SAÜ BÖLÜM. OLASILIK Prof. Dr. Mustafa AKAL 0
İÇİNDEKİLER.KAVRAMLAR.. Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay.. Olayların Biçimlenmesi.3. Olasılık Tanımı.PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON..Permütasyon... Sıralı Permütasyon... Dairesel Permütasyon..3. Tekrarlı Permütasyon.. Kombinasyon.3. Olasılık Kuralları.3.. Olasılıkların Toplanması.3.. Olasılıkların Çarpımı.3.3. Olasılıların Şartlı İhtimalleri 3.İKİ SONUÇLU OLAYLARDA OLASILIKLAR 4. ŞARTLI OLASILIKLARDA ÇARPIM KURALI 5. TOPLAM OLASILIK KURALI 6. BAYES TEOREMİ HEDEFLER Olasılıkla ilgili kavramların açıklanması, olasılık kurallarının örnek olaylarla açıklanması Permütasyon ve kombinasyonun kullanım yerleri ve hesaplanması
. KAVRAMLAR İstatistik biliminin önemli bir alanı olan olasılık kavramı, araştırılan herhangi bir olayın meydana gelme şansını ölçmemize yardımcı olmaktadır ve istatiksel öngörülerin (tahminlerin) temelini oluşturmaktadır. İnsanların yaşamlarında sık sık belirsizliklerle karşılaşmaktadırlar. Çiftçi için hava durumu, firma için gelecek yılın satışları, uygulanan farklı tedavi yöntemlerinin başarılı olup olmayacağı v.b. belirsizliğe örnek olarak verilebilir. Olasılık belirsizlik altında daha doğru kararlar almaya yardımcı olacağından bir çok alanda kullanılmakta ve faydalı olmaktadır. Olasılık konusunu ve hesaplamasının daha iyi anlaşılabilmesi için bazı olasılıkla ilğili temel kavramların iyi anlaşılmasında fayda vardır... Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay Aynı koşullar altında tekrarlanan deneylerde gözlemlerden hangisinin gerçekleşeceğinin belirsiz olduğu ve sadece bir tanesinin gerçekleştiği sürece RASSAL DENEY denir. Yazı-tura atışı, zar atışı, hisse senedi değişimleri, maç sonuçları, öğrencinin alacağı not v.b. Rassal deneyin tüm mümkün sonuçlarını gösteren kümeye ÖRNEKLEM UZAYI denir ve S harfi ile gösterilir. Örneklem uzayının gerçekleşmesi arzu edilen alt kümesine OLAY denir ve E harfi ile gösterilir. ÖRNEK:Bir zar atıldığında tek sayıların gelmesi istenmektedir. RASTGELE DENEY: Bir zarın atılması S = {,,3,4,5,6} E = {,3,5} ÖRNEK: İki madeni para aynı anda atıldığında ikisininde tura gelmesi istenmektedir. RASTGELE DENEY: İki madeni paranın aynı anda atılması. S = {(yazı, yazı), (yazı, tura), (tura, yazı), (tura, tura)} E = {(tura,tura)} ÖRNEK: Üretilen üç tane televizyondan en az iki tanesinin kusursuz olması istenmektedir. K= kusurlu, N=kusursuz.
RASTGELE DENEY: Üretilen üç tane televizyonun kusurlu olup olmaması. S = {(KKK), (KKN), (KNK), (NKK), (KNN),(NKN),(NNK),(NNN)} E = {(KNN),(NKN),(NNK),(NNN)}.. Olayların Biçimlenmesi Rastgele deneyler sonucunda bazı olaylar meydana geldiğinde bu olaylardan yeni olaylar yaratılabilir. Bunun yolları aşağıdaki gibi sıralanabilir ve olaylar arasındaki ilişkileri daha iyi gösterebilmek için VENN diyagramları denilen şekillerden yararlanılır. ÖRNEK:Atılan bir zarın tek olayına A ve 4 ten küçün gelme olayına B olayı dersek. S = {,, 3, 4, 5, 6} A = [, 3, 5] ve B= [,, 3]. Bütünleyici: A nın bütünleyicisi A da olmayan bütün olayları gösterir ve ile gösterilir. B nin bütünleyicisi B de olmayan bütün olayları gösterir ve ile gösterilir. = [, 4, 6] ve [4, 5, 6]. Bileşim: A veya B olayından en az bir tanesi gerçekleştiğinde, A veya B olayının bileşimi denir ve A B olarak gösterilir. A B = [,, 3, 5] 3. Kesişim: A ve B olaylarında aynı zamanda olan (ortak olan) bütün deneysel sonuçlardan oluşur ve A ve B olayının kesişimi denir. A B olarak gösterilir. A B = [, 3] 4. Ayrık Olay : A ve B olaylarınınortak sonuçları yoksa bu olaylara ayrık yada bağdaşmaz olaylar denir. A B boş küme olacaktır. 3
.3. Olasılık Tanımı Rassal bir deneme yapıldığında sonucu önceden belli olmayan durumlarda bir olayın gerçekleşebilirliğinin sayısal olarak ifade edilmesine OLASILIK denir. Diğer bir ifadeyle rassal denemede bir olayın hanği sıklıkla gerçekleşeceğinin bir sayı ile ülçülmesidir. Olasılık 0 ile aralığında bir ölçekle ölçülür. olasılığı olayın kesin olarak gerçekleşeceğini ifade ederken, 0 olasılığı olayın gerçekleşmesinin imkansızlığını ifade eder. Bunlar iki uç değerlerdir. Olasılığın uyması gereken üç önemli kural vardır. A bir olayı, P(A) olayın gerçekleşme olasılığını ve O i temel sonuçları göstermektedir.. 0 P(A), A olayının gerçekleşme olasılığı 0 ile arasındadır.. P(A) =, Deneme (N) sonsuza giderken N A / N oranı P(A) ya ve N i /N oranıda ye yaklaşır. 3. P(S) =, Olayın sonucu örneklem uzayı içinde olacaktır. 4
ÖRNEK: Atılan bir zarın 3 çıkma olasılığı nedir? P(A) = ÖRNEK: 0 tanesi hatalı olan 500 SEDAŞ faturasından seçilen bir tanesinin hatalı çıkma olasılığı nedir? P(A) =. PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON Permütasyon ve Kombinasyon hesaplamalarında kullanılan en önemli kavram FAKTÖRYEL dir. den n e kadar sayıların çarpımına faktöryel denir ve n! sembolüyle gösterilir. Örneğin 4! = 4*3** = 4 tür. Özel bir durum olarak 0! = ve! = dir... Permütasyon Birbirinden farklı n tane elamanın kaç farklı şekilde sıralanabileceği PERMÜTASYON yardımıyla bulunur. Permütasyonlar olaya göre farklılıklar gösterebilirler.... Sıralı Permütasyon : n elemanlı bir A kümesinin seçilen k tane elemanının kaç farklı şekilde olabileceğinin hesaplamsında kullanılır. Formülü aşağıdaki gibidir. ÖRNEK :,, 3, 4, 5 sayılarından seçilecek olan iki sayı kaç farklı şekilde sıralanabilir? ÖRNEK : 5 kişi 5 kişilik bir koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? 5
ÖRNEK : 5 kişi 4 kişilik bir koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? ÖRNEK : 5 kişi 3 kişilik bir koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?... Dairesel Permütasyon : n elemanlı bir A kümesinin seçilen k tane elemanının bir çember etrafında kaç farklı şekilde olabileceğinin hesaplamsında kullanılır. Formülü aşağıdaki gibidir. P n = (n-)! ÖRNEK : kadın 3 erkekten oluşan bir grup 5 kişilik yuvarlak bir masada kaç farklı şekilde oturabilir? P 5 = (5-)! = 4! =4 farklı şekilde. ÖRNEK : kadın 3 erkekten oluşan bir grup erkekler bir arada olmak üzere 5 kişilik yuvarlak bir masada kaç farklı şekilde oturabilir? Erkekler kendi aralarında 3! = 6 ve kadınlar kendi aralarında! = farklı şekilde oturabilirler. Kadın ve erkekleri iki grup olarak düşünürsek bu iki grup yuvarlak masa etrafında (-)! = farklı şekilde oturabilir. O zaman bu koşullar altında 6**= farklı şekilde oturabilirler...3. Tekrarlı Permütasyon : n elemanlı bir A kümesinin bazı elemanları tekrar ediyorsa bu tekrar eeden elemanların yer değiştirmesi yeni bir sıralama oluşturmaz. Bu durumlarda aşağıdaki formül kullanılmalıdır. n, n.n x P n = 6
ÖRNEK: 44 sayısındaki rakamların yeri değiştirilerek 5 rakamlı kaç farklı sayı türetilebilir? 4,P 6 = farklı sayı elde edilir... Kombinasyon: A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin KOMBİNASYONU denir. Kombinasyon n elemanlı bir A kümesinden k elemanlı kaç tane farklı seçim yapılabileceğini gösterir. Formülü aşağıdaki şekildedir. ÖRNEK : 0 kişilik bir aday kadrodan 5 kişilik basketbol takımı kaç farklı şekilde seçilebilir?.3.olasılık Kuralları Bazen olasılık olayları bileşim, arakesit yada şartlı olabilir. Bu başlık altında bu olasıkların hesaplanması incelenecektir..3.. Olasılıkların Toplanması A ve B gibi iki olay bir deneyde aynı anda meydana gelemiyorsa yani bağdaşmaz olaylarsa bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı: P (A B) = P(A) + P(B) olarak yazılır. ÖRNEK : Bir zar atıldığında veya 4 gelme olasıiığı nedir? P (A B) = P(A) + P(B)= + bulunur. Dikkat edilirse atılan bir zarın aynı anda ve 4 gelme olasılığı yoktur. Burada kullanılan veya sözcüğü bize ipucu vermektedir. A ve B gibi iki olay bir deneyde aynı anda meydana gelebiliyorsa yani 7
bağdaşır olaylarsa bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı: P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) olarak yazılır. ÖRNEK : Maliye bölümü ögrencilerinin % 50 si İstatistik, % 80 i İngilizce ve % 40 ı ise her iki dersten geçmiştir. Seçilen bir ögrencinin derslerden en azından birinden geçme olasılığı nedir? Bu örnekte P(A) = 0.5, P(B) = 0.8 ve P(A B) = 0.4 tür. P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0.5 + 0.8 0.4 = 0.9 bulunur. Dikkat iki olayında yani öğrencinin her iki derstende geçme olasılığı vardır..3.. Olasılıkların Çarpımı Bir deneyde aynı anda birden çok olay meydana gelebiliyorsa bunlara bağımsız olaylar denir ve bu olayların aynı anda meydana gelme olasılığı: P (A B) = P(A) * P(B) olarak yazılır. ÖRNEK : İki zar aynı anda atıldığında ikisininde 3 gelme olasılığı nedir? P (A B) = P(A) * P(B)=P(3,3) = = olarak bulunur. ÖRNEK :Maliye bölümü ögrencilerinin % 50 si İstatistik, % 80 i İngilizce dersinden geçmiştir. Seçilen bir ögrencinin iki dersten birden geçme olasılığı nedir? P (A B) = P(A) * P(B) = P (0.5, 0.8) = 0.5 * 0.8 =0.4olarak bulunur. ÖRNEK : İki zar aynı anda atıldığında ikisininde 3 veya ikisininde gelme olasılığı nedir? P (A B veya C D) = P(A) * P(B) + P(C) * P(D) P (3,3 veya,) = + = olarak bulunur. Bu örnekte ilk olarak aynı anda atılan iki zarın ikisininde 3 ve gelme olasıkları bulunur. İkinci aşamada bu olasılıklar toplanır. 8
ÖRNEK: Şampiyonlar liginde bulunan A, B, C ve D grubunun. Ve. leri bir üst tura çıkmışlardır. Çeyrek finalde grup. leri ile. leri karşılaşacaklardır. Grup. lerinin galip gelme olasılığı % 60 ve grup. lerinin galip gelme şansı % 40 tır. Oynanan 4 maçta da grup. lerinin galip gelme olasılığı nedir? P(A B C D) = 0.4*0.4*0.4*0.4 = 0.056 olarak bulunur. En az bir tane. nin galip gelme olasılığı nedir? P(en az bir. nin galip gelmesi) = - P(A B C D) = - 0.056 = 0.9744 olarak bulunur..3.3. Olasılıkların Şartlı İhtimalleri A ve B gibi olaydan bir tanesinin (B nin) gerçekleştiği biliniyorsa A nın gerçekleşme olasılığı koşullu olasılık formülüyle bulunur. B olayı gerçekleşmeden A olayının gerçekleşmesi mümkün değildir. P (A\ B) = ÖRNEK: Maliye bölümü ögrencilerinin % 80 i İngilizce, % 50 si İstatistik dersinden geçmiştir. İstatistik dersinden geçen bir ögrencinin İngilizce dersinden geçme olasılığı nedir? P (A\ B) = olarak bulunur. ÖRNEK: Maliye bölümü ögrencilerinin % 50 si İstatistik, % 80 i İngilizce dersinden geçmiştir. İngilizce dersinden geçen bir ögrencinin İstatistik dersinden geçme olasılığı nedir? P (B\ A) = olarak bulunur. Örnek : Bir sınıftaki öğrencilerin 0,35 inin sadece istatistik dersinden, %5 inin ise hem istatistik hem de matematik dersinden başarılı olduklarını varsayalım. Rasgele 9
seçilen bir öğrenci istatistik dersinde başarılı ise bu öğrencinin matematik dersinde de başarılı olma olasılığı nedir? Çözüm: E = istatistikten başarılı olması olayı P( E ) = 0,35 istatistikten başarılı olma olasılığı E = matematikten başarılı olması olayı P( E E ) = 0.5 hem istatistik hem de matematikten başarılı olma olasılığı P( E E ) = 0, 5 0,35 = 0,74 Örnek : 0 kişilik bir sınıfta erkek öğrenciden 50 kız 70 erkek öğrenci mevcuttur. Bunlardan 0 tanesinin adı Ahmet tir. Bu sınıftan kura ile listeden gözü kapalı çekilen bir öğrencinin erkek ve isminin Ahmet olması olasılığı nedir? Çözüm: Bu sınıftan kura ile listeden gözü kapalı çekilen bir öğrencinin erkek ve isminin Ahmet olması olasılığı nedir bize şartlı olasılığı verir. Çünkü ismi kuradan çıkan öğrencinin erkek olmasına bağlı olarak isminin Ahmet olması aranmaktadır. P(Erkek) = P( E ) = 70 0 P(Ahmet) = P( E ) = 0 70 Kurada çıkan öğrencinin erkek olması ( E ) halinde bunun Ahmet isminde bir öğrenci olması ( E ) ihtimali P(Ahmet/Erkek) = P( E / E ) şeklinde gösterilir. P( E E) P( E / E ) = PE ( ) = 0 70 70 0 =0,48 70 0 Örnek : 3 çocuklu bir ailede, ikiden az kız çocuğu olma olasılığı G olsun. Buna göre bütün çocukların aynı cinsiyete sahip olma olasılığı (H) nedir? Çözüm: Burada G ortaya çıktıktan sonra H nasıl oluşacaktır. Bu şartlı olasılık olarak nitelendirilir. H nin G ye bağlı şartlı olasılığı ; P(H/G) = P( H G) PG ( ) 0
Örnek : 3 hatalı lamba 6 iyi ile karıştırılmıştır. Eğer lamba arka arkaya çekilirse ikisinin de iyi olma olasılığı nedir? Çözüm: İkisinin iyi olma olasılığı P( E E ) = 6 5 9 8 = 5 = 0,4 yani P( G )P( G/ G ) = P( G G ). İkincinin birinci çekilişe bağlı olarak iyi olma olasılığı ise P( G G) 5/ P( G/ G )= PG ( ) 6 / 9 0.65 3. İKİ SONUÇLU OLAYLARDA OLASILIKLAR İki sonucu olan bir olay n kere tekrarlanırsa bir olayın (X) ortaya çıkma olasılığı: P (X) = formülü yardımıyla bulunur. ÖRNEK: Bir madeni para üç kez atılırsa, Üçünün de yazı gelme olasılığı? P(3) = İki tanesinin yazı gelme olasılığı? olarak bulunur. P() = olarak bulunur. Bir tanesinin yazı gelme olasılığı? P() = olarak bulunur. Hiç yazı gelmeme olasılığı? P() = olarak bulunur. 4. ŞARTLI OLASILIKLARDA ÇARPIM KURALI
E ve E bağımlı olaylarından E, E den sonra meydana geliyorsa bu olayların her ikisinin de gerçekleşme ihtimali; P( E E ) = P( E ) ( E / E ) veya A ve B gibi iki olay için P (A P (A B) = A ve B nin birlikte gerçekleşme olasılığı B) = P(B) P(A/B) Örnek: Bir piyangoda 8 boş ve ikramiyeli bilet vardır. Bir kimse bu piyangodan iki bilet satın almıştır. Her iki bilete de ikramiye isabet etmesi olasılığı nedir? Çözüm: Birinci bilete ikramiye isabet etmesi hali P( E ) = dur. Birinci biletin ikramiye 0 alması halinde geriye 8 boş ikramiyeli olmak üzere 9 bilet kalır. İkinci bir ikramiye isabet etmesi hali P( E / E ) = 9 dur. Her iki bilete de ikramiye isabet etmesi hali ise P( E E ) = 0 9 = 45 Örnek: Bir torbada kırmızı 5 tane de beyaz top vardır. Ardı ardına iki top çekiyoruz. Bu iki topun her ikisinin de beyaz gelme olasılığı nedir? Çözüm: P (A B) = 5 7 4 6 = 0 4. topun beyaz. topun kırmızı gelme olasılığı; 5 7 6 = 0 4 5.TOPLAM OLASILIK KURALI Eğer B, B B k gibi k tane ara süreç olduğunda, bir çok sonuç ara süreçlerde sonuçlanan olaylara bağlı olduğunda bu olayı açıklamada toplam olasılık kuralına başvurulur.
Teorem: Eğer B, B ve P( B i ) 0, i =.k, S örnekleminin içinde bir A olayının olasılığı P(A) = P Bi P A i B olaylar S örneklem düzeyinin farklı parçalarını oluşturuyor k k i ( /B ) dir. Bu Bayes Teoremi değildir; Bayes Teoremi formülünün bir parçasıdır. Bu Elimine Teoremi ya da Toplam Olasılık Kuralı Teoremi dir. Örnek: Bir inşaatın zamanında bitimi işçi grevleri yüzünden aksayabilir. Grev olma ihtimalinin 0,6 ve eğer grev olmadığı durumda işin zamanında bitirilmesi olasılığı 0,85 ve eğer grev olması halinde işin zamanında bitirilmesi ihtimali 0,35 ise işin zamanında bitirilme olasılığını nedir? Çözüm: A işin zamanında bitirilme olayı (grev olsun veya olmasın) B grev olması olayı B grev olmama olasılığı P( B ) = 0,6, P( A / B ) = 0,85, P ( A / B ) = 0,35 P( A B) ve P( A B ) olayları birbiriyle bağdaşmaz. Yani bunların kesişimi 0 dır. A A B = grev olması durumunda işin zamanında bitirilme olayı B = grev olmaması durumunda işin zamanında bitirilme olayı P ( A / B ) = grev olması durumunda işin zamanında bitirilmesi olasılığı P( A / B ) = grev olmaması durumunda işin zamanında bitirilmesi olasılığı P(A) = P[( A B) ( A B ) ] = P( A B) + P( A B ) P(A) = P(B) P ( A / B ) + P( B ) P( A / B ) P(A) = (0,60) (0,35) + (-0,60) ( 0,85) = 0,55 Örnek: Bir şantiye firması 3 farklı acenteden araba kiralamaktadır. %60 ını. acenteden, %30 unu. acenteden, %0 unu ise 3. acenteden kiralamaktadır. Eğer. acenteden kiralanan araçların %9 unun,. acenteden kiralanan araçların %0 sinin, 3. acenteden kiralanan araçların %6 sının genel muayeneye ihtiyacı varsa firmaya gönderilen araçlardan birinin genel muayene olma ihtiyacı nedir? Çözüm: A arabanın muayene olma olasılığı 3
B, B, B 3 arabanın.,., ve 3., acenteden gelmesi olayları olsun. Bu durumda, PB ( ) = 0,6, PB ( ) = 0,3, PB ( 3) = 0, P( A/ B ) = 0,09, P( A/ B ) = 0,, P( A/ B 3) = 0,06 Bunları elimine ya da toplam kuralında yerine koyarsak; P(A) = (0,6)(0,09) + (0,3)(0,) + (0,)(0,06) = 0, Bu firmaya gönderilen arabaların % sinin genel muayene ihtiyacı vardır. Şimdi bu yukarıdaki örneğe istinaden biz şu soru ile ilgilenelim. Firmaya gönderilen genel muayeneye ihtiyacı olan aracın. acenteden gelme olasılığı nedir? Bunun cevabını Bayes Teoremi ile verebiliriz. 6. BAYES TEOREMİ Çeşitli nedenlerin aynı sonuçları verebildiği durumlarda bazen sonuç bilindiği halde bunun hangi nedenden ileri gelmiş olduğu bilinmeyebilir. Söz konusu sonucun hangi olasılıkla hangi nedenden ortaya çıktığı araştırılmak istendiğinde Bayes Teoremi nden yararlanılır. Sonuçtan nedene doğru gidilir. Ağaç Diyagramı Ağaç şeması, b ve c sonuçlarının a olayına, a ve c sonuçlarının b olayına, a ve b sonuçlarının c olayına bağlı geliştiğini gösterir. Bu ağaç işlemi Bayes Teoremi nde yerine konarak da elde edilebilir. Bayes Teoremi, bir sonucun hangi olasılıkla hangi nedenden dolayı ortaya çıktığı araştırılmak istendiğinde kullanılan teoremdir. Bayes teoremi sonuç belli iken geriye doğru analiz yapma imkânı sağlar. Bu teoreme Bayes kuralı, ters olasılık ya da nedenler olasılığı denir. Teorem: Eğer B, B B olayları S örnekleminde kısımları oluşturuyorsa ve k P( B i ) 0, i =.k için S de herhangi bir A olayı P(A) 0 kaydıyla, 4
P( Br A ) = P( B ) P( A B ) k i r P( B ) P( A B ) i r r, i =,,.,k Burada B r ler bağdaşmaz ve bütüne tamamlayan olaylardır; P( E E ) = 0 bağdaşmaz. Bayes teoreminin bileşenleri ağaç diyagramı ile şöyle şema edilebilir: Bu şemada A olayına r. branş ile ulaşılmaktadır. Fakat A ya k tane branştan sadece birisi ile ulaşıldığı bilindiğinde A nın olasılığı onun r. branş ile ilişkisinin bütün k branşlarıyla olan ilişkisi toplamına eşittir. Örnek: Toplam olasılık kuralına verilen örnekte, genel muayene ihtiyacı olan aracın. acenteden gelme olasılığı nedir? Çözüm: Olasılıkları Bayes teoreminde yerine koyarak çözebiliriz. (0,3)(0,) P B A = ( / )= (0,6)(0,09) + (0,3)(0,) + (0,)(0,06) Firmaya gönderilen araçların 0,30 u. acenteden gelmesine rağmen bu araçların genel muayene gerektirenlerinin %50 si. acenteden gelmektedir. Örnek: Sakarya vilayetindeki araçların 0,5 i aşırı hava kirliliği yapmaktadır. Şehir trafik kontrolünde bu araçların egzoz muayenesi sonucu %99 u testi geçemediğini ve 0,7 sinin hava kirliliği yapmamasına rağmen testi geçemediğini varsayarsak aşırı derecede hava kirliliği yapan bir aracın testi geçememe olasılığı nedir? Çözüm: 5
Ağaç diyagramında branşla ilişkili olan durum gösterilmiştir. Bu durumda bir aracın aşırı derecede kirlilik yaratması halinde testi geçememe olasılığı; 0, 475 = 0,66 dır. 0, 475 0,75 Kaynakça. Yılmaz Özkan, Uygulamalı İstatistik, Sakarya Kitapevi, 008.. Özer Serper, Uygulamalı İstatistik, Filiz Kitapevi, 996. 3. Meriç Öztürkcan, İstatistik Ders notları, YTÜ. 4. Andım Oben Balce ve Serdar Demir, İstatistik Ders Notları, Pamukkale Üniversitesi, 007. 5. Ayşe Canan Yazıcı, Biyoistatistik Ders Notları, Başkent Üniversitesi. 6. Zehra Muluk ve Yavuz Eren Ataman, Biyoistatistik ve Araştırma Teknikleri Ders Notları, Başkent Üniversitesi. 7. John Freund, Matematiksel İstatistik 6