VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1
Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif vea negatif olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skalerlerdir. Vektörel büüklük: Şiddet, doğrultu ve ön ile belirtilen fiziksel bir büüklüktür. Kuvvet, moment, konum vektörel birer büüklüktür. Vektör, önlenmiş bir doğru parçasıla temsil edilir. KT
Vektörün, doğrultusunu bir doğru, önünü bir ok, şiddetini de okun bou belirler. Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir. Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti ile ifade edilir. KT 3
Vektörel İşlemler Vektörün bir skalerle çarpımı vea bölümü bir vektörün bir skalerle çarpımı vea bölümü, ine anı vektör doğrultusunda eni bir vektör verir. Bu vektörün şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına eşittir KT 4
Vektörlerin Toplamı Vektörler paralelkenar ilkesi kullanılarak birbirile toplanır. ve B vektörleri başlangıç noktalarında birleştirilir. Her bir vektörün ucundan diğer vektöre çizilen paralel doğrular paralelkenarı oluşturur. R bileşkesi ve B nin başlangıcından doğruların kesiştiği noktaa çizilen doğrudur. R bileşkesi paralelkenarın köşegenidir. R B KT 5
Vektörlerin Toplamı ve B vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir ugulaması olan üçgen ilkesi ne göre de toplaabiliriz. vektörünün ucuna B vektörü eklenir, nın başlangıcı ile B nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir. Vektör toplamı komutatif tir, vektörler herhangi bir sırada toplanabilir. R KT 6 B B
Vektörlerin Toplamı ve B vektörü anı etki çizgisine sahipse paralelkenar kuralı cebirsel (skaler) toplama indirgenir. R= +B (şiddetlerin toplamı) KT 7
Vektör Çıkarması ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar vea üçgen kuralı kullanılabilir. ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü: R B ( B) Vektör toplamı için ugulanan kurallar vektör çıkarması için de kullanılmaktadır. KT 8
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Kuvvetler, belli bir büüklük, doğrultu ve öne sahiptir ve vektörel bir büüklük olduğu için paralelkenar kuralına göre toplanır. Statikteki iki genel problem: Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak Bilinen bir kuvveti bileşenlerine aırmak KT 9
Bir kuvvetin bileşenlerine arılması Bir noktaa etkien bir tek vektör erine anı etkii apacak iki vea daha fazla vektör komak mümkündür.bunlara vektörün bileşenleri denir. Bu bileşenleri bulabilmek için: İki bileşenden düzlemde biri, uzada ise üç bileşenden ikisi bilinmelidir. Bileşenlerin tesir çizgileri bilinmelidir. KT 10
İkiden fazla kuvvetin toplanması İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak için paralelkenar kuralı birden fazla ugulanabilir. R ( ) 1 KT 11 3
nalizde izlenecek ol Paralelkenar kuralı Trigonometri KT 1
Örnek 1 1 ve kuvvetlerinin bileşkesini ve önünü bulunuz. Çözüm: KT 13
Kosinüs teoremi nden: Örnek 1 Sinüs teoreminden: KT 14
Örnek 00 N 00 N Bu iki kuvvetin bileşkesinin ekseni üzerinde olması için kuvvetinin şiddetini bulunuz. 00 N 00 N Sin60 Sin45 45 N R 00 N Sin75 Sin45 73 N KT 15 R
Örnek 3 600 N 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine aırınız. KT 16
600 N u sin10 600 N sin 30 u 1039N v sin 30 600 N sin 30 v 600N
Örnek 4 kuvvetinin şiddetini, önünü ve bileşke kuvveti bulunuz. (bileşke kuvvet x ekseni üzerinde, kuvveti ise minimum şiddette olsun)
Düzlemsel kuvvetlerin toplanması (Kartezen Koordinatlar) Eğer bir kuvvet x ve eksenlerindeki bileşenlerine arılırsa, bu bileşenlere kartezen bileşenler denir. x ve eksenleri pozitif ve negatif önler belirttiklerinden, bir kuvvetin dik bileşenlerinin büüklüğü ve önü cebirsel skalerlerle ifade edilebilir. Skaler gösterim:.cos.sin KT 19 x
vektörünün önü, açısı erine küçük eğim üçgeni ile de gösterilebilir. x a ( ) c b ( ) c vea vea x a c b c vektörünün önü negatif ekseninde olduğundan bileşeni negatiftir, bu nedenle hesaplamalarda (-) işareti kullanılmalıdır. KT 0
Kartezen vektör gösterimi Bir kuvvetin bileşenleri, kartezen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıla i ve j kartezen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boutsuz birim uzunluktadır ve önleri (ok ucu), pozitif vea negatif x ve eksenini işaret etmesine bağlı olarak, artı vea eksi işareti ile gösterilir. x i j KT 1
KT nı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri Bir kuvvetin bileşenlerini göstermede kullanılan iki öntem de çok saıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet önce x ve bileşenlerine arılır ve sonra karşılıklı bileşenler anı doğru üzerinde bulunduklarından skaler cebir kullanılarak toplanır. j i j i j i x x x 3 3 3 1 1 1
KT 3 nı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri 3 1 R VEKTÖREL TOPLM SKLER TOPLM j i j i j i j i j i R Rx x x x x x x R ) ( ) ( 3 1 3 1 3 3 1 1 R x x x Rx 3 1 3 1
İkiden fazla kuvvetin toplanması Rx R x Herhangi bir saıda düzlemsel kuvvetin bileşkesinin x ve bileşenleri, bütün kuvvetlerin x ve bileşenlerinin cebirsel toplamıla bulunabilir. KT 4
Rx R x Bileşkenin bileşenleri belirlendikten sonra, şekildeki gibi, x ve eksenleri bounca çizilebilir. Bileşke kuvvet vektör toplamından belirlenebilir. Bileşkenin büüklüğü ve önü ise şu şekilde bulunabilir. R Rx R tan 1 KT 5 R Rx
Örnek 5: Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz KT 6
KT 7 N j i N j i N j i N N N N N N R x x x 73 140 100 40 173 100 100 13 5 60 40 13 1 60 173 00.cos 30 100 00.sin 30 1 1 1 1
Örnek 6 Etkien kuvvetlerin bileşkesinin ekseni bounca olması ve şiddetinin de 800 N olması için 1 kuvvetinin şiddetini, açısının ne olması gerektiğini bulunuz KT 8
Örnek 7 Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz
ÇÖZÜM 1:
ÇÖZÜM :
Kartezen Vektörler Vektör işlemleri, üç boutlu problemlerin çözümüne ugulanırken vektörler kartezen vektör formunda ifade edilirse işlem basitleşir. Sağ El Koordinat Sistemi: Vektör cebri işlemlerinde sağ el koordinat sistemi kullanılacaktır. KT 34
KT 35 Bir vektörün kartezen bileşenleri Bir vektörünün x,, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını iki kez ard arda ugulaarak; z x x z
Kartezen birim vektörler Üç boutlu uzada, i, j, k kartezen birim vektörleri sırasıla x,, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir. KT 36
Kartezen vektör gösterimi Vektörleri kartezen bileşenler cinsinden azmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve önünü belirtir. i x j k z KT 37
Kartezen vektörün büüklüğü Kartezen vektör formunda ifade edilen bir vektörünün şiddetini bulmak için: ' x ' z x z KT 38
Kartezen vektörün önleri vektörünün doğrultusu, nın başlangıç noktası ve bu noktada er alan pozitif x,, z eksenleri arasında ölçülen (alfa), (beta), (gama) doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açılar 0 ile 180 arasındadır., ve ı belirlemek için nın x,, z eksenleri üzerindeki izdüşümleri kullanılır. KT 39
Yön kosinüsleri cos x cos cos z KT 40
KT 41 vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kola bir olu, doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır. ** Eğer bir vektörün şiddeti ve ön kosinüsleri biliniorsa, vektörü kartezen koordinatlarda ifade edilebilir. u nın büüklüğü 1 olduğundan; k j i u z x z x cos cos cos z x k j i u cos cos cos 1 cos cos cos k j i k j i u z x cos cos cos
Kartezen vektörlerin toplanması KT 4
Örnek 8 kuvvetini kartezen vektör olarak ifade ediniz. cos cos cos 1 x (+x) önünde olduğu için 60 olmalı KT 43
Örnek 9 kuvvetini kartezen vektör olarak ifade ediniz ve kuvvetinin ön kosinüslerini bulunuz KT 44
' z ' x
Pozison (Konum) Vektörleri Pozison vektörü uzadaki herhangi iki nokta arasında önelen bir kartezen kuvvet vektörünü formüle etmek açısından önemlidir. r pozison vektörü, bir noktanın uzadaki konumunu diğer bir noktaa göre belirleen sabit bir vektördür. r xi j z k KT 47
Daha genel bir halde, pozison vektörü uzadaki noktasından B noktasına da önelebilir. Vektör toplamı KT 48
r konum vektörü, i, j, k bileşenleri, vektörün başlangıcının koordinatları (x,, z ), ucuna karşı gelen koordinatlardan B (x B, B, z B ) çıkartılarak bulunabilir. rıca, bu üç bileşenin uç uca eklenmesi r i verir. dan başlıarak B e ulaşılıor. KT 49
ve B noktalarının, oluşturulan koordinat sistemine göre koordinatları biliniorsa, dan B e giden pozison vektörü bulunabilir ve bu öndeki birim vektör kolalıkla elde edilir: r : ' dan r u ; r B' e birim vektör Bu birim vektörün bileşenleri, ve önlerini vermektedir. u cos i cos j cos k KT 50
Bir doğru bounca önelen kuvvet vektörü Üç boutlu statik problemlerinde, bir kuvvetin doğrultusu genellikle etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. Şekildeki kuvveti buna bir örnektir. Doğrultusu dan B e olan kuvveti kartezen vektör şeklinde ifade edilebilir. KT 51
Bir doğru bounca önelen vea iki nokta arasında uzanan kuvvet vektörü NLİZDE İZLENECEK YOL, noktasından B noktasına uzanan bir doğru bounca etkiorsa aşağıdaki şekilde kartezen vektör formunda ifade edilebilir: Konum Vektörü: dan B e önelen konum r vektörü belirlenir ve r büüklüğü hesaplanır. Birim Vektör: Hem r hem de nin doğrultusu ve önünü tanımlaan u=r/r birim vektörü belirlenir. Kuvvet Vektörü: büüklüğü ve u doğrultusu birleştirilerek ani =u ile belirlenir. KT 5
Örnek 10 Şekilde gösterilen çatı, B ve C zincirlerile taşınmaktadır. noktasına etki eden bileşke kuvveti kartezen vektör olarak ifade edin. KT 53
(0,0,4) B (4,0,0) C (4,,0) KT 54
Örnek 11 noktasına etki eden kuvveti kartezen vektör olarak ifade edin. KT 55
Nokta (Skaler) Çarpım Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, vea bir kuvvetin bir doğrua paralel ve dik bileşenlerinin bulunması gerekir. İki boutlu problemlerde trigonometri ile çözülebilir, ancak 3 boutluda çözüm için vektör öntemleri ugulanmalıdır. Skaler çarpım, iki vektörün çarpımı için özel bir öntemdir. ve B vektörlerinin skaler çarpımı, B şeklinde azılır ve skaler çarpım B die okunur. ve B nin büüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır. B B cos 0 o 180 o 57
58 Bu çarpıma skaler çarpım vea nokta çarpım da denir. Bu işlemin kuralları : Değişme özelliği (komütatiflik ) Skaler ile çarpım Dağılma kuralı (distributiflik) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D B D B ab B a B a B B
59 Kartezen vektör formülasonu Bcos B ormülünü kullanarak kartezen birim vektörlerin çarpımını bulmak için kullanılabilir. Örneğin: 0 0 1 1 0 (1)(1) cos 90 1 (1)(1)cos 0 j k k i k k j j j i i i o o
Ugulamalar1 Skaler çarpımın mekanikte iki önemli ugulama alanı vardır: 1) İki vektör vea kesişen doğrular arasındaki açı B Bcos 60
Ugulamalar ) Bir vektörün bir doğrua paralel ve dik bileşenlerinin bulunması: a : a-a doğrultusundaki vektörünün bileşeni. nın izdüşümü de denir. a-a nın doğrultusu u a birim vektörüle belirlenmişse, a vektörünün şiddeti skaler çarpımla bulunabilir. a a u a ( u 1) ua cos cos u şeklinde bulunur. a a 61
6 vektörünün dik bileşeni:. ' sin cos ) cos ( 1 bulunur den vea u u a a a a a
ÖRNEK 1 Şekilde verilen kuvvetinin B çubuğuna paralel ve dik bileşenlerini bulunuz. (0; 0; 0) B (; 6; 3) i 6 j 3k r B 63
64 0 0 1 1 0 (1)(1) cos 90 1 (1)(1)cos 0 j k k i k k j j j i i i o o