Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çöümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boutlu Kuvvet Sistemleri 3. DENGE - Dülemde Denge - Üç Boutta Denge 4. YAPILAR - Dülem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar 5. SÜRTÜNME 6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEMETRİK MERKEZLER
STATİK 3 DENGE
STATİK 3.2 Üç Boutta Denge
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 1 Üç boutta denge problemlerini çöerken de apılacak ilk iş serbest cisim diagramı çimektir. Temas cinsi ve kuvvet kanağı İncelenecek cisme etkisi 1. Sürtünmesi üeler vea bila mesnetli Diğer cisim incelediğimi cisme bir N kuvveti ugulaabilir. Bu kuvvet daima itme kuvvetidir ve temas noktasında daanma üeine diktir. N 2. Sürtünmeli üeler Diğer cisim incelediğimi cisme bir R kuvveti ugulaabilir. Bu kuvvet daima itme kuvvetidir. F R 2 = F 2 + N 2 F : Teğetsel bileşen, sürtünme kuvveti, daanma üeine paralel N R N : Normal bileşen, daanma üeine dik Sürtünme kuvveti daima kamaı önleici öndedir. 3. Yanal önde hareketi engellenmiş tekerlekli mesnet Diğer cisim incelediğimi cisme bir R kuvveti ugulaabilir. Bu kuvvet daima itme kuvvetidir. F R 2 = F 2 + N 2 F : Yanal kuvvet N : Normal bileşen, daanma üeine dik N R
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 2 Temas cinsi ve kuvvet kanağı İncelenecek cisme etkisi 4. Küresel mafsal Diğer cisim incelediğimi cisme bir R kuvveti ugulaabilir. Fakat dönmee iin verdiği için moment ugulaama. R R R 2 = R 2 + R 2 2 + R R 5. Ankastre mesnet Diğer cisim incelediğimi cisme bir R kuvveti ve bir M momenti ugulaabilir. M R R R M R 2 = R 2 + R 2 + R 2 M 2 = M 2 + M 2 + M 2 M 6. Eksenel ük taşıabilen rulmanlı atak Diğer cisim incelediğimi cisme bir R kuvveti ve bir M momenti ugulaabilir. M R R R M R 2 = R 2 + R 2 + R 2 M 2 = M 2 + M 2 Dönme ekseni doğrultusunda moment ugulaama.
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 3 Üç boutta denge denklemleri Dengedeki bir cisme etki eden kuvvetlerin toplamı ve kuvvet çiftlerinin momentlerinin toplamı sıfırdır. n R = Σ F i = F 1 + F 2 + + F n = ΣF = 0 i=1 n M = Σ M i = M 1 + M 2 + + M n = ΣM = 0 i=1 : Ötelenme ile ilgili denge şartı : Dönme ile ilgili denge şartı ΣF = 0 ΣM = 0 Kuvvetlerin de kuvvet çiftlerinin de üç dik bileşeni olabilir. ΣF = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 Üç boutlu kuvvet sistemi etkisindeki bir cismin dengesini inceleerek 6 tane bağımsı denklem elde edilebilir. Dolaısı ile bir cismin dengesini inceleerek en fala 6 bilinmeen bulunabilir.
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 4 ÜÇ BYUTTA DENGE KATEGRİLERİ Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diagramı Bağımsı Denklemler 1. Bir noktada kesişen F 1 F n A F 2 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 F 3 2. Anı çigi ile kesişen F 1 F n F 2 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 0 = 0 F 3
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 5 ÜÇ BYUTTA DENGE KATEGRİLERİ Kuvvet Sistemi Serbest Cisim Diagramı Bağımsı Denklemler 3. Paralel F 1 F 2 F n F 3 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 0 = 0 0 = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 0 = 0 4. Genel M 1 F 1 F 2 ΣF = 0 ΣM = 0 ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0 ΣM = 0 F n F 3
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 6 Behcet Örnek Problem DAĞHAN 3/6 Üç aaklı bir tabure şekildeki gibi bir L ükünü taşımaktadır. Her bir aağın altındaki düşe tepki kuvvetini bulunu. Taburenin ağırlığını ihmal edini. Verilenler: Çöüm L L B 30 o B A 30 o C ΣM = 0 A C ' C (r cos30 o ) B (r cos30 o ) = 0 r = A = B = C = 250 mm C = B İstenenler: ΣM A = f(l) =? ' = 0 8 B = f(l) =? L (75 + 250 sin30 o ) A (250 + 250 sin30 o ) = 0 A = L 15 C = f(l) =? Boutlar milimetre cinsindendir. ΣF = 0 A + B + C L = 0 B = L 7 30
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 7 Behcet Örnek Problem DAĞHAN 3/7 Şekildeki gibi üklenmiş olan dirseğin dengede kalabilmesi için noktasındaki civata bağlantısının dirseğe ugulaması gereken kuvvet R nin ve kuvvet çifti M nin şiddetini bulunu. Verilenler: 1. Çöüm T 1 = 1.6 kn T 2 = 2.4 kn ΣF = 0 R + T 1 cos50 o = 0 R = 1.03 kn R R M ΣF = 0 R T 2 sin30 o = 0 ' R M M ' R = 1.2 kn T 1 = 1.6 kn T 2 = 2.4 kn ΣM ' = 0 M T 1 sin50 o (350) + T 2 cos30 o (150) = 0 M = 117 N m ΣM ' = 0 İstenenler: R =? ΣF = 0 R T 1 sin50 o + T 2 cos30 o = 0 R = 0.85 kn M T 1 cos50 o (350) = 0 M = 360 N m ΣM = 0 M T 1 sin50 o (200) = 0 M = 245 N m M =? R 2 = R 2 + R 2 + R 2 R = 1.8 kn M 2 = M 2 + M 2 + M 2 M = 451 N m
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 8 Behcet Örnek Problem DAĞHAN 3/7 Şekildeki gibi üklenmiş olan dirseğin dengede kalabilmesi için noktasındaki civata bağlantısının dirseğe ugulaması gereken kuvvet R nin ve kuvvet çifti M nin şiddetini bulunu. Verilenler: T 1 = 1.6 kn T 2 = 2.4 kn - dülemi R 150 mm B 200 mm M 60 o R T 2 2. Çöüm ΣF = 0 R T 1 sin50 o + T 2 sin60 o = 0 R = 0.85 kn ΣM = 0 M T 1 sin50 o (350) + T 2 sin60 o (150) = 0 T 1 sin50 o A M = 117 N m - dülemi T 1 cos50 o 200 mm T 2 cos60 o İstenenler: A R =? ΣM = 0 M =? M T 1 cos50 o (350) = 0 R 150 mm B M = 360 N m R M ΣF = 0 R + T 1 cos50 o = 0 R = 1.03 kn ΣF = 0 R T 2 cos60 o = 0 R = 1.2 kn - dülemi T 2 sin60 o B R R 200 mm M ΣM = 0 A M T 1 sin50 o (200) = 0 50 o M = 245 N m T 1 R 2 2 2 2 = R + R + R R = 1.8 kn M 2 = M 2 + M 2 2 + M M = 451 N m
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 9 Behcet Örnek Problem DAĞHAN 3/7 Şekildeki gibi üklenmiş olan dirseğin dengede kalabilmesi için noktasındaki civata bağlantısının dirseğe ugulaması gereken kuvvet R nin ve kuvvet çifti M nin şiddetini bulunu. Verilenler: T 1 = 1.6 kn T 2 = 2.4 kn 3. Çöüm ΣF = 0 R + T 1 + T 2 } = 0 R = R i + R j + R k T 1 = T 1 cos50 o i T 1 sin50 o j T 2 = T 2 cos30 o j T 2 sin30 o k R = 1.03 kn R = 0.85 kn R = 1.2 kn R 2 = R 2 + R 2 2 + R r T1 r T2 İstenenler: R =? M =? ΣM = 0 ΣM = M + M R + M T1 + M T2 = 0 M = M i + M j + M k M R = 0 M T1 = M T2 = i j k 200 0 350 T 1 cos50 o T 1 sin50 o 0 i j k 0 0 150 0 T 2 cos30 o T 2 sin30 o R = 1.8 kn Bu vektörel denklemleri aıp düenledikten sonra i, j ve k nın katsaılarını sıfıra eşitleerek elde edilen denklemlerin çöümünden aranan sonuçlar bulunur. M = 117 N m M = 360 N m M = 245 N m M 2 = M 2 + M 2 2 + M M = 451 N m
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 10 Behcet Örnek Problem DAĞHAN 3/8 Her birinin bou 1200 mm ve kütlesi 20 kg olan üç tane üniform çubuk birbirine kanatılmış ve şekildeki gibi üç tane düşe kablo ile tavana asılmıştır. AB ve BC çubukları ata olan - düleminde er almaktadır. Üçüncü çubuk ise - dülemine paraleldir. Her bir kablodaki çekme kuvvetini hesaplaını. Verilenler: Çöüm m = 20 kg g = 9.81 m/s 2 A 600 600 B 600 600 C W = mg W 600 W ΣM = 0 C (1200) + W (600) + W (600) = 0 600 W C = 196 N İstenenler: Boutlar milimetre cinsindendir. Aslında bu problemin çöümü uunlukların biriminden bağımsıdır. ΣM = 0 A (1200) + W (600) + W (600 sin30 o ) = 0 ΣF = 0 A + B + C 3 W = 0 A =? B =? A = 147 N B = 245 N C =?
Statik Denge 3.2. Üç Boutta Denge 11 Behcet Örnek Problem DAĞHAN 3/9 ve A noktalarındaki pim bağlantıları üç koordinat doğrultusunda kuvvet ve - ile -ekseni etrafında moment taşıabilmektedir. A kolunun kütlesi 2 kg, AB kolununki 2.5 kg ve C tablasınınki ise 4 kg dır. Şekildeki durumda mesnedindeki tepkileri bulunu. Verilenler: Çöüm m A = 2 kg m AB = 2.5 kg m C = 4 kg g = 9.81 m/s 2 R M R R M 0.3 W A 15 o 0.3 0.4 ΣF = 0 R = 0 ΣF = 0 R = 0 0.12 W C 0.4 W AB ΣF = 0 R W A W AB W C = 0 W = mg R = 83 N İstenenler: Boutlar metre cinsindendir. R =? ΣM = 0 R =? R =? M + W A (0.3 sin30 o ) + W AB (0.6 sin30 o + 0.4 sin15 o ) + W C (0.6 sin30 o + 0.8 sin15 o + 0.12) = 0 M =? ΣM = 0 M =? M W A (0.3 cos30 o ) W AB (0.6 cos30 o 0.4 cos15 o ) + W C (0.8 cos15 o 0.6 cos30 o ) = 0 B 30 o 30 o 15 o M = 37.4 N m M = 1.6 N m A Üstten görünüş