ELN 40 Mühedslk Olasılığı Tucay ERTŞ Ders Notları- ELN40 Mühedslk Olasılığı Kullaıla Ders Ktabı: D.. Bertsekas ad J.N. Tstskls, Itroducto to robablty,. Baskı, thea Scetfc, 00. Z. eebles, Jr., robablty, Radom Varables ad Radom Sgal rcples,. Baskı, McGraw-Hll, 99. Ders Yardımcısı: Yok Ders macı Olasılığı temel kavramlarıı ve buları mühedslk uygulamalarıı alamak. Ders Hedef Ders tamamlaması le geel olarak aşağıdak becerler kazaacaksıız: Br deey örek uzayıı ve lgl olaylarıı belrlemek, olaylara aksyomlara uygu bçmde olasılık atamak. Koşullu olasılıkları hesap etmek, deey sorası olasılıkları hesaplamada Bayes Kuralıı kullamak. Rasgele değşkelere lşk temel kavramları alamak. Olay olasılıklarıı ve beklee değerler hesaplamada olasılık yoğuluklarıı beceryle kullamak. Koşullu yoğulukları ve koşullu bekletler hesaplamak. Rasgele değşkeler foksyolarıı beklee değerler ve olasılık yoğuluklarıı hesaplamak. Rasgele süreçlere lşk temel kavramları alamak. Durağa rastgele süreçler ve Gauss rasgele süreçler taımak ve özellkler belrlemek. Durağa süreçler özlt ve güç spektrumuu hesaplamak. Grş br rasgele süreç ola doğrusal zamala değşmeye sstemler çıkışıı karakterze etmek. ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Ders rogramı ELN40 Mühedslk Olasılığı Hafta Yer Zama İçerk Ödevler - -4 5-6 7-8-9 - -4 Y05 YLab Y05 YLab Y05 YLab Y05 YLab Y05 YLab Y05 YLab Çarşamba Olasılığa grş. Örek uzayı ve olaylar. Olasılık ksyomları. Olasılık hesabı, 08:45 7:00 :0 9:0 koşullu olasılık ve bağımsızlık. Brleşk deeyler ve Beroull deemeler. Çarşamba Rasgele değşkeler. Bazı öeml rasgele değşkeler. Br rasgele değşke 08:45 7:00 foksyoları ve beklet. :0 9:0 Çarşamba Br rasgele değşke br foksyouu dağılımı. Brde fazla rasgele 08:45 7:00 :0 9:0 değşkelere grş. Çarşamba Koşullu dağılımlar ve koşullu beklet. Rasgele değşkeler toplamı ve 08:45 7:00 Merkez Lmt Teorem. Bekletler ve ortak değştler. Brde fazla rasgele :0 9:0 değşke foksyoları. Çarşamba 08:45 7:00 :0 9:0 Çarşamba 08:45 7:00 :0 9:0 Rastsal Süreçler. rasıav Haftası Doğrusal Sstemler Rasgele syallere cevabı, problemler,. arasıav ELN40 Mühedslk Olasılığı Değerledrme Döemç Sıavı - %50 Döemsou Sıavı %50 Derse Devam Derse devam esastır. %70 Devam alamaya öğrecler devamsız sayılır. Derste bulumaya öğrecler, yapıla duyurularda doğa sorumlukları kedlere attr. Ders teret sayfasıı http://home.uludag.edu.tr/~tertas/ her zama kotrol edz. ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Bölüm I Örek Uzayı ve Olasılık Olasılık Modeller Koşullu Olasılık Olasılığı ksyomları Toplam Olasılık ve Bayes Kuralı Bağımsızlık Sayma Olasılık Olasılık kullaışlı br kavram olarak, değşk şekllerde yorumlaması mümküdür. şağıdak kouşmayı zleyelm. Br hasta hastaeye alıır ve kedse muhtemele hayatıı kurtaracak br laç verlr. Hemşre le hasta yakıı arasıda geçe br kouşmayı celeyelm. Hasta Yakıı: Hemşre haım, bu lacı şe yarama olasılığı edr? Hemşre: Umarım şe yarar, soucu yarı görürüz. Hasta Yakıı: Evet, ama buu olasılığı edr? Hemşre: Bu hastada hastaya değşr. Soucu görmek ç beklemelyz. Hasta Yakıı: Tamam ama, ayı koumdak 00 hasta ç buu kaç kez şe yaramasıı beklersz? Hemşre : Sze söyledm, her hasta farklıdır. Bazılarıa y gelr bazılarıa gelmez. Hasta Yakıı: O zama söyley baa, eğer y gelp gelmeyeceğ kousuda bahse grmez gerekseyd, hags seçerdz? Hemşre : İy geleceğ. Hasta Yakıı : ek, o zama y gelrse $ kazamaya, gelmezse $ kaybetmeye var mısıız? Hemşre : : Hasta mısı kardeşm!!!! Be boş yere meşgul etme ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Olasılık Kouşmada, hasta yakıı soucu belrsz br durumu tartışmak ç olasılık kavramlarıı kullamakta ve olası souç hakkıda daha fazla blg sahb olmaya çalışmaktadır. İlk yaklaşım olasılığı olma sıklığı frekas, ya yeterl sayıda bezer durum çdek başarı yüzdes, olarak taımlamaktır. Bu taım geellkle doğaldır. Mesela: Hlesz br paraı yazı veya tura gelme olasılığı %50 dr. Ya, zamaı yarısıda. Hemşre, bu termler csde tartışmak stememes de doğal karşılaablr. cak, ya bu laç bu hastaede veya hemşre hayatıda lk defa kullaılsaydı o zama e olurdu? Frekas yorumuu uygu olduğu brçok durum olmasıa rağme, olmadığı durumlarda vardır. Mesela: İk farklı beste ayı kş tarafıda besteleme olasılığı %90 olarak dda edlse, bu br alam taşır acak frekas csde değl. Çükü olay br kerede yapıla br ştr. Bu daha çok kşsel br kaıdır. Kşsel kaıları e azıda blmsel br değer yoktur deleblr. cak, dğer tarafta, salar belrszlk durumlarıda seçmler yapmaktadır. Kouşmada, aslıda hasta yakııı yaptığı hemşre kşsel kaısıda dolaylı olarak br souç çıkarmaktır. Olasılık Kouşmada, hemşre bre-br bahs kabul etmek steseyd, hasta yakıı lacı y gelme olasılığıı e az %50 olacağı gb br souç çıkarablrd. Eğer, kyebr bahs kabul etseyd, bu y gelme olasılığıı e azıda / olableceğe şaret ederd. Nede Olasılık Kuramıı Öğreyoruz? Çükü olasılık kuramı: Belrszlk durumlarıı etkl br şeklde modeller. Belrszlk altıda karar vermemze yarar. Karar verme sürec: Ver topla, olayı modelle, souç çıkar, karar ver. Bu bölümümü aa hedef, belrszlğ olasılık modeller le taımlamaktır. Buu ç öce bazı kavramları hatırlayalım. ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Kümeler Olasılık, küme operasyolarıı yoğu br şeklde kullamakta olduğuda, lgl otasyo ve termolojde bahsetmek yararlı olacaktır. Küme: yı türde eseler elemaları bütüüdür. S { x, x, K, x }, x S, x S, Zar atmaı mümkü çıktılarıı kümes {,,, 4, 5, 6} Yazı-Tura atmaı mümkü çıktılarıı kümes {Y, T} Küme bell br özellğ sağlaya x ler bütüü şeklde de olablr. S { x 0 x }, S { k k / br tam sayıdır } sayılamaz sosuz sayılablr sosuz Küme elemaları solu veya sosuz sayıda olablr. Kümeler S Ω T S T Ω T S Ω S IT S UT c S IT T S Ω T S T U Ω S T U Ω T S, c S yrık artto ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Küme ebr S T T S S T U S T S U S S S Ω Ω S T U S T U S T U S T S U S S S Ω S Φ U S I S I S U S DeMorga Kuralı Olasılık Modeller Belrsz durumları matematksel taımıdır. şağıdak bleşelerde oluşur. Deey: Çıktıları rastgele ola br süreçtr. Örek Uzayı: Br deey mümkü bütü çıktılarıı kümesdr. Olay: Örek uzayıı br alt kümesdr. Olasılık Yasası: Br olayı gerçekleşmese lşk [0,] arasıda br ümerk değer atamasıdır. Deey B olayı olayı Olasılık Yasası Örek Uzayı B Olaylar Olasılık Model temel bleşeler ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Olasılık Modeller rdışıl Modeller, 4 zar atışıı örek uzayı,,,4,. atış Başlagıç,,,4, 4. atış 4,,,4 4, 4, 4, 4,4 Olasılık ksyomları Olasılık Modeller aşağıdak aksyomları sağlamalıdır. oztflk: Herhag br olay ç 0 Toplamsallık: Eğer k olay ayrık seler, buları olasılıkları ç + veya geel olarak L + +L Normalzasyo: Bütü örek uzayıı olasılığı bre eşttr. Ω Ω Ω φ Ω + φ φ 0 ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Olasılık Kuralı yrık olasılık kuralı: Eğer örek uzayı solu sayıda mümkü çıktıda meydaa gelyorsa, olasılık kuralı, tek elemalı olayları olasılıkları le fade edlr. Ya, özel olarak, br { s, s, L, s} olayıı olasılığı, ou elemalarıı olasılıkları toplamıa eşttr. yrık uform olasılık kuralı: Eğer örek uzayı, eşt olasılıklı mümkü çıktılarda oluşuyorsa, herhag br olayıı olasılığı, ' ı elema sayısı Örek olarak, dört yüzlü br çft zar atma deey düşüelm. Olasılık Kuralı yrık T Başlagıç Y Y T T 4 Y T,T T,Y Y,T Y,Y Dört yüzlü hlesz br zar k kez atılmaktadır. Deey örek uzayıı k farklı gösterm 4 4 { E az br gelmes } { İk zarı da ayı gelmes } Başlagıç 4,,,,4,,,,4,,,,4 4, 4, 4, 4,4 4 ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Olasılık Kuralı yrık Hlesz br para le, arka arkaya kez yazı tura atma deey örek uzayı, Ω { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY } { TTY, TYT YTT } tışlarda sadece ks tura gelme olayı,, Her br deey soucuu eşt olasılıklı olduğuu kabul edersek { TTY } + { TYT } + { YTT } / 8 + / 8 + / 8 / 8 Olasılık Kuralı yrık Her br çıktıı olasılığı eşt ve /6 dır. Olasılık, olayı elemalarıı sayısıı toplam çıktı sayısıa oraıdır. 4. atış zar atışıı örek uzayı 4. atış Olay: {İlk atış kcse eşt}. Olasılık4/6 Olay: {tışlarda e az br4}. Olasılık7/6 {Toplamlarıı çft sayı olması}, / {Toplamlarıı tek sayı olması}, / ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Olasılık Kuralı Sürekl Romeo ve Julet belrl br saatte buluşacaklardır. Bütü geckmeler eşt olasılıklı olmak üzere, her br e fazla 0 la saat arasıda br geckme le buluşma yere varacaklardır. İlk gele 5 dakka bekleyecek, dğer gelmemşse buluşma yerde ayrılacaktır. İks buluşma olasılığı edr? Örek uzayı şekldek brm alalı kare üzerdek bütü oktalardır. Her br oktaı eşt olasılıklı kabulü le, şekl üzerdek herhag br ala o bölge olasılığı olacaktır. Kurula bu olasılık yasası, üç aksyom le de tutarlıdır. Buluşma saat y /4 M 0 /4 x Şekldek mor ala çft buluşmama olasılığı olacaktır. Bu da, M { x, y x y / 4, 0 x, 0 y } / 4 / 4 7 /6 Olasılık Kurallarıı Özellkler, B, ve olaylar olsular If Bse, B + B B + B + B + B Bularda geellemeler de yapılablr. c c c ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Koşullu Olasılık Koşullu olasılık, örek uzayıı belrl br kısmıı kapsaya br olay meydaa geldkte sora dğer br olayı olma olasılığı şeklde taımlaır. B Ω B olayı verldğde meydaa geldkte sora, olayıı koşullu olasılığı şeklde gösterlr. İlgl bazı örekler vermek gerekrse: rdışık k zarı atılması deeyde, gele sayıları toplamıı 9 olduğu bldğde, lk zarı 6 olma olasılığı edr? Radar ekraıda br okta tespt edldğde, buu br uçağa at olma olasılığı edr? Görüldüğü gb problem, gerçekleşe br olayı blgs le, dğer olma olasılığıı bulumasıdır. Şmd amacımız, olasılık aksyomlarıı sağlaya, ye br olasılık yasasıı oluşturmaktır. Koşullu Olasılık Bütü çıktıları eşt olasılıklı ola br zar atma deey düşüelm. Deey soucuu çft sayı olduğu söyledğde, acaba atıla sayıı 6 olma olasılığı edr? Ya: souç 6 souç çft sayı? Bütü deey çıktılarıı eşt olasılıklı olması durumuda, B' elema sayısı B' elema sayısı {6} B {,4,6} / B B 6 4 B 5 Ω Geelleştrlrse, > 0, ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Koşullu Olasılık Ω Ω + + + ve B > 0 ayrık Koşullu olasılıklar, olasılık yasalarıı bütü geel özellkler geçerl olduğu br olasılık yasası oluştururlar. + + Koşullu Olasılık B B olduğuda Koşullu olasılık, ye örek uzayı B üzerde ye br olasılık yasası olarak da düşüüleblr. Hlesz br para le, arka arkaya kez yazı tura atılıyor. ve B olayları, {Tura ı Yazı da fazla gelmes } B{İlk atışı Tura gelmes} se her br deey soucuu eşt olasılıklı olduğu kabulü le? Ω { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY }, { TTT, TTY, TYT TYY } B, 4 / 8 / 8 B { TTT, TTY, TYT } / 8 / 4 4 / 8 B y ye örek uzayımız kabul edersek, kısaca / 4 buluur. ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Koşullu Olasılık 6 mümkü soucu eşt olasılıklı olduğu kabulü le, hlesz dört yüzlü br zar kez atılıyor. X ve Y olayları,. ve. atışları temsl etsler. ve B olayları, { max X, Y m}, B { m X, Y } se m,,,4 ç? 4 İkc atış Y B / 5, / 5 0 m veya 4 ç m ç m ç 4 Brc atış X Koşullu Olasılık le Modelleme rdışıl karakter ola deeyler ç olasılık modeller oluştururke, öcelkle koşullu olasılıkları belrleyp bular le de koşulsuz olasılıkları hesaplamak geellkle daha uygu olmaktadır. Belrl br bölgede br uçak mevcut ke, 0.99 olasılık le br radar ou yakalayarak br alarm syal, uçak mevcut değl ke de 0. olasılıkla Yalış larm syal üretmektedr. Br uçağı bölgede buluma olasılığıı 0.05 olduğuu farz edelm. Uçak bulumaması ve Yalış larm olasılığı edr? Uçak buluması ve ıskalama olasılığı edr? { Uçak var} B { Radar alarm syal üretr} B { Uçak yok} { Radar alarm syal üretmez} ELN40 Mühedslk Olasılığı -
ELN40 Mühedslk Olasılığı - Koşullu Olasılık le Modelleme 0.0005 0.0 0.05, B B yok alarm uçak var 0.095 0.0 0.95 B alarm yalış uçak yok, Uçak var Uçak yok 0.05 0.95 Yalış alarm Iskalama 0.99 B 0.0 B 0.0 B 0.90 B Çarpım Kuralı Sadece ve sadece bell olayları ardışık olarak meydaa gelmes le oluşa br olayıı, ya, olma olasılığı L L L L L L Sadece k olay ç formül, koşullu olasılığı taımıa döüşür.
Çarpım Kuralı 5lk skambl destesde üç kart çeklmektedr desteye ger bırakmada. Her br adımda kala kartları çeklme olasılıklarıı eşt olduğu kabul edlrse, çekle kartlarda hçbr kupa olmama olasılığı edr? Smetr dolayısı le her kart üçlüsüü de çeklme olasılıkları eşt olacaktır. Karışık br yötem, kupa olmaya mümkü kart üçlüler sayıp buu toplam kart üçlüler sayısıa bölmektr. slıda, çarpım kuralıı kullaılması le problem daha bast br şeklde çözüleblr. {. kart kupa değldr},, 9 / 5 8/ 5 7 / 50 9 8 7 5 5 50 Toplam Olasılık Teorem Br çok olayı olasılığıı arçala-yut yötemyle hesaplamak mümküdür.,, L, olayları örek uzayıı uygu br şeklde bölümüş brbrde ayrık parçaları olmak üzere ve > 0 şartı le br B olayıı olasılığı aşağıdak şeklde yazılablr. B Ω 5 B 4 6 7 + LL + LL+ B + LL+ B B ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Toplam Olasılık Teorem Br satraç turuvasıa katılıyorsuuz. Oyucuları yarısıa karşı kazama olasılığıız 0. Tp oyucu Oyucuları ¼ üe karşı kazama olasılığıız 0.4 Tp oyucu Oyucuları kala ¼ üe karşı kazama olasılığıız 0.5 Tp oyucu Rastgele seçlmş br rakp le oyuyorsuuz. Kazama olasılığıız edr? Tp ola br rakp le oyama olayıı, B de kazama olayıı temsl ets. 0.5 0. 5 0. 5 B 0. B 0.4 B 0.5 0.75 B 0.5 0.+ 0.5 0.4 + 0.5 0.5 Bayes Kuralı,, L, olayları örek uzayıı uygu br şeklde bölümüş brbrde ayrık parçalarıdır. > 0 ve > 0 şartı le, B k B B k k Bayes kuralı geellkle souç çıkarmak ç kullaılır. Öreğ gözlee br etk brde fazla sebeb olablr. Etk gözledğde, buu hag sebepte kayakladığı soucuu çıkarma şleme uygulaablr. Satraç oyuua döecek olursak: Öreğ, kazadığımızı varsayalım. Tp oyucu le oyamış olma olasılığımız edr? Bayes kuralıı kullaırsak, B B + B + B 0.5 0. 0.4 0.5 0.+ 0.5 0.4+ 0.5 0.5 ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Bağımsızlık Olması durumuda, B de bağımsızdır der. Ya br olayı olma olasılığı, br dğer olup olmamasıa bağlı değl se bu olaylar brbrde bağımsız olaylardır. Burada, Bağımsızlığı örek uzayı yoluyla alaşılması kşy yalışa sevk edeblr. İlk akla gele yaygı görüş şudur: İk olay ayrık se, brbrde bağımsızdır. Bu görüş aslıda yalıştır. yrık oldukları halde kesşmler boş küme k olay bağımlı olablr. Bağımsızlık Dört yüzlü br zarı ardışık olarak defa atıldığı br deey düşüelm, öyle k bütü deey çıktı olasılıkları /6 olsu. {Brc atışı olması} B{İk atışı toplamlarıı 5 olması} durumuda ve B olayları bağımsız mıdır? {,,,,,,,4}, B {,4,,,,,4,} k atışı soucu,4 /6 ' ı elema sayısı 4 /6 toplam çıktı sayısı B elema sayısı 4 /6 toplam çıktı sayısı /6 olduğuda ve B bağımsızdır ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Bağımsızlık Br öcek öreğ aşağıdak olaylar ç düşüelm. {Brc atışı olması} B{İk atışı toplamlarıı olması} durumuda ve B olayları bağımsız mıdır? {,,,,,,,4}, B {,,,} k atışı soucu, /6 ' ı elema sayısı 4 /6 toplam çıktı sayısı B elema sayısı /6 toplam çıktı sayısı / olduğuda ve B bağımlıdır. B olayı kc zarı veya 4 olamayacağı hakkıda blg vermektedr! Sadece toplamları 5 olması durumuda bağımsızlık vardır. Bağımsızlık X ve Y brc ve kc atışı temsl etmek üzere, { max X, Y } B { m X, Y } olayları bağımsız mıdır? k atışı soucu, /6 ı elema sayısı /6 toplam çıktı sayısı B elema sayısı 5/6 toplam çıktı sayısı 5/ 56 olduğuda ve B bağımlıdır. slıda, k atışı mmumu ayı zamada maksmumu hakkıda da blg taşıdığıda k olayı bağımlı oldukları matıksal olarak belldr. Mesela, mmum se maksmum olamaz. ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Koşullu Bağımsızlık B B B B B B B B B Dört mümkü durumu eşt olasılıklı olduğu, k hlesz para atma deey düşüelm. H { Brc atış TUR} H { İkc atıştur} D { İk souç farklı} H ve H koşulsuz olarak bağımsızdır, fakat koşullu olarak bağımlıdır. H D /, H D /, H H D 0 H H D H D H D Koşullu Bağımsızlık Br kırmızı dğer mav rekl olmak üzere k tae para vardır. Br taes ½olasılıkla rastgele seçlp arda arda k defa atılsı. Herhag br atışta, 0.99 olasılıkla mav ola TUR kırmızı ola se YZI gelmektedr yalı. B { Mav paraı seçlmes} H {. atışı TUR gelmes} ara seçldkte sora, H ve H olayları brbrde bağımsızdır. Mav paraı seçlmş olduğuu farz edersek B olayı H H H H 0.99 0.99 Dğer tarafta, H ve H olayları brbrde bağımsız değldr. Çükü, dyelm br para atıldı ve TUR geld. Bu bze mav paraı atılmış olacağıı ve dolayısı le de sorak atışı da tekrar TUR gelmes gerektğ düşüdürür. Toplam olasılık teorem kullaarak, H H + B H 0.99+ 0.0 B, H / H H H H + B H B H B 0.99 0.99 + 0.0 0.0 / H H H H ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Bağımsızlık İk olay ve B brbrde bağımsız se, Eşdeğer olarak, > 0 ç, le B bağımsız se, le B de bağımsızdır. Eğer le B, verldğde koşullu olarak bağımsız se, >0 > 0 olmak üzere, B B Eğer ek olarak, B > 0, B Bağımsızlık, koşullu bağımsızlığı, koşullu bağımsızlık da bağımsızlığı gerektrmez. Koşullama bağımsızlığı etkler! İkde Fazla Olayı Bağımsızlığı,,..., olayları bağımsızdır, eğer {,,..., } herhag br alt kümes S ç I S S Öreğ,,, sağlaması gerekr. gb üç olayı bağımsız olablmes ç dört durumu............ 4 Çfter bağımsızlık Not: İlk üç bağımsızlık dördücüyü, dördücü de dğerler garatlemez! ELN40 Mühedslk Olasılığı -
İkde Fazla Olayı Bağımsızlığı Çfter bağımsızlık, tam bağımsızlık alamıa gelmez. Brbrde bağımsız k hlesz para atışıı düşüelm. H {. atışı TUR gelmes}, H {. atışı TUR gelmes} D { İk atışı soucu farklı} Taımda H ve H olayları bağımsızdır. Dğer üç durum ç, H D / 4 D H D H / H le D bağımsız H D / 4 D H D H / H H D 0 H H D H le D bağımsız H, H, D bağımsız değl İkde Fazla Olayı Bağımsızlığı bağımsızlık ç yeterl değldr. Brbrde bağımsız k hlesz zar atışıı düşüelm. Üç olay sırasıyla {. atış,, veya }, B {. atış, 4, veya 5}, { İk zarı toplamı 9} 6 4 6 6 4 B 6 4 B 6 6 ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Beroull Deemeler Br deey bezer fakat brbrde bağımsız adımlar çereblr. İk hlesz zar atışıı düşüelm. Özel olarak, her br adımda sadece k mümkü souç söz kousu se Yazı-Tura, deeye Beroull deemeler adı verlr. Brbrde bağımsız defa yazı-tura atılsı. Her br atış ç TUR gelme olasılığı p YZI gelme olasılığı se -p olsu. k adet TUR dolayısı le de -k adet YZI çere herhag br deey çıktısıı olasılığı k k p p bütü k 0,..., ç doğru. yrıca çde k adet TUR bulua uzuluklu deey çıktılarıı sayısı da!, k 0,,..., Bom katsayıları 0! k k! k! Dolayısı le, adet deemede k adet TUR gelme olasılığı pk, k k p k p p Bom olasılıkları k Beroull Deemeler Bom olasılıkları toplamı dr. Ya, p k p k 0 k k p k ç deey celeyelm. p p p p p p p p p p p p p p TTT p TTY p p TYT p p TYY p p YTT p p YTY p p YYT p p YYY p 0 Sıfır TUR Br TUR İk TUR Üç TUR p p+ p p + p + p ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Beroull Deemeler Grade of Servce Hzmet Dereces Br teret hzmet sağlayıcı, adet müşterye hzmet vermek ç c adet modem kurmuştur. Herhag br zamada, her br müşter dğerlerde bağımsız olarak bağlatı steme olasılığı p dr. Bağlatı steye müşter sayısıı modem sayısıda fazla olma olasılığı edr? Yapılması gereke eşzamalı olarak bağlamak steye müşter sayısıı c de fazla olma olasılığıı bulmaktır. Bu da, k c+ p k k p k 00, p0., c5 ç servs dışı kalma olasılığı 0.099 Sayma Sayma presp olarak kolay görümese rağme, çoğu durumlarda zordur. Sayma saatı, kombatork alaıı büyük br bölümüü şgal etmektedr. Bu derste, saymaı temel prespler ele alıarak, olasılık modellerde sıkça karşılaşıla durumlara uygulaacaktır. Brc kısmıı mümkü çıktıları a, a,..., a m ve kc kısmıı mümkü çıktıları b, b,..., b ola k kısımlı br deey düşüelm. İk adımlı deey mümkü çıktıları se m adet a, b j,,..., m, j,..., sıralı çftlerdr. Buu r adımlı br deeye geellersek, mümkü souçları toplam sayısı... olacaktır. r 4 durumu ç souçları gösterrsek, r ELN40 Mühedslk Olasılığı -
Sayma r 4-4 dım dım dım dım 4 Telefo Numaralarıı Sayısı Sayma Br telefo umarası 7 rakamlıdır. Fakat, lk rakam 0 veya olamaz. Kaç tae telefo umarası vardır? Durum, her adımıda dğerlerde bağımsız olarak br rakamı seçldğ 7 adımlı br deey olarak ele alıablr. Telefo umaralarıı sayısı, lk adımda 8 seçeekl, dğer adımlarda se 0 seçeekl mümkü deey souçlarıı toplam sayısıdır. Dolayısı le cevap, 8 0 0 0 8 0 6 adet -Elemalı Br Küme lt Kümeler Sayısı lt küme seçm, -elemalı br küme elemalarıı sırasıyla alt küme elemaı olarak seçlp seçlmeyeceğe karar verldğ bary seçm ardışık br süreç olarak düşüüleblr. Dolayısı le alt küme sayısı, { s, s,..., s } 6 adet ELN40 Mühedslk Olasılığı -
ermutasyo -adet elemada k-aded sıralama gözeterek seçm çere br sayma türüdür. Ya -elemalı br dzde kaç farklı k-elemalı dz seçeblrz? Bu dzler sayısıa, -elemalı br dz k-elemalı permutasyou der. L k + k L! L k k L k! Özel olarak k se, mümkü dz sayısıa sadece permutasyoları der.! 6 harf çde seçerek kaç farklı 4 harfl kelme üretleblr? roblem, 6 harf 4-lü permutasyolarıı sayısıı saymaktır. Öyleyse cevap,! 6! 58800 k!! adet klask, adet rock ve adet halk müzğ Dler vardır. yı tür Dler ardışık olarak sıralamış olmak kaydıyla, Dler kaç değşk şeklde sıralaablrler?!!!! Kombasyo -adet elemada k-aded sıralama gözetmede seçm çere br sayma türüdür. Örek olarak,, B,, D harfler -l permutasyoları B,, D, B, B, BD,, B, D, D, DB, D ke kombasyoları B,, D, B, BD, D k! k k! k! Görüldüğü gb permutasyoları sayısı kombasyoları sayısıı k! katıdır. ELN40 Mühedslk Olasılığı -
ELN40 Mühedslk Olasılığı - yrık arçalama -elemalı br küme ve toplamları ola poztf,,., r sayıları verlyor. Kümey her br elema sayısı ola r adet ayrık alt kümeye ayırmak styoruz. Bu şlem acaba kaç değşk şeklde yapılablr? Multomal katsayı r r L L!!!!!!!!! r r r r L LL!!!! r LL r,,, L L