Anlamlı Saılar Fizik 101: Ders 3 Ajanda Tekrar: Vektörler, 2 ve 3D düzgün doğrusal hareket Rölatif hareket ve gözlem çerçeveleri Düzgün dairesel hareket
Vektörler (tekrar) Vektör (Türkçe) ; Vektör (Almanca) ; Vector (İngilizce) ;Vectour (Fransızca) ; ektup (Rusca) Hem büüklüğü, hem önü olan bir niceliktir ve diğer vektörlerle belirli kurala göre birleşir. üüklüğü olup önü olmaan niceliklere skaler denir. Vektör gösterimi: kalın azılarla: A ok işaretile: irim vektörler ve birim vektörler cinsinden gösterim Vektör toplamı A Vektör çarpımı (skaler, vektörel)
Vektörler... r vektörünün büüklüğü (uzunluk) pisagor teoremile bulunabilir: r 2 2 r r Vektörün büüklüğü öne bağlı değildir.
Vektörler... r vektörünün bileşenleri (,,z) koordinatlarıdır. r = (r,r,r z ) = (,,z) 2-D olarak göz önüne alırsak (kola olduğundan): r = = r cos r = = r sin burada r = r (,) r arctan( / )
irim Vektörler... ir irim vektör büklüğü 1 olan bir vektördür ve birimsizdir. Yön göstermek için kullanılır. u birim vektörü U vektörünün önünü gösterir genellikle şapka ile gösterilir: u = û û U Örnek: kartezen birim vektörleri [ i, j, k ] önelişleri, ve z eksenleri doğrultusundadır. j z k i
Vektör toplamı: A ve vektörlerini dikkate alalım. A +? A A A C = A + Yönü ve büüklüğünü değiştirmeden vektörleri istediğimiz gibi düzenleebiliriz!
ileşenleri kullanarak vektör toplamı: C = A + ise: (a) C = (A i + A j) + ( i + j) = (A + )i + (A + )j (b) C = (C i + C j) ileşenleri karşılaştırırsak : C = A + C C = A + A A A
İki vektörün skaler çarpımı: C = A =A..Cos (a) C = (A i + A j + A z k) ( i + j + z k) (A ) + (A ) + (A z z )
İki vektörün vektörel çarpımı: A Sinθ ĉ A C ) A - (A kˆ ) A - ĵ (A - ) A - (A î A A kˆ A A ĵ A A î A A A kˆ ĵ î A C z z z z z z z z z z C C C z
Özel not î î 1 ĵ ĵ 1 kˆ kˆ 1 î ĵ 0 î kˆ 0 kˆ ĵ 0 î î 0 ĵ ĵ 0 kˆ kˆ 0 î ĵ k ĵ î k ĵ kˆ î kˆ ĵ î kˆ î ĵ î kˆ ĵ Vektörel çarpımda ön bulmak için sağ el kuralı ugulanır.
Vektörler (örnekler) Paralel kenarın alanı C A A Sinθ Sinüs teoremi Sin(AC) Sin(A) C Sin(C) A ir paralel üzün hacmi V A C ir düzlemin normali
Üç outta (3-D) Kinematik İlgilenilen parçacığın konumu, hızı ve ivmesi 3 boutta: r = i + j + z k v = v i + v j + v z k (i, j, k birim vektörler ) a = a i + a j + a z k ir boutta (1-D) kinematik denklemlerini gördük. (t ) v d dt a dv dt 2 d dt 2
3-D Kinematik 3-D için, denklemin her bir bileşeni için 1-D denklemlerini ugularız. v a (t ) d dt 2 d dt 2 v a ( t) d dt 2 d dt 2 v a z z z z( t) dz dt 2 d z dt 2 ileşenler vektör olarak birleştirilip tek bir ifade halinde azılabilir: r = r(t) v = dr / dt a = d 2 r / dt 2
3-D Kinematik Sabit ivmeli hareket için integre ederek: a = sabit v = v 0 + a t r = r 0 + v 0 t + 1 / 2 a t 2 (burada hepsi a, v, v 0, r, r 0, vektördür.)
2D Harekete Örnek Soru: V 0 ilk hızı ve erle açısı aparak eğik atılan bir cismin maksimum üksekliği ve menzili nedir?
Elemsiz Gözlem Çerçeveleri: Gözlem çerçevesi gözlemi (ölçmei) aptığımız erdir (,,z) koordinatını koduğumuz er! Elemsiz gözlem çerçevesi (EGÇ) ivmelenmenin olmadığı gözlem çerçevesidir. u derste elemsiz gözlem çerçevesini dikkate alacağız.. Elemsiz gözlem çerçevelerinde birbirlerine bağlı hızlar olabilir.
Farklı 2 EGÇ dikkate alalım: Rölatif Hareket Rüzgarlı bir günde bir uçan bir uçak. Ankara İstanbul seferini apmakta olan bir uçakta havaa göre hızı ölçen bir takometre ve bir önünü gösteren bir pusula mevcuttur.. Pusula saesinde önünü belirlemektedir. Havaa göre hızını ölçen takometre saatteki hızını 180 km olarak göstermektedir.
Hava Rölatif Hareket... Havadaki EGÇ ne göre uçak batıa doğru hareket etmektedir: V p, a uçağın havaa göre hızı. V p,a
Rölatif Hareket... Yerdeki EGÇ sine göre hava kuzee hareket etmektedir. V a,g havanın ere göre hızı (ani rüzgar). V p,a V a,g Hava
Rölatif Hareket... Yerdeki EGÇ sine göre uçağın hızı nedir? V p,g uçağın ere göre hızı.
Rölatif Hareket... è V p,g = V p,a + V a,g Uçağın hızını erdeki gözlemcie göre veren vektör denklemi. V p,a V a,g V p,g
Ders 3, Soru 1 Rölatif Hareket Yere göre 1 m/s hızıla akan 50m genişliğindeki bir nehirde karşıa üzmek istiorsunuz ve hızınız sua göre 2 m/s dir. Öle üzüorsunuz ki karşıa çıktığınız nokta üzmee başladığınız noktanım tam karşısıdır. Karşıa kaç saniede çıkabilirsiniz? (a) 50 3 29 (b) 50 2 35 50 m 2 m/s 1 m/s (c) 50 1 50
ekseni nehir akış önü, Ders 3, Soru 1 çözüm eksenini karşı önde seçelim Karşıa geçmek için gerekli zaman (nehir genişliği) / (v ) Tam karşıa üzdüğünüzden su akıntısı olunuzu değiştirmelidir öle ki hızınızın sua göre bileşenini suun akış hızıla birbirini ok etmelidir: 1 m/s 2 2 2 1 2 m/s 1m/s 3 m/s
Ders 3, Soru 1 çözüm Sua göre hızın bileşeni 3 m/s Karşıa geçme zamanı 50m 3 m s 29s 3 m/s 50 m
Düzgün Dairesel Hareket Ne demektir? Nasıl tanımlarız? DDH dan ne öğrenebiliriz?
DDH nedir? Daire üzerinde hareket. Ama Nasıl? Sabit arıçaplı R Sabit hızla v = v v R (,)
DDH i nasıl tanımlarız? Herhangi bir koordinat sistemi seçebiliriz: Kartezen: (,) [konum] (v,v ) polar: [hız] v (,) (R,) (v R,) [konum] [hız] R DDH da: R sabittir (bölece v R = 0). (açısal hız) sabittir. DDH i tanımlamada polar koordinatlar (2D) en doğalıdır!
Polar koordinatlar: ir daire üzerindeki a uzunluğu s ile açı arasındaki bağlantı: s = R, burada açısal er değiştirme. nın birimi radan dır. Daire etrafında tam bir tur için: v 2R = R c c = 2 nın periodu 2. R (,) s 1 tur = 2radan
Polar koordinatlar = R cos = R sin R (,) 0 1 cos sin /2 3/2 2-1
Polar koordinatlar Kartezen koordinatlarda hız d/dt = v. = vt Polar koordinatlarda açısal hız d/dt =. = t nın birimi radan/sanie. Yer değiştirme s = vt. burada s = R = Rt, dolaısıla: R v t s v = R
Periot ve Frekans Anımsatama: 1 dönü = 2 radan frekans (f) = dönü / sanie Açısal hız () = radan / sanie (a) ve (b) birleştirilirse: = 2 f (a) (b) v Sonuç olarak: Periot (T) = sanie / dönü Sonuç: T = 1 / f = 2/ R s = 2 / T = 2f
Özet: = R cos()= R cos(t) = R sin()= R sin(t) = arctan (/) = t s = v t s = R = Rt R v t (,) s v = R
Polar birim vektörler Kartezen koordinatlardaki birim vektörler: i j k Tanışalım: polar koordinatlarda birim vektörler r ^ ^ ve : ^ r radal öndedir ^ teğetsel öndedir ^ ^ r (saatin tersi önde) j R i
DDH te ivmelenme: DDH te dönü hızı sabit olduğu halde hız sabit değildir zira önü mütemadien değişmektedir: ivme içinde anısı söz konusudur! Ortalama ivmelenme zamanını göz önüne alalım t a ort = v / t v 2 R t v 1
DDH te dönü hızı sabit olduğu halde hız sabit değildir zira önü mütemadien değişmektedir: ivme içinde anısı sözkonusudur! Ortalama ivmelenme zamanını göz önüne alalım t DDH te ivmelenme: a ort =v / t R v v gibi (çünkü v/t ) orijine doğrudur!
Merkezcil İvme DDH ivme aratır: üüklüğü: a = v 2 / R Yönü: ^ - r (dairenin merkezine doğru) R a=dv/dt Görüoruz ki a - R önündedir!..
DDHda Merkezcil İvme unun adı: Merkezcil İveme. üüklüğü nedir: v enzer Üçgenler: v v R R v 2 v2 v 1 Küçük t için R = vt R R v 1 : v v vt R v t 2 v R a 2 v R
Eşdeğeri: ilioruz ki a 2 v R ve = R v i erine koarsak: a R R 2 a = 2 R
Örnek: Pervanenin ucunda ivme Küçük bir uçağın pervanesinin dönüş frekansı f = 3500 dönü/dak. Her bir pervanenin uzunluğu L = 80cm. Pervanenin en ucundaki noktada merkezcil ivme nedir? a burada nedir? f L
Örnek: Önce pervanenin açısal hızını hesaplaalım: d 1 d rad rad 1d/d 1 2π 0.105 d 60 s d s 3500 dönü/dak = 367 s -1-1 0.105 s İvmei hesaplarsak. a = 2 R = (367s -1 ) 2 (0.8m) = 1.1 10 5 m/s 2 = 11,000 g a nın önü pervanenin merkezine doğrudur (-r ^ ).
Örnek: Newton & A A ın düna etrafındaki hareketinden dolaı ivmesi nedir? ilioruz ki (Newton da biliordu bunu): T = 27.3 gün = 2.36 10 6 s (periot ~ 1 a) R = 3.84 10 8 m (a ın uzaklığı) R E = 6.35 10 6 m (dünanın arıçapı) R R E
A... Açısal hızı hesaplarsak: 1 d 1 gün rad 6 s -1 27.3 gün 86400 2π buradan = 2.66 10-6 s -1. s d 2.6610 İvme i hesaplarsak. a = 2 R = 0.00272 m/s 2 = 0.000278 g a nın önü dünanın merkezine doğrudur (-r ). ^
A... A ın ivmesi a a / g = 0.000278 Newton nun hesabına göre R E 2 / R 2 = 0.000273 a a g undan ola çıkıp F Mm 1 / R 2 (sonra daha fazlası var!) R R E