Bölüm 2 Matematik Dili

Bölüm 2 Matematik Dili Kümeler p Küme(Set) = ayrık nesnelerden oluşmuş topluluğa küme denir p Kümenin elemanları element olarak adlandırılır p Kümeler nasıl gösterilir Liste şeklinde p Örnek: A = {,3,5,7} Tanım şeklinde p Örnek: B = {x x = 2k +, < k < 3}

Sonlu ve Sonsuz Kümeler (Finite and İnfinite Sets) p Sonlu kümeler (Finite sets) Örnekler: q A = {, 2, 3, 4} q B = {x x is an integer, < x < 4} q Sonsuz kümeler (Infinite sets) q Örnekler: q Z = {integers} = {, -3, -2, -,,, 2, 3, } q S={x x is a real number and < x < 4} = [, 4] Bazı önemli kümeler p Boş küme (empty set veya { }), elemanı olmayan küme null set veya void set adını da alırlar q Evrensel küme (Universal set): Bahsettiğimiz guruptaki bütün elemanları içine alır q Örnekler: U = {all natural numbers} U = {all real numbers} U = {x x is a natural number and < x<} 2

Cardinality p Bir A kümesinin cardinatilty si o A kümesinin eleman sayısıdır. A olarak gösterilir p Örnekler: If A = {, 2, 3} then A = 3 If B = {x x is a natural number and < x< 9} then B = 9 p Sonsuz (Infinite) cardinality Sayılabilir (Countable) (örnek, natural numbers, integers) Sayılamayan (Uncountable) (örnek, real numbers) Altkümeler (Subsets) p Eğer X kümesinin bütün elemanları Y kümesi içerisinde yer alıyorsa X e Y kümesinin bir alt (subset) kümesidir denir (in symbols X Y) q Eşitlik(Equality): X = Y if X Y and Y X p Eğer X kümesi, Y kümesinin bir alt kümesi iken Y kümesi, X kümesinin bir alt kümesi değilse; X kümesi, Y kümesinin bir öz-alt kümesidir (proper subset) denir p if X Y but Y X Gözlem: her kümenin bir alt kümesidir 3

Power set p X kümesinin power set i, X kümesinin bütün alt kümelerinin kümesi olup, P(X) ile gösterilir P(X)= {A A X} Örnek: if X = {, 2, 3}, then P(X) = {, {}, {2}, {3}, {,2}, {,3}, {2,3}, {,2,3}} q Theorem : If X = n, then P(X) = 2 n Küme İşlemleri (Set operations): Birleşim ve Kesişim (Union and Intersection) X ve Y verilen iki küme olsun p X ve Y kümesinin birleşimi (union) X Y = { x x X or x Y} q X ve Y kümesinin kesişimi (intersection) X Y = { x x X and x Y} X ve Y gibi iki kümenin kesişimi boş küme ise X ve Y kümeleri ayrık (disjoint-pairwise) kümeler olarak adlandırlır if X Y = 4

Tümleyen ve Fark (Complement and Difference) p İki kümenin farkı X Y = { x x X and x Y} Fark(difference), X kümesine göre Y nin göreceli ttümleyeni (relative complement ) olarak da adlandırılır q Simetrik Fark (Symmetric difference ) X Δ Y = (X Y) (Y X) q Evrensel küme (universal set ) içerisinde yer alan A kümesinin tümleyeni (complement) A c = U A şeklinde gösterilir Sembolü A c = U - A Venn şemaları (diagrams) p Bir venn şeması verilen iki kümenin grafik olarak gösterilimini sağlar p Bir kümenin birleşimi(union), kesişimi (intersection), farkı (difference), simetrik farkı (symmetric difference) ve tümleyeni (complement) tanımlanabilir 5

Küme işlemlerinin özellikleri () Theorem : U, evrensel bir küme; A, B ve C evrensel kümenin bir alt kümesi olduğunda aşağıdaki özellikler mevcuttur a) Birleşim(Associativity): (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) b) Değişim(Commutativity): A B = B A A B = B A Küme işlemlerinin özellikleri(2) c) Dağılma (Distributive): A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) d) Özdeşlik (Identity): A U=A A = A e) Tümleyeni(Complement): A A c = U A A c = 6

Küme işlemlerinin özellikleri(3) f) Idempotent: A A = A A A = A g) Bound laws: A U = U A = h) İçine alma (Absorption): A (A B) = A A (A B) = A Küme işlemlerinin özellikleri(4) i) Gerektirme (Involution): (A c ) c = A j) / kanunu: c = U U c = k) Kümeler için De Morgan: (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c 7

Kartezyen Çarpım (Cartesian Product) p Verilen iki kümenin kartezyen çarpımı (cartesian product) A x B = {(a,b) a A Λ b B } şeklinde gösterilir p p A x B B x A A x B = A. B Genelleştirilmiş birleşim ve kesişim p p p A, A 2, A 3,...,A n kümelerinin birleşimi A A 2 A 3,...,A n = n A, A 2, A 3,...,A n kümelerinin I i = A i kesişimi A A 2 A 3,...,A n = n U i = n I i = Birleşim ve Kesişim kümelerinin eleman sayısı s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) A i A i 8

Düzenli Seriler ve Dizgiler (Sequences and Strings) p Düzenli Dizi (sequence) Sıralı bir listeyi göstermek için kullanılan ayrık yapıya denir. N elemanlı bir dizinin gösterilimi s n = n nin bir fonksiyonu olup n =, 2, 3,... p Eğer s sıralı bir diziyse {s n n =, 2, 3, }, s birinci elemanı gösterir, s 2 ikinci elemanı gösterir, s n n. elemanı gösterir p {n} düzenli bir serinin indeksidir. N doğal sayılardan oluşur veya bu kümenin sonlu bir alt kümesidir Düzenli serilere (sequences) örnek Örnekler:. s = {s n } aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun s n = /n, for n =, 2, 3, Sequence ın ilk birkaç elementi:, ½, /3, ¼, /5,/6, 2. s = {s n } aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun s n = n 2 +, for n =, 2, 3, Sequence ın ilk birkaç elementi : 2, 5,, 7, 26, 37, 5, 9

Artan ve Azalan (Increasing and Decreasing) s = {s n } için aşağıdakiler söylenebilir increasing if s n < s n+ decreasing is s n > s n+, for every n =, 2, 3, Örnekler: S n = 4 2n, n =, 2, 3, azalan: 2,, -2, -4, -6, S n = 2n -, n =, 2, 3, artan:, 3, 5, 7, 9, Düzenli altseriler (Subsequences) p Bir s sequence ının s = {s n }, alt sequence ı t = {t n }ile gösterilir ve sıralama düzeni aynı kalmak şartıyla s sequence ının elemanlarından elde edilir Örnek: s = {s n = n n =, 2, 3, } p, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, t = {t n = 2n n =, 2, 3, } p 2, 4, 6, 8,, 2, 4, 6, p t, s nin bir düzenli altserisidir (Subsequences)

Toplam (Sigma) gösterilimi p Eğer {a n } bir sequence ise, bu sequence ın toplamı m Σ a k = a + a 2 + + a m k= Bu toplam gösterilimi (sigma notation), olup Yunan alfabesindeki Σ ile gösterilir Çarpım (Pi) gösterilimi p Eğer {a n } bir sequence ise, bu sequence ın çarpımı m Π a k = a a 2 a m k= Bu çarpım gösterilimi (pi notation), olup Yunan alfabesindeki Π ile gösterilir

Dizgi-Katar (String) p X sonlu elemanlardan oluşan bir küme olsun Örnek: if X = {a, b, c} α = bbaccc X kümesi üzerinden tanımlanmış olsun Gösterilim: bbaccc = b 2 ac 3 α string inin uzunluğu (length) α string inin eleman sayısını verir ve α ile gösterilir. Eğer α = b 2 ac 3 ise α = 6. p Eğer bir string eleman içermiyorsa boş string (null string) adını alır ve Yunan alfabesindeki λ (lambda)ile gösterilir p X* = {all strings over X dahil λ} p X + = X* - {λ}, the set of all non-null strings p α ve β gibi iki string in birleşimi(concatenation), α ve arkasına β nın eklenmesiyle elde edilen αβ string i şeklindedir. p Örnek: α = bbaccc ve β = caaba, αβ = bbaccccaaba = b 2 ac 4 a 2 ba Kısaca, αβ = α + β 2

Sayı Sistemleri (Number systems) p İkili (Binary) sayılar: ve, bits adını alır. p Binary(base 2), hexadecimal(base 6) ve octal(base 8) sayı sistemleri Decimal(base ) sistem: Örnek: 45,238 8 bir 8 x = 8 3 on 3 x = 3 2 yüz 2 x = 2 5 bin 5 x = 5 4 on bin 4 x = 4 İkili (Binary) sayı sistemi p Binary den decimal a: p İki tabanındaki sayı olsun bir x2 = iki x2 = 2 dört x2 2 = sekiz x2 3 = 8 on-altı x2 4 = otuz-iki x2 5 = 32 almış-dört x2 6 = 64 7 (taban ) 3

Decimal den binary e p Decimal sayı 73 olsun 73 = 2 x 36 + kalan 36 = 2 x 8 + kalan 8 = 2 x 9 + kalan 9 = 2 x 4 + kalan 4 = 2 x 2 + kalan 2 = 2 x + kalan (kalanlar ters sırada yazılır) 73 = 2 İkili (Binary) toplama (addition) tablosu 4

İkili (binary) sayılarda toplama p Örnek: add 2 + 2 elde birler 2 2 2 Hexadecimal sayı sistemi Decimal sistem 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 2 3 4 5 Hexadecimal sistem 6 7 8 9 A B C D E F 5

Hexadecimal den decimal e p Hexadecimal sayımız 3AB 6 olsun x 6 = x 6 = x 6 2 = 256 3 x 6 3 = 2288 4859 Decimal den hexadecimal e Verilen sayı 2345 olsun 2345 = 46x6 + remainder 9 46 = 9x6 + remainder 2 2345 =929 6 6

Hexadecimal sayılarda toplam Toplam 23A 6 + 8F 6 23A 6 + 8F 6 2C9 6 Bağıntılar (Relations) p X ve Y verilen iki küme olsun, bunların Kartezyen Çarpımı (Cartesian Product) XxY olup, (x,y) çiftlerinden oluşur, x X ve y Y XxY = {(x, y) x X and y Y} p R, XxY kartezyen çarpımının bir alt kümesi olup, X den Y ye, bir ikili bağıntı (binary relation) olarak verilmiş olsun Örnek: X = {, 2, 3} ve Y = {a, b} R = {(,a), (,b), (2,b), (3,a)} X ve Y arasında bir bağıntıdır 7

Tanım ve Değer Kümesi (Domain and Range) X den Y ye verilen bir R bağıntısında, p R nin tanım kümesi (domain) Dom(R) = { x X (x, y) R for some y Y} p R nin değer kümesi (range) Rng(R) = { y Y (x, y) R for some x X} p Örnek: X = {, 2, 3} ve Y = {a, b} R = {(,a), (,b), (2,b)} Dom(R)= {, 2}, Rng(R) = (a, b} Bağıntılara örnek p X = {, 2, 3} ve Y = {a, b, c, d} p R = {(,a), (,d), (2,a), (2,b), (2,c)} p Verilen bağıntıyı graf kullanarak çizersek: 8

Bağıntıların özellikleri R, X kümesi üzerinde bir bağıntı olsun Örnek:R, XxX kartezyen çarpımının bir alt kümesi p For every x X için, (x,x) R şartı sağlanıyorsa, R bağıntısında yansıma (reflexive) özelliği mevcuttur p For some x Xiçin, (x,x) R şartı sağlanıyorsa, R bağıntısında (nonreflexive) özelliği mevcuttur p For every x Xiçin, (x,x) R şartı sağlanıyorsa, R bağıntısında (irreflexive) özelliği mevcuttur p x, y Xiçin, [(x,y) R ve (y,x) R] veya [(x,y) R ve (y,x) R] veya (x=y) şartı sağlanıyorsa R bağıntısında simetrik (symmetric) özelliği mevcuttur p x,y X için, eğer (x y) ise [((x,y) R ve (y,x) R) veya ((x,y) R ve (y,x) R) ] ise R bağıntısında (antisymmetric) özelliği mevcuttur 9

p (x,y,z) X için, [(x,y) R ve (y,z) R ]iken (x,z) R mevcut ise R bağıntısında geçişkenlik (transitive) özelliği mevcuttur p (x,y,z) X için, [(x,y) R ve (y,z) R ve (x,z) R] ise R bağıntısında (non transitive) özelliği mevcuttur X bir küme, R de X üzerinde bir bağıntı olsun. x,y X p If (x,y) or (y,x) are in R, then x and y are comparable p If (x,y) R and (y,x) R then x and y are incomparable X kümesindeki herbir eleman çifti comparable özelliğini sağlıyorsa, X üzerindeki R bağıntsı total order adını alır 2

Bağıntının tersi X den Y ye bir R bağıntısı verilmiş olsun, bu bağıntının tersi (inversi) Y den X e olup R - ile gösterilir R - = { (y,x) (x,y) R } q Örnek: eğer R = {(,a), (,d), (2,a), (2,b), (2,c)} ise R - = {(a,), (d,), (a,2), (b,2), (c,2)} Bağıntının Bileşkesi(Composition) q Tanım R = R R 2 = R R R 3 = R 2 R... R n = R n- R Örnek: R={(,) (2,)(3,2)(4,3)} için R 2 ve R 3 bulunuz. R 2 = R R = {(,)(2,)(3,)(4,2)} R 3 = R 2 R = {(,)(2,)(3,)(4,)} 2

Denklik Bağıntısı (Equivalence Relation) X bir küme, R de X üzerindeki bir bağıntı olsun p R bağıntısı üzerinde reflexive, symmetric ve transitive özellikleri mevcut ise bu bir denklik bağıntısı (equivalence relation) olup X R şeklinde gösterilir Örnek: X = {integers} ve X kümesi üzerinde tanımlı olan R bağıntısı da xry x - y = 5 olarak verilsin. R nin equivalence relation olup olmadığını gösteriniz. Sıralama Bağıntısı (Partial Order Relation) X bir küme, R de X üzerindeki bir bağıntı olsun p R bağıntısı üzerinde reflexive, antisymmetric ve transitive özellikleri mevcut ise bu bir sıralama bağıntısı (partial order relation) dır p Hasse Diyagramları (partial order öz.) 22

Poset q Partial Ordering bir R bağıntısı ile verilen bir S kümesi poset olarak adlandırılır ve (S,R) olarak gösterilir. Hasse diyagramı Maximal ve Minimal elemanlar Kapalılık (Closure) q Verilmiş olan bağıntı üzerinde reflexive, symmetric ve transitive özellikleri mevcut değilse bağıntının bu özelliklere sahip olabilmesini sağlama işlemidir Transitive closure Warshall algoritması (by Stephen Warshall) 23

Warshall algoritması procedure warshall W=M R for k=,n for i=,n for j=,n W ij = W ij V (W ik Λ W kj ) end end end Matris Bağıntıları p X ve Y bir küme, R de X den Y ye bir bağıntı olsun. Aşağıdaki bağıntılardan matris A = (a ij ) yazılır X kümesinin elemanları, A matrisinin satırlarını oluşturur Y kümesinin elemanları, A matrisinin kolonlarını oluşturur i. satırdaki X in elemanları ile j. kolondaki Y nin elemanları birbirleriyle ilişkili değilse, a i,j = dır i. satırdaki X in elemanları ile j. kolondaki Y nin elemanları birbirleriyle ilişkili ise, a i,j = dir 24

Matris bağıntıları () Örnek: X = {, 2, 3}, Y = {a, b, c, d} R = {(,a), (,d), (2,a), (2,b), (2,c)} R bağıntısının matrisi: A = a b c d 2 3 Matris Bağıntıları (2) p Eğer R bağıntısı, X kümesinden X kümesine ise bu bağıntının matrisi bir kare matristir Örnek: X = {a, b, c, d} ve R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d)} A = a b c d a b c d 25

Fonksiyonlar (Functions) p Fonksiyon (function) bağıntının özel bir şeklidir. p Bir f fonksiyonunun, X den Y ye bir bağıntısı olsun (f : X Y) For every a X için (a,b) f e olacak şekilde bir tek, b Y bulunabiliyorsa, f ye X den Y ye bir fonksiyondur denir. p X e f nin tanım kümesi (domain) Dom(f) = X p Y e f nin değer kümesi (range) Rng(f) = Y Örnek: Dom(f) = X = {a, b, c, d}, Rng(f) = {, 3, 5} f(a) = f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = Mod alma operatörü p x değeri y ye bölündüğünde elde edilen kalan r = x mod y Örnekler: = 3 mod 3 6 = 234 mod 9 4 = 22 mod p mod, modulus operator olarak adlandırılır 26

Bire-Bir Fonksiyonlar (One-to-one functions-injective) p Bir fonksiyon f : X Y bire-bir (one-to-one) her y Y sadece bir x X değerine karşılık gelir. p Alternatif tanım: f : X Y, one-to-one X kümesindeki her x değeri x, x 2 X, Y kümesindeki y, y 2 Y gibi farklı iki değere karşılık gelir. f(x ) = y vef(x 2 ) = y 2 gibi Örnekler:. f(x) = 2 x (from the set of real numbers to itself) one-to-one 2. f : R R defined by f(x) = x 2 not one-to-one çünkü for every real number x, f(x) = f(-x). Örten Fonksiyonlar (Onto functions-surjective) Bir fonksiyon f : X Y örten (onto) Her y Y için en az bir tane x X mevcuttur 27

Bijective Fonksiyonlar Bir fonksiyon f : X Y bijective f fonksiyonu one-to-one ve onto dur Örnekler: p. Lineer bir fonksiyon f(x) = ax + b bijective fonksiyondur (from the set of real numbers to itself) p 2. Bir f(x) = x 3 bijective fonksiyondur (from the set of real numbers to itself) Ters Fonksiyon (Inverse function) p y = f(x) fonksiyonunun tersi(inverse) f - olup {(y, x) y = f(x)} olarak sembolize edilir. p f - in bir fonksiyon olması gerekmez Örnek: if f(x) = x 2, then f - (4) = 4 = ± 2, tek bir değer olmadığından tersi bir fonksiyon değildir p Eğer bir fonksiyon bijective ise tersi de bir fonksiyondur 28

Fonksiyonların Bileşkesi p Verilen iki fonksiyon g : X Y ve f : Y Z, olup, bileşkesi f g aşağıdaki gibi tanımlanır f g (x) = f(g(x)) for every x X. q Örnek: g(x) = x 2 -, f(x) = 3x + 5. Then f g(x) = f(g(x)) = 3(x 2 -)+5 = (3x 2 + 2) q Fonksiyon bileşkesinde birleşim öz.: f (g h) = (f g) h, q Fakat değişme özelliği yoktur: f g g f. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar (Exponential and Logarithmic Functions) p f(x) = 2 x veg(x) = log 2 x = lg x f g(x) = f(g(x)) = f(lg x) = 2 lgx = x g f(x) = g(f(x)) = g(2 x ) = lg 2 x = x p Üstel ve Logaritmik fonksiyonlar birbirinin tersidir 29

String in tersi (inverse) X herhangi bir küme olsun X üzerindeki tüm string lerin kümesi de X* olsun Eğer α = x x 2 x n X* f(α) = α - = x n x n- x 2 x String in inversi alınırken ters sırada yazılır αα - = α - α = λ 3