İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, 180 Diyarbakır, Türkiye * meral.suer@batman.edu.tr, sedati@dicle.edu.tr Özet Bu çalışmada,,, pozitif tam sayı, 3, 3<< ve,3 ün tam katı olmamak üzere,,, Fibonacci sayıları için =,, şeklinde özelsimetrik Fibonacci sayısal yarıgrublarının bir sınıfını inceleyeceğiz ve bu sınıfta bazı sonuçlarvereceğiz. Anahtar Kelimeler: Sayısal Yarıgrup, Fibonacci Sayısal Yarıgrupları, Frobenius Sayısı,Fibonacci Sayıları. A Class of Fibonacci Symmetric Numerical Semigroups with Three Embedding Dimension Abstract In this paper, we characterize a particular class of Fibonacci symmetric numerical semigroups in the form of =,, with,, Fibonacci numbers where,, is positive integers and, 3, 3<< and 3 does not divide. And we will give some results in this class. KeyWords: Numerical Semigroup, Fibonacci Semigroups, Frobenius Number, Fibonacci numbers. 78
1. Giriş ve sırasıyla tamsayılar kümesi ve negatif olmayan tamsayılar kümesi olarak verilsin olmak üzere, de + ile gösterilen toplama işlemine göre kapalı ve 0 oluyorsa S ye sayısal yarıgrupadı verilir.,,,, için < < < < olmak üzere, =,,,, = : şeklinde yazılabildiği ve #\<,,,, = olduğu bilinmektedir[1]. Burada # ile kümesinin eleman sayısı gösterilmektedir. nin boştan farklı bir alt kümesi verilsin.,+ nın ile üretilen alt monoidi, başka bir ifadeyle nin kümesini kapsayan en küçük altkümesi ile gösterilir. Eğer bir sayısal yarıgrup ve = ise kümesi nin bir üreteçler sistemidir denir. nın yi üreten özalt kümesi yoksa kümesine nin minimal üreteç sistemi denir. Her sayısal yarıgrubun minimal üreteç sisteminin tek olduğu ve üreteçler sisteminin sonlu elemana sahip olduğu bilinir [7]. Eğer < < < <, nin minimal üreteç sistemi ise, deki en küçük sayı olan sayısına nin katlılığı denir ve ile gösterilir. nin minimal üreteç sisteminin eleman sayısına nin indirgenme boyutu denir ve ile gösterilir. Bir S sayısal yarıgrubunda = : ve =#0,1,, sayılarına, sırasıyla, S sayısal yarıgrubunun Frobenius ve belirteç sayısı denir [7]. Bu durumda =,,,, =0,,,,,,+1, 79
şeklinde yazılabilir ki burada <,= ve " " sembolü +1 sayısından sonraki bütün sayıların sayısal yarıgrubunda olduğu anlamındadır [1]. \ nin elemanlarına nin boşlukları denir ve bu elemanların kümesi ile gösterilir. kümesinin eleman sayısına nin genusu (cinsi) denir ve ile gösterilir [7]. S bir sayısal yarıgrup olmak üzere, +=+1 eşitliği mevcuttur. Her \ için oluyorsa sayısal yarıgrubu simetriktir denir. Eğer = yani =, ise sayısal yarıgrubunun simetrik ve = olduğu bilinmektedir [1]. Ayrıca, sayısal yarıgrubu simetrik ise = olur []. Öte yandan, \0 için,= : kümesine nin ye göre Apery kümesi olarak adlandırılır. Böylece #,= olup =, bağıntısı mevcuttur. =,, ayısal yarıgrubu verilsin. Bu durumda,, = : kümesi, nin e göre tam olarak bir elemanını kapsar. Özel olarak, kümesi =0,1,, 1 için ye göre ye denk olan kalan sınıflarının her birindeki en küçük pozitif tamsayılardan oluşmaktadır [6]. =0, =1 olmak üzere, =0,1,, için = + şeklinde tanımlanan sayısına n-inci Fibonacci sayısı denir. Fibonacci sayılarından oluşan dizisine de Fibonacci dizisi adı verilir ve bu dizinin bazı elemanları aşağıdaki gibi yazılır. n 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 F 0 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 n =,, sayısal yarıgrubunda, =1,,, için, yerine Fibonacci sayıları alınırsa, ye Fibonacci sayısal yarıgrubu denir.eğer = alınırsa, bu Fibonacci sayısal yarıgrubu, =,,, olarak yazılır [3]. 80
Bu çalışmada, indirgenme boyutu üç olan, yani Fibonacci sayı üçlüsü ile üretilen, Fibonacci simetrik sayısal yarıgrupların bir sınıfını ele alacağız ve bu sınıfta bazı sonuçları vereceğiz. Bu tür sayısal yarıgrupların daima simetrik olmayacağı açıktır. Örneğin, =,, Fibonacci sayısal yarıgrubu simetrik değildir. Ancak, =,, Fibonacci sayısal yarıgrubu simetriktir.. Simetrik FibonacciSayısal Yarıgrupları.1. Teorem: ( Lucas Teoremi ), pozitif tam sayılar olmak üzere, ve Fibonacci sayıları verilsin. O zaman,, =, şeklindedir [3]... Önerme: için, ve Fibonacci sayıları verilsin. O zaman, a) b) = + c) >1 için < ise < d) çifttir. ifadeleri doğrudur ([8], [5])..3. Teorem:,,>4 ve,, Fibonacci sayıları olmak üzere, =,, Fibonacci sayısal yarıgrubunun simetrik olması için gerek ve yeter koşul, =, 3 olmak üzere,,=1 yada için F=, olmasıdır [8]..4. Sonuç:,,>4 ve,, Fibonacci sayıları olmak üzere, =,, Fibonacci sayısal yarıgrubunun simetrik olması için gerek ve yeter koşul, =, 3 olmak üzere,,=1 yada için F >, olmasıdır [3]. 81
.5. Lemma: =,, simetrik sayısal yarıgrup olsun. O zaman, =, ve =, olmak üzere, nin Frobenius sayısı = + ile bulunur [4]..6. Teorem:,, pozitif tam sayı, 3, 3<< ve,3 ün tam katı olmamak üzere,,, Fibonacci sayıları verilsin. O zaman =,, Fibonacci sayısal yarıgrubu simetriktir. İspat:,, pozitif tam sayı, 3, 3<< ve,3 ün tam katı olmamak üzere,,, Fibonacci sayıları verilsin. 3 ise,3=3 olup,+ 3=3 yazılır. Bu durumda, Teorem.1 den, =, = = bulunur. Öte yandan,,, sayılarının seçiminden dolayı, =1 olacaktır, Teorem.1 ve Önerme. yardımıyla aşağıdaki eşitliği elde ederiz: = = + = + + = + + + = + + = + +, = = + Bu durumda,, yazarız. Dolayısıyla Teorem.3 ten =,, Fibonacci sayısal yarıgrubu simetrik olur. 8
.7. Sonuç: Fibonacci sayısal yarıgrubu Teorem.6 daki gibi verilsin. O zaman nin Frobenius sayısı, = + olur..8. Sonuç: Fibonacci sayısal yarıgrubu Teorem.6 daki gibi verilsin. O zaman a) = b) = c), = + :=0,1 =0,1,,, 1 eşitliklerigeçerlidir..9 Örnek: =6,=1,= için =,, = 8,34,89 sayısal yarıgrubunu ele alalım., =,, =1,, = 4,17 olup, =1,,3,4,5,6,7,9,10,11,1,13,14,15,17,18,19,0,1,,3,5,6,7,8,9,30,31,33,35, 36,37,38,39,41,43,44,45,46,47,49,51,5,53,54,55,57,59,60,61,6,63,65,67,69,70,71, 73,75,77,78,79,81,83,85,86,87,91,93,94,95,99,101,103,107,109,111,115,117,119, 15,17,133,135,141,143,149,151,159,167,175,183 bulunur. Öte yandan,, =,8=0,34,68,89,10,13,157,191, = = + = 8 34 = +89 8 34=183, =9 ve ==9 olur. 83
Kaynaklar [1]. Barucci, V.,Dobbs, D. E., Fontana, M. (1997). Maximality Properties in Numerical Semigroups and Applications to One-Dimensional Analyticalle İrreducible Local Domain. Memoirs of the Amer. Math. Soc.,598,13-5. []. D Anna, M.( 1998). Type Sequences of Numerical Semigroups. Semigroup Forum, 56,1-31. [3]. Fel, L.G. (009). Symmetric Numerical Semigroups Generated By Fibonacci and LucasTriples. İntegers 9, #A09, 107-116. [4]. Herzog, J. (1970). Generators and relations of Abelian semigroups and semigroups rings. Manuscripta Math., 3, 175-193. [5]. İlhan, S. ve Kiper R.( 008). On The Frobenius of Lucas Numerical Semigroups. Acta Üniversitatis Apulensis, 16, 179-184. [6]. Rosales, J.C. (000). Numerical Semigroups with Apery Sets of Unique Expression. Journal of Algebra, 6, 479-487. [7]. Rosales J.C. ve Garcia-Sanchez P.A. (009). Numerical Semigroups. New York: Springer,181. [8]. Sun, Z.H. (009). Congruences for Fibonacci numbers. Erişim Tarihi: 4 Şubat 009, http://www.hytc.cn/xsjl/szh. 84