İŞARETLER ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS)

İŞARETLER ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Yrd. Doç. Dr. Musafa Zahid YILDIZ musafayildiz@sakarya.edu.r oda no: 469 Kaynaklar: 1. Signals and Sysems, Oppenheim. (Türkçe versiyonu: Akademi Yayıncılık) 2. Signals and Sysems Using Transform Mehod and Malab. (Türkçe versiyonu: Nobel) 3. Ders noları, Musafa Z. YILDIZ, 214. Öğrenciler bu dersi çalışırken; fizik kurallarına dayalı disiplinlerde kesinkikle sağlam bir emele sahip olmalıdırlar ve ayrıca sisem ve algorimaların uygulanması ve analizi için bilgisayar kullanımında sağlam bir eğiimleri olmalıdır. Bu dersi alan öğrencilerin diferansiyel denklemlerle kısmen görmüş olduğu ve karmaşık sayıları hesaplamada deneyimli olduğunun kabul edilmesinin yanında hesaplamada (calculus) bir emele sahip olduğu varsayılmışır. SİNYALLERİN (İŞARETLERİN) ve SİSTEMLERİN TANIMLANMASI Sinyal: Bilgi ilemeyi amaçlayan, zamanda-değişen herhangi bir fiziksel olay sinyal olarak anımlanabilir. Örn: insan sesi, akusik, işare dili, Mors kodu, rafik işareleri, elefon ellerindeki gerilim, radyo ya da elevizyon vericilerinden yayılan elekrik alanlar, fiber-opik halardaki ışık yoğunluğunun değişimleri... Maemaiksel olarak bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonu gibi ifade edilir. Örneğin bir ses sinyali akusik basıncın zaman fonksiyonu olarak göserilebilir. Bir resim iki uzamsal değişkenin fonksiyonu olarak parlaklık ile ifade edilebilir. Fiziksel bir sisemin davranışına ya da durumuna ilişkin bilgi aşıyan, bir ya da daha fazla bağımsız değişkene bağlı olarak değişen her ürlü büyüklüğe işare diyoruz. 1

Başka bir ifadeyle işareler (sinyaller) zaman, uzay ve diğer bağımsız değişken veya değişkenler ile değişen herhangi bir fiziksel nielik(fonksiyon) olarak anımlanabilir. Şekil 1. Zamana göre değişen ek boyulu sinyal. ÖRNEKLER: Elekrik işareleri Devredeki akım, gerilim değişimi Akusik işareler- Konuşma, ses veya müzik (analog/digial) Biyolojik işareler EKG, EEG, Kan basıncı değişimi, genlerin dizilişi vb. Video/Imge işareleri Bir imgede renk değişimi veya parlaklık değişimi Konrol işareleri Kimyasal sisemlerde ısı veya sıcaklık değişimi Makenik işareler Kuvve, gerilme, yay ireşimi. Şekil 2. Ses kaydı örneği. should we chase sözlerinin akusik basınç değişiminin zamana göre fonksiyonu. 2

Şekil 3. Tek renkli fooğraf. Sisemler: Sinyaller sisemler üzerinde işleilirler. Bir ya da birkaç uyarım ya da giriş sinyali, bir ya da birkaç sisem girişine uygulandığında; sisem çıkışında bir ya da birkaç epki ya da çıkış sinyali üreilir. Şekil 4. Tek girişli, ek çıkışlı bir sisemin blok şeması. 3

Şekil 5. İşare ve Sisem örnekleri. Gürülü (Noise): Zamanda değişen bir fiziksel olay olması açısından sinyale ile benzeşmesine rağmen, yararlı bir bilgi aşımaz ve isenmeyen olarak değerlendirilir. Bir ileişim sisemi örneği: Şekil 6. Bir ileişim sisemi. 4

İşarein boyuu: İşare bir, iki veya N bağımsız değişkenin fonksiyonu olabilir. Örneğin konuşma işarei ya da bankaların faiz oranları bir bağımsız değişkenin yani zamanın fonksiyonudur. Bu ür işareler bir boyulu işareler olarak adlandırılacakır. Dağıılmış paramereli sisemlere ai işarein değişkenlerinden biri zaman, diğerleri ise uzaysal boyulardadır. Görünü işareinde ise her iki bağımsız değişken de uzaysal boyuludur. Biz bu derse, sadece zamana göre değişen bir boyulu işareleri inceleyeceğiz. Şekil 7. İşarein boyuu 5

Şekil 8. CD den sinyal okuma diyagramı. SİNYAL (İŞARET) ÇEŞİTLERİ İşareler için bir sınıflandırma yolu, bağımsız değişkenin (independen variable) değerlerini aldığı kümeye göre sınıflandırmadır. x-y koordina siseminde x ekseni bağımsız değişkenin değerleridir ve ayrık ya da sürekli değerler alabilir. İşareler için diğer bir sınıflandırma yolu, işarein aldığı değerlere göre (y ekseni), sürekli ve ayrık değerli olarak sınıflandırılır. Sınıflandırmalar: -Sürekli zamanlı (coninuous ime): işarein bağımlı olduğu değerler sürekl değerler alır. Analog sinyaller...x(), sürekli değişken. -Ayrık zamanlı (discree ime)...x[n], n -Rasgele (random) -Rasgele olmayan 6

Şekil 9. İşarelerin sınıflandırılması. İşarelerin sınıflandırılması İşareleri zamana göre değişimleri dikkae alınarak ikiye ayırabiliriz: a. Sürekli zamanlı işareler Şekil 1.1 ve şekil 1.2 de görülen işareler sürekli zamanlı işarelerdir. Örneğin konuşma ve ısı fonksiyonları sürekli zamanlı işarelerdir. 7

a.1. Genliği kuanalanmamış sürekli zamanlı işare x() Şekil 1.1 Genliği kuanalanmamış sürekli zamanlı işare. İşarein genliği sürekli değerler alır. Buna analog işare de denir. a.2.genliği kuanalanmış sürekli zamanlı işare 7 6 5 4 3 2 1 x() Şekil 1.2 Genliği kuanalanmış sürekli zamanlı işare. İşarein genliği ayrık değerler alabilir. Şekil 1.3 ve şekil 1.4 de görülen işareler, zamanın sadece belirli anlarında anımlanmış oldukları için ayrık zamanlı işarelerdir. Günlük olarak her öğle zamanı İsanbul da kayı edilen hava sıcaklığı ayrık zamanlı bir işarei oluşurur. Ayrık zaman aralıkları milisaniye, dakika veya gün olabilir. 8

b. Ayrık zamanlı işareler b.1. Genliği kuanalanmamış ayrık zamanlı işare x(nt ) T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 1T 11T nt Şekil 1.3 Genliği kuanalanmamış ayrık zamanlı işare. Şekil 1.1 deki işarein T anlarında örneklenmesi ile elde edilir. b.2. Genliği kuanalanmış ayrık zamanlı işare Sürekli bir aralık içinde herhangi bir değeri alabilen işare sürekli genliklidir. Isı fonksiyonları ve bir aşıın hızı sürekli genliklidir. Bu işareleri şekil 1.1 ve şekil 1.3 deki işareler ile emsil emek mümkündür. Ancak şekil 1.2 ve şekil 1.4 de görüldüğü gibi bazı işareler sadece ayrık değerler alabilmekedir. Örneğin bankaların faiz oranları ayrık genlikli işarelerdir. Gerçeken faiz oranları %5, %13.5 ve %1.25 gibi ayrık değerlerle ifade edilir. 7 6 5 4 3 2 1 x(nt ) T 2T 3T 4T 5T 6T 7T nt Şekil 1.4 Genliği kuanalanmış ayrık zamanlı işare. Sayısal işare bu ürdendir. 9

x(n) x() x(5) x(1) x(1) x(2) x(7) x(3) x(6) -6-5 -4 x(4) -3-2 -1 1 2 3 4 5 x(8) 6 7 8 n x(6) x(3) x(2) x(4) x(5) Şekil 1.5 Sabi bir örnekleme aralığı ile elde edilen sayısal bir işarein grafiksel göserimi Analog ve sayısal sinyal Eğer bir x() sürekli zaman sinyali (a,b) sürekli zaman aralığında (a - ve b + olabilir.) herhangi bir değer alabiliyorsa sinyalin analog olduğu söylenir. Eğer bir x[n] ayrık zamanlı sinyali yalnızca belli bir sayıda ayrık değerler alabiliyorsa bu sinyalin sayısal bir sinyal olduğu söylenebilir. Şekil 11. Analog ve digial sinyal. 1

SİNYAL ÇEŞİTLERİ ARASI DÖNÜŞÜM Sampling (Örnekleme) Quanizing (Kuanalama) Encoding (Kodlama) Şekil 12. Çeşili sinyal ürlerini gösermek için bir sinyalin örneklemesi, kuanalanması ve kodlanması. Şekil 13. SIGNAL sözcüğü için eşzamansız seri ikili ASCII-kodlanmış gerilim sinyali. 11

Şeki 14. Filreleme işlemi ile bileri yeniden elde eme. Zaman Yerine Uzayın fonksiyonu olan sinyaller? Original X-Ray Image Filered X-Ray Image 12

Şekil 15. Bilgi elde emek üzere imge işlemenin kullanılmasına bir örnek. Orjinal X-ışını görünüsü ve bunun işlenmiş hali, Tennesse Üniversiesi ndeki Elekrik ve Bilgisayar Mühendisliği Bölümü nün Görünüleme, Robobilim ve Akıllı Sisemler Laborauarı arafından sağlanmışır. M. J. Robers, 212. 13

14

15

16

17

Sayısal işare işleme, işarelerin sayısal bilgisayar ya da özel amaçlı donanımda bir sayılar dizisi olarak göserilmesi ve bu işare dizisi üzerinde çeşili işlemler yaparak, isenen bir bilgi ya da büyüklüğün bu diziden çıkarılmasına dayanmakadır. 196 lı yıllarda sayısal bilgisayarlar ve diğer sayısal donanım analog donanıma göre çok yer uuyordu ve pahalı idi. Bu yüzden sayısal işare işlemenin kullanımı gerçek-zaman olmayan bilimsel çalışmalar ve endüsri uygulamaları ile sınırlı idi(örneğin perol ya da diğer yeralı kaynaklarının araşırılması). Ancak sayısal devrelerin giikçe hızlanması, küçülülmesi ve ucuzlaması, sayısal işare işleyicileri, birçok icari ürün ve uygulamanın ayrılmaz parçası haline geirdi. Sayısal işare işleme üm işare işleme problemleri için ek geçerli çözüm değildir. Çok yüksek ban genişlikli işarelerin, örneğin radyo frekansı(rf), işlenmesinde, analog ve opik işare işleme yönemleri kullanılmakadır. Bu işarelerin örneklenmesi ve sayısallaşırılması sorun olmakadır. Ancak genel olarak, sayısal yönemler ile işare işleme mümkün ise, ercih edilmekedir. Bunda sayısal işare işlemenin bazı avanajları rol oynamakadır. Sayısal işlemciler, sayısal kelime uzunluğu gerekli doğruluğa uygun seçilerek isenen seviyede kesinlik sağlayabilirler. Analog devrelerin ise kullanılan devre elemanlarının çalışma oleranslarına bağlı olan bir kesinliği vardır. Sayısal işlemciler yazılım ya da donanım haası ile devre dışı kalmadıkları sürece doğru ve kesin olarak çalışırlar. Analog devrelerde ise farklı oram şarlarına(sıcaklık, basınç, nem vb.) bağlı olarak çalışma karakerisikleri değişebilir. Sayısal işlemcilerin elekriksel gürülüye duyarlılıkları yok denecek seviyede düşükür. Sayısal işlemcilerde yazılım değişikliği ile donanıma el değmeden yapılan işlemlerde değişiklik ve güncelleme yapmak mümkündür. Sayısal bilginin saklanmasının maliyei çok daha düşük ve güvenilirliği daha yüksekir. Sayısal işareler güvenlik için şifrelenebilir, haalara karşı haa sezici ve düzelici bir kod ile kodlanabilir ve bilgi kaybolmamak şarı ile boyuunu küçülecek şekilde sıkışırılabilirler. Büün bunların sonucunda, sayısal işare işleme güncel elekronik sisemlerde önemli bir rol oynamakadır. Bunların arasında ses, görünü, veri ve görünü ileim ve saklama sisemleri, ıbbi görünüleme ve eşhis sisemleri, radar, sonar ve uydu uzakan görünüleme sisemleri, sayısal konrol sisemleri yer almakadır. 18

Sinyal Enerjisi ve Güç v() bir R direncinden i() akımını akıan gerilim olsun. Ohm başına ani güç p() = ( ) ( ) = ( ) biçiminde anımlanır. Ohm başına düşen oplam enerji (E) ve oralama güç (P) anımları ise şu biçimdedir: E = ( ) joule P = ( ) wa Herhangi bir sürekli zamanlı x() sinyalinin normalize enerji içeriği (E) aşağıdaki gibi anımlanır: E = ( ) x() sinyalinin normalize gücü (P) ise şu biçimde anımlanır: P = ( ) Benzer olarak ayrık zamanlı bir x[n] sinyalinin normalize enerji içeriği ve normalize oralama gücü de anımlanabilir: 19

E =, P =, E x( n) N /2 1 P lim x( n) N N 1 2 nn/2 2 anımlarına dayanarak aşağıdaki sinyal sınıfları anımlanabilir: 1.Yalnızca dolayısıyla P = olur. koşulu sağlandığında x() (veya x[n]) bir enerji sinyalidir ve 2. Yalnızca koşulu sağlandığında x() (veya x[n]) bir güç sinyalidir ve dolayısıyla E = olur. 3. Bu koşulların birini sağlamayan sinyaller enerji sinyali veya güç sinyali olarak adlandırılamazlar. Periyodik bir sinyalin bir periyo içerisindeki enerjisi sonlu ise bu sinyal bir güç sinyalidir ve bu sinyalin oralama gücünün yalnızca bir periyo üzerinden hesaplanması yeerlidir. Aşağıdaki Şekillerde ipik enerji işareleri verilmişir. f( ) f[n ] n f( ) f[n ] n f( ) f[n ]............ n 2

a) b) Şekil. Bazı enerji işareleri a)sürekli Gauss işarei, dikdörgen vuruş ve sinc işarei b)ayrık Gauss işarei, dikdörgen vuruş ve sinc işarei Aşağıdaki Şekillerde ipik bazı güç işareleri göserilmişir. Güç işareleri sonsuz enerjiye sahip olmalarına rağmen, enerji işarelerinin sıfır oralama güce sahip olduklarına dikka ediniz. f( ) f[n ] A... A... n A f( )... A f[n ]... n -T T 2T f( ) f[n ]...... n Şekil Güç işarelerine bazı örnekler Bazı işareler ne güç işarei ne de enerji işarei sınıfına girerler. Bunların enerjileri ve oralama güçleri sonsuz olabilir. Örneğin: x( ) e - << (1.9) işarei ne güç ne de enerji işareidir. Çünkü bu işarein hem oralama gücü hem de enerjisi sonsuzdur. 21

Örnek 1.1 Şek.1.6' daki işarelerin enerjilerini ve güçlerini hesaplayarak enerji işarei veya güç işarei olup olmadıklarını bulunuz. 5 f1 ( ) 1 f 2 ( ) a) 3 / 2 f ( ) 5e u( ) 1 b) f ( ) e 3 2 f... 2 3 ( ) c) üçgen dalga işarei T... Şekil 1.6 f 4 ( ) 1 5 d) f ( ) e - < < 4 Çözüm: 3 / 2 3 a) E f 5e d 25e d 1 Pf f 1 1 2 T 1 M 1 2 lim f1 d TM T ( ) M TM 1 3 lim 25e d TM T M 1 25 3T lim T e M T 3 M M 1 25e 3 d ( ) işareinin enerjisi sonlu bir değer, oralama gücü sıfır olduğundan enerji işareidir. 25 3 22

b) E f 2 e 3 2 d e 6 d 6 e d 6 e d 1 3 P f 2 T M 1 2 lim f 2 d T ( ) TM M T M / 2 / 2 f2 ( ) işarei, enerjisi sonlu bir değer ve oralama gücü sıfır olduğundan dolayı enerji işareidir. c) E f 3 f3( ) d 2 P f 3 1 T M 1 f 3( ) d T M 1 2 T/ 2 2 4 2 T T d 2 T/ 2 2 16 16 2 4 T T 2 T d 16 4 T 2T f 3 2 2 3 2 16 3T T / 2 4 3 ( ) işarei, enerjisi sonsuz ve gücü 4/3 olduğu için güç işareidir. 5 d) f4 ( ) e, E f ( ) d f 4 4 e 1 2 d 1 1 e 1 1 1 e 1 23

P f 4 T M 5T 1 1 5e lim e d lim T T M M 1 M T T M / 2 / 2 M f4 ( ) işarei, enerjisi ve oralama gücü sonsuz olduğu için ne enerji işarei ne de güç işareidir. Örnek: Çözüm: (a) (b) (c) 24

(d) (e) (f) Örnek j( ) n 8 x( n) e işareinin enerjisini n 1 aralığında MATLAB de bulalım. clear all; 25

close all; n=[:1]; x=exp(j*pi/8.*n); Ex1=sum(x.*conj(x)) Ex2=sum(abs(x).^2) Ex1 = 11 Ex2 = 11 Ayrık zamanlı işareler veya diziler Ayrık-zamanlı x işarei bir dizi sayıdan oluşur ve dizinin sayıları x, (n) n x, xn veya x( nt S ) biçiminde göserilir. Sürekli zamanlı bir sinyalin örneklenmesi ile x( nt S ) göseriminde n bir am sayı olup, dizinin sürekli zamanlı bir x () işareinin nts anlarında örneklenmesinden elde edildiğini gösermekedir. Dizinin sürekli-zamanlı bir işareen örnekleme yoluyla elde edildiği durumlar dışında xn [ ] göserimi kullanılacakır. Maemaiksel olarak x dizisinin n nci elemanı xn [ ] biçiminde göserilirken, xn [ ], sonlu veya sonsuz uzunluklu üm diziyi göserir. Ancak burada genel uygulamaya uygun olarak 26

xn [ ] hem dizinin elemanı hem de dizinin amamı için kullanılacakır. n in sabi veya değişken olmasına bağlı olarak xn [ ] in, dizinin n inci elemanı veya amamı olduğuna karar verilir. Dizinin sabi bir sayı ile çarpımı ve iki dizinin oplamı gibi durumlarda belirsizliği önlemek için küme göserimi kullanılır. x( n) x( n) x( n) y( n) x( n) y( n) 27

Gerçel ve Karmaşık Sinyal Bir x() sinyalin değerleri gerçelse sinyal gerçel değerleri karmaşıksa sinyal karmaşıkır. Karmaşık x() sinyali aşağıdaki yapıda olur. x()= () + () Burada j = -1 olup () ve () gerçel sinyallerdir ve, sürekli veya kesikli bir değişkeni göseriyor olabilir. Deerminisik ve Rasgele sinyal Deerminisik sinyallerin herhangi bir anda alacağı değerler amamen belirlenmişir. Bu nedenle, deerminisik bir sinyal 'nin bilinen bir fonksiyonu ile modellenebilir. Deerminisik işarelerin şimdiki ve gelecekeki değerleri, geçmişeki değerlerinden yararlanarak hesaplanabilir. Bundan dolayı bu işareler kesin bir maemaiksel formül ile ifade edilebilir. Örneğin bir sinüzoidal işarein belli bir dönemi gözlendiken sonra genliği, fazı, frekansı ve bu dönem sonrasındaki davranışı ümüyle belirlenebilir. Bazı fiziksel işarelerin şimdiki ve gelecekeki değerleri geçmişeki değerlerinden hesaplanamaz ya da ahmin edilemez. Örneğin, sisemlerde çeşili nedenlerle oraya çıkan gürülü işareleri raslanı işareleridir. Raslanı işareleri için kesin bir maemaiksel ifade yazmak mümkün değildir. Buna rağmen bu ür işarelerin büyük bir çoğunluğunun oralama değer, karesel oralama değer gibi isaisiksel büyüklükleri hesaplanabilir. Kısaca, rasgele sinyallerin herhangi bir anda alacağı değerler rasgele olduğundan bu işareler isaiksel olarak karakerize edilir. Tek ve Çif sinyal Aşağıdaki koşulları sağlayan x() ve x[n] sinyalleri çif sinyallerdir. x(-) = x() x[-n] = x[n] 28

f()... f[n]... -T T n f() f[n] n Şekil 1.7 Sürekli ve ayrık çif fonksiyonlara örnekler Aşağıdaki koşulları sağlayan sinyaller ise ek sinyallerdir. x (-) = - x () x [-n] = - x [n] f( ) f[n ] n Şekil 1.8 Sürekli ve ayrık ek fonksiyonlara örnekler 29

Herhangi bir x() ve ya x[n] sinyali bir çif ve bir ek sinyalin oplamı olarak ifade edilebilir. x() ( ) ( ) x ( ) { x () + x (-) } { x x } ( ) { x () - x (-) } { x x } Örnek: Aşağıdaki sinyallerin ek ve çif bileşenlerini elde ediniz. 3

Çözüm: 31

Örnek: f ( ) e, işareinin çif ve ek bileşenlerini bulalım. f( ) 1 Şekil 1.9 Bu işarein çif bileşeni f f fe ( ) ( ) ( ) 2 = ve ek bileşeni f f fo ( ) ( ) ( ) 2 = e 2 e 2 e e olarak bulunur. Bunların grafikleri sırasıyla Şek.1.1.a) ve Şek.1.1.b) de çizilmişir. fe ( ) fo ( ) 1 a) b) Şekil 1.1 f ( ) e, işareinin çif ve ek bileşenleri Periyodik ve Periyodik Olmayan Sinyal Bir sürekli zamanlı x() sinyali, T sıfırdan farklı poziif bir sayı olmak üzere x(+t) = x(), büün değerleri için koşulunu sağlıyorsa bu sinyaller periyodikir ve periyodu T dir. Aşağıdaki şekilde periyodik bir sinyal görülmekedir. Buradan büün değerleri ve am sayı m değerleri için 32

x(+mt) = x() yazılabileceği görülür. x()'nin emel periyodu eşiliğini sağlayan en küçük poziif T değeridir. Bu anımın sabi bir sinyal (dc sinyal) için geçerli olmadığına dikka edilmelidir. Sabi bir x() sinyali herhangi bir T için periyodik olduğundan (dolayısıyla en küçük poziif değer bulunamadığından) bu sinyaller için emel periyoan söz edilemez. Periyodik olmayan bir sürekli zamanlı sinyalin aperiyodik olduğu söylenir. Periyodik ayrık zamanlı sinyaller de benzer biçimde anımlanırlar. Bir x[n] dizisi x[n+n] = x [n], büün n değerleri için koşulunu sağlayan poziif bir N amsayısının varlığı durumunda periyodikir ve periyodu N 'dir. Şekil-(b) de bu ürden bir sinyal görülmekedir. Yukarıdaki eşiliken ve şekil-(b)'den büün n değerleri ve herhangi bir m amsayısı için x[n+mn] = x [n] elde edilir. x[n] 'nin emel periyodu olan, eşiliğini sağlayan en küçük poziif N amsayısıdır. Periyodik olmayan herhangi bir dizi aperiyodik olarak adlandırılır. Sürekli zamanlı periyodik bir sinyalin düzgün örneklenmesiyle elde edilen bir dizi periyodik olmayabilir. Ayrıca sürekli zamanlı iki periyodik sinyalin oplamı da periyodik olmayabilir. Ancak iki periyodik dizinin oplamı her zaman periyodikir. 33

f( ) f[n ]...... T 2T n f( ) T 2T.. f[n ]... n f( ).. f[n ]... n T 2T Yukarda verilen maemaiksel özelliği aşımayan işareler ise periyodik olmayan işareler olarak adlandırılır. Pek çok biyolojik ve fiziksel işare periyodik olmayan bir yapıya sahipir. Örnek olarak EKG ve ses işarei verilebilir. Periyodik olmayan işarelerin dalga şekli uygun bir gözleme aralığında ekrar emez ve gözleme aralığı yeerince büyük olsa bile bazen bu aralık üm işarei incelemek için yeerli olmayabilir. Aşağıda Şek.1.3 de periyodik yapıya sahip olmayan sürekli ve ayrık işare örnekleri verilmişir. f( ) f[n ] n f( ) f[n ] n f( ) f[n ] n 34

a) b) Şekil. Bazı periyodik olmayan işare örnekleri. a) sürekli, b) ayrık. Periyodik ve periyodik olmayan işare sınıflandırmasına yakın diğer bir işare ürü de yaklaşık periyodik işareler dir. Bu işareler, birbirlerinin am kalarında periyolara sahip olmayan iki veya daha fazla periyodik işarelerin oplamından oluşurlar. Örneğin f ( ) Sin( ) Sin 2 işarei yaklaşık periyodik işareir. Bu örneken görüleceği üzere, "yaklaşık periyodik" deyimi, sağ arafaki erimlerin her biri periyodik olmasına rağmen, f ( ) nin periyodik olmamasından dolayı kullanılmakadır. Bu ür işarelerle bazı haberleşme sisemlerinin analizinde karşılaşılmakadır. Z< A-Temel Sürekli Zamanlı İşareler Sürekli ve ayrık zamanlı işare çeşileri 35

1- Basamak fonksiyon 1.1 Birim basamak fonksiyonu 36

2- Öelenmiş basamak fonksiyon 3- Rampa Fonksiyonu 37

3.1 Birim Rampa Fonksiyonu 4- Darbe(Pulse) Fonksiyonu 5- Birim Dürü, (Dela Dirak, Birim İmpuls) Fonksiyonu 38

39

b a f ( ), a o b ise f ( ) ( ) d, diğer durumlarda Yukarıdaki ifadede a<b olup, a ve b gerçel sayılardır. 4

6- Genel Karmaşık Üsel Sinyal s = + jw karmaşık bir sayı olsun ve x()'yi şu biçimde anımlayalım: bu x() sinyali genel karmaşık üsel sinyal olarak adlandırılır. Bu sinyalin gerçel kısmı olan ve sanal kısmı olan, σ > ise üsel olarak aran (şekil-a), σ < ise üsel olarak azalan (şekil-b) sinüzoidal sinyallerdir. 41

7- Karmaşık Üsel Sinyal biçiminde göserilen karmaşık üsel sinyal, karmaşık sinyallere iyi bir örnekir. Euler bağınısı ile 42

şeklinde anımlanabilir. x(), gerçel kısmı olan cosw ve sanal kısmı sinw olan karmaşık bir sinyaldir. Karmaşık üsel sinyalin önemli bir özelliği periyodik olmasıdır. x() nin emel periyodu eşiliği ile anımlanır. x() herhangi bir w değeri için periyodikir. 8- Gerçel Üsel Sinyal gerçel bir sayı olmak üzere s = ise eşiliği bir gerçel üsel sinyale indirgenir. olur. σ > ise, x() üsel olarak aran, σ < ise, x() üsel olarak azalan bir sinyaldir. 43

44

9- Sinüzoidal (sinusoidal) Sinyal 45

46

47

1- Sinc Fonksiyonu: Bu fonksiyon ideal alçak geçiren süzgeçlerin birim dürü epkisi olduğundan dolayı işareler ve sisemler eorisinde çok yaygın olarak kullanılır. Şek.1.14 de sürekli sinc fonksiyonu verilmişir. Bu fonksiyon maemaiksel olarak Sinca Sin a a şeklinde anımlanır. Tanımdan da anlaşılacağı üzere bu fonksiyon sinüs işareinin a değerine oranıdır. Dolayısıyla bu fonksiyon sinüs işareinin sıfır olduğu değerlerinde sıfırdır. Bu değerler k amsayı olmak üzere 1 k, k..., 2, 1,,1, 2, 3,..., a ifadesiyle hesaplanır. Yukarıdaki fonksiyonun maksimum olduğu yerler ise ürevinin sıfıra eşilenmesiyle belirlenir. Bu işlemin yapılması halinde bu nokaların, sıfır nokası hariç, ar arda gelen iki sıfır nokasının am orasında olmadığı göserilebilir. Ayrıca bu fonksiyon dikey eksene göre simerik olmasına rağmen ar arda gelen iki sıfır geçiş nokası arasında kalan parçaları, merkezdeki parça hariç, bu iki nokanın orasından geçen dikey eksene göre simerik değildir. f( )...... Şekil.1.14. Sürekli Sinc fonksiyonu 48

49