ÖZEL EGE LİSESİ TAM DEĞER VE ARDIŞIK TOPLAMLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 01
İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.... GİRİŞ..YÖNTEM. ÖN BİLGİLER.. 5.ARDIŞIK TOPLAMLARIN TAM DEĞERİ.. 5 SONUÇ... 11 TEŞEKKÜR.. 11 KAYNAKLAR.. 11
1. PROJENİN AMACI Bu roje kasamında, 1 den k ya kadar olan ardışık tam sayıların n. dereceden köklerinin tam değerlerinin tolamını ve ardışık çift ile ardışık tek tam sayıların kareköklerinin tam değerlerinin tolamını ifade eden formüllerin bulunması hedeflenmiştir.. GİRİŞ Ulusal matematik olimiyat sınavlarına hazırlanırken tam değer konusundaki bazı soru tileri dikkatimi çekti. Bu sorularda genellikle ardışık sayıların tam değerlerinin tolamı üzerinde durulmuş olduğunu fark ettim. Bunun üzerine, Ardışık tam sayıların n. dereceden köklerinin tam değerlerinin tolamını ifade eden bir formül olu olmadığını merak ettim ve ilgili konuda bir literatür çalışması yatım. Sonuç olarak, amaçlanan tolama işlemlerini ifade eden bir formül üzerinde daha önce çalışılmadığını satadım. Böyle bir formül bulabilmek için kuramsal çalışmalar yatım ve bunların ışığında bazı genellemeler üretebildim. İşlerliğini gösterebilmek için bu genellemeleri çeşitli örneklere uyguladım.. YÖNTEM Bu roje boyunca doğrudan isat yöntemi kullanılmıştır.. ÖN BİLGİLER Bu bölümde roje kasamında kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. TANIM.1 x R için x ten büyük olmayan en büyük x tam sayısına x in tam değeri denir ve x ile gösterilir (Özdemir,010; Yücesan, 007). TEOREM. x R olmak üzere x x < x + 1 dir ( Yücesan, 007). TEOREM. Aşağıdaki eşitlikler sağlanır ( Yücesan, 007). a. n n (n + 1) k = k=1 b. n k = k=1 n (n + 1) (n + 1) 6
c. ÖNERME. n k n (n + 1) = [ k=1 ] x bir gerçel sayı ve x = m olsun. Bu durumda, a. m çift ise m x < (m + 1) aralığında m tane tek tam sayı vardır. b. m çift ise m x < (m + 1) aralığında m + 1 tane çift tam sayı vardır. c. m tek ise m x < (m + 1) aralığında m + 1 tane tek tam sayı vardır. d. m tek ise m x < (m + 1) aralığında m tane çift tam sayı vardır. İSPAT x = m olsun. Teorem. den m x < (m + 1) elde edilir. Buradan m x < (m + 1) olduğu açıktır. a. m çift tam sayı olsun. Bu durumda, m x < (m + 1) aralığındaki tek tam sayılar, O halde bu aralıkta, m + 1, m +,, (m + 1) tane tek tam sayı vardır. (m + 1) (m + 1) + 1 = m + m + 1 m 1 + 1 = m b. m çift tam sayı olsun. Bu durumda, m x < (m + 1) aralığındaki çift tam sayılar, O halde bu aralıkta, m, m +,, (m + 1) 1 tane çift tam sayı vardır. (m + 1) 1 m + 1 = m + m + 1 1 m + 1 = m + 1 c. m tek tam sayı olsun. Bu durumda, m x < (m + 1) aralığındaki tek tam sayılar, m, m +,, (m + 1) 1 Bu aralıkta b şıkkında gösterildiği gibi m + 1 tane tek tam sayı vardır. d. m tek tam sayı olsun. Bu durumda, m x < (m + 1) aralığındaki çift tam sayılar,
m + 1, m +,, (m + 1) Bu aralıkta a şıkkında gösterildiği gibi m tane çift tam sayı vardır. 5. ARDIŞIK TOPLAMLARIN TAM DEĞERİ Bu bölümde ardışık tolamların. dereceden köklerinin tam değerlerini ve ardışık çift ile tek tam sayıların kareköklerinin tam değerlerinin tolamını ifade eden formüller bulunu isatlanmıştır. Ayrıca elde edilen formüller çeşitli örnekler üzerinde uygulanmıştır. ÖNERME 5.1 üzere Z +, t, k Z ve t k < (t + 1) olsun. f : N N, f (m) = (m + 1) m olmak 1 + + + k = t (k t + 1) + n f (n) t 1 İSPAT: x R olmak üzere x = m ise m x < (m + 1) Bu aralıktaki tam sayıların sayısı f (m) = (m + 1) m olduğu açıktır. Şimdi t k < (t + 1) şeklinde bir t tam sayısı alalım. t x k aralığında k t + 1 tane tam sayı vardır ve bu tam sayıların. dereceden köklerinin tam değeri t olur. O halde, 1 + + + k = 1 + + + t 1 + t + + k = 1 f (1) + f () + + (t 1) f (t 1) + t (k t + 1) olarak bulunur. ÖRNEK 5. 1 t 1 = t (k t + 1) + n f (n) + + + + 150 tolamını elde ettiğimiz formülle bulalım. ÇÖZÜM: 5 150 < 6 olduğundan t = 5 olduğu açıktır. Diğer taraftan, Şimdi Teorem. ve Önerme 5.1 den f (n) = (n + 1) n = n + n + 1 5
1 + + + + 150 = 5 (150 5 + 1) + n (n + n + 1) = 10 + (n + n + n) = 10 + n + n + n = 5 = 50 + 5 9 + 5 6 + 10 ÖNERME 5. t, k Z ve t k + 1 < (t + 1) olmak üzere 1 + + + k 1 1 (t t k + 1 t t + ) + t, t tek ise = 1 1 (t t k t + t) + t, t çift ise İSPAT: k+1 t t, k Z ve t k + 1 < (t + 1) olsun. 1. DURUM t tek sayı olsun. Bu durumda t x (k + 1) aralığında tane tek sayı vardır ve bu sayıların kareköklerinin tam değeri t Buradan ve Önerme. den 1 + + + t + t + + k = k + 1 t = 1 + + + + + (t ) (t 1) + (t 1) (t 1) + t k + 1 t = + 7 + 11 6 + + (t ) (t 1) + t t 1 = ((n 1) n) + t k + 1 t 6
t 1 t 1 = 8 n n k + 1 t + t ( + 1) = 8 t 1 t + 1 t (t 1 ) (t + 1 ) 6 k + 1 t + t ( + 1) = 8 6 t 1 t + 1 1 t t t + 1 + 1 t + t k = t 1 t + 1 + 1 t t 1 + t k = t 1 t + 1 t + 1 t + t k = 1 1 (t t k + 1 t t + ) + t. DURUM t çift sayı olsun. Bu durumda, t x (k + 1) aralığında k+1 t 1 + 1 = k t tane tek sayı vardır ve bu sayıların kareköklerinin tam değeri t Buradan ve Önerme. den 1 + + + (t 1) + + t 1 + t + + k = k t = 1 + + + + + (t ) (t ) + (t ) (t ) + (t 1) t + t ( + 1) k t = + 7 + 11 6 + + (t 5) (t ) + t (t 1) + t ( + 1) t k t = ( (n 1) n) + t (t 1) + t ( + 1) t = (8n n) t = 8 n n k t + t (t 1) + t ( + 1) t k t + t (t 1) + t ( + 1) = 8 t t ( t + 1) t (t + 1) 6 = t t (t 1) t (t t ) + t (t 1) + t (k + 1) = t t [ t (t 1) 1] + t (t 1) + t (k + 1) k t + t (t 1) + t ( + 1) 7
= t t (t 7 t ) + t (t 1) + t (k + 1) = 1 1 (t 15t k t + 1t) + t (t 1) + t ( + 1) = 1 1 (t t k t + t) + t ( + 1) ÖRNEK 5. 1 + + + 191 tolamını bulalım. ÇÖZÜM: 191 = 95 + 1 ve 1 191 < 1 olduğundan k = 95 ve t = 1 bulunur. Teorem 5. den 1 + + + 191 = 1 1 ( (1) 1 95 + 1 1 1 + ) + 1 = 8 olarak bulunur. ÖRNEK: 5.5 1 + + + 17 tolamını bulalım. ÇÖZÜM: 1 17 < 1 olduğundan t = 1 olduğu bulunur. O halde Teorem 5. den 1 + + + 17 = 1 1 ( 1 1 16 1 + 1) + 1 = 566 elde edilir. ÖNERME 5.6 t, k Z ve t k < (t + 1) olmak üzere + + + k t t + t 1 = t t t 1 + t k t 1, t tek ise k t + t, t çift ise 8
İSPAT: t, k Z ve t k < (t + 1) olsun. 1. DURUM t tek sayı olsun. Bu durumda, t x k aralığında k t 1 + 1 tane çift tam sayı vardır ve bu sayıların kareköklerinin tam değeri t Buradan ve Önerme. den + + + k = = 1 1 + + + + (t ) (t ) + (t 1) t + t ( k t 1 + 1) = 1 + 5 + 5 9 + 7 1 + + (t ) (t 5) + (t 1) t + t k t 1 t = (1 + (n + 1) (n + 1) + (t 1) t) + t = (1 + (8 n + 6 n + 1) + (t 1) t) + t = (1 + 8 n + 6 ( n) + 1 t t t k t 1 t k t 1 + (t 1) t) + t k t 1 = 1 + 8 6 t t 1 t (t ) + 6 t 1 + t + t (t 1) + t k t 1 = 1 + t t 1 (t ) + 9 t t 1 + t + t (t 1) + t k t 1 = 1 + 1 t t 1 t ( (t ) + 9) + + t (t 1) + t k t 1 = 1 + t t + (t + 1) + t 1 + t (t 1) + t k t 1 = 1 + t 15t + 8t + + t 1 + t (t 1) + t k t 1 = t t + t 1 + t k t 1 9
. DURUM t çift sayı olsun. Bu durumda, t x k aralığında k t vardır. O halde Önerme. den + 1 tane çift tam sayı + + + k = k t = 1 1 + + + + (t ) (t 1) + (t 1) (t 1) + t ( + 1) k t = 1 + 5 + 5 9 + 7 1 + + (t 1) (t ) + t t = 1 + (n + 1) (n + 1) + t = 1 + (8n + 6n + 1) + t t k t t k t t = 1 + 8 n + 6 ( n) + 1 t k t + t = 1 + 8 t t (t 1) + 6 t (t ) + t t + t k 6 = 1 + 1 t t t t (t + 9) + + t k = 1 + t t t t (t + 5) + + t k 1 = t t t 1 k t + t ÖRNEK 5.7 + + 6 + + 98 tolamını bulalım. ÇÖZÜM: 17 98 < 18 olduğundan t = 17 olarak bulunur. Önerme 5.6 dan + + 6 + + 98 = 17 17 + 17 1 = 165 olarak bulunur. + 17 98 17 1 10
ÖRNEK 5.8 + + 6 + + 11 tolamını bulalım. ÇÖZÜM: 10 11 < 11 olduğundan t = 10 olarak bulunur. Önerme 5.6 dan + + 6 + + = 10 10 10 11 10 + 10 11 1 = 85 olarak bulunur. SONUÇ Sonuç olarak, a) 1 + + + k b) 1 + + + k c) + + + k tolamlarını ifade eden formülleri buldum. TEŞEKKÜR Proje çalışmamın her aşamasında yakın ilgi ve desteğini gördüğüm; çalışmalarımın yönlendirilmesi ve sonuçlandırılmasında büyük emeği geçen roje danışmanım Dr. Gizem GÜNEL e, bugüne dek yetişmemde katkısı olan değerli öğretmenlerime, her zaman yanımda olan ve beni destekleyen, yüreklendiren aileme teşekkür ederim. KAYNAKLAR Özdemir,M.,(010), Matematik Olimiyatlarına Hazırlık, Altın Nokta Yayınları, İzmir. Yücesan,R., (007), Meraklısına Lise Matematik, Zambak Yayınları, İzmir. 11