) Ø B) {} C) {e } D) {, e} E) {, e }. a = b 4 olduğuna göre, log a ifadesinin değeri kaçtır? (b ) A) 4 B) C) 8 D) 4 E) 9 9 9 8 6. a n = b m olduğuna göre, m n kesri aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) log(a.b) B) log a b C) log b a D) log(a + b) E) ln b a.b.d.a 4.D 5.B 6.E 7.C 8.C 9.B 0.E.D.C.A 4.D 5.E 6.B 4
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS y = log 7 ve = 7 5 ise y nin değeri nedir? A) 5 B) C) 5 5 D) 5 E) 7 5. 985 ÖYS log 5 = a olduğuna göre log 5 5 ifadesinin değeri nedir? A) a D) a a + B) a a E) a+ a C) a a. 98 ÖYS ( log ) + clog m ifadesinin değeri nedir? A) 0 B) logv C) v logc m D) log c m E) v log 6. 986 ÖYS log656 = a, log = b, log = c olduğuna göre log ün değeri nedir? A) a b c B) a b c C) a b c D) a b c E) a b c. 98 ÖYS log a c =, log b c = y olduğuna göre in a, b, y türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) log ab y B) log b a y D) y.log b a E) y.log a b C) log a b y 7. 987 ÖYS log(a + b) = loga + logb olduğuna göre b nin a türünden değeri nedir? A) a a + D) a a B) a+ a a + E) a C) a a 4. 984 ÖYS log (log 0 ) = eşitliğini sağlayan değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 0 C) 0 6 D) 0 8 E) 0 9 8. 987 ÖYS ln(y) = a, lnc m = b olduğuna göre y in değeri nedir? A) e a+b B) e b a C) e a b D) e (a+b) E) e ab 4
9. 988 ÖSS log + log = log8 log denkleminin çözümü nedir? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E). 988 ÖYS log = 0,0, log = 0,477 olduğuna göre, log60 ın değeri kaç olur? A),7 B),556 C),04 D),987 E),865 0. 988 ÖYS lna = p olarak verildiğine göre, loga aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) ploge B) ploge C) ploge D) plog e E) p loge. 989 ÖSS a 5 = b olduğuna göre, log b a kaçtır? A) B) 8 C) 5 D) 5 E) 5. 988 ÖYS y = log in grafiği hangisi olabilir? A) y B) y 0 0 4. 989 ÖYS log + log( + ) = 0 denklemini sağlayan değer nedir? C) y D) y A) B) C) D) E) 4 5 6 0 0 E) y 0 5. 990 ÖYS log 7 ( 7) log 7 ( ) = 0 olduğuna göre, log 5 in değeri nedir? A) 0 B) C) D) E) 4 44
6. 99 ÖYS log 5 = a olduğuna göre, log 9 5 in değeri nedir? A) a B) a C) a D) a E) va 0. 994 ÖYS f() = log, (gof)() = + olduğuna göre, g() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) + D) + E) 7. 99 ÖYS log 5 + log 5 a = olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 4. 995 ÖYS 4 log = log 7 log 9 denklemini sağlayan değe- ri kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 9 8. 99 ÖYS log a 9 = 4, log a = b olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) v B) v C) v D) E). 996 ÖYS log 0 = a, log 0 = b olduğuna göre, log 0 7 nin a ve b türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) b a B) a b C) a b D) a + b E) a + b 9. 994 ÖYS log (9. + ) = + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, } B) {0, } C) {0} D) {} E) {}. 997 ÖYS log (log (log 4 ( + ) ) ) = olduğuna göre kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 45
4. 998 ÖYS 6 + + log 4 log 4 log4 4 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) 8. 009 ÖSS y f()=log a 0 Yukarıda log a fonksiyonunun grafiği verilmiştir. 5. 006 ÖSS f: c, m R fonksiyonu f() = log ( + ) ile tanımlanıyor. Buna göre, ters fonksiyonu belirten f () aşağıdakilerden hangisidir? A) f () = B) f () = + C) f () = log( + ) D) f () = E) f () = + Buna göre, fcfc mm değeri kaçtır? 7 A) B) C) D) E) 9. 00 LYS log 5 = a olduğuna göre, log 5 5 in değeri kaçtır? A) a a + D) a+ a B) a+ a E) 4a C) a a + 6. 007 ÖSS log (log (5 + 6)) = olduğuna göre kaçtır? 0. 00 LYS + log 6 log 6 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 5 E) 8 A) B) C) D) log 6 E) log 6 7. 008 ÖSS log 4 9 + log (a ) < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam sayısı vardır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. 00 LYS 0 log ( 5) eşitsizliklerini sağlayan kaç tane tam sayısı vardır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 46
. 00 LYS den farklı a, b, c pozitif gerçel sayıları için, log a b = log a c = olduğuna göre, kaçtır? 5 A) B) log b b d n ifadesinin değeri c a 5 C) D) 6 E) 5 4. 0 LYS log + log 4 = denklemini sağlayan değeri kaçtır? A) D) B) E) C) 5. 0 LYS log 9 ( + + ) = t, ( > ) olduğuna göre, in t tü rün den eşi ti aşa ğı da kiler den han gi si dir? A) t B) t C) t D). t E) t 5. 0 LYS = 5 y = 4 olduğuna göre,.y çarpımının değeri kaçtır? ln A) ln ln 5 D) ln B) ln 5 ln ln 5 E) ln 6 ln 5 C) ln 4 47