BÖLÜM 1 VİSKOZ AKIŞLARA GİRİŞ

BÖLÜM 1 VİSKOZ AKIŞLARA GİRİŞ 1.1- Visko olalaın önemi 1.- Akışkan-katı sınıındaki şatla 1.3- Lamine tanspot olalaı 1.4- Akışkanın kinematik öelliklei 1.5- Naie-Stokes denklemlei 1.6- Enei denklemi 1.7- Genel denklemlein bilançosu

Bölüm 1: Giiş 1 BÖLÜM 1- GİRİŞ 1.1. Visko olalaın önemi Akışkanı öneten temel denklemle: A- İntegal biçimde Süeklilik Momentum Enei t t υ ρ dυ S ρ V n ds = 0 ( ρ dυ) V ( ρ V n ds) V = p n ds ρ f dυ Fis υ S S 1 1 ρ e V dυ ( ρ V n ds) e V = t υ S ρ υ ρ υ S ( p n ds) V ( f d ) V q& d W& isc Q& isc υ υ υ c B- Difeansiel biçimde Süeklilik ρ t ( V ) = 0 ρ Dρ ρ V = 0 Momentum ( ρu) t ρ ( ) t ( w) ρ t p ( ρ Vu) = ρ f f p ( ρ V) = ρ f f p ( ρ Vw) = ρ f f isc isc isc Du p ρ = ρ f D p ρ = ρ f Dw p ρ = ρ f f f f isc isc isc Enei 1 1 ρ e V ρ e V V = ( pv) ρ f V ρq w t & & isc q& isc Akışkan haeketini öneten denklemle içeisinde baı teimle adı ki bunla iskoitenin etkisini temsil edele. Baı hallede bu teimle ihmal edileek isko-olmaan akım modeli ile çöümlemele apılı. UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş DAİRESEL SİLİNDİR ETRAFINDAKİ AKIM 1.0000 0.5000 Cp 0.0000 Sütünmesi akım Kitiküstü akım Re = 0.67 milon -0.5000-1.0000-1.5000 -.0000 Kitikaltı akım Re = 0.168 milon -.5000-3.0000 0.0 90.0 180.0 70.0 360.0 Basınç dağılımı θ 100.0 10.0 Cd 1.0 0.1 1E-1 1E0 1E1 1E 1E3 1E4 1E5 1E6 Re Süükleme katsaısının Re saısı ile değişimi UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 3 KÜRE ETRAFINDAKİ AKIM 1.0 0.5 Sütünmesi akım Kitiküstü akım Re = 0.435 milon Cp 0.0-0.5-1.0 Kitikaltı akım Re = 0.163 milon -1.5 0 90 180 70 360 θ Basınç dağılımı 100.00 10.00 Cd 1.00 0.10 1E-1 1E0 1E1 1E 1E3 1E4 1E5 1E6 Re Süükleme katsaısının Re saısı ile değişimi UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 4 KANAT PROFİLİ ETRAFINDAKİ AKIM 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0.0 1.0 0.0 α=4 0.0 0.5 1.0 1.0 11.0 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 α=0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 α=18 3.0 3.0.0.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 9.0 8.0 7.0 6.0 α=16 6.0 α=1 α=8 5.0 1-Cp 4.0 5.0 4.0 3.0 3.0 3.0.0.0.0 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 α=4 α= α=0 NACA 441 pofilinin denesel (Pinketon, NACA Rep. No:563, Re=3,100,000) e teoik (CPM) basınç dağılımlaı UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 5.0 0.50 1.5 0.40 0.30 1.0 0.0 CL 0.5 Cm(c/4) 0.10 0.0 0.00-0.5-0.10-1.0-0 -10 0 10 0 α -0.0 NACA 441 pofilinin denesel (Pinketon, NACA TR No:563, Re=3,100,00) e teoik (CPM) kaakteistiklei UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 6 1.. Akışkan-katı sınıındaki şatla Atmosfein en dış tabakasındaki hali seelmiş haa gibi a saıdaki istisnala dışında akışkan otamı süeklik otam olaak kabul edilmektedi. Bi üe makine ile son deece dügün işlenmiş bile olsa, moleküle ölçekte bakıldığında püülü bi aaie bene. Yüe akınından geçen molekülle üedeki giintiçıkıntılaa e diğe moleküllee çapaak momentumlaının e ısıl eneileinin bi kısmını üele palaşıla. Tecübele e analitik incelemele göstemişti ki, üe üeinde akışkan üele etkileşim sonucu bütün momentumunu kabedeek üele anı hıa e sıcaklığa geli şeklindeki bi kabul fiiksel duumun ugun bi şekilde temsilini sağlamaktadı. Bu kabulle çeçeesinde, katı cida üeindeki isko bölgede hı e sıcaklık pofillei aşağıdaki gibi olacaktı., T=T e u=u e =δ u=0.99u e =δ T T-T w =0.99(T e -T w ) T u T w,u,t Şekil 1.1- Katı üe üeinde hı e sıcaklık dağılımı Yüe üeinde akım hıı sıfıdı (sıfı-kama koşulu). Yüeden uak mesafeledeki hı sebest akım hıına e cismin şekline bağlı olaak belli bi U e değei alacaktı. Visko bölgedeki hı, akışkan tabakalaı aasındaki sütünmelee bağlı olaak 0 ile U e değelei aasında dügün bi değişim gösteecek, hı pofili U e değeine asimptotik olaak eişecekti. Bi katı cida üeindeki isko tabakanın kalınlığı U e hıının %99 una eişildiği noktala tanımlanı. Sıcaklık pofili de dua üeindeki T w değeinden ısıl sını tabakanın kena noktasındaki T e değeine kada değişi. Isıl tabakanın δ T kalınlığı sıcaklığın T-T w =0.99(T e -T w ) olduğu e ile tanımlanı. Isıl sını tabaka kalınlığı ile isko sını tabaka kalınlığının anı olması geekmediği belitilmelidi. UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 7 1.3. Lamine tanspot olalaı Bi masa üeinde üst üste duan oun katlaından en üstteki bi kısmının bi önde aniden itildiğini asaalım. Katla aasındaki sütünme katlaın çoğunun, alt taaftakile daha küçük miktada olmak üee anı önde haeket etmesine neden olacaktı. Bu ola, en üstteki kata etkitilen itmenin katla aasındaki sütünme nedenile bi kattan diğeine iletileek aınması (difüon) olaı olaak nitelendiilebili. Bu katlala beneştiilen bi isko akım, tabakala e değiştimediği için lamine sını tabaka akımı olaak adlandıılı. Lamine akımda difüon olaı Stokes poblemi olaak da adlandıılan aniden haeket ettiilen sonsu geniş bi leha üeindeki isko akım poblemi ile öneklenebili ANİDEN HAREKET ETTİRİLEN SONSUZ GENİŞ LEVHA ÜZERİNDEKİ AKIM 1.0 0.01 0.9887 0.0 0.97744 0.8 0.03 0.96616 0.04 0.95489 0.05 0.94363 0.6 0.06 0.9338 0.07 0.9114 0.4 0. 0.08 0.1 0.9099 0.88754 0.09 0.11 0.8987 0.87638 0.1 0.8654 0.0 0.13 0.85413 0.0 0.5 0.14 1.0.84305 1.5.0 0.15 0.83 Bi akışkan akımı içeisindeki iskoite etkisinin matematiksel modeli baı fiiksel geçekle dikkate alınmak kadıla oluştuulabili. Akışkan statik halde e basit bi e değiştime ile geilmee mau kalma. Bi katı cisim çekme altında ua, baskı altında kısalı. Bölece bi iç geilme oluşu. Uama ea kısalmaı sağlaan ük otadan kaldıılınca eski haline döne e geilmele de otadan kalka. Yani katı cisim içindeki e değiştimele geilme aatı. Osa akışkan böle bi basit e değiştimee mau bıakılısa eni konumunda ine geilmesi kalı. Akışkanda geilmenin nedeni konum değil ama akışkan eeleinin bibiine göe haeketidi. Dolaısıla geilme olabilmesi için öncelikle akışkanın haeketli olması geeki. Ama bu da eteli olmaıp haeketli bölgede hı faklılıklaı olması geeki. Ne kada büük hı faklılığı asa geilme de o kada büük olu. Akışkan içinde teğetsel kuetle UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 8 Visko geilme ile hı faklılıklaı aasında en basit halde τ V / n (1.1) şeklinde bi ilişki kuulabili. Buada n büüklüğü geilme doğultusuna dik doğultuu belitmekte olup geilmenin biinci metebeden hı gadantına bağlı olduğu kabulü apılmıştı. Genel halde daha üksek metebeden değişimlein de (²V/n²) geilme ile ilişkisi adı. Ancak Newtonien olaak nitelendiilen akışkanlada bu ilişki ihmal edilebili. Yukaıdaki bağıntının ugunluğu iskoite-ölçe adı eilen basit bi cihala ölçülebili. Bu ciha iç içe iki silindiden oluşu. Dıştaki silindi haeketsi iken içteki silindi döndüülebili. Silindile aasındaki aalık çok da olup, bu aada iskoitesi ölçülecek olan akışkan e almaktadı. Katı üe üeindeki kamama sını şatı nedenile, sabit silindile temas ettiği bölgede akışkan eelei sıfı hıda iken haeketli silindile temas ettiği bölgede bu silindile anı hıa sahip olacaktı. Dönen silindi << R ω V=0 V=ω R R Sabit silindi Bu duumda silindile aasındaki akışkan linee bi hı dağılımına sahip olup, sütünmele ilişkili geilme dağılımı silindii döndümek için ugulanan kuet adımıla hesaplanı. Haa, su e benei gibi çoğu bilinen akışkan için Şekil 1.- Viskoite-ölçe V τ = µ n Stokes kanunu (1.) şeklinde bi bağıntı bulunmuştu. Buadaki µ oantı katsaısı lamine iskoite katsaısı olaak adlandıılı. Bu büüklük akışkanın fiiksel bi öelliğidi. Stokes kanununa uan akışkanla Newtonien akışkan olaak, umaanla ise non-newtonien akışkan olaak nitelendiili. Polime gibi non-newtonien akışkanlada geilme şekil değiştime hıına bağlıdı. Baı non-newtonien akışkanlaının tipik geilme-şekil değiştime hıı eğilei şekilde göülmektedi. Newtonien akışkanla için denele göstemişti ki iskoite µ = µ (T) şeklinde sadece sıcaklığın bi fonksionudu. Çoğu halde basıncın etkisi ihmal edilebili. σ Plastik Pseudo Plastik Dilatant Newtonien Şekil 1.3- Çeşitli akışkanla için geilme-şekil değiştime hıı ilişkisi ε (1.) bağıntısında bout analii apılısa iskoitenin boutunun UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 9 τ oğunluk hı uunluk (1.3) şeklinde olduğu göülü. Buna göe moleküle metebede bi anali apılısa gala için τ = 049. ρ cλ* (1.4) şeklinde bi bağıntı elde edili. Buada ρ gaın oğunluğu, c moleküllein otalama hıı (c T ½ ) e λ* da molekülle aası otalama sebest öüngedi. Geçekte µ nün analitik olla tahmin edilen değelei etei doğulukta değildi. Bu bakımdan çoğu aman denesel değele kullanılmaktadı. Lamine iskoite katsaısı sık sık akışkanın oğunluğu ile bilikte değelendiileek ν = µ / ρ şeklinde lamine kinematik iskoite tanımı apılı. Daha önce de belitildiği gibi akışkan haeketinde bi sıcaklık fakı a ise akışkan sütünmesine bi de ısı tansfei olaı eşlik ede. Dolaısıla bu tip olalaın da modellenmesi geeki. Bu olaın fiiksel esası iki geçeğe daanı. Biincisi, ısı akışı ancak sıcaklık gadantı asa oluşu e sıcaklık gadantı le oantılıdı. İkinci olaak, ısı daima sıcaklığın büük olduğu eden küçük olduğu ee doğu aka. Buna göe ısı akışı için T q= k (1.5) n aılı. Buada q büüklüğü ısı akısı e k da lamine ısıl iletkenlik katsaısı olaak adlandıılı. k büüklüğü akışkanın fiiksel bi öelliği olup daima poitif değelidi. (1.5) bağıntısı Fouie kanunu olaak bilini. Bu bağıntıdaki eksi işaeti ısı akışının doğu önünü elde etmek için kullanılmaktadı. Tecübele ısıl iletkenlik katsaısının k = k(t) şeklinde sıcaklığın bi fonksionu olduğunu göstemektedi. (1.5) bağıntısı katı cisimle için de geçelidi. Lamine iskoite e ısıl iletkenlik katsaılaını içeen iki önemli boutsu büüklük (gup) adı: Renolds saısı e Pandtl saısı. Renolds saısı Re ρvl = (1.6) µ şeklinde olup buada ρ akışkanın oğunluğu, V kaakteistik hı e L de kaakteistik uunluktu. Bu bağıntı ρv ² Re = (1.6a) µ V / L şeklinde düenlenise, akışkan akımındaki atalet kuetlei ile isko kuetlein oanını temsil ettiği göülebili. Patikteki çoğu akım için bu oanın 10 3 10 8 gibi çok büük metebelede olduğu bilinmektedi. Pandtl saısı µ c P = p (1.7) k UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 10 şeklinde iskoite e ısıl iletkenlik katsaılaı anında sabit basınçta ögül ısı katsaısı c p e bağlı olaak tanımlanmaktadı. Bu bağıntı da P k µ / ρ = (1.7a) ( ρc ) / p şeklinde düenlenise momentum aınım (difüon) katsaısı ile ısı aınım katsaısı oanını temsil ettiği göülebili. Çoğu gala için P 0.7, su e benei sııla için P O(10) e sıı metalle için P << 1 di. İki ea daha faklı akışkanın ünifom olmaan bi kaışımından oluşan bi akışkanın akışında isko aınım e ısıl aınım gibi bi de moleküle aınım (difüon) göülü. Kaışımdaki faklı akışkanla faklı indislele belitilise, i indisli akışkan eeleinin kütlesi, toplam akışkan kütlesinin c i gibi bi kesii ile ifade edileek kütlesel aınım için c m D n i & i = ρ (1.8) gibi bi bağıntı aılı. Buada m& i büüklüğü i akışkanının lokal kütle akısını, kütle otalamalı lokal akışkan hıına kıasla temsil etmektedi. (1.8) bağıntısı Fick kanunu olaak bilinmekte olup akışkan eeleinin konsantasonun büük olduğu eden düşük olduğu ee doğu aındığını belitmektedi. Bu bağıntı kuetli sıcaklık ea basınç gadantlaından oluşan kütle aınımlaını hesaba katmamaktadı. Bağıntıdaki D çapanı lamine ikili aınım katsaısı adını alı e akışkanın fiiksel bi öelliğidi. Kütlesel aınımla ilgili iki boutsu saı (gup) adı: Schmidt saısı Lewis saısı µ Sc = (1.9) ρd Le ρcd p = (1.10) k Schmidt saısı isko difüonun kütle difüonuna oanını, Lewis saısı ise kütle tansfeinin ısı tansfeine oanını temsil etmektedi. Bu iki boutsu katsaı bilikte kullanılaak olduğu göülebili. P = Le Sc (1.11) Lamine iskoite, ısıl iletkenlik, aınım katsaısı gibi fiiksel öellikle geniş ölçüde denesel çalışmalala tespit edilmektedi. Haa e su için baı bilgile Şekil 1.4 e 1.5 de eilmişti. UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 11 0.75 5.5 P 0.70 4 P.0 0.65 µ 10 4 P 3 µ k 1.5 k 10 4 1.0 cal / (cm.s.k) 1 0.5 0 0 300 400 500 600 700 800 900 1000 T(K) Şekil 1.4- Haanın 1 atm basınçtaki lamine temofiiksel öelliklei µ 10 P.0 1.5 k 15 10 k 10 3 1.0 P cal / (cm.s.k) 5 0.5 µ P 0 0 50 300 350 400 450 500 550 600 650 T(K) Şekil 1.5- Sıı haldeki suun lamine temofiiksel öelliklei Haanın iskoitesi için geniş biçimde kullanılan bi bağıntı Sudheland (1893).taafından 3 / T 383. 7 µ = 0. 1716 73. 1 T 110. 6 (1.1) olaak eilmişti. Buada T sıcaklığı Kelin deecesi e µ ise milipoise (N.s/m² 10 4 mp) olaak ölçülmektedi. Bu bağıntının daha basit bi biçimi çok sıklıkla kullanılmakta olup şeklindedi. µ T ω (ω 0.76) UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 1 1.4. Akışkanın kinematik öelliklei Bi akışkan elemanı genel olaak 4 tip haeket ea defomason göstei. 1- Öteleme (tanslason) - Dönme (otason) 3- Genişleme-daalma (dilatason) 4- Açısal defomason t dt - anı u d dt D A d d d dt u.dt dφ 1 B dφ C d dt A u u d D d u d dt d B u d C d u u d.dt t - anı Şekildeki ABCD akışkan elemanının başlangıçta kee şeklinde olduğunu asaalım. Bu eleman dt aman aalığında e e şekil değiştimişti. - B noktasının B noktasına gitmesi bi öteleme haeketi di. Öteleme miktalaı u dt, dt - BD diagonali saat ibeleine ıt önde bi dönme haeketi apaak B D diagonaline dönüşmüştü. Bu bi dönme otason haeketidi. BC kenaının dönme açısı φ 1 = lim dt 0 tan 1 d dt d u t d d dt UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 13 AB kenaının dönme açısı BD Diagonalinin dönme açısı φ 1 = lim dt 0 tan 1 = dφ dφ1 1 u dt u d dt u d d d dt Açısal hı dω 1 u = dt Akım üç-boutlu kabul edilip, kübik bi akışkan elemanı dikkate alınaak benei işlemle ekseni e eksenine dik dülemle içinde tekalanaak dω 1 w = dt e bu üç bağıntı şeklinde bileştiileek d Ω 1 u w = dt dω dω dω dω = dt dt dt dt i k dω ω = Votisite ektöü dt elde edili. Açısal hılaın hı bileşeni tüelei cinsinden değelei bu bağıntıda kullanılaak otisite ektöünün ω = V Şeklinde hı ektöünün otasoneline eşit olduğu göülü. - Akışkan elemanı AB e CD kenalaı aasındaki dik açı aalaak bi açısal defomasona uğamıştı. Açısal defomason akışkan elemanının BA e BC kenalaında başlangıçta dik olan açının otalama aalma miktaı olaak tanımlanı. Biim amandaki aalma ε ile gösteileek 1 dφ dφ 1 u ε 1 = ε dt dt = Diğe dülemlede benei biçimde ε = 1 w ε 1 u = w UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı 14 - Akışkan elemanı genişleme dilatason biçiminde bi şekil değişimine uğaaak A B C D elemanı olmuştu. Akışkan elemanının bi doğultudaki uaması ε ii ile gösteileek, öneğin -doğultusunda u d d dt d u dt dt d = = ε Bölece u = ε e diğe doğultulada = ε e w = ε elde edili. Defomason hılaı tansöü: Açısal e linee defomason hılaı bi aaa getiileek = ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Defomason hılaı tansöü şeklinde bi tansö elde edili. Bu tansö hı tüelei cinsinde aılısa = ε w w w u w u w u u u 1 1 1 1 1 1

Bölüm 1: Giiş 15 1.5. Naie-Stokes denklemlei Newton un ikinci kanunu He iki taaf akışkan hacmi ile bölüneek Buada f biim hacme etkien kuet olup Öte andan ime hı cinsinden olup, bölece momentum denklemi F = m a f = ρ a f f = = υ a = DV DV ρ = f bünesel f f bünesel f üesel üesel Buadaki bünesel kuetle eçekimi ea elektomanetik kanaklı olup, çoğu poblemde elektomanetik kuetle oktu. Yeçekimi kuetlei ise f = ρ g bünesel şeklinde eçekimi imesine bağlanı. Çoğu akış pobleminde eçeki kueti de ihmal edilebili. Yüesel kuetlei tespit etmek için Şekil 1.6 da gösteildiği gibi dikdötgen piması şeklindeki bi akışkan elemanını dikkate alalım. τ τ d τ d τ τ d τ τ d τ τ d d Şekil 1.6- Akışkan elemanına -doğultusunda etkien kuetle eksenine dik iki üee etkien kuetle T d d ; T T d d d UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 16 olup bu ikisinin fakından net kuet ektöü T d d d Benei şekilde, diğe iki eksene ( e ) dik dülemlee etkien kuetle de T d d d ; T d d d şeklinde olup kuet ektölei bileşenlee aılaak T T T = τ = τ = τ i τ i τ i τ τ τ τ Buada, öneğin τ elemanı eksenine dik üee doğultusunda etkien geilmei belitmektedi. Kuetlein hehangi bi eksen etafında momenti alınaak e dengedeki bi akışkan eesi için sıfıa eşitleneek olduğu gösteilebili. τ = τ, τ = τ, τ = τ (1.1) k k k Geilme bileşenlei bi aaa getiileek τ τ τ τ = τ τ τ τ τ τ şeklinde bi geilme tansöü oluştuulabili. (1.1) bağıntılaı da dikkate alınısa geilme tansöü simetik bi tansödü. τ, τ e τ diagonal elemanlaı nomal geilmele olup basınç ile akından ilişkilidile. Diagonal dışındaki elemanla isko kama geilmelei di. -doğultusundaki momentum denklemi için kuet ektöleinin -doğultusundaki bileşenlei toplanaak F τ = d d d τ d d d τ d d d τ = τ τ d d d ea biim hacim başına kuet f τ = τ τ Benei şekilde - e - doğultusundaki toplam kuetle f = τ τ τ e f = τ τ τ olaak bulunu. UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 17 Yüe geilme kuetleinin bileşkesi f üesel = f i f f k olup ukaıdaki bileşenle kullanılaak bölece momentum denklemi şekline geli. f üesel = τ DV ρ =ρ g τ Şimdi bu isko geilmelein akımın dinamiğine bi şekilde bağlanması geekmektedi. Bunun için Şekil 1.7 deki basit hal dikkate alınısa bu basit halde u τ = µ (1.) di. Buadaki u/ büüklüğü akışkan içinde başlangıçta dik kesişen iki çigi aasındaki açının değişme hıının aısı olaak tanımlanan şekil değiştime hıının iki katına eşitti. Buna göe kama geilmesinin şekil değiştime hıı ile oantılı olduğu sölenebili. (1.) bağıntısı genelleştiileek u() d u d dt Şekil 1.7- Sabit e haeketli iki dua aasındaki da bölgede akım u, w, w u τ = µ τ = µ τ = µ (1.5) Buadaki temel kabul isko geilme tansöünün şekil değiştime hılaı tansöünün linee bi fonksionu olduğudu. Bu anali Newtonien akışkanla için denklemlei ei. Aıca akışkan iotopik kabul edilmiş olup, işlemle seçilen doğultudan bağımsıdı. Diagonal teimle (nomal geilmele) öel bi dikkat geektii. Öncelikle, bi akışkan içindeki p basıncı ekseietle biim aıçaplı bi küe üeindeki nomal geilmelein otalama değeinin tes işaetlisi (içei doğu) olaak tanımlanı. Buna göe basınç büüklüğü geilme tansöünün diagonal teimlei içinde göükmelidi. Aıca nihai bağıntının koodinat sistemindeki basit bi dönme halinde değişme (inaiant) olmasını istei. Bu husus tansöün diagonal teimleine baı başka teimlein e ikinci bi λ iskoite katsaısının ilae edilmesini geektii. Söü edilen fomülason katı mekaniğindekinin benei olup, diagonal teimlein nihai biçimi: u u w τ = µ λ p u w τ = µ λ p w u w τ = µ λ p (1.6) UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 18 şeklindedi. Fakat, nomal geilmelein otalaması haeket (e dolaısıla nomal isko geilmele) olsun ea olmasın basıncın eksi işaetlisine eşit olacağı için 3 u w p τ τ τ p λ µ = = 3 3 (1.7) aılabili. Bu eşitliğin geçekleşebilmesi için sağdaki ikinci teimin sıfı olması geektiği açıkça göülmektedi. Bu bağıntının sağında paante içinde e alan teimle toplamının u = di V olduğunu göstemek mümkündü. Sıkıştıılama akımla için bu teimle toplamı kütlenin kounumu geeği (süeklilik denklemi) sıfıdı. Diğe hallede ise basitçe, µ λ = (Stokes hipotei) 3 kabul edilmesi alışılagelmişti. Bu kabulün ciddi şekilde bi ispatı, tek atomlu gala dışında odu. Stokes hipoteile hıın dieansı da kullanılaak nomal geilmele için eilen bağıntıla τ τ τ u = p µ µ di V 3 = p µ µ di V 3 w = p µ µ di V 3 (1.6a) (1.5) e (1.6a) bağıntılaı bileştiileek bi tek genel defomason kanunu şeklinde ifade edilebili. τ = pδ u µ i u i δ µ di V 3 Buada δ büüklüğü konoke deltası olup i= için değei 1 e i için sıfıdı. Bu duumda momentum denklemi de DV u u ρ =ρ τ =ρ µ δ µ 3 i g g p div i şekline geli. Sıkıştıılama, sabit iskoiteli akımla için bu denklem DV ρ =ρ µ g p V şekline indigeni. UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 19 1.6. Enei denklemi Temodinamiğin 1. kanunu de t = dq dw Duağan olmaan (haeketli) sistemlede = ρ ( e ½ V g ) Buada e: Patikülün biim kütle başına iç eneisi Haeketi takiben tüe alınaak Buada V: Patikülün hıı E t : Patikülün e değiştimesi DE t Isı tansfei için Fouie kanunu De DV = ρ V g V DE t DQ = q = k T DW Şekildeki dikdötgensel akışkan elemanı için ekseni önündeki ısı tansfei incelenise, sol e sağ üleden geçen ısı akılaı sıasıla: T q =-k d q q d q q d d q d d d W d d W W d İkisinin fakı alınaak net ısı tansfei elde edili. Diğe doğultuladaki ısı tansfelei de benei biçimde inceleneek toplam ısı akısı için q q q d d d e hacim ile bölüneek biim hacim başına ısı tansfei için q q q = q = ( k T ) = DQ elde edili. Yine şekildeki pimatik elemanın sol e sağ üelei üeinde biim alan başına apılan işle için sıasıla w ( uτ τ w τ ) w = e w d e bu ikisinin bileşkesinden net iş için UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 0 w = ( uτ τ w τ ) elde edili. Benei incelemele diğe doğultuladaki üle için apılaak sonuçta toplam net iş için DW w w w = = DW ea indissel biçimde = ( V τ ) DW W = τ τ τ τ τ τ τ τ τ bulunu. Bu ifade ( ) i V = τ τ ( u w ) ( u w ) ( u w ) şeklinde de aılabili. Sağdaki ilk paante içi teim momentum denkleminden DV ρ =ρ g τ şeklinde hıın mateal tüeine bağlanabili. u DV τ =ρ ρg Bölece enei, ısı e iş için elde edilen büüklükle Temodinamiğin 1. asasında kullanılaak De DV DV ui V g V ( k T) V ρ = ρ ρ g τ sadeleştime e düenlemele sonucu De di k u i ( T ) ρ = τ elde edili. Bu eşitlik Temodinamiğin 1. kanunun akışkan haeketi için geniş şekilde ugulanan bi biçimidi. Bu son denklemin sağ taafındaki geilme tansöü basınç teimi e isko geilme teimi ui u i τ =τ' p div olmak üee iki kısma aılaak, e aıca basınç teimi için süeklilik denklemi adımıla UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 1 Dρ ρ div = 0 1Dρ div = ρ p Dρ D p Dp p div = =ρ ρ ρ aılaak enei denklemi D p Dp ui ρ e = di( k T) τ' ρ şekline getiilebili. Buada solda paante içinde geçen toplam kısaca p e = h ρ şeklinde gösteili e h büüklüğü antalpi olaak adlandıılı. Visko geilmele ilgili sonuncu teim de ine kısaca φ=τ' ui şeklinde gösteili e dissipason fonksionu olaak adlandıılı. Bölece enei denklemi çoğu aman kısaca ρ Dh Dp di( k T ) = φ şeklinde aılı. Dissipason fonksionu Newtonien akışkanla için u i u w u w u w φ=τ ' =µ u w λ şeklindedi. Sabit öellikli (k=sb), mükemmel ga (dh=c p dt, de=c dt) halinde enei denklemi basitleşeek haline geli. ρ DT Dp cp k T = φ UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı

Bölüm 1: Giiş 1.7. Genel denklemlein bilançosu Süeklilik Momentum Enei Dρ ρ div = 0 DV ρ =ρg p τ Dh Dp u ρ = di k τ ' i ( T ) ' Buada Visko geilme tansöü : u u i τ ' =µ δλdiv i Değişken saısı : 9 Asıl bilinmeenle : 5 p, V(u,,w), T İkincil bilinmeenle : 4 ρ=ρ ( p, T ) (, ) ( T ) ( ) h= h p T µ=µ k = k T Kabulle - Akışkan matematiksel olaak süeklidi. - Patikülle temodinamik dengededi. - Tek bünesel kuet e çekimi kanaklıdı. - Isı iletimi Fouie kanununa ua UZB 386 Sını Tabaka 007-008 Baha Yaıılı Des Notlaı