MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1

LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı problemlerden biri denklemlerin çözümüdür. Belli sayıda bilinmeyen ve belli sayıda denklemden oluşan bir denklem sistemi lineer terimlerden oluşuyorsa bu sistem lineer denklem sistemi olarak adlandırılır. 2x-3y=5-2x+y=-1 Denklem sistemi iki bilinmeyen içeren lineer bir denklem sistemidir. Genel olarak n tane bilinmeyen (x 1, x 2,, x n ) içeren lineer bir denklem sistemi aşağıda gösterildiği gibi açık halde veya daha basit olarak matris formunda yazılabilir. 2

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 3n x n = b 3 A. x = b...... a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + a nn x n = b n Burada A katsayılar matrisi, x bilinmeyen vektör ve b sağ taraf vektörü diye adlandırılır. 3

A x b a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = b 2 a n1 a n2 a nn x n b n Direkt (Analitik) Yöntemler Denklem sisteminin çözümünü matematik anlamda tam olarak veren yöntemlerdir. Cramer Yöntemi Matris Tersi Yöntemi Gauss Eliminasyon Gauss-Jordan Yöntemi LU Ayırma Yöntemi Dolaylı (İteratif) Yöntemler Çözümün direkt değil, tahmini değerlerden başlayarak adım adım ardışık hesaplamalarla belli tolerans sınırları içinde elde edildiği yöntemlerdir. Basit İterasyon (Jacobi) Yöntemi Gauss-Seidel Yöntemi Rölaksasyon Yöntemi 4

Cramer Yöntemi DİREKT (ANALİTİK) YÖNTEMLER Klasik yöntemlerden biri olup çözüm iki matrisin determinantları oranı olarak elde edilir. Bu yöntemde, n bilinmeyen içeren A.x = b şeklinde lineer denklem sisteminin çözümü; x i = D i A (i=1,2,3,.,n) ifadesiyle hesaplanabilir. Burada D i : Katsayılar matrisinde (A), i. Sütun atılıp yerine b vektörünün konması ile elde edilen matrisin determinantıdır. Bu yöntemde, her biri (nxn) boyutunda (n+1) tane matrisin determinantının hesaplanması gerektiğinden işlem sayısı fazla, çözüm süresi uzundur. Dolayısıyla çok sayıda denklem içeren sistemlerin çözümünde bu yöntem tercih edilmez. 5

Matris Tersi Yöntemi Verilen A. x = b denklem sisteminde katsayılar matrisinin tersi A 1 hesaplandığında çözüm vektörü doğrudan iki matrisin çarpımından elde edilir. x = A 1 b 6

Gauss Eliminasyonu Yöntemi Değişkenlerin yok edilmesi ilkesine dayanan bu yöntem iki aşamadan oluşur. Birinci aşamada katsayılar matrisi üst üçgensel hale getirilir. İkinci aşamada ise çözüm vektörü hesaplanır. 7

A. x = b şeklinde bir lineer denklem sistemi verilmiş olsun. Bu yöntemin birinci aşamasında, katsayılar matrisine (A) temel satır işlemleri uygulanarak matris üst üçgensel hale getirilir. Yani köşegen altında kalan matris elamanları sıfırlanır. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n 0 0 a 33 a 3n 0 0 0 a nn Temel satır işlemi, bir satırın bir sayı ile çarpılıp diğer bir satıra ilave edilmesi işlemidir. Pivotlama işlemi ise, katsayılar matrisinde köşegen elemanlar mutlak değerce maksimum olacak şekilde satırların yer değiştirmesidir. 8

Pivotlama işleminin sağladığı iki faydadan birincisi, köşegen üzerine gelebilecek sıfır rakamından, dolayısıyla sıfıra bölme hatasından kurtulmak; ikincisi ise, ileride açıklanacağı üzere, yuvarlatma hatalarını azaltmaktır. Gauss eliminasyon yönteminin birinci aşamasında uygulanması gereken adımlar şunlardır: 1) Katsayılar matrisi b ile genişletilir. 2) Köşegen elemanlar mutlak değerce en büyük olacak şekilde satırlar yer değiştirir (pivotlama işlemi). 3) 1. kolunu sıfırlamak için 1. satır elemanları ( a i1 a 11 ) terimi ile çarpılıp i. Satırın karşılık gelen elemanlarına ilave edilir. Bu satır işlemi kısaca aşağıdaki gibi ifade edilecektir. 9

S ai1 a i1 a 11 (i = 2,3,, n) 4) 2. kolonun köşegen altını sıfırlamak için; birinci satır ve sütun yok gibi düşünülerek, geriye kalan alt matrise 3. adımdaki işlemler S ai2 a i2 a 22 (i = 3,4,, n) şeklinde uygulanır. 5) İşlemlere bu şekilde devam edilerek katsayılar matrisi üst üçgensel hale getirilir. Buna göre 3., 4., ve 5. adımların genel algoritması, k = 1,2,, n 1 i = k + 1,, n 10

a k ij (k 1) a ik = a ij a kk (k 1). a kj (j = k + 1 n) b i k = b i (k 1) a ik a kk. b k (k 1) Burada k sıfırlanacak kolunu gösteren sayaç değeri olduğu görülmektedir. Bu işlemler esnasında katsayılar matrisi ve sağ taraf vektörünün elemanlarının sayısal değerleri de değişmektedir. Birinci aşama bu şekilde tamamlandıktan sonra ikinci aşamaya geçilir. Yöntemin ikinci aşamasında sonuncu denklemden başlayarak çözüm elde edilir. Bu işleme geriye doğru süpürme veya geriye doğru yerine koyma denir. Böylece işleme adımlarına aşağıdaki gibi devam edilir. 6) Geriye doğru süpürme ile çözüm vektörü bulunur. 11

Örnek 3.1: Aşağıdaki denklem sistemini Gauss eliminasyon yöntemiyle çözünüz. 4x 1 + 2x 2 5x 3 = 5 3x 1 + x 2 2x 3 = 3 2x 1 3x 2 + x 3 = 3 Çözüm: Genişletilmiş katsayılar matrisi, pivotlama işleminden sonra temel satır işlemleri ile aşağıdaki gibi üst üçgensel hale getirilir. 4 2 5 5 3 1 2 3 2 3 1 3 Pivotlama 3 1 2 3 2 3 1 3 4 2 5 5 12

Bu aşamada 1. satırı (2/3) ile çarpıp ikinci satıra, ve (-4/3) ile çarpıp 3. satıra ilave ederek birinci sütun sıfırlanmış olur. Bu işlemler sembolik olarak sırası ile Sa 21 (2 3) ve Sa 31 ( 4 3) ile gösterilecektir. Bu işlemler sonunda 3 1 2 3 0 7/3 1/3 5 0 2/3 7/3 1 Sa 32 (2 7) 3 1 2 3 0 7/3 1/3 5 0 0 17/7 17/7 Matris bu şekilde üst üçgensel hale geldikten sonra sonuncu satırın ifade ettiği denklemden x 3 = 17 7 17 7 = 1 bulunur. Bu değer ikinci denklemde yerine yazılarak 13

7 3 x 2 1 3 x 3 = 5 x 2 = 2 ve bulunan bu x değerleri birinci denklemde yazılırsa 3x 1 + x 2 2x 3 = 3 x 1 = 1 elde edilir. Bazı durumlarda bir denklemdeki mutlak değerce en büyük elemanın köşegen üzerine gelmesi sağlanamaz. Tam pivotlama yapılamadığı, ancak kısmi pivotlamanın sağlanabildiği böyle bir örnek aşağıdadır. 14

Örnek 3.2: Aşağıdaki denklem sistemini Gauss eliminasyon yöntemiyle çözünüz. x 1 + 2x 3 = 9 2x 1 + x 2 = 5 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 Çözüm: Genişletilmiş katsayılar matrisi, pivotlama işleminden sonra temel satır işlemleri ile aşağıdaki gibi üst üçgensel hale getirilir. 1 0 2 9 2 1 0 5 3 2 1 4 Pivotlama 3 2 1 4 2 1 0 5 1 0 2 9 15

Burada görüldüğü ikinci satır pivotlamayı bozmaktadır. Çünkü satırdaki en büyük eleman köşegen üzerinde değildir. Ancak yapacak başka bir işlem de yoktur. Birinci satırla ikinci satırı yer değiştirsek bile yine tam bir pivotlama olmayacaktır. Bu durumda sistem bu haliyle çözülmeye devam edilecektir. Sıfırlama için 1. satırı (-2/3) ile çarpıp ikinci satıra, ve (-1/3) ile çarpıp 3. satıra ilave edilmelidir. Bu işlemler sembolik olarak Sa 21 ( 2 3) ve Sa 31 ( 1 3) ile gösterilecektir. Böylece 1. sütun sıfırlanmış olur. Sonra da 2. sütunun sıfırlanması sonunda 3 1 1 4 0 1/3 2/3 7/3 0 2/3 5/3 31/3 Sa 32 ( 2) 3 2 1 4 0 1/3 2/3 7/3 0 0 3 15 16

Matris bu şekilde üst üçgensel hale geldikten sonra sonuncu denklemden x 3 = 15 3 = 5 bulunur. Bu değer ikinci denklemde yazılarak 1 3 x 2 2 3 x 3 = 7 3 x 2 = 3 ve birinci denklemden elde edilir. 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 = 1 17

Gauss-Jordan Yöntemi Bu yöntem Gauss eliminasyon yönteminin benzeri olup yine iki aşamalıdır. Birinci aşamada, verilen lineer denklem sistemine ait katsayılar matrisi (A) temel satır işlemleri ile köşegensel hale getirilir; yani aşağıdaki gibi matris köşegeninin hem altında, hem de üstünde kalan elemanlar sıfırlanır. Genişletilmiş katsayılar matrisi Köşegen matris a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a n1 a n2 a nn b n a 11 0 0 b 1 0 a 22 0 b 2 0 0 a nn b n 18

Katsayılar matrisini genişletmek ve köşegensel hale getirmek için uygulanması gereken adımlar şunlardır: 1) Katsayılar matrisi (A), b nün ilavesiyle genişletilir. 2) Köşegen elemanlar mutlak değerce en büyük olacak şekilde satırlar yer değiştirir (pivotlama işlemi). 3) 1. kolon Gauss Eliminasyonundaki gibi sıfırlanır. 4) Köşegen eleman hariç olmak üzere 2. kolon sıfırlanır. Bunun için, ( a i2 ) a 22 2. satır ile çarpılıp, i. satıra ilave edilir. (i=1,3,4,,n i 2) 5) Benzer şekilde 3. kolon sıfırlanır. Bunun için, ( a i3 ) a 33 3. satır ile çarpılıp, i. satıra ilave edilir. (i=1,2,4,,n i 3) 19

6) Bu işlemlere devam edilerek katsayılar matrisi köşegen hale getirilir. Bu sıfırlama işlemeleri esnasında köşegen elemanlar ve sağ taraf vektörü de değiştiği için bunlar üslü olarak gösterilmiştir. a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 a 33 0 0 0 0 a nn x 1 x 2 x 3 x = x n b 1 b 2 b 3 b n 7) Bu aşamadan sonra ileri doğru süpürme ile çözüm vektörü: x 1 = b 1 a 11 ; x 2 = b 2 a 22 ; ; x n = b n a nn şeklinde elde edilir. 20

Örnek 3.3: Aşağıdaki denklem sistemini Gauss-Jordan yöntemiyle çözünüz. 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 8 x 1 x 2 + 2x 3 = 1 Çözüm: Bu sistemdeki denklemlerin her birinde mutlak değerce en büyük katsayı üçüncüsüdür. Dolayısıyla pivotlama işleminde her üç denklem de sonuncu denklem olarak yazılabilir. Yani burada da tam bir pivotlama yapılamaz. Bu durumda genişletilmiş katsayılar matrisi aşağıdaki gibi yazıldıktan sonra, kısmi pivotlama yapılır. 21

2 3 3 7 1 2 3 8 1 1 2 1 Kısmi Pivotlama 1 1 2 1 1 2 3 8 2 3 3 7 Burada birinci ve sonuncu denklemlerin yer değiştirmesi işlem kolaylığı açısından yapılmıştır. Bu aşamada 1. satırı (1) ile çarpıp ikinci satıra ve (-5) ile çarpıp 3. satıra ilave ederek birinci kolon sıfırlanabilir. 1 1 2 1 Sa 12 (1) 1 0 7 6 0 1 5 7 0 1 5 7 0 5 1 9 Sa 32 ( 5) 0 0 26 26 Son olarak Sa 13 (7 26) ve Sa 23 (5 26) işlemleri ile son kolon sıfırlanır. Matris bu şekilde köşegen hale geldikten sonra her satırdan bir bilinmeyen aşağıdaki gibi elde edilir. 22

1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 26 26 x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 1 23

LU Ayırma Yöntemi Gauss eliminasyon yöntemi esasında matris notasyonu kullanılarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. A= P. L. U Burada P matrisi pivotlama esnasındaki satır yer değiştirmelerini ifade eden matris, L alt üçgensel olan ve sütunların sıfırlanması esnasında kullanılan çarpanlardan oluşan matris ve U ise Gauss eliminasyon yönteminde ulaşılan üst üçgensel matristir. 24

a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn = L 11 0 0 0 L 21 L 22 0 0 L 31 L 32 L 33 0 L n1 L n2 L n3 L nn 1 U 12 U 13 U 1n 0 1 U 23 U 2n 0 0 1 U 3n 0 0 0 1 L matrisi U matrisi ile çarpılıp A nın karşılık gelen elemanına eşitlenerek L ve U matrislerinin elemanları aşağıdaki gibi bulunur: a 11 = L 11. 1 + 0.0 + 0.0 + L 11 = a 11 a 21 = L 21. 1 + L 22. 0 + 0.0 + L 21 = a 21. a n1 = L n1. 1 + L n2. 0 + L n3. 0 + L n1 = a n1 25

a 12 = L 11. U 12 + 0.1 + 0.0 + a 13 = L 11. U 13 + 0. U 23 + 0.1 +. a 1n = L 11. U 1n + 0. U 2n + 0. U 3n + U 12 = a 12 L 11 U 13 = a 13 L 11 U 1n = a 1n L 11 Dikkat edilirse matris elemanlarının bulunmasında aşağıdaki şekilde verilen sıra takip edilmektedir. L U 1 3 2 4.. Şekil 3.1 L ve U matris elemanlarının hesaplanmasında izlenen sıra 26

Örnek 3.6. x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 3 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 8 3x 1 + x 2 + 5x 3 = 1 denklem sistemini LU yöntemiyle çözünüz. Çözüm: Burada öncelikle katsayılar matrisini yazarak çarpanlarına ayıralım 1 2 3 2 5 2 3 1 5 = L 11 0 0 L 21 L 22 0 L 31 L 32 L 33 1 U 12 U 13 0 1 U 23 0 0 1 27

Şekil 3.1 de belirtilen sırada bilinmeyen matris elemanları hesaplanırsa L 11 = 1, L 21 = 2, L 31 = 3 U 12 = 2 L 11 = 2, U 13 = 3 L 11 = 3 L 21. U 12 + L 22 = 5 L 22 = 1, L 32 = 5 L 21. U 13 + L 22. U 23 = 2 U 23 = 4 L 33 = 24 değerleri bulunur. L. y = b ifadesine göre y vektörü, ileri süpürme ile 1 0 0 2 1 0 3 5 24 y 1 y 2 y 3 = 3 8 1 y 1 = 3 y 2 = 2 y 3 = 0.0 bulunur. Bu değerlerle U. x = y ifadesinden geri süpürme ile çözüm vektörü, 28

1 2 3 0 1 4 0 0 1 x 1 x 2 x 3 = 3 2 0.0 x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 0.0 elde edilir. 29

İTERATİF (DOLAYLI) YÖNTEMLER Direkt yöntemlerde bulunan değerler doğrudan doğruya çözüm vektörüdür. Dolaylı yöntemlerde ise tahmini çözüm değerleri kabul edilerek çözüme başlanmakta ardışık hesaplamalarla adım adım doğru çözüm değerlerine yaklaşılmaktadır. Bu ardışık hesaplamaların her birine iterasyon denir. İteratif yöntemlerde, tahmini ilk değerlerden başlayarak ardışık hesaplamalarla gerçek çözüm değerine yaklaşmaya yakınsama uzaklaşmaya ise ıraksama denir. Jacobi Yöntemi(Basit, Tek Adımlı İterasyon) Gauss-Seidel Yöntemi (Çok Adımlı İterasyon) Rölaksasyon Yöntemi (SOR) 30

Jacobi Yöntemi(Basit, Tek Adımlı İterasyon) Lineer denklem sistemi a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 3n x n = b 3...... a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + a nn x n = b n 31

formunda verilmiş olsun. Bu yöntemde uygulanması gereken adımlar şunlardır. 1) Köşegen elemanlar mutlak değerce en büyük olacak şekilde satırlar yer değiştirilir. 2) Sırayla her denklemden bir bilinmeyen çekilir. x 1 = 1 a 11. (b 1 a 12. x 2 a 13. x 3.. a 1n. x n ) x 2 = 1 a 22. (b 2 a 21. x 1 a 23. x 3.. a 2n. x n ).. x n = 1 a nn. (b n a n1. x 1 a n2. x 2.. a n,n 1. x n 1 ) 32

3) x 1, x 2,, x n için ilk tahmin değerleri seçilir. Seçilen bu tahmin değerleri bütün denklemlerin sağ taraflarında yerlerine yazılarak yeni x i değerleri bulunur. 4) Bulunan x i değerleri tekrar sırayla denklemlerin sağ taraflarında yerlerine yazılarak daha yeni x i sayıları hesaplanır. 5) Bu işlemler k defa tekrarlandığında (k. iterasyon sonunda) genel ifadeler şu şekilde yazılabilir. x 1 (k+1) = 1 a 11. (b 1 a 12. x 2 (k) a 13. x 3 (k). a 1n. x n (k) ) x 2 (k+1) = 1 a 22. (b 2 a 21. x 1 (k) a 23. x 3 (k). a 2n. x n (k) ) x (k+1) n = 1 (k) (k) (k). (b a n a n1. x 1 an2. x 2. an,n 1. x n 1) nn 33

Burada k üssü aynı zamanda x i değerlerinin kaç defa yenilendiğini de ifade etmektedir. 6) Bu şekilde ardışık hesaplamalara (iterasyona) tolerans değer (TD) sağlanıncaya kadar, yani x i (k+1) xi (k) TD (i = 1,2,, n) oluncaya kadar devam edilir. 7) Tolerans değer sağlandığında, son bulunan x i değerleri yaklaşık çözüm vektörüdür. 34

Gauss-Seidel Yöntemi (Çok Adımlı İterasyon) Jacobi yöntemine oldukça benzerdir. Tek farkı; bulunan x i değerinin hemen sonraki denklemde yerine konmasıdır. Bu yöntemde uygulanması gereken adımlar şunlardır: 1) Köşegen elemanlar mutlak değerce en büyük olacak şekilde satırlar yer değiştirilir. 2) Her denklemden bir bilinmeyen çekilir. 3) x 2, x 3,.., x n için ilk tahmin değerleri seçilir. Seçilen bu tahmini değerler birinci denklemde yazılarak x 1 ve sonra diğer x i değerleri hesaplanır. Bu hesaplamaların her defasında denklemlerin sağ taraflarına x i lerin bilinen son değerleri yazılır. 35

4) Bu işlemler k defa tekrar edilir. k. iterasyona ait genel ifadeler aşağıdaki şekilde yazılabilir. x 1 (k+1) = 1 a 11. (b 1 a 12. x 2 (k) a 13. x 3 (k). a 1n. x n (k) ) x 2 (k+1) = 1 a 22. (b 2 a 21. x 1 (k) a 23. x 3 (k). a 2n. x n (k) ) x 3 (k+1) = 1 a 33. (b 3 a 31. x 1 (k+1) a32. x 2 (k). a3n. x n (k) ) x (k+1) n = 1 (k) (k) (k). (b a n a n1. x 1 an2. x 2. an,n 1. x n 1) nn 36

Görüldüğü gibi Jacobi iterasyonundan farklı olarak herhangi bir x değerinin hesaplanmasında, biliniyorsa (k+1). Değerler, bilinmiyorsa k. değerler kullanılmaktadır. Burada ayrı ayrı yazılan n denklem kısaca indis notasyonu kullanılarak tek bir denklem olarak da yazılabilir. x i (k+1) = 1 a ii. (b i i 1 j =1 a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) ) 6) İterasyon tolerans değeri sağlanıncaya kadar, yani n j =i+1 (i = 1,2,., n) x i (k+1) xi (k) TD (i = 1,2,, n) 37

(k+1) oluncaya kadar devam edilir. Son bulunan x i değerleri ( x i ) çözüm vektörüdür. Rölaksasyon Yöntemi (SOR) Gauss-Seidel yönteminden türetilebilen bir yöntemdir. Gauss-Seidel yönteminin genel iterasyon formülüne aynı terimi ekleyip çıkartırsak: i 1 x i (k+1) = 1 a ii. b i a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) j =1 n j =i+1 + x i (k) x i (k) şeklindeki ifadeyi elde ederiz. Bunu biraz sadeleştirirsek : 38

i 1 = x i (k) + 1 a ii. b i a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) j =1 n j =i+1 + a ii x i (k) i 1 = x i (k) + 1 a ii. b i a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) j =1 n j =1 Bu ifadenin sağ tarafındaki ikinci terimi, x i değerini düzelten bir değer (R) olarak düşünürsek x i (k+1) = x i (k) + R yazabiliriz. Rölaksasyon yönteminde R değerinin tamamını ilave etmek yerine R nin belli bir ε oranının ilave edilmesi ile yakınsamanın hızlandırılması mümkün olabilmektedir. Bu durumda rölaksasyon yönteminin genel ifadesini 39

i 1 x i (k+1) = x i (k) + ε a ii. b i a ij. x j (k+1) a ij. x j (k) j =1 n j =1 şeklinde yazabiliriz. Buradaki ε rölaksasyon katsayısı olup değerine bağlı olarak 1 < ε < 2 : Aşırı(kuvvetli) rölaksasyon(sor) ε = 1 : Gauss-Seidel 0 < ε < 1 : Zayıf rölaksasyon denir. Rölaksasyon katsayısının en iyi değeri denklem sistemine bağlı olup hesaplanması zordur. Çoğu zaman deneme yanılma ile tahmin edilmesi yoluna gidilir. Rölaksasyon yöntemine nokta iterasyonu da denir. 40

Yakınsama Şartı: İteratif yöntemlerden biriyle çözüm elde edilebilmesi için lineer denklem sistemi yakınsama şartını sağlayacak özellikte olmalıdır. Yakınsama kriteri de denilen bu şart değişik şekillerde ifade edilmekle beraber en fazla kullanılan formu n a ii > a ij (i n) j=1 j 1 denklemi ile verilir. 41

Örnek 3.7: Aşağıdaki denklem sistemini TD = 10 4 alarak çözünüz. x 1 + 10x 2 + 2x 3 = 13 2x 1 + x 2 + 10x 3 = 13 10x 1 + 2x 2 + x 3 = 13 Çözüm: a) Jacobi yöntemi ile çözüm : i) Pivotlamadan ii) Pivotlayarak x 1 = 13 10x 2 2x 3 x 2 = 13 2x 1 10x 3 x 3 = 13 10x 1 2x 2 x 1 = 1.3 0.2x 2 0.1x 3 x 2 = 1.3 0.1x 1 0.2x 3 x 3 = 1.3 0.2x 1 0.1x 2 42

i) Pivotlamadan İterasyon x 1 x 2 x 3 0 0 0 0 1 13 13 13 2-143 -143-143 3 1729 1729 1729 ıraksama 43

ii) Pivotlayarak İterasyon x 1 x 2 x 3 0 0 0 0 1 1.3 1.3 1.3 2 0.91 0.91 0.91 3 1.027 1.027 1.027 4 0.9919 0.9919 0.9919 5 1.00243 1.00243 1.00243 6 0.979271 0.979271 0.979271 7 1.000219 1.000219 1.000219 8 0.999934 9 1.000019 yakınsama 44

Yukarıdaki çözüm tablosundan da anlaşılabileceği gibi pivotlama yapılmadığı durumda yakınsama kriteri sağlanmamakta, dolayısıyla alınan ilk tahmin değerleri iterasyon süresince hızlı bir şekilde artarak sonsuza gitmekte yani ıraksama olmaktadır. Bunun aksine pivotlama yapıldığında köşegen eleman diğer satır elemanları mutlak değerleri toplamından büyük olmakta, iterasyon süresince hesaplanan x değerleri gerçek çözüm değeri olan 1 değerine yaklaşmaktadır. Gerçek çözüm değerine ne kadar yaklaşılacağı verilen tolerans değeriyle belirlenir. Yine burada tekrarlamak gerekir ki tolerans değeri bütün x değerleri için sağlanıncaya kadar bütün x ler için iterasyona devam edilir. 45

b) Gauss-Seidel yöntemi ile çözüm (Pivotlayarak) : İterasyon x 1 x 2 x 3 0 0 0 0 1 1.3 1.17 0.923 2 0.9737 1.01803 1.003457 3 0.976048 0.999704 1.000320 4 0.999977 0.999838 1.000021 5 1.000030 0.999993 0.999995 6 1.000002 1.000001 0.999999 Burada Gauss-Seidel yöntemi Jacobi yöntemine göre daha kısa sürede sonuç vermektedir. 46

Örnek 3.8: Aşağıdaki denklem sistemini Gauss-Seidel ve Rölaksasyon yöntemleri ile çözünüz. 8x 1 + x 2 x 3 = 8 2x 1 + x 2 + 9x 3 = 12 x 1 7x 2 + 2x 3 = 4 Çözüm: a) Gauss-Seidel yöntemi ile çözüm : Denklem sistemin pivotlayarak yöntemi uygulayalım. Başlangıç değerleri sıfır alındığında aşağıdaki tablo değerleri elde edilir. 47

x 1 = (8 x 2 + x 3 )/8 x 2 = (4 + x 1 + 2x 3 )/7 x 3 = (12 2x 1 x 2 )/9 İterasyon x 1 x 2 x 3 0 0 0 1 1 0.714286 1.031746 2 1.039683 1.014739 0.989544 3 0.996851 0.996563 1.001082 4 1.000565 1.00039 0.999831 5 0.99993 0.999942 1.000022 6 1.00001 1.000008 0.999997 7 0.999999 0.999999 1 8 1 1 1 48

b) Rölaksasyon yöntemi ile çözüm : Denklem sistemini pivotlayarak rölaksasyon yöntemine göre düzenleyelim. Başlangıç değerlerini sıfır alarak farklı rölaksasyon parametreleri için elde edilen değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tablodan da görüleceği gibi zayıf rölaksasyonda iterasyon sayısı Gauss-Seidel e göre daha az olmakta, kuvvetli rölaksasyonda (SOR) iterasyon sayısı artmaktadır. Bu durum denklem sisteminin karakterine ve denklem sayısına bağlı olarak değişir. x 1 = x 1 + ω(8 8x 1 x 2 + x 3 )/8 x 2 = x 2 + ω(4 7x 2 + x 1 + 2x 3 )/7 x 3 = x 3 + ω(12 2x 1 x 2 9x 3 )/9 49

İterasyon x 1 x 2 x 3 İterasyon x 1 x 2 x 3 0 0 0 0 1 0.973 0.691247 1.012218 2 1.038309 1.000385 0.992005 3 1.000015 0.99779 1.00002 4 1.000272 0.999984 0.999944 5 1.000002 0.999984 1 6 1.000002 1 1 7 1 1 1 0 0 0 0 1 1.1 0.801429 1.099825 2 1.03103 1.056107 0.975575 3 0.985824 0.984485 1.007804 4 1.004624 1.004731 0.997511 5 0.998545 0.998516 1.000786 6 1.000485 1.000467 0.999752 7 0.999856 0.999853 1.000078 8 1.000045 1.000046 0.999975 9 0.999986 0.999985 1.000008 10 1.000004 1.000005 0.999998 11 0.999999 0.999999 1.000001 12 1 1 1 50

DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLEBİLİRLİĞİ Çözümün Varlığı ve Tekliği Denklem sayısı: n Bilinmeyen sayısı: m olsun 1) n>m ise denklemlerden m tanesi çözülür. Çözülmeyen diğer denklemler bulunan sonucu sağlıyorsa, sonuç doğrudur. 2) n<m ise sonsuz çözüm vardır. (m-n) tane bilinmeyen kabul edilir. Diğerleri çözümden bulunur. 3) n=m ise denklemlerin lineer bağımsız olması halinde çözüm vardır ve tektir, eğer denklemler lineer bağımlı ise sonsuz çözüm vardır. 51

Homojen Denklem Sistemleri b = 0 olan sistemlere denir (Ax = 0). Bu sistemlerde x = 0 daima bir çözümdür (Trivial çözüm). Sıfırdan farklı bir çözüm olması için det(a)=0 olmalı yani denklemler lineer bağımlı olmalıdır. Kötü Şartlanmış Denklem Sistemleri Nadir de olsa, bazı denklem sistemleri, çözümün varlığı ve tekliği şartlarını sağlasa bile çözümün bulunmasında problemle karşılaşılabilir. Katsayılar matrisinin tekil bir matrise çok yakın olması, bir başka ifadeyle katsayılar matrisinin determinantının sıfıra yakın olması böyle bir durum ortaya çıkarır. Kötü şartlanmış denklem sistemi olarak adlandırılan bu denklem sistemleri çok hassas olup katsayılar matrisinde olabilecek küçük değişiklikler sonuçları büyük oranda değiştirir. 52

Örnek 3.9: Aşağıdaki iki bilinmeyenli denklem sistemi verilmiş olsun. 2.62x + 0.8y = 3.42 4.6x + 1.4y = 6 Çözüm: Verilen denklem sistemi çözüldüğünde bulunacak x=1 ve y=1 değerleri doğru çözümdür. Ancak denklem sistemindeki birinci katsayı çok küçük bir hatayla 2.63 olarak yazılmış olsa 2.63x + 0.8y = 3.42 4.6x + 1.4y = 6 aynı yöntemle bulunacak çözüm, gerçek değerlerden çok farklı olan x=-6 ve y=24 değerleridir. Katsayılar matrisindeki çok küçük bir değişikliğin sonuçları bu kadar fazla değiştirmesi sistemin kötü şartlanmış olduğunu gösterir. 53

Örnek 3.10: Şekilde gösterilen seri bağlı dört tane yay-kütle sistemi F=2000 N luk kuvvet etkisinde dengededir. Kuvvetlerin dengesinden aşağıdaki denklem sistemi elde edilmiştir. x 4 x 3 x 2 x 1 F k 4 k 3 k 2 k 1 k 2 x 2 x 1 = k 1 x 1 k 3 x 3 x 2 = k 2 (x 2 x 1 ) k 4 x 4 x 3 = k 3 (x 3 x 2 ) F = k 4 (x 4 x 3 ) 54

Yay katsayıları k 1, k 2, k 3 ve k 4 sırası ile 1000, 500 750 ve 2000 N/m olduğuna göre x değerlerini herhangi bir yöntemle hesaplayınız. Çözüm: Denklemler düzenlenip sayısal değerler yerine konursa 1500x 1 500x 2 = 0 500x 1 1250x 2 + 750x 3 = 0 750x 2 2750x 3 + 200x 4 = 0 2000x 3 2000x 4 = 2000 denklem sistemi oluşur. Matris formunda 3 1 0 0 10 25 15 0 0 0 15 0 55 1 40 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 1 55

Yazılırsa katsayılar matrisinin tridiagonal olduğu görülür. Bu sistemin çözümünde bütün yöntemler kullanılabilir. Burada bir örnek olması açısından Thomas algoritması uygulanacaktır. Bu algoritmaya göre (Eşt.3.26) e ve f dizilerinin yeni değerleri f 1 = 3 olmak üzere e 2 = e 2 f 1 = 10 3 = 3.333 f 2 = f 2 e 2 g 1 = 25x3.333 1 = 21.667 e 3 = 0.692 f 3 = 44.615 e 4 = 0.0224 f 4 = 0.1035 b 1 = 0 olmak üzere yeni sağ taraf vektörü, (Eşt.3.27a) ya göre b 2 = b 2 e 2 b 1 = 0 3.333 0 = 0 b 3 = 0 ve b 4 = 1 Bulunur. Çözüm vektörü Eşt.(3.27b) ye göre hesaplanabilir: 56

x 4 = b 4 f 4 = 1 0.1035 = 9.667 ve x 3 = b 3 g 3 x 4 = 8.667 x 2 = 6 x 1 = 1 57