YNÝ SINV SÝSTMÝN ve YNÝ LÝS PROGRMIN UYGUNUR Muharrem UÞ
SRÝ : MPS opyright Karekök ðitim asým Yayým Tur.Ltd. Þti. Sertifika No: 098 ISN: 978-97 - 900 - - 9 u kitabýn ve sistemin her hakký saklýdýr. Tüm haklarý Karekök ðitim asým Yayým Þirketine aittir. Kýsmen de olsa alýntý yapýlamaz. Metin, biçim ve sorular yayýmlayan þirketin izni olmaksýzýn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayýt sistemiyle çoðaltýlamaz, yayýmlanamaz. izgi Karekök Özel aský NSÝL MTILIK Sertifika No: 606 Yakuplu / ÝSTNUL (0) 876 8 68 Genel aðýtým Karekök Özel Misbah Muhayyeþ Sokak No: Kadýköy / ÝSTNUL Tel : (06) 8 6 70 8 6 80 0 08 7 www.karekok.com.tr Yirminci asým, Temmuz 0
ÖN SÖZ u çalýþmada amacým; lise düzeyindeki matematik konularýný, temelden baþlayarak adým adým öðretmek ve üniversite giriþ sýnavýna hazýrlanan öðrencilerin etkin alýþtýrma yapmasýný saðlamaktýr. unu baþarmak için, alýþýlagelmiþin dýþýnda bir tarz kullandým. u yeni yaklaþýma MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝ adýný uygun gördüm. Modüler Piramit Sistemi yle lise düzeyindeki tüm matematik konularý, taþlarla bir piramit oluþturuluyormuþ gibi anlatýlacaktýr. Sistem, konu ve amaçlarýn baðýmsýz öðrenilebilmesine olanak saðladýðýndan, MOÜLR sözcüðü bu yaklaþýmýn adýnda yer almýþtýr. ir serinin üçüncü kitabý olan bu çalýþmayla sistemi yakýndan tanýyacaksýnýz. u kitap hazýrlanýrken lise müfredatý dikkatle incelenmiþ, sýnýrlarý belirlenmiþtir. Üniversiteye giriþ sýnavý sorularý; konu daðýlýmý, soru tipi ve seviyesi, öðrenciden istenen yaklaþým tarzlarý göz önüne alýnarak analiz edilmiþtir. u tespit ve analizden sonra deðiþik kaynaklarýn desteði ve uzman öðreticinin düþünce ve yaklaþýmlarýnýn somut bir sistem haline getirilmesiyle bu kitap oluþturulmuþtur. Öðretmen ve öðrencilerimizden gelen yoðun istek sonucu MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝ yle yeni bir kitap serisi oluþturduk. izik, kimya, coðrafya ve Türkçe gibi farklý branþlara da uyarladýðýmýz kitaplarla sizleri buluþturmaya devam edeceðiz. u kitabýn yazýmýnda desteðini gördüðüm Saadet Çakýr, bru kþi, Hüseyin uðdayoðlu, Levent rgene, Iþýl Çimen, Murat Kalelioðlu, Ömer Pamuk, Ýzzettin Gülþen'e; sevgili öðrencilerim li Kerim Çatalkaya, gemen Öner, hmet Karalar, li Tunç Tuncel, Iþýl Necef, lican Karalar ve tüm öðrencilerime; dizgisinde titiz çalýþmalarýndan dolayý Ýbrahim them Kaya ve Yalçýn emirpolat a teþekkür ediyorum. eðerli öðretmenlerimize ve sevgili öðrencilerimize yararlý olmasý dileðiyle... Muharrem UÞ
ÝÇÝNKÝLR Modüler Piramit Sistemi... 9. Çarpanlara yýrma... 9 0. Özdeþlikler... 9. Polinomlar... 88. Ýkinci ereceden enklemler... 0. Üçüncü ereceden enklemler... 6. Parabol... 8. þitsizlikler... 6 6. Trigonometri -... 7. Trigonometri -... 0 8. Trigonometri -... 8 9. Trigonometri -... 7 Karma Testler... 07 evap nahtarlarý... 8
MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝ Modüler Piramit Sistemi nde pratik yöntem ile teorik yöntem örtüþmüþtür. Genellikle uygulamaya geçirilemeyen ve ihmal edilen amaç ve davranýþlar sorular ile ifade edilmiþtir. u baðlamda Modüler Piramit Sistemi nde her KÖÞTÞI bir davranýþýn soru biçiminde yazýlmasýdýr. Köþetaþý, bir piramitin köþesindeki taþ gibi düþünülmüþtür. u taþ belirlenmiþ olan yere konulduktan sonra ayný sýraya ait taþlar kolayca yerleþtirilebilecektir. Köþetaþý, ÇIKLMLI ÇÖZÜM ile anlatýldýktan sonra verilen 6 alýþtýrma sorusu kolayca çözülebilecektir. Köþetaþlarýna karþýlýk gelen MÇLR, konunun baþýnda verilmiþtir. öylece konuya ait içindekiler bölümü de oluþturuldu. Kitabýn sayfalarý düzenli biçimde kullanýldý. Her sayfaya bir köþetaþý, ü ve 6 alýþtýrma sorusu yazýldý. KÖÞTÞLRI numaralandýrýlarak sayfanýn baþýna yerleþtirilmiþtir. Köþetaþlarý uzman öðreticinin düþünce ve yaklaþýmlarýnýn noktasal somutlaþtýrýlmasýdýr. ikkatle incelendiðinde köþetaþlarýnýn arasýndaki eytiþim fark edilecektir. Köþetaþlarý arasýndaki bað, temelden yukarýya, kolaydan zora doðru seviyelendirilerek kurulup, gönderimlerle güçlendirildi. Köþetaþlarýnýn baðýmsýz öðrenilebilmesi için çözümler açýklamalý yapýldý. ÇIKLMLI ÇÖZÜM bölümünde öðrenciden istenen tepki köþetaþýnýn hemen ardýndan verilmektedir. Sezgiye dayalý öðrenmeye destek olmasý amacýyla çözümü destekleyici ispat, teorem ve alternatif çözümler de bu bölümde verilmektedir. ir konunun bu bölümlerinde anlatýlanlarýn toplamý, herhangi bir konu anlatýmlý kitabýn açýklamalarý toplamýndan fazladýr. u da ezberci bir yaklaþýma uzak durulmak istenmesindendir.
LIÞTIRM SORULRI bölümünden sonra verildi. u sorularla köþetaþýnýn öðrencide oluþturduðu edimsel koþullanmayý pekiþtirmek amaçlandý. TRM TSTÝ, her konunun sonunda köþetaþlarý ile birebir iliþkili olarak verildi. ir konudaki köþetaþý sayýsý ile tarama testinin soru sayýsý birbirine eþittir. Tarama testindeki n. soru, konunun n. köþetaþýnýn benzeridir. u testte olumsuz tepki alýnan sorunun numarasýndan, besleme yapýlmasý (tekrar edilmesi) gereken köþetaþý anlaþýlacaktýr. elirli bir seviyeye ulaþmýþ öðrencilerle yapýlan çalýþmalarda, önce tarama testi uygulanarak zaman kazanýlabilir. u uygulama sonucunda, çözülemeyen sorular hemen köþetaþlarýndan çalýþýlarak öðrenilebilir. KONU TSTLRÝ, selesinden tutularak yol aldýrýlan acemi bisiklet sürücüsünün selesinin býrakýldýðý testlerdir. Herhangi bir soru kitabýnda bulunabilecek sorular içermektedir. ÖSYS SORULRI, öðrencinin hedefi olan bu sorularý görmesini saðlayan testtir. u sorular öðrenci tarafýndan tekrar tekrar çözülebilir. maçlar Köþetaþý çýklamalý Çözüm Tarama Testi lýþtýrma Sorularý Konu Testi Konu Testi ÖSYS Sorularý 6
bölüm numarasý.7. bölümün 7. köþetaþý Tarama testinin 7. sorusu ile 7. köþetaþý benzerdir. Tarama testindeki 7. soru çözülemediðinde 7. köþetaþýna dönülür. bölümün (konunun) adý Her KÖÞTÞI bir davranýþýn soru biçiminde yazýlmasýdýr. Köþetaþlarý oluþturulurken lise müfredatý dikkatle incelenmiþ, sýnýrlarý belirlenmiþtir. Üniversiteye giriþ sýnavý sorularý; konu daðýlýmý, soru tipi ve seviyesi, öðrenciden istenen yaklaþým tarzlarý göz önüne alýnarak analiz edilmiþtir. Köþetaþlarýný özümseyerek çözen bir öðrencinin sýnavda çýkmýþ ve çýkabilecek sorularý çözebileceði kanaatindeyiz. Köþetaþlarý uzman öðreticinin düþünce ve yaklaþýmlarýnýn somut bir dizin haline getirilmesidir. ÇIKLMLI ÇÖZÜM kýsmýnda öðrenciden istenen tepki köþetaþýnýn hemen ardýndan verilmektedir. Sezgiye dayalý öðrenmeye destek olmasý amacýyla çözümü destekleyici ispat, teorem ve alternatif çözümler de bu bölümde verilmektedir. ir bölümün (konunun) bu kýsýmlarýnda anlatýlanlarýn toplamý, herhangi bir konu anlatýmlý kitabýn açýklamalarý toplamýndan fazladýr. u da ezberci bir yaklaþýma uzak durulmak istenmesindendir. RTIK! ÇÖZMK ÝSTÝM, M ÇÖZMÝM KÝ! deyip test çözmeyi býrakmak yok!! karekök u kýsýmdaki sorular köþetaþýnýn benzerleridir. çýklamalý çözüm kýsmýnda da hem anlatým hem de çözüm yapýldýðýndan YUKRI K veee SORUYU ÇÖZ!! 7 cevap anahtarý
TRM TSTÝ KONU TSTÝ ir konudaki köþetaþlarýnýn sayýsý kadar soru içerir. Her köþetaþýndan sýrasýyla birer soru vardýr. Tarama testindeki n. soru, konunun n. köþetaþýnýn benzeridir. u testte olumsuz tepki alýnan sorunun numarasýndan, besleme yapýlmasý (tekrar edilmesi) gereken köþetaþý anlaþýlacaktýr. elirli bir seviyeye ulaþmýþ öðrencilerle yapýlan çalýþmalarda, önce tarama testi uygulanarak zaman kazanýlabilir. u uygulama sonucunda, çözülemeyen sorular hemen köþetaþlarýndan çalýþýlarak öðrenilebilir. ershanelerde verilen yaprak testlerin benzeridir.moülr PÝRMÝT SÝST- MÝ nde uzun bir çalýþmadan sonra bu testler verilir. Selesinden tutularak yol aldýrýlan acemi bisiklet binicisinin selesinin býrakýldýðý testlerdir. Herhangi bir soru kitabýnda bulunabilecek sorular içermektedir. ÖSYS SORULRI Öðrencinin, hedefi olan ÖSYS sorularýný görmesini saðlayan testtir. u sorular öðrenci tarafýndan tekrar tekrar çözülebilir.
Ö L Ü M 9 Çarpanlara yýrma KÖÞTÞI MÇLR. Ortak çarpan parantezine alma. ir terimin tamamý parantez dýþýna alýnýrken yerine yazabilme. Gruplandýrýlmýþ ifadeleri ortak çarpan parantezine alma. ( ) ve (+) parantezine alma. Gruplandýrarak çarpanlara ayýrma 6. Gruplandýrarak çarpanlara ayýrma ve sadeleþtirme yapma 7. Verilen ifadede çarpmanýn toplama ve çýkarma üzerine daðýlma özelliðini kullanma ve yeniden gruplandýrma 8. aþkatsayýsý olan ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlarýna ayrýlmasý 9. aþkatsayýsý e eþit olmayan ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlarýna ayrýlmasý 0. Karýþýk biçimde verilen ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlarýna ayrýlmasý. Ýkinci dereceden üç terimlinin çarpanlarýnýn deðerini bulma ve iki bilinmeyenli denklem çözümü yaparak bilinmeyenleri bulma. Karýþýk yapýdaki ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayýrma ve gruplandýrýlabileceðini farketme. Sadeleþebildiði bilinen ifadelerde istenen deðeri bulma. Ýkinci dereceden üç terimliye dönüþebilen ifadeleri çarpanlara ayýrma. Verilen ifadeyi ikinci dereceden üç terimliye dönüþebilir duruma getirme ve ikinci dereceden üç terimliye dönüþtürme 6. Verilen ifadenin içindeki ikinci dereceden üç terimliyi fark etme ve grup yaparak çarpanlara ayýrma 7. a + by + cy + d + ey + f biçimindeki bir ifade için özel bir yöntem 8. Çoktan seçmeli sadeleþtirme sorularýnda deðer verme yöntemini kullanabilme 9. Çoktan seçmeli çarpanlara ayýrma sorularýnda deðer verme yöntemini kullanabilme 0. Harfli ifadelerde O ve OKK bulma
9. çarpanlara ayýrma ab a b a b ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? a.( + y) biçimindeki çarpma iþlemini yapmak için çarpmanýn toplama üzerine daðýlma özelliði kullanýlýr. una göre, a.( + y) = a + ay dir. Yapýlan bu daðýlma iþlemlerinin tersini yapmaya ORTK ÇRPN PRNTZÝN LM denir. a + ay = a( + y) Örneðin; y + y y = y ( + y y) a a = a ( a) y y = y ( y) a b b a ab a b Þimdi köþetaþýnýn çözümünü yapabiliriz. ab a b a b ab b a b a b g H ab I K emek ki ifadenin sadeleþtirilmiþ biçimi ab dir.. yy y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) y ) y ) y. a a ab b ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a b ) ) ab a. a aa a a ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) a ) a + ). y y y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) y ) y ). n n m m n m ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? m m m ) ) ) ) ) m m m m n 6. 8 ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 7 0
9. çarpanlara ayýrma 9 y + 6y y ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi nedir?. de anlatýldýðý gibi çözülecek olan bu köþetaþýnda önemli nokta vardýr. unlardan birincisi: 9 =. ve 6 =. gibi sayýlarýn çarpanlarýna ayrýlmasýdýr. Ýkincisi : a( + y ) = a + ay a iþleminin tersi yapýlýrken, yani a + ay a ifadesi ortak çarpan parantezine alýnýrken son terim olan a nýn öðrenci tarafýndan yutulmasýdýr. a + ay a = a ( + y ) dir, sondaki unutulmamalýdýr. Soruda : 9 y + 6y y =. y +.y y = y ( + y ). a a a a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) a ) a ) a. HG I KJ HG a a a a a a a I KJ ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? a a a ) ) ) ) ) a a a a a. y ay + y ifadesinin a + ifadesine oraný aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) a ) ) y. m m n n m m ifadesinin en sade biçimi nedir? ) m n ) m n ) m n ) m n ) n m. y ( + ) y ( + ) + y ( + ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) ) y ) + ) 6. y olduðuna göre, ( y) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) 6 ) 8 ) 0
b g e j 9. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? çarpanlara ayýrma b g e j bgb g b g b g ac + bc = c (a + b) ( - ) + ( - ) = ( - ) ( + ). c h e j ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) ) + ) +. e j c h ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) + ) +.. c h c h 7 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) + 7 ) 7 + ) 7 + ) + 7 ) c0h e j ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) + ) ) + ) + ). 6. e j c h c h c h ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) + e j e j 7 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) )
b g y y byg by g + y z ifadesi, artý parantezine alýnarak ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? + ( + y z) biçiminde ya da eksi parantezine alýnarak ( y + z) biçiminde yazýlabilir. undan dolayý b y g n R S T b y, nçiftise b g n g n y, ntekise 9. b g y y b yg b y g b y g b y g y y y y b yg b yg b y gb y g y y y y y b g b g b g b g b gb g çarpanlara ayýrma. c h y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y + ) y ) y. (a b) (b a) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a + b + ) a b ) a + b ) a b.. y y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y + ) + c y ) ) h c y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? h. iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. ( ) ( ) ( ) ( + ) + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y ) + y ) + y ) ) + ) + ) ) +
a + by + ay + b ifadesinin çarpanlara ayrýlmýþ biçimi nedir? 9. çarpanlara ayýrma Soruda verilen ifadede terim var, ancak terimlerin hepsinde varolan bir deðiþken yok. u durumda ifade gruba ayrýlabilir. a deðiþkeninin bulunduðu terimler (a + ay) birinci grup, b deðiþkeninin bulunduðu terimler (b + by) ikinci grup olabilir. una göre, a + by + ay + b = (a + ay) + (b + by) = a( + y) + b( + y) = ( + y) (a + b) u þekilde çarpanlara ayýrmaya GRUPLNIRM yöntemi denir.. a + a ab b ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a + b ) a b ) a + ) a +. a (a + b) = 6 b (a + b) = 9 olduðuna göre, a + b toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. ab b a + b ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a b ) a + ) b ) a. a = y + b = olduðuna göre, ay + ab y b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) 8 ). + + + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? 6. ade bde + af + bg ag bf ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) f + g ) de + f ) ) ) + ) ab + f ) a + d + e ) ) +
ab b a ab a b 9.6 ifadesinin en sade biçimi nedir? çarpanlara ayýrma ab b a ab a b e ab b j e a abj a b bba bga ba bg ba bgbb a g a b a b Hatýrlatma : b a. a a ab b a b ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir?. y ) a ) a + ) a + b ) a ) a + b olduðuna göre, ifadesinin ve y türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) y + y ) y + ) + y ) y + ) y +.. a b a b 7 a b olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8 y y 6 y y y 6 y iþleminin sonucu kaçtýr?. 6. 6 ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 6 0 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
e j e j a a a 0 9.7 olduðuna göre, in a türünden eþiti nedir? çarpanlara ayýrma u soruda dikkat edilecek nokta kesrin payýdýr. Önce daðýtýlýr, sonra gruplandýrýlýr. a ( _ ) - (a _ ) = a _ a _ a + = (a a ) + ( a + ) = a ( a) + ( a) = ( a) (a + ) Yerine yazýlýrsa: b agba g 0 a 0 a a. b (a ) (b a) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a b ) a + b ) a ) b. a + b y b (a + y) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) b ) a ) a + ) ab. b(8 + a) (a + 6b ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) b ) + a ) a b ) ) a b. y (a + b ) + ab ( + y ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + by ) a + b ) + y ) a + y ) a + b. e j e j y a b ab y ay b ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ab y ) ay + b ) a b ) a by ) y 6 6. c ab a b h a ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ab ) a + b ) b ) b + ) a + b
9.8 çarpanlara ayýrma Ýkinci dereceden üç terimli olan 7 + ifadesinin çarpanlarýný bulunuz. ( + a) ( + b) = + b + a + ab = + (a + b) + ab elde edilen II. dereceden üç terimlinin çarpanlarýnýn ( + a) ve ( + b) olduðu açýktýr. una göre; ifadesi de benzer þekilde çarpanlara ayrýlabilir. Çarpýmlarý, toplamlarý 0 (çünkü orta terim yok) olan sayýlar ve olduðundan = ( ) ( + ) _ 7 + toplamlarý çarpýmlarý ifadesinde çarpýmlarý, toplamlarý 7 olan iki sayý bulunur. u sayýlar ve tür. u yüzden ve bu ifadenin çarpanlarýdýr. kz. (.0). 6 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ). 6 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ). 6 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). 6 ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). :c h 0 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 6. 6 8 ifadesinin en sade biçimi nedir? ) ) ) ) + ) 7
9.9 çarpanlara ayýrma Ýkinci dereceden üç terimli olan 6 0 ifadesinin çarpanlarýný bulunuz. (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd = ac + (ad + bc) + bd una göre, aþaðýdaki gibi bir yöntem geliþtirilebilir. çarpýmlarý 6 6 0 U Vçarpýmlarý 0 oklar yönünde çarpma yapýlýrsa bu çarpýmlarýn toplamý = olur ki bu da ortadaki terimi veriyor. u durumda 6 0 = ( + ) ( ) tir. (kz. (.)) R S T W. 7 + 6. ifadesinden çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) + ) 7 6 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) + 6. 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? RS T RS T U V W U V W ) 7 ) 6, ) ), ) R S T,. (6 ) ( 9) 6 7 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? UV W RS T RS T, 6 6 7, U V W U V W. : 7 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 6. ) ) + 8 ) ) ) ) + ) 6 + 7 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) +
y y y : y 9.0 ifadesinin en sade biçimi nedir? çarpanlara ayýrma y y y : y bygb yg y y b g + y y y +y y + 6y = y. 6 + y 6y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) y ) + y ) y ) + y. (a ) + (a ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a + ) a + ) a +. a ab b a b ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?. 6 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? HG I KJ ) a + b ) a + b ) a b ) ) ) ) a b ) a + b ) + ). (a ) (a ) (b ) + (b ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a b + ) a b + ) a + b + ) a b + (Ýpucu : a =, b = y olsun) 6. (a + ) (a + ) (b ) (b ) ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (a b + ) (a + b + ) ) (a + b) (a + b ) ) (a + b ) (a b + ) ) (a b) (a b + ) ) (a + b + ) (a + b ) 9
9. çarpanlara ayýrma y + y = y = olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? y + y = + y y = ( + y) ( y) = ( y = olduðundan) + y = y y U V W denklem sisteminin çözümü yapýlýrsa (kz. (.)) = ve y = bulunur. + y = 9. y y = y = olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ). y = 7 + y = olduðuna göre, y 0y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 8 ) 6 ) 6 ) 6. y y = 0 y = 7 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). + 7y + 6y = 77 + y = olduðuna göre, y çarpýmý kaçtýr? ) ) 6 ) ) ) 8 0. = + y y = olduðuna göre, y nin deðeri aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) ) 6. y = y = olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 )
b a a a g 9. ifadesinin en sade biçimi nedir? çarpanlara ayýrma Yukarýdaki ifadenin payý çarpanlarýna (.9) da anlatýldýðý gibi ayrýlýr. a + (a ) + a + a = (a ) olduðundan O.K a ba g b gba g a a U SORU (.7) KÝ GÝÝ ÇÖZÜLÝLÝR: a + (a ) = a + a = (a + a) + ( ) = a( + ) ( + ) = ( + ) (a ) Ýfadede yerine yazýlýrsa; c hc h a a. c y y 6 y ifadesinin en sade biçimi nedir? h. c ab a b h b ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + y ) ) a ) a + ) b ) + ) y ) b + ) a + b. ab + (a b) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) b ) b + ) a + b. c h a ab b 7 b olduðuna göre, a çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. c akb a k b kb h ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ab ) ab ) ab + ) ab k ) ab + 6. c a b ab h 7 6 ifadesinin en sade þekli olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 )
b 7 m m g 9. ifadesi sadeleþebildiðine göre, m kaçtýr? çarpanlara ayýrma u soruyu (.0) da anlatýldýðý gibi çözmek mümkün, ancak sýkýntýlýdýr. Yeni bir bakýþ açýsý bulacaðýz. u ifade sadeleþebilir olduðuna göre, payýn çarpanlarýndan biri paydadaki tür. undan dolayý ifadesini sýfýr yapan deðeri + (7 m) m ifadesini de sýfýr yapar. = 0 = ÝRZ ÐÝÞÝKLÝK KTLIM! m n ifadesinin en sade þekli na göre, m + n toplamý kaçtýr? nin + + m ifadesinin olduðu + in + n + ifadesinin çarpaný olduðu açýk týr. = için + (7 m) m = 0 = 0 = için + + m = 0 9 + (7 m) m = 0 m = m = m = 6 + = 0 = için n + = 0 u yüzden m + n = dir. n =. m ifadesi sadeleþebildiðine göre, m kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). 7 m 6 ifadesi sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ). m m ifadesi sadeleþebildiðine göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ). n 8 p ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi n + p toplamý kaçtýr? olduðuna göre, ) 6 ) ) ) 8 ). c m m h ifadesi sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? 6. m n n ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi m.n çarpýmý kaçtýr? olduðuna göre, ) ) ) ) ) 6 ) ) ) ) 0 )
9. çarpanlara ayýrma þaðýdakilerden hangisi ( ) 8( ) + ifadesinin bir çarpaný deðildir? ) ) + ) ) + ). dereceden olan bu ifade. dereceden bir ifadeye dönüþtürülebilir. = t olsun t 8t + = (t ) (t 6) = ( ) ( 6) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) Görüldüðü gibi bu ifadenin bir çarpaný deðildir.. 6 denkleminin kökler toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). (a + a) (a + a) + ifadesinin bir çarpaný aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) a ) a ) a + ) a + ) a +. 6 ifadesinin en sade biçimi nedir? ) ) ) ) ) 6. HG 6 I KJ HG 6 I KJ 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? ) 6 ) ) ) 0 ).. + = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {0, } ) {, } ) {0, } ) {, } ) {0, } 6. 9. + + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) + ) ) + 9
9. çarpanlara ayýrma þaðýdakilerden hangisi ( ) + 6 8 ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) ) + ) ) ) + Ýkinci dereceden üç terimliye dönüþtürülebilen bir ifadedir. u tip sorularda karesi olan ifadesi kendisinin sað tarafýndaki terimlerden elde edilmeye çalýþýlýr. ( ) + ( + 6) 8 = ( ) ( ) 8 = t olsun t t 8 = (t ) (t + ) t yerine yazýlýrsa ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( ) una göre, + bu ifadenin çarpaný deðildir.. ( ) + + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) + ) + ) ). ( ) 7 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) ) ) + ) +. ( ) 8 + 8 + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) + ) + ) ) ). ( + ) 7 + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) ) + ) + ). ( + ) 6 + 0 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) ) ) + ) + 6. ( + ) 7. + ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) ) ) + ) + ) +
a ab a b ab 9.6 ifadesinin en sade biçimi nedir? çarpanlara ayýrma Paydaki II. dereceden üç terimliyi farkedip gruplandýrmak gerekiyor. a ab + a + b = (a + a ) + ( ab + b) = (a + ) (a ) b (a ) = (a ) (a + b) Yerine yazýlýrsa: a ab a b ab bagbab g a ab. a ab a b 6 a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a b + ) a + b ) a b +. : y 9 y 9 y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ) a b. y + y + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) y +. y y 9 + 8y 6 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) y + ) y +. ) + y ) + ) a ab a b a : a ab a a a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a + ) a ) a + ) ) + 6. y + y + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y + ) + y ) + y +
y + y + + 7y ifadesini çarpanlarýna ayýrýnýz. 9.7 çarpanlara ayýrma II. dereceden bu ifadenin çarpanlara ayrýlmasý için aþaðýdaki gibi kolay ve özel bir yöntem vardýr. y + y + + 7y + y y + Önce +, sonra y + 7y +y + y + = 6y + y = 7y çarpanlarýna ayrýlýr. Sabit terim nin çarpanlarý olan ve + nin yöntem uygulanýrken yer deðiþtirmediðine dikkat edilmeli. y + y + + 7y = ( + y ) ( y + ). y + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y + ) y ) y + ) + y +. y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y ) + y ) y + ) + y. y y + + y 6 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) y + ) y + ) y + ) y +. y y + + 7y 6 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y ) y + ) y + ) y 6. 6. y y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) y + ) + y ) + y ) y + a b ab b ab olduðuna göre, a + b toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7
y y y y y 9.8 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) y u köþetaþýnda, çoktan seçmeli SLÞTÝRM sorularýnda kullanýlabilecek deðer verme yöntemi anlatýlacaktýr. Çarpanlara ayýrma yöntemlerini bilmeyen öðrenci bu yöntem ile sonuca ulaþabilir. Verilen ifadedeki deðiþkenlere rastgele birer deðer verilir. Örneðin bu soru için = 0 ve y = olsun. u deðerleri, verilen ifadede ve seçeneklerde yerine koyalým: y y 0 0 0 0 y y y 0 0 0 çarpanlara ayýrma ) = 0 ) = ) + = ) = ) y = ifadenin deðeri seçeneðinde çýktýðýndan cevap seçeneðindeki ifadedir. ðer, seçeneklerden ikisi ya da daha fazlasý ifadenin deðerine eþit çýksaydý, deðiþkenlere verilen deðerler deðiþtirilip bunlar arasýnda da eleme yapýlýrdý.. y y y y ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) y ) + y. : ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + ) ) ) y +.. y y ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) ) ) + ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) 7. 6. 7 6 : 6 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + ) y y : y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + ) +
9.9 çarpanlara ayýrma þaðýdakilerden hangisi y + y + y + ifadesinin çarpanlarýndan biridir? ) y ) + y ) y + ) y + ) + ir önceki köþetaþýnda anlatýlan yöntem çarpanlarýn istendiði sorularda da uygulanabilir. eðiþkenlere rastgele deðer verilir. u deðerler ifadede ve seçeneklerde yazýlýr. Ýfadede çýkan sayýnýn çarpaný (böleni) seçeneklerde mutlaka çýkacaktýr. oðru cevap bu seçenektir. ncak iki ya da daha çok seçenekte bölen çýktýðýnda deðiþkenlere verilen deðerler deðiþtirilerek bu seçenekler arasýnda eleme yapýlýr. = ve y = için sorudaki ifadenin deðeri + + + = 9 olur. ) ) 6 ) ) 8 ) Seçeneklerde sadece deki, ifadenin deðeri olan 9 un böleni olduðundan cevap dir.. y + + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) y + ) + y. + y + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y + ) y + ) + y ) +. + 9 0 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) ) + ) +. e ef e + 9f ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) e ) e + ) e + f. a ay + b by ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) e f ) + f 6. abe + cde + abf + cdf ge gf ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a + ) a + b ) + y ) y 8 ) e f ) e + f ) a + b ) b + d g ) ab + cd
9.0 çarpanlara ayýrma = a =a a = a + 8a + 6 ifadelerinin OKK i ve O i nedir? Polinomlarýn O ve OKK i, sayýlarýn O ve OKK i gibi bulunur. Önce çarpanlarýna ayrýlýr. Ortak çarpanlarýn küçük üslüleri O i verir. Ortak çarpanlarýn büyük üslüleri ile ortak olmayan çarpanlar da OKK i verir. =a = (a ) = (a ) (a + ) =a a = (a + ) (a ) = a + 8a + 6 = (a + a + ) = (a + ) (a + ) O(,, ) = (a + ) OKK(,, ) = (a ) (a + ) (a ) (a + ). a = +, b = +, c = ifadelerinden O i aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ( ) ) ( + ) ) +. a = +, b = olduðuna göre, OKK(a,b) O(a,b) oraný nedir? ) ) + ) + ) + ). a =, b = + ifadelerinin OKK i aþaðýdakilerden hangisidir?. a =, b =, c = ) ( ) ( + ) ) ( ) ( ) ifadelerinin OKK i nedir? ) ( + ) ) ( + ) ( ) ( + ) ) + ) ) ( + ). a =, b = ifadelerinin O i aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) + ) 9 ) ) ) 6. a = +, b = ifadelerinin O i nedir? ) ) ) ) + )
TRM TSTÝ çarpanlara ayýrma. y yy y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? 6. a b ) ) y ) y ) ) y olduðuna göre, 0 0 ifadesinin a ve b türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ab + b ) ab + a ) ab + a ) ab + b ) 6ab. ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 8 ) ) 6 ) 7. e j e j a 6 a 0 a olduðuna göre, a çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) 7 ). e j e j 8 olduðuna göre, kaçtýr? 7 9 ) ) ) ) ) 6 8. 6 7 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? 9 9 ) ) ) ) ). c c h h a b ab b a a b ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) a b a b a b ) ) a b a b 9. 6 : ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) + ) ). a 6a ab + b ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a + b ) a + ) a b ) b + 0 0. y y y y y y c ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) y ) y ) y h
. + y y = + y = 6 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 6. çarpanlara ayýrma a aab6b a a : a aba a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? ) a ) b ) ) ) ab. c h a a a olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7 7. y y 8y y ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) + y + ) y + ) y ) + y + ) y +. c m m h ifadesi sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) ) 7 8. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). þaðýdakilerden hangisi ( ) ( ) ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) ) + ) ) + ) 6 9. y + y y + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) ) y ) y. þaðýdakilerden hangisi ( ) + 8 ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? 0. = = + = ifadelerinin O i nedir? ) ) + ) ) ) + ) ) ) + ) + )
KONU TSTÝ çarpanlara ayýrma. ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 6. ( ) + ( ) ifadesinin bir çarpaný aþaðýdakilerden hangisi deðildir? ) ) + ) ) ) 6. a ab b b olduðuna göre, a çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 7.. + = 0 denkleminin köklerinin çarpýmý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). b a ab y b ay ab ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? b b a ) ) ) y b a y b y a b ) ) b y a y 8. c a 6 a a h ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) +. : iþleminin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 9. denklemini saðlayan deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) 8 ) 6 ). b a ab : b b b ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) + b ) b ) + a ) a 0., y, z birer reel sayýdýr. y iþleminde her sayý ile çarpýlýrsa iþleminin z sonucu nasýl deðiþir? ) eðiþmez ) katýna çýkar ) artar ) katýna çýkar ) 0 artar
çarpanlara ayýrma. ab a b ab : ab ab ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ab ) a 6. acd bcd + aef bef ak + bk ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) c + f k ) a + b k ) cd + ef k ) cd ab + k. c h c h c h ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 7. a0 ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli 8 b olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) 7 ) 0 ) ). a b ab a b 0 a b olduðuna göre, a nýn b türünden eþiti nedir? ) b ) b ) b + ) b ) b + 8. m m ifadesi sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) 8 ) 9 ) 0 ) ). y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) y ) y + 9. a a a olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ). a = b = + c = olduðuna göre, OKK(a,b,c) O(a,b,c) oraný nedir? ) ) ) + ) ) 0. y y y 6 y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) y + ) + y ) y + ) y +
KONU TSTÝ çarpanlara ayýrma. y y y y ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 6. ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) ) y ) y ) 0, ) 0, ) 0,7 ) ),. a a b b a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? b a ab b a ) ) ) ) ) 7. a aa a aa ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? a a a ) ) ) a a a a a ) ) a a. + y + + y. y = 0 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 8. 6a a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) a ) a. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 9. m kesiri sadeleþebildiðine göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). a ab abab ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? a b a ) ) ) a ) a ) a b a b b b b 0. y olduðuna göre, (a y) y (a ) ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) a ) + y ) a
. c h ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? çarpanlara ayýrma 6. ( ) + 6 8 + 8 = 0 denkleminin reel köklerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 ) ) + ) ) ) 7. = +. y y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) = + 6 polinomlarýnýn O i aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) ) ) + ) + y. y 7 y 6 y olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 8. y y y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) + y ) y + ) y ) + y ) y. y y y 6 y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y + ) + y ) + y + ) y + ) + y 9. a b b a a b ab ab ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ab ) ab ) ). m n ifadesinin en sade þekli m + n toplamý kaçtýr? olduðuna göre, ) 6 ) ) 0 ) ) 0. + 6. + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? R S T U V W ) ) {, } ) {, }, R S T U V W R S T ) ),, U V W
ÖSYS SORULRI çarpanlara ayýrma. m 6 ( )( ) kesirinde m pozitif bir tamsayýdýr. u kesrin sadeleþtirilebilir bir kesir olduðu bilindiðine göre, sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 6 6..y çarpýmýnda her çarpana eklenirse çarpým ne kadar büyür? ) + y + ) ( + y + ) ) + y ) ) (ÖSS 8) 9 ) ) 7. (a b) (c a) + (a c) (a b) 8 (ÖYS 8) ifadesinin çarpanlara ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (a b) (c a) (c b) ) (a b) (a c) (c + b) ) (a b) (a + c) (b c) ) (a + b) (c a) (c b) 7. a a a iþleminin sonucu nedir? ) a ) a ) ) a + ) a (ÖSS 8) ) (a + b) (a c) (b + c) (ÖYS 8) 8. ab (a b) a. a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) ) a + ) a a (ÖSS 8) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (a b) ) b ) a + a ) ab ) b (ÖYS 87). a a 9 a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? a ) a ) ) a ) ) a + a (ÖYS 8). ( + ) ( + 7 8 + 6) çarpýmý yapýldýðýnda in katsayýsý kaç olur? ) ) ) ) ) 9 (ÖSS 8) 9. a b, b Z b olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi a nýn bir çarpanýdýr? ) b ) b + ) b ) + b ) b 0. (a ) (b y) + y (y b) y ( a) (ÖSS 9) ifadesinin kýsaltýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ab ) y ) y ) a ) by (ÖSS 9) 6
. a ba a b a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) b a ) a b ) a + b ) a ) a + (ÖSS 9) 6. çarpanlara ayýrma ab b y ay a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) b ) y ) y b (ÖSS 96). 0 : iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 9) 7. [(0 ) ( 0)] [(9 0) (0 )] iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) 9 ) 6 (ÖYS 97). a = b olduðuna göre, a 8ab nin deðeri kaçtýr? 8b ab ) ) ) ) ) 6 (ÖSS 9) 8. a 6a a 6a : a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) a ) ) a ) a (ÖYS 97). ab a b a b b ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a ) a b ) b a ) b (ÖSS 9) 9. a b 8 9 olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) 6 ) 8 (ÖSS 00). m bir gerçel sayý olmak üzere, (m ) m (m ) m (7 m) (p m) eþitliðini saðlayan p deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 0. a bc ac b a b ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b c ) a b + c ) a + b + c ) a b c ) a + b + c (ÖSS 00) (ÖSS 9) 7
. olmak üzere, + y + y + + = 0 olduðuna göre, ile y arasýndaki baðýntý aþaðýdakilerden hangisidir? ) + y = 0 ) y = 0 ) + y = 0 ) y = 0 ) + y = 0 (ÖSS 00). olduðuna göre, kaçtýr? y çarpanlara ayýrma y y ifadesinin deðeri ) 6 ) ) ) ) (ÖSS 008 II). b b a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? 6. a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a ) a ) a + (ÖSS 009 I) ) a ) b ) + a ) + b ) a b (ÖSS 00) 7. a a a a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?. a a b b b a b a a b )a )a ) )a+ )a + (LYS 0) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) b ) a + b ) ) (ÖSS 00) 8. ( y) y y y olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ) (LYS 0). ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y y : y y y ) y ) y ) y ) y (ÖSS 008 II) 8 9. (y z) z(y ) y z yz ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y ) z y y ) y ) y z y z z (LYS 0)
Ö L Ü M 0 Özdeþlikler KÖÞTÞI MÇLR. a b = (a b) (a + b) özdeþliðinden yararlanarak çarpanlara ayýrma. Parantezli ifadelerde a b = (a b) (a + b) özdeþliðinden yararlanma ve çarpanlara ayýrma. a b = (a b) (a + b) özdeþliðinden yararlanarak reel sayýlarda iþlem yapma. azý köklü ifadelerin eþleniðini bulurken a b = (a b) (a + b) özdeþliðinden yararlanýldýðýný farketme ve köklü sayýlarda iþlem yapma. Kareleri farký verilen tamsayýlarýn deðerini a b = (a b) (a + b) özelliðinden yararlanarak bulma 6. a b = (a b) (a + b) özdeþliðini geometri sorularýnda uygulama 7. a b = (a b) (a + ab + b ) [Ýki küp farký] a + b = (a + b) (a ab + b ) [Ýki tüp toplamý] özdeþliklerinden yararlanarak çarpanlara ayýrma 8. Ýki küp farký ve Ýki küp toplamý özdeþliklerinden yararlanarak sadeleþtirme yapma 9. Ýki küp farký ve Ýki küp toplamý özdeþliklerinden yararlanarak reel sayýlarda iþlem yapma 0. n y n = ( y) ( n + n y +... + y n ) n + y n = ( + y) ( n n y +... + y n ), n tek iken özdeþliklerden yararlanarak iþlem yapma. Tam kare ifadelerin açýlýmlarýný yazabilme, açýlýmlarý verilen tam kare ifadeleri yazabilme. Ýki ya da daha fazla eþitlik üzerinde iþlemler yaparak tam kare ifadeyi elde etme. Tam kare ifade yardýmýyla bazý köklü sayýlarýn deðerini bulma. Tam kare ifadeleri tanýyabilme, gruplandýrabilme, iki kare farký özdeþliðinin bir terimi yaparak sadeleþtirme yapma
. Ýki ya da daha çok tam kare içeren ifadeleri tam karelerin toplamý biçiminde yazma, bu toplamýn sýfýra eþit olmasý durumunda her bir tam kareyi sýfýra eþitleme 6. Ýki ya da daha çok tam kare içeren ifadeleri tam karelerin toplamý biçiminde yazma, bu toplamýn en küçük deðerini bulma 7. Ýkinci dereceden üç terimliyi tam kareye dönüþtürme ve en küçük ya da en büyük deðerini bulma 8. Onyedinci köþetaþýný problemlere uyarlama ve çözme 9. Tam kare açýlýmýný bazý geometri sorularýnýn çözümünde uygulama 0. Tam kare açýlýmý yardýmýyla yüksek dereceden ifadelerin derecelerini düþürme ve deðerini hesaplama. Terim ekleyip çýkararak çarpanlara ayýrma. erecesi den büyük olan parantez açýlýmlarýný (binom açýlýmlarý) yazabilme. Parantez açýlýmlarý yardýmýyla bazý ifadelerin deðerini hesaplama. Ýki ya da daha fazla ifadenin üzerinde iþlemler yaparak parantez açýlýmýný elde edebilme. Parantez açýlýmýna dönüþebilen ifadelerin deðerini, verilen deðiþken deðerleri için hesaplayabilme 6. a + b = (a + b) ab özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama 7. a + b = (a b) + ab özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama 8. (a + b) = (a b) + ab özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama 9. a + b = (a + b) ab (a + b) özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama 0. Yukarýdaki dört özdeþlik yardýmýyla deðer hesaplama. a b = (a b) + ab (a b) özdeþliðinden yararlanarak deðer hesaplama. Yukarýdaki köþetaþlarýnda, verilen ifadelerin üzerinde deðiþiklik yapýlabileceðini fark etme ve bu ifadeleri uygun hale getirme. Yukarýdaki köþetaþlarýnda verilen ve deðeri istenen ifadeler üzerinde yapýlacak deðiþikliði farketme. (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) özdeþliðinden yararlanarak deðer bulma
0. özdeþlikler 9 6y ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ þekli nedir? a b = (a b) (a + b) özdeþliðine iki kare farký denir. u eþitlik a ve b nin her reel(gerçel) sayý deðeri için saðlandýðýndan özdeþlik adý verilir. u özdeþliðe göre; y = ( y) ( + y) = ( ) ( + ) = e je j 9 y = ( y) ( + y) = ( ) ( + ) = e je j Köþetaþýnda verilen ifade; = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) 6 y 6 = ( y ) ( + y ) 9 6y = () (y) = ( y) ( + y). y + + y = olduðuna göre, y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). HG I KJ HG 9 a b : a b ab I KJ ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a b ) a b ) a + b ) a b ) 6ab.. HG ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) a ) ) a + a a HG a a a I J HG K I KJ HG 6 : J olduðuna göre, kaçtýr? a I KJ ) ) ) ) ) 6 I KJ. a (b + ) + ab = 0 6. olduðuna göre, b nin a türünden eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) a + ) a a ) ) a a a 7 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) 6
0. özdeþlikler (a b + c) (a + b c) ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ þekli nedir? y = ( y) ( + y) özdeþliði kullanýlacaktýr. = a b + c, y = a + b c olsun. (a b + c) (a + b c) = [(a b + c) (a + b c)] [(a b + c) + (a + b c)] = [a b + c a b + c] [a b + c + a + b c] = (c b) (a) = a (c b). c h c h a b a b ab ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli nedir?. c h c h y z y z y z ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) a + b ) ) ) ) ) ) (a b) ).. c h c h : ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) + c h a b 7 a b olduðuna göre, a b deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 9. þaðýdakilerden hangisi (a + b) (a c ) (a + c) (a b ) ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) a + b ) a + c ) b + c ) b c ) a c 6. a + b = c h c h a b a7b 0 b a olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0
e j 67 67 00 7 6 0. olduðuna göre, kaçtýr? özdeþlikler azý iþlemlerde özdeþliklerden yararlanmak kolaylýk saðlar. Ýki kare farký iþlemde açýkça görülüyor. una göre; e 67 67 00 7 6 67 67 67 67 00 7 6 b gb g j 00 7 00 7 6 b 00 7 7 6 g 00 6. 0 99 iþleminin sonucu kaçtýr? ) 00 ) 00 ) 0 ) 60 ) 00. c h c h c0,h c0,h,0,99 iþleminin sonucu kaçtýr? ) 0, ) 0, ) 0, ) ),. 9 = k olduðuna göre, k kaçtýr? ) 0 ) ) 6 ) 9 ). HG 0 0 7 KJ 7 iþleminin sonucu kaçtýr? I HG ) 7 ) ) ) ) I KJ. Ýki ardýþýk doðal sayýnýn kareleri farký olduðuna göre, küçük olan sayý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. () () = ().k olduðuna göre, k kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7
a ve b olduðuna göre, a b toplamý kaçtýr? 0. özdeþlikler Köklü sayýlarda anlatýlan eþlenik kavramý özdeþliklere dayanýr. (a b) (a + b) = a b e je j e j e j una göre, b a a a a b ( b) ( a) e je j. iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ). a olduðuna göre, a(a + ) (a + ) çarpýmýnýn sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ). e yj e yj e 8 8 yj e 8 8 yj ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) + y ) y ). a a 7 olduðuna göre, a a 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? (Ýpucu : Ýstenen deðere deyip taraf tarafa çarpma yapýnýz.) ) 6 ) 9 ) ) 8 ) 7 ) + y ) y 6. a b. olduðuna göre, ( ) ( + ) ( + ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) olduðuna göre, (a b ) ifadesinin sayýsal deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) 9 )
a ve b pozitif tamsayýlar 0. özdeþlikler a b = 7 olduðuna göre, a + b toplamýnýn deðeri kaçtýr? u tip sorularda a ve b pozitif tamsayý gibi öncüller vardýr. a ve b tamsayý ise, a b ve a + b ifadeleri de tamsayýdýr. a b = 7 (a b) (a + b) = 7 u aþamada hangi iki tamsayýnýn çarpýmý 7 dir? sorusu sorulur. ðer a b = ve a + b = 7 olursa eþitlik saðlanacaktýr. una göre, a b = a + b = 7 denklem sistemi çözülürse, a = 9 ve b = 8 bulunur. a + b =.9 +.8 =. ve y pozitif tamsayýlar y = olduðuna göre, y çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 96 ) 0 ). a, b Z + a b = a b olduðuna göre, a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). a ve b pozitif tamsayýlar a b = olduðuna göre, a b farkýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ) 7. a ve b birer tamsayýdýr., y, z pozitif tamsayýlardýr. (y + z) = olduðuna göre, y + z ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) 6 ) 6. y = 7 a b = olduðuna göre, a + b nin alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) ) ) ) ) 6 y = 6 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9
O köþetaþý O O 0.6 O merkezli iki çemberin büyüðünün yarýçapý a birim, küçüðünün yarýçapý b birimdir. Çemberlerin çevreleri toplamý 6 birim, a b = birim olduðuna göre, taralý alan kaç birimkaredir? özdeþlikler Çevreleri toplamý: a + b = 6 (a + b) = 6 a + b = 8 Taralý alan: a b ÝRNÝN LNI ve ÇVRSÝ O lan = r Çevre = r r O = (a b ) = (a b) (a + b) =..8 = 6 birimkare. ve GH birer kare Karelerin çevreleri toplamý 6 cm Taralý alan cm Yukarýda verilenlere göre, y farký kaç cm dir? ) ) ) ) ) 6. ikizkenar dik üçgen [] [] () = 0 cm II + II = 0 cm Yukarýda verilenlere göre, II = kaç cm dir? ) ) ) 6 ) 7, ) 8. Þekilde merkezleri O noktasý olan iki çember verilmiþtir. [], T noktasýnda içteki çembere teðettir. II = 8 cm Yukarýda verilenlere göre, taralý alan kaç cm dir? ) 8 ) ) 6 ) ) 6. [] [] II = 6 cm II = 60 cm Yukarýda verilenlere göre, II = kaç cm dir? ) 9 ) ) 7 ) ). ve G kare IGI = 7 cm Taralý alan = cm Yukarýda verilenlere göre, II kaç cm dir? ) ), ) 6 ) 6, ) 7 6. üçgeninde [H] [] Yukarýda verilenlere göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 6
0.7 özdeþlikler a 6 b 6 ifadesini çarpanlarýna ayýrýnýz. a b = (a b) (a + ab + b ) a + b = (a + b) (a ab + b ) özdeþliklerine iki küp farký veya toplamý denir. u özdeþliklere göre; = ( ) ( + + ) 8 + = ( + ) ( + ) Ýspat yapalým mý?! a + b = a ab + ab + b (ab eklenip çýkarýldý.) 7 8 = ( ) (9 + 6 + ) HG I HG K J e je j 9 6 I K J = (a ab ) + (ab + b ) = a(a b ) + b (a + b) = a(a b) (a + b) + b (a + b) = (a + b) [a(a b) + b ] = (a + b) [a ab + b ] Köþetaþýnda verilen ifade üç özdeþliði de içeriyor: a 6 b 6 = (a ) (b ) = (a b ) (a + b ) = (a b) (a + ab + b ) (a + b) (a ab + b ). ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli nedir? ) ) ) + ) ). 8 + y = 6 y + y = olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. 7 olduðuna göre, kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. a a b b a b ab ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ab ) a b ) a b ) a + b. a b = a + ab + b = olduðuna göre, a b farkýnýn deðeri kaçtýr? ) 8 ) ) 8 ) 6 ) 8 ) ab 6. þaðýdakilerden hangisi a 6 6 ifadesinin bir çarpaný deðildir? ) a ) a + ) a + a + ) a a + ) a + a + 7
HG y y : y y I KJ y 0.8 ifadesinin en sade þekli nedir? özdeþlikler (. 7) deki özdeþlikleri sadeleþtirme sorularýnda kullanacaðýz: HG y y : y y KJ b yge y y j : y y b gb g y y y y y y y y y y y y y y I y y HG I KJ y. a a : a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir?. HG a a a : : a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? I KJ c h ) ) a + ) ) ) a a a ) a ) a + ) a ) a + ) a. a a a : a a a 8 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) a ) a ) a + ) a. HG y y y y y : y y y ifadesinin en sade þekli nedir? ) ) y ) ) y ) y I KJ. HG I KJ y y y : y y ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) ) y ) y 8 6. HG I KJ a b a 8b b b : a a b a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) a ) b ) a b ) a + b
0.9 özdeþlikler 007 007 008 iþleminin sonucu kaçtýr? (.7) deki özdeþlikler sayý iþlemleri yapýlýrken de kullanýlabilir: 007 007 008 b007 ge 007 007 j 006 e 007 008j 006 007 008 007 008. 9 6 iþleminin sonucu kaçtýr?. HG I KJ 0 99 0 99 0 99 : 99 0 99 0 iþleminin sonucu kaçtýr? ) 6 ) 0 ) 6 ) 6 ) 66 ) 00 ) 999 ) 00 ) 000 ) 00. 00 00 000 iþleminin sonucu kaçtýr?. 00 00 : 00 00 00 iþleminin sonucu kaçtýr? ) 9999 ) 00 ) 999 ) 0 ) ) ) ) 999 ) 00 ) 00. 999 999 000 iþleminin sonucu kaçtýr? 6. 6 a 6 a a olduðuna göre, a nýn pozitif deðeri kaçtýr? ) 00 ) 999 ) 09 ) 00 ) 998 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 9
y 7 0.0 olduðuna göre, y kaçtýr? a n + b n = (a + b) (a n a n b + a n b... + b n ), n tek iken a n b n = (a b) (a n + a n b + a n b +... + b n ) Yukarýdaki özdeþliklere göre; a b = (a b) (a + a b + ab + b ) + = ( + ) ( + + ) özdeþlikler + = ( + ) ( + ) a = (a ) (a + ) y 7 b y 7 y 7 8 y g H HG I HG 7 K J 6 Köþetaþýna bakýlýrsa: I K I K J ÝSPT YPMK ÝÇÝN YR MÝ KLI?! a n b n = a n + a n b a n b + a n b a n b +... b n (terim eklenip çýkarýldý.) = a(a n + a n b +... + b n ) b (a n + a n b +... + b n ) = (a b) (a n + a n b +... + b n ). 9 olduðuna göre, kaçtýr?. 7 olduðuna göre, kaçtýr? ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 ) 7 ) ) ) 8 ) ). olduðuna göre, ( y) ( + y + y + y ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). olduðuna göre, L NM ve y O QP ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 00 ) ) 0 ) 80 ) 00. olduðuna göre, 6. HG I HG KJ 8 6 iþleminin sonucu kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 8 9 6 6 ) ) ) ) ) 0 8 6 6 I KJ 0
(a b) tam karesinin açýlýmý nedir? 0. özdeþlikler (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b ifadelerine TM KR denir. þitliklerin saðýndaki ifadeler de açýlýmlarýdýr. Yukarýda verilenlere göre, ( ) = + ( + ) =9 + 6 + ( + y) = + y + 9y I HG K J una göre, (a b) = a ab + b YNI ZMN ÇILIMLRI VRÝLN TM KR ÝLR YZILÝLMLÝ: 9 6 + = ( ) HG HG I KJ I KJ a a a ÝSPT (a + b) = (a + b) (a + b) (çarpma iþlemi yapýlýr) = a + ab + ab + b = a + ab + b (a b) = (a b) (a b) (çarpma iþlemi yapýlýr) = a ab ab + b = a ab + b. ( y) ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) 6y + y ) + y + 9y ) + 6y + 9y ) 6y + 9y ) y + y. c yh y y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + y ). 0 + ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( + ). e 6j e 6j iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ). y y olduðuna göre, 7 y y oraný kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 6. HG y y I KJ y y ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? y y ) ) ) ) ) y y y y y y
6y = y + y = 0. olduðuna göre, y farkýnýn pozitif deðeri kaçtýr? özdeþlikler Tam kare açýlýmlar, parça parça verildiðinde tanýmak ve biraraya getirebilmek gerekir. irinci eþitliðin her iki tarafý ile bölünürse; + _ y = 6 y + y = _ y + y = 9 ( _ y) = 9 _ y = 7. a ab = ab b = 0 olduðuna göre, a b nin pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. a + b = 6 olduðuna göre, (a b) (a b) (a b) + (a b) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ) 6. a + ab = b + ab = 8 olduðuna göre, a + b toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr?. ) ) ) 6 ) 7 ) 9. a ab b = 9 a ab + b = olduðuna göre, a b ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) ) 6. HG y y I KJ ifadesinin deðerinin hesaplanabilmesi için aþaðýdakilerden hangisinin deðeri bilinmelidir? ) y ) ) y ) + y ) y 6 9 9 6 iþleminin sonucu kaçtýr? : HG y y 7 8 ) ) ) ) ) 8 9 I KJ
0. özdeþlikler 67 9 6 ifadesinin deðeri kaçtýr? Köklü sayýlarda benzeri bir yöntemle çözülen bir sorunun tam kareye uyarlanmasý görülecektir. = 67 olsun. una göre; b g b g 67 9 6 8 6 8 6 67 6 6 sayýsýnýn türünden yazýlmadýðýna dikkat edilmelidir.. 999 99 9. ifadesinin deðeri kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 990 ) 996 ) 999 ) 00 ) ) ) ) ) ) 6.. 0 9 ifadesinin deðeri kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) 0 ) 60 ) 80 ) 00 ) 8 ) 9 ) 96 ) 00 ) 9. 6 6. 0000 ifadesinin deðeri kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) 6 ) 9 ) ) 999 ) 000 ) 00 ) 00 ) 00
a b b a b a b 0. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi nedir? özdeþlikler u köþetaþýnda en uygun gruplandýrmayý yapabilmek gerekiyor. Þu ana kadar öðrendiklerimizin tamamýný kapsayan bir sorudur. e a b b e a b j b a bg e (gruplandýrma yapýldý.) a b b a b e a b j ba bg ba bgba bgba bg ba bgba b g a b a b a b a b b gb g j j b g. y y y y olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ). y y olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 7. + y + y + + y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) + y + ) y. a b b ab olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6. ) + y + y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? 6. ) + y + ) + y ) y + ) y + ) y a b b a ab b olduðuna göre, a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) )
a, b, c R olmak üzere, 0. özdeþlikler a + b + c a + b 8c + = 0 olduðuna göre, a + b c ifadesinin deðeri kaçtýr? Negatif olamayan ifadelerin toplamýnýn sýfýra eþit olabilmesi için her birinin sýfýra eþit olmasý gerekir. kz. (. ) a + b + c a + b 8c + = 0 (a a + ) + (b + b + ) + (c 8c + 6) = 0 (a ) + (b + ) + (c ) =0 a = 0 b + = 0 c = 0 a = b = c = una göre, a + b c = = 7., y R + y + + y + = 0 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) ) ) )., y, z R + y + z + y + = 0 olduðuna göre, + y z ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) )., y, z R + y + z + 6y + 8z + 9 = 0 olduðuna göre, + y + z toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). a, b, c R a + b + c = 0a b + c 0 olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 )., y R + y + 0y + = 0 olduðuna göre, y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) 6. a + b a + 6b = olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) )
, y, z R = + y + z + 6y + 0z + 99 0.6 sayýsýnýn alabileceði en küçük deðer kaçtýr? özdeþlikler Tam kareye dönüþtürmeye çalýþýlýr, = ( + + ) + (y 6y + 9) + (z + 0z + ) + 6 = ( + ) + (y ) + (z + ) + 6 Tam kare olan bir ifadenin alabileceði en küçük deðer sýfýr olduðundan = 6 bu ifadenin en küçük deðeridir.. = a + b + c a + 8b c + 06 ifadesinin en küçük deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) 6 ) 6 ) 7., y R y = + sayýsýnýn en büyük deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). M= + y 6 + y sayýsýnýn alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) 9 ) ) 7 ). = a + b + c + d + b c + 6d + ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) ) ) ) 7. a, b R a = b 8b + 7 sayýsýnýn en küçük deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6., y R + y ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 6
, y R 0.7 özdeþlikler y = + ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr? y = + ifadesinin tam kare yapmak için. adým : þitliðin her iki tarafý nin katsayýsý olan ye bölünür.. adým : in katsayýsý olan nin yarýsýnýn karesi eþitliðin sað tarafýna eklenip çýkarýlýr.. adým : y y y y 6 6 6 I HG K J I 6 HG K J 6 6 PRTÝK ÇÖZÜM y = a + b + c biçimindeki ifadenin en büyük ya da en küçük deðeri istendiðinde yerine Tam kare ifadenin en küçük deðeri 0 olacaðýndan y/ nin en küçük deðeri 6/6 dýr. y nin en küçük deðeri de 6/8 olur. ðer ikinci dereceden terimin katsayýsý negatif olsaydý, en büyük deðer istenirdi. Çözüm yöntemi deðiþmezdi. b a una göre, yazýlýrsa sonuç elde edilir. Köþetaþýndaki ifadede a =, b = ve c = dir. Yerine yazýlýrsa: = b = için y = 6 a 8. y = + ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9. R olmak üzere, + ifadesinin en büyük deðeri kaçtýr? ) 7 ) ) 7 ) ) 9. y = 6 + ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr? 9 ) ) ) 6 ) ). y = + ifadesinde y en küçük deðerini aldýðýnda kaçtýr? ) ) ) ) ). a ve b reel (gerçel) sayýlar olmak üzere; a = b 8b + ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 6. a = + b= 7 + 9 olduðuna göre, a + b toplamýnýn alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 7
köþetaþý Þekildeki dikdörtgenin 0.8 kenar uzunluklarý ( + 6) cm ve (8 ) cm dir. özdeþlikler Yukarýda verilenlere göre, dikdörtgenin alaný en çok kaç cm dir? () 6 8 0 8 b gb g e j L I HG K J NM L I O HG K J NM QP O QP Y KIS; lan = + 0 + 8 a = b = 0 c=8 b 0 a için lan H G I K J 0 8. Kenar uzunluklarý ( ) cm ve ( ) cm olan bir dikdörtgenin alaný en çok kaç cm dir? ) ) ) 0 ) 6 ) 60. ir üçgenin bir kenar uzunluðu (0 ) cm dir. u kenara ait yüksekliðinin uzunluðu ( + ) cm olduðuna göre, alaný en çok kaç cm dir? 9 ) ) ) ) ) 8. ik koordinat düzleminde y = doðrusu verilmiþtir. Þekildeki taralý dikdörtgenin alaný en çok kaç br dir? ) ) 8 ) ) 6 ) 0. üçgeninde [] [] II = (0 ) cm II = ( + ) cm Yukarýda verilenlere göre, üçgeninin alaný en çok kaç cm dir? ) 7 ) 0 ) 6 ) 60, ) 6,. ir tüccar (a + b ) liraya aldýðý bir malý (a 6b + 0) liraya satýyor. u alýþ - veriþteki kâr en çok kaç lira olabilir? ) 9 ) ) ) ) 7 6. ir tüccar ( + 0) liraya aldýðý bir malý ( + 80) liraya satmaktadýr. una göre, tüccar en az kaç lira kâr eder? ) 9 ) 6 ) 7 ) 79 ) 8 8
0.9 karesinde P P özdeþlikler () = 60 cm (P) = cm olduðuna göre, P üçgeninin çevresi kaç cm dir? IPI = a cm IPI = b cm olsun. II = 60 a + b = 60 (Pisagordan) a b ab 8 (üçgenin alanýndan) (a + b) = a + b + ab özdeþliðinde yerine yazýlýrsa (a + b) = 60 + 96 (a + b) = 6 a + b = 6 Çevre(P) = 6 + 0. dikdörtgeninin çevresi cm II = 7 cm Yukarýda verilenlere göre, dikdörtgeninin alaný kaç cm dir? ) 8 ) 0 ) ) ) 9. kare II = 7 cm () = 60 cm Yukarýda verilenlere göre, II kaç cm dir? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. karesinin çevresi 9 cm IKI IKI IKI + IKI = 7 cm Yukarýda verilenlere göre, K üçgeninin alaný kaç cm dir? ) ) ) 6 ) 7 ) 8. kare II = cm () = 0 cm Yukarýda verilenlere göre, II = kaç cm dir? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 9. Þekildeki kare ve dikdörtgenin kenar uzunluklarý birer tamsayýdýr. b c a Karenin alaný br olduðuna göre, dikdörtgenin alaný en çok kaç br dir? ) 8 ) 0 ) ) 6 ) 60 6. ve G karelerinin alanlarý toplamý 8 cm II = 0 cm Yukarýda verilenlere göre, GH dikdörtgeninin alaný kaç cm dir? ) ) 6 ) 8 ) )
0.0 özdeþlikler = 0 olduðuna göre, + + + 9 ifadesinin sayýsal deðeri kaçtýr? = 0 ( ) ( + + ) = 0 ise, = 0 veya + + = 0 dir. koþulu olduðundan = 0 kabul edilmeyecektir. + + = 0 eþitliðinde büyük dereceli terimin eþiti = olarak alýnýr. u deðer, + + + 9 ifadesinde yazýlýr. ( ) + + + 9 = ( ) + ( ) + + 9 = + + + + 9 = + + + + 9 =. = 0 olduðuna göre, + + + ifadesinin sayýsal deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9. + = 0 olduðuna göre, 8 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 8 ) ) 6 ) 8. + = 0 olduðuna göre, ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + ). = 0 olduðuna göre, + + 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 9 ). + = 0 olduðuna göre, 7 hangisidir? ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden ) + ) + + 7 ) 7 ) + ) 6. = 0 olduðuna göre, 8 + ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) ) 6 ) 60
0. özdeþlikler + + ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ þekli nedir? u tip ifadeleri çarpanlarýna ayýrmak için (a + b) = a + ab + b açýlýmýný iyi tanýmak gerekir. ir ifadeyi tam kare yapmak için eklenmesi ya da çýkarýlmasý gereken terimi farkedebilmek gerekir. Örneðin; + ifadesini tam kare yapmak için bu ifadeden çýkarýlmalýdýr. + = + = ( ) olur. Þimdi köþetaþýna dönelim: + + ifadesini tam kare yapmak için eklenmelidir. Ýfadenin deðerinde deðiþiklik yapma hakký olmadýðýndan bir de çýkarýlýr. + + + = + + = ( + ) = ( + ) ( + + ) [Ýki kare farký özdeþliðinden] u yönteme TRIM KLYÝP ÇIKRRK ÇRPNLR YIRM denir.. + y + y ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi nedir? ) ( + y ) ( y) ) ( + y + y) ( + y ) ) ( + y y) ( + y + y) ) ( + ) ( + y + ) ) ( + y ) ( + y y). a + a + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a a + ) a + a + ) a a ) a a + ) a + a. + +. ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + ) + + ) + 9 ) + ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) + + ) + + ) + ) + ) + + 9 6. 6. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) a a a a ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + a + ) a ) a + ) a + a ) a + a +
( y) ifadesinin açýlýmý nedir? 0. özdeþlikler a, b R ve n N olmak üzere (a + b) n ifadelerinin açýlýmýna inom çýlýmý denir. (a + b) açýlýmýný adým adým gerçekleþtirelim.. adým : (a + b) =a b 0 + a b + a b + a b + a b + a 0 b a nýn üssü ten baþlayarak azaltýlýr, b nin üssü 0 dan baþlayarak artýrýlýr.. adým: Yandaki Pascal üçgeninde in bulunduðu satýrdaki sayýlar sýrasýyla katsayý olarak terimlerin baþýna yazýlýr. (a + b) = a b 0 + a b + 0a b + 0a b + ab + a 0 b = a + a b + 0a b + 0a b + ab + b Pascal üçgeni olmadan da katsayýlar bulunabilir: k. terimdeki katsayý ile a nýn üssü çarpýlýp k ya bölünürse, (k + ). terimin yani bir sonraki terimin katsayýsý elde edilir. una göre, (a + b) = a + a b + ab + b (a + b) = a + a b + 6a b + ab + b PSL ÜÇGNÝ 6 0 0 Her satýr ile baþlar ve ile biter. Her sayý üst satýrda kendine en yakýn iki sayýnýn toplamýdýr. (a b) = a a b + 6a b ab + b (b nin tek kuvvetleri ( ) olacaðýndan terimlerin iþaretleri (+,, +, ) biçiminde olur. Köþetaþýna bakýlýrsa, ( y) = () () y + ()y y = 8 y + 6y y. ( ) ifadesinin açýlýmý nedir? ) + + ) + + + ) + ) + ) + + +. ( + ) ifadesinin açýlýmý yapýldýðýnda li terimin katsayýsý kaç olur? ) ) ) ) ) 6. ( ) ifadesinin açýlýmý aþaðýdakilerden hangisidir?. ( y) ifadesinin açýlýmý aþaðýdakilerden hangisidir? ) + + ) 6 + 8 6 + ) y + 0 y 0 y + y y ) y + 0 y 0 y ) y + 0 y 0 y + y y. ( ) ifadesinin açýlýmý aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) 7 9 + ) 7 7 + 9 ) 9 9 + ) + 9 + + ) 6 + 9 ) 8 6 + 0 7 ) 8 9 + 8 7 ) 8 6 + 7 ) 7 + 6 8 e j 6. 8 iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) 6
= ve y = için 0. özdeþlikler + y + 6 y + y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? inom açýlýmlarý, açýlým yöntemini bilmekten daha öte tanýnmalýdýr. Köþetaþýnda verilen ifadenin ( + ) ün açýlýmý olduðu görülebilmeli. çýlýma ait terimler farklý yerlerde verilmiþ olsa bile bir araya getirilebilmelidir. u, bir sonraki köþetaþýnda verilecektir. + y + 6 y + y + y = ( + y) = ( ) = 6. 7 olduðuna göre, 6 + 8 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 9 9 7. olduðuna göre, + 6 + ifadesinin deðeri kaçtýr? 8 8 8 6 ) ) ) ) ) 6 7 6 7 8. = ve y = için y + 6 y y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 0 ). + y + y + y = 8 olduðuna göre, y y ifadesinin deðeri kaçtýr? y ) ) ) ) 8 ). olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? 7 8 ) 7 ) ) ) ) 8 8 8 8 7 6 6. a a b + ab b = olduðuna göre, ab a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8
+ y = 7 y + y = 0 0. olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? özdeþlikler inom açýlýmlarý parça parça verildiðinde de bir araya getirilebilmelidir. + y = 7 + y + y = 0 + y + y + y = 7 ( + y) = + y =. a + ab = b + a b = olduðuna göre, a b farký kaçtýr? ) ) ) ) ). y + y = y y + y = olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ). + y = 6 y + y = 6 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). + y y = 6 + y y = 6 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). y = 9 y y = 0 olduðuna göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. + y = y( + y) = olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) 9 ) 8 ) 6 ) ) 6
olduðuna göre, 0. özdeþlikler ( ) ( ) + ( ) ifadesinin deðeri kaçtýr? b g b g b g daha açýk görebilmek H G I K J e b j g için yerine a yazýlabilir. SORU NSIL ZORLÞTIRILIYOR?! Köþetaþýndaki ifade ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) + = ( ) ( ) + 8 biçiminde de verilebilir. u durumda yukarýda yapýlan iþlemlerin tersi yapýlýr.. 7. a 0 olduðuna göre, + + + iþleminin sonucu kaçtýr? olduðuna göre, a + a + 6a + a ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) ) ) ) ) 6 ) 8 ) 0. olduðuna göre, + + + iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0. olduðuna göre, ( + ) + ( + ) + ( + ) + ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 7 8. olduðuna göre, + 0 + 9 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7 6 6. HG a a I KJ HG a a olduðuna göre, a toplamýnýn deðeri kaçtýr? a ) ) 6 ) 7 ) 8 ) (Ýpucu : (.6) ya bakýnýz) I KJ HG a a I KJ 9
0.6 özdeþlikler olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? u sorulara deðer sorularý denebilir. HG (her iki tarafýn karesi alýnýr.) I K J (a + b) = a + ab + b (a + b) ab = a + b u özdeþliðe göre, HG I K J. a 7 a olduðuna göre, a a toplamý kaçtýr?. 6 olduðuna göre, in pozitif deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ) 6 ) ) ) ) ). a b b a. olduðuna göre, a b b a toplamý kaçtýr? ) 8 ) ) ) 6 ) 8 olduðuna göre, toplamý kaçtýr? ) ) ) 7 ) 9 ). + y = y = olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) ) 7 ) 9 ) 66 6. y = + y = olduðuna göre, y y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0
0.7 özdeþlikler olduðuna göre, 9 9 ifadesinin deðeri kaçtýr? HG I K J 9 9 9 6 9 (Her iki tarafýn karesi alýnýr.) (a b) = a ab + b (a b) + ab = a + b u özdeþliðe göre, HG I K J 9 9 9 9 6 9 9.. 6 olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9 olduðuna göre, 9 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ).. m n 7 n m olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 7 ) 9 ) olduðuna göre, m n n m ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ). olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 7 6. y = 0 y = 9 olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) 0 ) 0 ) ) 6 67
0.8 özdeþlikler olduðuna göre, in pozitif deðeri kaçtýr?? I K J I? HG K J 6? 8 8? HG? _ una göre, I HG K J (a + b) = a + ab + b (a _ b) = a _ ab + b (a + b) _ (a _ b) = ab (a + b) = (a _ b) + ab HG I HG K J I K J.. olduðuna göre, ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 ) ) 6 ) 6 6 ) ). a b 8 b a olduðuna göre, a b b a ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) 7 ). y =. y = 0 olduðuna göre, + y ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 9 ) 8 ). 9 olduðuna göre, ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) 9 ) 97 6. + y = 8. y = olduðuna göre, y ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 68
0.9 özdeþlikler olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? HG (her iki tarafýn küpü alýnýr) I K J 7 I 7 HG K J 7 8 HIZLI ÇÖZÜM ÝÇÝN; (a + b) = a + a b + ab + b a + b = (a + b) a b ab a + b = (a + b) ab (a + b) una göre, I HG K J 8 HG I K J. + y = y = olduðuna göre, + y toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 7 ) 80 ) 8 ) 90 ) 9. 6 olduðuna göre, 7 toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) 6 ) ). m n n m olduðuna göre, m n n m toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 8 ) ) ). olduðuna göre, 8 toplamýnýn deðeri kaçtýr? 7 ) 7 ) 6 ) ) ). olduðuna göre, 8 toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 8 6. a + b = 6 a + b = 6 olduðuna göre, 8a + b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 06 ) 6 ) ) 6 ) 96 (Sonraki köþetaþýna bakýnýz.) 69
a + b = 6 0.0 özdeþlikler a + b = 8 olduðuna göre, 8a + b ifadesinin deðeri kaçtýr? a + b = 6 a + b = 6 (a + b) =6 (a + b) = 6 a + ab + b = 6 8a + (a) b + (a)b + b = 6 a + b 6 = ab 8a + b + 6ab(a + b) = 6 8 6 = ab 8a + b + 6.( ).6 = 6 = ab 8a + b = u tip sorularda her defasýnda kuvvet almak yerine, bir aþama ileriden baþlayarak özdeþlik kullanmak hýz kazandýrýr. a + b = (a + b) ab 8 = 6 ab ab = bulunur. 8a + b = (a + b).ab (a + b) = 6 6.( ). 6 =.. a a olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 7 ) ) 8 ) ) olduðuna göre, a ifadesinin deðeri kaçtýr? 8a ) ) ) ) 0 ). y = + y = 9 olduðuna göre, + 8y ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) 0 ) 7 ) ) 89 ). ab = a + b = 8 olduðuna göre, 8a + b ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) 6 ) 0 ) ) ) 0. Ýki reel sayýnýn toplamý 7, çarpýmlarý tir. u iki reel sayýnýn küpleri toplamý kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 8 ) ) 7 6. a b b a olduðuna göre, 8a b b 8a ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) 8 ) ) 6 70
0. özdeþlikler m n n 6 m olduðuna göre, m n n m ifadesinin deðeri kaçtýr? m n m n m n n m 6 n m m n n m m n n 6 n m m m n n m m n m n HG HG n m 6 6 n 6 6 m m n n m I K J I K J (a b) = a a b + ab b a b = (a b) + a b ab a b = (a b) + ab(a b) una göre, m n I m n m HG K J n m HG n n m n m n m 6 6 n m I K J. olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) ). a b = ab = 6 olduðuna göre, a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 08 ) ) ) ) 6. a b = ab = olduðuna göre, a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 7. olduðuna göre, kaçtýr? ifadesinin deðeri. 6. a = b + ifadesinin deðeri aþaðý- a.b = olduðuna göre, 8a b ifadesinin deðeri kaçtýr? olduðuna göre, dakilerden hangisidir? ) 0 ) ) ) 7 ) 0 ) ) 8 ) ) 8 ) ) 70 ) 80 ) 80 ) 8 ) 7
0. özdeþlikler 8 olduðuna göre, 6 ifadesinin deðeri kaçtýr? 6 6 () HG I 8 66 KJ () den sonrasý (.6) teki gibi de çözülebilir... olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ) 6 olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) 0 ).. olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ) olduðuna göre, 6 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. olduðuna göre, 8 ifadesinin deðeri kaçtýr? 9 ) ) ) 6 ) 8 ) 0 6. a b b a olduðuna göre, a b ab ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) 7
+ = 0 0. özdeþlikler olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? (.6) teki köþetaþýnýn aynýsýdýr. ifadesinde paydalar eþitlenip, içler dýþlar çarpýmý yapýlýrsa u iþlemler tersten yapýlýrsa: 0 (.6) te çözüldüðü üzere 0 I HG K J elde edilir.. + = 0 olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 8. = olduðuna göre, ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) 6 ) 68 ) 7 ) 76 ) 8. + + = 0 olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. + = 6 olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) ). 6 + = 0 olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ) 7 6. = 6 + olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 9 ) 0 ) ) )
a + b + c = ab + ac + bc = 9 0. özdeþlikler olduðuna göre, a + b + c ifadesinin deðeri kaçtýr? (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) özdeþliðinde deðerler yerine yazýlýrsa, = a + b + c +.9 06 = a + b + c olur. (a + b + c) = (a + b + c) (a + b + c) = a + ab + ac + ba + b + bc + ca + cb + c = a + b + c + ab + ac + bc = a + b + c + (ab + ac + bc) GOMTRÝYL ÝLÝÞKÝLNÝRLÝM þaðýdaki açýlýmlara bakalým: (a + b c) = a + b + c + (ab ac bc) (a b + c) = a + b + c + ( ab + ac bc) (a b c) = a + b + c + ( ab ac + bc) [LK] cisim köþegenidir. [LK] = a + b + c lan = (ab + ac + bc). + y + z = y + z + yz = olduðuna göre, + y + z toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 8 ) 8 ) 87 ) 9 ) 97. a b + c = 0 a + b + c = 0 olduðuna göre, ab ac + bc ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 60 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0. + y + z = 6. + y = 7 + z z + yz y = olduðuna göre, + y + z toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 7 ) 9 ) ) ) 9. ir dikdörtgenler prizmasýnýn cisim köþegeni cm, üç farklý ayrýtýnýn uzunluklarý toplamý 7 cm olduðuna göre, alaný kaç cm dir? ) 8 ) 60 ) 68 ) 76 ) 88 7 6. y + z + yz = olduðuna göre, + y + z ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) ve y z 6yz y z ifadesinin deðeri kaç- y z olduðuna göre, týr? ) ) ) 87 ) ) 7
TRM TSTÝ özdeþlikler. a b ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (a b) (a + b) ) (a b) (a + b) (a + b ). ve y pozitif tamsayýlardýr. y =9 olduðuna göre, y kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7 ) (a b) (a + b ) ) (a b) (a + b) (a b ) ) ab (a b) (a + b). c h c h y y y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) y ) y + 6. ve Ýkizkenar dik üçgenlerdir. II + II = cm Taralý alan 9 cm olduðuna göre, II = kaç cm dir? ) ) ) ) ) 6. 7 0 = 6 olduðuna göre, kaçtýr? ) 76 ) 87 ) 98 ) 7 ) 8 7. þaðýdakilerden hangisi 6 ifadesinin bir çarpaný deðildir? ) ) + ) ) + ) + +. a b 7 7 olduðuna göre, a b farký kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7 8. HG I KJ y 8y y y : y ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) ) y ) 7
9. 9 9 9 iþleminin sonucu kaçtýr? ) 90 ) 9 ) 9 ) 9 ) 9. y y y y özdeþlikler ifadesinin sadeleþtirilmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? y y y ) ) ) y y y y y ) ) y y 0. y 9 olduðuna göre, y kaçtýr? ) ) 8 ) ) ) 0. + y + z = + 6y 8z 9 olduðuna göre, + y + z toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ( ) ) ) HG I KJ HG I KJ ) ) HG HG I KJ I KJ 6., y, z R olmak üzere, = + y + z 6 + y z + 7 sayýsýnýn en küçük deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9 7., y R. 6y = 0 y + y = olduðuna göre, I yi farký kaçtýr? y = + ifadesinin en küçük deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) 6 ) 7 ) 8. 999 007 6 8. dikdörtgeninde II = ( + 8) cm II = ( ) cm iþleminin sonucu kaçtýr? ) 999 ) 00 ) 00 ) 006 ) 0 Yukarýda verilenlere göre, nin alaný en çok kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 96 ) 08 ) 8 76
özdeþlikler 9. kare,, doðrusal II = cm () = 0 cm Yukarýda verilenlere göre, II uzunluðu kaç cm dir? ) ) ) ) ) 89. = 00 y = 999 olduðuna göre, y + 6 y y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 8 ) 6 ) 8 ) 000 0. + = 0 olduðuna göre, + + 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). + y = 7 y + y =6 olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8. 7 olduðuna göre, + toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. a 7 olduðuna göre, (a ) (a ) + (a ) + ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7. (a b) ifadesinin açýlýmý aþaðýdakilerden hangisidir? ) a 6a b + ab 6b ) a a b + 8ab 8b ) a a b + ab 8b ) a 6a b + ab 8b ) a a b + ab b 6. a 7 a olduðuna göre, a ifadesinin deðeri kaçtýr? a ) 7 ) 9 ) ) ) 77
7. a b b a olduðuna göre, a b b a toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). özdeþlikler 6 olduðuna göre, 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? 8 ) ) ) ) 6 ) 7 8. olduðuna göre, ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 9. olduðuna göre, 6 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 9. olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? 6 ) 7 ) 0 ) ) ) 7. a a + = 0 olduðuna göre, a a ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ) 0. a + b = 7 a + b = olduðuna göre, a + b toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 9 ) 9 ) 97 ) 0 ) 0. a + b = 8 + c ac + bc ab = olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 78
KONU TSTÝ. HG : I KJ iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) özdeþlikler 6. a b = a + b = 8 olduðuna göre, a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). 8y = y y = olduðuna göre, y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7. a b b a b a b ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ab a a b ) ) ) a b a b a b a b ) ) a b a b. olduðuna göre, nin deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 7 8. a + a b + b ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a + b ab ) a + b + ab ) a + b + a ) a b + ab. = 009 y = 00 olduðuna göre, ( + y) y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 60 ) 0 ) 000 ) ) 6. ve y doðal sayýlardýr. 9y = olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 9. > 0 ve y > 0 olmak üzere; + y = y olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 7 ) 9 ) 0. y = y = 7 olduðuna göre, y farkýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) 0 ) 79
özdeþlikler. a ab b a a 0 olduðuna göre, a.b çarpýmý kaçtýr? ) 8 ) ) ) 8 ) 6. y = olduðuna göre, HG y y I HG y : KJ y I KJ ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 8 ) ). = + y 6 + 8y + 69 sayýsýnýn alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) 6 ) 9 ) ) 7. olduðuna göre, ( ) ( ) + ( ) + ifadesinin deðeri kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) 8 8. ve y olduðunagöre, y ifadesinin deðeri kaçtýr? y : y y y ) ) ) ) ) 6 8. L NM a a 6 a a : a a a a : a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? a ) a + ) ) ) a + ) a a O QP. (a + bc) + (b ac) ifadesinin bir çarpaný aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + ) b + ) c + ) a + c ) b + c 9. iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) ) ). a + = m a a + = n olduðuna göre, a mn + 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 80 0. olduðuna göre, c h c h ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 0 ) )
KONU TSTÝ özdeþlikler. 6. a b y olduðuna göre, y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 b c a c olduðuna göre, a + c ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ). HG I KJ : 7. a b b a olduðuna göre, a + b toplamýnýn deðeri kaçtýr? ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 6 ) 0 ) 8 ) 6 ) ) ) ) ) + 8. + +. = 8 + ifadesinin en küçük deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + + ) + ) + ) + ) + +. olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? 9. 00 00 00 iþleminin sonucu kaçtýr? ) 00 ) 0 ) 0 ) ) 0 ) 00 ) 00 ) 00 ) 006 ) 007. 9 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) + ) 9 0. ( + ) + y + 9 = 6y eþitliðini saðlayan ve y deðerlerinin çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 8
özdeþlikler 007 00. 006 00 iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8 6., y R + olmak üzere, y olduðuna göre, y y oraný kaçtýr? ) 7 ) 9 ) ) ) 6. a b = b c = olduðuna göre, a + c b iþleminin sonucu kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) 8 ) 7. = 00 olduðuna göre, 00.999 çarpýmýnýn türünden eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ( ) ) ) + ) 6. a = 007 b = 999 olduðuna göre, (a + b) ab kaçtýr? ) 6 ) 6 ) 9 ) 6 ) 6 8. olduðuna göre, toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). = 8 sayýsýnýn kaç tane pozitif tamsayý böleni vardýr? ) 8 ) 0 ) ) 6 ) 8 9. 6 olduðuna göre, 6 6 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 9 ) ) 7. dik üçgen II = a birim II = b birim II = 6 birim Yukarýda verilenlere göre, a b a b a b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) 8 ) ) 7 0. = 0 olduðuna göre, farkýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) ) 6 ) 8
ÖSYS SORULRI özdeþlikler..... a b ab a b a b ab ifadesinin kýsaltýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? a b a b ) ) ) a b a b ab ) ) ab(a b) a b (ÖYS 98) ifadesinin kýsaltýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) (ÖSS 98) y 8 y 7y ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? y( ) ( ) y( ) ) ) ) ( ) y( ) ( ) ab HG ( ) ) ) y( ) 9 a b b 6a (ÖYS 98) ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? b 6a b 6a b 6a b 6a ) ) ) ) ) a a b a b ab ab (ÖSS 986) 6 y y I K J iþleminin kýsaltýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ( ) y ( ) ab a b (ÖSS 986) 8 6. t = t + olduðuna göre, t sayýsýnýn deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) t ) t + ) t ) t ) t + 7. (a + b c) (a b + c) 8. 9. 0. (ÖYS 986) ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) a(c a) ) b(c a) ) c(a b) a 6a a 8a ) a(b c) ) c(a b) (ÖSS 987) ifadesinin kýsaltýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ( a) a ( a) a ) ) a a iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? (ÖSS 987) ) ) ) ) ) (ÖYS 987) 8a b 8a 8ab b ifadesinin kýsaltýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? a b ) a b ) 8ab ) a b a b a b ) ) a b a b (ÖSS 989)
. a, y olduðuna göre, hangisine eþittir? b a y b y ifadesi aþaðýdakilerden a b ) y ) + y ) y ) y ) y (ÖSS 99) 7. a a olduðuna göre, a nin deðeri kaçtýr? a özdeþlikler ) ) 6 ) 8 ) 0 ) (ÖYS 99)., y birer gerçel sayý ve y + = 9 y + y = 8 olduðuna göre, + y kaçtýr? ) 9 ) ) ) ). = y = (ÖSS 99) olduðuna göre, y + 0 y 0 y + y y ifadesinin deðeri kaçtýr? 8. rdýþýk iki pozitif tek sayýnýn kareleri farký 0 dir. u sayýlardan küçük olaný kaçtýr? ) 9 ) ) 7 ) 9 ) (ÖYS 99) 9. (98 98 ) 00 9 6 a olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖSS 99) ) 6 ) ) 6 ) 8 ) 6. y = 7 (ÖSS 99) olduðuna göre, y aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) 7 ) 8. a, b N ve y y a b = 9 olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? (ÖYS 99) 0.. a 6 b 6 a b olduðuna göre, toplamý nedir? b a 9 ) ) ) ) ) 7 (ÖSS 99) 9 6 ( a) 9 olduðuna göre, a aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) (ÖYS 99) 6. ) 8 ) ) ) 6 ) 6 (ÖSS 99) a a a a iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). a = + b olduðuna göre, a b ün b türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? (a b) ) b ) + b ) b ) b ) b (ÖSS 996) (ÖSS 99) 8
. a olduðuna göre, 8. a b = b c = özdeþlikler 8 8 iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a ) ) a a (ÖSS 996) 0. olduðuna göre, ( ) + ( ) + ( ) + ifadesinin deðeri kaçtýr? 7 7 8 ) ) ) ) ) 7 7 7 (ÖYS 996) olduðuna göre, a + c b iþleminin sonucu kaçtýr? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 (ÖYS 998) 9. Kareleri farký 6 olan a ve b sayýlarýnýn her birinden çýkarýlýrsa, yeni sayýlarýn kareleri farký 8 olmaktadýr. una göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 6 0. a, b gerçel (reel) sayýlar ve = a + 8a + =b + 8b + (ÖSS 999) olduðuna göre, nýn en büyük sayý deðeri ile nin en küçük sayý deðeri toplamý kaçtýr? ) 9 ) 0 ) 60 ) 70 ) 80. a b a b olduðuna göre, a.b çarpýmý aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) (ÖSS 997). y y y y y (ÖSS 999) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) ) y ) ) y (ÖSS 999) 6. a b (a b) ab ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b ) a b ) a + b ) a b ) a + b. a a a a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a + ) a ) a ) a + (ÖSS 999) 7. 0 (ÖSS 998) olduðuna göre, 8 iþleminin sonucu kaçtýr? 9 ) 9 ) 96 ) 97 ) 98 ) 99. a pozitif bir gerçel (reel) sayý olmak üzere, kenarlarý a cm ve (8 a) cm olan dikdörtgenin alaný en çok kaç cm olur? ) 6 ) ) ) 6 ) 8 (ÖSS 999) (ÖYS 998) 8
özdeþlikler. a + b = a b olduðuna göre, a.b çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 8. > 0, a = olduðuna göre, (ÖSS 00) ifadesinin a türünden eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? 7 6 0. : ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) +. n pozitif bir tamsayý olmak üzere, n n n n (ÖSS 00) ) (a + ) ) a + ) (a ) biçiminde tanýmlanýyor. 6. ) a ) (a + ) (ÖSS 00) ( y )( y y ) ( y y ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y ) ) y y y (ÖSS 00). una göre, bölümü aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 0 0 ) ) 0 ) 0 ) ) 0 0 0 e je j (ÖSS 00) iþleminin sonucu kaçtýr? 7. 9 k olduðuna göre, k kaçtýr? ) ) 9 ) ) 0 ) (ÖSS 006) 8. ) ) ) ) ) 6 (ÖSS 00) 6. : iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) + ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? (ÖSS 006) ) ) ) ) ) 6 9. < 0 < y olmak üzere, y y y ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? (ÖSS 00). y 7 (y )(y ) y y y y 9 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (y + )(y ) ) (y + )(y ) ) (y + )(y ) ) (y )(y ) ) + y ) y ) + y ) y ) y ) (y )(y ) (ÖSS 00) 86 (ÖSS 006)
özdeþlikler. 6. 7. iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) + y ) + y ) y (ÖSS 007 I) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) (ÖSS 007 II) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y y y : ) 8. a + b + c = a b c = ) ) ) (ÖSS 007 II) olduðuna göre, ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) a(b + c) ) b(a + c) ) c(a + b) ) a(b c) ) b(a c) (ÖSS 009 I). irbirinden farklý a ve b sayýlarý için, a b b a b a a b olduðuna göre, b a ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) (YGS 0). t = 0 olduðuna göre, t t ifadesinin türünden eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? )t+ )t )t )t + )t + (LYS 0). y = olduðuna göre + y y y + ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 8 ) 9 ) (LYS 0). ve y birer gerçel sayý olmak üzere, y = y y = eþitlikleri veriliyor. una göre, y farký kaçtýr? ) ) ) ) ) (LYS 0) 9. 0. y y olduðuna göre, ( + y) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) (YGS 0) olduðuna göre, ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) (YGS 0) 87. ve y pozitif gerçel sayýlarý için y = + y = olduðuna göre, + y ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) 0 ) 60 ) 7 6. ve y birer gerçel sayý olmak üzere, y = 7 y = olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? (LYS 0) ) ) ) ) ) (LYS 0)
Ö L Ü M Polinomlar KÖÞTÞI MÇLR. Reel katsayýlý polinomlarý tanýyabilme. ir fonksiyonu polinom yapan üs deðerlerini bulabilme. Polinomlarýn özdeþliðini kullanabilme. Polinom özdeþliði yardýmýyla; bir kesri, basit kesirlerine ayýrabilme. Polinomlarda toplama, çýkarma, çarpma iþlemlerini yapabilme 6. Polinomlarda bölme iþlemini yapabilme 7. Polinomlarda Horner yöntemi (sentetik metot) ile bölme yapabilme 8. Polinomlarda derece iþlemlerini yapabilme 9. ir özdeþlikte deðiþkenin yerine her reel sayýnýn yazýlabileceðini fark etme 0. P() polinomunun k ile bölümünden kalaný bulma. P(a + b) polinomunun k ile bölümünden kalaný bulma. P(a + b) polinomu verildiðinde P() in k ile bölümünden kalaný bulma. P(a + b) polinomu verildiðinde P(m + n) nin k ile bölümünden kalaný bulma. P(a + b) polinomunun k ile bölümünden kalanýnýn P(ak + b) olduðunu yazabilme. 0 amaçlarý içeren sorularý çözebilme 6. ir polinomun katsayýlar toplamýný ve sabit terimini bulabilme 7. ir polinomun çift kuvvetli veya tek kuvvetli terimlerinin katsayýlar toplamýný bulma 8. P() in n k ile bölümünden kalaný bulabilme 9. P() in n + a + b ile bölümünden kalaný bulabilme 0. P() in n + a + b ile bölümünden kalaný bulabilme. P() in ( a) ( b) ile bölümünden kalaný bulabilme. P() in ( a) ( b) ile bölümünden kalan biliniyorsa, ( a) ile bölümünden kalaný bulma
. P() in ( a) ve ( b) ile bölümünden kalanlar biliniyorsa, ( a).( b) ile bölümünden kalaný bulabilme. P() polinomu ( a) n ye tam bölünüyorsa, türev yardýmýyla bilinmeyen katsayýlarý bulabilme. P() polinomu ( a) n ye tam bölünüyorsa, Horner yöntemiyle bilinmeyen katsayýlarý bulabilme 6. ( a).p() = ( a).q() biçiminde verilen polinomlarda P(a) yý bulabilme 7. Özdeþlikler yardýmýyla polinomlarda deðer bulabilme 8. ir polinomun derecesini tespit edebilme ve bu dereceye ait polinomun genel ifadesini yazarak özdeþlik sorularýný çözebilme 9. n. dereceden polinomun bir çarpaný verildiðinde diðer çarpaný genel ifadesiyle yazabilme 0. sayýsý n ye tam bölünüyorsa, n yi bölen sayýlara da tam bölünür. teoreminin polinomlarda uygulamasýný yapabilme
. polinomlar I. P() = + II. Q() = 7 III. R() = IV. K() = V. T() = Yukarýdakilerden kaç tanesi polinomdur? a n, a n, a n,..., a, a, a 0 birer reel sayý ve n bir doðal sayý olmak üzere, P() = a n n + a n n +... + a + a + a 0 biçiminde reel sayýlarda tanýmlanmýþ fonksiyonlara reel katsayýlý POLÝNOM denir. Kýsaca; P() fonksiyonunda in üssü doðal sayý ise polinomdur. onksiyonlara ait tüm özellik ve iþlemler polinomlar üzerinde de geçerlidir. P() polinomunun: terimleri ; a n, a n,..., a, a, a n n 0 katsayýlarý ; a n, a n, a n,..., a, a, a 0 baþ katsayýsý; a n sabit terimi ; a 0 T() = polinomunun; baþ katsayýsý = sabit terimi = derecesi = terim sayýsý = derecesi ; n (d[p()] = derp() = n) dir. Köþetaþýnda polinom olanlar sorulmuþtur. unun için lerin üslerinin doðal sayý olup olmadýðýný kontrol etmek yeterlidir. R() ve K() polinom deðildir, Çünkü R() = / + olup in üzeri doðal sayý deðildir. K() = + olup yine in üzeri doðal sayý deðildir. undan dolayý yukarýdakilerin üçü polinomdur.. I. P ( ) II. Q() = 0 III. R ( ). ch c h c h P n k IV. () V. H ( ) Yukarýdakilerden kaç tanesi polinomdur? fonksiyonu sabit polinom olduðuna göre, n + k toplamý kaçtýr? (ipucu : sabit polinom = sabit fonksiyon) ) ) ) 0 ) ). ) ) ) ) ) 7 7 P ch fonksiyonunun terimlerinden kaç tanesi bir polinoma ait olabilir? ) ) ) ) ). ch P polinomunun katsayýlarý toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). ch P 6. P ch polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayýlarý toplamý kaçtýr? polinomunun baþ katsayýsýnýn. kuvveti, sabit teriminden kaç fazladýr? ) ) ) 0 ) ) ) ) ) ) ) 90
. polinomlar 8 m m P() m ifadesi bir polinom olduðuna göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? u ifadenin polinom olmasý için in üssünün doðal sayý olmasý gerekir. una göre; m ve m birer doðal sayý olmalýdýr. I) in bir doðal sayý olmasý için m in yi tam bölmesi gerekir. una göre, m m ifadesi,,,, 6, olabilir. uradan da m nin,,,, 7, olabileceði sonucuna varýlýr. II) m ün bir doðal sayý olmasý için de m nin ve ten büyük bir doðal sayý olmasý gerekir. I. ve II. den elde edilen m deðerlerinin kesiþimi,, 7 ve olacaktýr. evap : + + 7 + = 9 dur.. c h 9 P ( ) n n. c P n n ( ) n h polinomu. dereceden bir polinom olduðuna göre, n tamsayýsýnýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? polinomu ikinci dereceden bir polinom olduðuna göre, P() kaçtýr? ) 0 ) 7 ) ) ) ) 8 ) 0 ) ) ) 8. n n P ( ) e j e j polinomunun derecesi en az kaç olabilir? ) ) 6 ) 8 ) 0 ). 6 7 P m m ( ) fonksiyonu bir polinom olduðuna göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) 8 ) ) ) ). n P n n ( ) polinomunun derecesi en fazla kaç olabilir? 6. m P ( ) m polinom olduðuna göre, m nin alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 6 ) 8 ) 0 ) ) (kz. köþetaþý (.0)) (evap anahtarý doðru) 9
. polinomlar (m + ) (n + ) p + 6 + 8 olduðuna göre, m + n + p toplamý kaçtýr? Ýki polinomun özdeþ olabilmesi için eþit dereceli terimlerin katsayýlarý birbirine eþit olmalýdýr. Yukarýdaki özdeþlikte soldaki polinomun lü teriminin katsayýsý m + olup, saðdaki polinomun lü teriminin katsayýsý olan ye eþit olmalýdýr. una göre, m + = m = dir. yný þekilde; soldaki polinomun li teriminin katsayýsý (n + ) olup, saðdaki polinomun li teriminin katsayýsý olan sýfýra eþitlenir. una göre, (n + ) = 0 n = tür Saðdaki polinomda görünüþte li terim yoktur. u durumda katsayýsýnýn sýfýr olduðu düþünülmelidir. Soldaki polinomun sabit terimi p + 6 olup, saðdakinin sabit terimi olan 8 e eþitlenirse p = bulunur. m + n + p = = tür. ÝR SORU H SÝT POLÝNOM erecesi sýfýr olan polinomdur. Soru : P() = (m ) n + m + n sabit polinom ise, P(m + n) kaçtýr? Sabit polinomda,,... li terimler yoktur. undan dolayý m = 0 m = n + = 0 n = tür. P() = ( ) + + P() = bulunur. P(6) = dir. SIIR POLÝNOMU P() = 0 erecesi tanýmsýzdýr. m + (n ) = + olduðuna göre, m + n kaçtýr? m = m = 7 n = n = m + n = dir.. (a ) (b + ) + + c + d olduðuna göre, a + b + c + d toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9. P() = ( + k) Q() = 6 + p + n P() Q() olduðuna göre, k + n + p toplamý kaçtýr?. (a ) b + c d + olduðuna göre, a + b + c + d toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7 ) ) ) 6 ) 8 ) 0. + a + b ( + ) ( c) olduðuna göre, a.b.c çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) 8 ) ) 8 ) ) 6. ( a) 6 + b olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 6 ) 9 ) ) ) 8 9 6. P() = (a ) a + (b ) 6 + (c + ) + fonksiyonu üçüncü dereceden bir polinom olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) 8 ) 7 ) ) ) 0
0 6 olduðuna göre, (, ) ikilisi nedir?. polinomlar 0 0 6 (+) ( ) Polinomlarýn özdeþ olmalarý nedeniyle: 0 U V W 0 b gb g b gb g b g iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülürse, ve bulunur. b 8, g H G, 8 I K J ÝR KOLY YOL: 0 b gb g 0 0 ifadesinde yý bulmak için, önce nýn paydasýndaki ifadenin kökü bulunur. = 0 =. Kökü bulunan bu ifade sol tarafta yokmuþ gibi düþünülür. u durumda sol taraftaki ifade olur, bulunan kök burada yerine yazýlýr: 0. yi bulmak için de ifadesinde yerine yazýlýr: b, g H G, 8 I 0 8 8 b g K J.. 9 olduðuna göre, iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 olduðuna göre, iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ). 8 olduðuna göre, + iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). olduðuna göre, + iþleminin sonucu kaçtýr? ) 8 ) ) 0 ) ). 8 olduðuna göre, iþleminin sonucu kaçtýr? 6. 6 m n olduðuna göre, m.n çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 0 ) ) 0 ) 90 ) 7 ) 8 9
. polinomlar P() = ve Q() = + olduðuna göre, a) P() + Q() b) P() Q() c) P(). Q() d) P() Q() polinomlarýný bulunuz? a) Polinomlarda toplama ve çýkarma iþlemi yapýlýrken eþit dereceli terimlerin katsayýlarý aralarýnda toplanýr çýkarýlýr. P() + Q() = + + = + b) Sabit bir sayý ile çarparken daðýlma özelliðinden yararlanýlýr. P() Q() = ( ) ( + ) = 9 + = 9 + 9 c) Çarpma iþleminde de daðýlma özelliði kullanýlýr. P().Q() = ( ) ( + ) = + 6 + 8 0 = 0 + 0 d) P() Q() = [.() () + ] = [7 + ] = 7 + = 7 + 7. P() = +, Q() = olduðuna göre, P() Q() polinomu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 8 +. ( + ) ( + ) çarpýmý yapýlýrsa lü terimin katsayýsý kaç olur? ) ) ) ) 9 ) ) 8 + ) 8 +6 0 + ) 6 +. P() =, Q() =, R() =. P() =, Q() = +, R() = olduðuna göre, P().Q() R() polinomu aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) + ) + ) +. P() = +, Q() = + P().Q( ) + P() polinomunun li teriminin katsayýsý kaçtýr? ) 6 ) ) 0 ) ) 8 9 olduðuna göre, P( ).Q( ).R() polinomu aþaðýdakilerden hangisidir? ) 6 ) 8 ) 6 ) 8 ) 6. P() = + olduðuna göre, P() P() polinomu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) + ) ) + )
.6 polinomlar _ + _ Yukarýdaki bölme iþlemini yapýnýz? I. II. _ + _ III. _ + + + 8 + + 6 + + + _ + 6 6 + _ 6 + _ + 8 Polinomlarý büyük dereceli terimden küçük dereceli terime doðru yazmak bir gelenektir. Her zaman böyle yapýnýz. ölme iþleminde dikkatiniz ilk terimlerde olsun. ölenin ilk terimi neyle çarpýlýrsa, bölünenin ilk terimi elde edilir? ile. II. adýmda: ile bölen çarpýlýr. III. adýmda: çýkarma yapýlýr, bunun içinde önce çýkanýn iþaretleri deðiþtirilir sonra toplama yapýlýr. yný iþlemler tekrar tekrar yapýlýr. Kalanýn derecesi, bölenin derecesinden küçük olunca bölme iþlemi biter.. P() = + polinomu + ile bölündüðünde bölüm ile kalanýn toplamý aþaðýdakilerden hangisi olur? ) 6 + ) ) + 6 ) + ) +. P() = + polinomu Q() = polinomuna bölündüðünde bölüm aþaðýdakilerden hangisine eþit olur? ) + ) ) + ) ) +. P ( ) baðýntýsý veriliyor. R olduðuna göre, + P() aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) + ) ) + ) + + ) +. ( ). P() = + 6 olduðuna göre, P() aþaðýdakilerden hangisidir? ) + + ) ) + ) + ) 6. P() = ( 6).Q() +. ( 7 + ) ifadesi ( + ) ile bölündüðünde bölüm ve kalanýn toplamý kaç olur? ) ) + ) + ) + ) 9 polinomu + ile bölündüðünde bölüm aþaðýdakilerden hangisi olur? ) Q() + ) ).Q() + ) ( ).Q() + ) ( ).Q() +
.7 polinomlar P() = + + polinomu ile bölündüðünde bölüm ve kalan ne olur? sorusunu Horner Yöntemi (Sentetik Metot) ile çözünüz? _ + 0 + _ + _ 0 _ Katsayýlar Yukarýdaki tabloda üst satýr bölünen polinomun katsayýlarýdýr. Tablodaki ise bölenin köküdür. aþ katsayý yukarýdaki gibi alt satýra alýnýr. lt satýrdaki sayý ile çarpýlýp orta satýra yazýlýr. Üst satýr ile orta satýrýn toplamý yine alt satýra yazýlýr. _ 0 _ 8 8 6 9 7 lt satýrda sondaki sayý kalaný verir. iðer sayýlarda bölümün katsayýlarýný verir. kalan =, bölüm = + 6 + + 9 + 7 Horner yönteminde bölen a + b biçimde ise, yöntem aynen uygulanýr. ncak bölümün katsayýlarý; alt satýrda ortaya çýkan sayýlarýn a ile bölünmesiyle elde edilir. Kalanda ise bu iþleme gerek yoktur. Yani alt satýrýn sonundaki yine kalandýr.. 7 + polinomu ile bölündüðünde bölümün katsayýlarý toplamý ile kalanýn farkýnýn mutlak deðeri kaçtýr? ) ) 8 ) ) ) 7. + 7 polinomu ile bölündüðünde bölüm ile kalanýn toplamý aþaðýdakilerden hangisine eþit olur? ) + 7 ) + 7 ) ) ) 7 7 7. + polinomu ile bölündüðünde bölüm aþaðýdakilerden hangisine eþit olur? ) + ) + ) + ) + ) + + +. P() = + 6 polinomunun çarpanlarýndan biri olduðuna göre, diðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + + ) + ) + ) + ) + +. polinomu + ile bölündüðünde bölüm ile kalanýn toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. 7 + 8 = 0 denkleminin köklerinden biri ise, diðer iki kökün karelerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) 7 ) 9 ) 0 96
der L N M bgo P Q P e j Q olduðuna göre, bg der P bg Q.8 bg bg b g ve der P Q Q 0 P deðeri kaçtýr? polinomlar m > n olmak üzere P() in derecesi m, Q() in derecesi n olsun. ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch Polinom P Q P Q P Q P Q P /Q erece m n m m m n m n Köþetaþýna bakýlýrsa; der [P()] = m, der [Q()] = n olsun. m n = m + n = 0 denklem sistemi çözülürse, m = 9, n = bulunur. der [P() Q()] = 9 e j ch e j e j e j k k k k k r Polinom P P P a b P Q erecesi m k m k m k km nr RLR RSINKÝ ÝÞLM- LRÝ NLMK ÝÇÝN m ve n iki yalýn polinomla çalýþýlýrsa; Çarpýmlarý ölümleri Toplamlarý Kuvvetleri : m. n = m + n : m / n = m n : m + n : ( m ) k = ( k ) m = km ÇOK ÐÝÞKNLÝ POLÝNOM P(, y) = y y + y + polinomunun derecesi tir. yný terimdeki farklý deðiþkenlerin üsleri toplanýr.. P() polinomunun derecesi, Q() polinomunun derecesinden fazladýr. e j e j P Q polinomunun derecesi olduðuna göre, P() in derecesi kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. P() polinomu Q() polinomuna bölündüðünde bölüm (), kalan dir. Q() ve () polinomlarýnýn dereceleri eþit olduðuna göre, P() in derecesi en az kaç olabilir? ) 6 ) 7 ) 8 ) ) 9 (Ýpucu : ölünen = ölen.ölüm + Kalan). P() = ( + ) n ( 6 + ) polinomunun derecesi 8 olduðuna göre, n kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8. ir P() polinomu ile bölündüðünde bölüm polinomunun derecesi kalan polinomunun derecesine eþit oluyor. una göre, P() in derecesi en çok kaç olabilir? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. P() ve Q() iki polinomdur. d [P()] = d[q()] + olduðuna göre, P( ).Q( ) polinomunun derecesi aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) 8 ) ) 0 ) 97 6. P() polinomunun derecesi n, Q() in derecesi ise n dir. P() Q() polinomunun derecesi olduðuna göre, n kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8
m + m = ( ).Q() + olduðuna göre, m kaçtýr?.9 polinomlar Yukarýda verilen baðýntý bir özdeþliktir. Özdeþliði eþitlikten ayýran en önemli özellik; özdeþliðin deðiþkeni olan in yerine herhangi bir deðer yazýlabilmesidir. Yazýlan her deðer için eþitlik doðru olacaðýndan in yerine iþimize gelen deðeri yazabiliriz. u baðýntýda in yerine yazýlacak. Çünkü ( ) ifadesini sýfýr yapan deðerdir. öylece Q() polinomu elenmiþ olur. = için. m. + m = 0.Q() + m = m = ÖZÞLÝK ÝL NKLM RSINKÝ RK NÝR? = ( ) ( + ) bir özdeþliktir. Çünkü e verilecek tüm deðerler için doðrudur. + = bir özdeþlik deðil bir denklemdir. Çünkü e verilecek tüm deðerler için doðru deðildir. Sadece = için doðrudur.. m + m + = ( ) P() olduðuna göre, P() deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) 6 ) ). ( + ) n + ( ) n k +... + 6 Özdeþliðinde k en büyük dereceli terim olduðuna göre, k kaçtýr? ) 6 ) ) ) 8 ). P(a) = + + b ve P( a) = olduðuna göre, b kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ). P() = + + P( + ) = ( + ). () + k olduðuna göre, k kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. + m ( + ). Q() özdeþliðinin gerçekleþmesi için m kaç olmalýdýr? ) ) 9 ) 7 ) 8 ) 0 6. P() = m + n + 7 polinomu veriliyor. P( ) = P() olduðuna göre, m n kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 98
.0 polinomlar P() = + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? _ P() Q() K() () ) P() = Q(). () + K() ) d[k()] < d[q()] _ + () k + = ( ). () + k = için. + = ( ).() + k 8 = k NN yerine yazýldý? Çünkü, yerine yazýlýnca eþitliðin saðýnda k kalýyor. emek ki bölenin kökü polinomda yerine yazýlýnca kalan elde ediliyor. Polinom özdeþliklerinde silah gibi kullanýlabilir. in yerine her sayý yazýlabilir. oðal olarak sonuca götürecek deðerler tercih edilir.. P() = + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. P() = ( ) n + ( ) n + ( ) n polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). Q() = + + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 9 ). P() = ( 6). Q() + + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 9 ) 0 ) ) ). P() = + polinomunun ve ile bölümünden kalanlar sýrasýyla m ve n dir. una göre, m + n toplamý kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ) 6. P() = + a polinomunun ile bölümünden kalan p, + ile bölümünden kalan r dir. p r olduðuna göre, a kaçtýr? ) 7 ) ) ) ) 6 99
. polinomlar P( ) = 7 + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) N NY ÖLÜNÜYOR ) ölenin kökü, bölünende yerine yazýlýrsa kalan elde edilir. ü sýfýr yapan deðeri (kökü) tür. sayýsý bölünen polinom olan P( ) = 7 + polinomunda yerine yazýlýrsa kalan elde edilir. P( ) = 7 + = ( ). () + k = için P(0) = 0 = k Kalan = P( ) = 7. + = 0. P( + 7) = + 9 polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 8 ) 88 ) 96 ) 0 ) 9. P( + ) = + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 7 )8 )9 )0 ). P(999 + ) = + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). HG I P KJ polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). P() = + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 76 ) 88 ) 96 ) 0 ) 9 00 6. P( ) polinomunun ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) P() ) P() ) P(9) ) P() ) P()
. polinomlar P( ) = 7 + polinomu veriliyor. P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? N, NY ÖLÜNÜYOR? P() polinomu, ( ) e bölünüyor. O zaman bölenin kökü olan =, P() te yazýlýr. emek ki kalan P() tür. P() deðeri; fonksiyon konusunda anlatýldýðý gibi, verilen P( ) = 7 + polinomu yardýmý ile bulunur. = 6 için P(6 ) = 6 7.6 + P() = I. IM P() = ( ). () + k = için P() = k II. IM P( ) = 7 + ise = 6 için P() =. P( ) = + 8 polinomu veriliyor. P() in + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 7 ) 8 ) ). P( + ) = + olduðuna göre, P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). P( + ) = + polinomu veriliyor. P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). P( ) = a b + c d + 7 polinomu veriliyor. P() in + ile bölümünden kalan 7 olduðuna göre, a + b + c + d toplamý kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). P( ) = 7 + olduðuna göre, P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ) 0 6. P( + ) = polinomu veriliyor. P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) 9 ) 7 7 7 0
. polinomlar P( + ) = + polinomu veriliyor. P( ) in 7 ile bölümünden kalan kaçtýr? N, NY ÖLÜNÜYOR? P( ) polinomu ( 7) ye bölünüyor. ölenin kökü bölünende yazýlýrsa istenen kalan elde edilir. 7 = 0 = 7 için kalan = P(7 ) = P(6) =? P( + ) = + polinomda yerine yazýlýrsa P( + ) =. + P(6) = I. IM P( ) = ( 7). () + k = 7 için P(6) = k II. IM P( + ) = + = için P(6) = 6 8 + =. P( ) = + polinomu veriliyor. P( + ) in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). P( ) = + olduðuna göre, P( + ) in + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 0 ) 8 ) 6 ). P( + ) = + 9 polinomu veriliyor. P( + ) ün + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 6 ) 7 ) ) 67 ) 7. P( + ) = + polinomu veriliyor. P( ) ün ye tam bölünebilmesi için P( ) polinomuna kaç eklenmelidir? ) ) ) 0 ) 7 ). P( ) = + polinomu veriliyor. P( + ) nin ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 6 6. P() = + polinomu veriliyor. P( ) nin + ile bölümünden kalan kaçtýr? 7 8 99 ) ) ) ) ) 9 9 9 0 6 0
. polinomlar P() = + m + polinomu veriliyor. P( ) polinomunun + ile bölümünden kalan 7 olduðuna göre, m kaçtýr? Köþetaþýnýn çözümü yapýlmadan önce biraz tercüme yapalým: Türkçe Matematikçe P ün ile bölümünden kalan kaçtýr? P? P nin ile bölümünden kalan 9 dur. P 6g 9 P 7g nin ile bölümünden kalan 0 dir. P 7g 0 Pb g, e tam bölünüyor. Pb6g 0 P ün çarpanlarýndan biri 7 dir. P 0 b g b g P( ) nin + ile bölümünden kalan 7 ise, P( ) = 7 dir. = için P( ) = ( ) m + 7 = 7 m + m = 6. P( + ) = + n polinomu veriliyor. P( ) in ile bölümünden kalan 6 olduðuna göre, n kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). P( + ) = + m polinomu veriliyor. P( ) nin + ile bölümünden kalan 8 olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 8 ) 6 ) 0. P() ve Q() polinomlarýnýn ile bölümünden kalanlar sýrasýyla ve 6 dýr. P() k.q() + polinomunun ile bölümünden kalan 6 olduðuna göre, k kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) ). P( + ) = + m polinomu veriliyor. P() polinomunun ile bölümünden kalan ise, P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). P() = m( + ) polinomunun çarpanlarýndan biri + olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 9 ) ) 6. P( ) = + a polinomu veriliyor. P( + ) in ile bölünebilmesi için a kaç olmalýdýr? ) ) 7 ) ) 9 ) 7 0
b b g g P Q baðýntýsý veriliyor.. polinomlar P( ) ün ile bölümünden kalan olduðuna göre, Q( + ) nin + ile bölümünden kalan kaçtýr? P( ) ün ile bölümünden kalan tür. cümlesinin matematikçesi P() = tür. Q( + ) nin + ile bölümünden kalan kaçtýr? cümlesinin matematikçesi Q( ) =? dir. b g b g bg b g b g b g P Q baðýntýsýnda yerine 0 yazýlýrsa; P Q Q Q 8 c h P. baðýntýsý veriliyor. Q c h P( + 9) un + 8 ile bölümünden kalan 0 olduðuna göre, Q() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) ). + + P() + Q( ) polinomunun ile bölümünden kalan 6, Q( + ) nin + ile bölümünden kalan 7 dir. P( ) polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. P( ) + Q( + ) = baðýntýsý veriliyor. P( + ) nin + ile bölümünden kalan olduðuna göre, Q() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 9 ) 7 ) ) ) P ( ). 7 baðýntýsý veriliyor. Q ( ) P() polinomunun + ile bölümünden kalan 0 olduðuna göre, Q() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8. P() polinomu + ile bölündüðünde bölüm Q(), kalan + 6 dýr. P() polinomu ile tam bölündüðüne göre, Q( ) in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 9 ) 7 ) ) 0 6. P( + ) ( + ). Q() baðýntýsý veriliyor. Q() polinomunun ile bölümünden kalan olduðuna göre, P( + ) nin ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 )
.6 P( + ) = + + Q( ) baðýntýsý veriliyor. P( ) nin katsayýlar toplamý 8 olduðuna göre, Q( 6) nýn sabit terimi kaçtýr? polinomlar ölmede kalan bulunurken ilk sorulan soru, N, NY ÖLÜNÜYOR? idi. yný þekilde katsayýlar toplamý ya da sabit terim sorulduðunda; NYÝN KTSYILR TOPLMI? ya da NYÝN SÝT TRÝMÝ? sorularý sorulmalýdýr. Katsayýlar toplamýný elde etmek için katsayýlar toplamý istenen polinomda yerine yazýlýr. yerine sýfýr yazýlýnca da sabit terim elde edilir. P( ) nin katsayýlar toplamý 8 dir. cümlesinin matematikçesi P( ) = 8 dir. Q( 6) nýn sabit terimi kaçtýr? cümlesinin matematikçesi Q( 6) =? dir. Verilen P( + ) = + + Q( ) baðýntýsýnda yerine yazýlýrsa; P( ) = + + Q( 6) 8 = + Q( 6) = Q( 6) P() = a n n + a n n +... + a + a 0 ise P() = a n + a n +... + a + a 0 P(0) = a 0. P( + ) = + m + dir. P( ) nin katsayýlarý toplamý 7 olduðuna göre, m kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 6. P( + ) = + m + polinomunun sabit terimi 7 olduðuna göre, P( + ) polinomunun sabit terimi kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. P() = ( + ) 00. P(, y) = ( y y ) n polinomunun katsayýlarý toplamý 6 olduðuna göre, n kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) a = P() polinomunun katsayýlar toplamý b = P() polinomunun sabit terimi olduðuna göre, a b nin deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). P( ) P() baðýntýsý veriliyor. P( + ) in + ile bölümünden kalan olduðuna göre, P() in sabit terimi kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 0 6. P() polinomunun sabit terimi 7, Q() polinomunun katsayýlarýnýn toplamý tür. P() + = ( + ).Q() olduðuna göre, P() + Q(0) toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 7
.7 polinomlar P() = ( ) ( ) polinomu veriliyor. P() polinomunda in çift kuvvetli terimlerinin katsayýlarý toplamý kaçtýr? P() polinomunun; çift dereceli terimlerinin katsayýlarý toplamý = tek dereceli terimlerinin katsayýlarý toplamý = Köþetaþýna dönersek; bg bg P 0 ve P olup b g b g b g b g 6 P P tir. 6 bg P P bg P P b g b g P() = a + b + c + d + e olsun. P() = a + b + c + d + e P( ) = a b + c d + e + b g b g P P a c e P P b g b g ace Taraf tarafa çýkarma yapýldýðýnda da tek dereceli terimlerin katsayýlarý toplamý elde edilir.. P() = ( + ) 6 polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayýlarý toplamý kaçtýr? ) 8 ) ) 0 ) ) 8. P() = ( + ) 8 polinomunun açýlýmýnda tek dereceli terimlerin katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? ) 8 ) 00 ) ) 6 ). P() = ( + + ) P( ) in tek dereceli terimlerinin katsayýlarý toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). P() = ( ) ( ) polinomu düzenlendiðinde, tek dereceli terimlerin katsayýlarý toplamý kaç olur? ) 8 ) ) 6 ) 7 ) 0. P( + ) nin + ile bölümünden kalan 8, P( ) in + ile bölümünden kalan 8 dir. una göre, P( ) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayýlarý toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 6. P() = ( 7 + ) n polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayýlarý toplamý 6 olduðuna göre, n kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 06
.8 polinomlar P() = 6 8 + 6 polinomunun 9 ile bölümünden kalan kaçtýr? bg e 9 j bg bg P K özdeþliðinde () i yok etmek için 9 yerine u sorularda yine bölenin kökü bulunur denilebilir. 9 9 0 ölünen polinomda 9 yerine P() =. ( 9 ) ( 9 ) + 6 yazýlýr. yazýlýrsa kalan elde edilir. 9 = için kalan = 6 e j e j ÝKKT! P() = + + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? Kalaný bulmak için nin yerine yazýlýr. Nasýl olsa = oluyor diye yerine yazýlamaz. Kalan = + + = dir.. P() = 6 + 8 + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 7 ) 9 ) ) ). P() = 0 0 + 0 0 + polinomunun 0 ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 78 ) 8 ) 8 ) 88 ) 9. P() = + 7 + + polinomunun 7 ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 6 ) 7 ) ) 7 ) 86. P( ) = + 0 + olduðuna göre, P() in + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). P(, y) = ( + y) 0 + ( + y) + y + polinomunun ( + y) ile bölümünden kalan nedir? ) ) y ) y + ) y + ) + y + 6. P( ) = 8 + 9 polinomu veriliyor. P() polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 9 ) 7 ) 07
.9 polinomlar P() = + polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtýr? Þu ana kadar öðrenilenleri kuþatan genel kural : ölen sýfýra eþitlenir ve en büyük dereceli terimi yalnýz býrakýlýr. Sonra da bölünende yerine yazýlýr. + = 0 = P() = ( ).. + = için Kalan = ( ) ( ) + ( ) + + K() () + = ( + ). () + K() = için eþitliðin sað tarafý K() polinomuna eþit olur. = ( + ) + + = ( + ) ( ) + = + + = ( ) + = + + =. P() = + + polinomunun ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + ) + ) ) +. P() = 0 + polinomunun ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + ) ) + ) +. P() = + polinomu + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + 6 ) + + ) + ) + ). P() = 8 + 7 polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). P() = + polinomunun + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + ) 7 ) 7 ) 7 + 6. + m + n ( + ) Q() + olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0 08
.0 polinomlar P() = + m polinomunun ile bölümünden kalan n + olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? = 0 = + P() =. + m = + için kalan = ( + ) + m n + = + + m n + = + + + m n + = + m Polinomlarýn özdeþliði nedeniyle; n = ve m = bulunup m + n = + = 6 dýr.. P() = + m polinomunun + ile bölümünden kalan n + olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0. P() = m + n p polinomunun ile bölümünden kalan + p olduðuna göre, m + n + p toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. P() = p + k + polinomunun + + ile bölümünden kalan + olduðuna göre, p + k toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). P() = a + b + polinomunun ile tam bölünebilmesi için (a, b) ikilisi ne olmalýdýr? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). P() = + k polinomunun ile bölümünden kalan m + olduðuna göre, m.k çarpýmý kaçtýr? ) ) 6 ) 9 ) ) 6. + m + n polinomu m polinomuna tam bölündüðüne göre, m n kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 09
. polinomlar P() = + m + n polinomu ( ) ( + ) polinomuna tam bölündüðüne göre, m + n toplamý kaçtýr? ( ) ( + ) çarpýmýna tam bölünen polinom, ve + polinomlarýna da tam bölünür. = için 8 + m + n = 0 m + n = = için m + n = 0 m + n = enklem sistemi çözülürse; m =, n = bulunur. m + n = dir. u soru bir önceki köþetaþýnda anlatýldýðý gibi de çözülebilir. ( ) ( + ) = olup = + için kalan bulunur.. P() = m + n + polinomu ( ) ( ) çarpýmýna tam bölündüðüne göre, m kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) 7. P() = a + b + polinomu ile tam bölündüðüne göre, a.b çarpýmý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). P() = m + + n polinomu ile tam bölündüðüne göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). P() polinomunun ( ) ( + ) ile bölümünden kalan tir. P() in ile bölümünden kalan a, + ile bölümünden kalan b olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 9 ) 7. P() = (a + b) a + polinomu + ile tam bölündüðüne göre, a kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) 0 ) 6. P() = m + + n polinomu ( ) ( + ) ile tam bölündüðüne göre, m. n çarpýmý kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 0
. polinomlar P() polinomu 6 polinomuna bölündüðünde kalan 7 dir. una göre, P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? P() 6 _ () _ 7 P() = ( 6). () + 7 Köþetaþýnda istenen P() tür. P() = 0. () +. 7 P() = RK TTÝK MÝ? ifadesi 6 ifadesinin bir çarpaný olduðundan = için 7 nin deðeri yanýt oldu.. P() polinomunun 7 8 ile bölümünden kalan + dir. una göre, P() in 8 ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 6. P( + ) = ( ). Q() + Q( ) = ( ). () + olduðuna göre, P( ) ün ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8. P() polinomunun + ile bölümünden kalan + olduðuna göre, P() in ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + ) 7 ) + 7 ) +. P() polinomunun 9 ile bölümünden kalan + dir. P() polinomunun + ile bölümünden kalan nedir? ) ) ) + ) + ). P() in + 6 ile bölümünden kalan olduðuna göre, ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 6. P( + ) polinomu 6 ile bölündüðünde 6 + kalanýný veriyor. una göre, P() polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0
. P() polinomunun ile bölümünden kalan 9, + ile bölümünden kalan dir. una göre, P() in + 6 ile bölümünden kalan nedir? polinomlar P() in + 6 ya bölümünden kalan a + b biçiminde bir polinomdur. Kalanýn derecesi bölenin derecesinden küçüktür. P() = ( + 6). () + a + b P() = 9 P( ) = = için P() = a + b a + b = 9 = için P( ) = a + b a + b = denklem sistemi çözüldüðünde a =, b = bulunur. emek ki, kalan = a + b = + dir.. P() polinomunun + ile bölümünden kalan, ile bölümünden kalan tür. una göre, P() in + 6 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + 6 ) 7 ) 6 + ) 7 ) 8 +. P() polinomunun ile bölümünden kalan, + ile bölümünden kalan 8 dir. una göre, P() in ile bölümünden kalan nedir? ) + ) ) ) ). P() polinomunun + ile bölümünden kalan, + ile bölümünden kalan 9 dur. una göre, P() polinomunun + 7 + 0 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir?. P( + ) = ( ). () + + P() polinomunun ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) + ) + ) + ) ) +. P() polinomu + ile bölündüðünde, ile bölündüðünde kalanýný vermektedir. ) + ) 6. P( + ) in + ile bölümünden kalan, P( ) in ile bölümünden kalan tür. P() polinomunun + ile bölümünden kalan nedir? ) + ) 6 ) + ) 7 ) P() in + 6 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) +
. polinomlar P() = m + 8 + n polinomu ( ) ye tam bölündüðüne göre, n kaçtýr? P() polinomu ( a) ne tam bölünüyorsa P(a) = 0 ve P ý (a) = 0 dýr. una göre; P() = 0 ve P ý () = 0 dýr. P ý () = m + 8 P ý () = m + 8 0 = 0 m = m P() = 8 m + 6 + n 0 = n GNL OLRK : P() polinomu ( a) n ye tam bölünüyorsa, P(a) = 0, P ý (a) = 0,..., P n (a) = 0 dýr. TÜRV a n ifadesinin türevi na n dir. P() in türevi P ý () ile gösterilir. Örnek : P() = + P I () = 8 6 + P II () = 6 6 P III () = 8 6 P IV () = 8 P V () = 0 P VI () = 0. P() = m + n polinomu ( ) ne tam bölündüðüne göre, m + n kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. P() = + a + b çok terimlisinin ( ) ile tam bölünebilmesi için (a, b) ikilisi ne olmalýdýr? ) (, 7) ) (, ) ) (, 8) ) ( 8, ) ) ( 9, 7). P() = m + n + polinomu ( + ) ne tam bölündüðüne göre, n kaçtýr? ) ) ) ) ). P() = m + n p + polinomu ( ) ne tam bölündüðüne göre, p kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. P() = m + + n polinomunun çarpanlarýndan biri ( ) olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8 6. P() = m + n + p + r polinomu ( ) e tam bölündüðüne göre, m kaçtýr? ) ) ) ) )
. polinomlar P() = m + 8 + n polinomu ( ) ifadesine tam bölünüyorsa, n kaçtýr? ir önceki köþetaþýnda benzeri bir soru türev yardýmýyla çözüldü. u soru HORNR YÖNTMÝ ile de çözülebilir: P() polinomu ( ) ne tam bölünüyorsa, ye iki kez bölündüðünde kalanlar sýfýra eþit olur. _ m 8 n m + _ m + _ m + _ m + n _ m + 0 _ m + 8 _ m + _ m + 0 Kalanlarýn ikisi de sýfýra eþit olmalýdýr. n m + 0 = 0 m + 0 = 0 m = olup n = 0 bulunur.. P() = m + n polinomu ( ) ne tam bölündüðüne göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. P() = m n + polinomu ( ) ne tam bölündüðüne göre, m kaçtýr? ) 7 ) ) ) ) 9. P() = m + n polinomu ( ) ne tam bölünüyorsa, m kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8. P() = a + b + c polinomu ( ) ne tam bölündüðüne göre, c kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). P() = m + + n + polinomunun çarpanlarýndan biri ( ) olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. P() = m + n polinomu ( + ) ne tam bölünüyorsa, n kaçtýr? ) 9 ) 7 ) ) 7 )
.6 polinomlar ( ) P( ) = + (6 m) + m 7 olduðuna göre, P( + ) ün + ile bölümünden kalan kaçtýr? Verilen baðýntýda m deðerini bulmak için yerine yazýlýr. = için 0 = + (6 m) + m 7 m = b g b g b g P P ölme iþlemi Horner Yöntemi ile yapýlabilir: 0 P( ) = + + Köþetaþýnda istenen P( ) dir. = için P( ) = + + P( ) = 6. ( ). P() = + (m 6) + + m 6 olduðuna göre, P( + ) in katsayýlar toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. ( + ). P( ) = + m + m olduðuna göre, P() in + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) ). ( ). P() = (m + ) + (m ) 6 olduðuna göre, P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. ( ). P() = + ( m) + m olduðuna göre, P() kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0. ( + ). P() = m + 9 olduðuna göre, P( + ) in + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. ( ). P() = + 7 m + olduðuna göre, P() polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 7
P() = + + 7 olduðuna göre, e j P deðeri kaçtýr?.7 polinomlar u tür sorularda polinomu yanda verilen parantez açýlýmlarýyla iliþkilendirmek gerekir. P() = + + 7 P() = + + 8 P() = ( ) + 8 e j e j P 8 = (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) = a + a b + ab + b (a b) = a a b + ab b etaylý bilgi için (.) numaralý köþetaþýna bakýnýz.. P() = + + + 7 olduðuna göre, e deðeri kaçtýr? ) 8 ) 9 ) ) ) 7 j P. P() = 8 + 6 olduðuna göre, HG P deðeri kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 6 I KJ. P() = + + olduðuna göre, e P 7 deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 7 j. P() = ( ) + ( ) + ( ) + olduðuna göre, P I HG KJ deðeri kaçtýr? 8 7 98 ) ) ) ) ). P() = + + olduðuna göre, e P deðeri kaçtýr? ) ) 9 ) 7 ) ) j 6. P(, y) = y + y y olduðuna göre, e P, deðeri kaçtýr? ) 9 ) ) 0 ) ) j 6
ir P() polinomu için.8 polinomlar P( + ) + P( ) = + 6 olduðuna göre, P(0) + P() toplamý kaçtýr? Verilen baðýntýdan P() polinomunun ikinci dereceden bir polinom olduðu anlaþýlmaktadýr. Çünkü, ancak ikinci dereceden polinomlarýn toplamý ikinci dereceden bir polinoma eþit olabilir. P() = a + b + c olsun. P( + ) + P( ) = + 6 a( + ) + b( + ) + c + a( ) + b( ) + c = + 6 a + a + a + b + b + c + a a + a + b b + c = + 6 a + b + a + c = + 6 Polinomlarýn özdeþ olmasý nedeniyle; a = b = a + c = 6 emek ki P() = + dir. P(0) + P() = + = tür. a = b = c =. P() + P( ) = 6 0 olduðuna göre, P( ) + P() toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). irinci dereceden P() polinomu için P( + ) = tir. P( ) polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 9 ) 7 ) 6. P( + ) + P( ) = 6 olduðuna göre, P() in katsayýlar toplamý kaçtýr? ) 9 ) 7 ) 6 ) ). P() birinci dereceden bir polinomdur.. P() P( + ) = + olduðuna göre, P( ) polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). P(), ikinci dereceden bir polinomdur. P( + ) P() = olduðuna göre, P() in li teriminin katsayýsý kaçtýr? ) 7 ) ) ) ) 7 7 6. Ýkinci dereceden P() polinomu ( ), ( ), ( + ) ile bölündüðünde kalanlar sýrasýyla,, oluyor. una göre, P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 9
.9 polinomlar Üçüncü dereceden bir P() polinomu + polinomuna tam bölünüyor. P() in ile bölümünden kalan + 8 dir. una göre, P() in katsayýlarý toplamý kaçtýr? Üçüncü dereceden P() polinomunun bir çarpaný + ise, diðer çarpan a + b biçiminde birinci dereceden bir polinomdur. P() = ( + ) (a + b) = 0 = için (. + ) (a + b) = + 8 (8 ) (a + b) = + 8 8a + 8b a b = + 8 (8a b) + 8b a = + 8 Polinomlarýn özdeþ olmasý nedeniyle: 8a b = ve 8b a = 8 dir. Sisteminin çözümü yapýlýrsa a =, b = bulunur. ZI ÖRNKLR ördüncü dereceden P() polinomunun bir çarpaný ( + ) ise, P() = ( + ) (a + b + c) dir. Üçüncü dereceden P() polinomunun bir çarpaný ( + 7) ise, P() = ( + 7) (a + b) dir. Üçüncü dereceden P() polinomunun bir çarpaný ( + ) ise, P() = ( + ).a dýr. P() = ( + ) ( + ) P() =.6 = 0. Ýkinci dereceden P() polinomunun çarpanlarýndan biri tür. P() in ile bölümünden kalan 8 olduðuna göre, P() deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. P() polinomu ile bölündüðünde +, ile bölündüðünde 9 kalanýný veriyor. P() polinomu ( ) ( ) ile bölündüðünde kalan aþaðýdakilerden hangisi olur? ) + ) +. Üçüncü dereceden P() polinomunun bir çarpaný dir. P() polinomunun ile bölümünden kalan 0 olduðuna göre, P() in baþ katsayýsý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 ) ) 6 + ) +. ördüncü dereceden P() polinomu, ( ), ( + ) ve ( ) ile tam bölünüyor. P() una göre, oraný kaçtýr? P() 7 8 7 ) ) ) ) ) 7 7 8. P() polinomunun + ile bölümünden elde edilen bölüm sabit, kalan ise + tür. P() = olduðuna göre, P() in baþ katsayýsý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 8 6. aþ katsayýsý 6 olan üçüncü dereceden bir polinom ( + ) ile bölündüðünde kalan olmaktadýr. P() = olduðuna göre, P() kaçtýr? ) 8 ) 08 ) ) )
.0 polinomlar P() = 7 + polinomunun + + ile bölümünden kalan nedir? ir sayýnýn ile bölümünden kalan 7 ise, 9 ile bölümünden kalan 7 nin 9 ile bölümünden kalana eþittir. una göre, sayýsýnýn 9 ile bölümünden kalan dir. = ( ) ( + + ) + = ( + ) ( + ) P() polinomunun ile bölümünden kalan K() ise, P() in + + ile bölümünden kalan K() in + + ile bölümünden kalandýr. P() = 7 + polinomunun ile bölümünden kalan: = için + = + + polinomununda + + ile bölümünden kalan : + + = 0 = için + = MTMTÝKÇ: P() = ( ). Q() + + P() = ( ) ( + + ). Q() + + = için kalan = +. P() = 7 + + polinomunun + + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ). K() = 9 7 polinomunun + + + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + + ) + + ) + + ) + (Ýpucu : = ( ) ( + + + )). P() = 0 + polinomunun + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) ) +. N() = ( ) ( 7 + ) polinomunun + + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) ) ). () = 99 98 97 96 polinomunun + + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 9 6. P() = 7 + m n + polinomunun + + ile bölümünden kalan 7 olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 )
TRM TSTÝ polinomlar. I. II. III. ch P 7 Q ch 7 R ch 7 6. ( + ).P() = + olduðuna göre, P() aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) ) ) IV. V. T ch ch U 7 Yukarýdakilerden kaç tanesi polinomdur? ) ) ) ) ) 7. P() = + + polinomu ( ) ile bölündüðünde bölüm ne olur? (Horner yöntemi ile çözünüz). m0 P m 8m ch fonksiyonu reel katsayýlý polinom olduðuna göre, m nin alabileceði kaç farklý deðer vardýr? ) ) + ) + + ) + ) + ) ) ) 6 ) 7 ) 8. (a ) (b + ) c + 9 = + olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 8. der der P olduðuna göre, L P e jo 9 Q NM ch QP L e j Qch O 6 NM QP der Pch ch Q deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8. 6 olduðuna göre, farký kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) 6 9. P() = + P( ) = ( ).() + m olduðuna göre, m kaçtýr?. P() = + Q() = + olduðuna göre, P() Q() + P() polinomu aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) ) 6 ) 8 ) 0 + 8 ) 6 + 9 ) 8 + 0 ) 6 + ) + 9 0 0. P() = + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) )
polinomlar. P( + ) = + polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. P( ) Q( + ) = baðýntýsý veriliyor. P( + ) nin katsayýlar toplamý 6 olduðuna göre, Q( + ) in sabit terimi kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. P( + ) = + polinomu veriliyor. P() in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 7. P() = ( ) ( ) polinomu düzenlendiðinde, çift dereceli terimlerinin katsayýlarý toplamý kaç olur? ) ) 6 ) ) ) 6. P( + ) = + polinomu veriliyor. P( ) in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 7 ) ) 9 ) 8. P() = 8 + polinomunun 7 ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 0 ) ) 0 ) ) 0. P( ) = + m + 9 polinomu veriliyor. P( + ) polinomunun + ile bölümünden kalan 7 olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 9. P() = + polinomunun ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) + ) + c c h P. 9 baðýntýsý veriliyor. Q P( + ) in ile bölümünden kalan 78 olduðuna göre, Q() in 7 ile bölümünden kalan kaçtýr? 0. Q() = a 8 + b + polinomunun + ile bölümünden kalan 7 olduðuna göre, b a farký kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) 6 ) 7 ) 8
polinomlar. P() = + + a b + polinomu ( + ) ( ) ile tam bölündüðüne göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 6. ( ) P() = (m + ) + 6 8 olduðuna göre, P( + ) in ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 0 ) ) ) 6 ) 8. P() polinomu 7 + 6 polinomuna bölündüðünde kalan + tür. una göre, P() in ( 6) ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 6 7. P() = + + olduðuna göre, e P deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 9 j 8. ir P() polinomu için;. P() polinomunun + ile bölümünden kalan, ile bölümünden kalan 9 dur. una göre, P() in 0 ile bölümünden kalan nedir? P() + P( + ) = + + olduðuna göre, P() + P( ) deðeri kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 6 ) + ) + ) ) + ) 9. Üçüncü dereceden bir P() polinomu + polinomuna tam bölünüyor. P() in ile bölümünden kalan 0 dur. una göre, P() in ile bölümünden kalan kaçtýr?. P() = + k p + polinomu ( ) polinomuna bölündüðüne göre, p kaçtýr? ) 7 ) 9 ) ) ) ) ) 8 ) 6 ) 8 ). P() = m n + p + polinomu ( ) polinomuna tam bölünüyorsa, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 0. P() =. 7 + 6 + + polinomunun + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) 6 ) ) 6 )
KONU TSTÝ. þaðýdakilerden hangisi bir polinom deðildir? ) ) ) 8 8 6. P() = + ve Q() = + olmak üzere, polinomlar ( + ). Q() P() = a + b + c + d olduðuna göre, a + b + c + d kaçtýr? ) ) ) ) ) 0 ) ) 8. () ikinci dereceden, () üçüncü dereceden bir polinomdur. ( ) = ( ) ( + + ) olduðuna göre, () polinomunun derecesi kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 7. P() = + + 6 + + olduðuna göre, e P kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 0 j. P() = + polinomu için P deðeri kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) e j 8. P() = + + polinomunun Q() = + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). c h olduðuna göre, nin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 9. P() = + + a polinomu ile kalansýz bölünebildiðine göre, a kaçtýr? ) 0 ) 8 ) 6 ) ) 0. P() polinomu ikinci dereceden bir polinomdur. P() P( ) polinomu aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) + + ) + ) ) ) 0. P() = + + a polinomunun ile bölümünden kalan ise, + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) )
polinomlar. P( + ) = + a + b polinomu veriliyor. P() polinomu ( ) ve ( + ) ile ayrý ayrý kalansýz bölünebildiðine göre, a/b oraný kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 6. P() polinomu + ile bölündüðünde bölüm Q( + ), kalan dir. Q() in sabit terimi olduðuna göre, P() in + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9. P() = 9 + + polinomunun + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + 6 ) + ) + 6 ) 6 + 7. P() polinomunun 8 + ile bölümünden kalan + olduðuna göre, ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) 8 ) 0. ir P() polinomu için; ( ). P() + a + b olduðuna göre, P() polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 8. P() polinomunun + ile bölümünden kalan + olduðuna göre, + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 0 6 ) 0 ) 0 ). + a + b + polinomunun ile bölümünden kalan + 7 olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 9. P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan + olduðuna göre, P() polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) ). e c P Q h j olduðuna göre, P() polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) ) 0. ( ). P() = ( ) k + ( ) k + a + olduðuna göre, k N için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) k çift ise a = ) k çift ise a = ) k tek ise a = ) k tek ise a = ) k çift ise a =
KONU TSTÝ polinomlar. þaðýdakilerden hangisi bir polinom deðildir? ) ) ) ) ) 6. ir P() polinomu için; ( + ). P() a + b + 6 olduðuna göre, ch P a b in deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). P() dördüncü dereceden, Q() beþinci dereceden bir polinomdur. R() = P( ). Q( + + ) olduðuna göre, R() polinomunun derecesi kaçtýr? 7. P( ) + P( + ) = ( + 7) olduðuna göre, P() aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ) 0 ) ) ) ). ir P() polinomu için P( + ) = + 6 + a dýr. P() polinomunun sabit terimi olduðuna göre, a kaçtýr? 8. aþ katsayýsý olan üçüncü dereceden bir P() polinomu + ile kalansýz bölünüyor. una göre, P() P( ) kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 6 ) 7 ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 9. ir P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan + + tür.. P() = 8 + polinomunun + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) 7 ) 0 ) 7 ) 60 ) 67 u polinomun ( + ) ile bölümünden kalan nedir? ) + ) + 7 ) + 7 ) + ) +. + a + b + polinomunun + ile bölümünden kalan + olduðuna göre, b a kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 0. ir P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan olduðuna göre, ( ) ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 0 ) )
polinomlar. P() polinomunun ( + ) ve ( ) ile bölümünden kalanlar sýrasýyla ve dir. P() in + ile bölümünden kalan nedir? ) + ) + ) 6. P( + y, y) = y + olduðuna göre, P(7, ) kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 9 ) ) ) + ) +. P() + P() = + 8 una göre, P() polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 7. P(, y) = ( + y ) y + 7 polinomunun + y ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). P( + ) = polinomu veriliyor. P() polinomunun çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? 8. P() = a + b ve a < 0 polinomu için; P(P()) = 9 8 olduðuna göre, ch P0 a b kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9. P() = ( ) n + polinomu ile bölündüðünde 9 n kalanýný vermektedir.. P() polinomunun sabit terimi, katsayýlar toplamý ise 7 dir. P(7 + ) = P() + P( + ) olduðuna göre, P( ) polinomunun ( ) ile bölümünden kalan kaçtýr? u polinomun + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 8 ) 6 ) 6 ) 8 ) 00 ) ) 0 ) 8 ) 6 ). P( + ) 6 + a dýr. P() polinomunun katsayýlar toplamý olduðuna göre, P() polinomunun sabit terimiyle a nýn çarpýmý kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6 0. P() = ( + ). Q() olup Q() polinomunun ile bölümünden kalan tür. una göre, aþaðýdakilerden hangisinin çarpanlarý arasýnda vardýr? ) P() ) P() 0 ) P() ) P() 0 ) P()
ÖSYS SORULRI. P() polinomunda P( + ) = + 0 + olduðuna göre, P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan nedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 6. Q() = + çokterimlisi P() gibi bir çokterimli ile bölünüyor. ölüm olduðuna göre, kalan ne olur? polinomlar ) ) ) ) ) (ÖYS 98) (ÖYS 98). P() = 6 8 polinomunun ( 9 ) e bölümündeki kalan nedir? ) 8 ) 7 ) 6 ) ) 7. ir polinomun ( ) ile bölümünden kalan + 8 olduðuna göre, bu polinomun ile bölümünden kalan nedir? ) ) ) ) 0 ) 8 (ÖYS 987) (ÖYS 98) 8. P(), Q() gibi iki polinomun ile bölümünden kalan sýrasýyla ve ise, P( ). baðýntýsý veriliyor. Q() Q() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan olduðuna göre, P() in deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 9 ) ) P(). Q() çarpýmýnýn ile bölümünden kalan ne olur? ) 6 ) ) ) ) (ÖYS 988) (ÖYS 98) 9. P() = a + + b + c. P() = 7 + a olduðuna göre, a nýn hangi deðeri için P() in çarpanlarýndan biri dir? ) ) ) 0 ) ) (ÖYS 98) nin iki katlý bir kökü = olduðuna göre, a ile b arasýndaki baðýntý nedir? ) a + b + 0 = 0 ) a + b + 6 = 0 ) 6a + b = 0 ) 6a + b = 0 ) 6a + b + = 0. P() = ( + + ). Q() + + baðýntýsýnda Q() bir polinomdur. P() in ile bölümündeki kalan olduðuna göre, Q() in ile bölümünden kalan nedir? ) ) ) ) ) 6 (ÖYS 98) (ÖYS 989) 0. P() ve Q() polinomlarýnýn ile bölümünden kalanlar sýrasý ile ve 6 olduðuna göre, t nin hangi deðeri için P() + t.q() polinomu ile tam olarak bölünür? ) ) ) ) ) 7 (ÖYS 990)
. P( ) + P( + ) = + 0 olduðuna göre, P() polinomu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) + ) + ) + ) + 7. P() a polinomlar polinomunun + ile kalansýz bölünebilmesi için a kaç olmalýdýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 996). (ÖYS 99) 8 a a 8 a iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) a 6 a + a ) a 6 a a ) a 6 a + a ) a 6 a ) a 6 + a (ÖYS 99) 8. Q() = + + p 8 polinomunun çarpanlarýndan biri ( ) olduðuna göre, p nin deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) 6 9. P( ) = (ÖSS 997) olduðuna göre, P( ) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) +. P() = + + + 7 polinomu, Q() polinomu ile bölündüðünde bölüm + olduðuna göre, kalan kaçtýr? ) + ) + ) + (ÖYS 997) ) ) ) ) ) (ÖYS 99) 0. ( + ) ( + 7 8 + 6) çarpýmý yapýldýðýnda in katsayýsý kaç olur?. P( ) = ( + ). Q( ) eþitliði verilmiþtir. P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan 0 olduðuna göre, Q() polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) ) 9 (ÖSS 98) ) 0 ) ) ) ). Q( ) = + a çok terimlisi veriliyor. (ÖYS 99) Q() çok terimlisinin sabit terimi 7 olduðuna göre, Q() çok terimlisinin katsayýlarý toplamý kaçtýr?. ir P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 9 9 olduðuna göre, + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 0 ) ) 6 ) 9 ) (ÖYS 998) ) ) 8 ) ) 9 ) 7 6. Q() = 8 + 6 (ÖSS 99) olduðuna göre, Q() polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 6 ) ) 86 ) 96 (ÖSS 996). Katsayýlarýnýn toplamý olan bir P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 0 dur. una göre, P() polinomunun + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) 0 ) (ÖSS 999) 8
polinomlar. P() ve Q() polinomlarý için P( + ) = ( ).Q() + + + baðýntýsý saðlanmaktadýr. Q() in sabit terimi olduðuna göre, P() polinomu ( ) ile bölündüðünde kalan kaçtýr? ) 6 ) ) ) 0 ). P() bir polinom ve (ÖSS 999) 9. Her gerçel sayýsý için a + b + c + d + e = ( ) (p + q + r) + olduðuna göre, a + c + e toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 0. ( + ) 0 = a 0 + a +a +...+a 0 0 (ÖSS 00) olduðuna göre, çift indisli kat sayýlarýn toplamý olan a 0 + a + a + a 6 +... + a 0 kaçtýr? P( ) + P( + ) = + + + P() = olduðuna göre, P() polinomunun sabit terimi kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8 0 ) 0 0 ) ) 0 0 ) ) (ÖSS 009 II). P() bir polinom ve + a 8 = ( ) P() olduðuna göre, P() nin deðeri kaçtýr? (ÖSS 000). Gerçel katsayýlý P(), Q() ve R() polinomlarý veriliyor. Sabit terimi sýfýrdan farklý P() polinomu için, P() = Q(). R( + ) eþitliði veriliyor. P nin sabit terimi Q nun sabit teriminin iki katý olduðuna göre, R nin katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? 6. ) 6 ) ) ) ) 0 (ÖSS 000) 0 olduðuna göre, farký kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 (ÖSS 00) ) ) ) ) ) (LYS 0). P() = ( + ) + ( + ) polinomunda li terimin katsayýsý kaçtýr? ) ) 9 ) 7 ) ) (LYS 0) 7. Her gerçel sayýsý için + a = ( + ) (b + c) olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) 9 ) 8 ) 0 ) 8 ) 9 8. Her gerçel sayý için = a( ) + b( + ) + c( ) olduðuna göre, a.b.c çarpýmý kaçtýr? (ÖSS 00) ) 6 ) 8 ) 0 ) ) 6 (ÖSS 00) 9. a ve b birer pozitif tam sayý olmak üzere, P() = ( + a)( + b) polinomunun katsayýlarýnýn toplamý olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) 6. P() = + m Q() = + + n polinomlarý veriliyor. (LYS 0) u iki polinom ortak bir köke sahip ve P() polinomunun kökleri eþit olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) (LYS 0)
Ö L Ü M Ýkinci ereceden enklemler KÖÞTÞI MÇLR. Ýkinci dereceden veya daha yüksek dereceden denklemlerin genel çözüm yönteminin çarpanlara ayýrma yolu olduðunu fark etme. Özel durumlu ikinci dereceden denklemin çözüm kümesini bulabilme. Çarpanlarýna ayrýlabilen ikinci dereceden üç terimliyi içeren denklemin çözümünü yapabilme. Ýkinci dereceden denklemlerin genel çözümünü formülle yapabilme. Ýkinci dereceden bir denklemin tek reel kökünün olmasý için = 0 þartýnýn gerçekleþtiðini fark edebilme 6. Ýkinci dereceden bir denklemin iki reel kökünün olmasý için > 0 þartýnýn gerçekleþmesi gerektiðini fark edebilme 7. Kökün denklemi saðlayan deðer olduðunu fark edebilme 8. Ýki denklemin ortak kökü olduðunda, denklemlerin diðer köklerini bulabilme 9. Ýkinci dereceden denkleme dönüþebilen yüksek dereceden denklemleri çözebilme 0. Ýkinci dereceden denklem yardýmýyla üstel denklemleri çözebilme. Ýkinci dereceden denklem yardýmýyla köklü denklemleri çözebilme. Ýkinci dereceden denkleme dönüþen rasyonel denklemleri çözebilme. Ýkinci dereceden denklem yardýmýyla mutlak deðerli denklemleri çözebilme. Kökleri bilinen ikinci dereceden denklemi kurabilme. a + b + c = 0 denkleminin kökler toplamýnýn b/a ya eþit olduðunu kavrayabilme 6. a + b + c = 0 denkleminin kökler çarpýmýnýn c/a ya eþit olduðunu kavrayabilme 7. Ýki kök arasýndaki baðýntý bilindiðinde, kök ve katsayýlar arasýndaki baðýntýlar yardýmýyla istenen parametreyi bulabilme 8. Kök ve katsayýlar arasýndaki baðýntýlarý özdeþliklerde kullanabilme 9. Katsayýlarý köklerinden oluþan denklemlerin köklerini bulabilme 0. Ýki farklý denklemin kökleri arasýndaki baðýntý bilindiðinde denklemlerden biri üzerinden diðerini elde edebilme. Çözümünde ikinci dereceden denklemle karþýlaþýlan problemleri çözebilme
. þaðýdaki denklemlerin R deki çözüm kümelerini bulunuz? a) ( ) ( 7) ( + ) ( ) = 0 b) c) ( ). = 0 b ge j 0 irinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde çözüm kümesinin elde edilmesinin kolay olduðu. kitap. bölümde anlatýldý. ðer bir denklemde verilen ifade birinci dereceden çarpanlarýna ayrýlabiliyorsa çözüm kümesinin elde edilmesi kolay olacaktýr. Çarpanlardan birini sýfýr yapan deðer çözüm kümesinin elemanýdýr ve bu deðere denklemin kökü denir. a) b) ( ) ( 7) ( + ) ( ) = 0 _ = 0 = ikinci dereceden denklemler ( + ) ( + ñ) = 0 = 0 _ 7 = 0 = 7 + = 0 = = 0 = Ç = _,,, 7 c) + = 0 = _ + ñ = 0 = _ ñ Ç = { _, ñ, 0} ( _ ) _ = 0 = 0 _ = 0 = _ = 0 = Ç = {0,, }. ( 7) ( + ) = 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). ( ) ( + ) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {0, } ) {, 0} ) {, 0, }. ( ) ( + ) ( ) = 0 denkleminin köklerinin çarpýmý kaçtýr? ) ) 8 ) 6 ) ) 6. ) {,, /} ) {,, } e je jc hc h 7 0 denkleminin kaç reel kökü vardýr? ) ) ) ) ) 6. ( ) ( ) ( + ) = 0 denkleminin en küçük iki kökünün toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 0 6. e 0 j denkleminin köklerinin çarpýmý kaçtýr? ) 0 ) 0 ) 0 ) 7 ) 0
. þaðýdaki denklemlerin R deki çözüm kümelerini bulunuz? ikinci dereceden denklemler a) = 0 b) 6 = 0 c) = 0 d) + = 0 a, b, c R olmak ve bilinmek üzere, a + b + c = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli (bilinmeyen tir) denklemin genel halidir. ðer li terimin dýþýndaki terimlerinden biri veya ikisi yoksa (katsayýlarý sýfýrsa) denklemin özel durumudur. u durumlarda çarpanlara ayýrarak kýsaca çözüm yapýlabilir. 6 = 0 denklemine tekrar bakalým: 6 a) = 0 ( ) = 0 Ç = {0, } b) 6 = 0 = 0 0 c) =0. = 0 Ç = {0} e je j o Ç, t d) + = 0 = karesi olan bir reel sayý olmadýðýndan Ç =. + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {0, 6} ) { 6, 0} ) { 6, 6} ) {6} ) {0, }. ( + ) ( ) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {} ) {, } ) {0, } { } ), ). = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?. ( ) ( ) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {0, } ) {, } ) {, } ) {, } ) {0, }. ( ) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? { } ) {, 0, } ), 0, ) {, } ) {0, } ) { 0,, } ) {, 0, } ) {, } ) {, } 6. 9. ( + ) = 0 ) {, } ) {,, } denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {,, 9} ) {,, } ) {, 0, } ) {0,, } ) {,, }
. þaðýdaki denklemlerin R de çözüm kümelerini bulunuz? ikinci dereceden denklemler a) 6 = 0 b) + = 0 etaylý bilgi için. ve. bölümlere bakýnýz. a) 6 = 0 Çarpýmlarý sabit terim olan 6 yý, toplamlarý in katsayýsý olan i veren iki reel sayý ve olduðundan: ( ) ( + ) = 0 Ç = {, } NNÝNÝ NLYLIM ( + a) ( + b) = 0 + a + b + ab = 0 + (a + b) + ab = 0 b) + = 0 + aþtaki ve sondaki terimler önce çarpanlarýna ayrýlýr. Çaprazlama çarpma yapýlýp toplanýr (. + ( ). = ). u toplam ortadaki terim ise: ( ) ( + ) = 0 Ç = {, /}. 7 + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {, 6} ) {, 6} ) { 6, } ) {0, 6} ) { 6}. ( ) ( ) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? RS T U V ),, 9 ) {,,, } ) W RS T U V ),, ) W RS T RS T,,, U V W U V W,,. 0 + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {, 7} ) {, 7} ) { 7, } ) {0, } ) {, }. = 8 denkleminin çözüm kümesi nedir? R ) S R ) S R ) S U T U, T U,, T W V W V W V R U ) S U V ) V,, T W R S T W. + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? R S T U V W R S T U V W R S T ), ), ) ) ) {, },, U V W RS T U V W 6. = denkleminin büyük kökü kaçtýr? ) ) ) ) )
. ikinci dereceden denklemler 7 + = 0 denkleminin R de çözüm kümesi nedir? Önceki köþetaþlarýndaki denklemler kolayca çarpanlarýna ayrýlýrken yukarýdaki ifadeyi çarpanlarýna ayýrmak kolay deðildir. slýnda bu denklemde yanda anlatýldýðý gibi çarpanlarýna ayrýlabilir. ncak üstat matematikçiler þöyle kolaylaþtýrmýþlardýr: a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve ile gösterilsin. Önce =b ac deðeri bulunur., diskriminant veya delta biçiminde okunur. ðer; I) > 0 ise, iki reel kök vardýr. II) = 0 ise, tek reel kök vardýr. u köke çift kat kök veya çakýþýk kök gibi isimler verilir. Yukarýdaki köklerde yerine sýfýr yazýlýrsa; b b, a a b, a III) < 0 ise, reel kök yoktur. Çünkü yukarýdaki köklerde yerine negatif bir sayý yazýlýrsa sayý reel olmaz. una göre, 7 + = 0 denkleminde a =, b = 7, c = dir. =b ac = 9.. = > 0 olduðundan Ç b 7 a b 7 a R S T 7 U V W a b c 0 a b a c a b a c a b a b I c b 0 HG a K J a a HG HG b a b a b b u iþlemlerin tamamýný yaparak denklem çözmeye tam kareye tamamlayarak çarpanlara ayýrma deniliyor. u yöntemin alýþtýrmalarý için. bölüme bakýnýz. 0 ac a ac a b b ac a a b a b ac a b b ac a b a I K J b a H G I K J H G I K J I K J 0
ikinci dereceden denklemler. 7 + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? R S T U V W 7 7 7 7 ) ) ) R S T R S T U V W U V W 7 ) ) R S T R S T 6 6 U V W U V W. + = 0 denkleminin köklerinden büyüðü aþaðýdakilerden hangisidir? 7 7 7 ) ) ) ) ). + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? R R ) S R ) S UV ) S, W UV, W T U V W R S T U V W T ) ), R S T T U V W. m m + = 0 denkleminin büyük kökü a olduðuna göre, a iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ). + + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) { } ) {} ) {0, } R S T U V W ) ) 6. (a a + ) (a 8) = 0 denkleminin büyük kökü, küçük kökünün kaç katýdýr? ) ) ) ) )
. ikinci dereceden denklemler + m = 0 denkleminin reel sayýlarda sadece bir kökü varsa m kaçtýr? Ýkinci dereceden bir denklemin reel sayýlarda bir kökü varsa = 0 dýr. b ac 0 b m 0 m 0 m 7 m 7 g. 8 + m + = 0 denkleminin diskriminantý sýfýra eþit olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 9 ) ). 6 + m = 0 denkleminin çift kat kökü varsa, m kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. a 6 = 0. 6 + p + = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre, p kaçtýr? denkleminin kökleri = olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) 6 ) 7 ) 8. m + = 0 denkleminin çakýþýk iki kökü olduðuna göre, m kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6 6. + m = 0 denklemini saðlayan deðerleri birbirine eþittir. m nin alabileceði büyük deðer a, küçük deðer b olduðuna göre, a b deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 )
.6 ikinci dereceden denklemler m 0 denkleminin gerçek iki kökünün olmasý için m nin alacaðý deðerlerin kümesini bulunuz? Ýkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin gerçel iki kökünün olmasý için > 0 olmalýdýr. a m, b, c dir. b ac 0 e j b g m 0 m0 m m m nin alabileceði deðerler kümesi = HG, I K J. 7 + m = 0 denkleminin iki gerçel kökü olduðuna göre, m nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). k 6 + = 0 denkleminin farklý iki gerçel kökü olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) k < ) k < ) k > ) k < 0 ) k > 0. + = 0 denkleminin reel kökünün olmasý için sabit terimden en az kaç çýkarýlmalýdýr? ) ) ) ) ) 6. + a + = 0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, a nýn alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). f() = 6 + m + fonksiyonu için f() = denkleminin çözüm kümesinin iki gerçel elemaný vardýr. una göre, m nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6. p, pozitif tamsayýdýr. 7 + p = 0 denkleminin farklý iki kökü olduðuna göre, p nin kaç farklý deðeri vardýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 7
.7 ikinci dereceden denklemler (m ) = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, diðer kökü kaçtýr? Kök, denklemi saðlayan deðeri demektir. = için (m ). = 0 6 m + = 0 m = m = için = 0 denklemi elde edilir. ( ) ( + ) = 0 = veya = tür. emek ki diðer kök tür. N GÜZL ÝR SORU: 7 = 0 denkleminin kökleri a ve b dir. una göre, iþleminin sonucu kaçtýr? Madem ki a ve b kök, o zaman a 7a = 0 a 7a = b 7b = 0 0 a 7a b 7b 0 6 b 7b = tir.. (k + 7) k + = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, k kaçtýr? ) ) ) 9 ) 7 ). m + n = 0 denkleminin kökleri ve olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). (m ) + m = 0 denkleminin kökleri ve dir.. (m + ) + m = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, diðer kök kaçtýr? ) ) ) ) ) = olduðuna göre, 9 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) ) ). + m = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, m kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) 6. = 0 denkleminin kökleri ve olduðuna göre, + 6 iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) ) 8 8
+ a = 0.8 ikinci dereceden denklemler + (a + ) 8 = 0 denklemlerinin birer kökü eþit olduðuna göre, a kaçtýr? Ortak kök olsun. + a = 0 + (a + ) 8 = 0 (a + ) + a + 8 = 0 a + a + 8 = 0 NLÞILMSI KOLY OLSUN ÝY slýnda li terimi yok etmek genel amaç olduðundan taraf tarafa çýkarma yapmak yeterlidir. yerine yazýlmasý anlamlandýrýlabilsin diye. a = a ( a) = a = = için + a = 0 a =. + m = 0 m + = 0 denklemlerinin birer kökleri eþit olduðuna göre, m kaçtýr? ) 6 ) ) ) ). + k = + k = 6 denklemlerinin birer kökleri ortak olduðuna göre, k kaçtýr? ) ) ) ) ). + m = 0. (m ) 6 = 0 + m = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. (m n ) + m + n = 0 + 6 m 0 = 0 denklemlerinin birer kökü eþit olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. + m + 0 = 0 + (m n) + 6n = 0 denklemlerinin her iki kökleri de birbirine eþit olduðuna göre, m.n çarpýmý kaçtýr? ) ) 6 ) ) ) 8 9 + + m = 0 denklemlerinin birer kökleri eþit olduðuna göre, m kaçtýr? ) 7 ) ) 0 ) )
( ) 8 ( ) + = 0 denkleminin R de çözüm kümesi nedir? ( ) 8 ( ) + = 0 = t olsun t 8t + = 0 (t ) (t 6) = 0.9 ikinci dereceden denklemler t = = = 0 = ve = t = 6 = 6 6 = ve = Ç = {,,, } ÝR IM H ÝLRLYLÝM: ( + ) + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ( + ) + ( ) = 0 ( + ) + ( + ) = 0 + = t olsun t + (t ) = 0 t + t = 0 (t + 6) (t ) = 0 t = 6 + = 6 + 9 = 0 Ç= t = + = + = 0 Ç = {} Ç = {}. 8 = 0 denkleminin en küçük reel kökü kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). ( 99) ( 99) + = 0 denklemini saðlayan deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) 8 ) 89 ) 9 ) 0 ) 07.. ( ) ( ) 0 = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9 HG I KJ HG I KJ 0 denkleminin büyük kökü kaçtýr? 6 ) ) ) ) ). ( + ) + 6 7 = 0 denkleminin reel kökü kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. y + y = ve y denklem sistemini saðlayan deðerlerinin büyüðü kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 0
9. + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? 9. + 8 = 0 ( ) 9. + 8 = 0.0 ikinci dereceden denklemler YOK ÝRÝRÝNN RKI 6 0 = t olsun t 9t + 8 = 0 (t 8) (t ) = 0 t = 8 = 8 = = t = = = 0 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? e j 6 0 t olsun t t 6 0 b gb g t t 0 t t 9 l q Ç,9. 9 0. + 9 = 0 denkleminin büyük kökü kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 9.. + + 8 = 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). p (p + )p + p = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {, p} ) {, p} ) {0, }. 6 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6 ) {0} ) { }.. + + = 0 denkleminin büyük kökü kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 6 ) 6. a a denkleminin küçük kökü kaçtýr? ) ) ) ) )
. þaðýdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz? ikinci dereceden denklemler ) ) Köklü denklemlerde önce köklü ifadeler eþitliðin bir tarafýnda, köksüz ifadeler diðer tarafýnda toplanýr. Kökün ortadan kaldýrýlmasý için her iki tarafýn karesi alýnýr. N ÖNMLÝSÝ : ulunan deðerler verilen (orjinal) denklemde denenir. enklemi saðlamayan çözüm kümesine alýnmaz. ) ) + = 0 için denklem saðlanmadýðýndan Ç = {} tir. e b g e j b g R H K Ç S U T VW j 0 0 0 ve I b g. 0. denkleminin çözüm kümesi nedir? denkleminin çözüm kümesi nedir? ) { } ) {6} ) {} ) {, } ) ) {6} ) {0} ) {6, 0} ) {, 0} ) {, 6}. denkleminin kökü kaçtýr? ) ) ) ) ). denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {0, } ) {0} ) {} ) {, } ) {0, }. 7 6. a a0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) { } ) {} ) {6} ) {, } ) olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 9
. þaðýdaki denklemlerin R deki çözüm kümeleri nedir? ikinci dereceden denklemler ) ) 6 0 Rasyonel denklemlerde paydalar eþitlenerek çalýþýlabilir. u denklemlerde PYYI SIIR YPN ÐRLR ÇÖZÜM KÜMSÝN LINMZ. ) ) bg bg 0 6 8 6 8 0 0 8 0 l q Ç,8 b gb g 6 0 6 0 b gb g + 0 = ve = +, ncak = için payda sýfýr olacaðýndan çözüm kümesine alýnmaz. Ç = { }. denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {0} ) 0, ) ), ) {, 0}. 6 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {, } ) {, } ) {, } ) {, } ) {} 0 R S T U V W R S T 0,. 0 denklemini saðlayan deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) UV W R S T UV W.. 6. 0 denkleminin reel sayýlarda çözüm kümesi nedir? ) { } ) {, } ) {, } ) {, } ) {} a a a 0 a denkleminin büyük kökü kaçtýr? ) ) ) ) ) (a + parantezine alýnýrsa daha kolay çözülür.) 0 0 6 denklemini saðlayan denkleminin büyüðü kaçtýr? ) ) ) ) ) (þitliðin her iki tarafý 0 ile çarpýlýrsa daha kolay çözülür.)
+ = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?. ikinci dereceden denklemler ÝR ÖRNK H: ( ) + = 0 = + + = 0 denkleminin kaç reel kökü vardýr? = t olsun = + = 0 iki reel kökü var. t t + = 0 = + = 0 reel kök yok (t ) (t ) = 0 una göre, cevap dir. t = = = veya = Ç = {0, } t = = = veya = Ç = {, } Ç = {, 0,, }. 7. + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {, 6} ) {} ) {6}. + 6 = 0 denkleminin kökler toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ) ) { 6, } ) { 6,,, 6}. = + denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {0, } ) {0, } ) {, }. = denkleminin köklerinin çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. = 0 ) {} ) {, 0} denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {0, } ) {, 0} ) {, } ) {, 0, } ) {, 0, } 6. + = + 7 denkleminin gerçek köklerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8
. Köklerinden biri, diðeri / olan ikinci dereceden rasyonel katsayýlý denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + ) + ) + ) + ikinci dereceden denklemler Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem ar {0} için; a( ) ( ) = 0 Y a[ ( + ) +. ] = 0 dýr. una göre, = ve = / ise L NM L NM a a I HG K J O QP 0 O QP a = için + = 0 denklemi elde edilir. 0 Ýkinci dereceden denklemlerde köklerden biri köklü ifade içeriyorsa diðeri onun eþleniðidir. Örneðin; Köklerden biri tür. Köklerden biri 7 dir. Köklerden biri dir. 7 ise diðeri ise diðeri ise diðeri. Kökleri / ve / olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) 6 + 6 = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + + = 0. arklý iki kökünden biri 7 olan rasyonel katsayýlý ikinci dereceden denklemin kökler çarpýmý kaçtýr? ) 9 ) 8 ) ) ) 7 ) 6 + = 0. (a + b) + a.b = a + b ab =. + m + n = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) (Sadece dikkat!). 6 + m + = 0 denkleminin kökleri k ve k + olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) olduðuna göre, kökleri a ve b olan II. dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) 7 + 0 = 0 ) + 7 = 0 ) + 9 + = 0 ) + 7 = 0 ) + = 0 6. Gerçel köklerinin ikisi de negatif olan ikinci dereceden denklemlerden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + 6 = 0 ) 6 = 0 ) + 6 = 0 ) + = 0 ) + + = 0
. ikinci dereceden denklemler m (m + ) + n = 0 denkleminin kökler toplamý olduðuna göre, m kaçtýr? a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve ise, b dýr. a m una göre, m m m m m m b g ÝSPTI KOLY OLK a + b + c = 0 denkleminin kökleri: b a b a b b a a b a b a. (k ) + (k + ) p = 0 denkleminin köklerinin toplamý olduðuna göre, k kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. (m + ) + m m + = 0 denklemini saðlayan deðerlerinden biri olduðuna göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). (m ) + m + = 0 denkleminin kökleri ve dir.. m + n = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 + = m + olduðuna göre, m kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) (Ýpucu : + = + + ). m + = 0 denkleminin kökler toplamý 7 olduðuna göre, m kaçtýr? ) 7 ) ) ) 7 ) 6. + m + n = 0 denkleminin bir kökü, + p + q = 0 denkleminin bir kökü dir. u iki denklemin diðer kökleri eþit olduðuna göre, m p farký kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ) 6
.6 ikinci dereceden denklemler m + m = 0 denkleminin kökleri ve dir. olduðuna göre, m kaçtýr? a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve ise, una göre, b g dir. m m b g c a dir. m m m m m ve önceki köþetaþýndan m m a + b + c = 0 denkleminin kökleri b, a H G b a b a b b b b ac a a ac c a a e I K J H G a j dir. I K J. (m ) + m + = 0 denkleminin kökleri ve dir. + + = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. (m ) + m + = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerinin toplamý / olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) 9 ) 7 ) ). k 8 = 0 denkleminin kökleri ve dir.. = 0 denkleminin kökleri a ve b dir. una göre, HG I KJ HG 7 a b a b kaçtýr? ) ) ) ) 9 ) 8. (a ) = 0 denkleminin kökleri ve dir. ( + ) ( + ) = olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 I KJ = olduðuna göre, k kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. + = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, kökleri ve olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) + = 0 ) + = 0 ) + + = 0 ) + = 0 7
.7 ikinci dereceden denklemler + m + = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = olduðuna göre, m kaçtýr? enklemden + = olduðu çýkarýlýr. ise, 6 c 6 m m m a + U V W denklem sistemi çözülür. Sorunun çözümünde köklerden biri ortaya çýkýnca ( = ) denklemde yazýlýrsa m elde edilir. = için b g b g m 0 6 8 m 0 m. 6 + m = 0 denkleminin kökleri arasýnda = + baðýntýsý olduðuna göre, m kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 7. m + 6 = 0 denkleminin kökleri ardýþýk iki tamsayý olduðuna göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). 6 + k = 0 denkleminin kökleri ve dir. 7 olduðuna göre, k kaçtýr? ) 0 ) 8 ) 6 ) ). m m + m = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre,. çarpýmý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0. 7 + + m = 0 denkleminin kökleri ve dir. ( + ) + = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0 6. + (p + ) 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 0 olduðuna göre, p aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) 9 ) 7 ) ) 7 ) 9 8
.8 ikinci dereceden denklemler + m + = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 7 olduðuna göre, m kaçtýr? enklemden + = ve. = m + olduðu görülüyor. + = ( + ). 7 = (m + ) 7 = 9 m m = 0 m = 0 ÞÐIKÝ ÖZÞLÝKLRÝ HTIRLYINIZ. + =( + ) + =( + ) ( + ) + = ( ) + =( ) + ( ) (kz.. kitap. bölüm). = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, + kaçtýr? ) 0 ) ) ) 6 ) 8. = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, kaçtýr? ) ) ) ) ). + (m 6) m = 0 denklemini kökleri ve dir. + = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. + 9 = 0 denkleminin kökleri ve dir. toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 0 ). = 0 denkleminin kökleri ve dir. + toplamý kaçtýr? ) 7 ) 9 ) 0 ) ) 6. + 7 + m = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 8 ) ) 9
.9 ikinci dereceden denklemler (a 7) + b = 0 denkleminin kökleri sýfýrdan farklý a ve b dir. u denklemin diskriminantý kaçtýr? (a 7) + b = 0 denkleminin kökleri olan a ve b ayný zamanda katsayý rolünde oynuyor. HG c a I K J H a.b = b a = Kökler toplamýndan da: Genel denklemin a ve b si ile buradaki a ve b yi karýþtýrmayýnýz a + b = a 7 + b = b = I K SÝMTRÝK KÖKLR a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve olsun. = ise, kökler simetriktir denir. Kýsaca kökler sýfýrdan farklý iken kökler toplamý sýfýr ise, simetriktirler. una göre, denklem + 0 = 0 olur. b ac = 9..( 0) = 9. a + a = 0 denklemin köklerinden biri a olduðuna göre, a kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ). + (a + ) b = 0 denkleminin kökleri a ve b dir. una göre, köklerden küçüðü kaçtýr? ) ) ) ) 0 ). ( + ) + = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, kökler çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 6. (m n) + m + n 0 = 0 denkleminin kökleri m n ve m + n dir. una göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0. k + 9k = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduðuna göre, kökler çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 6. + + = 0 denkleminin kökleri sýfýrdan farklý olan ve dir. una göre, + toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 0
.0 ikinci dereceden denklemler = 0 denkleminin kökleri ve olduðuna göre, kökleri + ve + olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) 8 + = 0 ) 8 + = 0 ) 8 + = 0 ) 6 + = 0 ) 8 + 6 = 0 = 0 denkleminde + = ve. = dir. Kökleri + ve + olan ikinci dereceden denklem: a[ ( + + + ) + ( + ) ( + )] = 0 a[ ( + + ) + + + + ] = 0 a[ 8 + 6 + ] = 0 a[ 8 + ] = 0 a = için 8 + = 0 olabilir. ÞK ÝR ÇÖZÜM: Kökleri + ve + olan denklemin köklerinden biri olsun. sayýsý = 0 denkleminin kökü ise, eþitliði saðlamalý. HG 0 0 6 6 0 I K J 8 0 I HG K J. = 0 denkleminin köklerinin birer fazlasýný kök kabul eden ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) 0 = 0 ) = 0 ) = 0 ) 6 + = 0 ) 7 = 0. + 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, kökleri + ve + olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) + = 0 ) + 7 = 0 ) 0 + = 0 ) + 0 = 0 ) + + 0 = 0. = 0 denkleminin kökleri + ve + dir. una göre, kökleri ve olan denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) 0 = 0 ) = 0 ) = 0 ) 6 + = 0 ) + = 0. = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, kökleri ve olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) + + = 0 ) + 6 + = 0 ) 8 + = 0 ) 8 = 0 ) + + 0 = 0. 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, kökleri ve olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) + = 0 ) = 0 ) = 0 ) 7 + = 0 ) 7 = 0 6. + m + n = 0 denkleminin kökleri, 6 + = 0 denkleminin köklerinden birer fazla olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0
. ikinci dereceden denklemler ir karenin bir kenarý 7 cm, diðer kenarý cm artýrýlarak bir dikdörtgen oluþturuluyor. Oluþan dikdörtgenin alaný 7 cm olduðuna göre, karenin bir kenar uzunluðu kaç cm dir? azý problemlerin çözümünde ikinci dereceden denklemlerle karþýlaþýlabilir. u köþetaþý problemlere ayrýldý. Karenin bir kenar uzunluðu cm olsun. K (K) = ( + ) ( + 7) 7 = + 0 + 0 = + 0 96 0 = ( 6) ( + 6) 7 = 6 ve = 6. ir resim çerçevesinin uzunluðu, geniþliðinden 8 cm fazladýr. Çerçevenin içine resmin etrafýna cm geniþliðinde paspartu konuyor. Çerçevenin alaný 09 cm olduðuna göre, resmin alaný kaç cm dir? ) 87 ) 9 ) 98 ) 0 ) 0. ir tekne nehir boyunca mil uzaða V hýzla gidip V + hýzla dönmüþtür. önüþ, gidiþten saat daha kýsa olduðuna göre, V kaç mil/saattir? ) ) 6 ) 8 ) 0 ). ir dikdörtgenin uzunluðu, geniþliðinin katýdýr. u dikdörtgenin alaný, bir kenar uzunluðu dikdörtgenin geniþliðinden cm fazla olan karenin alanýndan cm fazladýr. una göre, karenin bir kenar uzunluðu kaç cm dir?. yný noktadan harekete baþlayan iki araçtan biri kuzeye doðru 8 m/s hýzla, diðeri batýya doðru 6 m/s hýzla yol almaktadýr. Kaç s sonra aralarýndaki kuþ uçuþu uzaklýk 0m olur? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) ) ) 8 ) 0 ). erna ile bru bir iþi birlikte 7, saatte yapýyorlar. Yalnýz çalýþtýklarýnda erna bu iþi bru dan 6 saat erken bitirebiliyor. una göre, bu iþi bru kaç saatte yapabilir? 6. öðrencinin bulunduðu bir sýnýfta her sýraya eþit sayýda öðrenci oturmuþtur. ðer herbir sýraya öðrenci az otursaydý, bir sýraya daha ihtiyaç duyulacaktý. Sýnýftaki sýra sayýsý kaçtýr? ) ) 8 ) 0 ) ) 7 ) 7 ) 6 ) ) )
TRM TSTÝ ikinci dereceden denklemler. c he j 0 6. a 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {, 0, } ) {,, 0, } ), 0,, ) {, 0,, } ) { } {,,, } denkleminin gerçel iki kökünün olmasý için a hangi aralýkta bulunmalýdýr? ) ) ) I 0 8 I 0, h,, 8K J 8 I ), ) 8 8, HG KJ HG KJ HG HG I KJ. + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) ) {0, 6} ) { 6, 0} 7. (m + ) = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, diðer kök kaçtýr? ) ) ) ) ) ) {, } ) {, } 8. + m = 0 + (m + ) 8 = 0. 6 = 0 denkleminin büyük kökü kaçtýr? denklemlerinin bir kökü ortak olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 ) ) ) ) ) 9. ( ) ( ) + 0 = 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr?. = 0 ) ) ) 6 ) ) denkleminin küçük kökü kaçtýr? 6 6 6 9 ) ) ) 6 6 6 ) ) 6 0. 6 0 denkleminin büyük kökü kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). m + = 0 denkleminin reel sayýlarda sadece bir kökü olduðuna göre, m kaçtýr? 9 8 7 7 6 ) ) ) ) ) 6 8 7. denkleminin kökü kaçtýr? ) ) ) ) )
ikinci dereceden denklemler. 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? R S T U V W ) ) ) R S T U V W R S T ) ) U V W R S T 6 R S T U V W U V W 7. + m + 8 = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 8 olduðuna göre, m kaçtýr? ) 6 ) ) ) 0 ) 8. a R olmak üzere, a = 0 denkleminin kökleri ve dir.. + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {, } ) {,,, } ) {0,, } una göre, + ifadesi aþaðýdakilerden hangisi olamaz? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) {0,,, 6} ) {, 0,, } 9. n 0 olmak üzere + m + n = 0 denkleminin kökleri m ve n dir.. Köklerinden biri olan ikinci dereceden rasyonel katsayýlý denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) + = 0 ) + = 0 una göre, m + n toplamý kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) ) ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0. a (a 9) + b = 0 denklemini saðlayan deðerlerinin toplamý olduðuna göre, a kaçtýr? ) 0 ) ) 6 ) 9 ) 6. (m + ) + = 0 denkleminin kökleri ve dir. +. = 7 olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 0. = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre kökleri ve olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) = 0 ) 7 = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0. ir gezinin toplam maliyeti YTL dir. Geziye katýlacaklardan biri hastalanýnca kiþi baþýna düþen ücret YTL artýyor. aþlangýçta geziye katýlanlarýn sayýsý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8
KONU TSTÝ. + a = denkleminin bir kökü ise, a kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. (m + ) (m + ) + m = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? R S T U V ikinci dereceden denklemler m m ) ) ) m, W m, 0 W R S T R S T U V W U V m ), ) m R S T R S T m, m 0 U V W m, m U V W. (t + ) (t + ) = 0 denkleminin köklerinden biri ise, diðer kök kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) 7. + t = 0 denkleminin kökleri arasýnda + = baðýntýsý olduðuna göre, t kaçtýr? ) 9 ) 7 ) ) ). + + k + 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre, k kaçtýr? ) 6 ) 0 ) ) ) 8 8. a6 0 denkleminin çözüm kümesi bir elemanlý olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 0. + (a ) 7 = 0 denkleminin kökleri arasýnda + +. = 7 baðýntýsý vardýr. una göre, a kaçtýr? ) 0 ) ) 0 ) ) 8 9. ( + ).( ).( 8) = 0 denkleminin gerçel sayýlardaki çözüm kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) ) ) ) ) 0. ( ) + 8 = 0. (t ) + = 0 denkleminin kökleri eþit olduðuna göre, t nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {0, } ) {0,, } ) {, 0,, } ) {,,, } ) {,,, }
ikinci dereceden denklemler. + = 0 denkleminin kökleri ve dir. ifadesinin eþiti kaçtýr? ) ) ) 8 ) 0 ) 6. y 8y6 6 eþitliðini saðlayan y deðerlerinin toplamýnýn cinsinden ifadesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 6 ) 8 ) 0 ). + (6m + 8) n = 0 denkleminin kökleri simetrik olduðuna göre, m kaçtýr? ) 6 ) ) ) 0 ) 7. 8 + 9m = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortalamasý, geometrik ortalamasýna eþit ise, m kaçtýr? ) ) ) ) ). 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) { 8, 8} ) {, 6, 7} ) { 7, 0, 6} ) { 8, 7, 7, 8} ) { 8, 7, 9} 8. = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ( ) ve ( ) olan ikinci derece denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) 9 = 0 ) 9 = 0 ) + + 7 = 0 ) 6 7 = 0 ) 7 = 0. denkleminin kökü (m + ) + m = 0 denkleminin bir kökü ise, m kaçtýr? ) 0 ) ) ) 0 ) 9. ir kökü olan rasyonel katsayýlý ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) + 8 + = 0 ) + = 0 ) 8 + = 0 ) 8 + 8 = 0. ( ) + = 0 denkleminin kökleri sýfýrdan farklý ve dir. ) 6 = 0 una göre, oraný kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 6 0. a (a + ) + = 0 denkleminin köklerinin karelerinin toplamý olduðuna göre, a aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) 0 ) )
KONU TSTÝ. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aþaðýdakilerden hangi- sidir? ) 0 ) 0 6. t > 0 olmak üzere, ikinci dereceden denklemler + (t ) 08 = 0 denkleminin köklerinden biri t + ise diðer kök kaçtýr? ) ) 9 ) 6 ) ) ) 0 ) 0 ) 0 7. (t + ) + t = 0 denkleminin kökleri bir dikdörtgenin boyutlarýdýr. ikdörtgenin alaný 0 birimkare ise, çevresi kaç birimdir?. + 8 + a = 0 denkleminin kökleri ve dir. ) 0 ) 6 ) 8 ) ) 8 = ( + ) olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) 8 ) 80 ) 8 ) 8 8. + c = 0 ikinci dereceden denkleminin iki farklý gerçel kökü var ise, c nin en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. + t + 8 = 0 denkleminin kökleri ve dir.. = 6 olduðuna göre, t kaçtýr? ) 6 ) ) ) 6 ) 8 9. m, n IR olmak üzere, m + m = 0 denkleminin bir kökü m m mn + 6n = 0 denkleminin bir kökü n. (a + ) + b = 0 denkleminin kökleri sýfýrdan farklý a ve b sayýlarýdýr. una göre, denklemin diskriminantý kaçtýr? olduðuna göre, n aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 0 ) ) ) 0 ) ) 8 ) ). a + a + = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ) 0. + = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökleri + ve + olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0 7 = 0 ) 6 7 = 0 ) = 0 ) 6 + 7 = 0 ) 6 = 0 7
ikinci dereceden denklemler. + m 6 = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, + = ise, + deðeri kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) 6 ) 6. y y + = 0 þeklinde verilen II. dereceden bir bilinmeyenli denklemin köklerinin eþit olmasý için in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). ( + ) =. denkleminin kökler çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) 6 ) 00 ) 0 ) 7. + 9 = 0 denkleminin kökleri ve dir. 8 9 ifadesinin eþiti kaçtýr? ) ) ) ) ).. + + 6 = 0 denkleminin kökler toplamý kaçtýr? 8. + + 6 = 0 denkleminin kökleri ve dir. ) 6 ) ) ) ) 8 una göre, iþleminin sonucu kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). t IR olmak üzere, t 6 = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, + ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþit olamaz? ) ) ) ) ) 9. + (a ) = 0 denkleminin kökleri ve dir. 7 olduðuna göre, a nýn alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). m + + a = 0 denkleminin bir kökü m + b = 0 denkleminin bir kökü ise dir. u denklemlerin diðer kökleri ortak ise kaçtýr? oraný ) ) ) ) ) a b 8 0. f() = (a ) a + ifadesi bir tamkaredir. f() = 0 denkleminin kökü ise + a kaçtýr? 7 ) ) ) ) )
ÖSYS SORULRI. + a + b = 0 denkleminin bir kökü, + c + d = 0 denkleminin bir kökü tir. u iki denklemin diðer kökleri eþit olduðuna göre, a c deðeri nedir? ) 8 ) 6 ) ) ) (ÖYS 98) ikinci dereceden denklemler 7. ( + t) + b ( + t) + c = 0, t R denkleminde köklerin gerçel olmamasý için b ile c arasýndaki baðýntý ne olmalýdýr? ) b + c > ) b + c < ) b < c ) b > c ) b =c (ÖYS 99). 0 denkleminin kökleri, olduðuna göre, + toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) (ÖYS 98) 8. + = 0 denkleminin kökleri, ise, nin pozitif deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) (ÖYS 99) 9. + ( + ) =0. a + b 0 olmak üzere, a b ab denkleminin köklerinin çarpýmý nedir? ) a ) ) b ab ab ) ab ) a.b (ÖYS 98). + a = 0 denkleminin kökleri ve olduðuna göre, a nýn hangi deðeri için, + +. = olur? ) ) ) ) ) (ÖYS 987) denkleminin kökleri, sýfýrdan farklý olan ve sayýlarýdýr. una göre, büyük kök kaçtýr? ) ) ) ) ) 0. = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre, toplamý kaçtýr? (ÖYS 99) 9 ) ) ) ) ). a olmak üzere, (ÖYS 997). + p + q =0 6. denkleminin kökleri p ve q olduðuna göre, diskriminantý kaçtýr? ) 7 ) 9 ) ) 0 ) (ÖYS 989) a abb 7 b eþitliðini doðrulayan a nýn, b cinsinden deðerleri toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? b b ) ) ) b ) b ) b (ÖYS 990) 9. (a + ) (a + 7) + 7 = 0 denkleminin kökleri eþit olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) 9 HG denkleminin köklerinden biri dir. una göre, I KJ HG 6 I KJ 9 0 (ÖYS 998) toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) ) 7 ) 9 ) (ÖSS 999)
ikinci dereceden denklemler. > 0 olmak üzere. HG I KJ HG olduðuna göre, kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 0 a a I KJ olduðuna göre, a kaçtýr? (ÖSS 00) ) ) ) ) ) (ÖSS 006) 9. a + 6 = 0 denkleminin kökleri ve dir. olduðuna göre, a kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 7 (ÖSS 008 II). a pozitif bir gerçel sayý ve a a = 8 olduðuna göre, a kaçtýr? ) 8 ) ) ) ) (ÖSS 006) 0. 0 denklemini saðlayan gerçel sayýlarýnýn toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) (ÖSS 009 I) 6. a ve b pozitif tam sayýlar olmak üzere, a ab b = 0 olduðuna göre, a + b toplamýnýn en küçük deðeri kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) ) 7. ( )( + )( + ) = ( )( + )( + ) (ÖSS 007 I) denklemiyle aþaðýdaki denklemlerden hangisinin çözüm kümesi aynýdýr? ) + + = 0 ) 6 = 0 ) + = 0 ) + 6 = 0 ) = 0 8. ( )( + ) = 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? (ÖSS 007 I) ) ) ) ) ) 6 (ÖSS 007 I) 60. = 0 denkleminin kökleri m ve m dir. una göre, aþaðýdaki denklemlerden hangisinin kökleri ve dir? m m ) + = 0 ) + + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) 8 + = 0 (ÖSS 009 II).. 8 = 0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ln ) ln ) ln (LYS 0)
Ö L Ü M Üçüncü ereceden enklemler KÖÞTÞI MÇLR. Üçüncü dereceden ifadenin, birinci dereceden bir ifade ile ikinci dereceden bir ifadenin çarpýmýndan oluþtuðunu fark edebilme. Kökleri verilen üçüncü dereceden rasyonel katsayýlý denklemi kurabilme. Köklerinden biri bilinen üçüncü dereceden denklemin çözüm kümesini bulabilme. aþkatsayýsý olan üçüncü dereceden denklemin çözüm kümesini bulabilme. Üçüncü dereceden denklemin kökleri ile katsayýlarý arasýndaki baðýntýlarý kavrayabilme 6. Üçüncü dereceden ifadenin olmayan teriminin katsayýsýnýn sýfýr olduðunu fark edebilme 7. (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) özdeþliðini kullanabilme 8. Köklerin iþaretini katsayýlardan tespit edebilme 9. Kökleri aritmetik dizi oluþturan denklemi çözebilme 0. Kökleri geometrik dizi oluþturan denklemi çözebilme. Kökleri ortak olan iki denklem arasýnda iliþki kurabilme. enklemin iki kökünün reel olmamasý durumunu inceleyebilme Ýkinci ereceden enklemler ZORUNLU ÐÝL ve OPTÝONL ÝSTÐ ÐLI Polinom Uygulamasýdýr
( ) ( ) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?. üçüncü dereceden denklemler Üçüncü dereceden denklemlerin çözümü, ikinci dereceden denklemlerde olduðu gibi çarpanlara ayýrma ile yapýlýr. Üçüncü dereceden bir ifade, birinci dereceden bir ifade ile ikinci dereceden bir ifadenin çarpýmýdýr. Çarpanlarýn sýfýra eþitlenmesi ile oluþan denklemlerin kökleri çözüm kümesini oluþturur. ( ) ( ) = 0 ) = 0 = ) = 0 denkleminin kökleri: =..( ) = R S T Ç, U V W ve. ( ) ( + 7) ( ) = 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr?. ( ) ( 7 ) = 0 denkleminin kökler toplamý kaçtýr? ) ) ) 9 ) ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 ) ). ( ) ( + 9) = 0 denkleminin köklerinin çarpýmý kaçtýr? ) ) 9 ) 6 ) ) 9. ( 6) (. + ) = 0 denkleminin kökler toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). ( + ) ( + ) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ) {,, } ) {,, } ) {,, } ) {,, } ) {,, } 6 6. Yedinci dereceden bir denklemin reel köklerinin sayýsý en çok a, en az b dir. a + b kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 )
. üçüncü dereceden denklemler Köklerinden ikisi ve olan üçüncü dereceden rasyonel katsayýlý denklemi kurunuz? Üçüncü dereceden bir ifadenin birinci dereceden ve ikinci dereceden ifadelerin çarpýmý olduðu önceki köþetaþýnda vurgulandý. sayýsý birinci dereceden çarpaný sýfýr yapan deðerdir. ise ikinci dereceden çarpaný sýfýr yapan deðerlerden biridir, diðeri de eþleneði olan tür. b g e j e je j bge j 0 0 enklem e jb gb g a 0 olamaz mý? Rasyonel katsayýlý olduðu vurgulandýðýndan olamaz.. Kökleri,, olan üçüncü dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + + = 0. Kökleri ve olan rasyonel katsayýlý üçüncü dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0 8 = 0 ) + 6 = 0 ) + 6 8 = 0 ) 0 + 0 8 = 0 ) 8 + 6 + = 0. Kökleri, 0, olan üçüncü dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) = 0 ) 8 = 0 ) + = 0 ) = 0. Kökleri ve olan rasyonel katsayýlý üçüncü dereceden denklemin baþkatsayýsý iken sabit terimi kaçtýr? ) 66 ) ) ) ) 66 ) =0. Kökleri,, olan üçüncü dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) + 6 = 0 ) 6 + 7 = 0 ) 7 + 6 = 0 ) + 6 = 0 ) + 6 = 0 6. Kökleri ve olan rasyonel katsayýlý üçüncü dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) + = 0 ) = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 6
. üçüncü dereceden denklemler 9 + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, diðer iki kökü bulunuz? enklemin köklerinden biri olduðundan; ( ), yukarýdaki üçüncü dereceden ifadenin çarpanýdýr. iðer ikinci dereceden çarpaný bulmak için polinomlardaki bölme iþlemlerinden yararlanýlýr. _ + = 0 ( ) ( ) = 0 _ 9 + _ 6 + _ 6 _ + 0 _ 6 _ 6 0 _ ve = diðer köklerdir. _ + GNLLÝKL HORNR YÖNTMÝNN YRRLNILIR. _ 9 _ 6 _ 0 6 _ 0 + = 0 denkleminin kökleri, diðer iki kökü verir. NOT : Kalan sýfýra eþit olmazsa iþlemi yanlýþ yaptýnýz demektir. Horner Yöntemi için kz..... 9 + m + = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, diðer iki kök aþaðýdakilerden hangisinde verilmiþtir? ) {, } ) {, } ) {, } ) {, 6} ) {, }. m + (m + ) 6 = 0 denkleminin kökleri,, dir. < olduðuna göre, + kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) ) 7. + + m 7 = 0 denkleminin köklerinden biri 0 olduðuna göre, diðer kökler aþaðýdakilerden hangisinde verilmiþtir? ) {, 7} ) {, } ) {, } ) {, } ) {, 7}. m 9 9 = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, diðer kökler aþaðýdakilerden hangisinde verilmiþtir?. 7 + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {,, } ) { 7,, 7} ) {,, 7} ) { 7,, } ) { 7, 0, } (Ýpucu : Gruplandýrma ile çarpanlarýna ayýrýnýz.) 6. + a + a + 8 = 0 denkleminin kökleri,, dir. ) {, } ) {, } ) {, } ) {, } ) {, 9} > olduðuna göre, + deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0 6
8 + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?. üçüncü dereceden denklemler ir önceki köþetaþýndan farký kökün birinin verilmemesidir. ün katsayýsý ise, sabit terimin çarpanlarýndan birinin kök olduðu söylenebilir. Sabit terimin çarpanlarý yerine yazýlarak denklemi saðlayýp saðlamadýðý denenir. enklemi saðlayan köktür. Sonrasý da önceki köþetaþýndaki gibi çözülür. 6 nýn çarpanlarýndan olan tamsayýsý yerine yazýldýðýnda ( 8. +. 6 = 0) denklemi saðladýðý görülüyor. emek ki bu denklemin köklerinden biri dir. _ 8 _ 6 _ 7 6 _ 7 6 0 7 + 6 = 0 ( ) ( 6) = 0 = ve = 6 diðer köklerdir. Ç = {, 6}. + 9 + = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {, } ) {,, } ) {,, } ) {, } ) {, }. 98 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {,, } ) {,, } ) {,, } ) {,, } ) {,, }. 8 + 9 = 0 denkleminin köklerinin en küçüðü kaçtýr? ) ) ) ) ). 7 + 6 = 0 denkleminin köklerinden en büyüðü kaçtýr? ) 0 ) ) ) 6 ) 8. 8 7. + 7. + 8 = 0 denkleminin kökler toplamý kaçtýr? ) ) ) 7 ) 9 ) 6. a + a = 0 denkleminin sadece bir reel kökü olduðuna göre, a için aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle doðrudur? ) Sýfýrdýr. ) Negatif gerçel sayýlardýr. ) Pozitif gerçel sayýlardýr. ) Çift tamsayýdýr. ) Tek tamsayýdýr. 6
. üçüncü dereceden denklemler + + = 0 denkleminin kökleri, ve tür. una göre, iþleminin sonucu kaçtýr? a + b + c + d = 0 denkleminin kökleri, ve olsun. ) ) ) Köþetaþýna dönülürse: a =, b =, c =, d = b a d a c a bg bg bg b a b d d a a( ) ( ) ( )=0 çarpýmý yapýldýðýnda katsayýlar ile kökler arasýndaki baðýntýlarýn yanda verildiði gibi olduðu görülür.. + m = 0 denkleminin kökleri, ve tür. Rastgele seçilen iki kökün toplamýnýn üç kökün çarpýmýna eþit olduðu görülmüþtür. una göre, m kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ). 9 = 0 denkleminin kökleri,, tür. una göre, iþleminin sonucu kaçtýr? 9 ) ) ) ) 7 ) 9 9. m + n + m = 0 denkleminin kökler toplamý 7 olduðuna göre, kökler çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 0. (a ) + ( a) + = 0 denkleminin rastgele alýnan iki kökünün çarpýmý dir. una göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ). + (m ) + 0 = 0 denkleminin kökleri, ve tür. + = 6 olduðuna göre, m kaçtýr? ) 6 ) ) ) 6 ) 7 6. + m + 8 = 0 denkleminin kökleri, ve tür. + = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 66
.6 üçüncü dereceden denklemler + m + = 0 denkleminin kökleri, ve tür. olduðuna göre, m kaçtýr? u köþetaþýnýn yazýlmasýnýn amacý; olmayan terimin katsayýsýnýn sýfýr olduðunu vurgulamaktýr. Örneðin; öðrenci + = 0 denkleminin kökler toplamýnýn olduðu hatasýný sýk sýk yapmaktadýr. li terim olmadýðýndan kökler toplamý sýfýrdýr. Köþetaþýna bakýlýrsa: a =, b = 0, c = m, d = b g b g d a b 0 0 a, kök olduðundan + m + = 0 m =. 7 m + = 0 denkleminin kökleri,, tür. + = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ). 9 + k = 0 denkleminin kökleri,, tür. + + = 0 olduðuna göre, k kaçtýr? ) 7 ) ) ) 8 ). + a + b = 0 denkleminin kökleri,, tür. una göre, deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). m m 0 = 0 denkleminin kökleri,, tür. + + = 7 olduðuna göre,.. çarpýmý kaçtýr? ) 7 ) 76 ) 80 ) 8 ) 88 6. + a + b = 0 denkleminin kökleri,, tür.. + (a ) a = 0 denkleminin iki kökü eþit olduðuna göre, a nýn pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 67 iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) 0 ) ) )
.7 üçüncü dereceden denklemler + (m ) + 8 = 0 denkleminin kökleri, ve tür. + + = 6 olduðuna göre, m kaçtýr? (a + b + c) =a + b + c + (ab + ac + bc) özdeþliði üçüncü dereceden denklemlerde sýkça kullanýlýr. una göre; ( + + ) = + + + (. +. +. ) = 6 + (m ) 0 = m = m a n + b n +... + k = 0 denkleminin kökler toplamý = b a kökler çarpýmý = R S T k a, k a, n çift ise n tek ise. + m + m + = 0 denkleminin kökleri, ve tür. + + = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ). + = 0 denkleminin kökleri, ve tür. una göre, + + +.. ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) ) 6. + m + + = 0 denkleminin kökleri, ve tür. + + = olduðuna göre, + + toplamý kaç olabilir?. + k + 9 = 0 denkleminin kökleri, m ve n dir. una göre, m + n kaçtýr? ) ) 8 ) 8 ) ) 6 ) ) 0 ) 8 ) 6 ). + 7 0 = 0 denkleminin kökleri, ve tür. + + iþleminin sonucu kaçtýr? ) 9 ) 0 ) ) ) 8 6. + (m ) + m + = 0 denkleminin kökleri arasýnda + + = 6 baðýntýsý olduðuna göre, m kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 68
.8 üçüncü dereceden denklemler + m = 0 denkleminin kökleri, ve tür. Kökler için aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle doðrudur? ) Üçü de pozitiftir. ) Üçü de negatiftir. ) iri pozitif, ikisi negatiftir. ) iri negatif, ikisi pozitiftir. ) Köklerden biri sýfýrdýr. Üçüncü dereceden denklemde üç kök olup bu köklerin; toplamý, çarpýmý, ikili çarpýmlarýnýn toplamý katsayýlarýndan belirlenebiliyor. Köþetaþýndaki denklemde üç kökün toplamý sýfýr, çarpýmlarý olup pozitiftir. ) Üçü pozitif olursa kökler toplamý sýfýr olmaz. ) Üçü negatif olursa kökler toplamý sýfýr olmaz. ) iri pozitif, ikisi negatiftir. evap dir. ) iri negatif, ikisi pozitif olursa çarpýmlarý pozitif olmaz. ) Köklerden biri sýfýr olursa çarpýmlarý pozitif olmaz.. k < 0 olmak üzere, 8 + k = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Üçü de negatiftir ) Üçü de pozitiftir ) iri pozitif, ikisi negatiftir ) iri sýfýrdýr ) iri negatif, ikisi pozitiftir. + a = 0 denkleminin üç gerçel kökü olduðuna göre, kökler için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Üçü de negatiftir ) Üçü de pozitiftir ) iri pozitif, ikisi negatiftir ) iri sýfýrdýr ) iri negatif, ikisi pozitiftir. m > 0 olmak üzere,. = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) iri sýfýrdýr ) irbirine eþittir ) iri reeldir ) Reel deðillerdir ) Üçü de reeldir (m + ) m + m + = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Üçü de negatiftir ) Üçü de pozitiftir ) iri pozitif, ikisi negatiftir ) iri sýfýrdýr ) iri negatif, ikisi pozitiftir 6. Gerçel sayý olan her a deðeri için,. + + = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) iri sýfýrdýr ) irbirine eþittir ) iri reeldir ) Reel deðillerdir ) Üçü de reeldir 69 + a + = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) n az biri pozitiftir. ) iri negatiftir. ) iri karmaþýk sayýdýr. ) Reel deðillerdir. ) irbirine eþittirler.
.9 üçüncü dereceden denklemler + + m + = 0 denkleminin kökleri birer tamsayý olup aritmetik dizi oluþturduðuna göre, m kaçtýr? Terimleri arasýndaki farkýn sabit olduðu dizilere aritmetik dizi denir. Örneðin;, 8,,,... aritmetik dizidir. (Terimler arasýndaki fark ) 7,, 7,,... aritmetik dizidir. (Terimler arasýndaki fark ),, 8, 6,... aritmetik dizi deðildir. (Terimler arasýndaki fark sabit deðil) Üç sayý aritmetik dizi oluþturuyorsa; küçük sayý ile büyük sayýnýn aritmetik ortalamasý ortanca sayýya eþittir. Kökleri < < olup aritmetik dizi oluþturan üçüncü dereceden denklemin kökleri arasýnda = + baðýntýsý vardýr. Köþetaþýna bakýlýrsa: + + = + = olduðundan = = = için + + + m + = 0 m = 7. m + m = 0 denkleminin kökleri birer tamsayý olup aritmetik dizi oluþturmaktadýr. una göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ). m tamsayý olmak üzere, + (m ) m = 0 denkleminin kökleri, ve tür. + = olduðuna göre,.. çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) ) ) 6 ) 0. + m + = 0 denkleminin köklerinin birer tamsayý olduðu ve aritmetik dizi oluþturduðu bilindiðine göre, m kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ) 0. + a + b + c = 0 denkleminin kökleri,, olup < < tür. enklemin kökleri aritmetik dizi oluþturduðuna göre, nin deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? a abc a c ) ) a ) ) ) b. 9 + + m = 0 denkleminde köklerin birer tamsayý olduðu ve ayrýca bir aritmetik dizi oluþturduðu bilindiðine göre, en küçük kök kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) 6. + (m ) + m + = 0 denkleminin kökleri aritmetik dizi oluþturduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 70
.0 üçüncü dereceden denklemler a + 9 b = 0 denkleminin kökleri geometrik dizi oluþturduðuna göre, a.b çarpýmý kaçtýr? (b 0) Terimleri arasýndaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Örneðin;,, 8, 6,... geometrik dizidir., 6,,,... geometrik dizidir. Üç sayý geometrik dizi oluþturuyorsa; küçük sayý ile büyük sayýnýn geometrik ortalamasý ortanca sayýya eþittir. Kökleri < < olup geometrik dizi oluþturan denklemin kökleri arasýnda =. baðýntýsý vardýr. Köþetaþýna dönülürse:.. =b =. olduðundan =b =b = b için b ab + 9b b =0 b (ab 9) = 0 ab 9 = 0 ab = 9. + a + b + c = 0 denkleminin kökleri bir geometrik dizi oluþturduðuna göre, c nin a ve b türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? b b b ) ) ) a a a ) a b ) a b. m + (m + ) 7 = 0 denkleminin kökleri geometrik dizi oluþturduðuna göre, m kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 7. (a + ) (a + ) 8 = 0. (a + ) + a 8 = 0 denkleminin kökleri geometrik dizi oluþtuðuna göre, a kaçtýr? denkleminin kökleri geometrik dizi oluþturduðuna göre, denklemin kökler toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ) ). + a + b 8 = 0 denkleminin kökleri geometrik dizi oluþturduðuna göre, b/a oraný kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. + m + n 6 = 0 denkleminin kökleri pozitif tamsayýlar olup geometrik dizi oluþturmaktadýr. u denklemin en büyük kökü ile en küçük kökünün farkýnýn mutlak deðeri en çok kaçtýr? ) ) ) 8 ) ) 7
. üçüncü dereceden denklemler + + p = 0 denkleminin kökleri a, b, c ; + p + = 0 denkleminin kökleri a, b, d dir. una göre, c + d toplamý kaçtýr? u tür sorularda kökler toplamý ve kökler çarpýmý ile çözüme gidilir. + + p = 0 denkleminden a + b + c =, a.b.c = baðýntýlarý; + p + = 0 denkleminden a + b + d =, a.b.d = baðýntýlarý elde edilir. abc abd c d c k ve d k a bc a bd U V W c + d = k k = k = d c k k k. + m = 0 denkleminin kökleri ayný zamanda + n + 6 = 0 denkleminin de kökleridir. una göre, m + n toplamý kaçtýr? ) 7 ) ) ) ). (a + ) + b = 0 = 0 denklemlerinin ikiþer kökü ortak olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). + m = 0 ve + (n + ) + n + = 0 denklemlerinin ikiþer kökü ortaktýr. una göre, n kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) ). + a + b = 0 denkleminin kökleri ve ; + a + c 8 = 0 denkleminin kökleri, ve dir. una göre, + toplamý kaçtýr?. + = 0 denkleminin kökleri ve ; ) 0 ) ) ) 6 ) 8 a + a 0 + b = 0 denkleminin kökleri,, tür. 6. + = 0 denkleminin kökleri, una göre, b kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8 7 + m + 6 = 0 denkleminin de kökleri olduðuna göre, m kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) )
. üçüncü dereceden denklemler + a + b = 0 denkleminin köklerinden biri olup diðer kökler reel deðildir. una göre, b nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? + a + b = 0 denkleminin köklerinden biri diðerleri ve olsun. b Yukarýdaki denklemin ikinci dereceden olan çarpaný b 0 b HG b dir. denkleminin reel kökünün olmamasý için < 0 olmalýdýr. I K J 0 b 0 b b nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri tür. b. 6 + a + b = 0 denkleminin bir kökü olup diðerleri reel deðildir. una göre, b nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. (a + ) + a + = 0 denkleminin kökleri ve ; (7 a) + b 6 = 0 denkleminin kökleri,, tür. una göre, b kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). + + a + b = 0 denkleminin köklerinin hepsi birbirinden farklý ve reel olup biri dir. una göre, b nin alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) ). 6 + 8 = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Üçü de farklý reel sayýdýr ) Üçü de karmaþýktýr ) iri reel, ikisi karmaþýktýr ) iri sýfýrdýr ) Sadece bir reel kök vardýr. + a + b = 0 denkleminin den baþka reel ya da reel olmayan kökü yoktur. una göre, a + b kaçtýr? ) 9 ) 6 ) 0 ) ) 6 7 6. olmak üzere, = 0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) + ) ) ) +
TRM TSTÝ. ( + ) ( 7 + 6) = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {,, 6} ) {,, 6} ) {,, } ) {,, } ) {, } üçüncü dereceden denklemler. m + m + 9 = 0 denkleminin kökleri, ve tür. olduðuna göre, m kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) ). Köklerinden ikisi ve olan üçüncü dereceden rasyonel katsayýlý denklem aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) 7 + 7 = 0 ) 6 + 7 9 = 0 ) 7 + 9 7 = 0 ) + 7 7 = 0 ) + + 7 7 = 0 6. + m 0 = 0 denkleminin kökleri, ve tür. 0 6 olduðuna göre, m kaçtýr? ) 9 ) 7 ) ) ) 7. m + m = 0 denkleminin kökleri, ve tür.. + m = 0 denkleminin köklerinden biri olduðuna göre, diðer iki kök aþaðýdakilerden hangisinde verilmiþtir? ) {, 6} ) {, 6} ) {, } + + = olduðuna göre, m aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ) {, } ) {, }. + 6 + = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) { 6,, } ) {,, 6} ) {,, 6} ) { 6,, } ) { 6,, } 7 8. k 0 olmak üzere, + k + 8 = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle doðrudur? ) Üçü de negatiftir ) Üçü de pozitiftir ) iri pozitif, ikisi negatiftir ) iri sýfýrdýr ) iri negatif, ikisi pozitiftir
üçüncü dereceden denklemler 9. 6 + m + m = 0 denkleminin kökleri birer tamsayý olup aritmetik dizi oluþturduðuna göre, m kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 0 ) ) 0. m + (m + 7) 8 = 0 denkleminin kökleri birer tamsayý olup geometrik dizi oluþturduðuna göre, m kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). + a + b = 0 + = 0 denklemlerinin ikiþer kökleri ortak olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ). + a + b = 0 denkleminin köklerinden biri olup diðer iki kökü reel deðildir. una göre, b nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 7
KONU TSTÝ. + (m ) 0 + = 0 denkleminin kökler toplamý olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 6. + (k 7) = 0 üçüncü dereceden denklemler denkleminin kökleri geometrik dizi oluþturuyorsa k kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. + = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {,, } ) {,, } ) {,, } ) {} ) {} 7. m + = 0 denkleminin kökleri bir aritmetik dizi oluþturuyorsa, m kaçtýr? ) ) ) ) ). + + a = 0 denkleminin kökleri, ve tür. olduðuna göre, a kaçtýr? ) 7 ) ) ) ) 8. + (m ) = 0 denkleminin kökleri,, tür. =.. olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). + = 0 denkleminin kökleri toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 9. 8 + = 0 denkleminin iki katlý kökü ( = ) vardýr. u iki eþit kökten farklý olan üçüncü kök kaçtýr? ) ) ) ) 0 ). + = 0 denkleminin kökleri, ve tür. < < olduðuna göre, + + iþleminin sonucu kaçtýr? ) 9 ) ) ) ) 7 0. 8 + a + b = 0 denkleminin kökleri,, tür. + = olduðuna göre, a ile b arasýndaki baðýntý aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + b = 6 ) a + b = ) a b = 8 ) a + b = ) a b = 8 76
üçüncü dereceden denklemler. + m + = 0 denkleminin kökleri,,, tür. + + = olduðuna göre m kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 7 6. + a = 0 denklemi ile 7 + b + b 7 = 0 denkleminin ikiþer kökü ortaktýr. una göre, b kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). m > 0 olmak üzere, 6 + m = 0 denkleminde köklerden biri diðer köklerden birinin katý olduðuna göre, kökler çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) ) ) 6 ) 6 7. + (m ) + 8 = 0 denkleminin kökleri geometrik dizi oluþturduðuna göre, kökler toplamý kaçtýr? ) 6 ) ) ) 0 ) 7. + = 0 denkleminin kökleri,, tür. + + iþleminin sonucu kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 0 ) 8 8. (m + ) m = 0 denkleminin kökler toplamý olduðuna göre, kökler çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. + a + b + = 0 denkleminin köklerinden biri dir. iðer iki kökün reel olmasý için a nýn deðer alabileceði en geniþ aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? ) [, ) ) (, 0) ) (, ) ) R {} ) R 9. + n = 0 denkleminin kökleri,, tür. + =.. olduðuna göre, n kaçtýr? ) 7 ) ) ) ). 6a 66a + = 0 denkleminin bir kökü olduðuna göre, diðer iki kökün toplamý kaçtýr? ) ) 7 ) ) ) 77 0. + m (m + ) = 0 denkleminin kökleri,, tür.. = olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) )
KONU TSTÝ. þaðýdakilerden hangisi üçüncü dereceden bir denklemdir? ) ( ) ( + ) = 0 ) ( ) ( + ) = 0 ) ( + ) ( ) = 0 ) ( + + ) ( + ) = 0 ) ( ) ( + ) = 0 6. m < 0 olmak üzere, + (m ) m = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Köklerin üçü pozitiftir. ) Köklerin üçü negatiftir. ) Köklerden biri pozitif, diðer ikisi negatiftir. ) Reel kök yoktur. ) Köklerin üçü reeldir. üçüncü dereceden denklemler. + (k ) + 6 = 0 denkleminin kökleri, ve tür.. +. = 8 ise, k kaçtýr? ) ) 9 ) 6 ) 9 ) 7. + (a + ) = denkleminin kökleri, ve tür. olduðuna göre, a kaçtýr? ) 9 ) 6 ) ) ). + = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) {,, } ) {, 0, } ) {,, } ) {,, } ) {,, } 8. + b + 6 + 8 = 0 denkleminde köklerin toplamýnýn 8 olmasý için b ne olmalýdýr? ) 6 ) 8 ) ) 8 ) 6. Ýki kökü ve olan rasyonel katsayýlý üçüncü derece denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? ) + + 8 = 0 ) + 8 = 0 ) + + + 8 = 0 ) 8 = 0 ) + 8 = 0 9. a + b + c + d = 0 denkleminin kökleri, p ve q dur. una göre, p + q aþaðýdakilerden hangisidir? b b c ) ) ) a a a HG I KJ d ) ) a HG I KJ c b. + a + = 0 denkleminin kökleri, ve tür. =.. olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ) 78 0. + (m + ) m + = 0 denkleminin kökleri arasýnda. = baðýntýsý olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 0
üçüncü dereceden denklemler. p + p + = 0 denkleminin köklerinden birisi p ise, diðer köklerinin toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? ) p + ) p + ) p ) p ) p 6. + = 0 denkleminin kökleri, ve tür. a =. +. olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) 8 ) 0 ). + 9 + p = 0 denkleminin kökleri, ortak farký olan bir aritmetik dizi oluþturuyorsa p nedir? ) ) ) 0 ) ) 7. n (m ) + n = 0 denkleminin birbirinden farklý kökleri, olup I I = dir. (m ) + (m + ) n + = 0 denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). + p + 8 = 0 denkleminin kökleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Kökler negatiftir ) Kökler pozitiftir ) Tek kök negatiftir ) Tek kök pozitiftir ) Tek kök 0 dýr 8. + 9 + 6 = 0 denkleminin kökleri, ve olduðuna göre, + + aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) 6 ) 0 ) 98 ) 8 ) 6. m + n + p = 0 denkleminin köklerinden biri 0 ise, p ne olmalýdýr? ) 0 ) ) ) ) 9. + a = 0 denkleminin kökleri, + b = 0 denkleminin kökleri, ve tür. una göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ). + m + m + m = 0 denkleminin bir kökünün m olduðu biliniyor. m nin alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? R U ) {} ) S U, V ) V R S T U V W T ) 0, ) W R S T R S T 0,, W U V W 79 0. + (m ) + 6 = 0 denkleminin kökleri, ve tür. olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 0 ) )
ÖSYS SORULRI. Kökleri ve i olan üçüncü derece denklem aþaðýdakilerden hangisidir? ) = 0 ) 6 = 0 ) 6 + = 0 üçüncü dereceden denklemler 6. + a + b = 0, + a + c + d = 0 denklemlerinin ve kökleri ortak olduðuna göre d nin deðeri nedir? ) 0 ) ) ) ) (ÖYS 98) ) 6 + + = 0 ) 6 + = 0 (97). + = 0 denkleminin kökler toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) ) ) (97) 7. + a + b + c = 0 denkleminin kökleri bir aritmetik dizi oluþturduðuna göre, ortanca kökün deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? abc a b ) ) ) b a b ) a ) (ÖYS 986). a = 0 denkleminin köklerinden biri (a ) olduðuna göre, a a + a ifadesinin deðeri nedir? ) 0 ) a 8 ) a + 8 ) a ) a (97). Gerçel olan her a deðeri için, 8. + a = 0 denkleminin üç kökü de gerçel olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) Köklerin üçü de pozitiftir. ) Köklerin biri pozitif ikisi negatiftir. ) Köklerin üçü de negatiftir. ) Köklerden biri sýfýra eþittir. ) Hiçbiri (ÖYS 986) + a + 9 = 0 denklemi ile ilgili aþaðýdaki ifadelerden hangisi doðrudur? ) Köklerden en az biri pozitiftir. ) Köklerden biri negatiftir. ) ir tane karmaþýk kök vardýr. ) Gerçel bir kök yoktur. ) Kökler birbirine eþittir. (97). 9 + 6 m = 0 denkleminde köklerin birer tamsayý olduðu ve ayrýca bir aritmetik dizi oluþturduðu bilindiðine göre, m en küçük kökün kaç katýdýr? ) ) ) 0 ) 8 ) (980) 80 9. + = 0 denkleminin kökleri, b, c dir. una göre, b + c toplamý kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) ) (ÖYS 99) 0. + p = 0 denkleminin kökleri, ayný zamanda + q + 0 = 0 denkleminin de kökleridir. una göre, p + q nun deðeri kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ) (ÖYS 99)
Ö L Ü M Parabol KÖÞTÞI MÇLR. Parabolün simetrik bir þekil olduðunu fark edebilme. enklemi y = a + b + c biçiminde verilen parabolü çizebilme. enklemi y = a( r) + k biçiminde verilen parabolü çizebilme. Parabolün eksenine teðet olduðu durumu inceleyebilme. Ýkinci dereceden fonksiyonun en büyük ya da en küçük deðerini bulabilme 6. Taným aralýðý daraltýlan ikinci dereceden fonksiyonun en büyük ya da en küçük deðerini bulabilme 7. eksenini kestiði noktalar ve herhangi bir noktasý verilen parabolün denklemini kurabilme 8. Tepe noktasý ve herhangi bir noktasý verilen parabolün denklemini kurabilme 9. Üç noktasý verilen parabolün denklemini kurabilme 0. Parabolün katsayýlarý üzerine kurgulanan problemleri çözebilme. Ýki parabolün ya da parabol ile doðrunun kesiþim noktalarýný bulabilme. Parabol eþitsizliklerinin grafiðini çizebilme
. parabol y Yandaki grafik bir parabola aittir. T(, k) O =. O olduðuna göre, noktasýnýn apsisi kaçtýr? 0 T Yandaki þeklin adý PROL dür. T noktasý, parabolün TP NOKTSI dýr. Parabolün en önemli özelliði tepe noktasýndan geçen dikey doðruya göre SÝMTRÝK olmasýdýr. Tepe noktasýndan geçen bu d doðrusuna SÝMTRÝ KSNÝ denir. Parabolün kollarý aþaðý ya da yukarý ya da saða ya da sola... doðru olabilir. d y T(, k) 0 k k _ d Köþetaþýna dönülürse; O = k ise, O = k dýr. T noktasýnýn apsisi olduðundan O = tür. Parabol d doðrusuna göre simetrik olduðundan = dir. k + = k - 6 = k = k una göre, noktasýnýn apsisi k = 8 dir. noktasýnýn apsisi ise dir. 8
parabol. y y = f(). y T a Yukarýda y = f() parabolünün denklemi verilmiþtir. eþkenar üçgeninin yüksekliði birim olduðuna göre, noktasý aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ), ) e e j ), ) j e e,, j j Yukarýdaki parabolün tepe noktasý T olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. y y = f(). y 7 _ y = f() = doðrusu y = f() parabolünün simetri eksenidir. f(9) = 99 olduðuna göre, f( ) kaçtýr? Yukarýda y = f() parabolünün grafiði verilmiþtir. f() = f(7) ve f(0) = olduðuna göre, f(0) kaçtýr? ) ) ) 77 ) 99 ) ) 0 ) ) 7 ) ). y 6. y T (8, k) 7 0 6 Yukarýda grafiði verilen parabolün simetri ekseni = doðrusudur. u parabolün eksenini kestiði noktalarýn apsisleri çarpýmý kaçtýr? ) ) ) 7 ) ) Yukarýda y = f() parabolü verilmiþtir. T tepe noktasý olup paralelkenardýr. una göre, uzunluðu kaç birimdir? ) ) ) ) ) 6 8
. parabol f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz? f() = a + b + c biçimindeki ikinci dereceden fonksiyonlarýn grafikleri parabol þeklindedir. u fonksiyonlarýn grafiklerini çizmek için kabaca üç adým atýlýr: y c y = f() = a + b + c _ b _ b T,f a a ) Önce tepe noktasýnýn koordinatlarý bulunur. HG b Tr,k T a,f b c h a ) eksenini kestiði noktalarýn apsisleri olan ve bulunur. ve, a + b + c = 0 denkleminin kökleridir. ) y eksenini kestiði nokta (0, c) noktasýdýr. HG II KJ KJ Köþetaþýndaki fonksiyonun grafiði yukarýdaki üç adým atýlarak çizilebilir: y _ y = ) Tepe noktasý: b T a,f b b g I HG a K J I HG KJ,fbgI T, b 9 HG g K J Tr,k T 9 ) eksenini kestiði noktalar: = 0 ( ) ( + ) = 0 =, = HTIRLTM ÝKKT ÇKM! : ) y eksenini kestiði nokta: (0, ) a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve olsun. b a idi (kz.. ölüm). Parabol simetrik bir þekil olduðundan tepe noktasýnýn apsisi ve nin ortasý yani aritmetik ortalamasýdýr. u da 8 b a b a yý verir.
parabol. f() = 6 + fonksiyonunun grafiðini çiziniz? y. y = + + parabolünü çiziniz? y 0 0. y = parabolünün grafiðini çiziniz? y. f() = + 8 6 fonksiyonunun grafiðini çiziniz? y 0 0. y = + parabolünün grafiðini çiziniz? y 6. f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz? y 0 0 8
y = ( ) 9 parabolünü çiziniz?. parabol y = ( r) + k þeklinde verilen parabol denklemi özeldir. Çünkü denkleme bakýlýnca tepe noktasýnýn koordinatlarý hemen görülüyor. T(r, k) dýr. Parabolü çizmek için yine kaba üç adýmý atalým: y _ y = ( _ ) _ 9 ) y = a( ) 9 biçiminde verilen parabol denkleminden tepe noktasýnýn koordinatlarý T(, 9) kolayca okunur. ) eksenini kestiði noktalarýn apsislerinin elde edilmesi için denklemde y yerine sýfýr yazýlýr. Çünkü bu noktalarýn ordinatlarý sýfýrdýr. 9 ( ) 9 = 0 ( ) =9 = ve = = ve = ) y eksenini kestiði noktanýn ordinatýný bulmak için denklemde yerine sýfýr yazýlýr. Çünkü bu noktanýn apsisi sýfýrdýr. (0 ) 9 = y = y ÇRPNLR YIRM V ÖZÞLÝKLR ÖNMLÝ ÝR KONU! : y = ( ) 9 = + 9 = olup önceki köþetaþýnda olduðu gibi çözüm yapýlabilirdi. Y Önceki köþetaþýndaki parabol denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle; y = + 9 9 = + 9 = ( ) 9 olup bu köþetaþýndaki özel hale getirilip çözüm yapýlabilir. 86
parabol. y = ( ) + 6 parabolünü çiziniz? y. f() = ( + ) 7 fonsiyonunun grafiðini çiziniz? y 0 0. f() = 7 fonksiyonunun grafiðini çiziniz? y. y = parabolünü çiziniz? y 0 0. f() = ( ) + fonksiyonunun grafiðini çiziniz? y 6. y = ( + ) parabolünü çiziniz? y 0 0 87
. parabol y = + m + parabolü eksenine teðet olduðuna göre, m kaçtýr? y = a + b + c parabolü için =b ac dir. ) > 0 ise, eksenini iki noktada keser. Þekildeki I. parabol gibi. ) = 0 ise, eksenine teðettir. Þekildeki II. parabol gibi. ) < 0 ise, eksenini kesmez. Þekildeki III. parabol gibi. y III II I Köþetaþýna dönülürse; y = + m + parabolü eksenine teðet olduðundan = 0 dýr. b g b g b ac 0 m 0 9 m 0 kz. (.) ve (.6) m 88
parabol. y = (m ) + m + m + parabolü eksenine teðet olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). y = (m ) + parabolü eksenine teðet olduðuna göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 0. y = m + parabolü eksenini iki farklý noktada kestiðine göre, m nin alabileceði en küçük üç farklý tamsayýnýn toplamý kaçtýr?. y = (m + ) + 9 parabolü eksenine negatif tarafta teðet olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) 0 ) 6 ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). y = a 0 + parabolü eksenini kesmediðine göre, a nýn alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? 6. f() = (m + ) + (m ) fonksiyonu ile y = 0 doðrusu teðet olduðuna göre, f() kaçtýr? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 89
. parabol y Yanda verilen y = a + (a ) + a + b parabolünün tepe noktasý y ekseninin üzerindedir. y nin alabileceði en büyük deðer 8 olduðuna göre, b kaçtýr? 0 y _ = b a y = a + b + c 0 y = f() = a + b + c parabolünün tepe noktasý Simetri ekseninin denklemi : a > 0 ise, kollar yukarý doðru olduðundan y nin en küçük (minimum) deðeri vardýr ve ya eþittir. a < 0 ise, kollar aþaðý doðru olduðundan y nin en büyük (maksimum) deðeri vardýr ve ya eþittir. Köþetaþýna dönülürse; _ b T, a ac _ b a Tepe noktasýnýn apsisi sýfýrdýr, çünkü y ekseni üzerindedir. b a HG b a, ac b a I KJ dýr. ac b a ac b a b a 0 a a e j 0 a 0 a veya a Parabolün kollarý aþaðý doðru olduðundan a = dir. y = + b ifadesinde y nin alabileceði en büyük deðer yani tepe noktasýnýn ordinatý 8 e eþit verildiðinden f(0) = 8 0 + b = 8 b = 9 90
parabol. y = ( a) + b y = (b + ) + a parabollerinin tepe noktalarý arasýndaki uzaklýk birim olduðuna göre a + b toplamý kaç birim karedir?. y = (m + ) + n parabolünün simetri ekseni = doðrusu olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 8 ) ) ) 8 ) Ýpucu : (, y ) ve (, y ) noktalarý arasýndaki uzaklýk = c h c h y y. y = a 6a + 8a parabolünün tepe noktasýnýn ordinatý a 0 olduðuna göre, a kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 6. f() = + 6 + 7 fonksiyonunun alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. y = f() y y = g() 6. y f() = + (m ) + m + g() = m + m parabollerinin tepe noktalarýnýn apsislerinin farkýnýn mutlak deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7 9 _ 6 y = f() parabolünün eksenleri kestiði noktalar verilmiþtir. una göre, y nin alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 9
f : [, 9] R.6 parabol f() = 6 + fonksiyonun alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ðer tepe noktasýnýn apsisi [, 9] aralýðýnda ise, en küçük deðer, tepe noktasýnýn ordinatýdýr. ðer tepe noktasýnýn apsisi [, 9] aralýðýnda deðilse, en küçük deðer f() ya da f(9) dur. onksiyon tepe noktasýnýn bulunduðu aralýkta tanýmlý olduðundan en küçük deðer tepe noktasýnýn ordinatý olan tür. y 9 f() = 6 + fonksiyonunun [, 9] aralýðýnda en küçük deðeri, en büyük deðeri dir. ONKSÝYONUN TNIM RLIÐINI RLTLIM: y _ 9 f() = 6 + fonksiyonunun [, 9] aralýðýnda en küçük deðeri, en büyük deðeri dir. Tepe noktasý taným aralýðýnda deðilse, sýnýr noktalarla en büyük deðer ve en küçük deðerler bulunur. 9
parabol. f : [0, ] R, f() = + 7 fonksiyonunun görüntü kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) [0, ] ) [, 7] ) [7, ]. f : R R, f() = + 9 fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük elemaný kaçtýr? ) ) 8 ) 6 ) ) ) [, ] ) [, ]. f : [, ] R, f() = ( ) ( + ) fonksiyonunun alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) 6 ) ) ) ). f : [, ] R, f() = ( + ) 7 fonksiyonunun alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) 7 ). f : R R, f() = + + 99 fonksiyonu in hangi deðeri için en küçük deðerini alýr? 6. f() = (a 6) + b + c fonksiyonunun maksimum deðeri olduðuna göre, a nýn alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 99 9 ) 0 ) ) ) )
ÝKKT U ÝKÝ SYY _seffaf_.pdf dosyasý daha önceki basýmlarda olduðu gibi eklenecek. u boþ sayfalar çýkarýlacak
.7 parabol y y = a + b + c Yanda f() = a + b + c fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. una göre, f() deðeri kaçtýr? _ 7 _ eksenini kestiði noktalar ve herhangi bir noktasý verilen parabolün denklemi aþaðýdaki denklem yardýmýyla kurulabilir. y = a[ ( + ) +. ] Köþetaþýna dönülürse; Parabol = ve = 7 de eksenini kesmekte ve (0, ) noktasýndan geçmektedir. y = a[ ( + ) +. ] y = a[ ( + 7) + ( ). 7] y = a( 6 7) u aþamada (0, ) noktasý bu denklemi saðlamalý = a(0 6.0 7) a 7 bg f ( 6 7) 7 f 7 6. 7 bg e j 7 96
parabol. y Yanda y = f() parabolü verilmiþtir.. y T y = f() _ 6 0 f() deðeri kaçtýr? 6 _ T y = g() f() = a + b ) 0 ) ) 8 ) ) 6 g() = c + d parabollerinin grafikleri verilmiþtir. T T = 8 olduðuna göre, a c farký kaçtýr? ) ) ) ) ). y 6 Yanda y = a + b + c nin grafiði verilmiþtir.. y _ Yanda y = f() parabolü verilmiþtir. una göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 8 f( + ) = 0 denkleminin kökler çarpýmý kaçtýr? ) 7 ) ) 8 ) ). y T 6. y T Tepe noktasý y ekseni üzerinde olan y = f() parabolü verilmiþtir. T eþkenar üçgeninin alaný birim kare olduðuna göre, parabolün denklemi nedir? ) y = + ) y = + ) y = + ) y = + 9 ) y = + 6 97 Grafiði verilen y = f() parabolünün tepe noktasý T dir. una göre, f( ) = 0 denkleminin kökleri çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) ) 0 ) ) 6
y.8 parabol 8 (6, ) Yanda f() = a + b + c fonksiyonun grafiði verilmiþtir. una göre, f(0) kaçtýr? Tepe noktasý ile herhangi bir noktasý verilen parabolün denklemi aþaðýdaki denklem yardýmýyla elde edilebilir: y = a( r) + k Köþetaþýna dönülürse; Parabolün tepe noktasý (, 8) olup (6, ) noktasýndan geçmektedir. y = a( r) + k y = a( ) + 8 u aþamada (6, ) noktasý bu denklemi saðlamalý = a(6 ) + 8 = a = a f() = ( ) + 8 f(0) = 8 98
parabol. T( _, 6) y Yanda y = a + b + c parabolü verilmiþtir.. y T(, 6) Yanda grafiði verilen parabol eksenini negatif tarafta hangi noktada keser? una göre, c kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 ) (, 0) ) (, 0) ) (, 0) ) (, 0) ) (, 0). y Yanda f() = a + b + c fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.. Tepe noktasý (, 6) olan ve (, 0) noktasýndan geçen parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y = ( ) + 9 ) y = ( ) + 6 ) y = ( + ) 6 ) y = ( + ) + 9 _ una göre, c h f a oraný kaçtýr? ) y = ( 6) + ) ) ) ) 6 )7 6. y. f() = m + n parabolünün tepe noktasý (, 8) olduðuna göre, f() kaçtýr? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) 99 _ Yanda y = f() parabolü verilmiþtir. una göre, y = f( ) parabolünün simetri ekseni nedir? ) = 7 ) = 6 ) = ) = ) = (ikkat: u soruda fazla bilgi var. Grafikteki ve verilmese de soru çözülebilir.)
.9 (, 9), (, ), (, 6) noktalarýndan geçen parabolün denklemini yazýnýz? parabol (, y ), (, y ), (, y ) noktalarýndan geçen parabolün denklemi y = a + b + c olsun.,, noktalarý bu denklemde yazýlýr. Ortaya çýkan denklem sistemi çözülerek a, b, c bulunur. a b c y a b c y a b c y a bc 9 a b c a b c 6 U V W U V W sistem çözülür. Sistemi çözülürse; a =, b =, c = bulunur. Çözümün detayý için. kitap. bölüme bakýnýz. y = + u tür soru genellikle sorulmaz. Sorulursa da a, b, c katsayýlarýndan biri verilir, ki bu durumda iki bilinmeyenli denklem çözümü yapýlýr. 00
parabol. (, ), (, 8) ve orjinden geçen parabolün simetri ekseni nedir? ) ) = ) ) = 0 ) =. (, ), (, 8), (, ) noktalarý y = a + b + c parabolü üzerinde olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) ) 7 ) 9 ) ). (, ) ve (, 9) noktalarýndan geçen y = + a + b parabolünün alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) ) ) ). f() = a + b + c olmak üzere f( ) = 9, f() = ve f() = 9 dur. una göre, f() kaçtýr? ) ) 9 ) 7 ) ). (, 0), (0,9), (, ) noktalarýndan geçen parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y = + ) y = + 6 ) y = + + 7 ) y = + ) y = + 9 6. y = (m + ) + n + parabolü (, ), (, ) noktalarýndan geçtiðine göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 0
.0 parabol y 7 O = Grafik, y = 6 + m + 6 parabolüne ait olduðuna göre, m kaçtýr? 0 y y = 6 + m + 6 denkleminden tepe noktasýnýn apsisi belirlenir. k 0 K b 6 Tepe noktasýnýn apsisi dir. a Grafiðin simetri özelliðinden yararlanýlýrsa: 7 O K 7 k k 7k OK 7 k k k k k ( k, 0) = (, 0) (k, 0) = (, 0) Üzerindeki noktalar parabolün denklemini saðlar. = ve y = 0 için 0 = ( ) 6. ( ) + m + 6 m = 6 0
parabol. y. y 0 y = f() Yukarýda denklemi y = + p olan parabol verilmiþtir. O = O olduðuna göre, p kaçtýr? Yukarýdaki grafik y = a 6a + b parabolüne aittir. = olduðuna göre, f() = 0 denkleminin kökler çarpýmý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 6 ) 6 ) ) 7 ) ) 8. y. y y = f() 0 O Yukarýda denklemi y = + p olan parabol verilmiþtir. = 0 olduðuna göre, p kaçtýr? ) ) 0 ) 6 ) ) 8 Yukarýda y = m m + parabolü verilmiþtir. O karesinin alaný kaç birim karedir? ) 8 ) 9 ) ) 6 ) 6. y. y T y = _ + k O 0 T. O = O f() = + k parabolünün grafiði verilmiþtir. una göre, f(9) kaçtýr? ) ) ) ) ) 0 Yukarýdaki grafikte denklemi y = a + b + c ve tepe noktasý T olan parabol verilmiþtir. TO eþkenar üçgeninin alaný birim kare olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 8
. parabol y = + parabolü ile y = doðrusunun kesiþim noktalarýný bulunuz? enklemleri verilen iki farklý grafiðin analitik düzlemde kesiþim noktalarýný bulmak için ortak çözüm yapýlýr. Yani, y = + parabolü ile y = doðrusunun kesiþim noktalarýný bulmak için, y y denklem sistemi çözülür. u sistemin n farklý çözümü varsa n farklý noktada kesiþiyorlardýr. enklem sisteminin çözümü yapýlýrsa; + = + = 0 UVW ( ) ( ) = 0 = ve = = ise y =. = bulunur. (, ) kesiþim noktasýdýr. = ise y =. = bulunur. (, ) kesiþim noktasýdýr. ÝR ÖRNK H: y = + + + m parabolü ile y = + m parabolü kesiþmediðine göre, m nin deðer alabileceði reel sayý aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? + + + m = + m 0 = + m u denklemin çözümünün olmamasý için < 0 olmalýdýr. b 9. m 0 g 9m 0 HG m m, I K J 0
parabol. y = 7 + 9 parabolü ile y = doðrusunun kesiþim noktalarýnýn ortasýndaki noktanýn apsisi kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 (Ýpucu: psisleri ve olan iki noktanýn ortasýndaki noktanýn. y = + a doðrusu ile y = + 8 parabolü birbirine teðet ise, a kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) apsisi b a dir.). y T 0 p O = TO = O t y =. y = + + ve y = + + 6 parabollerinin kesiþim noktasýnýn ordinatý kaçtýr? una göre, p + t toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) ) ) ) 6 ) 8 ) 0 6. y = y = 0. y = + k ve y = parabolleri birbirine teðet ise, k nýn alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? ) 9 ) 7 ) 6 ) ) 0 Yukarýda y = ve y = in grafikleri verilmiþtir. O dikdörtgeninin alaný kaç birim karedir? ) ) ) ) 6 ) 8
. parabol y > y eþitsizlik sistemini saðlayan (, y) noktalarýný analitik düzlemde gösteriniz? y > a + b + c y = a + b + c Parabol analitik düzlemi üç bölgeye ayýrýr: ) y > a + b + c eþitsizliði parabolün üstündeki bölgeyi y < a + b + c ) y = a + b + c eþitliði parabolün üzerindeki noktalarý ) y < a + b + c eþitsizliðini parabolün altýndaki bölgeyi gösterir. unlar tüm eðriler için geçerlidir. Köþetaþýnýn çözümünde; önce y = ve y = eðrileri çizilir. þittir iþareti içermediðinden (y > ) parabolü kesik çizgi ile çizilir. y = _ y > eþitsizliði parabolün üst tarafýndaki bölgeyi, y eþitsizliði doðrunun altýndaki bölgeyi ve üzerindeki noktalarý göstermektedir. u bölgelerin kesiþimi þekildeki taralý alandýr. GNLLÝKL GRNTÝÝLR rastgele bir noktayý eþitsizlikte denerler, eþitsizliði saðlýyorsa noktanýn tarafýný, saðlamýyorsa diðer tarafý tararlar. Örneðin (0, 0) noktasý y > te yazýldýðýnda 0 > 0 elde edilir. u eþitsizlik doðru olduðundan y = parabolünün (0, 0) noktasýndan tarafý çözüm kümesidir. 06
parabol. y y 0 sistemini saðlayan (, y) ikililerinin kümesi aþaðýdaki taralý bölgelerden hangisidir?. y < y < + eþitsizliðinin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz? ) y ) y ) y ) y. y + 6 y > + > 0 eþitsizliðinin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz? ) y. y. y > y < eþitsizliðinin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz? y = y = _ + 9 Yukarýdaki taralý bölge aþaðýdaki sistemlerden hangisinin çözüm kümesidir? ) y ) y y + 9 y + 9 ) y ) y < y + 9 y + 9 > 0 ) y > y + 9 y < 0 07 6. y < y > + eþitsizliðinin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz?
TRM TSTÝ. Yandaki grafik tepe noktasý T(6, k) olan parabole aittir. =. O. y = ( ) + parabolünün grafiði aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) parabol Yukarýda verilenlere göre, noktasýnýn apsisi kaçtýr? ) ) ) 8 ) ) 6 ) 8 ) 0 ). y = + m parabolü eksenine teðet olduðuna göre, m kaçtýr?. y = 6 + fonksiyonun grafiði aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ) ). y = m + (m ) + m + n parabolünün tepe noktasý y ekseninin üzerindedir. ) ) y nin alabileceði en küçük deðer olduðuna göre, n kaçtýr? ) 8 ) 0 ) ) ) 6 ) 6. f : [0, 7] f() = + 9 fonksiyonu örten olduðuna göre, kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) [0, 9] ) [, 9] ) [9, 0] ) [, 0] ) [0, 0] 08
parabol 7. Yanda f() = a + b + c fonksiyonun grafiði verilmiþtir. una göre, f() deðeri kaçtýr? 0.. O =. O Grafik, y = + 6 + m + 8 parabolüne ait olduðuna göre, m kaçtýr? 6 66 ) ) ) ) ) 9 7 ) 0 ) 8 ) 6 ) ) 0. y = + parabolü ile y = doðrusunun kesiþim noktalarýnýn ordinatlarý toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 8. Yanda tepe noktasý (, 9) olan f() = a + b + c fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.. y y < (, ) noktasý y = f() eðrisi üzerinde olduðuna göre, f(0) deðeri kaçtýr? eþitsizlik sisteminin çözüm kümesini saðlayan (, y) noktalarý aþaðýdakilerden hangisinde doðru olarak gösterilmiþtir? 6 7 8 ) ) ) ) ) 9 7 ) y ) y - - - ) y ) - y - - - - 9. (, ), (0, ), (, ) noktalarýndan geçen parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y = + ) y = + ) y = + ) y = + ) - y ) y = + 09
KONU TSTÝ parabol. y 7. y = + a + a ve y = + b parabollerinin tepe noktalarý ayný olduðuna göre, a + b kaçtýr? ) 0 ) 6 ) 6 ) 8 ) 0 y = _ + b + c + y _ = 0 Yukarýdaki parabolün denklemi y = + b + c, doðrunun denklemi + y = 0 olduðuna göre, b nin deðeri kaçtýr? 8. y = _ y y = f() ) 8 ) 7 ) 6 ) ). y = m parabolünün tepe noktanýn geometrik yer denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? ) y = ) y = ) y = ) y = ) y =. f() = 6 + a 6 parabolünün tepe noktasýnýn ordinatý 6 dýr. Parabolün eksenleri kestiði noktalarý ve tepe noktasýný köþe kabul eden üçgenin alaný kaç birim karedir? ) 8 ) 6 ) 9 ) ) 6. f() = + + 6 parabolü ile y = m + n doðrusu (, ) noktasýna göre simetrik olan iki noktada kesiþiyor. una göre, m + n kaçtýr? _ 0 T Þekildeki parabolün tepe noktasý T dir. Parabol eksenini (, 0) ve (, 0) noktalarýnda kesiyor ve y = doðrusu parabolün tepe noktasýndan geçmektedir. noktasýnýn ordinatý kaçtýr? ) ) ) ) ) 9. y = m + doðrusu, y = + parabolüne teðet olduðuna göre m aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) ) ) 8 ) 6 ) ) ) 8 0. y. y = parabolü ve y = + doðrusunun kesim noktalarý ve dir. [] doðru parçasýnýn orta noktasý aþaðýdakilerden hangisidir? Þekildeki parabolün simetri ekseni = doðrusudur. ) (, ) ) (, ) ) (, ) 0 ) (, ) ) (, ) _ 6. y II III I IV 0 V y + y + sistemini saðlayan (, y) noktalarý hangi bölgede bulunur? ) I ) II ) III ) IV ) V 0 = 0 br olduðuna göre parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) y y 6 8 6 8 ) ) y y 8 6 ) y = 8
parabol. f() = + a + parabolünün görüntü kümesinin en küçük elemaný olduðuna göre, f( ) kaçtýr? ) 8 ) ) ) ) 7 6. y f() = a + b + c. (, ), (, ) ve (0, ) noktalarýndan geçen parabolün tepe noktasýnýn koordinatlarý toplamý kaçtýr? 0. ) 0 ) 6 ) ) ) y y = M N O Þekildeki MON üçgeninin y = alaný kaç birim karedir? Þekilde grafiði verilen f() II. dereceden fonksiyonu için aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle yanlýþtýr? b ) 0 ) c < 0 ) ac b a a ) b ac > 0 ) c a 0 0 7. f() = 8 + fonksiyonunun [, ] aralýðýnda alabileceði en büyük ve en küçük deðerlerin toplamý kaçtýr? ) 8 ) ) ) 8 ) 9 ) ) ) ) 9 ) 7 8. y 0 6. Þekildeki parabolün denklemi f() = a + b + c olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) ) ) 8 ) 0 ) _ 6 y = f() Þekildeki grafik f() = a + b + c parabolüne aittir. f fonksiyonunun alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 8. y f() 0 () kaç birim karedir? karesinin ve köþeleri f() = 8 parabolü üzerindedir. 9. f() = a + b + c parabolü düþey ekseni (0, ) noktasýnda kesmektedir. u parabolün tepe noktasý (, 6) olduðuna göre, b a farký kaçtýr? ) ) ) ) ) 0. y = m + parabolü ile y = 8 doðrusu kesiþmediðine göre, m nin alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) 6 ) ) 9 ) 6 ) 8 ) ) 6 ) 8 ) 0 )
KONU TSTÝ parabol.. y (0,6) O (, 0) f() = a + b + c Þekildeki f() = a + b + c parabolü (0, 6) ve (, 0) noktasýndan geçtiðine göre, O karesinin alaný kaç br dir? Þekildeki tepe noktasý olan parabol için f () deðeri aþaðýdakilerden hangisi olabilir? 9 ) ) ) ) ) 6 ) ) ) ) ). f() = a + 6 fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük elemaný olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. = + 6 = 8 + 9 olduðuna göre, + toplamýnýn alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. f() = ( ) + parabolünün grafiði aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) 8 ) y ) 8 y y 7. = 0 olduðuna göre, a kaçtýr? Yandaki grafiði verilen parabolünün denklemi y = + a dür. 6 9 ) 6 ) ) 8 ) ) 0 ) 9 y. f() = a + a 6 parabolünün eksenine göre simetriði (, 8) noktasýndan geçtiðine göre, a kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 8. _ y una göre, f( ) deðeri kaçtýr? 8 y = f() y = f() parabolü eksenine = noktasýnda teðettir. ) 6 ) 8 ) 0 ) )
9. f() = (a ) + 6 parabolü eksenine, eksenin negatif tarafýnda teðettir. una göre, a kaçtýr? ) ) 6 ) ) ) U W parabol. parametrik denklemleriyle verilen eðrinin simetri ekseni aþaðýdakilerden han- t V y t gisidir? ) = 0 ) = ) = ) y = ) y = 0. y = + 6 denklemi ile verilen parabolün simetri ekseni aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ). y ) 6 ) 6 _ 6 0. y Þekilde y = 8 9 parabolünün grafiði verilmiþtir. O f() = _ 8 _ 9 O dikdörtgeninin ve köþeleri parabol üzerinde olduðuna göre, O dikdörtgeninin çevresi kaç birimdir? ) 6 ) 7 ) ) 6 ) 0 6. Þekildeki parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) y = ( 6) ( ) ) y = ( 6) ( + ) ) y = ( 6) ( + ) ) y = ( + 6) ( + ) ) y = (+ 6) ( ) y y = f() Tepe noktasý T(, ) olan grafiðin denklemi f() = a + b + olduðuna göre a + b kaçtýr? T( _, _ ) ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. y = + doðrusu y = parabolünü ve noktalarýnda kesmektedir. una göre, kaç birimdir? ) ) ) ) ) 6 7. f() = 6 + m + 8 parabolünün görüntü kümesinin en küçük elemaný olduðuna göre, f() kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. f() = (a + ) + 7 parabolünün tepe noktasýnýn apsisi olduðuna göre, ordinatý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 8. y = + doðrusu y = + a + parabolüne teðet olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerler çarpýmý kaçtýr? ) 0 ) ) 6 ) 9 )
ÖSYS SORULRI parabol. y = + (m ) + parabolü, eksenine, eksenin pozitif tarafýnda teðet olduðuna göre, m nin deðeri nedir? ) ) ) ) ) 7. y f() (, ) g() (ÖYS 8) O (, 0). f() = m + (m + ) + m fonksiyonunun te bir minimumu olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 8). enklemi y = a ( b) olan parabol, denklemi y = olan parabole teðet olduðuna göre, b nin a türünden deðeri nedir? ) a ) a ) a ) a ) a Þekilde simetri ekseni y eksenine paralel olan f() parabolü ile g() doðrusunun ortak noktalarý (, ) ve (0, 0) dýr. una göre, c hc h fog cfofh 8 ( ) deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 9) (ÖYS 87). enklemi y olan parabol, a nýn hangi deðeri a için y = olan doðruya teðettir?. ) ) ) ) ) Y(0, h) y P O 6 (ÖYS 89) Yukarýdaki þekilde 0 olmak üzere, y = eðrisinin grafiði ile = 6 doðrusunun grafiði verilmiþtir. Y (0, h) den OY ye çizilen dikme eðriyi P de, doðruyu de kesiyor. una göre, h nin hangi deðeri için [Y] nin orta noktasý P dir? 8. Q H O y Þekildeki parabolün denklemi y = dir. P ir köþesi O(0, 0) da, P ve Q köþeleri de parabol üzerinde olan OPHQ karesinin alaný kaç birim karedir? ) ) ) ) ) (ÖYS 9) ) ) ) ) 7 ) 9 (ÖYS 90) 6. [, ] kapalý aralýðýnda tanýmlý f() = fonksiyonunun en küçük deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) (ÖYS 9) 9. y = ve y = + parabollerinin kesim noktalarýndan ve (, 0) noktasýndan geçen türdeþ (ayný türden) parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? ) 7y = 0 ) 7 y = 0 ) 7 6 y = 0 ) 7 7y = 0 ) 6 7 y = 0 (ÖYS 9)
parabol 0.. a, b gerçel sayýlar ve = a + 8a + = b + 8b + olduðuna göre, nýn en büyük sayý deðeri ile nin en küçük sayý deðeri toplamý kaçtýr? Þekilde grafiði verilen parabolün tepe noktasý y eksenini kestiði nokta da (0, ) tür. u parabolün denklemi y = a + b + c olduðuna göre, b kaçtýr? (ÖYS 96). y = a 8 + a eðrisi, eksenine teðet olduðuna göre, a aþaðýdakilerden hangisi olabilir?. T HG ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 6 (ÖYS 97) I KJ, ) 9 ) 0 ) 60 ) 70 ) 80 (ÖSS 99). a pozitif bir gerçel sayý olmak üzere kenarlarý a cm ve (8 a) cm olan dikdörtgenin alaný en çok kaç 6. cm olur? ) 6 ) ) ) 6 ) 8 (ÖSS 99) f() fonksiyonunun grafiði, þekildeki gibi, O eksenine (, 0) noktasýnda teðet olan ve (0, ) noktasýndan geçen paraboldür. una göre, f() kaçtýr? O y f() ) ) ) 6 ) 7 ) O K L (ÖSS 006-II). Yukarýdaki þekilde denklemi y = + m olan fonksiyonun grafiði verilmiþtir. OL =. OK olduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 97) y O (0, _ ) f() = _ + _ m _ (, 0) Þekilde verilen parabolün denklemi y = + b + c olduðuna göre, (, 0) noktasýnýn apsisi () kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 98) 7. f() = + fonksiyonunun grafiði a birim saða ve b birim aþaðý ötelenerek g() = 8 + fonksiyonunun grafiði elde ediliyor. una göre, a + b ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 (LYS 0) 8. y = parabolü ile y = doðrusu arasýnda kalan sýnýrlý bölgenin sýnýrlarý üzerindeki (, y) noktalarý için + y ifadesinin alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) ) 0 ) 7 ) ) 0 9. y = (a + ) + a (LYS 0) parabolü y = doðrusuna teðet olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) (LYS 0)
Ö L Ü M þitsizlikler KÖÞTÞI MÇLR. Grafiði verilen bir fonksiyonun tek kat ve çift kat köklerini belirleyebilme. enklemi verilen bir fonksiyonun tek kat ve çift kat köklerini belirleyebilme. üþey asimptotu kavrayabilme. enklemi verilen fonksiyonun düþey asimptotunu bulabilme. Grafiði verilen fonksiyonda en büyük deðerlerini alýrken fonksiyonun pozitif ya da negatif deðer aldýðýný tespit edebilme 6. enklemi verilen fonksiyonun en büyük dereceli teriminin iþaretini tespit edebilme 7. Grafiði verilen fonksiyonun iþaret tablosu yapabilme 8. enklemi verilen fonksiyonun iþaret tablosu yapabilme 9. Tabloyla eþitsizlik incelemesi yapabilme 0. Paydanýn köklerinin çözüm kümesinin alýnmayacaðýný farkedebilme. Grafiði verilen bir fonksiyonu içeren bir ifadenin iþaretini inceleyebilme. Çift kat kökün neden olduðu özel bir durumu farkedebilme. Negatif olamayan ifadeleri içeren eþitsizliðin çözüm kümesini bulabilme. þitsizlik çözümünün yapýlabilmesi için eþitsizliðin bir tarafýnýn sýfýr olmasý gerektiðini farkedebilme. Problem biçiminde sorulan eþitsizlikleri çözebilme 6. Kareköklü fonksiyonlarýn en geniþ taným aralýðýný bulabilme 7. þitsizlik sistemini çözebilme 8. Ýkinci dereceden bir fonksiyonun gerçel kökünün olmadýðý durumu kavrayabilme 9. Ýkinci dereceden bir fonksiyonun R için ayný iþaretli olmasýný inceleyebilme 0. Ýkinci dereceden fonksiyonlarda köklerle kök sayýlar arasýndaki baðýntýlarýn üzerine kurgulanan eþitsizlik sorularýný çözebilme. Ýkinci dereceden fonksiyonlarda kökleri sýfýrla karþýlaþtýrabilme. Ýkinci dereceden fonksiyonlarda kökleri sýfýrla karþýlaþtýrabilme. Ýkinci dereceden fonksiyonlarda kökleri bir sabit sayýyla karþýlaþtýrabilme. Ýkinci dereceden fonksiyonlarda kökleri bir sabit sayýyla karþýlaþtýrabilme. Ýkinci dereceden fonksiyonlarda kökleri iki sabit sayýyla karþýlaþtýrabilme
-7 - y. Yanda grafiði verilen y = f() fonksiyonunun köklerini bulunuz. Çift kat kökü belirtiniz. eþitsizlikler u bölümde fonksiyonun kökü dendiðinde fonksiyonun pay ve paydasýný sýfýr yapan deðeri anlaþýlacaktýr. O ekseni üzerindeki noktalarýn y bileþeni sýfýr olduðundan, fonksiyon grafiðinin eksenini kestiði noktanýn apsisi köktür. Yukarýdaki grafikte, grafik eðrisi eksenini 7, ve te kesmiþtir. emek ki kökler 7, ve tür. (, 0) noktasýnda eðri eksenine teðet geçmiþ, yani deðmiþ ve ekseninin öbür tarafýna geçmeden geri dönmüþ. Ýþte bu noktadaki köke çift kat kök denir.. y. y y = f() - - a b c d y = f() Grafiði verilen y = f() fonksiyonunun çift katlý köklerinin toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) 7 ) 9 Þekilde y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. una göre, f() fonksiyonunun tek katlý kökleri toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + d ) c + d ) b + c + d ) a + b + d ) a + b + c. y = f() fonksiyonunun grafiði eksenini ve noktalarýnda kesiyor. Grafik (, 0) noktasýnda eksenine teðet olduðuna göre, y = f() fonksiyonunun tek katlý kökleri toplamý çift katlý kökleri toplamýndan kaç fazladýr? ) ) ) 0 ) ) 7. - y - = f(y) Grafiði verilen = f(y) fonksiyonunun köklerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) )
. eþitsizlikler f() = ( + ) ( ) ( + 9) fonksiyonu veriliyor. f() = 0 denkleminin köklerini bulunuz. Çift katlý kökleri belirtiniz. f() = 0 ( + ) ( ) ( + 9) = 0 denkleminin kökleri tüm çarpanlarýn sýfýra eþitlenmesi ile elde edilir. Çünkü çarpanlardan birini sýfýr yapan deðeri, f() i de sýfýr yapar. + = 0 ( ) ( ) = 0 = veya = = 0 ( ) ( + ) = 0 = veya = + 9 = 0 = 9 Yukarýdaki denklemin kökleri: 9,, ve tür. yný kökten çift sayýda varsa çift kat kök, tek sayýda varsa tek kat köktür. = kök olarak iki kere karþýmýza çýktýðýndan çift kat köktür. ÝR ÖRNK H: f() = ( ) ( ) fonksiyonu veriliyor. f() = 0 denkleminin köklerini bulunuz, çift katlý kökleri belirtiniz. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 =, =, =, = ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 =, =, =, çift kat kök;, tek kat köktür.. f() = ( + 7 + 0).( ).( + ) fonksiyonu veriliyor. f() = 0 denkleminin birbirinden farklý reel köklerinin çarpýmý kaçtýr? ) ) 0 ) 0 ) ) 0. f() = ( ) ( + ) ( ) 7 ( + a) fonksiyonu veriliyor. f() = 0 denkleminin tane çift katlý kökü olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. ( ) 7 ( + ) 6 = 0 denklemini saðlayan tek katlý köklerinin toplamý, çift katlý köklerinin toplamýndan kaç fazladýr? ) ) ) ) ). a ve b pozitif tamsayýlar olmak üzere, ( ) a ( + ) b ( ) 7 ( ) 6 = 0 denkleminin çift katlý kökler toplamý 6 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle çift sayýdýr? ) a b ) a + b ) b a ) a + b ) a b 8
. eþitsizlikler y Yanda y = f() rasyonel fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. - - 8 y = f() y = f() in pay veya paydasýný sýfýr yapan deðerlerini bulunuz. Çift katlý olanlarý belirtiniz. irinci köþetaþýnda eksenini kesen noktalarýn kök olduðu belirtilmiþti. u köþetaþýnda asimptotlarýn eksenini kestiði noktalarýn, paydanýn kökleri olduðu vurgulanacaktýr. üþey asimptot grafikte görülen kesik çizgilerdir. = ve = 8 de fonksiyonun tanýmlý olmadýðýný belirtir. Zaten paydasý sýfýr olduðunda rasyonel ifadeler tanýmlý olmaz. f() in kökleri (payýný ya da paydasýný sýfýr yapan deðerleri):,,, 8 dir. ve 8 çift kattýr. in neden çift kat olduðu birinci köþetaþýnda belirtilmiþti. simptotun olduðu durumlarda; asimptotun hemen saðýnda ve solunda grafik ekseninin ayný tarafýnda kaldýysa çift kat, farklý taraflarýndaysa tek kat kök vardýr. Örneðin; grafik eðrisi = asimptotunun hemen solunda ekseninin altýnda, hemen saðýnda ise üstündedir. u durumda tek kat kök vardýr denir.. y. y y = f() - 0 y = f() - - Grafiði verilen y = f() rasyonel fonksiyonunun paydasýný sýfýr yapan deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) Grafiði verilen y = f() fonksiyonunu tanýmsýz yapan deðerlerinin çarpýmý kaçtýr? ) 0 ) 8 ) ) 0 ) 8. y - - y = f() Grafiði verilen y = f() fonksiyonunun çift katlý köklerinin oluþturduðu küme aþaðýdakilerden hangisinde doðru olarak verilmiþtir? ) {, 0} ) {, 0} ) { } ) {0, } ) {}. Paydasý ( ) olan y = f() fonksiyonunun düþey asimptotlarý = a ve = b noktalarýndan geçmektedir. una göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 9
f bg b gb g 76 fonksiyonunda a) Payý sýfýr yapan deðerlerini b) Paydayý sýfýr yapan deðerlerini c) Çift kat kökleri bulunuz? a) Payý sýfýr yapan deðerleri: = 0 = ( + ) =0 = b) Paydayý sýfýr yapan deðerleri:. eþitsizlikler 7 + 6 = 0 ( ) ( 6) = 0 = veya = 6 c) Çift kat kökler: =, çünkü iki tane var. =, çünkü dört tane var.. bir reel sayý olmak üzere, ch 6 e j c h c h f 6 fonksiyonunda payý sýfýr yapan deðerleri toplamýnýn paydayý sýfýr yapan deðerleri toplamýna oraný kaçtýr? 0 9 ) ) ) ) ) 9 0 9 9 0. R olmak üzere, g ch e j c h e j e j fonksiyonunun çift katlý kökler toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). ch f ch e j e j e j fonksiyonunu tanýmsýz yapan deðerleri toplamý kaçtýr? ) 6 ) ) ) 0 ). a, b Z + olmak üzere, b f ch c hc h a c h fonksiyonunda çift katlý kökler toplamý, tek katlý kökler toplamý olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle tektir? ) a.b ) a + b ) a b + b a + ) a b + ) b a + a 0
y y = f(). eþitsizlikler y = f() in grafiði verilmiþtir. en büyük deðerlerini alýrken fonksiyonun deðerinin iþaretini belirleyiniz. onksiyonun elemanlarý sýralý ikililerdir, (, ) gibi. unun anlamý y = f() te yerine yazýldýðýnda y = olur. Grafik eðrisi üzerindeki noktalar ikililerle belirtildiðinden noktalarýn birinci bileþeni i, ikinci bileþeni y yi gösterir. y Hemen örnekleri artýralým: y = f() 0 trilyon Yandaki grafikte = trilyon iken y pozitif mi yoksa negatif mi deðer alýr? Pozitif deðer alýr. u köþetaþýnýn amacý bu kadar. Veee! y = f() in kuralýnda in en büyük dereceli olduðu terimin katsayýsý da pozitiftir. KOSKOMN deðerler aldýðýnda ifadesi lim f ile gösterilir. þaðýdaki polinom biçimindeki fonksiyonlarýn en büyük dereceli terimlerinin iþaretini bulunuz. bg y y y y pozitif pozitif negatif negatif. y Grafiði verilen y = f() fonksiyonu için aþaðýdakiler- y = f() - den hangisi doðrudur? - ) en küçük deðerlerini alýrken f() pozitiftir. ) f() in çift katlý kökler toplamý sýfýrdýr. ) f() i tanýmsýz yapan deðeri dir. ) en büyük deðerlerini alýrken y pozitiftir. ) f() in tane kökü vardýr.. y Grafiði verilen y = f() fonksiyonunda in en büyük de- y = f() receli olduðu terimin katsayýsý aþaðýdakilerden hangisi 0 olamaz? ) ) ) ) ). y Grafiði verilen y = f() fonksiyonu için aþaðýdakilerden y = f() hangisi doðrudur? ) f() in kökler çarpýmý sýfýrdýr. ) in en büyük dereceli teriminin katsayýsý negatiftir. ) f(), = deðeri için tanýmsýzdýr. ) f() in çift katlý kökü yoktur. ) en büyük deðerlerini alýrken y pozitif olur.. y Grafiði verilen y = f() fonksiyonunda y = f() in en büyük - dereceli olduðu terimin katsayýsý m ise, m sayýsý hangi deðer aralýðýnda bulunabilir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) ( 0, )
bg f.6 e jb g fonksiyonu veriliyor., en büyük deðerlerini alýrken fonksiyonun iþaretini belirleyiniz. eþitsizlikler f() ifadesi ( + ), ( ) ve ( ) olmak üzere üç polinomdan oluþuyor. u polinomlarda en büyük dereceli terimler sýrasýyla, ve dir. u terimlerinde iþaretleri sýrasýyla +,, + dýr. u iþaretlerin çarpýmý negatif olduðundan en büyük deðerlerini alýrken f() negatif olacaktýr. þaðýdaki fonksiyonlarýn en büyük dereceli terimlerinin iþaretlerini bulalým: f bg b g b g, fbg, f 7 pozitif pozitif negatif e j bg b g. ch c h c h f fonksiyonu için aþaðýdaki yargýlardan hangisi yanlýþtýr? ) f(), = ve = deðerleri için tanýmsýzdýr. ) in en büyük dereceli teriminin katsayýsý pozitiftir. ) en büyük deðerlerini alýrken f() negatiftir. ) in çift katlý kökleri toplamý olur. ) in tane tek katlý kökü vardýr.. n Z + olmak üzere, n 6n f ch c h c h n n c h c h fonksiyonu için aþaðýda verilen yargýlardan hangisi doðrudur? ) Çift katlý kökler toplamý 8 dir. ) = ve = deðerleri için f() = 0 dýr. ) in en büyük dereceli olduðu terimin katsayýsý pozitiftir. ) Tek katlý kökler toplamý 6 dýr. ) en büyük deðerlerini alýrken f() negatiftir.., en büyük deðerlerini alýrken f() negatif olduðuna göre, f() fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisi olabilir? c h c h c h c h c h e j c h c h ) ) ) ) ) c h c h ch ch c h. m, n Z + olmak üzere, m f ch c h c h n c h c h fonksiyonunda en büyük deðerlerini alýrken f() pozitif olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle tektir? ) m n ) m + n + ) m n + n m ) m + n ) n m +
.7 eþitsizlikler y y = f() Yanda grafiði verilen y = f() fonksiyonunun ÝÞRT TLOSU nu yapýnýz. - - 6 onksiyonu negatif yapan tamsayý deðerlerini bulunuz? y y = f() - - 6 - - - 6 + y = f() + _ + + Tabloda sondan + ile baþlanýr. Çünkü koskocaman deðerler alýrken y = f() pozitiftir. Her kökte iþaret deðiþir. Çift kat kök çift çizgi ile belirtilir, grafikten de görüldüðü gibi y nin iþareti çift kat kökte deðiþmez. y = f() fonksiyonunu negatif yapan tamsayý deðerleri (, ) aralýðýndadýr. unlar da, tür.. y = f() - 0 y Grafiði verilen y = f() fonksiyonunu negatif yapan sayýlarýnýn deðer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, 0) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). y = f() fonksiyonunu sýfýr yapan deðerler =, =, = ve fonksiyon ekseninin negatif tarafýnda eksenine teðet olduðuna göre, y = f() in iþaret tablosu aþaðýdakilerden hangisi olabilir? - ) ) y _ + _ + - ) ) y + _ + + y y - 0 _ + _ + + - + _ ) y - 0 + _ + + +. y = f() þeklinde bir fonksiyonun iþaret tablosunda kökler arasýndaki y nin iþaret daðýlýmý soldan saða sýrasýyla (, +, +,, +,, ) þeklinde olduðuna göre, çift katlý köklerinin sayýsý tek katlý köklerinin sayýsýndan kaç eksiktir? ) ) ) ) ). y = f() - 0 y 6 Yukarýda grafiði verilen y = f() in iþaret tablosunu yapýnýz.
7 f bg b g b g 70.8 fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz. eþitsizlikler ) Ýþaret tablosu için önce kökler bulunur. Kökler tabloda küçükten büyüðe yazýlýr. ) Tabloda sondan en büyük dereceli terimin iþareti ile baþlanýr. 6. köþetaþýnýn çözümüne bakýnýz. ) Her kökte iþaret deðiþir. ) Çift kat kökte iþaret deðiþmez. f() in kökleri : 7, tir. 7, çift kat köktür.,, 7 f() f() in en büyük dereceli teriminin iþareti + dýr. undan dolayý tabloda sondan + ile baþlanýr. Her kökte iþaret deðiþtirilir. Çift kat kök olan 7 de iþaret deðiþmedi.. ch f c he j c h fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz?. 6 ch c h c h f 6 fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz?. f ch c h c h 9 e j fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz?. ch f fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz?. ch f 0 fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz? 6. ch f c h e j 7 c h c h fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz?
b g e j 0 eþitsizliðinin çözüm kümesini bulunuz?.9 eþitsizlikler b g e j y ifadesinin iþaret tablosu yapýlýr. Kökler : 0,,,, dir. n büyük dereceli terimin iþareti dir. unun için tabloda sondan ile baþlanýr. f() 0 y nin negatif olmasý istendiðinden iþaretli bölgeler taranýr. emek ki [(, ) (0, ) (, +)] dir. SKIN H! 0 ise, her iki tarafý ile çarpýp M. b g e j ( + ) ( ) < 0 Çünkü nin negatif olduðu durumda iþaretin yön deðiþtirmesi gerekir. Sen ( ) yi hep pozitifmiþ gibi iþlem yaptýn.. ( ) ( ) < 0 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) (, ) ) R (, ) ) [, ] ) R [, ] ) (, ]. e j ch c6 h 0 eþitsizliðini saðlayan en küçük pozitif tamsayý kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. chc h 0 c h eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) (0, /) (, ) ) R (0, /) ) (0, ) ) (0, /) (, +) ) (/, ). a < 0 < b < c olmak üzere, cb chca bh 0 a c eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisinde doðru olarak verilmiþtir? b ci L ), c b ) ) I R, N M O, ak c J a b a a Q P HG KJ HG c h I KJ HG I KJ c b c c b c ),, ),, a a b a a b HG I KJ H G HG I K J
bge9 j 0 bg e j.0 eþitsizliðinin çözüm kümesini bulunuz? eþitsizlikler bge9 j y bg e j nin iþaret tablosu yapýlýr. Kökler:,,,,, ñ tir. n büyük dereceli teriminin iþareti dir. unun için tabloda sondan ile baþlanýr. y y nin pozitif veya sýfýr olmasý istendiðinden + bölgeler taranýr, çözüm kümesine kökler de dahil edilir. ncak PYNIN KÖKLRÝ ÇÖZÜM KÜMSÝN HÝÇÝR ZMN LINMZ. Çözüm kümesi =,, e j ñ ve çözüm kümesine paydanýn kökü olduklarýndan dahil edilmedi. Köklerin çözüme alýnmasýnýn sebebi iþaretinin kullanýlmasýdýr. þittir iþareti olmadýðýnda köklerin hiçbiri çözüm kümesine zaten alýnmamýþtý.. chc h 0 c h eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir?. c h c h 7 0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi bu eþitsizliðin çözüm kümesinin bir alt kümesidir? ) ( /, 0) (, ) ) (0, ) ) R [0, ] ) ( /, 0) [, ] ) (, ) ) (, 0] ) [0, ) ) [, ) ) (6, 7] ) (, /) (0,) (, ). c h c c h c h 0 eþitsizliðini saðlayan pozitif tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? ) 0 ) 8 ) 7 ) 6 ) 6. a 0 b eþitsizliðinin çözüm kümesi [, ] (, ) olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 9
. eþitsizlikler - y y = f() Yandaki grafikte y = f() fonksiyonu verilmiþtir. b g b g f 0 eþitsizliðinin çözüm kümesi nedir? b f Kökler : ifadesinin iþaret tablosu oluþturulur., 0,,, tir. n büyük dereceli terimin iþareti + dýr. Çünkü + nin en büyük dereceli terimi +, in +, f() in de + dýr. u üç iþaretin çarpýmý + dýr. undan dolayý tablonun sonundan + ile baþlanýr. y g b g y bg f in kökleri 0 y 0 olduðundan + bölgeler ve kökler çözüm kümesine alýnýr. Çözüm kümesi = [, ] (0, ] [, +) Sonsuz ulaþýlamaz kabul edildiðinden + ve açýk parantez ile sýnýrlandýrýlýr.. y Grafikte y = f() fonksiyonu y = f() verilmiþtir. c - f 0 c h c h h eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) [, ] (, ] ) (, ). y y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. y = f() - ch f 0 eþitsizliðini saðlayan en büyük tamsayýsý kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) ) [, ] (, ) ) R (, ) ) (, ) (, ). y Grafikte y = f() fonksiyonu verilmiþtir. - ch y = f() f 0 eþitsizliðini saðlayan en büyük negatif tamsayý kaçtýr? ) ) ) ) ). in en büyük dereceli olduðu terimin katsayýsý pozitif olan y = f() polinomu için f( ) = f() = f() = 0 verilmiþtir. aþka deðerleri için y sýfýr olmamaktadýr. c h c h h f 0 c eþitsizliðini saðlayan en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7
b g e6 j 0. eþitsizliðinin çözüm kümesi nedir? eþitsizlikler b g e6 j y ifadesinin iþaret tablosu oluþturulur. Kökler : = (çift kat), =, =, = n büyük dereceli terimin iþareti : +..+ = olduðundan tabloda sondan ile baþlanacaktýr. - y Tabloda çift kat kökte iþaret deðiþmez. y nin sýfýrdan küçük ya da eþit olmasý istendiðinden bölgeler taranýr. Çözüm kümesine kökler ve taralý bölgeler alýnýr. Çözüm kümesi = [, ) {} [, +) Genellikle tek baþýna kalan kökün çözüm kümesine alýnmasý unutulur, bu sorudaki gibi. paydanýn kökü olduðundan çözüm kümesine alýnmadý.. c h c h 0 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakiilerden hangisidir? ) (, ] (, ] ) (, ) ) (, ) { } ) [, ) {}. e j c h c h 8 6 0 eþitsizliðini saðlamayan en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) ) ) [, ] {}. f() + - - 7 + +. ch ch 0 c h c h eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) IR {, } ) IR (, ) ) (, ) ) [, ] { } ) (, ) { } 8 Yukarýda iþaret tablosu verilen eþitsizlik aþaðýdakilerden hangisi olabilir? c h c h ) 0 ) 0 c h c h 7 ) 0 ) 0 chch ch c7h chc7h ) 0 c h c h ch c7h chch c h c h 0
7 b b g g 0. eþitsizliðinin çözüm kümesi nedir? eþitsizlikler Mutlak deðerli ifadelerin kökleri çift kat kabul edilir. 7 b b nin iþaret tablosu oluþturulur. Kökler : (çift kat), (çift kat), ; 7 nin kökü yoktur. n büyük dereceli terim : Mutlak deðerli ifadenin en büyük dereceli terimi + kabul edilir. y nin pay ve paydasýndaki çarpanlarýn en büyük dereceli terimlerinin iþaretleri ( ) dýþýndakiler + dýr. ( ) in ki olup diðerleriyle çarpýldýðýnda olacaktýr. u yüzden tabloda sondan ile baþlanýr. y g g y - Çözüm kümesi = { } (, +) T! GÝTSÝN! Negatif olamayan ifadeler yokmuþ gibi eþitsizliði çözebilirsiniz. negatif olamaz ( + ) negatif olamaz 7 negatif olamaz 0 y Çözüm kümesi = (, +) { } ðer iþaret eþitliði içeriyorsa, atýlan ifadelerin kökleri eþitsizliði saðlayabilir, kontrol ediniz.. c h c h 0 ifadesinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) (, 0) {} ) (, 0) ) (, 0] ) R [, 0) ) (, ). n pozitif doðal sayý olmak üzere, b g b g e j n 0 eþitsizliðini saðlayan pozitif sayýlar kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (0, ) ) (, ) ) [, ] ) [, ) ) (, ). b g 0 b g eþitsizliðini çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ] ) (, ) {0, } ) (, ) {0, }. olmak üzere, e je j 0 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, 0) ) (, 0) ) [, 0) ) (, 0) {} ) {} 9
. eþitsizliðinin çözüm kümesi nedir? eþitsizlikler þitsizliðin çözümünün yapýlabilmesi için bir tarafýnýn sýfýra eþitlenmesi gerekir. b Kökler :, 0, n büyük dereceli terimin iþareti : y b g g 0 0 0 bg bg Çözüm kümesi = (0, ] (, +) b gb g 0 b b g b g g 0. eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?. eþitsizliðini saðlayan pozitif reel sayýlarýnýn kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (0, /] (, ) ) (0, ) ) (0, /) (, ) ) (, 0) (/, ) ) (, ) ) (0, ) ) (0, ñ) ) [0, ñ] ) [ñ, ) ) (ñ, ). 7 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, 0) ) {} ) [, ) ) (, ) 0. eþitsizliðini saðlayan en büyük negatif tamsayý deðeri ile en küçük pozitif tamsayý deðerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) )
. eþitsizlikler ir reel sayýnýn karesi, kendisinin fazlasýndan küçüktür. u koþulu saðlayan kaç tamsayý vardýr? u reel sayý olsun. < + y = < 0 ( ) ( + ) < 0 Kökler :, n büyük dereceli terimin iþareti : + y - Çözüm kümesi = (, ) Çözüm kümesindeki tamsayýlar :,, 0,,, tür. evap 6 dýr.. ir reel sayýnýn karesi, kendisinin 0 fazlasýndan büyüktür. u koþulu saðlayan en büyük negatif tamsayý kaçtýr? ) ) ) ) ). ir reel sayýnýn karesi ile küpünün toplamý sýfýrdan büyük olduðuna göre, bu reel sayýnýn alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) IR {0} ) (, ) ) (, 0) ) [, 0] ) (, ) {0}. Karesi kendisinden küçük olan reel sayýlar kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) IR [0, ] ) (, 0) ) (0, ) ) IR (0, ) ) [0, ]. ir kenarý ( + ) br, bu kenara ait yüksekliði ( ) br olan üçgenin alaný 7 br den küçük olduðuna göre, in alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (0, ) ) (0, ) ) (, )
f bg.6 fonksiyonunun en geniþ taným aralýðý nedir? eþitsizlikler bg f olsun. f nin en geniþ taným aralýðý g() 0 eþitsizliðinin çözüm kümesidir. una göre; 0 0 Kökler : n büyük dereceli terimin iþareti : + n bg g, 0, 0 f nin en geniþ taným aralýðý : 0, O, HG Q P b bg bg b g b g g 0. ch f fonksiyonunun en geniþ taným aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ] ) (, ) [, ). ch f e j c h c h fonksiyonunu pozitif yapan negatif tamsayýlarýnýn en büyüðü kaçtýr? ) (, ) (, ) ) (, ] ) (, ] ) ) ) ) ). f ch c h c h fonksiyonunun en geniþ taným aralýðýndaki pozitif tamsayýlarýnýn en küçüðü kaçtýr? ) ) ) ) ). f ch c h c hc h fonksiyonunu negatif yapan pozitif tamsayýlarýnýn en küçüðü kaçtýr? ) ) ) ) )
b gb g 0 9 0 eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?.7 eþitsizlikler I. eþitsizliðin kökleri :, II. eþitsizliðin kökleri :,, ( - ) ( - ) - 9 + SÝSTM - - _ + _ + _ + Çözüm kümesi = [, ) [, +) Hangi kök dahil, hangisi deðil? Tablodan bunu anlamak mümkün, ancak öðrencilerin genellikle bu konuda kafalarý karýþýktýr. iyelim ki ün çözüm kümesine alýnýp alýnmamasýnda tereddütümüz var. u durumda eþitsizliklerde yerine yazýlýr. Ýki eþitsizliði de saðlýyorsa çözüm kümesine alýnýr. b g 9 = için I. eþitsizlik ( ) ( ( )) < 0 doðru; II. eþitsizlik 0 doðru undan dolayý çözüm kümesine alýnýr.. + 0 ve + 7 > 0. eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) [, ) ) (, ) e j c h c h c h 0 ve 0 eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, +) ) (, ) ) (, ].. c c h h 0 ve eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) (0, ) ) (0, ) ) (, 0) (, ) ) (, ) ) (, 0) (, ) ve eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, 0) ) (0, ) ) (0, ) ) ) (, ) ) (, )
.8 eþitsizlikler (m ) + m = 0 denkleminin gerçel kökü olmadýðýna göre, m hangi aralýktadýr? a + b + c = 0 denkleminin reel (gerçel) kökünün olmamasý için =b ac < 0 olmalýdýr. (m).(m ) ( ) < 0 m + m 8 < 0 m + m < 0 (m + ) (m ) < 0 Hatýrlatma a + b + c = 0 denkleminde =b ac olsun. > 0 ise, iki reel kök var < 0 ise, reel kök yok = 0 ise, tek reel kök var m - m (, ). m. + = 0 denkleminin reel sayýlar kümesinde çözümü olmadýðýna göre, m aþaðýdaki aralýklarýn hangisidir? e j ), 0 ) (, 0) ) (, ) ) (, ) ) e, j. a. + a = 0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, a nýn alabileceði tamsayý deðerleri toplamý kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). m + m = 0 denkleminin reel kökleri birbirine eþit ise m nin pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8. (m ). + = 0 denkleminin iki farklý reel kökü bulunduðuna göre, m nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) )
.9 eþitsizlikler R için (m + ) m + m > 0 olduðuna göre, m nin deðer alabileceði en geniþ reel sayý aralýðý nedir? ir ifadenin R için ayný iþarete sahip olabilmesi için kökünün olmamasý gerekir. Çünkü kökte iþaret deðiþimi olmaktadýr. una göre, (m + ) m + m ifadesinin kökü olmamalý ve en büyük dereceli teriminin iþareti de + olmalýdýr. b ac 0 a 0 I. eþitsizlikteki ifadenin kökleri : 0, II. eþitsizlikteki ifadenin kökleri : UVW b g b g b g m m m 0 m0 U V W m m 0 m0 UVW m m - m m + SÝSTM - 0 + + _ + _ + + + emek ki, m (0, ). R için a + > 0 olduðuna göre, a nýn çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? HG I KJ ) 0, ) 0, ) (, ) HG I KJ HG O QP ) ), HG I KJ,. R için, f() = (a + b) < c olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle doðrudur? ) > 0, a > 0 ) > 0, a > 0, c < 0 ) < 0, a > 0 ) < 0, a < 0 ) < 0, a > 0, b > 0. f() = (a ) (a ) a fonksiyonu in her reel sayý degeri için negatif oluyorsa, a nýn en geniþ deðer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? I L ) (, ) ) ) I HG, KJ NM, KJ I I ), ), HG KJ HG KJ. R için, f() = (m ) + m fonksiyonunun grafiði eksenini hiçbir noktada kesmiyorsa m nin alabileceði tamsayý deðerleri toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 0 )
.0 eþitsizlikler m + m = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? Ýki reel kökünün olmasý için > 0 olmalýdýr. u eþitsizlikten m için herhangi bir sýnýrlama geliyor mu kontrol edilir. ncak genellikle buradan bir sýnýrlama gelmeyecek þekilde sorular ayarlanýr. b ac > 0 m (m ) > 0 m m + > 0 m m + ifadesinin reel kökü yoktur. undan dolayý m R için en büyük dereceli teriminin iþareti + olduðundan m m + pozitiftir. Yani herhangi bir sýnýrlama gelmedi. Hatýrlatma: a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve olsun. + =. = c a b a b g b g m m m m m 8 8 0 0 0 m m m m _ + m (, +). (m + ) + m = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) [0, ] ) (0, ) ) (, ) ) (0, ) ) R [0, ]. + ( a) + (a ) = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. Kökler toplamý ile kökler çarpýmýnýn toplamý den küçük olduðuna göre, a nýn en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 0 ). m + m + m = 0 denkleminin reel kökleri ve dir.. + ( a) + a = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir.. +. < 0. > 0 ve + > 0 olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) < m < 0 ) 0 < m < ) < m < ) 0 < m < ) < m < 6 olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) a < ) 0 < a < ) a > ) < a < ) < a <
. eþitsizlikler m + m = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < olduðuna göre, m nin deðer alabileceði en geniþ reel sayý aralýðý nedir? c b ve a a baðýntýlarý ikinci dereceden denklemler bölümünde verilmiþti. ve gibi iki sayýnýn çarpýmý negatifse birisinin negatif diðerinin pozitif olduðu sonucuna varýlýr. emek ki c 0 a 0 u kuralý geliþtirelim: c a c a 0 ve 0 ve Sorunun çözümüne gelinirse; b 0 a 0 ve b 0 a 0 ve c Önce > 0 koþulu incelenmeli, çünkü iki kök var. Sonra da 0 koþulu incelenmeli. u soruda a da olduðu gibi genellikle > 0 eþitsizliðinden herhangi bir sýnýrlama gelmez. c a 0 m 0 m. + (m + ) + m 7 = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. < 0 < olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) m > 7 ) < m < 7 ) < m < 7. a. a = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. < 0 < ve > olduðuna göre, a nýn alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) ) m < 7 ) m <. + ( m) 9 m = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir.. < 0 olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) m < 9 ) 9 < m < 0 ) m > 9 ) 0 < m < 9 ) m > 9. + ( m) + m 8 = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < olduðuna göre, m nin alabileceði tamsayý deðerleri toplamý kaçtýr? ) ) 7 ) ) 0 ) 8 7
. eþitsizlikler + m 6 = 0 denkleminin kökleri ve dir. 0 < < olduðuna göre, m nin deðer alabileceði en geniþ taným aralýðý nedir? 0 c b 0 ve 0 a a 0 c b 0 ve 0 a a þaðýdaki üç koþulun gerçekleþmesi gerekiyor. ) >0 6 (m 6) > 0 0 m > 0 0>m c m 6 ) 0 0 m 6 0 m 6 a b ) 0 0 a m nin deðer alabileceði en geniþ taným aralýðý = (6, 0) ÖZTL: Vazgeçilmez koþul > 0 dýr. u kurallarý kendiniz çýkarabilirsiniz. Örneðin; çarpýmlarý pozitif, toplamlarý negatif olan sayýlardan ikisi de negatiftir. Örneðin; çarpýmlarý negatif, toplamlarý pozitif olan sayýlardan biri pozitif, diðeri negatiftir. Pozitif olanýn mutlak deðerce deðeri negatif olandan büyüktür. 0 ve c 0 ve b 0 a a 0 ve c 0 ve b 0 a a 0 c 0 ve b 0 a a 0 c 0 ve b 0 a a. + a 6 = 0 denkleminin kökleri ve dir. 0 < < olduðuna göre, a nýn deðer alabileceði en geniþ taným aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (6, 7). (a 9) + = 0 denkleminin kökleri ve dir. < < 0 olduðuna göre, a nýn alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). (m ) + 9 = 0 denkleminin kökleri ve dir. 0 < < olduðuna göre, m nin deðer alabileceði en geniþ taným aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, 8) ) R [, 8] ) (8, ). a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve dir. c b 0 ve 0 a a olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðru olabilir? ) 0 < < ) < 0 < ) < < 0 ) < 0 < ) < 0 < < > 8
. eþitsizlikler (a ) a + = 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduðuna göre, a nýn deðer alabileceði en geniþ reel sayý aralýðý nedir? Yanda y = af() parabolünün kollarýnýn daima yukarý doðru olduðu açýklandý. Kollarý yukarý doðru olan paraboller kökler arasýnda negatif deðer alýr. Kural çýktý iþte; < k < a.f(k) < 0 Sorunun çözümüne gelinirse; a R için > 0 dýr. (Ýsterseniz incelemesini yapýnýz) < < (a ).f( ) < 0 (a ) [(a ) + a + ] < 0 (a ) ( a + ) < 0 f() = a + b + c ise, af() = a + ab + ac olur ki nin katsayýsý a olduðundan daima pozitiftir. af() parabolünün kollarý yukarý doðrudur. UZUN UZUN NLTLIM: 0 < a < < a ise, y a 0 < a ise, y a nýn deðer alabileceði en geniþ reel sayý aralýðý (, ) (, + ) dur. emek ki y = af() parabolünün kökleri y = f() inki ile ayný olup kollarý daima yukarý doðrudur.. (t + ) + t = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir.. (k + ) + 9 = 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduðuna göre, t nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) < k < koþulunun saðlanmasý için k nýn alabileceði en küçük pozitif tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 6 ) 7. (a + ) + a = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. < <. + ( m) = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. koþulunun saðlanmasý için a nýn deðer alabileceði en geniþ reel sayý aralýðý nedir? ) a > 0 ) a < 0 ) 0 < a < ) < a < 0 ) IR [0, ] 9 <. < koþulunu saðlayan m nin en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 0
. eþitsizlikler (m ) ( m) + m = 0 denkleminin iki reel kökünün de den büyük olmasý için m nin alabileceði deðerlerin bulunduðu reel sayý aralýðý nedir? y _ b a k k una ek olarak Sorunun çözümü için gerekli koþullar f() = a + b + c ise, y = af() parabolünün kollarýnýn daima yukarý olduðunu biliyoruz. Kollarý yukarý doðru olan parabolde iþaret tablosundan da anlaþýlacaðý üzere, a.f() k < < veya < < k af(k) > 0 dýr. b k ise k Grafikteki k gibi a b k ise k bgrafikteki k gibig a ) >0 ( m) (m ) (m ) > 0 m 0 > 0 ) a.f(k) > 0 (m ).f() > 0 (m ) (m 7) > 0 b g ) b m m 6 k 0 a m m m / / 7/ + + + a.f(k) k < _ > 0 + + + _ + b/a _ + + + _ SÝSTM emek ki m H G, 7 I K J. a + (a + ) + a = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. > > olmasý için a nýn alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? HG I KJ ) (, 0) ) 0, ), ) ) (, ),. (m + ) = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. ve deðerleri. çarpýmýndan büyük olduðuna göre, m nin alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) HG I KJ HG I KJ. (a + ) + a + = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. a reel sayýsý ve den büyük olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerler aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) a < ) < a < 0 ) 0 < a < ) < a < ) a >. + a a = 0 denkleminin kökleri ve dir. > > þartýnýn saðlanmasý için > 0 þartýnýn yanýnda aþaðýdakilerden hangisi saðlanmalýdýr? ) a < 9 ) a > 7 ) a < 6 ) a > 6 ) a > 0 0
. eþitsizlikler a (a + ) + = 0 denkleminin kökleri ve dir. < < < olduðuna göre, m hangi aralýkta deðer alabilir? Ýki farklý reel kökü olan fonksiyonun iþaret tablosu oluþturulurken her kökte iþaret deðiþtirilirdi. unun anlamý fonksiyonun deðerinin iþareti; kökün öncesinde ve sonrasýnda farklýdýr. a > 0 ise f() a < 0 ise f() m < < n < ise, f(m).f(n) < 0 ve < m < < n ise, f(m).f(n) < 0 ve Sorunun çözümüne gelinirse; daima pozitif çýkar. b g bg b gb g f f 0 8a a 0 a a _ b m n a + _ 6a 0 a þitsizlik tablosu yapýldýðýnda a > 0 veya olduðu görülür. _ + m b a b n a a + _ 8 Grafikle de güzel görülüyor f(n) m b g b g y _ b a f(m) b f m f n 0 ve n a ÖZTL Vazgeçilmez koþul > 0 olmak üzere, b g k a f k 0 b k a fbkg 0 ve k a b k a fbkg 0 ve k a b m n fbmg fbng 0 ve n a b m< n fbmg fbng 0vem a n. + a + a = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. < < < olduðuna göre, a nýn en geniþ deðer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) a < ) < a < ) a <. 0 = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. f(a).f(b) < 0 koþulunu saðlayan a ve b reel sayýlarý için aþaðýdakilerden hangisi doðru olabilir? ) < a < b < ) a < b < < ) < a < ) a > ) < < a < b ) a < < b < ) < b < a <. + m + = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. < 0 < < þartýný saðlayan en büyük m tamsayýsý kaçtýr? ) ) ) ) ). + m + = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. m < < < þartýný saðlayan m nin en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) )
TRM TSTÝ eþitsizlikler. Þekilde y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. una göre, aþaðýdaki yargýlardan hangisi kesinlikle yanlýþtýr? ) ve çift katlý köklerdir. ) Tek katlý köklerin çarpýmý sýfýrdýr. ) Çift katlý köklerin toplamý pozitiftir. ) Çift katlý köklerin çarpýmý pozitiftir. ) Kökler toplamý pozitiftir. y 0. onksiyonu tanýmsýz yapan köklerinin toplamý, çift katlý köklerinin toplamý olan y = f() fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisi olabilir? c h c h c h chch c h c h c h ch chch chch ) ) ch ch ch ) ) ). þaðýdaki y = f() fonksiyonlarýnýn hangisinde en büyük deðerlerini alýrken y negatif olur? ) y ) y y = f() y = f() ) y ) y. ( a) ( b) (a ) ( + b) 6 = 0 denklemini saðlayan tek katlý kökler toplamý, çift katlý kökler toplamý 0 olduðuna göre, (a, b) ikilisi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, 7) ) (, ) ) (7, ) ) (, ) ) (, ) ) y = f() y y = f() y = f(). y 6. ch c h c h f c h fonksiyonlarý veriliyor. ve gch c h c h c h -b - b a a y = f() una göre; I. en büyük deðerlerini alýrken negatiftir. II. III. = deðeri için tanýmsýzdýr. = çift katlý köküdür. Grafiði verilen y = f() fonksiyonunu tanýmsýz yapan deðerlerinin toplamý ; tek katlý kökler toplamý olduðuna göre, a.b kaçtýr? Yukarýdaki ifadelerden hangileri hem f() hem g() için doðrudur? ) Yalnýz I ) Yalnýz II ) I ve II ) 8 ) ) ) 8 ) 0 ) II ve III ) I, II ve III
eþitsizlikler 7. f() _ -6 - + + Ýþaret tablosu verilen f() fonksiyonunun çift katlý köklerinin toplamý kaçtýr? _ 6 _ +. ch ch 0 c h c h eþitsizliðinin çözüm kümesi nedir? ) [, ] {, } ) [, ) {} ) ) ) ) ) ) [, ) {} ) (, ] ) R (, ] 8. 9. ch f c6 h e j c h c h fonksiyonunun iþaret tablosunu yapýnýz? che 0j 0 c h eþitsizliðini saðlayan tamsayý deðerleri toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) 7 ) 0.. c h 7 0 eþitsizliðini saðlayan en büyük üç tamsayýnýn toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) eþitsizliðini saðlayan pozitif tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? 0. e j e j 0 c h eþitsizliðini saðlamayan negatif reel sayýlarýnýn bulunduðu aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, /] ) [, /) ) [, ] ) (, ) ) (, /) ) ) ) ) 8 ) 0. fazlasýnýn, eksiðine oraný den büyük olan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? ) 0 ) 7 ) ) ). f() Yukarýda y = f() in iþaret tablosu verilmiþtir. c h c h h f 0 c - - _ + _ + _ 6 _ + eþitsizliðini saðlayan pozitif tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? ) ) 8 ) 0 ) ) 8 ch e j 6. f ifadesini negatif yapan deðerleri kümesi aþaðýdakiler- c h den hangisidir? ) (, ) ) (0, ) ) (0, ) (, ) ) (, 0) (, ) ) (, )
eþitsizlikler 7. < 0 olmak üzere, ch f fonksiyonunun en geniþ taným kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) (, ) ) (0, ) ) (, ) ) (, ). + 6 t 8 = 0 denkleminin kökleri ve dir. < < 0 olduðuna göre, t nin alabileceði tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) 0 ) 0 ) 00 ) 80 ) 0 8. + m + = 0 denklemini saðlayan reel kök olmadýðýna göre, m nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). (m ) (m + ) + = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. < < olduðuna göre, m nin deðer alabileceði en geniþ reel sayý aralýðý nedir? ) (, 0) ) (0, ) ) (, ) 9. (m + ) + 6 > ) (, ) ) [, ) eþitsizliði her reel sayýsý için doðru olduðuna göre, m nin alabileceði tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) 9 ) 0. + ( m) + m = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. + +. 0 olduðuna göre, m nin alabileceði pozitif tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) 6 ) 8. f() = ( m) m fonksiyonunun reel kökleri ve dir. f() grafiðinin eksenini kestiði noktalar = den küçük ise, m nin alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). a + b + c = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. c b 0 ve 0 olduðuna göre, ve için a a aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) < 0 < ) < < 0 ) < 0 < > > = ) 0 < < ) < 0 < > >. + (a ) = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. < 0 < < 6 þartýný saðlayan a nýn en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) )
KONU TSTÝ eþitsizlikler. HG I KJ eþitsizliðini saðlamayan kaç farklý tamsayýsý bulunur? H G I K J ) ) ) ) 6 ) 7 6. m 0 n 6 eþitsizliðinin çözüm aralýðý < 6 olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 9 ). e j 9 66 0 eþitsizliðini saðlayan farklý tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) ) 0 ) 7 ) 6 ) 7. 6 0 + 0 > 0 eþitsizlik sistemini çözen tamsayýsý deðerleri kaç tanedir? ) 8 ) 6 ) ) ). c h 0 c h eþitsizliðini saðlayan farklý tamsayý deðerleri kaç tanedir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 8. 9. + + 7 < 0 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 9. + 6 < + eþitsizliðinin çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisinde doðru olarak verilmiþtir?. m < n < 0 < p olmak üzere, b g b g m n p m 0 n eþitsizliðini saðlayan deðerleri hangi aralýktadýr? Lm n O n I ) O, ), 0 ) HG m HG m, K J p mqp mr p Q P m n n ) R, ) p m Lm, H G NM I K J NM I KJ 0. ) (, ) ) (, ] ) (0, ) ) [, ) ) (, ) = y = y. 7 < 8 eþitsizlik sistemini saðlayan tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) 6 ) 8 ) 9 y ve < y eþitsizlik sistemini saðlayan bölge aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) ) ) ) )
eþitsizlikler. - - + + _ + _ Þekildeki tabloda iþaret analizi yapýlan ve çözüm aralýklarý taralý alanlar olarak bulunan eþitsizlik sistemi aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) 6 > 0 ) < 0 < 0 < 0 ) > 0 ) < 0 < 0 + < 0 ) 6 < 0 + < 0 + + 6. (a + ) (a a 6) 9 = 0 denkleminin reel kökleri tersi iþaretli olup negatif kökü mutlak deðerce büyük olduðuna göre, a nýn en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 7. (m 6) 7 = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. < olduðuna göre, denklemi saðlayan m deðerleri için aþaðýdakilerden hangisi doðru verilmiþtir? ) m > 7 ) m > 6 ) m > ) m < ) m < 7. (m + ) + m + = 0 denkleminin reel sayýlardaki çözüm kümesinin boþ küme olmasý için m hangi aralýkta olmalýdýr? ) > m ) 6 < m < ) 6 < m ) 6 < m < ) < m < 6 8. + (a ) = 0 denkleminin kökleri ve dir. olduðuna göre, a nýn alabileceði doðal sayý deðeri kaç tanedir? ) 8 ) 9 ) 0 ) ). + (m + ) + m 7 = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. < < 0 olduðuna göre, m nin alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 9. a + b + c = 0 denkleminin iki farklý reel kökü ve dir. a.f() < 0 ve a.f() > 0 olduðuna göre, ve için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) < < ) < < < ) < < ) < < < ) < < <. (a + ) + = 0 denkleminin kökleri ve dir. 0. y 0 < < olduðuna göre, a nýn alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? y = f() ) ) ) 0 ) ) - -. + (a ) + a = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve > olduðuna göre, a nýn alabileceði tamsayý deðerleri kaç tanedir? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 Þekilde y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. una göre, ( + ).f() 0 eþitsizliðini saðlayan in tamsayý deðerleri kaç tanedir? ) ) 6 ) 7 ) 9 ) 0 6
KONU TSTÝ. ir üçgeninde m(ë) = 0 = br = + br eþitsizlikler 6. (m + ) 6 = 0 denkleminin kökleri ve arasýnda = baðýntýlarý olduðuna göre, m kaçtýr? ) 8 ) ) ) ) u üçgenin alaný 6 br den büyük olduðuna göre, in alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) 8 ) 6 ) ) ) 7. bir tamsayý olmak üzere, 9 0 < 0 iken 0 ifadesinin alabileceði en büyük tamsayý deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?..( 6) < 0 ) 8 ) 7 ) ) 0 ) eþitsizliðini saðlayan en büyük tamsayýsý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) 8. 6 8 + > 0. + m 7 = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. < < olduðuna göre, denklemi saðlayan m deðerleri aþaðýdaki aralýklardan hangisinde doðru verilmiþtir? eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) R {0} ) ) R R S T U VW ) R ) R S T U V W ) (, ) ) ( 7, ) ) [, ) ) (0, ) ) (, ) 9. + (m ) m = 0 denkleminin reel kökleri ve dir.. ( + ) ( ) < ( ) eþitsizliðini saðlayan tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? < < olduðuna göre, m nin alabileceði en büyük iki tamsayý deðeri toplamý kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) ) ) ) ) 7 ). m + 6 + m > 0 ifadesi her zaman doðru olduðuna göre, m deðerleri hangi aralýktadýr? ) (, ) ) [, 0) ) (0, ] ) [0, ] ) (, ) 7 0. 6 8 6 eþitsizlik sisteminin çözüm aralýklarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) [, ] ) (, 0) ) [, ] ) (, ) ) (, )
eþitsizlikler. + 0 6 eþitsizliðinin en geniþ çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) R ( 9, ) ) ( 9, ] ) R [ 9, ] ) [ 9, ] ) ( 9, ) 6. üçgeninde H = br H = + br ( ) 6 br olduðuna göre, in alabileceði tamsayý deðerleri kaç tanedir?. + a a 6 = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < olduðuna göre, a için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) < a < 0 ) < a < 6 ) 6 < a < 0 ) 0 < a < ) 6 < a < 7. ) ) ) ) ) 6 eþitsizliðini saðlayan in çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) < < ) < < ) < <. < < + ) < < ) < < 6 eþitsizliðinin çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) (, 0) (, 6) ) (, 0) (, 6) ) (, ) ) R [0, ] ) 8. c h 006 0 00 ch c h eþitsizliðini saðlayan tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6. bir reel sayý olmak üzere, + 0 < 0 eþitsizliðini saðlayan deðerleri için 6 + 0 ifadesinin alabileceði en büyük ve en küçük tamsayý deðerleri toplamý kaçtýr? ) 0 ) 8 ) 6 ) ) 9. (m + ) + (m ) = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir.. (m + ) m = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. >0. < 0 > olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) m < 0 ve < 0 ) m < 0 ve < 0 ) m > 0 ve > 0 ) m > 0 ve >0 ) m > 0 ve < 0 8 koþulunu saðlayan m nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) 0. m (m + ) + = 0 denkleminin reel kökleri ve arasýnda < < baðýntýsý varsa, m nin çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir? ) I I, ), ) (, ) 0 0 0 HG KJ HG )( 0, ) )(, ) KJ
ÖSYS SORULRI. ( ) sayýsýnýn, a + b = 0 denkleminin kökleri arasýnda olmasý için aþaðýdaki eþitsizlik sistemlerinden hangisinin saðlanmasý gerekir? ) a b > 0, 0a + b + < 0 ) a + b > 0, a(0a + b + ) < 0 ) a b > 0, 0a + b + > 0 ) b ab > 0, 0a + b + < 0. + > + eþitsizliði aþaðýdaki aralýklarýn hangisinde saðlanýr? ) < < 0 ) < < ) < < ve < < 0 ) < < ) < < ve 0 < < eþitsizlikler (979) ) a b > 0, a(0a + b + ) > (976) 6. ir bilinmeyenli bir ikinci derece denkleminin birbirinden farklý olan, kökleri, U 0. V eþitsizlik sisteminin çözümü nedir? 0 W ) ) < ) < < ) <, < ) (976) ( ) = m + ( + ) + = m baðýntýlarýný saðlamaktadýr. u köklerin birer gerçel (reel) sayý olmasý için m nin deðerleri ne olmalýdýr? ) < m < ) m, m ) m <, < m ) 0 m ) m <, < m (980). ( ) ( + + ) > 0 eþitsizliðini, in hangi deðerleri saðlar? ) < <, < ) < < ) < < 0, > ) < ) > (977) 7. < 6 eþitsizliðini gerçekleyen deðerleri (aralýklarý) aþaðýdakilerden hangisidir? ) < < 0 ) < < ) <, < ) < < ) 0 < < (980). + + m > + eþitsizliðinin ne olursa olsun saðlanmasý için m ne olmalýdýr? ) m < 0 ) m < ) < m ) 0 < m < ) 0 < m (978) 9 8. < + eþitsizliðini gerçekleyen deðerleri (aralýðý) aþaðýdakilerden hangisidir? ) < < ) < < ) < < ) < < ) < < (ÖYS 98)
eþitsizlikler 9. e 0 eþitsizliðinin çözümü nedir? j ) < < ) 0 < < ) < 0, < ) <, < ) <, < (ÖYS 98) 0. m (m + ) + = 0 denkleminin kökleri, dir.. f() = m + (m + ) + m veriliyor. f() = 0 denkleminin kökleri, dir. < < olmasý için > 0 koþuluna ek olarak aþaðýdakilerden hangisi saðlanmalýdýr? ) m.f( ) < 0, ) m.f( ) > 0, ) f( ) < 0, ) f( ) > 0, ) m.f( ) >, (ÖYS 98) < < koþulunun saðlanmasý için m ne olmalýdýr? ) < m < 0 ) < m< ) < m < ) 0 < m< ) < m < (ÖYS 98). c hc h 0 eþitsizliði aþaðýdaki aralýklarýn hangisinde saðlanýr? ) < < ) < < ) < < 0 ) < < ) < < (ÖYS 98). (m + ) + m = 0 denkleminin 0 < < < koþulunu saðlayan iki kökünün olmasý için m hangi aralýkta olmalýdýr? ) < m < ) < m < ) 0 < m < ) < m < 0 ) < m < (ÖYS 986). 87 0 c h eþitsizliðini saðlayan tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? ) ) 8 ) ) 0 ) 6 (ÖYS 98) 6. ch f fonksiyonunun en geniþ taným aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) R [, 0] ) R ) (, ) ) (0, ) ) (0, ) (ÖYS 99). ( ) ( ) > 0 eþitsizliðini saðlayan deðerleri aþaðýdakilerden hangisidir? ) < < ) ) ) ) 7 (ÖYS 98) 0 7. c hc h 0 eþitsizliðini saðlayan negatif tamsayýlardan en küçüðü kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) (ÖYS 99)
eþitsizlikler 8. ( ) ( + ) (6 ) > 0 eþitsizliðini saðlayan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) (ÖSS 99). 0 olduðuna göre, in alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖSS 997) 9. (p + 6) + 7(p + ) + (p ) = 0 denkleminin gerçel kökleri, dir. < 0 < dir. > olmasý için p nin alabileceði deðerler aþaðýdaki aralýklardan hangisidir? ) ( 6, ) ) (, ) ) (0, ) ) (, ) ) (, 6). katýnýn fazlasý, kendisinin karesinden büyük olan en büyük tamsayý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) 6 ) 7 (ÖYS 997) (ÖYS 99) 0. m + m = 0 denkleminin kökleri ve dir. olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, +) ) (, ) ) R {} ) (, ) ) (0, ) (ÖYS 996). e je j 0 eþitsizliðinin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ñ) (ñ, ) ) (, 0) (ñ, ) ) (, ) (, +) ) (, ) ) [, ] (ÖYS 997). a, b, c birer pozitif sayý ve a b a c c olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle doðrudur? ) c < b ) b < c ) a < b ) b < a ) a < c (ÖYS 996). + + a üçterimlisi in bütün deðerleri için ten büyük olduðuna göre, a için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) < a < ) < a < ) < a < ) < a < ) 6 < a < (ÖYS 998)
6. 8. ( m) + + m = 0 eþitsizlikler denkleminin biri pozitif, diðeri negatif iki gerçel kökü varsa m nin alabileceði deðerler kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, 0) (, ) ) (, ) (, ) ) (, 0) (, ) (ÖSS 006 II) Þekildeki taralý bölge, aþaðýdaki eþitsizlik sistemlerinden hangisiyle ifade edilir? ) y ) y > ) y < < > > + y > + y < y < ) y < ) y < < < y < + y > (ÖSS 00) 9. ( ) 0 ( )( ) 0 Yukarýda verilen eþitsizlik sisteminin çözüm kümesi (a, b) açýk aralýðý olduðuna göre, a b farký kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) (LYS 0) 7. y = y = Þekildeki taralý bölge aþaðýdaki eþitsizliklerden hangisiyle belirlenir? ) y 0 ) y 0 ) + y 0 ) y 0 ) y 0 (ÖSS 00)
Ö L Ü M 6 Trigonometri KÖÞTÞI MÇLR. Verilen açýnýn yönünü, baþlangýç ve bitim kenarlarýný gösterebilme. ir açý ölçü birimini baþka bir ölçü birimi türünden yazabilme. erecenin alt birimlerini tanýmlayabilme. erece, dakika, saniye türünden verilen açý ölçüleriyle iþlem yapabilme. erece türünden verilen bir açýnýn esas ölçüsünü bulabilme 6. Grad türünden verilen bir açýnýn esas ölçüsünü bulabilme 7. Radyan türünden verilen bir açýnýn esas ölçüsünü bulabilme 8. Sin, cos, tan, cot, sec, csc fonksiyonlarýnýn tanýmýný yapabilme 9. Geometrik þekiller üzerinde trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini bulabilme 0. Geometrik þekillerde ek çizimler yaparak trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini bulabilme. Geometrik þekillerde deðeri verilen trigonometrik fonksiyon yardýmýyla baþka trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini hesaplayabilme. sin + cos = özdeþliðini kullanabilme. a b = (a b) (a + b) özdeþliðini kullanabilme. tan = sin/cos, cot = cos/sin, tan.cot = özdeþliklerini kullanabilme. sec = /cos ve csc = /sin özdeþliklerini kullanabilme 6. Özdeþliklerden yararlanarak tan ve cot fonksiyonlarýnýn deðerlerini hesaplayabilme 7. a + b = (a + b) (a ab + b ) ve a b = (a b) (a + ab + b ) özdeþliklerini sadeleþtirme sorularýnda kullanabilme 8. Özel açýlarýn trigonometrik fonksiyonlarýnýn deðerini hesaplayabilme 9. irim çemberi tanýyabilme 0. irim çember üzerindeki özel açýlara karþýlýk gelen noktalarýn koordinatlarýný bulabilme. O ekseninin cos, Oy ekseninin sin fonksiyonuna karþýlýk geldiðini fark edebilme
. sin ve cos fonksiyonlarýnýn deðer aralýðýnýn [,] olduðunu fark edebilme. asin + bcos ifadesinin en büyük ve en küçük deðerlerini hesaplayabilme. 0, 90, 80, 70, 60 nin tan ve cot deðerlerini bulabilme. Koordinat düzleminde bölgeleri ve trigonometrik fonksiyonlarýn bu bölgelerdeki iþaretlerini belirleyebilme 6. Koordinat düzlemi yardýmýyla trigonometrik deðerleri sýralayabilme 7. 60 den büyük açýlarýn trigonometrik fonksiyonlardaki deðerlerini hesaplayabilme 8. 60 den büyük açýlarýn trigonometrik fonksiyonlardaki deðerlerini 90 ve 70 ile iliþkilendirerek hesaplayabilme 9. 0, /, ile iliþkilendirilmiþ açýlarýn trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini bulabilme 0. ve / nin katlarý ile iliþkilendirmiþ açýlarýn trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini bulabilme. azý açýlarýn trigonometrik fonksiyonlarýnýn deðerlerini dar açýlarýn trigonometrik fonksiyonlarýnýn türünden yazabilme. Ýki açýnýn ölçüleri arasýndaki baðýntý verildiðinde trigonometrik fonksiyonlarýnýn deðerini hesaplayabilme. ir üçgenin açýlarýnýn trigonometrik deðerlerini hesaplayabilme. Trigonometrik serilerin deðerlerini hesaplayabilme. Geometrik þekiller üzerindeki geniþ açýlarýn trigonometrik deðerlerini hesaplaya bilme 6. Herhangi bir trigonometrik deðerin verilen dar açýnýn diðer trigonometrik deðerlerini hesaplayabilme 7. Herhangi bir trigonometrik deðerin verilen geniþ açýnýn diðer trigonometrik deðerlerini hesaplayabilme
6. þaðýda verilen açýnýn yönünü, baþlangýç ve bitim kenarlarýný, açýlarýný sembolle gösteriniz. trigonometri - O [O baþlangýç kenarý [O bitim kenarý çý saat ibresinin tersi yönde olduðundan (+) pozitif yönlü açýdýr ve açý ëo dir. una göre, m(ëo) = m(ëo) olur. ðer açýnýn yönü saat ibresi ile ayný yönde olsaydý ( ) negatif yönlü açý olarak adlandýrýlacaktý. þaðýda verilen açýlarýn yönlerini, baþlangýç ve bitim kenarlarýný sembolle yazýnýz..... K M L. K 6. O L M M N
6. Ölçüsü 0 olan bir açýyý radyan ve grad cinsinden yazýnýz. trigonometri - O noktasýndan sabitlenmiþ olan O çubuðunun tam bir tur attýðýnda taradýðý açýya TM ÇI denir. noktasýnýn geçtiði tam çember yayý (çemberin çevresi) eðer; una göre, 80 G 00 R Köþetaþýnýn Çözümü: 0 R R 80 0 80 G 00 G 00. 0 lik açý kaç graddýr? 800 700 ) ) ) 00 ) 00 ) 0. Ölçüsü 0 grad olan bir açýnýn derece türünden ölçüsü aþaðýdakilerden hangisidir? ) 90 ) 60 ) ) 0 ). Ölçüsü radyan olan bir açýnýn derece türünden 8 ölçüsü aþaðýdakilerden hangisidir? ) 60 ) 67, ) 7 ) 7, ) 90. Ölçüsü radyan olan bir açýnýn grad türünden ölçüsü aþaðýdakilerden hangisidir? ) 80 ) 70 ) 60 ) 0 ) 0 7. radyan kaç graddýr? ) 00 ) 0 ) 0 ) 0 ) 80 6. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) rad ) 90 = 00 G G ) 0 rad ) 0 G = 80 ) rad 70 6
6. 8 saniyelik açý kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir? trigonometri - ir tam çember yayýnýn 60 eþ parçasýndan birini gören merkez açýnýn ölçüsüne derece denir ve ile gösterilir. derecenin ýna dakika denir, ( ý ) ile gösterilir. 60 dakikanýn ýna saniye denir, ( ýý ) ile gösterilir. 60 Yani; = 60 ý, ý =60 ýý, = 600 ýý dir. Örneðin, 0 0,6 H G I 60 K J ý ýý H G I 600 K J 8 60 60 0 _ 0 60 o 0 80 ýý _ 80 ý 8 ýý = ý ýý olur.. saniyelik açý, kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir? ) 9 0 ý ýý ) 9 ý ýý ) 0 0 ý ýý ) 0 0 ý ) ý. ý ýý lik açý kaç saniyedir? ) 0 ) 69 ) 96 ) 0 ) 98. lik açý kaç dakika ve kaç saniyedir? ) ý 9 ýý ) ý 60 ýý ) 0 ý ýý ) 8 ý 9 ýý ) 9 ý 60 ýý. ý 6 ýý lik açý kaç derecedir? HG ý Ýpucu : ýý 6 ve 6 H G I 60 K J H G I 600 K J dir. ),0 ), ), ), ), I KJ. 08 saniyelik açý kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir? ) 8 ýý ) 8 ý ) 8 ý ýý ) 6 8 ýý ) 6 8 ý 7 6. (,6) lik açý kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir? ) ý 6 ýý ) 6 ý ýý ) 7 ý ) ý II ) 9 ý 9 ýý
þaðýdaki iþlemleri yapýnýz. 6. trigonometri - ) 0 ý 6 ýý ) 8 0 ý 0 ýý + 0 ý 8 ýý 0 ý 8 ýý ) _ ý 8 ýý 0 ý 8 ýý ( ý = 60 ýý ve 7 ýý = 60 ýý + ýý = ý + ýý olduðundan ý yý 7 ý ya ilave edelim.) ( = 60 ý ve 76 ý =60 ý + 6 ý = + 6 ý olduðundan yi 7 ye ilave edelim.) ) 8 0 ý 0 ýý (0 ýý den 8 ýý çýkmaz. 0 ý dan ý =60 ýý alýp, 0 ýý ye ilave edelim. 0 ýý + 60 ýý = 70 ýý olur.) ý 8 ýý 8 9 ý 70 ýý ý 8 ýý (9 ý dan ý çýkmaz. 8 den = 60 ý alýp 9 ý ya ilave edelim. 9 ý + 60 ý = 79 ý olur.) _ 7 79 ý 70 ýý ý 8 ýý 7 ý ýý. [ // [ m(ë) = 7 ý ýý m(ë) = ý 8 ýý m(ë)=. m(ë) = ý 6 ýý ve m(ë) = 0 ý olduðuna göre, m(ë) m(ë) farký aþaðýdakilerden hangisidir? ) 6 8 ý ýý ) 6 0 ý ýý ) 6 ý ýý ) 8 ýý ) 9 ýý Yukarýda verilenlere göre, m(ë) = aþaðýdakilerden hangisidir? ) 8 0 ýý ) 8 ý 0 ýý ) 8 0 ý ) 0 ýý ) 0 ý. Tümler iki açýdan birinin ölçüsü 0 8 ý ýý ise, diðer açýnýn ölçüsü aþaðýdakilerden hangisidir? ) 8 8 ý ýý ) 60 8 ý ýý ) 6 8 ýý ) 69 ý 8 ýý ) 69 0 ý 8 ýý 8. m(ë) = 8 ý m() olduðuna göre, aþaðýdakilerden 6 hangisidir? ) ) ý ) 0 0 ýý ) 8 ý ) 7 0 ý
6. ) Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsünü bulunuz. ) Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsünü bulunuz. trigonometri - 90 pozitif yön ) Ölçüsü derece cinsinden verilen bir açýnýn esas ölçüsünü bulmak için bu açýnýn ölçüsü 60 a bölünür. Kalan esas ölçüdür. Þimdi ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsünü bulalým: 80 0 70 60 negatif yön _ 60 880 8 devir sayýsý esas ölçü = 8.60 + esas ölçü lik açý : irim çember üzerinde dan baþlayarak pozitif yönde 8 tam dönme yapýp, dan itibaren pozitif yönde m(ëo) = lik açýyý tarayan açýdýr. 90 ) Negatif açýlarda, açýnýn mutlak deðeri 60 ye bölünüp kalanýn 60 den çýkarýlmasýyla esas ölçü bulunur. 80 9 60 70 - =.( 60 ) 6 =.( 60 ) + 9. Ölçüsü 0 olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 00 ) 0. Ölçüsü 60 olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 0. Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir?. Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir? ) 7 ) 0 ) ) 0 ) 60. Ölçüsü 0 olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 60 ) 80 ) ) 00 ) 0 ) ) 0 6. Ölçüsü 0 8 ý ýý olan açýnýn esas ölçüsü aþaðýdakilerden hangisidir? ) ý ýý ) 0 0 ý ýý ) 8 0 ý ýý ) 8 ý ýý ) ý ýý 9
6.6 ) Ölçüsü 6 grad olan açýnýn esas ölçüsünü bulunuz. trigonometri - ) Ölçüsü 70 G olan açýnýn esas ölçüsünü bulunuz. ) Ölçüsü grad cinsinden verilen bir açýnýn esas ölçüsünü bulmak için bu açýnýn ölçüsü 00 e bölünür. Kalan esas ölçüdür. ) çýnýn ölçüsünün mutlak deðerini 00 e bölelim ve kalaný 00 den çýkaralým. _ 70 00 000 70 00 _ 70 = 0 grad esas ölçüdür.. Ölçüsü G olan açýnýn esas ölçüsü kaç graddýr? ) 0 ) 0 ) ) 0 ) 60. Ölçüsü 0 G olan açýnýn ölçüsü kaç graddýr? ) 00 ) 0 ) 0 ) ) 0. Ölçüsü grad olan açýnýn esas ölçüsü kaç graddýr? ) 0 ) 0 ) 0 ) ) 0. Ölçüsü 7777 grad olan açýnýn esas ölçüsü kaç graddýr? ) 80 ) 8 ) 8 ) 90 ). Ölçüsü 0 grad olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir? ) 6 ) 0 ) ) 0 ) 60 6. Ölçüsü 000 grad olan açýnýn esas ölçüsü kaç radyandýr? ) 7 9 9 ) ) ) 8 0 ) 60
6.7 ) Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsünü bulunuz. ) Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsünü bulunuz. trigonometri - ) 0 R R < R, k Z olmak üzere, ölçüsü + k.() R olan açýlarýn esas ölçüsü R dýr. Hýzlýca : Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsünü bulabilmek için ün içinden nin tam katlarý atýlýr. nin tam katýný bulabilmek için pay, paydanýn katýna bölünür. Kalan ile çarpýlýp paya; paydaya da verilen açýnýn paydasý yazýlýr. _ ) 0 0 0 sas açýnýn ölçüsü [0, ) arasýnda olacaðýndan kalanýn mutlak deðeri den çýkarýlýr. 8 8 8 8 esas ölçünün payý radyan esas ölçüdür. =. + sas ölçü radyandýr.. Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsü kaç radyandýr? ) ) ) ) ) 0 6. Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsü kaç radyandýr? 0 ) ) ) ) ) 6 9. Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsü kaç radyandýr? 0 ) ) ) ) ) 6 7. Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir? ) 80 ) 60 ) 0 ) ) 0. 7 Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir? ) 90 ) 9 ) 96 ) 00 ) 08 6. Ölçüsü olan açýnýn esas ölçüsü kaç radyandýr? 8 9 0 ) ) ) ) ) 6
dik üçgen = br = br 6.8 trigonometri - m(^) = olduðuna göre, sin, cos, tan, cot, sec ve cosec deðerlerini hesaplayýnýz. b komþu dik kenar a c b b c sin tan sec c a a a a cos cot cosec c b Þimdi soruyu çözelim: Pisagor teoreminden = + = br olur. sin tan sec cos cot cosec c b KNR ORNLRINN L ÝLÝLK ZI ÐINTILR: sin tan cos cos cot sin sec cos cosec sin. dik üçgeninde = br = br m(ë) = Yukarýda verilenlere göre, sin.cot çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ). karesinde =. m(ë) = Yukarýda verilenlere göre, sin kaçtýr? 7 ) ) ) ) 7 ). dik üçgeninde 6 H m(ë) = 90 [H] [] H = 6 cm H = cm Yukarýda verilenlere göre, tan kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. üçgeninde 6 = = = br = 6 br m(ë)= Yukarýda verilenlere göre, sec kaçtýr? ) ) ) ) )
6.9 trigonometri - Þekilde tane özdeþ dikdörtgen çizilmiþtir. K ve m(ëkl) = olduðuna göre, tan kaçtýr? L Özdeþ dikdörtgenlerin kýsa kenarýnýn uzunluðu br olsun. O zaman =. = br olur. K den = br olur. L KL açýsý ile açýsý yöndeþ açýlar olduðu için birbirine eþittir. m(ëkl) = m(ë) = olur. = = br ve = br dik üçgeninde tan dir.. Verilen þekil beþ eþ kareden K L oluþmuþtur. una göre, tan(ëkl) kaçtýr? ) ) ) ) ). Yandaki þekil dört eþ kareden oluþmuþtur. una göre, sin.cot kaçtýr? ) ) ) ) ). Þekildeki dikdörtgen altý eþ kareden oluþmuþtur. una göre, tan + cot kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 6. karesinde m(ë)= Yukarýda verilenlere göre, sec kaçtýr? ) ) ) ) )
6.0 trigonometri - ve noktalarý yarým çemberlerin merkezleri, ortak teðet, merkezler doðrusu, noktasý ile doðrularýnýn kesiþim noktasý, çemberler noktasýnda birbirine teðet, = br ve = br dir. Yandaki þekilde, m(ë) = olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? K [K] // [] olacak þekilde [K] yardýmcý doðrusu çizilsin. u durumda, = K = br olur. = br ve K = br olduðundan K = K = = br ve = + = + = br olur. K dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanýrsa, = K + K = + K K = br dir. açýsý ile K açýsý yöndeþ olduðu için eþittir. una göre, K dik üçgeninde K cot K olur.. kare. = m(ë) = Yukarýda verilenlere göre, tan deðeri kaçtýr? 7 ) ) ) ) ). dikdörtgen =. =. Yukarýda verilenlere göre, tan + cot toplamý kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) 6. eþkenar üçgeninde. =. Yukarýda verilenlere göre, tan(ë) deðeri kaçtýr? m(ë) = ) ) ) ) ). bir ikizkenar teðetler yamuðudur. = birim = birim Yukarýda verilenlere göre, cos deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 9 9 9 6
6. trigonometri - üçgeninde [] [] m(ë) = m(ë) = cos, tan 6 = 6 birim olduðuna göre, = kaç birimdir? 6 dik üçgeninden, cos 6 0 birim olur. Pisagor teoremi uygulanýrsa; = + 6 = + 0 = birimdir. dik üçgeninden, tan 8 6 birim olur.. dik üçgeninde [] [] m(ë) =, m(ë) = y y = tan Yukarýda verilenlere göre, tany deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). üçgeninde 0 [H] [] = 0 cm cos H Yukarýda verilenlere göre, = kaç cm dir? ) 8 ) ) ) ) 0. üçgeninde = = tane ë j Yukarýda verilenlere göre, tan(ë) kaçtýr? ) ) ) ) ). üçgeninde H H = 8 birim cot + cot = birim Yukarýda verilenlere göre, üçgeninin alaný kaç birim karedir? ) 80 ) 90 ) 96 ) 0 ) 8 6
6. trigonometri - sin cos c a olduðuna göre, sin.cos deðeri kaçtýr? b sin + cos = özdeþliði sýkça kullanýlacaktýr. sin Köþetaþýnýn çözümü: Verilen eþitlikte her iki tarafýn karesi alýnýrsa; bsin cosg sin cos sin cos H G I K J 6 sin cos sin cos 6 b c sin cos ve cos b c a c a c H G I K J H G I K J olur. b a c c c. sin cos. sincos olduðuna göre, sin.cos çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 7 olduðuna göre, sin + cos ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 0 ) ) ) 7 7 9 7. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?. ) sin cos ) cos + sin = HG I KJ H G ) sin cos ) sin + cos = ) sin + cos( ) = I K J sin 0 cos 0 sin0cos80 cos 0 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) sin0 ) ) 0 ) ) cos0 66. = sin ve y = cos olmak üzere, y + 6 + y ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6. f(, y) = 6 + y + y 6 olduðuna göre, f(sin, cos) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) 0 ) ) sin ) cos ) sin + cos
6. trigonometri - cos = m olduðuna göre, sin cos ifadesinin m türünden deðeri nedir? sin + cos = olduðundan sin = cos dir. Verilen eþitlikte yerine yazýlýrsa: sin cos cos cos cos cos b cosgb cosg m olur. cos b g HTIRLTM a b = (a b) (a + b) sin + cos = özdeþliðinden; sin = cos cos = sin özdeþlikleri elde edilir ki bunlar da iki kare farkýdýr.. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) sin = (sin) ) cos sin ) cos = sin ) sin = cos ) cos cos( ). sin cos sin ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin ) sin ) cos ) cos ) cos. sin cos ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?. cossin cos cos ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) cos ) cos ) ) ) sin ) cos ) ) sin ) cos ). cos cos çarpýmý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) ) sin ) sin ) cos + 6. sin cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) + cos ) + cos ) sin ) sin 67
sin cos sin cos olduðuna göre, tan kaçtýr? 6. trigonometri - sin tan cos,, tan.cot = Verilen eþitlikte içler dýþlar çarpýmý yapýlýrsa; sin cos sin cos sin cos sin cos cos cot sin sin sin cos tan olur. cos NNÝ: b sin c b tan cos a a c a cos c a cot sin b b c b a tan cot a b. sina cos a sina cos a olduðuna göre, cota deðeri kaçtýr? ) 7 ) ) ) ) 7. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? cos sin8 ) tan8 ) cot cos8 sin ) tan.cot = ) tan cot sin8 ) tan cos. þaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) tan = ise, cot = tür. sina ) cosa ise, tana = dir. ) ) tan cos sin cot, tan dýr. a ise ) 7 tan cot dir. 7. (tan + cot).sin.cos çarpýmý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) sin ) cos ) sin. sin.cot çarpýmý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) sin ) ) ) cos 68 6. tan tan cot ve tan tan olduðuna göre, cot kaçtýr? ) ) ) ) )
cosec cot sec tan ifadesini sadeleþtiriniz. 6. trigonometri - Önce kosekant (cosec = csc) ve sekant (sec) fonksiyonlarýný hatýrlayalým. cosec sin Temel taktik, tan, cot, sec, csc fonksiyonlarýný sin ve cos türünden yazmaktýr. cosec cot sec tan ve sec cos I cos HG sin K J H G I sin K J I sin HG cos K J H G I cos K J idi. cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos olur.. + tan ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) sec ) sec ) cosec ) cosec ). sin tan cos cot csc ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) sin ) sec ) cos ) cosec ) sina cos a. csca sec a ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + cosa ) tana ) tan a. sec.cot çarpýmý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) tan ) sin ) ) sec ) cosec 69. 6. cos cos tan sec tan sec ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) sin ) cos ) sin cos ec cot ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) cos ) cos ) sin + ) sec ) cosec
6.6 tan + cot = olduðuna göre, tan cot ifadesinin deðeri kaçtýr? trigonometri - Önce bize sorulan ifadenin karesini alalým: (tan cot) = tan + cot = tan + cot...() tan + cot toplamýný bulabilmek için soruda verilen eþitliðin her iki tarafýnýn karesini alalým: (tan + cot) = tan + cot +.tan.cot = 9 tan + cot + = 9 tan + cot = 7 olur. tan + cot = 7 deðerini () de yerine koyalým:.tan.cot HTIRLTM: u tür sorularda her iki tarafýn karesi ya da küpü alýnarak çalýþýlýr. unun için özdeþlikler konusuna bakýnýz. eðerleri hýzlý bulabilmek için aþaðýdaki özdeþlikleri kullanabilirsiniz: a + b = (a + b) ab a + b = (a b) + ab a + b = (a + b) ab(a + b) a b = (a b) + ab(a b) (tan cot) = tan + cot (tan cot) = tan cot = veya olur.. tan + cot = a olduðuna göre, tan + cot nin a türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a ) a + ) a. tan cot olduðuna göre, tan cot farký aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) ). tan cot = olduðuna göre, tan + cot toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. tan + cot = olduðuna göre, tan + cot toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). tan cot = olduðuna göre, tan cot farký kaçtýr? ) ) 7 ) 0 ) ) 6 6. tan + cot = olduðuna göre, tan + cot toplamý kaçtýr? ) 0 ) 6 ) 0 ) ) 7 70
cos sin cos sin cos sin cos sin 6.7 ifadesini sadeleþtiriniz. trigonometri - a + b = (a + b) (a ab + b ) a b = (a b) (a + ab + b ) u özdeþliklerin yardýmýyla: cos = c ve sin = s olsun. c s c s bcsgec cssj bcsgec cssj c s c s c s c s cscs e c s olduðunu hatýrlayýnýz j. sin cos cos sin ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir?. HG I KJ HG cos : tan sin sin sin ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? I KJ ) sec ) cosec ) ) sec ) sec ) ) sec ) cosec ) tan ) cosec. cot tan cos sin ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) sin ) sec ) cosec ) cosec. sin = s ve cos = c olmak üzere, HG I s c s : s s c ckj s c ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 0 ) ) s ) c. 6. HG I KJ sin cos sin cos : cos sin sin cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) sin cos ) sin + cos ) sin ) sin.cos ) cosec cos sin cos sec tan cos sec sin cos ec ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) + sin ) + cos ) cos ) sin 7
6.8 trigonometri - sin cos tan cot 0 0 60 90 Yandaki tabloda boþluklara uygun deðerleri yazýnýz. sin cos tan cot 0 0 60 90 0 0 tanýmsýz eþkenar üçgen olsun. m sin0 m sin60 m m 0 tanýmsýz 0 Önce tabloyu pratik doldurmayý öðrenelim, sonra da mantýðýný anlayalým: 0,,,, deðerleri tablonun ilk satýrýný oluþturur. u satýr tersten yazýldýðýnda da tablonun,. satýrý oluþur. tan = sin / cos olduðundan. satýrdakinin. satýrdakine bölünmesiyle. satýrdaki oluþur.. satýrdakinin tersi de. satýrý oluþturur. ikizkenar dik üçgen olsun. m m m m sin m TLOYU TMM- LRKN NLIK KÝÝ!! irbirini 90 ye tamamlayan açýlarýn sinüsü, kosinüsüne; tanjantý, kotanjantýna eþittir. sin8 = cos tan0 = cot80. sin0cos tan ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). cot.sin.tan çarpýmý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). sin60.tan0 cot.cos60 iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). tan60 cos 0 sin90 cos 0 sin 6 iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ). tantan sin cos sin cos tan iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) 6. tan.tan.tan.... tan89 çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 7
Koordinatlarý K HG, I KJ 6.9 trigonometri - olan nokta birim çember üzerinde olduðuna göre, kaçtýr? II. bölge - III. bölge + y = de yerine y y O y - HG I. bölge P(, y) IV. bölge I nalitik düzlemde merkezi O(0, 0) ve yarýçapý birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir. irim çemberin denklemi + y =dir. Þimdi bu bilgiye göre soruyu çözelim: irim çember üzerindeki noktalar + y = denklemini saðlamalýdýr. K HG,, y yerine yazýp denklemi çözmeliyiz. I KJ noktasý birim çember üzerinde olduðundan veya KJ. (a ) + (b )y + (b ) = a.b + c ifadesi bir birim çember belirttiðine göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). þaðýda koordinatlarý verilen noktalardan hangisi birim çember üzerinde bulunur? ) (, ) ), ) G J HG I KJ H I K ), ) HG, HG, 0 I KJ I KJ. + y + (m ) + ny = 0 ifadesi bir birim çember belirttiðine göre, m.n çarpýmý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). + y + a + by = ifadesi birim çember belirttiðine göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) H a., G J noktasý birim çember üzerinde ve II. bölgede olduðuna göre, a aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) HG I KJ I K 6. K m, noktasý birim çember üzerinde ve. bölgede bulunduðuna göre, m kaçtýr? ) ) ) ) ) 7
6.0 aþlangýç kenarý O ve ölçüsü olan yayýn bitim noktasýný birim çemberde bulunuz. (a, b) noktasý lik yayýn bitim noktasý olsun. trigonometri - O ikizkenar dik üçgeninde, O = = a birim ve pisagor baðýntýsý uygulanýrsa; a a a a una göre, b g b g H G I K J a,b a,a, e j olur.. aþlangýç kenarý O olan birim çember yayý için aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) Ölçüsü 0 ise bitim noktasýnýn koordinatlarý (, 0) dýr. ) Ölçüsü 90 ise bitim noktasýnýn koordinatlarý (0, ) dýr. ) Ölçüsü 80 ise bitim noktasýnýn koordinatlarý (, 0) dýr. ) Ölçüsü 70 ise bitim noktasýnýn koordinatlarý (, 0) dýr. ) Ölçüsü 60 ise bitim noktasýnýn koordinatlarý (, 0) dýr.. aþlangýç kenarý O olan ve ölçüsü 0 olan birim çember yayýnýn bitim noktasýnýn koordinatlarý aþaðýdakilerden hangisidir? H I K ), ), ) G J G J H H I K I K ), ) (, 0) G J HG, I KJ. aþlangýç kenarý O olan ve ölçüsü olan yayýn bitim noktasýnýn koordinatlarý toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 0 ) ). aþlangýç kenarý O olan ve ölçüsü 0 olan yayýn birim çember üzerindeki bitim noktasýnýn apsisi kaçtýr? ) ) ) ) ). aþlangýç kenarý O olan ve ölçüsü olan yayýn bitim noktasýnýn koordinatlarý (a, b) olduðuna göre, a b farký kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) 7 6. aþlangýç kenarý O olan ve ölçüsü 9 olan birim çember yayýnýn bitim noktasýnýn koordinatlarýnýn toplamý kaçtýr? ) ) 0 ) ) )
0 / / sin cos 6. trigonometri - Yandaki tabloda boþluklara uygun deðerleri yazýnýz. P nin apsisine açýsýnýn kosinüsü denir ve cos ile gösterilir. P nin ordinatýna açýsýnýn sinüsü denir ve sin ile gösterilir. Kýsaca, eksenine kosinüs ekseni, y eksenine sinüs ekseni denir. u tanýma göre, (, 0) noktasýnýn apsisi 0 nin kosinüsüne, ordinatý 0 nin sinüsüne eþittir. una göre, cos0 =, sin0 = 0 dýr. sin cos 0 / / 0 90 80 70 0 0-0 - 0 ý (, 0) olduðundan cos80 = ve sin80 = 0 (0, ) olduðundan cos90 = 0 ve sin90 = ý (0, ) olduðundan cos70 = 0 ve sin70 =. sin.cos99 cos ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 0 ) ). sin cos toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). sin cos 0 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). cos sin cos cos sin aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) 0 ) ) sin sin sincos sin. ifadesinin deðeri kaçtýr? sin0 cos ) ) 0 ) ) ) 6. cos sin60cos iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) 7
6. ) = sin ifadesinin alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) sin + cosy toplamýnýn alabileceði en büyük deðer kaçtýr? trigonometri - Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarýnýn görüntü kümeleri [, ] dir. Yani R için sin cos dir. ) = sin ifadesini oluþturalým. IR için, sin.sin.sin.sin dir. Yani, =,,, 0, deðerlerini alabilir. ) sin + cosy ifadesini oluþturalým., y R için, sin cosy dir. þitsizlikler taraf tarafa toplanýrsa; sin + cosy olur. una göre, toplamýn alabileceði en büyük deðer dir.. þaðýdaki eþitliklerden hangisini saðlayan deðeri bulunamaz? ) cos = ) cos = 0,0 ) sin = 0 ) sin = 0,99 ) cos =,0. sin cosy ifadesinin alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) 9 ) 0 ) ) ). cos ifadesinin alabileceði tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 0 ). sin = a ve cosy = b dir. m = a + b olduðuna göre, m nin deðer aldýðý en geniþ aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? ) [, ] ) [, ] ) [, 0] ) [ 7, 7] ) [ 6, 8]. sin ifadesinin alabileceði en büyük tamsayý deðeri ile en küçük tamsayý deðerinin çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 6. a.cos a + =.cos olduðuna göre, a nýn deðer aldýðý en geniþ aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? L ) [, ] ) [, ] ) O, NM Q P L ) I, ) (, ) NM K J 76
6. sin + cos toplamýnýn alabileceði en büyük deðer kaçtýr? trigonometri - u sorunun bir önceki köþetaþýndaki. örnekten farký sin ve cos fonksiyonlarýndaki açýnýn ayný açýlar olmasýdýr. = a.sin + b.cos nýn alabileceði en büyük deðer nýn alabileceði en küçük deðer a b a b dir. una göre,. sin +.cos toplamýnýn alabileceði en büyük deðer en küçük deðer = olur.. = sin + cos toplamýnýn alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) ) ) ) )..sin +.cos ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). m reel sayý olmak üzere, mcos +.sin ifadesinin alabileceði en büyük. = sin + cosy toplamýnýn alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) ) ) ) ) deðer olduðuna göre, m aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) 0 ). 6.cos + 8sin ifadesinin alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 77 6. 7sin + sin + 9 ifadesinin alabileceði en büyük deðer kaçtýr? (sin = sin.cos) ) ) 8 ) ) 0 ) (Ýpucu: sin + cos = olduðundan; 9 = 9(sin + cos ) eþitliðini kullanýn)
0 90 80 70 60 tan cot 6. Yandaki tablodaki boþluklarý doldurunuz. trigonometri - y = ý O sin ý cot P T = K tan cos [OP nin = doðrusunu kestiði T noktasýnýn ordinatýna açýsýnýn tanjantý denir ve tan ile gösterilir. [OP nin y = doðrusunu kestiði K noktasýnýn apsisine açýsýnýn kotanjantý denir ve cot ile gösterilir. Þimdi tabloda istenilen deðerleri inceleyelim: = 0 olduðunda, P ile çakýþýr. T = 0 olduðundan tan0 = 0 olur. = 90 olduðunda, P ile çakýþýr. [OP ile = doðrusu paralel olduðundan kesiþmez. Yani tan90 = Tanýmsýz olur. u yolla diðer açýlarýnda tan ve cot deðerleri tablodaki gibi bulunur.. þaðýdaki eþitliklerden hangisini saðlayan deðeri bulunamaz? ) tan = ) cot = 0 ) sin = 0,. cot tan tan60 cot farkýnýn deðeri kaçtýr? ) tan ) ) cot ) tan ) 0 ) cos = 0,98 ) sin =,0. tan.cot çarpýmýnýn deðeri nedir? ) ) ) 0 ) ). tan cot ifadesinin deðer aldýðý en geniþ aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? ) IR ) IR (, ) ) (, ) ) IR + ) IR {0} 6. tan9.tan9.tan9.tan9... tan90.tan9.tan9. tan0 cot toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 00 ) ) ) 0 ) 0 çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) 78
6. sin, tan, cos0 ifadelerinin iþaretlerini belirleyiniz. trigonometri - II. bölge (, +) III. bölge (, ) sin I. bölge (+, +) IV. bölge (+, ) 0 cos zberlemeden: Örneðin; IV. bölgenin cos sýnýrý pozitif, sin sýnýrý negatif sayýlardan oluþtuðundan bu bölgeye düþen açýlarýn sinüsü ( ), cosinüsü (+), tanjantý ( ) una göre,,. bölgede olduðundan sin +,. bölgede olduðundan tan 0,. bölgede olduðundan cos +. bölge. bölge. bölge. bölge sin cos + + + + tan + + cot + + HG sin çünkü tan cos I KJ dir.. a = sin 69, b = tan 00, c = cos 0, d = cot 0 Yukarýdaki trigonometrik deðerlerin iþaretleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisinde doðru olarak verilmiþtir? ) +, +,, ) +,, +, ) +,,, ) +, +,, + ), +, +, +. 7 sin, tan, cot 6 8 trigonometrik deðerlerinin iþaretleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisidir? ), +, + ) +,, + ) +, +, + ),, + ) +, +,. sin 0, cos 7, tan 0 ifadelerininin iþaretleri sýrasýyla aþaðýdakilerin hangisinde doðru olarak verilmiþtir?. sin 0 cos 7 tan 0 ) + + ) + + + ) + ) + ) + a cos, b sin, c tan 6 trigonometrik deðerlerininin iþaretleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisidir? ) +,, ) +, +, ), +, + ),, + ) +, +, + 79. cos 0, tan 90, sin ( 680 ) 6. trigonometrik deðerlerinin iþaretleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisidir? ), +, + ),, ) +,, + HG ) +, +, ) +,, I KJ c h H G sin, cos 0, tan 0 trigonometrik deðerlerinin iþaretleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisidir? ),, + ),, ), +, ) +, +, + ) +,, I KJ
6.6 = sin 0, y = sin 60 ve z = tan 0 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? trigonometri - = sin 0, y = sin 60 ve z = tan 0 deðerlerini birim çemberde göstererek sonucu bulalým. Yandaki þekilde m(ëo) = 0 = sin 0 = m(ëo) = 60 y = sin 60 = m(ëo) = 0 z = tan 0 = una göre, < < yani y < < z olur.. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) sin > sin 0 ) cos > cos 7 ) tan > sin ) cos < cot ) sin 7 < cos 7. = tan, y = tan, z = tan olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? )y=z< )=y=z )=y<z ) <y<z ) z<<y. a = sin 6, b = sin, c = sin 9 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? )c<a<b )b<c<a )b<a<c ) a<b<c ) a<c<b. a = cos 00, b = cos 0, c = tan 70 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? )c<a<b )b<a<c )b<c<a ) a<c<b ) a<b<c. = cos 80, y = cos 70, z = cos olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? )<y<z )<z<y )y<<z ) z<y< ) z<<y 6. a = cos 0, b = sin 0, c = cos 60, d = sin 60 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? )b<a<c<d )a<b<c<d ) c<b=d<a )a<c<d<b ) c<b<d<a 80
6.7 0 nin trigonometrik oranlarýný hesaplayýnýz. trigonometri - [0, 90 ] nin dýþýndaki açýlarýn trigonometrik oranlarý bulunurken:. adým : ðer [0,60) ise, esas ölçü bulunur.. adým : çýnýn koordinat düzlemindeki bölgesi bulunur. Trigonometrik oranýn iþareti tespit edilir.. adým : çýnýn 0 veya 80 veya 60 dereceyle farkýnýn mutlak deðerleri bulunur. una göre,. adým : 0 nin esas ölçüsü 0 dir.. adým : 0 ikinci bölgeye düþer.. adým : 80 ye uzaklýðý 0 dir. Yani 80 ile farký 0 dir. sin 0 sin 0 cos 0 cos 0 tan 0 tan 0 cot 0cot 0. cos 0 tan ifadesinin deðeri kaçtýr?. cos 0 = m olduðuna göre, sin 00 nin m türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) m ) ) m ) m ) ) m m. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) sin 0 = sin 0 ) cos = cos 79 ) tan tan ) cot cot ) tan0. tan 00 =. sin = olduðuna göre, cosec 6 aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). + + = olduðuna göre, cos ( + ) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) sin ) sin 6. = olduðuna göre, ) cos ) cos ( + ) cos + tan + cos + tan + aþaðýdakilerden hangisidir? sin sin ) ) ) 0 ) ) ifadesi 8
6.8 80 nin trigonometrik oranlarýný hesaplayýnýz. trigonometri - undan önceki köþetaþýnda açýnýn 0, 80 veya 60 ile farkýnýn mutlak deðeri alýnmýþtý. ðer 90 veya 70 ile farkýnýn mutlak deðeri alýnýrsa; sin cos, cos sin, tan cot, cot tan deðiþimleri olur. Þöyle ki:. adým : 80 nin esas ölçüsü 0 dýr.. adým : 0 ikinci bölgeye düþer.. adým : 0 nin 90 ile farkýnýn mutlak deðeri 0 dýr. sin 80 = sin 0 = cos 0 = cos 80 = cos 0 = sin 0 = tan 80 = tan 0 = cot 0 = _ cot 80 = cot 0 = tan 0 =. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) sin 0 = cos 00 ) tan. tan 9 = HG I I KJ HG K J tan I ) tan( ) cot HG K J ) sin cos ) tan0 00. cos = t olduðuna göre, sin 0 aþaðýdakilerden hangisidir? t ) t ) ) t ) t ) t. cos 0 + cot + tan. tan ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) HG I KJ. cos sin( ) deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). þaðýdakilerden hangisi cos a ya özdeþ deðildir? ) sin a ) sin( a) ) sin( a) HG I HG I KJ )cos a ) sin( a) KJ 6. = sin 0 y = cos 0 z = sin 00 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? )y=z< )y<z< )=y=z )<y<z )z<y< 8
6.9 I HG K J H G I K J H G I K J cot cos( ) sin cot ifadesinin deðerini hesaplayýnýz? trigonometri - u tür sorularda dar açý olarak düþünülür ve bölge tespiti yapýlýr. cot tan cos ( ) cos sin cot HG HG HG I K J I K J I K J cos tan I O halde, cot cos( ) sin cot HG K J I HG K J ( tan ) ( cos ) cos tan 0 bulunur. HG I K J. HG I KJ sin cos. tan ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? HG ) cos ) sin ) 0 I KJ HG ) sin ) cos I KJ HG I KJ. cos = m ise, sin cos( ) ifadesinin m türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) m ) m ) m ) m ) m. sin ( ) sin ( ) cos HG I K J tan ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir?. sec HG I KJ csc ( ) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) -sin ) 0 ) sin ) cosec ) sec ) 0. ) cos ) tan HG I KJ cos( ) sin cos sin( ) ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin ) sin ) 0 HG I KJ 6. ) sin ) cos HG I sin( ) cot tan( ) cos KJ ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) cos ) sin HG I KJ ) cos ) cos ) 0 ) sin 8
HG I KJ 6.0 cos sin() tan(7).cot( ) ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? trigonometri - üyük açýlarda esas ölçü bulunarak iþlem yapýlýr. I HG K J I HG K J HG Yani, cos cos 6 sin( _ ) = sin ( ) = sin tan(7 _ ) = tan ( _ ) = tan cot ( ) = cot dir. I K J cos sin O halde, = (sin ) + ( sin ) + ( tan ). ( cot ) = olur.. HG I KJ 7 sin cos. tan ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) sec ) cot ) 0 HG I KJ ) ) HG I KJ. sin I HG K J c HG cos 7 9 sin I K J ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) sin ) h ) sin ) cos. cos = a olduðuna göre, sin(0 ) + cos(60 + ) cos( + 70 ) ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) ) a ) ) a a a. I HG K J I HG K J h I sin tan HG K J 9 sin cotc7 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) sin ) tan ) cot. HG I KJ cos( ) sin cos sin( ) ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin ) sin ) 0 ) cos ) cos HG I KJ 8 6. c h c I h c h HG K J sin 90 cos 0 tan tan ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) sin ) ) cos
6. trigonometri - tan0 = m olduðuna göre, tan70tan00 tan70cot00 ifadesinin m türünden deðeri nedir? b b b g g g tan70 tan 800 tan0 m tan00tan 900 cot0 m cot00cot 900 tan0 m m tan70tan00 m tan70cot00 m m I HG K J m b g mm e j. cot70 = a olduðuna göre, cot cot cot 00tan0 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) a ) a ) a ) a ) a. 0 ve cot olduðuna göre, c h c h c h sin sin cos cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ). tan = a olduðuna göre, tan6 tan0 tan6tan0 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? a a a ) ) ) ) ) a a a a. sin = a olmak üzere, tan 70 tan 80cos 6 sin ifadesinin a türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) + a a a ) ) a a. 0 ve sin olduðuna göre, c I I h HG c h HG K J 7 sin cos tan tan KJ iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 8 6. tan98 = olmak üzere, tan6cot08 tancot ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) )
y olduðuna göre, sin( + y) + cos( + y) ifadesi kaçtýr? 6. trigonometri - y y b g b g I HG K J b g b g sin y cos y sin cos sin cos cos cos 0 I HG K J HG HG I K J I KJ. a b = 90 olmak üzere, cos(a b) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cosa ) sina ) 0 ) sina ) cosa. ve sin 6 olduðuna göre, cos kaçtýr? c ) ) ) ) ) 6 h. + y = olduðuna göre,. y olmak üzere, tan( + y) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) tany ) tan ) coty sin( + y) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) siny ) cosy ) cosy ) siny ) siny ) sin. y olduðuna göre, tan( + y).tan( + y) çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) tany ) ) tan ) coty ) 6. ab olmak üzere, cos(a b) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) sina ) sin(a b) ) cos(a b) ) cos(a b) ) sina 86
6., ve bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olduðuna göre, trigonometri - sin sin ifadesinin deðeri kaçtýr? Üçgenin iç açýlarý toplamý 80 olduðundan + + = dir. sin + cos veya sin cos dir. O halde, sin sin cos sin olur.. ir üçgeninde iç açýlarýn ölçüleri, ve ise, cos + cos( + ) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) cos ) 0 ) cos )., ve bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, cos sin ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) 0 ) ) cos ) sin. ir üçgeninde, ve iç açýlarýn ölçüleri olmak üzere, sin sin( + ) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) 0 ) ) sin ) cos ) sin., ve bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, cot HG I KJ cot ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cot ) ) 0 ) ) tan., ve bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, tan + tan( + ) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 6., ve bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, cos cos tan tan ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) tan ) tan ) tan ) 0 ) ) ) ) sin ) cos cot 87
6. sin + sin6 + sin7 + sin8 +... + sin + sin + sin toplamýnýn deðeri kaçtýr? trigonometri - sin = sin sin = sin6 sin = sin7 sin = sin8 olduðundan sinsin6sin7 sin79 sin80 sin8 sin sin80 0 olur. sin79 sin. = cot.cot.cot..... cot88.cot89 olduðuna göre, nýn deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) sin ) ) sin7. sin sin sin sin 88 sin 89 tantantan tan88tan89 oraný kaçtýr? 89 ) 0 ) ) ) ) 89 89. = sin0 + sin0 + sin0 +... + sin0 + sin0 olduðuna göre, kaçtýr? ) 0 ) 8 ) 6 ) ) 0. sin6 + sin9 +... + sin + sin toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) 6. n = 80 olmak üzere,. cot0 + cot0 + cot0 +... + cot70 toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) cos + cos + cos +... + cos n toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 90 ) 89 ) 88 ) ) 0 88
6. trigonometri - 6 yamuk // = 6 birim, = birim, = birim, = birim olduðuna göre, sin(é) kaçtýr? 6 6 noktasýndan ye paralel doðrusu çizilirse; = = birim, = = 6 birim = 6 = birim olur. üçgeni (,, ) üçgeni olduðundan m(é) = 90 dir. m(é) = alýnýrsa iç ters açýlardan m(é) = olur. O halde, sin(é) = sin(90 + ) = cos olur.. dik üçgeninde m(é) = 60 m(é) = = 60 Yukarýda verilenlere göre, tan kaçtýr? ) ) ) 6 ) ). dik üçgen = birim = birim m(é) = m(é) = y Yukarýda verilenlere göre, sin + cosy kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). dik yamuðunda. dik üçgen = birim = birim = 7 birim Yukarýda verilenlere göre, cos(é) kaçtýr? [] [] = 0 cm = cm m(é)= ) ) ) Yukarýda verilenlere göre, cot kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) 89
0, H G I K J olmak üzere, 6.6 trigonometri - sin olduðuna göre, cos.(tan cot) ifadesinin deðeri kaçtýr? ir açýnýn trigonometrik oranlarýndan biri biliniyorsa diðerleri dik üçgen çizilerek bulunabilir. sin olacak þekilde bir dik üçgeni çizilsin. = br, = br alýnýrsa pisagor baðýntýsýndan = br olur. 0, H G I K J olduðundan;. bölgede bütün trigonometrik fonksiyonlar pozitiftir. O halde una göre, cos, tan, cot b olur. cos tan cot g I 7 HG K J 7 0 dir.. 0 olmak üzere, sin olduðuna göre, sec kaçtýr? ) ) ) ) ). 0, olmak üzere, H G I K J sin = olduðuna göre, tan kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 7. 0 < < 90 olmak üzere, tan. 0, olmak üzere, H G I K J cos olduðuna göre, sin cos farký kaçtýr? 7 ) 7 ) ) ) ) ise, tan HG I KJ cot kaçtýr? 7 ) ) ) 0 ) ) 7 HG I KJ 90. 0 < < 90 olmak üzere, cot ise, sin sin cos cos kaçtýr? cos ec tan ) ) ) ) ) 7 6. 0, olmak üzere, H G I K J sin cos olduðuna göre, cos kaçtýr? ) ) ) ) )
6.7 trigonometri -, ve tan H G I K J olduðuna göre, sin, cos ve cot deðerlerini hesaplayýnýz. H G, I K J fonksiyonlarý negatif olacaktýr. (9.6) dan farký açýsýnýn geniþ açý olmasýdýr. u tür problemlerde i dar açý kabul edip dik üçgen çizilir. aha sonra trigonometrik fonksiyonlarýn iþaretleri açýsýnýn bulunduðu bölgeye göre belirlenir. tan tan seçilirse, pisagor teoreminden = br olur. olduðundan = br, = br yani açýsý IV. bölgede olduðundan kosinüs fonksiyonu pozitif, sinüs ve kotanjant sin, cos, cot olur.. ve sin olduðuna göre, tan kaçtýr? ) ) ) ) ). 90 < < 70 ve sin olduðuna göre, tan deðeri kaçtýr? (Ýpucu : sin ( ) deðer aldýðýndan (80, 70 ) olduðuna dikkat ediniz.) ) ) ) ) )., olmak üzere, cos tür. H G I K J una göre, cot ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) 7 ) ) ) 6. (, ) olmak üzere, tan tür. sin cos una göre, oraný kaçtýr? sin cos. olmak üzere, sin cos cos sin 7 olduðuna göre, cos kaçtýr? ) ) ) ) ) 9 6. 7 ) ) ) ) ) 7 8 ab ve cosc6ab olduðuna göre, cotb deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) h
TRM TSTÝ. trigonometri -. Ölçüsü ( 0 ) olan açýnýn esas ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) 90 ) 0 ) 0 Yukarýdaki açýlardan hangilerinde O yönlü açýsý doðru verilmiþtir? ) Yalnýz ll ) Yalnýz lll ) l ve ll ) l ve lll ) ll ve lll 6. sas ölçüsü 0 grad olan açý aþaðýdakilerden hangisi olamaz? ) 770 G ) 70 G ) 70 G ) 0 G ) 0 G. radyan ile 0 grad toplamý kaç derecedir? ) ) ) 7 ) 60 ) 6 7. I radyanlýk açýnýn esas ölçüsü kaç radyandýr? HG KJ ) ) ) ) ). 7 saniyelik açý kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir? ) 0 7 ý ýý ) 0 7 ý ýý ) 0 0 ý 0 ýý ) 7 ý ýý ) 7 7 ý ýý 8.. = y = ý ýý z = 0 ý 0 ýý olduðuna göre, (y + z) iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) 9 ýý ) ý ýý ) ý ýý ) ý ýý 9 Yukarýdaki koordinat düzleminde, O dik üçgen, m(oë) = 90 (,) m(ëo) = olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? ) ) ) ) )
trigonometri - 9. Yandaki þekil 9 eþ kareden oluþmuþtur. m(ë) = olduðuna göre, sin cos deðeri kaçtýr?. f() = g() = + olduðuna göre, f(sin) + g(cos) toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) ) ) ) 0 ) ). < < olmak üzere, 0. bir karedir. [] [] [H] [] H = H m(hë) = sin. sin cos toplamý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) cos ) 0 ) ) cos Yukarýdaki verilere göre, cot deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). cos + = sin + cos + sin olduðuna göre, cot + tan toplamýnýn deðeri kaçtýr? 9 ) ) ) ) ) 0 0. dik üçgeninde, [] [] [H] [] m(hë) = m(ë) = y tan y = =. sin sin : cot cos ec Yukarýdaki verilere göre, tan deðeri kaçtýr? ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ) cosec ) sec ) ) sec ) cosec 9
trigonometri - 6. tan + cot = olduðuna göre, ifadesinin sayýsal de- ðeri kaçtýr? tan tan ) - ) - ) ) ) 0. aþlangýç kenarý 0 olan ve ölçüsü radyan olan 6 yayýn bitim noktasýnýn koordiatlarý aþaðýdakilerden hangisidir? HG I KJ H I K ), ), ),, G J G H I K HG ), ), G J I KJ H I KJ 7. cos sin sin cos ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) sec ) cosec ) sec ) cosec ). sin cos90 cos80sin cos 0 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 8. f ( ) R S T fonksiyonu verilmiþtir. una göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? HG sin cos, tan cot, I H G ) f 0 ) f ) f KJ 6 KJ HG I I ch H G I K J ) f ) f 0 KJ. sin + cosy = a olduðuna göre, a nýn deðer aldýðý en geniþ aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? ), ) 0, ), ), ) L NM O QP, L NM O QP 9. III.bölgedeki I m noktasý birim çember üzerinde olduðuna göre, m deðeri HG, KJ kaçtýr? ) ) ) ) ) 9. = (sin + cos) ifadesinin alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) ) ò ) ) ò )
trigonometri -. cot tan80 tan.cot 6 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 7. 9 sin90tan cos sin70 iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) 0 ) ) ) 8. sin m olduðuna göre, cos 7. cos 00.tan0 y sin.cot 7 zcos 00cot 9 t cos sin90 olduðuna göre,, y, z ve t nin iþaretleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisidir? ifadesinin m türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) m ) m ) m m ) ) m ),,, + ),, +, ),, +, + ), +,, + ) +,, +, + 9. cos( ) cos( ). tan cos sin sin ( ) HG I K J H G I K J ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? HG I K J ) tan ) tan ) cot ) 0 ) sec 6. a = sin0, b = cos00, c = tan0, d = cot60 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi 0. doðrudur? ) b < d < c < a ) b < d < a < c ) d < b < c < a ) d < b < a < c ) d < a < b < c 9 cos HG I KJ c sin 0 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) sin ) ) sin ) 0 ) - h
. tan = a olduðuna göre, tan7tan tan 7.tansin sin 77 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? a ) ) a ) a a a a ) a ) a a a. trigonometri - paralelkenar = 8 br = br m(ë) = 90 ise, tan(ë) deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. y ve cos olduðuna göre, sin( + y) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 6. 0 olmak üzere, sin olduðuna göre, tan deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7. ir üçgeninde, ve iç açýlarýn ölçüleridir. sin( ) olduðuna göre, cos nin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? 6 ) ) ) ) ). sin +sin 6 +sin 9 +...+sin 87 +sin 90 toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) 6 ) ) 7. H G I K J, olmak üzere, sin olduðuna göre, tan + cot toplamý kaçtýr? ) ) ) 9 9 ) ) 0 96
KONU TSTÝ. 6 saniyelik açý kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir? ) 8 0 ýý ) 7 ý 0 ýý ) 7 0 ý ýý ) 7 ý ýý ) 7 ýý 6. c h c h trigonometri - sin tan cot cos ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) sin ) cos ) tan HG I K J. üçgeninde m(ë) = 8 ý ýý m(ë) =.s(ë) olduðuna göre, m(ë) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) 0 ý ýý ) 0 ý ýý 7. a = tan 0, b = sin 0 c = cos 90, d = cot 0 olduðuna göre, a, b, c ve d nin iþaretleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisidir? ) +, +, +, ) +,, +, + ), +,, ) +, +,, + ),, +, ) 00 0 ý 6 ýý ) 98 ý 0 ýý ) 9 0 ýý. 7 radyan ise, nýn esas ölçüsü kaç radyandýr? 0 ) ) ) ) ) 7 7 7 7 7 8. a = sin 90 b = cos 0 c = sin 0 d = cos 0 olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur? ) d < c < a < b ) a < c < b < d ) c = d < a < b ) c < a < d < b ) d < c < b < a. f() =.cos siny + fonksiyonunun alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) ) ) ) ) 0 9. ch f sin tan cos ec cos olduðuna göre, f HG I K J deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 0 ). þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) sin 0 + sin 70 = ) tan.cot77 = ) cot cos ec HG I HG ) sin sin KJ ) cos( ) + sin( 6 ) + tan( ) = I KJ 0. þaðýdakilerden hangisi cos ya özdeþ deðildir? HG a I K J ) cos ) sin( a) HG ) cos( a) ) ) sin( a) a I K J coshg a I K J 97
trigonometri -.,, dar açýlarý üçgeninin iç açýlarýnýn ölçüleri ise, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) cos(ë + ë) = cosë ) sinë = sin(ë + ë) ) sin ) cot H G H G I K I K ë ë ë J cos ë ë ë J cot ) sin ë + cos (ë + ë) =. Yandaki þekil tane özdeþ kareden oluþmuþtur. una göre, sin cos farký kaçtýr? 6. cos cot sin cos ec ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) cot ) tan ) 0 ) tan ) cot 7. tan olduðuna göre, 8 m cot cot 9 9 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine cos eþittir? ) m ) m ) m ) m ) m. ) ) ) 0 ) ) sin6 sin8 sin cos 6 cos 8 sin 9 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) 0 ) 8. dik yamuðunda // = birim = birim = 6 birim Yukarýda verilenlere göre, cos(ë) deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 9. üçgeninde = cos ë. ve tan olmak üzere, sincos cot cosec ifadesinin deðeri kaçtýr? 7 ) 7 ) ) 0 ) ) Yukarýda verilenlere göre, cotë deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 0. y olmak üzere,. tan cot olduðuna göre, (tan + cot) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) 7 ) ) ) 6 98 sin y olduðuna göre, cos( + y) deðeri kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) 7
KONU TSTÝ. 9sin + 6cos + sin.cos + ifadesinin alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) 6 ) 0 ) ) ) 6. a.sin cos = a olduðuna göre, a aþaðýdakilerden hangisidir? ) sec ) cosec ) tan ) sec ) cosec. þaðýdakilerden hangisinin deðeri en küçüktür? ) sin 70 ) sin 60 ) cos( 0 ) ) tan ) tan 600 6. 7. ve y olmak üzere, aþaðýdaki ifadelerden hangileri sýfýra eþit olabilir? I. sin + cosy II. III. IV. siny + cos tan + coty sin ) I ve III ) II ve III ) II, III ve IV ) I ve IV ) III ve IV 0 olmak üzere, c h c h c h I HG K J I HG K J c h sin sin cos trigonometri - cos sin cos 9 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cot ) ) ) tan ) cot 8. dik üçgeninde [] [] [H] [] m(é) = H = birim. olmak üzere, sin cos cos sin olduðuna göre, sin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 Yukarýda verilenlere göre, kaç birimdir? ) tan ) cos ) sin ) sec ) cosec 9. c = cos ve s = sin olduðuna göre, (c 6 + s 6 ) (c + s ) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisine aittir? ) sin ) cos ) ) ) sin. = (m.sin n.cos) + (n.sin + m.cos) olduðuna göre, nýn m ve n türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) m + n ) m.n ) m.n ) m + n ) m n 99 0. cot70 = olduðuna göre, sin sin 78 tan00cot 0 cot 00tan0 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) )
trigonometri -. O merkezli yarým çember ve üçgeni verilmiþtir. m(ë)= m(ë)=y tan cot y 9 Yukarýda verilenlere göre, secy deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) 7 ) ) 6. üçgeninde H = cm = 6 cm tan =.tan Yukarýda verilenlere göre, H kaç cm dir? 7 ) ) ) ) ). 0 olmak üzere, sin sin sin sin ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ).tan ).sin ) tan ) sec ).cosec 7. olmak üzere, sin cos sin cos olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). Þekildeki d doðrusu eksenleri (0, 0) ve (, 0) noktalarýnda kesmektedir. 8. olmak üzere, tan cot = olduðuna göre, cos deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) O = ve m(ëo) = olduðuna göre, tan deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 9. (sin + ) ( cosy) çarpýmýnýn alabileceði en büyük deðer kaçtýr? ) ) ) ) ) cos sin. cos sin cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) sin ) tan ) ) cot. tan + cot = olduðuna göre, tan + cot toplamý kaçtýr? ) 7 ) ) 6 ) 0 ) 00 0. O merkezli çeyrek birim çember, çember üzerinde O ekseni [] [O] m(ëo) = = cos Yukarýda verilenlere göre, cos deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 7
ÖSYS SORULRI. Þekilde verilen üçgeninde [], [] ve [] açýortaylar olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi nin deðeri verir? trigonometri -. irbirine eþit ve dýþtan teðet çemberin oluþturduðu dairesel bir zincir, þekilde görüldüðü gibi yarýçapý olan bir çembere dýþtan teðettir. sin0 sin70 cos0 ) ) ) sin0 sin0 cos0 cos0 sin70 ) ) cos0 cos0 (97). 0, k Z (Z tamsayýlar kümesi) k cosk ( ) ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) cos ) ( ) k cos ) cos ) ( ) k sin ) ( ) k Küçük çemberlerin yarýçapý aþaðýdakilerden hangisidir? sin sin ) ) ) sin sin cos cos sin ) ) cos sin (978) 6. N(0, 8), M(6, 0) MëOP=OëPM = PëON = (976). f : g : sin, ( ) olduðuna göre, (f og)() aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) )ñ ) (97) Yukarýda verilenlere göre, sin nýn deðeri nedir? ) ) ) ) ) (979) 7. m(ë) = 60. Þekilde verilen yarý çemberin çapýnýn uzunluðu birim ve TK ile T ayný uzunlukta (0) olduðuna göre, sin ne olur? m(ë) = = cm ) ) ) ) ) (97) 0 Yukarýda verilenlere göre, kaç cm dir? ) ) ñ ) ) + ñ ) 6 (980)
trigonometri - 8. üçgen = = tg=. Yukarýda verilenlere göre, cot nin deðeri nedir? ) ) ) ) ) (ÖYS 98) Þekil, üst tabaný olmayan bir küpün açýlýmý olduðuna göre, tg nin deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) ) (ÖSS 98) 9. I. sin8 II. tg 7 III. cos 60 IV. cot 7 Yukarýdaki trigonometrik deðerlerin iþaretleri sýrasýyla ne olur? ) +,, +, ),,, + ) +,,, + ),,, ) +,,,. þaðýdakilerden hangisi sin a ya özdeþ deðildir? ) sin a ) cos( a) ) cos( a) ) cosa ) sin( a) (ÖYS 98) (ÖYS 98) 0. þaðýdakilerden hangisi sin0 a eþittir? ) sin0 ) cos0 ) sin0 ) sin( 0 ) ) cos( 0 ) (ÖYS 98). tg = olduðuna göre, cos cos.sin ifadesinin deðeri nedir? ) ) ) ) 0 ) (ÖYS 98). a = sin b = sin8 c = sin0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? ) a < b < c ) a < c < b ) b < a < c ) b < c < a ) c < b < a (ÖYS 98). m(ë) = 0 m(ë) = 90 = Yukarýda verilenlere göre, tg(ë) nin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ñ ) ñ (ÖYS 98) 0 6. ikizkenar teðetler yamuk m(ë) = = a = c a > c una göre, cos nýn deðeri nedir? a c a c ) ) ) a c a c a ) ) a c c a c a c a c (ÖYS 987)
trigonometri - 7. bir kare m(ëk) = 90 m(ëh) = 90 H = HK m(ëh) = Yukarýda verilenlere göre, tan nýn deðeri kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) (ÖYS 987). sin9, cos90, tan0 iþaretleri aþaðýdakilerin hangisinde doðru olarak verilmiþtir? sin9 cos 90 tan 0 ) + ) + ) + + ) + + ) + + (ÖYS 988) 8. küp m(ë ý )= ý = ý. c = cos, s = sin olduðuna göre, c 6 + c s + s 6 ifadesinin kýsaltýlmýþý aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin ) ) sin.cos ) ) cos Yukarýda verilenlere göre, tan nýn deðeri nedir? (ÖYS 989) ) ) ) ) ñ ) ñ (ÖSS 988). 9. bir dikdörtgen noktasý [] üzerinde = birim = 6 birim m(ë) = m(ë) = Yukarýda verilenlere göre, tan nýn deðerlerinden biri nedir? ) ) ) ) ) 6 (ÖYS 988) ve noktalarý çemberlerin merkezleri, ortak teðet, merkezler doðrusu, noktasý ile doðrularýnýn kesim noktasý, çemberler noktasýnda birbirine teðet = birim, = 8 birim Yukarýdaki þekilde m(ë) = olduðuna göre, tan nýn deðeri nedir? ) ) ) ) ) 6 (ÖYS 988) 0. O ve O çemberlerin merkezleri O O m(ëo ) = m(ëo )= Þekildeki ve noktalarýnda kesiþen çemberlerin yarýçaplarýnýn oraný aþaðýdakilerden hangisidir? sin cos ) ) ) sin cos cot ) ) cot cos cos tan tan (ÖYS 98) 0. O merkezli birim çember, çember üzerinde O ekseni [] [O] m(ëo) = O merkezli birim çemberde cos = olduðuna göre, kaç birimdir? ) ñ + ) ñ + ) ñ ) ñ ) ñ (ÖYS 996)
é é. K dörtte bir çember yayý O = O = m m(ëok) = Þekildeki O merkezli m yarýçaplý dörtte bir çember biçimindeki havuzun noktasýndan hareket eden ve saniyede 0, m hýzla yüzen bir kiþi, NK yolunu izleyerek t zamanda K noktasýna geliyor. m(ëok) = olduðuna göre, t nin türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0sin ) 0sin ) 00 sin ) 00sin ) 0sin (ÖYS 998) 8. trigonometri - cos cos0 sin0 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ñ ñ ) ñ ) ñ ) ñ + ) ñ + ñ (LYS 0) 6. O y P P Þekildeki O merkezli birim çember üzerindeki P ve P noktalarý O eksenine göre birbirinin simetriðidir. una göre, P noktasý aþaðýdakilerden hangisi ile ifade edilemez? ) (cos( ), sin( )) ) (cos( ), sin) ) (cos, sin) ) (cos, sin( )) ) (cos( ), sin) m(op) m(op ) (ÖSS 006) 7. m(é) = Þekildeki üçgeni bir eþkenar üçgen olduðuna göre, tan kaçtýr? ) ) ) ) ) 0 7 (ÖSS 009 II) 0
Ö L Ü M 7 Trigonometri KÖÞTÞI MÇLR. Sin fonksiyonunun toplam - fark formüllerini uygulayabilme. os fonksiyonunun toplam - fark formüllerini uygulayabilme. Tan fonksiyonunun toplam - fark formüllerini uygulayabilme. ot fonksiyonunun toplam - fark formüllerini uygulayabilme. Toplam - fark formülleri üzerine kurgulanan sorularý çözebilme 6. Geometrik þekillerde toplam formüllerinin yardýmýyla trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini hesaplayabilme 7. Geometrik þekillerde toplam formüllerinin yardýmýyla trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini hesaplayabilme 8. Geometrik þekillerde toplam formüllerinin yardýmýyla trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini hesaplayabilme 9. Geometrik þekillerde fark formüllerinin yardýmýyla trigonometrik fonksiyonlarýn deðerini hesaplayabilme 0. ir açýnýn trigonometrik deðerini toplam - fark formülleri yardýmýyla baþka açýlarýn trigonometrik deðerleri türünden yazabilme. sin =.sin.cos yarým açý formülünü kullanabilme. Sadeleþtirme sorularýnda sin =.sin.cos yarým açý formülünü kullanabilme. a.sin + b.cos ifadesinde b/a = tan dönüþümü yapabilme. cos = cos sin yarým açý formülünü kullanabilme. ir açýnýn cos deðerini bu açýnýn yarýsý ya da iki katýnýn cos deðeri türünden yazabilme 6. Terim ekleyip çýkararak yarým açý formülünü kullanabilme 7. Tan ve cot fonksiyonlarýnýn yarým açý formüllerini uygulayabilme 8. Yarým açý formüllerinin kullanýldýðý sorularý çözebilme
9. Geometrik þekiller üzerinde yarým açý formüllerini uygulayabilme 0. Üç kat ya da çok kat formüllerini çýkarabilme. sina. cosb = / [sin(a + b) + sin(a b)] formülünü uygulayabilme. sina. sinb = / [cos(a + b) cos(a b)] formülünü uygulayabilme. cosa. cosb = / [cos(a + b) + cos(a b)] formülünü uygulayabilme. çýlarýn aritmetik dizi oluþturduðu ifadelerde ters dönüþüm formüllerini uygulayabilme. os fonksiyonuna ait dönüþüm formüllerini uygulayabilme 6. Sin fonksiyonuna ait dönüþüm formüllerini uygulayabilme 7. önüþüm formülleri ile sadeleþtirme sorusu çözebilme 8. çýlarýn aritmetik dizi oluþturduðu ifadelerde dönüþüm formüllerini kullanabilme 9. Tan fonksiyonuna ait dönüþüm formüllerini uygulayabilme 0. ir üçgenin açýlarýnýn trigonometrik oranlarýný dönüþüm formülleri ile iliþkilendirebilme
sin ve sin7 deðerlerini hesaplayýnýz. 7. trigonometri - a ve b herhangi iki reel sayý olmak üzere, sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa... () sin(a b) = sina.cosb sinb.cosa... () ve 7 yi özel açýlara benzeterek yazalým. = 0 ve 7 = + 0 dir. una göre, () nolu formülden : sin = sin( 0 ) = sin.cos0 sin0.cos.. 6 () nolu formülden : sin7 = sin( + 0 ) = sin.cos0 + sin0.cos O b a ÝSPTLSK K KRIÞTIRIR MIYIZ! P a R Q URN P R RP sin(a b) OP OP Q RP OP OP Q OP. OQ RP OQ OP. QP QP Q QP. OQ QP OP OP. RP QP sina.cosb sinb.cosa sin(a +( b)) = sina.cos( b)+ sin( b).cosa sin(a b) = sina.cosb sinb.cosa.. 6 olur.. sin0 deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? 6 6 ) ) ) ) ) 6. sin7.cos cos7.sin farký aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ). sin( + 0 ) + sin( 0 ). ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ñ.sin ) ñ.cos ) ñ ) ñ.sin ) ñ. cos sin. cos sin. cos 0 0 toplamý aþaðýdakilerden hangisine eþittir?. a ve b dar açý olmak üzere; 6. sina = ve cosb = olduðuna göre, sin(a b) deðeri kaçtýr? 6 0 6 ) ) ) 6 ) ) I HG K J I HG K J I HG K J I HG K J sin. cos sin. cos 6 6 ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 ) ) ) ) ) 07
cos + cos toplamýnýn deðeri kaçtýr? 7. trigonometri - a ve b herhangi iki reel sayý olmak üzere, ÝSPT : cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb... () cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb... () () nolu formülden : cos = cos( 0 ) = cos.cos0 + sin.sin0.. 6 () nolu formülden : cos = cos7 = cos( + 0 ) = cos.cos0 sin.sin0 I HG K J L I N MHG K J O Q P I HG K J H G I K J cos(a b) sin (a b) sin a b sin a. cosb sinb.cos a cosa.cosb sinb. sina.. 6 una göre, 6 6 6. cos0 deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) 6 ) ) ) 6 ). 7 7 sin. sin cos. cos 8 8 8 8 ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). cos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) 6 6 ) ). cos6.cos0 + sin6.sin0 ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). cos(a + b). cosb + sin(a + b). sinb 6. ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cosa ) cosb ) ) sina ) sinb cos. cos 9 sin. sin 9 sin 8. cos 9 sin 9. cos 8 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 08
7. trigonometri - tan ve 7 tan deðerlerini hesaplayýnýz. Uygun koþullarda tana + tanb tan(a + b) = tana.tanb tana tanb tan(a b) = +tana.tanb una göre, () nolu formülden...()...() tan 7 tan tan tan I HG K J tan.tan ÝSPTLYLIM! sin(a +b) tan(a +b)= cos(a +b) sina.cosb + sinb.cosa = cosa.cosb sina.sinb Pay ve payda cosa.cosb ile bölünürse sina sinb + cosa cosb tana +tanb = = sina.sinb tana.tanb cosa.cosb ( ) bulunur. () nolu formülden, tan = tan( 0 ) = tantan0 tan.tan 0 bulunur.. tan ifadesinin deðeri kaçtýr? )+ñ ) ñ + )+ñ ) ñ +ñ ) ñ. tan = ve tany = olduðuna göre, tan( + y) deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ).. tan + tan tan. tan ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) I HG K J I HG K J I HG K J I tan tan HG K J tan.tan ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) 09. olduðuna göre, tan deðeri kaçtýr? ) 8 tan = ve tan( ) = ) 8 6. ve dar açý olmak üzere, ) ) 7 tan = ve tan= olduðuna göre, + toplamý kaç derecedir? ) 8 ) 0 ) ) 60 ) 7 ) 90
cot ve cot7 deðerlerini hesaplayýnýz. 7. trigonometri - Uygun koþullarda; cota.cotb cot(a + b) = cota + cotb cota.cotb + cot(a b) = cotb cota...()...() u formülleri ezberlemeye gerek yok. cot(a b) tan(a b) yi hesaplamak için yi hesaplayýp cot(a b) = tan(a b) eþitliðinden yararlanýrýz. olduðundan () nolu formülden cot.cot cot cot I bulunur. HG KJ cot cot 7. cot ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) +ñ ) ñ ) ñ + ) ñ ) ñ. cota = ve tanb = olduðuna göre, cot(a b) kaçtýr? ) 8 ) 7 ) ) ).. cot69.cot8 cot69 cot8 ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ñ ) ) ) ñ ) cot.cot + cot cot ifadesinin deðeri kaçtýr?. tan = ve coty = olduðuna göre, + y toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 0 ) ) 60 ) 7 6. cot0 = olduðuna göre, cot nin türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? (Yol gösterme : = + 0 ) ) ) ) ) ) ) + ) ) ) ) 0
7. trigonometri - 0<< ve y olmak üzere, sin = ve cosy = olduðuna göre, tan( + y) deðeri kaçtýr? tan + tany tan( + y) = tan.tany dir. Önce tan ve tany yi hesaplayalým. tan = tan ve tany deðerleri formülde yerine yazýlýrsa: + 6 tan( + y) = = olur.. 6 tany = y. 0, ve tan = olduðuna göre, sin ifadesinin deðeri kaçtýr?. (0,90 ) olmak üzere, sin = ve cos = olduðuna göre, tan( ) deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 6 6 ) ) 6 6 ) ) ) ) 6 +8.,y 0, olmak üzere, olduðuna göre, cos( y) deðeri kaçtýr? ) 6 6 ) 6 6. a,b 0, olmak üzere, sin = ve cosy = ) 0 ) 6 tana = ve cotb = olduðuna göre, sin(a + b) deðeri kaçtýr? ) 7. << ve <y< olmak üzere, sin = ve tany = ) ise, cos( + y) nin deðeri kaçtýr? ) ) ) 6. I,y 0, olmak üzere, tan ve tany HG K J olduðuna göre, cot( y) nin deðeri kaçtýr? ) + ) ) ) ) ) 7 0 ) ) ) ) 0 )
7.6 trigonometri - ve G birer kare, G G =. G olduðuna göre, tan(ég) kaçtýr? G kare olduðundan m(ég) = olur. k G a k k k m(ég) = a olsun. G =. G G = k, G = k ve = k G dik üçgeninden m(ég) = m(ég) + m(ég) olduðundan tan(g) é tan(a ) tana tan olur. tana.tan k tana = = = tür. G k. m(é) = m(é) = 90 II = birim II = birim II = birim olduðuna göre, cos(é) deðeri kaçtýr? 6 0 ) ) ) ) ) 6 6 6 67. ve G kare.ii =.II ) 6 G ) ) olduðuna göre, sin(ég) deðeri kaçtýr? ) 6 6 ). Yandaki þekil 6 özdeþ kareden oluþmuþtur. una göre, m(é) kaç derecedir?., G ve GHKL birer kare, II =.II =.IKLI L K olduðuna göre, G H cot(éh) kaçtýr? ) ) 0 ) ) 0 ) 60 ) 7 ) 7 ) ) ) 7
7.7 trigonometri - kare, G =, = m(ég) = olduðuna göre, tan kaçtýr? a b G 6 karesinde = = = = 6 cm olsun. u durumda, = = cm, = cm, = cm olur. G üçgeninde m(é) = a ve m(ég) = b ise, m(ég) = = a + b olur. de O halde, tan = tan(a + b) = 6 tana 6 tana + tanb tana.tanb. ve de 7 7olur. tanb 6 olur.. kare, II = II m(é) = olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). dikdörtgen, G II II = II = II =.II, m(ég) = olduðuna göre, tan kaçtýr? 0 ) ) ) ) ). kare, II II =, II =.II ) 7 0 K ) olduðuna göre, sin(ék) deðeri kaçtýr? ) ) ) 7 0. dikdörtgen,.ii =.II =.II K II = II ise, ) ) 6 6 ) sin(ék) nin deðeri kaçtýr? 0 ) 6 7 ) 6
é é köþetaþý a b karesinde, = br = br = br 7.8 m(é) = ise, tan kaçtýr? kare ise, = = + = br m(é) = a ve m(é) = b alýnýrsa = 80 (a + b) olur. una göre, tan = tan(80 (a + b)) = tan(a + b) dir. de tana ; de tanb tür. tana + tanb O halde, tan = tan(a + b) tan = tana.tanb. bulunur. trigonometri -. üçgeninde m(é) = m(é) = 90 II = br, II = br II = br, II = br m(é) = olduðuna göre, cos deðeri kaçtýr?. kare, II =.II II = II m(é) = ise, cot kaçtýr? 0 9 ) ) ) ) ) 6 67 67 6 6 ) ) 7 6 ) ) 6 7 ). [] [] [] [] II = cm, II =cm II = cm, II = cm m(é) = ise, tan kaçtýr? ) ) ) ) ). dikdörtgen II = br Il = 6 br II =.II ise 6 tan(é) kaçtýr? ) ) ) ) )
9 7.9 dikdörtgen, = 9 br = br = br m(é) = olduðuna göre, tan kaçtýr? trigonometri - y 9. Yol : m(é) = y ve m(é) = olsun m(é) = y olursa m(é) = + y olur. dik üçgeninde dik üçgeninde, tan tan tany 9 tan( y) tan.tany tan. 9 tan tan bulunur. dik üçgeninden tan = = = ; dik üçgeninden 9 tany = tür. tana tany 9 tan tan( y) tan.tany. 9 olur. tan() é = tany = ise 9 tür. 7 tan tan 9 tan( + y) = =. kare, II II m(é) = olduðuna göre, tan kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 6. dikdörtgen [], II =.II II =.II m(é) = ise, tan nýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). dik üçgeninde II = cm, II = cm II = 7 cm m(é) = ise, cot nýn deðeri kaçtýr? 6 ) ) ) ) ) 7 7 0 6. karesinde.ii = II ise cot(é) kaçtýr? ) 8 ) 7 ) ) ) 7
7.0 trigonometri - tan = m olduðuna göre, tan0 nin m türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) m m ) m ) m ) m ) m m m m m tan = m cot = m tan = m dir. tantan m tan0 tan( ) m tan.tan m. m m m olur.. tan 0 = a ve tan = b olduðuna göre, tan nin a ve b türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? a+b a+b a a b a b ) ) ) ) ) ab ab b a + ab. sin = a ve cos = b olduðuna göre, cos nin a ve b türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? )a.b (a )(b ) ) (b )(a ) ) a b ) a.b (b )(a ) ) a.b a b. tan 0 = ve cot 7 = y olduðuna göre, cot6 nin ve y türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? y y + y + y ) ) ) ) ) y + +y +y y y. tan = ve cot = y olduðuna göre, tan ifadesinin ve y cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? +y y y )+y )y ) ) ) y + y + y. sin = m ise, sin8 nin m cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? (Yol gösterme : 8 = 0 ) ) m ) m m ) m m ) m m ) m m 6. tan = m olduðuna göre, tan66 nin m cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? m m+ m ) ) ) m m m m m ) ) m m 6
sin cos = 7. ise, sin ifadesinin deðeri kaçtýr? trigonometri - ir açýnýn trigonometrik oranlarý biliniyorken bu açýnýn iki katý ve yarýsýnýn trigonometrik oranlarý hesaplanabilir : sin = sin.cos dir. Soruda verilen eþitliðin her iki tarafýnýn karesini alalým. (sin cos) = sin sincos + cos = sin.cos = sin = sin = sin = olur. sin sin + cos sin.cos = sin YRIM ÇI ORMÜLÜ TOPLM ORMÜLÜNN GLÝR. sin = sin( + ) = sin.cos + sin.cos = sin.cos enzer þekilde; sin = sin.cos sin0 = sin0.cos0 sin = sin cos dýr. 8 6 6. a a sin cos olduðuna göre, sina kaçtýr? 7 8 ) ) ) ) ) 9 9. sin7.cos7.cos0 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 8. sin. cos 8 8 çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? ) ). 0<< ve sin = ) ) ). ifadesinin deðeri kaçtýr? ) cos.cos.cos ) 6. sin + cos ) ) 8 ) 6 olduðuna göre, sin deðeri kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 8 ) 7 ) ) ) ) ) 8 7
cos70 = a ise, sin + sin sin80 sin0 7. ifadesinin a cinsinden deðeri nedir? trigonometri - sin + sin ifadesinde açýlarý birbirine benzetmeye çalýþalým. sin80 sin0 sin = cos ve sin80 = cos0 olduðundan bu deðerleri verilen ifadede yerine yazýp payda eþitleyelim. sin(0 ) sin sin cos sin cos.sin0 sin.cos0 sin80 sin0 cos0 sin0 sin0.cos0 (sin0 ) (cos0 ) sin0 sin (sin0 cos70 a) sin0 sin0 sin0 a. cos sin cos sin ifadesinin deðeri kaçtýr?. cos sin + cosec.sin cos sin ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) sec ) ) cosec ) ) sin ) ) ) 0 ). sin cos sin cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) tan. olduðuna göre, tan deðeri kaçtýr? ) sin.sin + cos.cos = sin.cos ) ) ) ). 6sin. sin8 cos6.cos9 sin6.sin9 olduðuna göre, nýn deðeri kaçtýr? ) cos6 ) sin6 ) ) ) 6 6. ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) sin.cos7 + cos.sin7 6cos8.cos6 ) ) ) ) 6 8
+ cos0 sin0 7. ifadesinin deðerini hesaplayýnýz. trigonometri - Püf noktasý : tan60 = ñ olduðundan ñ yerine tan60 yazýlýr. + = cos0 +.sin0 cos0 + tan60.sin0 sin0 cos0 sin0.cos0 sin0.cos0 (cos0 ) (sin0 ) cos(60 0 ) cos0 + sin60 sin0 cos60 (cos0.cos60 + sin60.sin0 ). = = sin0 cos60.sin0 sin0 (cos0 ) cos0 sin0. = =. =. =. sin0.cos0 = 8.cos0.sin0 sin0 sin0 sin0 N ÝÇÝM ÖNÜÞÜM! a.sin+b.cos biçimindeki sin ve cos e göre lineer olan ifadelerin dönüþümü: b asin +bcos = a sin + cos a b = tan yazýlarak a a(sin +tan.cos) sin = a sin +.cos cos sin.cos + sin.cos =a cos a.sin( + ) = cos þeklinde yapýlýr.. ñ.sin + cos ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ñ ) ñ ) ) ñ. sin cos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ñ6 ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ. y olmak üzere,. cot 0 ñ tan.siny + cosy ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) 0 ) ) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? cos0 (Ýpucu : cot 0 dir.) sin0 ) tan0 ) ) ) cosec0 ) sec0. sin0 cos0 6. sin cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) sec0 ) cosec0 ) tan0 ) sec0 ) cosec0 ) sec ) ) ñ ) ñ 9
7. trigonometri - cos6 = + ise, cos7 nin deðeri kaçtýr? KOSÝNÜS ÝT YRIM ÇI (ÝKÝ KT) ORMÜLÜ : cos = cos sin cos = cos (sin = cos olduðundan) cos = sin (cos = sin olduðundan) u formüllerden ikincisi kullanýlýrsa : cos7 cos(.6 ) cos 6. HG 6 HG I KJ bulunur. I KJ Ýspatý Toplam ormülüne ayanýr : cos() = cos( + ) = cos.cos sin.sin = cos sin. cos 7 ifadesinin sayýsal deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). sin 8 ifadesinin sayýsal deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) ) ) ). cos sin ifadesinin sayýsal deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). sin cos cos6 ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin6 ) cos6 ) tan ) ). cos cos ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) tan ) cot ) ) tan ) cot 0 6. ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) 6 6 cos sin 8 8 ) ) 7 ) 6 )
7. sin = k olduðuna göre, sin6 nin k cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) k ) k ) k ) k ) k sin6 = cos6 dir. Yarým açý formülünden cos6 = cos(. ) = sin = k olur. trigonometri -. cos m 9 olduðuna göre, sin 8 nin m türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) m ) m ) m ) m ) m. sin = k olduðuna göre, sin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? k k ) ) ) k ) k ) k. cos = a olduðuna göre, sin nin a türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?. 0 < a < ve olduðuna göre, a sin cosa aþaðýdakilerden hangisidir? 6 6 ) ) ) ) ) 6 ) a ) a a ) a. sin = a ) a a ) a a olduðuna göre, cos90 nin a türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a ) a ) a ) a ) a 6. sin6 = k olduðuna göre, sin8 sin.cos.cos8 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? k k ( k ) ) ) ) k k k ( k ) ) ) k k
cos + sin 7.6 ifadesinin deðeri kaçtýr? trigonometri - Toplamlarý 90 olan iki açýdan birinin sinüsü diðerinin kosinüsüne eþittir. una göre, + = 6 = olduðundan sin = cos olur. cos + sin = cos + cos =cos + cos. (þitliði yarým açý formülüne dönüþtürmek için eþitliðe + ekleyelim.) =cos += + 6. cos sin 8 8 olduðuna göre, kaçtýr? ) + ) ) + ) ). cos 0 + sin toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. 9 k sin cos 8 8 ise, k kaçtýr? ) ñ ) ñ ) + ñ ) +ñ ) + ñ..sin cos sin.sin ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) (ñ+) ) ( ñ) ) ñ+8 ) ñ+ ) ñ+..sin tan0.tan80 ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? 6. k cos sin tan.tan7 ) ) ) ) ) olduðuna göre, k kaçtýr? ) ñ )ñ )ñ ) ñ + )ñ +
tan 8 ifadesinin deðerini hesaplayýnýz. 7.7 trigonometri - tan = olsun. + = 0 8 Ortaya çýkan ikinci dereceden denklemin çözümü: = b ac =..( ) = 8 tan tan tan cot cot cot una göre,. olduðundan 8 tan.tan tan. 8 8 8 tan tan 8 8 tan tan tan tan 0 8 8 8 8 b 8, = = = = a tan > 0 olduðundan tan = + bulunur. 8 8 N RHT ÇÖZÜLÜYOR!,, tan, = = + ÝR TN H : 7, 8+ tan = + tan(7,) = + + 8+ 0. 0 ve tan olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). tan ise, cot ifadesinin deðeri kaçtýr? cos sin. olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? cos sin. ) ) ) ) ) tan ve tan olduðuna göre, cos in deðeri kaçtýr? ) ). tan80 = m ) ) olduðuna göre, cot70 nin m türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? m m ) ) m m ) m m ) m m ) ) m m ) ) ) ) ) 6. tan = olduðuna göre, cot8 nin cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) )
7.8 trigonometri - sina + cosa = sina cosa ) 6 olduðuna göre, sin a deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 sin a sin a (cos a) cosa cosa (sin a) sina.cosa cosa.sin a sin a.cosa sin(a a) sin a.sin a sin a.. sina.cosa cosa sin a (cosa sin a) sina sin a sin a 8 bulunur.. sin cos cos sin ise, tan ifadesinin deðeri kaçtýr?. olmak üzere, sin cos 0, olduðuna göre, tan kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 6. cos sin olduðuna göre, cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) 9 7 ) ) ) ) 9 9 7. sin ise, cos deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) ) 7 ) ) ) 9 9 9 9. olmak üzere, tan olduðuna göre, sin + sin + cos ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 7 ) ) ) ) ) 7 6. tan + cot = 8 olduðuna göre, cos8 deðeri kaçtýr? ) 7 ) ) ) ) 8 8
7.9 trigonometri - üçgeninde [] [] = = br, = br m(é) = olduðuna göre, cos kaçtýr? a a de = olduðundan m(é) = m(é) = a olsun. = a + a = a olur. dik üçgeninde cosa = = tür. cos = cos(a) = cos a =. =. 9 = 6 8. üçgeninde [] [], II = II II = br, II = br m(é) = ise, tan kaçtýr? ) ) ) ) ). dik üçgen açýortaydýr. II = br, II = br ise ) ) 6 7 ) 0 7 sin(é) kaçtýr? ) 9 69 ) 0 69. üçgeninde II = 8 cm, Yukarýdaki verilere göre, sec kaçtýr? II = cm m(é) = m(é) = ) ) ) ) ). dikdörtgen 9 II = cm, II = 8 cm II = 9 cm 8 m(é) = ise, cosec kaçtýr? ) 8 0 7 ) ) ) ) 0 7 0. O merkezli çemberde ve teðetlerin deðme noktasýdýr. O II = cm IOI = cm Yukarýdaki verilere göre, sin(é) kaçtýr? ) 7 6. Yandaki þekilde, ) 7 ) 7 ) 7 [] [], II = II.II =.II m(é) = Yukarýdaki verilere göre, sin kaçtýr? ) 7 9 0 ) ) ) ) ) 69 69 69 69
7.0 trigonometri - sina = sina sin a olduðunu gösteriniz. a = a + a biçiminde düþünülürse : sina = sin(a + a) = sina.cosa + sina.cosa (sina = sina.cosa ve cosa = sin a) = sina.cosa.cosa + sina( sin a) = sina.cos a + sina sin a = sina( sin a) + sina sin a = sina sin a + sina sin a = sina sin a bulunur.. cos = cos cos olduðunu gösteriniz.. sin = 8sin.cos sin.cos olduðunu gösteriniz.. tan tan tan tan olduðunu gösteriniz.. cos = 8cos 8cos + olduðunu gösteriniz.. cot a cot a cot a cot a olduðunu gösteriniz. 6. sin = 6sin.cos sin.cos + sin olduðunu gösteriniz. 6
7. sin0.cos80 çarpýmýnýn deðerini hesaplayýnýz. trigonometri - Önce ters dönüþüm formüllerini verelim:... sina.cosb = sina.sinb = cosa.cosb = sin(a+b)+sin(a b) cos(a+b) cos(a b) cos(a+b)+cos(a b).formülden sin0.cos80 sin(080) sin(080 ) L M NM sin0 sin( 0 ) sin0 sin0 olur. M P O P QP ÝSPTLYLIM sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a b) = sina.cosb sinb.cosa eþitlikleri taraf tarafa toplanýrsa sina.cosb = [sin(a + b) + sin(a b)] eþitliði elde edilir.. sin.cos 8 8. cos0 cos.sin çarpýmýnýn deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ) ) ) 6 ) ). cos0 =. olduðuna göre, sin0.cos0 çarpýmýnýn deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) sin. cos çarpýmýnýn deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). 8 = 6. olduðuna göre, sin +.sin.cos ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) sin.cos cos70 ) ) ) ) 7
sin.sin 7. çarpýmýnýn deðerini hesaplayýnýz. trigonometri - u sorunun çözümü için, sina.sinb = [cos(a + b) cos(a b)] ters dönüþüm formülü kullanýlýr. una göre, sin.sin = cos + cos = cos cos = 0 = olur. ÝSPTLYLIM cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb eþitlikler taraf tarafa çýkarýlýrsa sina.sinb = [cos(a + b) cos(a b)] eþitliði elde edilir.. iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin0.sin0 sin0 ) ) ) ) 6. 0 ve tan olmak üzere, sin.sin ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 8 9 ) ) ) ). sin. sin çarpýmýnýn sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) cos ) cos ) cos ) cos ). sin70.sin0 sin9.cos çarpýmýnýn sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). ve rasyonel sayý olmak üzere, olduðuna göre, + toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 6. = 8 + sin. sin olduðuna göre, sin.sin ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 8
.cos0 cos70 7. iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? trigonometri - ) ) ) ) sec0 ) tan70 cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a b)] olduðundan.cos0.cos70 cos0 cos70 cos70. cos(0 70 ) cos(0 70 ) cos70 (cos0 cos( 0 ) ) cos70.cos0 cos70.cos70 olur. cos70 ÝSPTLYLIM cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb eþitlikler taraf tarafa toplanýrsa cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a b)] eþitliði elde edilir.. cos0.cos çarpýmýnýn sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. 0 = olduðuna göre, cos7.cos cos.cos sin sin ifadesinin sadeleþmiþ biçimi nedir? ) cot ) tan ) tan ) cot ). sin80 = ise, cos0.cos0 çarpýmýnýn türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? HG cot.cot Ýpucu : cot cos.cot sin cos. sin I KJ. cos.cos6 +.cos70 iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 7 9 6. ) ) ) ) ) sin olduðuna göre, cos.cos çarpýmýnýn deðeri kaçtýr? I HG K J HG ) ) ) ) ) 0 I K J
cos0.cos0.cos60.cos80 7. çarpýmýnýn deðerini hesaplayýnýz. trigonometri - cos 0.cos 0. cos60.cos80 ters dönüþüm [cos(0 0) cos(0 0)]..cos80 [cos60 cos 0]..cos80 cos 0.cos80 cos80 cos 0.cos80 cos80 ( cos(80 0) cos(80 0) ) cos80 (cos00 cos60 ) cos80 cos00 cos60 cos80 / cos80 cos80 6. Yol : çýlar birbirinin katý biçimindedir. (0, 0, 80 gibi) Çözüm için sinüsün yarým açý formülünden yararlanarak; ifadeyi sin0 ile çarpýp bölelim. cos0.cos0.cos60.cos80 sin0.cos0.cos0.cos60.cos80 = sin0 sin0.cos0. cos80 = sin0..sin80.cos80...sin60 = = sin0 sin0 sin(80 _ 0 ) sin0 8 = = 8 = sin0 sin0 6. cos.cos.cos8.cos96 çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. sin0.sin0.sin0.sin70 çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 6. cos0.cos0.cos70 çarpýmý kaçtýr?. cos6.cos.cos.cos8 çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 9 ) ) tan 6 ) cot 6 6 8 8 ) tan6 ) cot 6 6 6. cos0.cos0.cos80 sin0 ifadesinin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? 6. 7 tan.tan.tan çarpýmý kaçtýr? 8 8 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0
. cos0 + cos deðerini bulunuz.. cos cos deðerini bulunuz. ÖNÜÞÜM ORMÜLLRÝ.. cosa + cosb = cos a+b.cos a b cosa cosb = sin a+b.sin a b cos0cos cos 0.cos 0 cos 0.cos90 cos60.cos.. olur. 7. cos cos = sin +.sin = sin.sin trigonometri - TRS ÖNÜÞÜM ORMÜLLRÝNN ÖNÜ- ÞÜM ORMÜLLRÝNÝN L ÝLMSÝ cos.cosy = [cos( + y) + cos( y)] sin.siny = [cos( + y) cos( y)] eþitliklerinde + y = a ve y = b dönüþümleriyle a+b a b = ve y= yazýlýrsa : bulunup yerine a+b a b cosa + cosb = cos.cos a+b a b cosa cosb = sin.sin elde edilir.. cos7 + cos ifadesinin sayýsal deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?. sin = k olduðuna göre cos 6 cos ifadesinin k türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? 6 ) ) ) ) ) ) k ) k ) k ) k ) k. 7 cos cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir?. cos sin toplamýnýn deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 6 ) ñ ) ) ) ñ ) ñ6 ) ) ) ) ). ab olduðuna göre, cosa cosb ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ab a b sin ) sin ) ab a b ) sin ) sin 6. + cos aþaðýdakilerden hangisine eþittir? (Ýpucu : cos0 = olduðuna dikkat edin.) ) cos ) cos ) sin ) sin ) cos
7.6 þaðýdaki ifadeleri hesaplayýnýz.. sin + sin 7. sin70 cos70 trigonometri - ÖNÜÞÜM ORMÜLLRÝ sina + sinb = sin a+b.cos a b sina sinb = sin a b.cos a+b. 7 7 + 7 sin + sin =. sin.cos 6 =sin.cos =.. =. sin70cos70sin70sin0sin 700.cos 700 sin.cos.sin. sin 7. sin sin ifadesinin deðeri kaçtýr? 6 6 ) ) ) ) ) sin7 + sin. ifadesinin deðeri kaçtýr? sin7 sin ) ) ) ) ) sin70cos70. ifadesinin deðeri kaçtýr? sin0 ) sec ) sec ) sec ) cos ec ) cos ec. sin70 sin0 cos0 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). cos8 = m olduðuna göre, sin 8 sin ifadesinin m türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) m ) m ) m ) m ) m 6. ifadesinin deðeri kaçtýr? cos sin 6 ) ) ) 6 ) ) 6
ë ë ë ë ë köþetaþý = olmak üzere, sin.cos8 sin sin ifadesinin deðeri kaçtýr? 7.7 trigonometri - Önce soruda verilen ifadenin payýndaki sin sin farkýný çarpým durumuna getirelim: sin sin = sin.cos + = sin( ).cos olur. sin.cos8 sin.cos8 =...() sin sin.sin( ).cos ye tamamlayan iki açýdan birinin sinüsü diðerinin kosi- = ise, 7 = olur. nüsüne eþitti. O halde; 7 = + = 7 = 8 + ( ) = irbirini u deðerler () deki denklemde yerine yazýlýrsa sin.cos8 = sin.cos8 = cos.sin( ) sin sin sin( ).cos sin( ).cos sin = cos cos8 = sin( ) olur. = bulunur.. sin olduðuna göre, sin + sin7 cos9 cos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). ab olduðuna göre, cos(a b) cos(a + b) sin(a + b) sin(a b) ifadesinin eþiti nedir? ) cotb ) sina ) sinb ) cotb ) tanb. = olduðuna göre, cos cos sin6.sin. olduðuna göre, sin sin cos cos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) oranýnýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). 7 olduðuna göre, cos + cos8 cos.sin ifadesinin eþiti nedir? ) sin ) ) ) sin ) 6.,, bir üçgeninin iç açýlarýnýn ölçülerini göstermek üzere, una göre, m() m() dür. cos( ) cos( ) H G sin I K J oraný kaçtýr? ) ) ) ) )
sina + sina + sina = cosa + cosa + cosa 7.8 ifadesinin deðerini hesaplayýnýz. trigonometri -. Yol : sina + sina ve cosa + cosa toplamlarýna dönüþüm formülünü uygulayalým. sina + sina = sin a + a.cos a a =.sina.cos( a) =.sina.cosa.cosa cosa + cosa = cos a + a.cos a a =.cosa.cos( a) =.cosa.cosa.cosa u deðerler verilen ifadede yerine yazýlýrsa, sina (cosa +) = sina + sina + sina = sina.cosa + sina = = tana olur. cosa + cosa + cosa cosa.cosa + cosa cosa (cosa +). Yol : u soruda olduðu gibi ; pay ve payda ardýþýk iki terimin açýlarýnýn artýþ miktarýnýn sabit olduðu durumlarda ilk terimin açý deðeri ile son terimin açý deðerinin toplamýnýn yarýsý sonucun açý deðerini verir. Kesrin payýndaki terimler sinüs, paydasýndaki terimler kosinüslü ise sonuç tanjanttýr. Kesrin payýndaki terimler kosinüslü, paydasýndaki terimler sinüslü ise cevap kotanjantlýdýr. Soruda a, a, a açýlarýnýn artýþ miktarý sabit olduðundan ve payda sinüslü, paydada kosinüslü terim olduðu için cevap = sina + sina + sina = tan a + a = tana olur. cosa + cosa + cosa ðer; cosa + cosa + cosa sorulsaydý cevap cot a + a = cota olacaktý. sina + sina + sina. cos cos sin sin ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) tan ) tan ) cot ) cot ) sec. cos 8 = k olduðuna göre, sin8sin6sin cos8cos6 ifadesinin eþiti nedir? k k ) ) ) k ) k ) k.. sin sin sin9 sin cos cos cos9 cos olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) tan7 ) cot7 ) tan ) cot ) sin sin 0 cos 80 cos0 cos 0 sin 80 sin0 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) tan0 ) tan0 ) tan80 ) cot80 ) cot00. a = olduðuna göre, cosa cosa sina sina sina cosa 6. = olduðuna göre, cos7 cos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) tana ) ) 0 ) ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) sin ) sin ) )
6 = olduðuna göre, 7.9 trigonometri - tan8 tan tan tan8 ifadesinin deðeri kaçtýr? u soruyu çözmeden önce þu dönüþüm formüllerini de verelim. ORMÜLÜ ULLIM O halde; sin(a + b) tana + tanb = cosa.cosb sin(a b) tana tanb = cosa.cosb sin(8 ) tan8 tan cos8.cos tan tan8 sin(8 ) cos8.cos sin (6 sin ð ð sin(ð ) sin olur. sin sin ð ) sina sinb tana +tanb = + cosa cosb sina.sinb + sinb.cosa = cosa.cosb sin(a +b) = cosa.cosb tana tanb = tana +tan( b) sin(a +( b)) sin(a b) = cosa.cos( b) cosa.cosb ÞK ÝR ORMÜL sin(a +b) cota + cotb = sina.sinb sin(a b) cota cotb = sina.sinb. 6. ise, tan6 tan ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) olduðuna göre, cot9 cot aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 0 ) ).. tan tan ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) sec ) cosec ) sec ) tan ) tan tan cot 6. tan8 tan6 tan7 + tan9 ifadesinin deðeri kaçtýr? ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) 0 ) ) ). a b cot cot 7 olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) ) 8 ) 0
7.0, ve bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, cos + cos + cos =.sin. sin. sin + olduðunu ispatlayýnýz. trigonometri - cos cos cos.cos sin. cos cos sin.sin.cos.sin.sin. cos sin.sin. cos cos.sin..sin.sin.sin..sin.sin sin. sin.sin.sin.sin.sin bulunur.,, bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri ise, + + = += - + - = = - + cos = cos - = sin.,, bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, cos + cos + cos = cos.cos.cos olduðunu ispatlayýnýz.. üçgeninde,, iç açýlarýn ölçüleri olmak üzere, sin sin sin cos cos olduðuna göre, m(é) kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 60 ) 90.,, bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, sin + sin + sin = cos.cos.cos olduðunu ispatlayýnýz..,, bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, sin + sin + sin = + cos.cos.cos olduðunu ispatlayýnýz..,, bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, cos cos cos + + = sin.sin sin.sin sin.sin olduðunu ispatlayýnýz. 6. üçgeninin, ve iç açýlarý arasýnda sin + sin + sin = sin.sin.sin eþitliðinin olduðunu ispatlayýnýz. 6
TRM TSTÝ. sin( ).cos( ) + sin( ).cos( ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7. kare, II =.II K II = II trigonometri - m(ék) = olduðuna göre, tan nýn deðeri kaçtýr?. a b olduðuna göre, cosa.cosb + sina.sinb ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) ) ) ) ) 6 ) 8 8 6. tan cot y olduðuna göre, tan( y) nin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 7 8. kare, II =.II olduðuna göre, cot(é) nin deðeri kaçtýr? 9 7 7 9 ) ) ) ) ) 7 9 9 7. cot.cot ifadesinin deðeri kaçtýr? cot cot. ) ) ) ) ) ve y olmak üzere, tan ve siny olduðuna göre, cos( + y) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 9. dikdörtgen, II = 6 birim II = birim X II = II m(é) = Yukarýdaki verilere göre, tan in deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. ve G birer kare, II =.II olduðuna göre, G tan(ég) nin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 7 0. tan = a ve cot = b olduðuna göre, cot70 nin a ve b cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ab ab ab ) ) ) ab a b a b a b b a ) ) ab ab
trigonometri -. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) sin (sin cos ) ) sin(, ).cos(, ) ) sin sin.cos 8 6 6 sin80 ) sin0.cos0 ) sin sin.cos 6. cos sin 7 ise, deðeri kaçtýr? ) ñ )ñ ) ñ + )ñ ) 7. tan(, ) tan (, ). cos8 sin8 cos6 sin6 ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8. sin6 cos6 sin cos olduðuna göre, sec in deðeri kaçtýr?.. sin cos ifadesinin deðeri kaçtýr? 6 6 ) ) ) ) ) sin cos 8 8 ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9. dik üçgeninde, [] [] 8 II = 8 cm II = 6 cm II = II m(é) = 6 olduðuna göre, sin nýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). cos8 = olduðuna göre, sin7 nin cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 8 0. sin = olduðuna göre, sin6 nin cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) )
trigonometri -. sin 0.cos 0 cos 70 6. sin0sin0 sin cos 8 ifadesinin deðeri kaçtýr? iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ). sin.sin 8 8 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) 7. 7 = olmak üzere, cos.cos7 cos cos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). sin0 = olduðuna göre cos80.cos0 ifadesinin cinsinden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 8. 9. cos cos sin sin ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) tan ) cot ) cot ) tan ) tan cot toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 0 ) ñ ) ) ). sin 0.cos 0.cos 0 cos0 ifadesinin deðeri kaçtýr?. ) ) ) ) ) cos( 0) cos 70 cos0 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 9 0.,, bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri olmak üzere, sin sin sin sin sin sin ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) tan.tan ) tan. tan ) tan.tan ) cot.tan )
KONU TSTÝ. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) sin sin.cos 8 6 6 ) cos 6sin 6 sin8 tan ) tan tan ) sin.cos ) cos cos 6. kare II =.II m(é) = trigonometri - olduðuna göre, tan deðeri kaçtýr? 7 9 ) ) ) ) ) 9 7. sin.cos sin.cos sin9.sin cos9.cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 7. sin olduðuna göre, 0 cos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. 7 7 sin cos sin cos 9 9 cos cos sin sin 8 8 8 8 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 8. cos6 sin6 cos sin ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) tan ) ) ) ) ) ) ) ). sin sin olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? 9. 8 = olduðuna göre, sin.sin sin sin8 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ). ) ) ) ) ) sin cos olduðuna göre, sin deðeri kaçtýr? 0. coscos sinsin ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 6 6 0 ) ) ) ) )
. üçgeninde II = 8 birim II = birim 8 m(é) = m(é) = Yukarýdaki verilere göre, cos deðeri kaçtýr?. tan = m 0 0 ) ) ) ) ) 0 0 olduðuna göre, tan6 = a nýn m türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? m m m ) ) ) m m m m ) ) m m 6. sin = (9 siny ) cosy olduðuna göre, in y türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? y y y y y ) ) ) ) ) 6 7. O merkezli yarým çember dikdörtgenine noktasýnda teðettir. O trigonometri - m(é) = olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8. sin.cos sin. = cos9.cos6.sin olduðuna göre, nýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 7. sin sin sin6 cos cos cos6 iþleminin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) tan ) tan ) cot ) cot ) tan 9. cos0.cos0.cos80 iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 6 8. 0. dikdörtgeninde O O merkezli yarým çemberin alaný O merkezli çemberin alanýnýn O 8 katýdýr. olmak üzere, sin8.sin çarpýmý kaçtýr? m(o ëo ) = olduðuna göre, cot kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 0 ) ) ) ) ) 0 6
ë ë KONU TSTÝ - trigonometri -. = olmak üzere, cos8 + cos6 cos.cos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. cos sin 8 8 toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) ñ ) + ñ ) + ñ ) ñ ) ñ. < < olmak üzere, + cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) cos ) cos ) cos ) cos + 7. cot 8 = olmak üzere, cos. sin + cos + cos ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 8. cot 70 = m. ir üçgeninin iç açýlarýnýn ölçüleri, ve dir. tan = ve tan = olduðuna göre, tanë deðeri kaçtýr? 7 6 6 7 ) ) ) ) ). 8 = olmak üzere, sin.cos cos.cos cos + ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) olduðuna göre, sin0.cos0.cos80 çarpýmý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 9. 0 olmak üzere, 0. m m m ) ) ) ) m ) m 8 sin sin sin olduðuna göre, cos deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). [] çaplý çemberde II II II m(é) = olduðuna göre, sin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) O ve O merkezli yarým çemberler de teðet, doðrusu de O merkezli çembere teðettir. IO I = 6.IO I ve m(é) = olduðuna göre, sin deðeri kaçtýr? O O ) ) ) ) ) 7 8 8
trigonometri -. sin 0cos 0 sin00sin0 iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 6. üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri, ve dir. cos.cos ve sin.sin ) ) ) ) ) olduðuna göre, cos deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). dik üçgeninde [] [] + = m(é) = m(é) = II = birim II = birim olduðuna göre, II = kaç birimdir? ) ) ) ) 0 ) 9 7. O Þekilde O ve O merkezli yarým çemberler ve noktalarýnda kesiþmiþtir. II = birim, II = birimdir. tan(é) = olduðuna göre, ile arasýndaki en kýsa uzunluk kaç birimdir? O ) ) ) ) ). cos cos cos cos7 sin sin sin sin7 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) tan ) cot ) tan ) cot ) tan. tan8 = olduðuna göre, tan6 nin türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? 8. y 6 olduðuna göre, cot( y).cot( y) çarpýmý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) 0 ) ) ) ) ) ) ) 9. tan olduðuna göre, tan ifadesinin deðeri kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) 7. cotb = olduðuna göre, tan(a + b) tan(a b) + tan(a + b).tan(a b) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 0. sin.sin cos.cos ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) tan ) cot ) ) sin ) cosec
ÖSYS SORULRI trigonometri -. cos ve 0 ise, cos aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) (97). siny tg cosy olduðuna göre, + y nin 0 ile arasýndaki deðeri kaç radyandýr? ) ) ) ) ) 6 (ÖYS 98). 6. 0, tan olduðuna göre, sin cos + sin ifadesinin deðeri kaçtýr? n Yukarýdaki þekle göre tan, aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) (n ) (n ) n ) ) n n n (977) 7. ) ) ) ) ) a cos sin 8 8 (ÖYS 98) olduðuna göre, a nýn deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). Yandaki karesinde II II olduðuna göre, tg in deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 8 7 6 (978) (ÖYS 98) 8. Yandaki þekilde ve H birer karedir. H II = II olduðuna göre, sin(éh) nin deðeri nedir? 7 0 ) ) ) ) ) 7 0 (ÖYS 98). 0a olduðuna göre, cosa cos8a cosa.cos8a ifadesinin deðeri nedir? 9. sin cos toplamýnýn deðeri nedir? ) ) ) ) ) (980) ) ) ) 6 ) ) (ÖYS 98)
0. cos ( y) + sin ( + y) nin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + cos.sin y ) + sin.cosy ) + sin.siny ) + cos.cosy ) sin.siny (ÖYS 986). Yandaki üçgeninde. II = cm, [] [] ve açýsýnýn ölçüsü ise, cm II nin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin ) sin ) + sin ) sin ) + sin (ÖYS 986) ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) cot cos6 + cot ) 0 ) cot6 ) cot8 (ÖYS 988)., [] üzerinde, bir dikdörtgen. II = II, II = II, m(é) = Yukarýda verilen bilgilere göre tan nýn deðeri kaçtýr? cos6 olduðuna göre, cos7 kaçtýr? cos cos6 cos sin sin6 sin ) ) ) ) ) (ÖYS 989) ) ) ) ) ). 6. 7. olduðuna göre, cos aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 8 (ÖYS 99) olduðuna göre, cos in deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) ) ) ) ) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? (ÖYS 99) ) sin ) tg ) tg ) cotg ) cos (ÖYS 996) 8. bir ikizkenar üçgen II = II, m(é) =, m(é) = Yandaki þekilde tan = olduðuna göre, tan nýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖSS 997) 9. L KL // KL K L = km = km KL = km K noktasýndaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli, yerden km yükseklikte yere paralel uçan bir uçaðýn, noktasýndan noktasýna kadar km lik hareketini radarla izliyor. noktasýnýn yerdeki dik izdüþümü L noktasý ve KL = km olduðuna göre, radarýn taradýðý K açýsýnýn tanjantý kaçtýr? ) 7 sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos ) 9 ) L trigonometri - ) ) 7 7 (ÖYS 989) (ÖSS 006)
0.. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) sina ) cosa ) tana ) cota ) sina + cosa iþleminin sonucu kaçtýr? ) sina cosa sin0 cos0 cos0 sin0 cos0 cos0 sin0 sin0 ) ) ) (ÖSS 006) ) (ÖSS 007 II) 6. 7. olduðuna göre, cos kaçtýr? ) cos ) ) trigonometri - ) ) 7 (LYS 0).. cosa tan a ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin a ) cos a ) cot a ) + sin a ) + tan a sin cos ifadesinin deðeri kaçtýr? (ÖSS 007 II) ) ) ) ) ) (ÖSS 007 II) irim kareler üzerine çizilmiþ yukarýdaki üçgeninin açýsýnýn tanjantý kaçtýr? ) ) 0 ) 9 ) 8. bir kare = cm = 7 cm m(é) = ) (LYS 0). sin = a olduðuna göre, (sin + cos) ifadesinin a türünden deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) a + ) a + ) a + ) a + ) a + (ÖSS 008 II) Yukarýdaki verilere göre, tan kaçtýr? ) ) 6 ) 9 ) ) 7 7 7 (LYS 0). O noktasý yarým çemberin merkezi O Yukarýdaki verilere göre, sin kaçtýr? = cm = cm m(éo) = 9. coscos = 6 sin olduðuna göre, sin kaçtýr? ) ) ) ) 9 ) 0 ) ) ) ) ) (ÖSS 009 II) 6 (LYS 0)
N YRRLNÝLÝYORUM SÝZ YRRLNÝLK MÝSÝNÝZ? önüþüm ve ters dönüþüm formüllerinin akýlda tutulmasý zordur. undan dolayý hafýza çivisine ihtiyaç vardýr. þaðýdaki tabloyu hafýza çivisi olarak kullanabilirsiniz. + trigonometri -... S. S _ y y ÖNÜÞÜM ORMÜLLRÝ cos cos y. cos cos y y sin sin y. cos sin y y cos cos y. sin sin y y sin sin y.sin cos TRS ÖNÜÞÜM ORMÜLLRÝ cos.cos y cos( y ) cos( y ) cos.sin y sin( y) sin( y) sin.sin y cos( y) cos( y) sin.cos y sin( y) sin( y) TÞKKÜR: Sevgili Murat KLLÝOÐLU na yukarýdaki tablo için teþekkür ederim. 7
8 Ö L Ü M Trigonometri KÖÞTÞI MÇLR. os teoremini kavrayabilme. os teoremini uygulayabilme. os teoremini geometri sorularýnda uygulayabilme. Kiriþler dörtgeninde cos teoremini uygulayabilme. Üç boyutlu þekillerde cos teoremini uygulayabilme 6. os teoremini kullanarak üçgenin açý ve kenarlarý arasýndaki baðýntýlarý ispatlayabilme 7. Sin teoremini kavrayabilme 8. Sin teoremini uygulayabilme 9. Sin ve cos teoremlerini beraberce uygulayabilme 0. Tan teoremini kavrayabilme. üçgeninin alanýný / ab.sin ile hesaplayabilme. üçgeninin alanýný u(u a)(a b)(u c) formülü ile hesaplayabilme (u = (a + b + c)/). Sin teoremini kullanarak üçgenin açý ve kenarlarý arasýndaki baðýntýlarý ispatlayabilme
8. trigonometri - 6 60 üçgeninde, = 6 br = br ve m( ) é = 60 olduðuna göre, kaç birimdir? ir üçgenin kenar uzunluklarý biliniyorsa bu üçgenin herhangi bir açýsýnýn ölçüsünü bulmak için ya da iki kenar uzunluðu ile bunlar arasýndaki açýsýnýn ölçüsü biliniyorsa diðer kenarýn uzunluðunu bulmak için kosinüs teoreminden yararlanýlýr. Kosinüs Teoremi : ir üçgenin kenar uzunluklarý a, b, c ise; c Sorunun çözümü : II = a = br a a = b + c.b.c.cos ë b = a + c.a.c.cos ë c = a + b.a.b.cos ë, = c = 6 br m(ë) = 60 b = a + c.a.c cos ë b = + 6.. 6 cos 60 (cos 60 = ) b = + 6.. 6. b b = b = ò birim olur. ÝSPTLYLIM MI? b c üçgeninde = b.sin + (c b.cos) II =II + II = b.sin = b.cos a = b.sin + c.b.c.cos + b.cos a = b (sin + cos ) + c.b.c.cos a = b + c.b.c.cos a. üçgeninde 0 II = br II = br. cm yamuk //, II = cm, II = cm, II = 7 cm, cm II = cm m(é) = 0 ise, II = kaç br dir? ) ò7 ) 6 ) ò ) ò0 ) ñ. üçgeninde II = cm, II = 6 cm ve II = cm olduðuna göre, cos(é) deðeri kaçtýr? olduðuna göre, cos(é) deðeri kaçtýr? 0 9 ) ) ) ) ) 9 9 7 7 6. üçgeninde II = br II = 7 br 7 II = br m(é) = 0 olduðuna göre, II = kaç br dir? ) ) ) ) ) 6 9 7 9 ) ) ) ) )
ë ë ë köþetaþý 6 8 6 0 8. trigonometri - {}= [] [] = 6 br, = 8 br, = br, = 6 br, = 0 br olduðuna göre, = kaç br dir? üçgeninin üç kenar uzunluðu verildiðinde bu üçgenin her bir açýsýnýn kosinüsü hesaplanabilir. yrýca açýsý ile açýsý ters durumlu açýlar olduðu için m(é) = m(é) olur. üçgeninde kosinüs teoremi uygulanýrsa...cos cos 8 6 cos olur..8. 80 üçgeninde kosinüs teoremi uygulanýrsa; = +...cosë = 6 + 0.6.0. 80 = 6 + 00 = br olur.... üçgeninde II = br, II = br, II = br, II = 7 br II = 0 br ise, 0 II kaç br dir? 69 70 99 6 ) ) ) ) ). üçgeninde II = br, II = 8 br 8 II = br, II = 6 br ise, II = kaç br dir? 6 ) ñ ) ñ ) ñ ) ) ñ. üçgeninde 6 II = 6 cm, II = cm II = cm, II = cm II = cm Yukarýdaki verilere göre, II = kaç cm dir? 7 0 0 6 ) ) ) ) ) 7 0. eþkenar dörtgen, II = br II = II = br 60 m(é) = 60 ise, II = kaç br dir? ) ñ ) ò9 ) ñ ) ò7 )
8. trigonometri - 0 6 yamuk // = br, = br, = 6 br, = 0 br m(é) = olduðuna göre, cos deðeri kaçtýr? a b 6 6 den, [] ye paralel [] çizilsin. = = br, = = br, = = 0 = 6 br olur. m(é) = a, m(é) = b m(é) = = a + b ve m(é) = m(é) = a (iç ters açýlar) olur. üçgeninde, m(é) = 80 (a + b) = 80 olur. üçgeninde kosinüs teoremi uygulanýrsa, = 6 + 6.6.6.cos(80 ) = 6 + 6 7.( cos) = 7 + 7.cos 7.cos = 7 cos = 7 olur. 7. dik üçgeninde [] [] 6 II = br II = 6 br II = br Yukarýdaki verilere göre, sin(é) deðeri kaçtýr? 8 7 7 ) ) ) ) ) 9. ve G birer kare, G II = br ve II = br olduðuna göre, II kaç birimdir? ) ñ7 ) ò9 ) ò0 ) ò ) ò0. üçgeninde, 6 cos( + y) deðeri kaçtýr? y II = cm, II = 6 cm II = cm m(é) =, m(é) = y ise ) ) ) ) ). üçgeninde G aðýrlýk merkezi, G IGI = br, IGI = br, II = br ise, II kaç br dir? ) ñ6 ) ñ ) ) ñ ) 6ñ
8. Yandaki þekilde, kiriþler dörtgenidir. = cm, = cm, = cm ve = cm olduðuna göre, cos(é) nin deðeri kaçtýr? ve noktalarýný birleþtirerek ve üçgenlerini oluþturalým ve m(ë) = olsun. Kiriþler dörtgeninde karþýlýklý açýlar bütünlerdir. Yani, m(ë) + m(ë) = 80 m(ë) = 80 m(ë) m(ë) = 80 olur. üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalým. = +...cos = +...cos = 0cos...() üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalým. = +... cos(80 ) = +...( cos) = 0 + 6cos...() () deki deðerini () de yerine yazarsak 7 0cos = 0 + 6cos = 6cos cos = cos = = cos olur. 6 trigonometri -. eþkenar üçgen, II = br, II = br ise II = kaç birimdir? ) 7 ) 6 ) ) ). çaplý çemberde O merkezdir. paralelkenar O II = 8 cm ve II = cm olduðuna göre, II kaç cm dir? ) 88 ) 89 ) 90 ) 9 ) 9. O merkezli yarým çemberde II = II = birim. r yarýçaplý bir çember içine bir kenar uzunluðu IOI = birim r olan bir düzgün çokgen çizilmiþtir. O Yukarýdaki verilere göre, II kaç birimdir? una göre, bu düzgün çokgenin kenar sayýsý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 8 ) 0 ) ) ) 6
H G 6 8. trigonometri - Þekildeki GH dikdörtgenler prizmasýnda = 6 br, = br, = br olduðuna göre, [] ve [G] cisim köþegenleri arasýndaki dar açýnýn kosinüsü kaçtýr? H 6 K G [] ve [G] cisim köþegenlerinin kesim noktasý K olsun. = G = 6 + + = = 6 brolur. G K cisim köþegenlerin kesim noktasý olduðundan 6 6 K 6 K = K = K = KG = 6 br dir. K üçgeninde kosinüs teoremi uygulanýrsa = K + K. K. K.cos(éK) = 6 + 6. 6. 6. cos cos olur.. H K G GH birim küpünde IHKI = IKGI m(ék) = ise, cos deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). T Þekildeki dönel koninin tepesi T, taban merkezi O, yüksekliði cm, taban yarýçapý cm dir. Çember üze- rindeki ve noktalarý O ve T ye birleþtirilmiþtir. O m(éo) = 60 ve m(ét) = olduðuna göre, cos nýn deðeri kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) 9 8. H G GH küpünde II = birim olduðuna göre, [] ile [] arasýndaki açýnýn kosinüsü kaçtýr?. dörtyüzlüsünün köþesinden geçen ayrýtlar birbirine diktir. II = birim, II = birim II = br, m(é) = ) ) ) ) ) olduðuna göre, cos deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 6 0 0
8.6 ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b, c dir. c = a + b + ab olduðuna göre, açýsýnýn ölçüsünü bulunuz. Üçgenin kenar uzunluklarý arasýnda bir baðýntý verilip bir açýnýn ölçüsü sorulduðu zaman genellikle kosinüs teoremi ile çözüme ulaþýlýr. m(ë) sorulduðu için, kosinüs teoreminden c = a + b ab.cos yazýlýr. c = a + b + ab baðýntýsý verilmiþti. c = a +b ab.cos = a b +ab abcos = ab cos = olur. emek ki, m(ë) = 0 dir. trigonometri -. ir üçgeninin kenar uzunluklar a, b ve c dir. b = a + c + ñac olduðuna göre, açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 0 ). ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b, c ve b c olmak üzere, b c = a b a c olduðuna göre, açýsýnýn ölçüsü kaç radyandýr? ) ) ) ) ) 8 6. ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b ve c dir. a, b, c arasýnda a = b + c bc baðýntýsý olduðuna göre, açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 60 ). ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b ve c dir. una göre, ispatlayýnýz. a b = acos bcos c olduðunu. ir üçgeninin kenar uzunluklarý arasýnda b = a + c acsin baðýntýsý olduðuna göre, cot deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b ve c dir. una göre, a = bcos + ccos olduðunu ispatlayýnýz.
ë ë köþetaþý 8.7 trigonometri - ir üçgeninde m(ë) = 0, m(ë) = ve II = 8 br olduðuna göre, ve üçgenin çevrel çemberin yarýçapýný bulunuz. c O R a b a b sin = c sin = sin = R ir üçgende kenarlar, karþýlarýndaki açýlarýn sinüsleri ile orantýlýdýr. u oran, çevrel çemberin çapýna eþittir. u kurala SÝNÜS TORMÝ denir. u kurala göre, soruyu çözelim; 0 R 8 a b sin sin 8 sin0 sin 8 8 br. a R R 8 br olur. sin c h H eþitlikler taraf enzeri b H sin tarafa bölünürse bir yükseklik indirerek ÝSPTLYLIM üçgeninde h c ve sin h b sin b elde edilir. sin c sin a ispatlanabilir. sin b. ir üçgeninde m(ë) = 60, m(ë) = ve çevrel çemberinin yarýçapý birimdir. una göre, II II farký kaç birimdir? ) (ñ ñ) ) (ñ ñ) ) ñ ñ ) ñ + ñ ) ñ6 +. üçgeninin köþelerinden geçen çevrel çemberin merkezi O dur. O olduðuna göre, IOI kaç cm dir? tan ve II 6 cm ) ) ) ) ) 6. ir üçgeninde, 6 II birim olduðuna göre, m(é) kaç derecedir? 60 m(é) = 60 II = birim ) 90 ) 7 ) 67, ) 60 ). üçgeninde, II = cm, II = cm cos olduðuna göre, sinë kaçtýr? 6 7 8 9 ) ) ) ) )
6 60 8.8 üçgeninde = 6 br, = br =, m(é) = 60, m(é) = olduðuna göre, sin kaçtýr? trigonometri - m(é) = olsun. una göre, m(é) = 80 olur. ve üçgenlerinde sinüs teoremleri uygulanýrsa: 6 80 sin60 sin( 80) 6 sin60...( ) sin 60 üçgeninde sinüs teoremi uygulanýrsa, sin sin sin sin...( ) () ve () denklemleri taraf taraf bölünüp = eþitliði deðerlendirilirse; 6 sin60 sin sin60. sin 6 sin. sin sin sin sin. Yol : noktasýndan [] // [] çizilirse; olur. m(é) = m(é) = (iç ters açýlar) olur. // ve = olduðundan = = br ve üçgeninde sinüs teo. uygulanýrsa, = sin = olur. sin sin60 = = br olur. / 60 6
é é trigonometri -. 0 6. bir üçgen m(é) = 0 II = II II = birim, II = 6 birim, Yukarýdaki verilere göre, sin(é) deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) üçgeninde,.ii =.II m(é) = m(é) = Yukarýdaki verilere göre, ) cos ) sin ) II II sin oraný kaçtýr? ) cos ) cos. bir üçgen,.ii =.II 0 m(é) = 0 m(é) = Yukarýdaki verilere göre, sin() oraný kaçtýr? sin() ) ) ) ) ). üçgeninde [] y II =.II Yukarýdaki verilere göre, sin siny.ii =.II oraný kaçtýr? 7 ) ) ) ) ) 0 0 7
ë é köþetaþý 60 9 8.9 üçgeninde = birim, = 9 birim m(é) = 60 trigonometri - Yukarýdaki verilere göre, sin(é) deðeri kaçtýr? 60 9 üçgeninde kosinüs teoremi uygulanýrsa = +...cosë = + 9..9.cos60 = 9 + 8 üçgeninde sinüs teoremi uygulanýrsa..9. = ñ7 birim olur. 7 9 7 9 = = = sin= sin()= olur. sin ë sinë sin60 sinë sinë 7. üçgeninde, II = cm, II = 6 cm 60 m(é) = 60 olduðuna göre, 6 sin(é) deðeri kaçtýr?. ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b, c ve çevrel çemberinin yarýçapý R dir. (a + b + c)(a + b c) = a.b ve R = ñ birim olduðuna göre, c kaç birimdir? 7 ) 6 ) ) ) ) ) ) ) ) ). kare, II = II = birim II = birim. ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b, c dir. m(é) = olduðuna göre, sin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 b = a + c + ac ve b = birimdir. una göre, üçgeninin çevrel çemberinin çapý kaç birimdir? 8 ) ) ) ) ) 8
ë ë ë ë ë ë ë ë köþetaþý OPTÝONL ZORUNLU ÐÝL ÝSTÐ ÐLI 8.0 trigonometri - üçgeninde, c 0 b m(é) = 0, m(é) = = b br, = c br b + c = ñ + br olduðuna göre, b kaç br dir? u soru sinüs teoremi ile çözülebilir. akat sin ve sin0 deðerlerinin bilinmesi gerekir. u soru için TNJNT TORMÝ ile çözüm daha kolaydýr. c Sorunun Çözümü : a b b>c ise, tan + b+c = dir. b c tan ÝSPT ÝÇÝN ÝPUU Ýspata dayanak olan sinüs teoremidir. Ýspatý yapabilmek için dönüþüm formülünün uygulanmasýnýn bilinmesi gerekiyor. 0 + tan + tan b+c + + + = = = b c= b c=+ b c b c 0 b c tan tan b + c = ñ + b c = ñ + denklemleri taraf tarafa toplanýrsa b = ñ + b = ñ + birim olur.. dik üçgen, m(é) = 90 b a c a c a c olduðuna göre, m(ë) kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 60 ) 7. dik üçgeninde, m(é) = 90 ve II II II II olduðuna göre, m(é) kaç derecedir? ) 7 ) 60 ) ) 0 ). üçgeninde II = c br, II = a br c 60 a m(é) = 60º ve a = c olduðuna göre, m(é) kaç derecedir? ) 7 ) 60 ) ) 0 ). ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b, c dir. m(ë) = 60, b = ñ + birim ve c = ñ birim olduðuna göre, m(ë) kaç derecedir? ) ) 7, ) ) 60 ) 7 9
köþetaþý üçgeninde 8. = 6 br, = 8 br, m(é) = Yukarýdaki verilere göre, üçgeninin alaný kaç br dir? ir üçgenin iki kenar uzunluðu ve aradaki açý belli ise alan formülü þöyledir: () =.b.c.sin ÝSPTLYLIM c b O R () = a.b.c dir. R a 6 8 Sorunun çözümü : ( ) =..sin(é) =.6.8.sin =.6.8. =ñ br olur. ÞK ÝR ORMÜL ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b, c olsun. a + b + c = u olmak üzere ()= u(u - a)(u - b)(u - c) (HRON ORMÜLÜ) Örneðin üçgeninde a = cm, b = cm ve c = 6 cm ise ( )=? u = + + 6 u = 7 ()= u(u a)(u b)(u c) ()= 7(7 )(7 )(7 6) = 7... = cm olur. trigonometri - c h sin h c.sin c () a.h a.csin ilerleyelim: b b R sin sin R () a.c.sin h H a.a.c. b b R a.b.c R. [] [] = {} 0 m(é) = 90, II = br, II = br, II= 0 br II = br Yukarýdaki verilere göre, lan( ) kaç br dir?. ir üçgeninin kenar uzunluklarý a, b, c br olsun. a.b.c = 6 br ve ( ) = br olduðuna göre, bu üçgenin çevrel çemberin yarýçapý kaç br dir? ) ) ) ) ) ) 9 ) 0 ) ) ). ir üçgeninde II = 7 br, II = br ve II = br olduðuna göre, üçgeninin alaný kaç br dir? ) ñ6 ) 0ñ ) ò0 ) 0ñ ) ñ. Yandaki þekilde, II = br, II = br, m(é) = 90 0 m(é) = 0 ( ) = ( ) olduðuna göre, II kaç br dir? 0 0 ) 0 ) ) ) 9 ) 8 9 60
köþetaþý 8. [], [], [] Þekildeki taralý alanlar eþittir. = cm, = cm, = cm, = cm Yukarýdaki verilere göre, = kaç cm dir? trigonometri - Taralý alanlar eþit ise, üçgeninin alaný ile üçgeninin alaný birbirine eþit olur. ( ) = ( ) ( ) =..sin =..( + ).sin ( ) =..sin =...sin = 0sin 0.sin =..( + ).sin 8 = cm olur. ÝSPTLYLIM sin = h b b a h bsin = h, ( ) =.. H H c ( ) = u(u a)(u b)(u c) ispatýný yapmak için (u b)(u c) sin = ve cos = bc olduðunu önce ispatlamak sonra da ( ) = bc.sin = bc.sin. cos de yerine yazmak gerekiyor. u(u a) bc. [] ve [] [] = {} II = II II = br, II = br ve lan( ) = 0 br Yukarýdaki verilere göre, lan( ) kaç birim karedir? ) 6 ) ) ) 0 ) 8. üçgeninde 6 8 II = br, II = 6 br, II = 8 br lan( ) = lan( ) Yukarýdaki verilere göre, II kaç br dir? ) ), ) ), ). [], [] 8 II = II = cm, II = cm II = 8 cm Yukarýdaki verilere göre, lan() oraný kaçtýr? lan() ) ) ) ) ) 6. II = birim, II = 6 birim 8 6 II = 8 birim, II = birim lan( ) = lan( ) Yukarýdaki verilere göre, sin(é) kaçtýr? 0 ) ) ) ) ) 7
köþetaþý 8. trigonometri - ir üçgeninin iç açýlarýnýn ölçüleri, ve olsun. Üçgenin açýlarý arasýnda sin = sin.cos baðýntýsý varsa, üçgeninin ikizkenar üçgen olduðunu ispatlayýnýz. c b Sinüs Teoreminden; a = b = c =R a = sin dir. sin sin sin b sin a üçgeninde kosinüs teoremi uygulanýrsa; Yani üçgeni ikizkenar üçgen olur. b +a c c = b + a abcos cos = dir. ab sin a b + a c sin = sin.cos = cos =. a sin b ab b = c b = c dir. =b +a c. ir üçgenin çevrel çemberinin yarýçapý R, kenar uzunluklarý a, b ve c olmak üzere, a.b.c lan() = R olduðunu gösteriniz.. ir üçgeninde sin = sin + sin ise, m(ë) = 90 olduðunu gösteriniz.. ir üçgeninde ( ) = S ise, olduðunu gösteriniz. S.sin a= sin.sin. üçgeninin yüksekliði h a ise, h a = R.sin.sin olduðunuz gösteriniz.. ir üçgeninde ( ) = S ise, 8S sin.sin.sin = olduðunu gösteriniz. a.b.c 6. ir üçgeninde a b = a.cos bcos olduðunu gösteriniz. c 6
TRM TSTÝ. Yandaki þekilde verilenlere göre, cos deðeri kaçtýr? 6 ) ) ) ) ) 9 9 9 9. Þekildeki kare prizmada, II = IGI = birim H G trigonometri - II = birim ise, cos(é) deðeri kaçtýr? 9 0 6 7 ) ) ) ) ). ikizkenar dik üçgen, II = II m(é) = 90 II = br, II = br ise II kaç br dir? 6. üçgeninde;, ve iç açýlarýnýn karþýsýndaki kenar uzunluklarý sýrasýyla a, b, c dir. a b c ñ. bc = 0 olduðuna göre, açýsý ile açýsýnýn toplamý kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) 90 ) 60 ) 0 ) ò ) ñ ) ò ) ) ò7. kare, [] [] G II = cm, II = cm IGI = II olduðuna göre, II kaç cm dir? 89 97 0 97 8 ) ) ) ) ) 7. üçgeninde, II = birim II = birim m(é) = m(é) = Yukarýdaki verilere göre, tandeðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). kiriþler dörtgeni, II = II = cm 0 II = cm, II = cm m(é) = 0 Yukarýdaki verilere göre, II = kaç cm dir? 7 ) ) ) ) ) 6 8. üçgeninde II =.II 0 II = birim II = birim m(é) = 0, m(é) = < 90 Yukarýdaki verilere göre, cot deðeri kaçtýr? ) ñ ) ñ ) ñ7 ) ñ7 ) ñ7
trigonometri - 9. kiriþler dörtgeninde 6 II = 6 cm, II = cm II = cm. [] [] = {] II = birim II = 6 birim II = birim lan() = lan() 6 () () ise, II = kaç cm dir? Yukarýdaki verilere göre, II = kaç birimdir? ) 9 ) 0 ) ) ) 0 ) ) ) ) ) 0. üçgeninde c 0 b a b+c = + m(é) = 0, m(é) = II = c br, II = b br, II= a br, br olduðuna göre, II = c kaç br dir? ) ) ) ) ). ir üçgeninde sin = sin sin cos cos baðýntýsý vardýr. una göre, üçgeni için aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle doðrudur? ) Ýç açýlardan biri 60 dir. ) Ýkizkenar üçgendir. ) þkenar üçgendir. ) ik üçgendir. ) Ýç açýlardan biri 0 dir.. Yandaki þekilde verilenlere göre, dört- 0 geninin alaný kaç birim karedir? 7 8 ) ò0 ) ò0 + 8 ) 8 ) 6ñ + 8 ) ò0 + 7 6
KONU TSTÝ -. ir üçgeninde II = 7 cm, II = cm ve II = cm olduðuna göre, m(é) kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 0 ) 0. üçgeninde m(ë) + m(ë) = 60 II = cm II = cm Yukarýdaki verilere göre, II kaç cm dir? ) ò7 ) 6 ) ò0 ) ) ñ. üçgeninde [] [] II = birim II = birim II = birim Yukarýdaki verilere göre, II = kaç birimdir? 70 7 9 ) ) ) ) ) 9 6. kare II = II II =.II m(é) = Yukarýdaki verilere göre, cos deðeri kaçtýr? 7 7 ) ) ) ) ) 6 9 6 7. üçgeninde 0 m(é) = m(é) = + II = 0 cm II = cm Yukarýdaki verilere göre, tan deðeri kaçtýr? trigonometri - ) ) ) ) ). üçgeninde II = birim y II = birim 6 II = birim II = 6 birim m(é)= m(é)=y Yukarýdaki verilere göre, sin siny oraný kaçtýr? 0 9 ) ) ) ) ) 9 0. üçgeninde m(é) = II = cm Yukarýdaki verilere göre çevrel çemberin yarýçapý kaç cm dir? 8. dörtgeninde [] [] [] [] [] = 6 cm [] = 8 cm [] = cm olduðuna göre, dörtgeninin alaný kaç cm dir? ) 6,8 ) 6 ), ) 8,8 ) 9. üçgeninde II = a birim c II = b birim a 8 b 6 II = c birim çevrel çemberin yarýçapý 8 birim ve sin + sin + sin = ) ) ) ) 6 Yukarýdaki verilere göre, a + b + c toplamý kaçtýr? ) ) ) 8 ) 6 ) 6
trigonometri - 0. Kenar uzunluklarý cm, 6 cm ve 7 cm olan bir üçgenin çevrel çemberinin yarýçapý kaç cm dir? 6 7 8 ) ) ) ) ) 8 6 7. [] [] = {} 6 m(é) =, II = ñ br, II = 6 br, II = br ve II = ñ br olduðuna göre, II = kaç birimdir?. kiriþler dörtgeni II = cm II = II = cm II = cm ) ñ ) ñ ) 7 ) 8 ) 0ñ Yukarýdaki verilere göre, II kaç cm dir? ) ò7 ) ñ ) ñ ) ò ) ñ6 6. paralelkenarýnda II = cm, II = cm ve II = ò7 cm dir. una göre, II kaç cm dir? ) ò ) ñ ) ò ) ò ) ò. ir üçgeninde,, açýlarýnýn karþýsýndaki kenar uzunluklarý sýrasýyla a, b, c dir. a b =c + bc olduðuna göre, m() + m() toplamý kaç derecedir? ) ) 60 ) 90 ) 00 ) 0 7. üçgeninde II = cm II = cm II = cm II = cm. ir üçgeninde,, açýlarýnýn karþýsýndaki kenarlarýn uzunluklarý sýrasýyla a, b ve c dir. a = 6 birim, b = c ve cos ë = b kaç birimdir? olduðuna göre, ) ñ6 ) ñ6 ) ñ6 ) ñ6 ) ñ6 () = olduðuna göre, II = kaç cm dir? () 7 9 ) ) ) ) ). üçgeninde II = II = cm 0 II = cm II = cm II = 0 cm Yukarýdaki verilere göre, II kaç cm dir? ) 66 ) ) ) ) 66 7 66 8. ý ý ý ý ý küpünde ý II = birim ý O ý Yukarýdaki verilere göre, m(o ý ) kaç derecedir? ) ) 0 ) 0 ) ) 60
KONU TSTÝ -. üçgeninde II = cm, II = II = 6 cm ve II = 0 cm Yukarýdaki verilere göre, II = kaç cm dir? ) ò9 ) ò ) ò6 ) ò6 ) ò. 0 6 üçgeninde m(é) = 0 m(é) = II = birim II = 6 birim.ii =.II Yukarýdaki verilere göre, sin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 8. üçgeninin çevrel çemberinin yarýçapý cm dir. 6 6 0 II = ñ cm, II = ñ cm Yukarýdaki verilere göre, açýsýnýn ölçüsü en çok kaç derecedir? ) 0 ) 90 ) 7 ) 60 ) 0 6. ir üçgeninde,, açýlarýnýn karþýsýndaki kenarlarýn uzunluklarý sýrasýyla a, b ve c dir. a bc = b + c olduðuna göre, açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir? ) 60 ) 7 ) 0 ) 0 ) 60 7. üçgeninde, ve açýlarýnýn karþýsýndaki kenar uzunluklarý sýrasýyla a, b ve c birimdir. a ac c = 0 ve m(ë) = 0 olduðuna göre, m(ë) kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 7 ) 90 8. kiriþler dörtgeni II = birim II = II = birim II = birim 0 m(é) = 0 trigonometri - Yukarýdaki verilere göre, II = kaç birimdir? ) ) ) ) ) 6 9. ir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüsü sýrasýyla, ve dir.. üçgeninde II ve.ii 8.II II 7 sin = sin + sin olduðuna göre, açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir? ) 60 ) 7 ) 90 ) 0 ) 0 olduðuna göre, m(ë) + m(ë) toplamý kaç derecedir? ) 7 ) 90 ) 00 ) 0 ) 0. GH küpünde H G II = br Yukarýdaki verilere göre, cos(é) deðeri kaçtýr? 6 6 ) ) ) ) ) 8 67 0. 7 yamuðunda //, 6 7 II = cm, II = 6 cm, II = 7 cm II = 7 cm Yukarýdaki verilere göre, sec deðeri kaçtýr? 6 ) ) ) ) ) 6
trigonometri -. ir üçgeninde,, açýlarýnýn karþýsýndaki kenar uzunluklarý sýrasýyla a, b ve c dir. a = cm, b = cm ve c = cm dir. una göre, sin + sin + sin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) ). ikizkenar dik üçgen [] [] II = II = cm II = II Yukarýdaki verilere göre, II kaç cm dir?. üçgeninde G aðýrlýk merkezi II = birim G IGI = birim IGI = birim olduðuna göre, II kaç birimdir? ) ò0 ) ò0 ) ) ò0 ) 7 ) ) ) 8 ) ) 8 6. üçgeninde,, açýlarýnýn karþýsýndaki kenar uzunluklarý sýrasýyla a, b ve c birimdir. sin = sin sin b c a olduðuna göre, oraný aþaðýdakilerden b c hangisine eþittir? ) ) ) ) ). üçgeninde sin =.sin.cos c a b Yukarýdaki verilere göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? )a=b )a=c )b=c )a=c )a=b 7. üçgeninde II = a birim c a b II = b birim II = c birim (a + b + c).(a + b c) = ab olduðuna göre, tan deðeri kaçtýr? 7 7 6 6 ) ) ) ) ). kare eþkenar üçgen II = birim Yukarýdaki verilere göre, üçgeninin alaný kaç birim karedir? ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ 68 8. O merkezli çemberde a b c IOI = br II = a br II = b br O II = c br a.b.c Yukarýdaki verilere göre, a b c toplamý kaçtýr? ) 6 ) 60 ) 8 ) ) 0
ÖSYS SORULRI. ir üçgeni için aþaðýdaki eþitliklerden hangisi yanlýþtýr? ) sin + cos = ) a =b + c bccos ) R. sin = a ) a. sin = b. sin ) sin( + ) = sin (966) trigonometri - 6. üçgeninin alaný aþaðýdaki formüllerden hangisi ile bulunur? a.sin a.cos.sin tg ) S ) S ) S b c c abc ab.sin ) S ) S R R (970). ë = 0 olan bir üçgende a kenarý cm dir. Çevrel çemberin çapý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) 0 (966) 7. ir üçgenin kenarlarý cm, cm ve 6 cm dir. u üçgende en küçük açýnýn kosinüsü þunlardan hangisidir? ) 0,70 ) 0,7 ) 0,78 ) 0,80 ) 0,8 (97). a kenarý cm olan bir üçgenin çevrel çemberinin çapý 0 cm olduðuna göre, açýsý kaç derecedir? ) 90 ) 60 ) ) 0 ) (967). þaðýdaki baðýntýlardan hangisi üçgeninde sinüs teoremini ifade eder? h b c R 8. üçgeninde m(ë) = 60 ; b =, c = 0 ise, a kenarý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) (97) H a ) S bcsin ) sin cos ) h b.sin c.sin ) a b c bc sin a b c ) R sin sin sin (968). ir üçgeninde = 0 ve a = 6 cm olduðuna göre, çevrel çemberinin R yarýçapý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cm ) 6 cm ) cm ) 6 cm ) cm (969) 69 9. ir üçgende = 60 ve a = ñ (b c) olduðuna göre, ve açýlarý sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisidir? ) 70, 0 ) 90, 0 ) 60, 60 ) 80, 0 ) 0, 70 (97) 0. Yandaki þekilde verilenlere a+ a+ göre cos nýn deðeri ne olur? q a a+ a a ) ) ) a a a ) ) a a (97)
trigonometri -. II = II = II = a ve köþesi sabit deðildir. a üçgeninin alanýnýn en büyük deðeri a a nedir? ) a ) a ) a ) a ) a (976). ütün ayrýtlarýnýn uzunluðu a olan bir kare piramidin yan yüzlerinin taban düzlemi ile yaptýðý açýnýn ölçüsü ise, cos nedir? ) ) ) ) ) (976). Çevrel çemberinin yarýçapý R olan bir üçgeninde m(ë) = 0 ise, a nýn uzunluðu nedir? R ) ) R ) R ) R ) R (976) 6. bir üçgen, [] üzerinde II = II II = ñ birim, m(é) =, m(é) = dýr. Yukarýdaki verilere göre, sin nýn deðeri nedir? ) ) ) ) ) (ÖYS 99) 7. T Þekildeki dönel koninin tepesi T, taban merkezi O, yüksekliði cm, taban yarýçapý cm dir. Çember üzerindeki ve noktalarý O ve T ye birleþtirilmiþtir. O K 60 m(éo) = 60 m(ét) = Yukarýdaki verilere göre, cos deðeri kaçtýr? 7 9 ) ) ) ) ) (ÖYS 99). Yandaki þekilde eþkenar dörtgen 0 II = cm, ë = 0 dir. II = II = cm olduðuna göre, II kaç cm dir? 7 ) 7 ) ) ) 0 ) (980). Yandaki þekilde verilen dörtyüzlüsünün köþesinden geçen ayrýtlarý birbirine diktir. II = cm II = cm II = cm açýsýnýn ölçüsü ise, cos nýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 0 8 6 (ÖYS 986) 70 8. H G GH bir birim küp olduðuna göre, [] ve [] arasýndaki açýnýn kosinüsü kaçtýr? ) ) ) ) ) 9. bir üçgen, m(é) = 0, 0 II = cm, 6 II = ò6 cm, II = cm, Yukarýdaki verilere göre, II = kaç cm dir? (ÖYS 99) ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 (ÖYS 997)
9 Ö L Ü M Trigonometri KÖÞTÞI MÇLR. k olmak üzere cos = k denkleminin çözüm kümesini yazabilme. k olmak üzere sin = k denkleminin çözüm kümesini yazabilme. k R olmak üzere tan = k ve cot = k denkleminin çözüm kümesini yazabilme. cos f() = cos g() ve sin f() = sin g() denklemlerinin çözüm kümesini yazabilme. tam f() = tan g() ve cot f() = cot g() denklemlerinin çözüm kümesini yazabilme 6. sin f() = cos g() denkleminin çözüm kümesini yazabilme 7. Sadeleþtirme gerektiren denklemleri çözebilme 8. Ýkinci dereceden denklem yardýmýyla trigonometrik denklemleri çözebilme 9. Ýkinci dereceden denklem yardýmýyla trigonometrik denklemleri çözebilme 0. Ters dönüþüm formülü uygulayarak denklem çözebilme a sin + b cos = c. sin =.sin.cos yarým açý formülünü kullanabilme. a sin + b cos = c denkleminde tan dönüþümü ile çözüm yapabilme. a.sin + b.cos ifadesinde b/a = tan dönüþümü yapabilme. a.cos + b.cos.sin + c.sin = 0 ikinci dereceden homojen denklemin çözümünü yapabilme. Trigonometrik fonksiyonlarýn periyotlarýný bulabilme 6. Toplam ve çarpým durumundaki trigonometrik fonksiyonlarýn peryotlarýný bulabilme 7. Sin fonksiyonunun grafiðini çizebilme 8. os fonksiyonunun grafiðini çizebilme 9. Tan ve cot fonksiyonunun grafiðini çizebilme 0. Ters trigonometrik fonksiyonlarý tanýmlayabilme. Ters trigonometrik fonksiyonlarý içeren denklemleri çözebilme. Ters trigonometrik fonksiyonlarý içeren denklemleri üçgen çizerek çözebilme. arctan ve arccot fonksiyonlarýný tanýmlayabilme
cos = 9. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. trigonometri - cos = a denklemini saðlayan [0,) aralýðýndaki en küçük pozitif açýnýn ölçüsü radyan cinsinden olsun. u denklemin çözüm kümesi; Ç = { l = + k. veya = + k., kz } olur. u bilgiye göre soruyu çözelim. Kosinüsü olan en küçük pozitif açý 6 dýr. una göre, cos cos k. veya k. olur. (cos cos( ) dir.) 6 6 6 u denklemin [0, ) aralýðýndaki kökleri 6, 6 O halde, Ç = { = 6 + k. veya = + k., k Z } dir. k ye deðerler vererek çözüm 6 kümesinin diðer elemanlarý bulunabilir. k 0 için 6 k için. 6 6 veya. 6 6 k için. veya. 6 6 6 6 R S T U V W. denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) { ) { ) { ) { ) { cos k. veya k., kz} 6 6 k. veya k., kz} k. veya k., kz} k. veya k., kz} 6 k., kz}. cos denkleminin çözüm kümesinin bir alt kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) { = + k. kz} ) { = + k. kz} ) { = + k., kz} ) { = + k., kz} ) { = + k. kz}.. cos = denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ) 7 cos denkleminin [0,80 ] aralýðýndaki köklerinin toplamý kaç radyandýr? ) ) ) ) )
sin( ) 9. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. trigonometri - sin = a denklemini saðlayan [0,) aralýðýndaki en küçük pozitif açýnýn ölçüsü radyan cinsinden olsun. u denklemin çözüm kümesi Ç = { l = + k. veya = + k., kz} dýr. una göre, sinüsü olan en küçük pozitif açý dýr. 6 sin( ) sin( ) sin 6 k. k. k, kz 6 6 k. k. k, kz 6 R Ohalde;ÇS U k. veya k., k ZV T k =...,,, 0,,... deðerleri için çözüm kümesinin elemanlarý bulunur. W. sin denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) { = + k., kz} ) { = + k. veya = + k. kz} ) { = + k.veya = + k. kz} ) { = + k., kz} ) { = k., kz}. sin + = 0 denkleminin çözüm kümesinin eleman sayýsý kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). 0 < < olmak üzere,. sin = denkleminin [, ) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ) 7 (sin )(sin + ) = 0 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlýdýr? ) 0 ) 8 ) 7 ) 6 )
9. trigonometri - ) tan = denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) cot = denkleminin çözüm kümesini yazýnýz. ) a IR olmak üzere, tan = a denkleminin [0,) aralýðýndaki bir kökü ise bu denklemin çözüm kümesi Ç = { = + k, k Z} dir. tan tan tan 6 6 olduðundan Ç k., k Z 6 [0,) aralýðýndaki kökleri bulabilmek için k ya deðer verelim. k 0 için 6 k için. 7 6 6 k için. [0, ) aralýðýnda deðil. 6 6 O zaman bu denklemin [0,) aralýðýnda kökü vardýr ve bu kökler ve 7 dýr. 6 6 ) a IR olmak üzere, cot = a denkleminin [0,) aralýðýndaki bir kökü ise bu denklemin çözüm kümesi Ç = { = + k., k Z} olur. cot cot cot k. k (k Z) k. olur. 8 R U O halde, çözüm kümesi Ç S k.,kz dir. 8 V T W R S T U V W. tan = 0 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ). ( ) olmak üzere, tan ñ = 0 denklemini saðlayan köklerin toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6. cot + ñ = 0 denkleminin bir kökü aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 7 6 6 6. þaðýdakilerden hangisi cot =ñ denkleminin köklerinden biri deðildir? 7 9 7 ) ) ) ) ) 0 0 0 6 6 7
9. cos cos denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6 trigonometri - cosf() = cosg() denkleminin çözüm kümesi f() = g() + k. (kz) veya f() = g() + k. (kz) eþitliklerini saðlayan R deðerlerinin kümesidir. una göre, cos I cos HG 6 K J H G I K J I k. veya k. (k Z) dir. 6 6 HG KJ k. veya k. 6 6 = k. veya k. 6 6 = k. veya k. O halde, denklemin çözüm kümesi; Ç k. veya k, kz RST UVW ÞK ÝR KURL sinf() = sing() denkleminin çözüm kümesi f() = g() + k. veya f() = g() + k. kz. (0,) olmak üzere, sin sin denkleminin kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) 6 ) 7. 0 < < olmak üzere, cos = cos olduðuna göre, nýn alabileceði kaç farklý deðer vardýr? ) ) ) ) ). cos( 60 ) = cos( + ) denkleminin çözüm kümelerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) { l = +k.0, k Z} ) { l = 0 +k.60, k Z} ) { l = 0 +k.0, k Z} ) { l = 00 +k.60, k Z} ) { l = 0 +k.60, k Z} 7. sin sin denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6
cot = cot 0 9. trigonometri - denkleminin [0, ) aralýðýndaki köklerini bulunuz. tanf() = tang() veya cotf() = cotg() denklemlerinin çözüm kümesi f() = g() + k, kz cot = cot 0 cot = cot 0 cot =cot 0 + k (k Z) = 0 = +k 0 = +k olur. 0 k = ve k = için [0,) olur. cot = cot dir. O halde, k için 9 0 0 k için 9 0 0 dur. Ç 9 0, 9 0 R S T U V W. tan( ) tan. tan tan 6 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) { = 7 7 + k. kz} ) { = kz} k. ) { = + k., kz} ) { = + k., kz} 6 6 ) { = + k. kz} 6 denklemini saðlayan aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) ) ) ) ) 6 6 6. cot + cot7 = 0 denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 0 ) ) 0 ). cot cot denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ) 76
9.6 trigonometri - sin =cos denkleminin [0,] aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? þitliðin bir tarafýnda sinüs, diðer tarafýnda kosinüs var. onksiyonlarý birbirinin ayný yapýp (.) teki gibi çözüm yapýlýr. irbirini 90 ye tümleyen iki açýdan birinin sinüsü diðerinin kosinüsüne eþitti. Yani cos = sin idi. una göre, I sin cos sin sin sin =sin olur. HG KJ HG KJ HG KJ N M HG KJ Q P HG KJ HG KJ u denklemin kökleri : k. veya G J k. (kz) = k. k. = 7 k. k. = k. 6 k 0 için 6 veya 7 7 k için 6 veya (soruda verilen aralýkta deðil) R S T Ç= 6, 7 I U V W olup tane kök vardýr. I L H IO I K I I. sin cos 6. sin cos denkleminin [0,] aralýðýndaki köklerinin toplamý kaçtýr? denkleminin çözüm kümelerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) ) ) ) ) ) { = + k. kz} ) { = + k., kz} ) { = + k., kz} ) { = + k., kz} 6 6 ) { = + k. kz} 8. tan cot denkleminin köklerinden biri a- 6 þaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 7 8 9. [0,) olmak üzere, cot = tan denkleminin kaç tane kökü vardýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 77
cos tan + = +sin 9.7 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? trigonometri - cos tan sin sin cos ( sin ) sin ( sin ) cos.cos cos ( sin ) sin sin cos cos ( sin ) sin cos ( sin ) cos sin (cos ) cos cos denklemin [0,) aralýðýndaki kökleri ve tür. Yani farklý kök var dýr.. (0,) olmak üzere, sec + cosec = 8 denkleminin kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) ). cos cos denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) ). tan + cot = denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 0 ) 0 ) ) 60 78. cos tan y sin olduðuna göre, + y toplamý aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) ) 6
9.8 trigonometri - olmak üzere, cos + 0sin 0 = 0 denkleminin kökü kaçtýr? enklemde hem sin hem de cos var. cos = sin deðerini denklemde yerine yazarsak sadece sin e baðlý bir denklem olur. cos + 0sin 0 = 0 sin + 0sin 0 = 0 sin + 0sin 9 = 0 t 0t + 9 = 0 (t 9)(t ) = 0 t 9 = 0 t = 9 sin = 9 dur. sin 0sin + 9 = 0 denkleminde sin = t olsun. t 9 = 0 veya t = 0 dýr. sin in taným aralýðý [, ] olduðu için sin in deðeri 9 olamaz. t = 0 t = sin = sin = sin = +k. veya = +k. (kz)dýr. aralýðýnda = olur.. sin + sin + = 0 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ). sin sin denklemini saðlayan dar açýnýn ölçüsü kaç derecedir? ) ) 0 ) 0 ) ) 60. cos cos = 0 denkleminin [0,) aralýðýndaki köklerinin toplamý kaçtýr?. cos + sin = denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? (Ýpucu : cos = sin eþitliðini kullanarak denklemi sadece sin cinsinden yazýn.) ) 0 ) ) ) ) 7 ) ) ) ) ) 6 79
9.9 tan + cot = denkleminin [0,) aralýðýndaki köklerinin toplamý kaçtýr? trigonometri - tan + cot = denkleminde tan = t alýnýrsa enklemde yerine yazalým: cot = t t t t t olur. t t + = 0 (t ) = 0 t = t = tan = tan tan k (kz)dir. k = 0 ve k = için ve tür. O halde, kökler toplamý olur.. tan ñ tan = 0 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) ). tan + cot = denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) ). [0,) olmak üzere, tan + tan + = 0 denkleminin kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) ) 6. cot = 9cot denkleminin ( ) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ) 6 80
9.0 cos.cos cos.cos = 0 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? trigonometri - Ters dönüþüm formülünü uygulayarak cos.cos ve cos.cos ifadelerini hesaplayalým. cos.cos cos( ) cos( ) (cos cos) cos.cos cos( ) cos( ) cos cos u deðerleri verilen denklemde yerine yazalým. cos.cos cos.cos = 0 (cos cos) (cos cos) 0 (cos cos) 0 cos cos = + k. veya = + k.kz = k. veya = k. = k. veya =k. k 0,,, için Ç 0,,, dir. Yani farklý kök vardýr.. sin sin + sin = 0 denklemini saðlayan en küçük pozitif dar açýnýn ölçüsü kaç radyandýr? ) ) ) ) ) 8. cos + cos + cos + cos = 0 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. sin cos sin cos. [0,) olmak üzere, sin cos sin cos denklemini saðlayan en küçük pozitif açý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 8 6 8 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) { l k., k Z} ) { l k., k Z} ) { l k., k Z} ) { l k., k Z} )
9. trigonometri - ñ cos sin = ñ denkleminin çözüm kümesini yazýn. a, b, c IR {0} olmak üzere a.sin + b.cos = c biçimindeki denklemlere, sin ve cos e göre lineer denklem denir. a.cos + b.sin = c denkleminde c > a + b ise, denklemin çözümü yoktur. c = a + b ise, denklemin bir tek çözümü vardýr. c < a + b ise, denklemin farklý iki çözümü vardýr. ñcos sin = ñ denkleminin her iki tarafýný ñ e bölelim cos sin cos sin Oluþan denklemde yerine tan = olduðu için tan yazalým. 6 6 sin cos tan.sin cos 6 sin cos.cos sin.sin.cos cos cos 6 cos 6 6 6 6 6 6 k. veya k. (k Z) k.veya k. 6 6 6 6 Ç k. veya k., k Z olur. RST UVW HG I K J H G I K J. (0, ) olmak üzere, cos tan.sin denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir?. sin + cos = denkleminin [0,] aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 6 6 6. ñsin = cos sin denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir?. cos + sin = ve tany = olduðuna göre, cos(y ) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 7 6 ) ) ) ) ) 8
sin + cos = denkleminin çözüm kümesini yazýnýz. 9. trigonometri - sin + cos = lineer denklemini (.) deki gibi çözebiliriz. LTRNTÝ YOL urada farklý bir çözüm yolu uygulayalým. enklemde sin + cos = denkleminde sin +.cos = tan tan sin tan,cos tan ve tan = tan yazýp t yazýlýrsa (.) deki gibi çözebilirsiniz. sin = t +t t,cos t t t 0 t(t ) 0 t 0 veya t bulunur. t 0 tan 0tan0 0 k (k Z) k. (k Z) t tan tan k (kz) +k. (kz) R S T olur. t t sin + cos cot = t t t +t +t O halde, Ç = = k. veya = k., k Z olur. U V W þaðýdaki denklemleri sin ve cos in deðerlerini cinsinden yazarak çözünüz. tan. ñsin cos = ñ. ñsin + cos =. sin ñcos =. cos + ñsin = 8
ñcos + sin = 0 denkleminin çözüm kümesini yazýnýz. 9. trigonometri - a, b R {0} olmak üzere, asin + bcos = 0 biçimindeki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklem denir. Verilen eþitliðin her iki tarafý cos e bölünüp çözüm yapýlýr. Þimdi buna göre soruyu çözelim. Verilen eþitliðin her iki tarafýný cos(cos 0) e bölelim: cossin 0 cos sin 0 cos sin cos cos cos cos 0 tan 0 tan = tan tan k. k Z O halde, Ç = { = + k, k Z} olur.. cos + ñsin = 0 denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) 60 ) 90 ) 0 ) ) 0. sin + cos = 0 denkleminin [0,) aralýðýndaki kökler toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) ) ) ) ) 6. cos 7 sin 0 6 6 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr?. cos ñ sin = 0 denkleminin ( ) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 7 ) 6 ) ) ) 8 ) ) ) ) )
9. trigonometri - (ñ + ) sin + sin + (ñ + ) cos = ñ denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? a, b, c R ve en az ikisi sýfýrdan farklý olmak üzere, a.cos + b.cos.sin + c.sin = 0 biçimindeki denklemlere, ikinci dereceden homojen denklem denir ve çözüm için verilen eþitliðin her iki tarafý cos ile bölünür. Þimdi soruyu çözelim. (ñ + ).sin + sin + (ñ + ).cos = ñ. (ñ + ).sin + sin+ (ñ + )cos = ñ(cos + sin ) (sin = sin.cos olduðundan) sin.sin sin.cos cos cos cos sin sin + sin.cos + cos = 0 denklemini cos e bölelim. (cos 0) sin sin.cos cos 0 tan tan 0 cos cos cos (tan + ) 0 tan tan tan R S T U V W Ç k., k Z k 0 ve k için kökler ve 7 olur.. sin sin.cos cos = 0 denkleminin ( ) aralýðýndaki köklerinin sayýsý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. cos + sin.cos = olduðuna göre, tan aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) ). sin sin.cos cos = 0 olduðuna göre, tan in alabileceði büyük deðer kaçtýr? ) ) ) ) ). cos + sin.cos + sin = denkleminin [) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) ) 6 8
9. þaðýdaki fonksiyonlarýn periyotlarýný bulunuz.. f() sin( ). f() cos( ). f() tan. f() sec I. f() tan ( ) 6. f() cot I HG KJ H G K J 7. f() sin I 8. f() sin ( ) 9. f() + cos HG KJ y, güneþ tutulmasý, her 76 yýlda bir Halley kuyruklu yýldýzýnýn dünyamýzý ziyareti periyodik meydana gelen olaylardýr. u olaylara benzer þekilde, matematikte de bazý fonksiyonlar belli aralýklarla tekrar ayný deðerleri alýrlar. u þekildeki fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir. Periyodik fonksiyonlarýn esas periyotlarýný þu kurallarla hesaplayabiliriz. fonksiyonlarýnýn esas periyodu f() = a + bsin n (c + d) n f() = a + bcos (c + d) f() = a + bsec n (c + d) n n tek tamsayý ise, f() = a + bcosec (c + d) n çift tamsayý ise, T= c T= c HG trigonometri - I KJ f() = a + btan n(c + d) f() = a + bcot n(c + d) fonksiyonlarýnýn esas periyodu T= c. f() = sin( + ) fonksiyonunun esas periyodu n = tek sayý olduðundan T= = olur.. 6. T T. 7. T T. T 6 8. T. T 9. T. f() = sin ( + ) 9 fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) ) ) ) ). f() =.cos 6 fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) ) ) ) ). f() = 7.tan 6 fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. g()= sec ( + ) + fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) ) ) ) ) 86
9.6 þaðýdaki fonksiyonlarýn esas periyotlarýný bulunuz. trigonometri -. f() = cos + sin 8. f() = cos.cos. g() fonksiyonunun periyodu T h() fonksiyonunun periyodu T una göre, cos in esas periyodu: T sin 8 in esas periyodu: T 8 HG f() = g() ± h() fonksiyonunun periyodu T = e.k.o.k. (T,T ) I KJ T e.k.o.k.(t,t ) e.k.o.k., e.k.o.k., e.k.o.k.(, ) olur.. f() = g().h() fonksiyonunun periyodu, fonksiyon toplama durumuna getirilerek bulunur. una göre, f() = cos.cos = (cos6 + cos) cos6 in esas periyodu T 6 HG I KJ cos in esas periyodu T dir. HG I K J T e.k.o.k.(t,t ) e.k.o.k., e.k.o.k., e.k.o.k.(, ) HG I KJ olur.. f() = sin.cot fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) ) ) ) ). f() = tan + sec cosec fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) 7 ) 6 ) ) ). f() = sin + cos ( ) tan fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr?. sin f() tan sin fonksiyonunun periyodu aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) ) ) ) 7 ) ) ) ) ) 7 87
9.7 f : [0, ] R f() = sin fonksiyonunun grafiðini çiziniz. trigonometri - Trigonometrik fonksiyonlarýn grafikleri çizilirken sýrasýyla;. onksiyonun esas periyodu bulunur.. ulunan periyoda uygun bir aralýk seçilir.. Seçilen aralýkta fonksiyonun deðiþimi incelenir. unun için fonksiyonun bazý özel açýlarda alacaðý deðerlerin bir tablosu yapýlýr. Tabloda fonksiyonun arttýðý aralýklar ile azaldýðý aralýklar ile gösterilir.. sas periyoda uygun olarak seçilen aralýkta fonksiyonun grafiði çizilir. sas periyot uzunluðundaki aralýklarda grafik aynen tekrarlanýr. una göre, f() = sin fonksiyonunun periyodu T= = dir. f() in deðiþim tablosunu yapalým. [, ] aralýðýnda sin in grafiði sin 0 / / 0 0 0 y 0 / / sin 0 0 0 y f()= sin sin sin 0 0 0 þaðýdaki fonksiyonlarýn grafiklerini çiziniz.. f : [, ] IR. f : [0,] IR f() = sin f() = sin. f : [0,] IR. f : [, 0] IR f() = sin f() = sin 88
f: [0, ] IR f() cos 9.8 fonksiyonunun grafiðini çiziniz. trigonometri - f() cos fonksiyonunun periyodu 0 cos 0 0 cos + 0 0 y f() = cos + T= = dir. [, ] aralýðýnda y = cos in grafiði cos 0 / / 0 0 y þaðýdaki fonksiyonlarýn grafiklerini çiziniz.. f : [0,] IR f() = cos +. f : IR 0, f() = cos. f : [0, ] IR f() = + cos HG I K J. f : [ 0, ] IR f() = cos
ÝKKT U ÝKÝ SYY _seffaf_.pdf dosyasý daha önceki basýmlarda olduðu gibi eklenecek. u boþ sayfalar çýkarýlacak
ÝKKT U ÝKÝ SYY _seffaf_.pdf dosyasý daha önceki basýmlarda olduðu gibi eklenecek. u boþ sayfalar çýkarýlacak
9.9 þaðýdaki fonksiyonlarýn grafiðini çiziniz.. f :[0] R. f :[] R f() = tan f() = cot trigonometri -. Periyot T dir.. Periyot T dir. TN V OT ONKSÝYONLRI tan tan 0 + - 0 y 0 0 0 y cot 0 Tanýmsýz 0 Tanýmsýz (, ) aralýðýnda tan in grafiði tan 0 y + (0,) aralýðýnda cot in grafiði cot 0 y + þaðýdaki fonksiyonlarýn grafiklerini çiziniz.. f : [, ] IR. f :, IR f() = tan f() = tan. f : [0, ] IR f() = cot. f : [0, ] IR f() = tan
þaðýdaki ifadelerin deðerlerini bulunuz.. arcsin. arcsin HG I KJ 9.0 G H. sin arcsin G Trigonometrik fonksiyonlarýn ( ) ve örten olduklarý aralýklarda tersleri de birer fonksiyondur. sin :,, fonksiyonu bire - bir ve örtendir. f() = sin fonksiyonunun ters fonksi- yonu f () = sin ile tanýmlanýr ve y = arcsin biçiminde gösterilir. O halde y = arcsin = siny dir. Örneðin y = arcsin siny = olur. Þimdi buna göre soruyu çözelim;. arcsin :,, olduðundan, dir. I K J trigonometri -. arcsin olsun. sin olur. 6. arcsin olsun. sin olur. sin. sinarcsin ifadesinde arcsin O halde, sinarcsin sin olur. sin Y f(f ()) = olduðundan kýsaca sinarcsin olur. fakat olur.,. arcsin ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. arcsin ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). arcsin ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 6 6 6. sin(arcsin( )) ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) ) 9
þaðýdaki ifadelerin deðerini hesaplayýnýz.. arccos. sin arccos 9. trigonometri - f : [0, ] [, ], f() = cos, bire bir ve örtendir. f() = cos fonksiyonunun ters fonksiyonu f () = cos ile tanýmlanýr ve y = arccos biçiminde gösterilir. f : [, ] [0, ], f () = arccos dir. y = cos = arccosy arccos / 0 0 y = arccos y y = f()=cos Sorunun çözümü yapýlýrsa :. arccos: [, ] [0, ] olduðundan [0,] dir. arccos HG I KJ olsun. cos olduðundan 6 olur. sin arccos I. arccos cos olur. HG KJ HG O halde sin arccos I KJ sin dir.. arccos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 8 6. arccos a ve arccos(0) b olduðuna göre, a b farký aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 0 ) ). arccos( ) + arccos() toplamýnýn deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ) 6. sin arccos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 9
HG I KJ 9.. sin arccos. cos arccos arcsin HG I KJ deðerlerini hesaplayýnýz. trigonometri - H I K sin arccos ifadesinde arccos olsun. cos G J olur. kosinüsü olacak þekilde dar açýlý bir dik üçgen çizelim. 8 ) cos ifadesinde ve arcsin arccos + arcsin arccos = = y alýnýrsa cos( + y) olur. arccos = cos = sin = una göre, cos arccos arcsin cos( y) cos.cosy sin.siny HG. sin arccos = sin = 8 = olur.. I KJ arcsin y siny cosy bulunur. y. sin arccos cos arcsin toplamýnýn deðeri kaçtýr?. y arccos fonksiyonunun taným kümesindeki tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? 0 6 ) ) ) ) ) 6 6 6 6 6 ) ) ) 0 ) ). tanarcsin ifadesinin deðeri kaçtýr?. tan arccos ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 6 9
9. cos(arctan + arccot) ifadesinin deðerini hesaplayýnýz. trigonometri - f: (, ) R, f() = tan fonksiyonunun tersi. f : R (, ), f () = arctan dir. arctan 0 + 0 f: (0,) IR, f() = cot fonksiyonunun tersi f :IR (0,), f () = arccot dir. arccot 0 + 0 / f() = tan y = f - () = arctan / y= f () = arccot / Þimdi soruyu çözelim. arctan= tan = = arccot = y coty = cos(arctan arccot) cos( y) cos y cos.cosysin.siny =. /. bulunur. HG I K J f() = cot y siny = cosy =. arctan( ) arctan( ) arctan iþleminin sonucu kaçtýr?. cos arc cot sin arctan ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). arccot( ) + arccot ( ñ) iþleminin sonucu kaçtýr? 9 7 ) ) ) ) ) 6 7 ) ) ) 7 ) ). arctan = ise, sin.cos cot ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 0 0 0 96
TRM TSTÝ trigonometri -. cos( ). tan cot denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) { l k., k Z} ) { l k., k Z} ) { l k., k Z} ) { l k., k Z} ) denkleminin (, ) aralýðýnda kaç kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ) 6. cos sin. 0 olmak üzere, sin = ñ denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 7 ) 6 ) ) ) denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? R S T U V W R S T UV W ), ), ) 6 RS T U V W RS T ), ) 6 UV W R S T U V W 7. 6 sin cos. (tan + )(cot + ñ) = 0 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) 6 ) 7 denklemini saðlayan en küçük dar açý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 8 6. (0,) olmak üzere, cos cos olduðuna göre, in alabileceði en küçük deðer aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) ) ) ) ) 0 6 97 8. [0,) olmak üzere, cos = sin + denkleminin köklerinin toplamý kaçtýr? ) ) ) ) )
trigonometri - 9. tan + (ñ )tan ñ = 0 denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 6. f() = + cot fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) ) ) ) ) 0. sin sin sin 0 sin denklemini saðlayan en küçük pozitif açý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 0 9 8 7 6. h() cos tan fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) 6 ) ) ) ). sin + cos = ñ denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 8 0 7. y Þekildeki grafiðin denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? / )y= sin ) y= sin ) y= cos ) y = cos ) y = sin. sin + ñ cos = 0 denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 8. sin (ñ + ).sin.cos + ñcos = 0 denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 98 8. y Yandaki þekildeki grafiðin denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? / / )y= cos ) y=cos+ )y= cos )y=+ cos ) y = cos + sin
9. f : [, ] IR f() = cot fonksiyonunun grafiði aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) y / / / /. sinarcsin arccos trigonometri - ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? 0 ) ) ) 9 9 0 0 ) ) 9 9 ) y ) y / / / / ) y / /. þaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? ) tan(arcsin) ) sin(arc tan) ) arctan arc cot ) sec arctan ) arcsin arctan ise tür. 0. sin(arcsin) + arcsin0 toplamýnýn deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) )0 ) ) ). cos(arccos) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) 0 ) ) 99
KONU TSTÝ -. sin ( + ) + cos (78 ) = ñ olduðuna göre, pozitif dar açýsý kaç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ) trigonometri - 6. f : [0, ] [, ] olmak üzere, f() = cos olduðuna göre, f ( ) f ifadesinin deðeri kaç radyandýr? ) ) ) ) ) 6. sin sin denkleminin [0, ) aralýðýnda kaç farklý kökü vardýr? 7. cot sin cos ) ) ) ) ) denklemini saðlayan pozitif dar açý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 8 6. sin + ñ sin = denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6. 8sin.cos = sin denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisi olamaz? ) ) ) ) ) 8. cos + sin.tan = denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) k., k Z ) k., k Z ) k., k Z ) k., k Z ) k., k Z 9..arctan( ) + =0 olduðuna göre, in alabileceði deðerler çarpýmý kaçtýr? ) ) ) ) ). < < olmak üzere, tan tan denklemini saðlayan kaç farklý deðeri vardýr? ) ) ) ) ) 00 0. sin.cos.cos = tan olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) 0 ) ) ) ) 7 9 6
trigonometri -. sin ñ.cos = ñ 6. y denkleminin [0, ) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) ). coty + sin = sin 6 coty = denklem sistemini saðlayan (, y) ikilisi aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ), ), ), 0 6 6 ), 0 ), 6 Yukarýdaki grafikte y = f() fonksiyonunun [0, ] aralýðýndaki grafiði verilmiþtir. una göre, f() fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisidir? ) cos ) cos ) sin ) sin ) cos( ) 7. cos + k.tan = sin +. cos + sin = denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) k., k Z ) k., k Z ) k., k Z 6 ) k., k Z ) önermesinin bir özdeþlik belirtmesi için k nýn deðeri aþaðýdakilerden hangisi olmalýdýr? ) sin ) cos ) tan ) sin ) sin 8. tan + cot = denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6. sin cos = sin cos denkleminin 0, aralýðýndaki köklerinin toplamý kaç radyandýr? 7 8 ) ) ) ) ) 6. f() = arctan ve = f() + f() +... + f() olduðuna göre, tan in deðeri kaçtýr? 6 7 ) ) ) ) ) 0 9. cosec = (sin + cos) denkleminin [0, ) aralýðýnda kaç farklý kökü vardýr? ) 0 ) ) ) ) 0. sin sin + < 0 eþitsizliðinin en geniþ çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? HG I KJ R S U T VW HG ), ), ), 6 6 6 6 6 I KJ H G I KJ HG I HG KJ I KJ R S U T VW ), ), 6 8 6
KONU TSTÝ -. cos. (sin ) = 0 eþitliðini saðlayan pozitif dar açýlarýnýn toplamý kaç radyandýr? ) ) ) ) ) 8 6 trigonometri - 7. ñ + cot = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre, açýsý (0, ) aralýðýnda kaç farklý deðer alýr? ) 0 ) ) ) ). 0 < < olmak üzere, cos sin olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 0 8 0 8. cos sin 0 denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? 9 ) ) ) ) ) 6. tan + tan = 0 eþitliðini saðlayan en küçük pozitif açý kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 60 ) 7 9. tan tan = 0 denkleminin (0, ) aralýðýnda kaç farklý kökü vardýr? ) ) ) ) ). sin + = cos denkleminin [0, ] aralýðýnda kaç farklý kökü vardýr? ) ) ) ) ) 0. sin + sin sin = 0 denkleminin [0, ] aralýðýndaki köklerinin toplamý kaç radyandýr? 7 ) ) ) ) ). cos + cos = cos denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 6. cos.cos6 = cos.cos7 denkleminin (, ) aralýðýnda kaç farklý kökü vardýr? ) 9 ) 0 ) ) ) 6. tan sin = 0 denkleminin köklerinden biri aþaðýdakilerden hangisi olamaz? ) 0 ) ) ) ) 0. ñ.(cos + ) = sin denklemini saðlayan en küçük pozitif açý kaç radyandýr? 7 ) ) ) ) ) 6 6
. f() = tan ( + ) sin 6 fonksiyonunun esas periyodu aþaðýdakilerden hangisidir? ) 6 ) ) ) ) HG I K J 8. sinarc tan cos arc cot trigonometri - toplamýnýn deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? 0 0 ) ) ) ) ) 9. f() = cos. f() arcsin fonksiyonunun en geniþ taným aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? ) [, 6] ) [, 9] ) [, ] ) [, ] ) [, ] fonksiyonunun [0, ] aralýðýndaki grafiði aþaðýdakilerden hangisidir? ) y ) y ) y ) y. tan arc cot ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) ) ) ) ) ) y 6. sin arc tan ifadesinin deðeri kaçtýr? 9 8 7 ) ) ) ) ) 0. y [0, ] aralýðýnda grafiði verilen fonksiyon aþaðýdakilerden hangisidir? 7. cosarc tan arc sin ifadesinin deðeri kaçtýr? 6 6 ) ) ) 0 ) ) 6 6 6 6 ) y sin ) y sin ) y cos ) y sin ) y cos 0
ÖSYS SORULRI. y Yanda grafiði çizilmiþ olan fonksiyon aþaðýdakilerden hangisidir? 6..tg a = 0 trigonometri - denkleminin köklerinin kareleri toplamýnýn e eþit olmasý için a açýsý aþaðýdakilerden hangisine eþit olmalýdýr? ) 0 ) 0 ) ) 90 ) 60 (97) )y=cos )y=sin )y=tg. y = cos ) y = cot ) y = sec (968) fonksiyonunun esas periyodu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 (966) 7. sin sin + = 0 denkleminin kökleri aþaðýdakilerden hangisidir? ) (k ), k ) (k ), k ) (k ), k ) (k ), ) enkleminin çözümü k yoktur. (97). f() sin fonksiyonunun periyodu aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 6 ) ) (97) 8. cos(arcsin ) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) cos ) ) ) ) sin (976) 9. a. b =. + cos = 0 denkleminin köklerinin eþit olmasý için açýsýnýn ölçüsü aþaðýdakilerden hangisidir? ) 0 ) ) 0 ) 90 ) 60 (97). + tg = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olmasý için açýsýnýn ölçüsü hangisi olmalýdýr? ) 0 ) ) 60 ) 90 ) Hiçbiri (97) 0 ise, aþaðýda verilen deðerlerinden hangisi a sin =b cos eþitliðini saðlar? ) 0 ) ) ) ) (978) 0. cos cos + = 0 denkleminin genel çözümü aþaðýdakilerden hangisidir? (k pozitif bir tam sayýdýr.) ) k ) k ) (k ) ) k ) (k ) 6 (979)
trigonometri -. cos + cos = sin + sin denklemini saðlayan en küçük dar açýnýn tanjantý kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 986). sin = cos denkleminin [0, 90 ] aralýðýndaki kökü kaç derecedir? ) 70 ) 6 ) 7, ) 7, ) 7, (ÖYS 987) 8. 0 olmak üzere, sin cot cos olduðuna göre, açýsý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 8 9. 0 < < ve sin.cos7 cos.sin7 sin cos8.cos6 olduðuna göre, kaç derecedir? (ÖYS 99). 8 cos sin denkleminin dar açý olan çözümü nedir? ) ) ) ) ) 8 6 (ÖYS 990) ) ) ) 8 ) 0 ) 60 (ÖYS 996) 0. < < olmak üzere,. 6 cos sin denklemini saðlayan dar açý aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) 0 ) ) (ÖYS 99) cos tan.sin denkleminin kökü aþaðýdakilerden hangisidir? 9 8 7 ) ) ) ) ) 6 (ÖYS 997). cos sin. sin + 0 cos 0 = 0 6. 7. olduðuna göre, cos in pozitif deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) cos cos (ÖYS 99) denklemini saðlayan dar açýsý kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 60 ) 7 (ÖYS 99) cos arc cot deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖYS 99) 0. denkleminin, aralýðýndaki kökü aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) ) ) 6 ) ) (ÖYS 998) cos sin olduðuna göre, tan kaçtýr? ) ) ) ) ) (ÖSS 008 II)
trigonometri -. f() arcsin fonksiyonunun ters fonksiyonu olan f () aþaðýdakilerden hangisidir? ) sin() 6 ) sin() + ) sin() 6 ) sin( 6) ) sin() (LYS 0). 0 olmak üzere, cot tan sin olduðuna göre, sin kaçtýr? ) ) ) ) ) 9 8 7 (LYS 0). (sina) (cos a) 0 denkleminin bir kökü una göre, sina kaçtýr? tür. ) ) ) ) ) 6 (LYS 0) 06
KRM TSTLR
KRM TST. ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ). ir çarpaný ( + ) olan ikinci dereceden bir P() polinomunun katsayýlar toplamý ve sabit terimi tir. una göre, P() polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtýr? ) 6 ) 8 ) ) ). þaðýdakilerden hangisi + 7 + 6 ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? ) + ) + ) + ) ) 6. = 0 denkleminin kökleri ve dir. 0 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 0. + y + y = + y + y = olduðuna göre, y kaçtýr? ) ) ) 6 ) 0 ) 7. a b 0 olmak üzere, ab 0 denkleminin çözüm kümesi bir elemanlý olduðuna göre, b a + ifadesinin deðeri kaçtýr? ) 0 ) ) ) ). c 0 h eþitsizliðini saðlayan en büyük tamsayýsý kaçtýr? ) ) ) ) ) 6 08 8. [, ] aralýðýnda tanýmlý f() = fonksiyonunun alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) 8 ) 9 ) 0 ) )
9..( 0) 0 eþitsizliðini saðlayan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. 0<< olmak üzere, 6 sin denklemini saðlayan deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 6 7 8 9 0. (m+) + ( m) m + = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < ise m nin deðer alacaðý en geniþ aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? ) (, ] ) [, ] ) [, ] ) (, ) ) [, ). h() = cosec fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? ) ) ) ) ). Yandaki grafik, f() = a + b + c parabolüne aittir. una göre, a + b + c toplamý kaçtýr? 9 ) ) ) ) ). Þekildeki küpte, IKI = IKGI, m(ékg) = ise, cos deðeri kaçtýr?. denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? ) { ) { ) { ) { ) cos k., kz} k., kz} k., kz} k., kz} 09 ) ) ) ) ) 6 6 6. ir üçgeninde II = cm ve sin(ë + ë) ol- duðuna göre, üçgeninin çevrel çemberinin yarýçapý kaç cm dir? ), ) ), ) ),
KRM TST. y 8 6y 7 : y y7 ifadesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) + y ) y. P() =.P( ) + eþitliði veriliyor. una göre, P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). 6 olduðuna göre, e j e j 6 6 iþleminin sonucu kaçtýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 6. P( ) = 6 + olduðuna göre, P() polinomunun + ñ ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). : ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) 7. 0 denkleminin köklerinden bir k dýr. una göre, k k ifadesinin deðeri kaçtýr?. f() g() + + _ + + + ) ) ) 0 ) ) Yukarýda iþaret tablosu verilen f() ve g() fonksiyonlarý için f ch c h 0 g eþitsizliðini saðlayan kaç tane negatif tamsayýsý vardýr? ) ) ) ) ) 8. (m + ) + m = 0 denkleminin kökleri bir dikdörtgenin kenar uzunluklarýdýr. u dikdörtgenin alaný birim kare ise çevresi kaç birimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 0
9.. sin ( ) sin ( ) 6 6 denkleminin [0,) aralýðýnda kaç farklý kökü vardýr? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 Yukarýdaki grafik, f() = + m + parabolüne aittir. = birim olduðuna göre, m deðeri kaçtýr? ) 6 ) ) ) ). f() csc ( sin ) fonksiyonunun esas periyodu kaçtýr? 0. ( + ) ( + 6)( + ) 0 eþitsizliðini saðlayan kaç farklý tamsayý deðeri vardýr? ) ) ) ) ) ) ) ) 6 ) 7 ) 8. sin + cos = sin.cos denkleminin [, ] aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) ) ) 6 ) 8. IR için (m +) + m + > 0 olduðuna göre, m nin alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ). tan = denkleminin (0,) aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) ) 0 ) 8 ) 6 ) 6. eþkenar üçgen [, O merkezli yarým çembere de teðet II = II, m(ék) = ise, tan kaçtýr? 6+ 6+ 6+ ) ) ) _ ) 6+ ) + + +
KRM TST. = 0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisine eþittir? ) 6 + ) + ) + ) ). P( ) = a. 9 + (a ) 6 + 8 polinomu veriliyor. una göre, P( ) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. 8 iþleminin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? ) + ) + ) + ) ) 6. P() polinomunun 6 ile bölümünden kalan olduðuna göre, P( ) polinomunun ( ) ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) 0 ) ) ). : 6 ifadesinin sadeleþmiþ biçimi nedir? ) ) ) ) ) 7. + + m = 0 denkleminin reel köklerinin çarpýmý en çok kaçtýr? ) 9 7 ) ) ) ). ir reel sayýnýn fazlasý ile ayný sayýnýn eksiðinin çarpýmý 6 dan küçük olduðuna göre, bu reel sayý hangi aralýktadýr? ) (, 6) ) (, 0) ) (, 0) ) (, ) ) (, ) 8. f() = + + m parabolu ile y = + doðrusu birbirine teðet olduðuna göre, teðetin deðme noktasýnýn koordinatlarý toplamý kaçtýr? ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 )
9. eþitsizliðini saðlayan en küçük pozitif tamsayý ile en büyük negatif tamsayý toplamý kaçtýr? ) ) ) 0 ) ). f() arcsin fonksiyonunun taným aralýðýnda kaç farklý tamsayý vardýr? ) 0 ) ) ) ) 0. tan + tan = 0 denkleminin (0,) aralýðýnda kaç farklý kökü vardýr? ) ) ) ) 6 ) 7. dik üçgen, II = cm, II = 8 cm m(é) = ve tan Yukarýdaki verilere göre, II kaç cm dir? 7 ) ) ) ) ). tan = cot denkleminin [0,90 ] aralýðýndaki kökü aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 7, ) 0 ), ) 0. cos sin 0 denklemini saðlayan en küçük pozitif açý kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 90 ) 0. [] [] = {} II = II = 6 birim, II = birim ve lan( ) = lan( ) Yukarýdaki verilere göre, II kaç birimdir? ) 6 ) 8 ) 0 ) ) 8 6. + a = 0 denkleminin kökleri ve dir. olduðuna göre, a + a ifadesinin deðeri kaçtýr? ) ) ) 0 ) )
KRM TST. a 6a olduðuna göre, a ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? a ) ) 0 ) ) ). P() bir polinom ve P( + ) + P() = 6 + olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi P() polinomunun bir çarpanýdýr? ) + ) + ) + ) + ) +. 8 ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) 7 ) + ) ) + 7 6. P() = + m + n + polinomu + ile tam bölünebilmektedir. una göre, P( ) + P( ) polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? ) ) ) ) ). y 8 y 0 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) + y ) + y + ) y + ) y ) y 6 7. (m + ) + m + = 0 denkleminin kökleri a ve b dir. a( b) + b( a) = olduðuna göre, m in deðeri kaçtýr? ) ) ) ) 7 ) 9. (a ) (a + ) + (a + ) = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. 8. 6 + = 0 denkleminin kökleri ve dir. una göre toplamýnýn deðeri kaçtýr? = olduðuna göre, a kaçtýr? ) ) ) ) 0 ) ) 0 ) 0 ) ) ) 7
9. y (0,) y = f(). cosarccos sin(arccos0) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? (,0) y = g() ) 0 ) ) ) ) (, 0) noktasý y = f() parabolünün (0, ) noktasý y = g() parabolünün tepe noktasýdýr. f() ve g() fonksiyonlarý ve noktalarýnda kesiþ- (fog)( ) tiklerine göre, deðeri kaçtýr? (f g)() ) ) 0 ) ) ). kare, II II = ve.ii = II m(ék) = ise, tan kaçtýr? 0. a + a + = 0 denkleminin farklý ve gerçel iki kökü vardýr. una göre, bu denklemin kökler toplamý aþaðýdakilerden hangisi olamaz? ) 0 ) 8 ) ) ) 8 ) ) ) ) ) 7. ( ) ( ) 0 ( 8) eþitsizliðini saðlayan en büyük tamsayýsý kaçtýr? ) ) ) ) ). P() baþkatsayýsý olan üçüncü dereceden bir polinomdur. P() polinomu ( ) ve ( + ) ile tam bölünmektedir. P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan olduðuna göre, P() polinomunun çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? ) ) ) + ) + ). cos sin denklemini saðlayan açýlardan biri aþaðýdakilerden hangisi olabilir? ) ) 0 ) ) 7 ) 80 6. y = + m + parabolü ile y = + doðrusu kesiþmediðine göre, m nin alabileceði kaç farklý tamsayý deðeri vardýr?
KRM TST. a a = olduðuna göre, a + a kaçtýr? ) 7 ) ) 9 ) 7 ). (a + ) + 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir olduðuna göre, a nýn deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) 6. a b b a a b olduðuna göre,.a.b nin deðeri kaçtýr? 6. y y y olduðuna göre, y nin türünden deðerleri toplamý aþaðýdakilerden hangisidir? 7 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) 7.. P() ve Q() bir polinom olmak üzere, P( ) = ( ) Q() + eþitliði veriliyor. una göre, P( + ) polinomunun + 6 + 6 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir? ) + 7 ) + ) ) + 7 ) + Þekildeki y = f() parabolünün tepe noktasýnýn koordinatý T (, k) ve y eksenini kestiði noktanýn koordinatý tür. O = O olduðuna göre, f() fonksiyonunun alabileceði en küçük deðer kaçtýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8. P() üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere, P(6) P() = P() = P() = 0 ise oraný kaçtýr? P() ) ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 8. R için + + m ifadesi ten küçük olduðuna göre, m nin deðer aldýðý en geniþ aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? HG I KJ HG 7 7 ), ), )(, ) 8 I KJ )(, ) )( ) 6
9.. ir üçgeninde II = cm, II = cm ve II = ò6 cm olduðuna göre, m(é) kaç derecedir? ) ) 60 ) 0 ) ) 0 Yukarýdaki þekilde y = f() fonksiyonunun grafiði verilmiþtir. ( ).f() 0 eþitsizliðini saðlayan kaç farklý tamsayýsý vardýr? ) ) ) 6 ) 7 ) 8. Yandaki þekil tane özdeþ kareden oluþmuþtur. una göre, sin(kélm) nin deðeri kaçtýr? 0. f() = m + ( m) m fonksiyonu veriliyor. f() fonksiyonunun en küçük deðeri pozitif olduðuna göre, m nin alabileceði en küçük tamsayý deðeri kaçtýr? ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ) ). ir P() polinomu ( ) ile bölündüðünde bölüm Q() ve kalan 6 + dir. una göre, P() polinomunun ( + ) ile bölümündeki bölüm polinomu aþaðýdakilerden hangisidir?. sin.cos + sin = 0 denkleminin [0,] aralýðýnda kaç tane kökü vardýr? ) 8 ) 7 ) 6 ) ) ) ( ).Q() ) ( ).Q() + ) ( + ).Q() + ) ( + ).Q() + ) ( + ).Q(). arccos arcsin olduðuna göre, ile arasýndaki baðýntý aþaðýdakilerden hangisidir? )= )= )+=0 ) + = ) + = 7 6. Þekildeki parabolün tepe noktasý T(, ) olup y eksenini (0, 9) noktasýnda kesmektedir. Orijinden çizilen doðru parabole (a, b) noktasýnda teðet olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? ) ) ) ) )
VP NHTRLRI
9. ÇRPNLR YIRM 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTi 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0. POLÝNOMLR 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTÝ 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 0. ÖZÞLÝKLR 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTi 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 60 6 7 8 9 0 9
. ÞÝTSÝZLÝKLR 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTi 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi -. ÝKÝNÝ RN NKLMLR 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTi 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi -. ÜÇÜNÜ RN NKLMLR 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTi 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0. PROL 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTi 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTi - 6 7 8 9 0 0
6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6. TRiGONOMTRi 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTi 6 7 8 9 0 6 7 8. TRiGONOMTRi 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTÝ 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 7. TRiGONOMTRi 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 TRM TSTÝ 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0
9. TRiGONOMTRi TRM TSTÝ 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KONU TSTÝ - 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 ÖSYS SORULRI 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 KRM TSTLR TST - TST - TST - TST - TST - 6 7 8 9 0 6
KRKÖK YYINLRI KÝTPLRI MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝYL SIIR SRÝSÝ MTMTÝK SIIR GOMTRÝ SIIR ÝZÝK SIIR POLÝNOM SIIR PROL SIIR TRÝGONOMTRÝ SIIR KRMÞIK SYILR SIIR LOGRÝTM SIIR OLSILIK ve ÝSTTÝSTÝK SIIR ÝZÝLR SIIR MTRÝS - TRMÝNNT SIIR ONKSÝYON ve LÝMÝT SIIR TÜRV SIIR ÝNTGRL SIIR MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝ SRÝSÝ YGS MTMTÝK / 9. Sýnýf YGS MTMTÝK / 9. Sýnýf LYS MTMTÝK / 0. Sýnýf LYS MTMTÝK /. Sýnýf LYS MTMTÝK /. Sýnýf YGS - LYS GOMTRÝ YGS - LYS GOMTRÝ YGS OÐRUNUN NLÝTÝÐÝ LYS NLÝTÝK GOMTRÝ 9. SINI GOMTRÝ. SINI GOMTRÝ. SINI GOMTRÝ YGS - LYS ÝZÝK / 9. Sýnýf YGS - LYS ÝZÝK / 0. Sýnýf YGS - LYS ÝZÝK /. Sýnýf YGS - LYS ÝZÝK /. Sýnýf YGS - LYS KÝMY / 9. Sýnýf YGS - LYS KÝMY / 0. Sýnýf YGS - LYS KÝMY /. Sýnýf YGS - LYS KÝMY /. Sýnýf YGS - LYS ÝYOLOJÝ / 9. Sýnýf YGS - LYS ÝYOLOJÝ / 0. Sýnýf YGS - LYS ÝYOLOJÝ /. Sýnýf YGS - LYS ÝYOLOJÝ /. Sýnýf YGS - LYS TÜRKÇ - ÝYT YGS - LYS OÐRY / Lise Yardýmcý YGS OÐRY / 9. Sýnýf LYS OÐRY / 0. Sýnýf LYS OÐRY /. Sýnýf YGS LS / Lise Yardýmcý LYS PSÝKOLOJÝ / Lise Yardýmcý LYS SOSYOLOJÝ / Lise Yardýmcý LYS MNTIK / Lise Yardýmcý YGS T ÝNKILP TRÝHÝ /. Sýnýf KONU NLTIMLI KÝTPLR SRÝSÝ 0. SINI GOMTRÝ LYS ÇÐÞ TÜRK ve ÜNY TRÝHÝ /. Sýnýf YGS - LYS SORU NKLRI SRÝSÝ YGS MTMTÝK SORU NKSI LYS MTMTÝK SORU NKSI YGS GOMTRÝ SORU NKSI LYS GOMTRÝ SORU NKSI YGS ÝZÝK SORU NKSI LYS ÝZÝK SORU NKSI YGS KÝMY SORU NKSI LYS KÝMY SORU NKSI YGS ÝYOLOJÝ SORU NKSI LYS ÝYOLOJÝ SORU NKSI YGS TÜRKÇ SORU NKSI LYS ÝYT SORU NKSI YGS TRÝH SORU NKSI LYS TRÝH SORU NKSI YGS OÐRY SORU NKSI LYS OÐRY SORU NKSI YGS LS SORU NKSI LYS LS GRUU SORU NKSI LÝS R SINI SORU NKLRI SRÝSÝ 9. SINI MTMTÝK SORU NKSI 0. SINI MTMTÝK SORU NKSI. SINI MTMTÝK SORU NKSI 9. SINI GOMTRÝ SORU NKSI 0. SINI GOMTRÝ SORU NKSI 9. SINI ÝZÝK SORU NKSI 9. SINI KÝMY SORU NKSI 0. SINI KÝMY SORU NKSI 9. SINI ÝYOLOJÝ SORU NKSI 0. SINI ÝYOLOJÝ SORU NKSI. SINI ÝYOLOJÝ SORU NKSI ÝZÝNLÝ TML ÝLGÝLR SRÝSÝ ÝZÝNLÝ TML ÝYT ÝLGÝLRÝ ÝZÝNLÝ TML OÐRY ÝLGÝLRÝ ÝZÝNLÝ TML LS ÝLGÝLRÝ ÝZÝNLÝ TML PSÝKOLOJÝ ÝLGÝLRÝ ÝZÝNLÝ TML SOSYOLOJÝ ÝLGÝLRÝ ÝZÝNLÝ TML MNTIK ÝLGÝLRÝ SON YILIN ÇIKMIÞ ÖSYS SORULRI SRÝSÝ YGS - LYS TÜRKÇ - ÝYT ÇIKMIÞ SORU- LR YGS - LYS TRÝH ÇIKMIÞ SORULR YGS - LYS OÐRY ÇIKMIÞ SORULR YGS - LYS LS G. ÇIKMIÞ SORULR YGS - LYS MTMTÝK ÇIKMIÞ SORULR YGS - LYS GOMTRÝ ÇIKMIÞ SORULR YGS - LYS ÝZÝK ÇIKMIÞ SORULR YGS - LYS KÝMY ÇIKMIÞ SORULR YGS - LYS ÝYOLOJÝ ÇIKMIÞ SORULR SON 6 YILIN YGS SINVLRI SON 6 YILIN M LYS SINVLRI SON 6 YILIN TM LYS SINVLRI SON 6 YILIN TS LYS SINVLRI NM KÝTPLRI SRÝSÝ YGS TÜRKÇ NMLRÝ YGS TRÝH NMLRÝ YGS OÐRY NMLRÝ YGS LS NMLRÝ YGS MTMTÝK NMLRÝ YGS ÝZÝK NMLRÝ YGS KÝMY NMLRÝ YGS ÝYOLOJÝ NMLRÝ LYS ÝYT NMLRÝ LYS TRÝH NMLRÝ LYS OÐRY NMLRÝ LYS LS GRUU NMLRÝ LYS MTMTÝK NMLRÝ LYS GOMTRÝ NMLRÝ LYS ÝZÝK NMLRÝ LYS KÝMY NMLRÝ LYS ÝYOLOJÝ NMLRÝ YGS NMSÝ ( soru + çözüm kitapçýðý) YGS NMSÝ ( soru kitapçýðý) LYS - NMSÝ ( soru + çözüm kitapçýðý) LYS - NMSÝ ( soru + çözüm kitapçýðý) LYS - NMSÝ ( soru + çözüm kitapçýðý) LYS - NMSÝ ( soru + çözüm kitapçýðý) ÝLKÖÐRTÝM ÝKÝNÝ KM SRÝSÝ 6. SINI MTMTÝK / MPS 6. SINI TÜRKÇ / MPS 6. SINI N ve TKNOLOJÝ / MPS 6. SINI SOSYL ÝLGÝLR / MPS 6. SINI MTMTÝK SORU NKSI 6. SINI SOSYL ÝLGÝLR SORU NKSI 7. SINI MTMTÝK / MPS 7. SINI TÜRKÇ / MPS 7. SINI N ve TKNOLOJÝ / MPS 7. SINI SOSYL ÝLGÝLR / MPS 7. SINI MTMTÝK SORU NKSI 7. SINI SOSYL ÝLGÝLR SORU NKSI 8. SINI MTMTÝK / MPS 8. SINI TÜRKÇ / MPS 8. SINI N ve TKNOLOJÝ / MPS 8. SINI ÝNKILP TRÝHÝ ve TTÜRKÇÜLÜK / MPS 8. SINI MTMTÝK SORU NKSI 8. SINI TÜRKÇ SORU NKSI 8. SINI N ve TKNOLOJÝ SORU NKSI 8. SINI ÝNKILP TRÝHÝ ve TTÜRKÇÜLÜK SORU. SS NMSÝ ( soru + çözüm kitapçýðý)
MOÜLR PÝRMÝT SÝSTMÝ MTMTÝK KÝTPLRI MTMTÝK 0 / 9. Sýnýf, Lise Temellendirme. oðal Sayýlarda ve Tamsayýlarda ört Ýþlem. Rasyonel Sayýlar. enklem ve þitsizlik. Mutlak eðer. asamak Kavramý ve Taban ritmetiði 6. ölünebilme Kurallarý 7. O ve OKK 8. Üslü Sayýlar 9. Köklü Sayýlar 0. Çarpanlara yýrma ve Özdeþlikler. Oran - Orantý. Ortalamalar. Sayý ve Kesir Problemleri. Yaþ Problemleri. Yüzde Problemleri 6. Karýþým Problemleri 7. Ýþçi - Havuz Problemleri 8. Hareket Problemleri 9. Grafik Problemleri 0. Kümeler. onksiyon. Ýþlem. Modüler ritmetik. Permütasyon - Kombinasyon. Olasýlýk MTMTÝK / 9. Sýnýf. oðal Sayýlarda ve Tamsayýlarda ört Ýþlem. Rasyonel Sayýlar. enklem ve þitsizlik. Mutlak eðer. asamak Kavramý 6. Taban ritmetiði 7. sal Çarpan ve Tam ölenlerin Sayýsý 8. ölünebilme Kurallarý 9. O ve OKK 0. aktöriyel Kavramý. Üslü Sayýlar. Köklü Sayýlar. Oran - Orantý. Ortalamalar MTMTÝK / 9. Sýnýf. Sayý Problemleri 6. Yaþ Problemleri 7. Yüzde ve Kâr - Zarar Problemleri 8. aiz Problemleri 9. Karýþým Problemleri 0. Ýþçi - Havuz Problemleri. Hareket Problemleri. Saat Problemleri. Grafik Problemleri K. MNTIK. Kümeler. Kartezyen Çarpýmý, aðýntý 6. onksiyon 7. Ýþlem 8. Modüler ritmetik MTMTÝK / 0. Sýnýf 9. Çarpanlara yýrma 0. Özdeþlikler. Polinomlar. II. ereceden enklemler. III. ereceden enklemler. Parabol. þitsizlikler 6. Trigonometri 7. Trigonometri 8. Trigonometri 9. Trigonometri MTMTÝK /. Sýnýf 0. Karmaþýk Sayýlar. Logaritma. Permütasyon - Kombinasyon. inom. Olasýlýk. Ýstatistik 6. Toplam Sembolü 7. Çarpým Sembolü 8. iziler 9. ritmetik izi - Geometrik izi 0. Matris. eterminant. Lineer enklem Sistemleri MTMTÝK /. Sýnýf. onksiyonlar. Parçalý onksiyonlar. Mutlak eðer onksiyonu 6. Limit ve Süreklilik 7. Sonsuz iziler ve Limit 8. Türev Kurallarý 9. Türev - Limit Ýliþkisi (L Hopital) 60. Türevin Geometrik Uygulamalarý 6. Maksimum - Minimum Problemleri 6. elirsiz Ýntegral 6. elirli Ýntegral 6. Ýntegral ve lan - Hacim Ýliþkisi