ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER VE UYGULAMALARI. Murat BABAARSLAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2013

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER VE UYGULAMALARI Murat BABAARSLAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER VE UYGULAMALARI Murat BABAARSLAN Ankara Üniersitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Yedi bölümden oluşan doktora tezinin birinci bölümünde; konunun tarihi elişimi ifade edildi. İkinci bölümünde; Öklid -uzayında e Minkowski -uzayında eğrilerin e yüzeylerin, kuaterniyonların e split kuaterniyonların temel tanım e teoremleri erildi. Üçüncü bölümde; Öklid -uzayında, S Öklid - küresi üzerindeki birim hızlı eğriler için Sabban çatısı e küresel eolüt karamları erildi. S Öklid - küresi üzerindeki birim hızlı eğrilerden Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceği österildi. Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantı erildi. Bertrand eğrilerinin Darboux österelerinin küresel eolütlere eşit olduğu ispatlandı. Ayrıca bir uzay eğrisinin teğetler, asli normaller, binormaller e Darboux östereleri için sabit eğimli yüzeylerin parametrizasyonları bulundu e bazı sonuçlar elde edildi. Sabit eğimli yüzeylerin -parametre eğrilerine karşılık elen Bertrand eğrileri araştırıldı. Dördüncü bölümde; Minkowski -uzayında, S de Sitter -uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için Lorentz anlamında Sabban çatısı, de Sitter eolüt karamları tanımlandı e bu eğrilerin inaryantları araştırıldı. Daha sonra üçüncü bölümde elde edilen sonuçlar burada incelendi. Beşinci bölümde; dördüncü bölümdeki sonuçlar H pseudo-hiperbolik uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için araştırıldı. Altıncı bölümde; Öklid -uzayında kuaterniyonlar ile sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları erildi. Benzer şekilde, yedinci bölümde; Minkowski -uzayında split kuaterniyonlar ile space-like sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları araştırıldı. Ocak, 7 sayfa Anahtar Kelimeler: Bertrand eğrileri, helisler, küresel eolütler, küresel östereler, Sabban çatısı, Öklid -uzayı, Minkowski -uzayı, kuaterniyonlar, sabit eğimli yüzeyler i

ABSRACT Ph.D. Thesis CONSTANT SLOPE SURFACES AND THEIR APPLICATIONS Murat BABAARSLAN Ankara Uniersity Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Superisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI In the first chapter of the thesis consistin of seen chapters; the historical backround of subject is expressed. In the second chapter; fundamental definitions and theorems related to cures and surfaces in Euclidean -space and Minkowski -space, quaternions and split quaternions are ien. In the third chapter; the concepts of Sabban frame, spherical eolute for unit speed cures on Euclidean -sphere S in Euclidean -space are ien. It is shown that Bertrand cures can be constructed from unit speed cures on Euclidean -sphere S. A relation between Bertrand cures and helices is ien. It is proed that the Darboux indicatrices of Bertrand cures are equal to spherical eolutes. Furthermore, the parametrizations of constant slope surfaces for the tanent, principal normal, binormal and Darboux indicatrices of a space cure are found and some results are obtained. Bertrand cures correspondin to -parameter cures of constant slope surfaces are inestiated. In the fourth chapter; the concepts of Lorentzian Sabban frame, de Sitter eolute for unit speed space-like cures on de Sitter -space S in Minkowski -space are defined and the inariants of these cures are studied. Afterwards, the results which are obtained in the third chapter are inestiated here. In the fifth chapter; the results of fourth chapter are studied for unit speed space-like cures on pseudo-hyperbolic space H. In the sixth chapter; the relations between quaternions and constant slope surfaces are ien in Euclidean -space. Similarly, in the seenth chapter; the relations between split quaternions and space-like constant slope surfaces are studied in Minkowski -space. January, 7 paes Key Words: Bertrand cures, helices, spherical eolutes, spherical indicatrices, Sabban frame, Euclidean -space, Minkowski -space, quaternions, constant slope surfaces ii

TEŞEKKÜR Çalışmalarımı yönlendiren, araştırmalarımın her aşamasında bili, öneri e yardımlarını esiremeyerek akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de enin fikirleriyle yetişme e elişmeme katkıda bulunan danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI ya (Ankara Üniersitesi Matematik Anabilim Dalı), çalışmalarım sırasında önemli katkılarda bulunan e yönlendiren Prof. Dr. Marian Ioan MUNTEANU ya (Iaşi, Alexandru Ioan Cuza Üniersitesi Matematik Anabilim Dalı), çalışmalarım süresince birçok fedakarlık östererek beni destekleyen eşim Öğr. Gör. Funda BABAARSLAN a (Bozok Üniersitesi Matematik Anabilim Dalı) e aileme en derin duyularımla teşekkür ederim. Murat BABAARSLAN Ankara, Ocak iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... i ŞEKİLLER DİZİNİ... ii. GİRİŞ.... TEMEL KAVRAMLAR... 5. 4. 4. 4. R ÖKLİD -UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİNİN VE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLERİN BAZI KARAKTERİZASYONLARI... R MINKOWSKI -UZAYINDA SPACE-LIKE BERTRAND EĞRİLERİ VE SPACE-LIKE KONİ ÜZERİNDE YATAN SPACE-LIKE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER... 6 S De Sitter -Uzayındaki Birim Hızlı Space-like Eğrilerin Space-like Yükseklik Fonksiyonları... 7 S De Sitter -Uzayındaki Birim Hızlı Space-like Eğrilerin İnaryantları... 8 4. Space-like Bertrand Eğrileri e Space-like Koni Üzerinde Yatan 5. Space-like Sabit Eğimli Yüzeyler... 4 R MINKOWSKI -UZAYINDA TIME-LIKE BERTRAND EĞRİLERİ VE TIME-LIKE KONİ ÜZERİNDE YATAN SPACE-LIKE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER... 46 6. SABİT EĞİMLİ YÜZEYLERE KUATERNİYONLARLA YENİ BİR YAKLAŞIM... 5 i

7. SPLIT KUATERNİYONLAR VE SPACE-LIKE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER... 58 7. Split Kuaterniyonlar e Space-like Koni Üzerinde Yatan Space-like Sabit Eğimli Yüzeyler... 58 7. Split Kuaterniyonlar e Time-like Koni Üzerinde Yatan Space-like Sabit Eğimli Yüzeyler... 6 7. Örnekler... 6 KAYNAKLAR... 66 ÖZGEÇMİŞ... 69

SİMGELER DİZİNİ R Reel sayılar cismi R Öklid -uzay R Minkowski -uzay S Yüzey S Öklid -küre S De Sitter -uzay H Pseudo-hiperbolik uzay H H Kuaterniyon cebiri Split kuaterniyon cebiri. Norm κτ, Eğrilik, torsiyon κ Jeodezik eğrilik T N B D Teğet ektör alanı Asli normal ektör alanı Binormal ektör alanı Darboux ektör alanı Vektörel çarpım Kuaterniyon çarpım i

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. Sağ dairesel helis.6 Şekil. Tor yüzeyi... Şekil. Sabit eğimli yüzey... Şekil. -parametre eğrisi...4 Şekil. Bertrand eğrisi...5 Şekil 4. Space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey..44 Şekil 4. Space-like Bertrand eğrisi...45 Şekil 5. Time-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey...5 Şekil 5. Time-like Bertrand eğrisi..5 Şekil 6. Sabit eğimli yüzey...57 Şekil 7. Space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey..64 Şekil 7. Time-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey...65 ii

. GİRİŞ Eğrilerin diferansiyel eometrisinde, en önemli problemlerden biri reüler bir eğrinin karakterizasyonudur. Bu problemin çözümünde κ eğriliği e τ torsiyonu etkili bir rol oynar. Örneğin; i) κ ise eğri bir doğrudur, ii) κ eτ ise eğri düzlemseldir, iii) κ = sabit > e τ ise eğri yarıçapı κ olan bir çemberdir. Böylece bir eğrinin eğriliğini e torsiyonunu kullanılarak eğrinin biçimini e uzunluğunu belirleyebiliriz (Millman e Parker 977). Teğet ektörü sabit bir doğrultuyla sabit açı yapan eğrilere enel helis eya sabit eğimli eğri denir. Helislerle ilili klasik bir sonuç 8 yılında M. A. Lancret tarafından ifade edilmiş e ilk olarak 845 yılında B. de Saint Venant tarafından ispatlanmıştır: Bir eğrinin enel helis olması için erek e yeter şart τ κ = sabit olmasıdır. Eğer κ = sabit > e τ = sabit ise eğriye dairesel helis denir (Millman e Parker 977). Helislerin birçok ilinç uyulamaları ardır. Örneğin; DNA çifti e kolajen üçlü helis, karbon nano tüpler, helis biçimindeki merdienler, fraktal eometrideki helis yapılar e b. Bu yüzden helisler doğadaki e bilimdeki en büyüleyici eğrilerden birisidir (İlarslan e Boyacıoğlu 8, Munteanu ). Eğrilerin karakterizasyonu için diğer bir yol eğrilerin Frenet ektörleri arasındaki bağlantılardır. Örnek olarak inolüt-eolüt çiftini erebiliriz. 668 yılında C. Huyens daha kusursuz bir saat yapmaya çalışırken inolütleri keşfetmiştir. s I için α e α% eğrilerinin karşılıklı noktalarındaki teğetleri ortoonal ise α ya α% nın eolütü e α% ya da α nın inolütü denir. ( α, α% ) ikilisine ise eolüt-inolüt çifti denir (Millman e Parker 977). Diğer taraftan Öklid -uzayında bir düzlemsel eğrinin eolütü, eğrinin eğrilik merkezinin eometrik yeridir.

Izumiya d. (4) çalışmalarında H pseudo-hiperbolik uzayındaki eğrilerin eolütlerini tanımladılar e bu eolütlerin sinüler noktaları ile eğrilerin eometrik inaryantları arasında bağlantı kurdular. Diferansiyel eometride önemli bir yeri olan diğer eğri 85 yılında J. Bertrand tarafından bulunan Bertrand eğrileridir. Bertrand eğrisinin her noktasındaki asli normal ektörü Bertrand çifti denilen diğer bir eğrinin de asli normal ektörüdür. s I için α eğrisinin Bertrand eğrisi olması için erek e yeter şart Aκ ( s) + Bτ ( s) = olacak şekilde sıfırdan farklı A, B reel sabitlerinin olmasıdır. Böylece düzlemsel eğriler e dairesel helisler Bertrand eğrileridir (Millman e Parker 977, Izumiya e Takeuchi ). Izumiya e Takeuchi () çalışmalarında Öklid -uzayında, Bertrand eğrilerinin küresel eğrilerden elde edilebileceğini ispatladılar. Ayrıca küresel eolüt karamını tanımladılar. Küresel eğrilerin Sinüler nokta teorisinin bir uyulaması olarak Bertrand eğrilerinin eneric özelliklerini incelediler. Bertrand eğrileri, bilisayar destekli tasarımda e bilisayar destekli üretimde önemli bir yeri olan paralel (offset) eğrilerin özel örnekleridir (Nutbourne e Martin 988). Son yıllarda, M R çarpım uzayındaki yüzeylerin eometrisi ilili birçok çalışma yapılmıştır. Bu yüzeylere örnek olarak sabit açılı yüzeyleri erebiliriz. Öklid -uzayında birim normali, belirli sabit bir ektörle sabit açı yapan yüzeylere, sabit açılı yüzeyler denir (Cermelli e Di Scala 7). Bu yüzeyler helis karamının bir enellemesi olarak düşünülebilir. Dillen d. (7, 9) çalışmalarında S R. e H R. çarpım uzaylarında sabit açılı yüzeyleri incelediler. Bu yüzeylerin birim normali, R. doğrultusundaki teğet ile sabit açı yapar. Munteanu () makalesinde her noktasındaki normali, o noktadaki konum ektörüyle sabit açı yapan yüzeyleri sabit eğimli yüzeyler olarak isimlendirdi e bu yüzeylerin karakterizasyonu erdi;

S R yüzeyinin sabit eğimli yüzey olması için erek e yeter şart S nin ya orijin merkezli S Öklid -küresinin açık bir parçası olmasıdır ya da ( ) x( u, ) = usinθ cos ξ f( ) + sin ξ f( ) f ( ) (.) şeklinde parametrize edilebilmesidir, burada θ, sıfırdan farklı sabit, ξ = ξ( u) = cotθlnu e f, S Öklid -küresinde birim hızlı eğridir. Fu e Yan () çalışmalarında Minkowski -uzayında, space-like sabit eğimli yüzeylerin space-like e time-like konide bulunmalarına öre karakterizasyonlarını erdiler; S R yüzeyinin, space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey olması için erek e yeter şart bu yüzeyin ( ) x( u, ) = ucoshθ cosh ξ f( ) + sinh ξ f( ) f ( ) (.) şeklinde parametrize edilebilmesidir, burada θ, sıfırdan farklı sabit, f x = x ( u ) = tanh θ ln u e, S de Sitter -uzayında birim hızlı space-like eğridir. Ayrıca S R yüzeyinin, time-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey olması için erek e yeter şart bu yüzeyin ( ) x( u, ) = usinhθ cosh ξ ( ) + sinh ξ ( ) ( ) (.) şeklinde parametrize edilebilmesidir, burada θ, sıfırdan farklı sabit, x = x ( u ) = coth θ ln u e, eğridir. H pseudo-hiperbolik uzayında birim hızlı space-like Sabit eğimli yüzeylerin üzel biçimleri ardır e diferansiyel eometri açısından ilinçtirler. Bu yüzden sabit eğimli yüzeylere hem Öklid -uzayındaki hem de Minkowski -uzayındaki en büyüleyici yüzeylerden birisi diyebiliriz.

Bu tez çalışmasında, Öklid -uzayında, S Öklid -küresi üzerindeki birim hızlı eğriler için Sabban çatısı e küresel eolüt karamları erildi. S Öklid -küresi üzerindeki birim hızlı eğrilerden Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceği österildi. Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantı erildi. Bertrand eğrilerinin Darboux österelerinin küresel eolütlere eşit olduğunu ispatlandı. Ayrıca bir uzay eğrisinin teğetler, asli normaller, binormaller e Darboux östereleri için sabit eğimli yüzeylerin parametrizasyonları bulundu e bazı sonuçlar elde edildi. Sabit eğimli yüzeylerin - parametre eğrilerine karşılık elen Bertrand eğrileri araştırıldı. Dördüncü bölümde; Minkowski -uzayında, S de Sitter -uzayında birim hızlı space-like eğriler için Lorentz anlamında Sabban çatısı, de Sitter eolüt karamları tanımlandı e bu eğrilerin inaryantları araştırıldı. Bir önceki bölümde elde edilen sonuçlar burada incelendi. Beşinci bölümde; dördüncü bölümdeki sonuçlar H pseudo-hiperbolik uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için araştırıldı. Altıncı bölümde; Öklid -uzayında kuaterniyonlar ile sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları erildi. Benzer şekilde, yedinci bölümde; Minkowski -uzayında split kuaterniyonlar ile space-like sabit eğimli yüzeylerin bağlantıları araştırıldı. 4

. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çalışmada sıkça kullanılacak olan temel tanım e teoremler erildi.. Öklid -Uzayında Eğriler e Yüzeyler Tanım... I R bir açık aralık olmak üzere α : I R ( ) t α() t = α (), t α (), t α () t şeklinde tanımlı diferansiyellenebilir fonksiyona (O Neill 997). R Öklid -uzayında bir eğri denir Tanım... α, R de bir eğri olsun. t I için dα α( t+ h) α( t) α () t = = lim dt h h hız ektörüne, α eğrisinin α () t noktasındaki teğet ektörü denir (Shifrin ). Tanım... α, eğri denir (O Neill 997). R de bir eğri olsun. t I için α () t ise α eğrisine reüler bir Örnek... α : R R t α() t = ( rcos, t rsin t, ht) eğrisi erilsin, burada r > e h > dır. Bu eğriye sağ dairesel helis denir ( h < ise sol dairesel helistir). Dairesel helisin xy -düzlemine izdüşümü bir çemberdir. α () t = ( rsin, t rcos, t h) olduğundan α reüler bir eğridir. α nın resmi ( r = e h = ); 5

Şekil. Sağ dairesel helis α ( t) şeklindedir (Millman e Parker 977). Tanım..4. α, I R da tanımlı bir eğri olsun. Eğer h: J I, J açık aralığı üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon ise β = α( h): J I bileşke fonksiyonu bir diferansiyellenebilir eğridir e β ya h ile α nın yeniden parametrizasyonu denir (O Neill 997). ). Tanım..5. β, J R de tanımlı R de bir eğri olsun. s J için β () s = ise β ya birim hızlı eğri e s ye de yay-parametresi denir (Hacısalihoğlu ). Tanım..6. α, I R da tanımlı R de bir eğri olsun., a b I olmak üzere b a α () t dt reel sayısına t = a dan t = b ye α nın yay-uzunluğu denir (Hacısalihoğlu ). 6

Tanım..7. α, I R da tanımlı birim teğet ektör alanı olsun. R de birim hızlı bir eğri e, T = α α eğrisinin κ : R R s κ () s = T () s reel sayısına α eğrisinin eğriliği denir (O Neill 997). Tanım..8. α, κ > eğriliğine sahip R de birim hızlı bir eğri olsun. N = T κ ektör alanına α eğrisinin asli normal ektör alanı e B = T N ektör alanına da α eğrisinin binormal ektör alanı denir (O Neill 997). Teorem... α, κ > eğriliğine sahip R de birim hızlı bir eğri olsun. T, N, B ektör alanları α eğrisinin her noktasında ortonormal ektör alanlarıdır e α eğrisi üzerinde Frenet çatı alanı olarak isimlendirilir (O Neill 997). Tanım..9. α, R de birim hızlı bir eğri olsun. τ : R R s τ () s = < B (), s N() s > reel sayısına α eğrisinin torsiyonu denir (O Neill 997). Tanım... α, κ > eğriliğine sahip R de birim hızlı bir eğri olsun. Eğrinin T, N, B ektör alanlarının her s anında bir eksen etrafında ani helis hareketi yaptığı kabul edilir. Bu eksene eğrinin s parametresine karşılık elen α ( s) noktasındaki Darboux (ani dönme) ekseni denir. Bu eksenin yön e doğrultusunu eren ektör, D= τt + κ B dir. Buradan Frenet formülleri; olur (Hacısalihoğlu ). T = D T, N = D N, B = D B 7

Teorem... α, κ > eğriliğine e τ torsiyonuna sahip olsun. Böylece Frenet formülleri; R de birim hızlı bir eğri T κ T N κ τ N = B τ B (..) şeklindedir (O Neill 997). Teorem... α, e torsiyon R de reüler bir eğri olsun. Bu durumda Frenet formülleri, eğrilik T = α α, N = B T, κ = α α α, ( ) B = α α α α, τ = det α, α, α α α (..) şeklindedir (O Neill 997). Tanım... α, R de birim hızlı bir eğri olsun. α eğrisi boyunca birim teğet ektörler orijin merkezli S birim Öklid -küresi üzerinde T : I s S T() s eğrisini meydana etirirler. Bu eğri reüler olmayabilir. T eğrisine α nın teğetler österesi (küresel teğet resmi) denir. Ayrıca asli normaller österesi (küresel asli normal resmi) N e binormaller österesi (küresel binormal resmi) B de S üzerindeki diğer eğrilerdir (Millman e Parker 977). Benzer şekilde Cs () = Ds () Ds () olmak üzere birim Darboux ektörleri S üzerinde C eğrisini meydana etirirler. Bu eğriye α nın Darboux österesi (küresel Darboux resmi) denir (Izumiya e Takeuchi ). 8

Tanım... U, parametrizasyonu R nin açık bir alt kümesi olsun. S R alt kümesinin reüler bir x S x x : U R R, u şeklinde tanımlı diferansiyellenebilir e birebir fonksiyondur. x : x( U ) U ters fonksiyonu sürekli olmak üzere, parametrizasyonlu bir komşuluk arsa S ye S R bağlantılı alt kümesinin her noktasında reüler R de bir yüzey denir (Shifrin ). Örnek... α : (, π) R s α() s = (+ cos,, s + sin s) eğrisini alalım. α eğrisinin z -ekseni etrafında θ açısı kadar döndürülmesiyle oluşan dönel yüzey cosθ sinθ + cos s cos θ( + cos s) x( θ, s) = sinθ cosθ sin θ( cos s) = + + sin s + sin s tor yüzeyidir. Burada xθ xs = ( + cos s)(cos scos θ, cos ssin θ,sin s) dir. Tor yüzeyinin resmi; 9

Şekil. Tor yüzeyi x( θ, s) şeklindedir. Tanım... S, R de bir yüzey olsun. S yüzeyi üzerinde = sabit e u değişken alınarak elde edilen eğriye u -parametre eğrisi, u = u sabit e değişken alınarak elde edilen eğriye de -parametre eğrisi denir (Shifrin ). Tanım..4. S, R de bir yüzey e P S olsun. x U S P= x u : R R, (, ) reüler parametrizasyonunu düşünelim. Böylece S yüzeyinin P noktasındaki teğet düzlemi x u e x ektörleri ile erilen TP ( S ) alt uzayıdır (Shifrin ). T ( ) P S teğet düzlemine dik olan n = xu x xu x birim ektörüne, S yüzeyinin birim normali denir (Shifrin ). Tanım..5. S, basit bir yüzey (-boyutlu diferansiyellenebilir manifold) olsun. ϕ R diferansiyellenebilir dönüşümünün : S dϕ T S T ϕ R türe P : P( ) ( P) ( ) dönüşümü birebir ise ϕ dönüşümüne immersiyon denir. Eğer w, T ( S) için P < dϕ ( ), dϕ ( w) > ϕ = <, w > P P ( P) P

ise ϕ dönüşümüne izometrik immersiyon denir (Do Carmo 976).. Minkowski -Uzayında Eğriler e Yüzeyler Tanım... x = ( x, x, x) e y = ( y, y, y), R Öklid -uzayında iki ektör olmak üzere < x, y >= x y + x y x y Lorentz metriğiyle donatılmış (Lopez 8). R uzayına, Minkowski -uzayı denir e R ile österilir Tanım... Bir x R ektörüne; (i) < xx, >> eya x = ise space-like ektör, (ii) < xx, >< ise time-like ektör, (iii) < xx, >= e x ise liht-like (null) ektör denir (Lopez 8). Tanım... x R olmak üzere x = < xx, > reel sayısına x ektörünün normu denir. Normu bir birim olan ektöre birim ektör denir. Sonuç olarak; (i) x space-like ektör ise x = < x, x >, (ii) x time-like ektör ise x = < x, x > dir (Lopez 8).

Tanım..4. x, y R olmak üzere : R R R i j k (..) ( x, y) x y = x x x = ( xy xy, xy xy, xy xy) y y y şeklinde tanımlı " " operatörüne Lorentz anlamında ektörel çarpım denir (Lopez 8). Öklid -uzayındaki ektörel çarpıma benzer olarak Lorentz anlamında ektörel çarpımın da aşağıdaki ibi cebirsel e eometrik özellikleri ardır; (i) < x y, z >= det( x, y, z ), (ii) x y = y x, (iii) ( x y) z = < x, z> y+< y, z> x, (i) < x y, x >= e < x y, y >=, () dir. R deki her x, y, z ektörü için < x y, x y >= < x, x >< y, y >+ ( < x, y > ) Tanım..5. α, R de bir eğri olsun. α nın hız ektörü α olmak üzere (i) α ( t) space-like ise α eğrisine space-like, (ii) α ( t) time-like ise α eğrisine time-like, (iii) α () t liht-like ise α eğrisine liht-like eğri denir (Lopez 8).

Tanım..6. R de {( x, x, x ) x x x } S = R + = e {( x, x, x) x x x } H = R + = yüzeylerine sırasıyla de Sitter -uzay e pseudo-hiperbolik uzay denir (Lopez 8). Teorem... α, κ > eğriliğine e τ torsiyonuna sahip R de birim hızlı bir timelike eğri olsun. T = α birim teğet, N = α α asli normal e B= T N binormal ektör olmak üzere Frenet formülleri; T κ T κ τ N = N B τ B (..) dir (Lopez 8). α birim hızlı time-like eğrisinin Darboux ektörü D = τt + κ B dir. s I için D () s liht-like ektör olmasın. Buradan C : I s H C() s = D() s D() s şeklinde tanımlıdır e α nın hiperbolik Darboux österesi olarak isimlendirilir (Wan e Pei ). Teorem... α, eğrisinin eğriliği e torsiyonu R de reüler bir time-like eğri olsun. Bu durumda α time-like ( ) α α det α, α, α κ =, τ = α α α (..) şeklindedir (Lopez 8).

Teorem... α, κ > eğriliğine e τ torsiyonuna sahip R de birim hızlı bir spacelike eğri olsun. T = α birim teğet, N = α α space-like asli normal e B = N T binormal ektör olmak üzere Frenet formülleri; T κ T κ τ N = N B τ B (..4) dir. (Lopez 8). α birim hızlı space-like eğrisinin Darboux ektörü D = τt + κ B dir. s I için D ( s) liht-like ektör olmasın. Buradan C : I s S C() s = D() s D() s şeklinde tanımlıdır e α nın de Sitter Darboux österesi olarak isimlendirilir (Wan e Pei ). Teorem..4. α, eğriliği e torsiyonu R de reüler bir space-like eğri olsun. α space-like eğrisinin ( ) α α det α, α, α κ =, τ = α α α (..5) dir (Lopez 8). Tanım..7. α, R de reüler bir eğri olsun. sabit ektörü için < T( s), > sabit bir fonksiyon ise α ya helis denir (Lopez 8). Teorem..5. α, R de space-like eya time-like bir eğri olsun. α eğrisi helis ise τ κ = sabit dir (Lopez 8). 4

Teorem..6. α, R de asli normali liht-like olmayan space-like eya time-like bir eğri olsun. τ κ = sabit ise α eğrisi helistir (Lopez 8). Teorem..7. α, R de space-like eya time-like bir eğri olsun. α eğrisinin Bertrand eğrisi olması için erek e yeter şart Aκ () s + Bτ () s = eşitliğini sağlayacak şekilde sıfırdan farklı A, B reel sabitlerinin olmasıdır (Lopez 8).. Kuaterniyonlar e Homotetik Hareketler Tanım... a, a, a, a R olmak üzere bir q kuaterniyonu q=( a, a, a, a ) =( a, w) = a + ai + a j + a k şeklindedir, burada Sq = a, q nun skaler kısmı e V q =( a, a, a) da ektörel kısmıdır. Böylece q kuaterniyonu, q= Sq +V q şeklinde yazılabilir (Ward 997). Tanım... q = Sq +V q e p= Sp +V p kuaterniyonlarının toplamı dir (Ward 997). q+ p= ( S + S )+( V + V ) q p q p Tanım... q= Sq +V q kuaterniyonunun bir λ R skaleriyle çarpımı λq= λsq + λv q şeklindedir (Ward 997). Tanım..4. q = Sq +V q kuaterniyonunun eşleniği q = Sq V q dir (Ward 997). Tanım..5. q= a+ ai + aj + ak kuaterniyonun normu N = a + a + a + a q 5

dir (Ward 997). Tanım..6. q= a+ ai + aj + ak kuaterniyonu için N = ise q ya birim kuaterniyon denir. Her q kuaterniyonu q q= N (cosθ + sin θ ) q şeklinde kutupsal biçimde yazabilir, burada cos θ = a N q, sinθ = a + a + a N q e = ( a i+a j+a k ) a + a + a, R de birim ektördür (Ward 997). Tanım..7. q = Sq +V q e p= Sp +V p kuaterniyonlarının, kuaterniyon çarpımı q p= S S < V, V >+ S V + S V + V V (..) q p q p q p p q q p eşitliğiyle erilir, burada < Vq, V p > e V q V p, sırasıyla V q e V p arasındaki iç çarpımı e ektörel çarpımı österir (Ward 997). Tanım..8. Kuaterniyonların H = { q =a+ a + a + a a,a,a,a R} i j k cebiri, {, i, j, k } bazı ile R üzerinde 4-boyutlu ektör uzayıdır. Baz elemanları arasında aşağıdaki özellikler ardır; i = j = k = i j k = e i j = j i = k dir. Açıkca H birleşmeli fakat değişmeli olmayan bir cebirdir e H nın birim elemanı dir (Ata e Yaylı 7). Tanım..6. Herhani iki q e p kuaterniyonları için q p= p q dir (Ward 997). Tanım..7. q kuaterniyonunun tersi, I = a + a + a + a olmak üzere q q = I q q 6

ile erilir. Ayrıca q q q q= = e ( q p) p q = dir (Ward 997). Tanım..8. q= Sq +V q kuaterniyonu için S q = ise q ya pür kuaterniyon denir (Ward 997). Tanım..9. Herhani iki q e p kuaterniyonları için iç çarpım < q, p>= ( q p+ p q) şeklindedir. Eğer q= p ise I =< qq, >= q qolur (Toth 998). q Tanım... Bir w pür kuaterniyonu üzerinde φ : R R w φ( w) = q w q şeklinde tanımlı φ dönüşümü lineerdir. Genelliği bozmadan N q = seçelim. R = span{ i, j, k } olduğundan eğer q= a+ a + a + a i j k ise φ( i) = (a + a a a ) i+ (a a + a a ) j + (a a a a ) k, φ( j) = ( a a + a a ) i + (a + a a a ) j + (a a + a a ) k, φ( k) = (a a + a a ) i+ (a a a a ) j + (a + a a a ) k dir. Böylece φ dönüşümünün matris österimi; R q a + a a a a a + a a a a + a a = aa + aa a + a a a a a aa aa aa aa + a a a + a a a (..) şeklindedir. R q nin ortoonal olduğunu östermek zor değildir; R R q T q = I e det R = q dir. Böylece 997). φ( )=q q w w lineer dönüşümü, R de bir dönme österir (Ward 7

Tanım... R de katı bir cismin bir parametreli homotetik hareketi analitik olarak x = hax+ C eşitliğiyle erilir, burada x e x konum ektörleridir e sütun matrisleriyle österilir. A - tipinde ortoonal matristir, C öteleme ektörüdür e h hareketin homotetik skalasıdır. h, A e C aynı zamanda bir t R parametresinin sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlarıdır (Düldül )..4 Split Kuaterniyonlar e Yarı-Öklidiyen Uzaylar Tanım.4.. Bir split kuaterniyon p = p+ p i + p j + p k 4 ile ifade edilir, burada p, p, p, p 4 Î R e i, j, k aşağıdaki değişmeli olmayan çarpım kuralını sağlayan split kuaterniyon birimleridir; =-, = =, =- =, =- =- k i i k j i j k i j j i k j k k j i e = - = dir (Inouchi 998). Tanım.4.. Split kuaterniyonların cebiri H e onun standard bazı {, i, j, k } dir. H nün bir elemanına split kuaterniyon denir (Inouchi 998). Tanım.4.. p = p + pi + pj + p4k split kuaterniyonun eşleniği, p ile österilir e p = p- p i - p j - p k 4 şeklinde ifade edilir (Inouchi 998). 8

Tanım.4.4. p split kuaterniyonun, skaler e ektörel kısmı, sırasıyla, Sp = p e p = p + p + p V i j 4k ile österilir. 4 kuaterniyonların split kuaterniyon çarpımı p = ( p, p, p, p ) e q= ( q, q, q, q4) split p q= pq + < V, V > + pv + qv + V Ù V (.4.) p q q p p q şeklinde tanımlanır, burada < Vp, V q >= - p q + p q + p q 4 4 e - i j k VpÙ Vq = p p p4 = ( p4q- pq4) i+( p4q- pq4) j +( pq- pq) k q q q 4 dir. Eğer S p = ise p ye pür split kuaterniyon denir (Kula e Yaylı 7). n Tanım.4.5. R, n -boyutlu Öklid uzayı n < x, y>= - x y + x y, x, yî, n i i i i i= i= + n å å R metrik tensörü ile yarı-öklidiyen uzayı olarak isimlendirilir e n R ile österilir, burada n, metriğin indeksidir. Eğer = ise R, n R n -boyutlu Öklid uzayına indirenir. n n n ³ için R, Minkowski n -uzayı olarak isimlendirilir; eğer n = 4 ise R, Minkowski space-time dır (O Neill 98). n Tanım.4.6. R, <>, metrik tensörüyle donatılmış bir yarı-öklidiyen uzay olsun. Bir x Î R ektörüne; n (i) < xx, >> eya x = ise space-like ektör, (ii) < xx, >< ise time-like ektör, 9

(iii) < xx, >= e x ¹ ise liht-like ektör e < x, x > reel sayısına da x ektörünün normu denir. ektörlerine ortoonaldir denir (O Neill 98). R yarı-öklidiyen uzayında, eğer < x, y>= ise x e y n Tanım.4.7. n R yarı-öklidiyen uzayında de Sitter n -uzay e pseudo-hiperbolik uzay ì n n- ü n S = ï í ( x,..., xn) Î R - xi + xi = ı ï å å ïî i= i= + şï e H ìï ü = (,..., ) Î - + = - ı ï ïî ş ï n n- ï n - í x xn R xi xi ï å å i= i= + dir. Aynı zamanda = e x > için (Dursun ). n H H R in pseudo-hiperbolik uzayıdır n - n = -, Tanım.4.8. p = ( p, p, p, p4) split kuaterniyona, I = p + p - p - p olmak p 4 üzere; (i) I p < ise space-like split kuaterniyon, (ii) I p > ise time-like split kuaterniyon, (iii) I p = ise liht-like split kuaterniyon denir (Özdemir e Erin 6). Tanım.4.9. p = ( p, p, p, p4) split kuaterniyonun normu N = p + p - p - p p 4

şeklinde tanımlanır. Eğer N p = ise p ye birim split kuaterniyon denir. N p ¹ olmak üzere p = p Np birim split kuaterniyondur. Space-like e time-like split kuaterniyonların, - p p I p = olacak şekilde bir tersi ardır, fakat liht-like split kuaterniyonların tersi yoktur (Özdemir e Erin 6). Teorem.4.. Her space-like ektör kısımlı time-like split kuaterniyon p= N (cosh q+ sinh q) (.4.) p şeklinde ifade edilebilir, burada cosh q= p N, sinh q= - p + p + p N e p 4 p = ( p i+ p j+ p k) - p + p + p, 4 4 R de birim space-like ektördür (Özdemir e Erin 6, Kula e Yaylı 7). Teorem.4.. Her time-like ektör kısımlı time-like split kuaterniyon p= N (cosq+ sin q) (.4.) p şeklinde ifade edilebilir, burada = ( p i+ p j+ p k) p - p - p, 4 4 cos q= p N, sin q= p - p - p N e p 4 R de birim time-like ektördür (Özdemir e p Erin 6, Kula e Yaylı 7). Tanım.4.. Eğer p = ( p, p, p, p4) birim time-like split kuaterniyon ise V, pür split kuaterniyon olmak üzere - ( p V p ) i = å R ij V j j= dönüşümü kullanılarak, bu dönüşüme karşılık elen é p + p + p + p p p - p p - p p - p p Rp = pp+ pp p- p- p+ p - pp- pp ëê 4 4 4 4 4 4 pp4- pp pp- pp4 p - p + p - p4 ù úû (.4.4)

matrisi bulunur. Bu matrisin bütün satırları Lorentz anlamında ortoonaldir. Bu matris, det( R p ) = şartıyla Minkowski -uzayında bir dönme österir. p birim time-like split kuaterniyonun ektör kısmının time-like eya space-like olması önemlidir. Eğer p nin ektör kısmı time-like eya space-like ise dönme açısı, sırasıyla, küresel eya hiperboliktir (Özdemir e Erin 6).

. R ÖKLİD -UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİNİN VE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLERİN BAZI KARAKTERİZASYONLARI Bu bölümde, S Öklid -küresi üzerindeki birim hızlı eğriler için Sabban çatısı e küresel eolüt karamlarını erdik. S Öklid -küresi üzerindeki birim hızlı eğrilerden Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceğini österdik. Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantıyı erdik. Bertrand eğrilerinin Darboux österelerinin küresel eolütlere eşit olduğunu ispatladık. Ayrıca bir uzay eğrisinin teğetler, asli normaller, binormaller e Darboux östereleri için sabit eğimli yüzeylerin parametrizasyonlarını bulduk e bazı sonuçlar elde ettik. Sabit eğimli yüzeylerin -parametre eğrilerine karşılık elen Bertrand eğrilerini araştırdık. f : I S birim hızlı küresel eğri olsun. f nin yay-parametresini ile österelim. t () = f () olmak üzere t (), f nin noktasındaki teğetidir. s() = f() t () olsun, burada (), f eğrinin konum ektörüdür. Böylece f boyunca { f (),(),() t s } ortonormal çatısı elde edilir. Bu çatıya f eğrisinin Sabban çatısı denir (Koenderink 99). Buradan f nin küresel Frenet formülleri; f () = t() t () = f() + κ ()() s s () = κ ()() t şeklindedir, burada κ () det ( (),(), ()) eğriliğidir. f = t t olmak üzere f nin jeodezik Şimdi κ () olmak üzere herhani bir I için κ ( ) f( ) + s( ) ef ( ) = κ ( ) + birim ektörünü düşünelim. Ayrıca r = κ ( ) κ ( ) + olmak üzere

çemberini alalım. Buradan { S f } S ( e ( ), r ) = x < x, e ( ) >= r f h : S R ; h ( x) =< x, e ( ) > r ef ( ) ef ( ) f yükseklik fonksiyonunu tanımlayalım. Böylece d d ( he o f)( ) = ( h )( ) ( )( ) f e o f h f e f f d = o d = olduğu österilebilir. Bu durumda S ( ef ( ), r ), f ye f ( ) noktasında. basamaktan değer. Böylece S ( ef ( ), r ), f nin f ( ) noktasındaki eğrilik çemberidir. Ayrıca e ( ), f nin f ( ) noktasındaki eğrilik merkezidir. Sonuç olarak, f nin eğrilik f merkezinin eometrik yeri eya f nin küresel eolütü κ () f() + s() ef () = κ () + dir (Izumiya e Takeuchi ). Bertrand eğrilerinin karakterizasyonu, Izumiya e Takeuchi () makalelerinde erildi. Burada Bertrand eğrilerinin farklı bir karakterizasyonunu lemma olarak erelim. Lemma.. f : I S birim hızlı küresel eğri olsun. Bu durumda % γ() = a f() t dt+ atan ξ f() t f () t dt (.) bir Bertrand eğrisidir, burada a e ξ = ξ( u) = cotθln u sabit sayılardır. Ayrıca bütün Bertrand eğrileri bu metodla inşa edilebilir. İspat. ( ): Izumiya e Takeuchi () deki metodu uyulayalım. γ% nın eğriliğini e torsiyonunu hesaplayalım. (.) eşitliğinin ye öre üç kez türei alınırsa 4

( ξs ) % γ () = a f() + tan (), % γ () = a tan () (), ( ξκ ) t ( ) t ( ) % γ () = a + tan ξκ () f() atan ξκ ()() + a κ () tan ξκ () s() eşitlikleri elde edilir. Böylece (..) deki eğrilik e torsiyon eşitlikleri kullanılarak, ε =± olmak üzere ( ) ( + ) cos tan ( ) cos ( ) tan ξ ξκ ξ κ ξ κ() = ε e τ() = (.) a a bulunur. Buradan a( εκ ξτ ) () + tan () = olduğundan γ% bir Bertrand eğrisidir. ( ): γ% bir Bertrand eğrisi olsun. Bu durumda Aκ ( s) + Bτ ( s) = olacak şekilde sıfırdan farklı A e B reel sabitleri ardır. A= a e B= atanξ alalım. Ayrıca a >, ε ± e ε cosξ a > olsun. Şimdi küresel eğrisini tanımlayalım. Böylece ( ) f () s = ε cos ξt() s sin ξb() s ε f () s = ε cos ξ( κ() s + tan ξτ() s ) N() s = cos ξn() s a bulunur. f nin yay-parametresi olsun. Bu durumda d ds = ε cosξ a dir. Ayrıca d ε af( s) = aε cos ξts ( ) sin ξbs ( ) cosξ = cosξ cos ξts ( ) sin ξbs ( ) ds a ( ) ( ) e df d ε atan ξ f( s) = atanξε( cos ξt( s) sin ξb( s) ) cos ξn( s) d ds a = sinξ cos ξ ( ) + sin ξ ( ) elde edilir. Bu iki eşitlik kullanılarak ( Bs Ts) 5

s s s s ( ) a f ( t) dt + a tan ξ f ( t) f ( t) dt = cosξ cos ξt ( t) sin ξb( t) dt bulunur. Böylece ispat tamamlanır. s ( ) + sinξ cos ξb( t) + sin ξt( t) dt s = Ttdt () = % γ ( s) Bu lemmadan aşağıdaki sonucu erebiliriz. Sonuç.. f : I S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için erek e yeter şart f ye karşılık elen % : I R Bertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır γ (Babaarslan d. ). İspat. (.) eşitliklerini kullanarak κ () = ε e τ () = a a sin ξκ ( ) cos ξκ ( ) elde edilir. f : I S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için erek e yeter şart κ ( ) olmasıdır. Bu durum, κ () e τ () nin sabit olmasına denktir. Buradan % : I R Bertrand eğrisi bir dairesel helistir. Böylece ispat tamamlanır. γ Ayrıca aşağıdaki önermeyi erebiliriz. Önerme.. f : I S birim hızlı küresel eğri e f ye karşılık elen Bertrand eğrisi % : I R olsun. Bu durumda γ% nın Darboux österesi, f nin küresel eolütüne γ eşittir. İspat. (.) eşitliklerinden ( ) ( + ) cos ξ tan ξκ ( ) cos ξ κ ( ) tanξ κ() = ε e τ() = a a 6

dir. Ayrıca hesaplanırsa d T () = a( f () + tan ξ s () ) e N () = εt () ds olarak bulunur. Böylece dir. Buradan d B() = T() N() = εa () tan f() ds ( s ξ ) d D () = τ() T () + κ() B () = κ () f() +s () ds ( ) olur. Sonuç olarak C ()= D () D () = e() elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. f Şimdi aşağıdaki teoremleri erelim. Teorem.. f : I S birim hızlı küresel eğri e % : I R, f ye karşılık elen Bertrand eğrisi olsun. Bu durumda % γ eğrisi, x( u, ) sabit eğimli yüzeyi üzerinde yatar. γ İspat. (.) eşitliğinin ye öre türei alınırsa % γ () = af() + atan ξ f() f () bulunur. Bu eşitlikte a= usinθ cosξ e bu durumda atanξ = usinθsinξ alınabilir, burada u e θ sabitlerdir. Böylece (.) eşitliğinden % γ, x( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisidir e bu yüzey üzerinde yatar. Bu ise ispatı tamamlar. Teorem.. x: S R, S sabit eğimli yüzeyinin R Öklid -uzayına izometrik immersiyonu e x(), x( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi olsun. Bu durumda x () d bir Bertrand eğrisidir. 7

İspat. (.) eşitliğinde u =sabit alınarak x() = usinθ cos ξ f() + usinθsin ξ f() f () bulunur. Eğer x() eşitliğinde her iki tarafın interali alınırsa x() d= usinθcos ξ f() d+ usinθsin ξ f() f () d elde edilir. f () e f () f () nin katsayıları sabit olduğundan usinθ cosξ = a e bu durumda usinθ sinξ = atanξ alınabilir. Buradan x() d= a f() d+ atan ξ f() f () d bulunur. Böylece Lemma. den, x () d bir Bertrand eğrisidir. Şimdi bir uzay eğrisinin, teğetler, asli normaller, binormaller e Darboux östereleri için aşağıdaki sonuçları erelim. Önerme.. α : I R, s yay-parametresiyle parametrelendirilmiş bir uzay eğrisi e T : I S, α uzay eğrisinin teğetler österesi olsun. Bu durumda sabit eğimli yüzey x ( u, ) = usinθ cos ξt ( ) + usinθsin ξb ( ) T şeklinde parametrize edilebilir, burada s = T () s ds dir. İspat. (.) eşitliğinden sabit eğimli yüzey ( ) x( u, ) = usinθ cos ξ f( ) + sin ξ f( ) f ( ) dir. T : I S küresel eğri olduğundan, f () = T() alınabilir. Böylece ( ) x ( u, ) = usinθ cos ξt ( ) + sin ξ T ( ) T ( ) T bulunur. Frenet çatısı e Frenet formülleri kullanılarak bu eşitlik 8

x ( u, ) = usinθ cos ξt ( ) + usinθsin ξb ( ) T olur. Önerme. nin aşağıdaki sonuçlarını erebiliriz. Sonuç.. xt ( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi xt ( ) olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır; dir. < x (), T() >= sabit, < x (), B() >= sabit e < x (), N() >= T T T Sonuç.. xt ( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi xt ( ) olsun. Bu durumda bir Bertrand eğrisidir. T = θ ξ + θ ξ x ( d ) usin cos Td ( ) usin sin Bd ( ) Sonuç.4. T : I S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için erek e yeter şart T ye karşılık elen x T () dbertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır. Önerme.. α : I R, s yay-parametresiyle parametrelendirilmiş bir uzay eğrisi e N : I S, α uzay eğrisinin asli normaller österesi olsun. Bu durumda sabit eğimli yüzey x ( u, ) = usinθ cos ξn ( ) + usinθsin ξc ( ) N şeklinde parametrize edilebilir, burada s = N () s ds dir. 9

İspat. (.) eşitliğinden sabit eğimli yüzey ( ) x( u, ) = usinθ cos ξ f( ) + sin ξ f( ) f ( ) dir. f N : I S küresel eğri olduğundan () () = N alınabilir. Böylece dir. N () N () = C () olduğundan N ( ) x ( u, ) = usinθ cos ξn ( ) + sin ξ N ( ) N ( ) x ( u, ) = usinθ cos ξn ( ) + usinθsin ξc ( ) N elde edilir. Önerme. ün aşağıdaki sonuçlarını erebiliriz. Sonuç.5. xn ( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi xn ( ) olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır; dir. < x (), N() >= sabite < x (), C() >= sabit N N Sonuç.6. xn ( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi xn ( ) olsun. Bu durumda bir Bertrand eğrisidir. N = θ ξ + θ ξ x () d usin cos Nd () usin sin Cd () Sonuç.7. N : I S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için erek e yeter şart N ye karşılık elen x N () dbertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır.

Önerme.4. α : I R, s yay-parametresiyle parametrelendirilmiş bir uzay eğrisi e B: I S, α uzay eğrisinin binormaller österesi olsun. Bu durumda sabit eğimli yüzey x ( u, ) = usinθ cos ξb ( ) + usinθsin ξt ( ) B şeklinde parametrize edilebilir, burada s = B () s ds dir. İspat. (.) eşitliğinden sabit eğimli yüzey ( ) x( u, ) = usinθ cos ξ f( ) + sin ξ f( ) f ( ) dir. B: I S küresel eğri olduğundan f ( ) B( ) = alınabilir. Böylece B ( ) x (,) u = usinθ cos ξb () + sin ξ B () B () dir. Frenet çatısını e Frenet formüllerini kullanarak x ( u, ) = usinθ cos ξb ( ) + usinθsin ξt ( ) B bulunur. Böylece ispat tamamlanır. Önerme.4 ün aşağıdaki sonuçlarını erebiliriz. Sonuç.8. xb ( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi xb ( ) olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır; dir. < x (), T() >= sabit, < x (), B() >= sabit e < x (), N() >= B B B Sonuç.9. xb ( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi xb ( ) olsun. Bu durumda x ( d ) = usinθcos ξ Bd ( ) + usinθsin ξ Td ( ) B

bir Bertrand eğrisidir. Sonuç.. B: I S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için erek e yeter şart B ye karşılık elen x B () dbertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır. Önerme.5. α : I R, s yay-parametresiyle parametrelendirilmiş bir uzay eğrisi e C: I S, α uzay eğrisinin Darboux österesi olsun. Bu durumda sabit eğimli yüzey x ( u, ) = usinθ cos ξc ( ) + usinθsin ξn ( ) C şeklinde parametrize edilebilir, burada s = C () s ds dir. İspat. (.) eşitliğinden sabit eğimli yüzey ( ) x( u, ) = usinθ cos ξ f( ) + sin ξ f( ) f ( ) dir. C: I S küresel eğri olduğundan f ( ) C( ) = alınabilir. Böylece C ( ) x (,) u = usinθ cos ξc () + sin ξ C () C () (.4) dir. C T B = ( τ + κ ) τ + κ olmak üzere = + bulunur. Buradan C ( κt τb) τ κ C C = N dir. Bu eşitlik (.4) de yerine yazılırsa x ( u, ) = usinθ cos ξc ( ) + usinθsin ξn ( ) C elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç.. xc ( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi xc ( ) olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır; dir. < x ( ), N( ) >= sabit e < x ( ), C( ) >= sabit C C

Sonuç.. xc ( u, ) sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi xc ( ) olsun. Bu durumda x () d= usinθcos ξ Cd () + usinθsin ξ Nd () C bir Bertrand eğrisidir. Sonuç.. C: I S birim hızlı küresel eğrisinin çember olması için erek e yeter şart C ye karşılık elen x C () dbertrand eğrisinin dairesel helis olmasıdır. Şimdi Mathematica proramını kullanarak sabit eğimli yüzeylere e Bertrand eğrilerine bir örnek erelim. Örnek.. f = birim hızlı eğrisini düşünelim. Böylece S üzerindeki () (cos,sin,) f() f () = (,,) bulunur. θ = π /5 için sabit eğimli yüzey; π π π x( u, ) = usin cos cot ln u f( ) sin cot ln u f( ) f( ) 5 + 5 5 şeklindedir. Şekil. Sabit eğimli yüzey x( u, )

Eğer u olur. = e alınırsa yüzeyin -parametre eğrisi; π π π x() = esin cos cot f() sin cot f() f () 5 + 5 5 Şekil. -parametre eğrisi x( ) Böylece Teorem. yi kullanarak aşağıdaki Bertrand eğrisi elde edilir; x( d ) e sin π cos cot π (cos,sin, ) d e sin π sin cot π = + (,,) d. 5 5 5 5 4

Şekil. Bertrand eğrisi x () d f eğrisi çember olduğundan Sonuç. den, () x d Bertrand eğrisi bir dairesel helistir. 5

4. R MINKOWSKI -UZAYINDA SPACE-LIKE BERTRAND EĞRİLERİ VE SPACE-LIKE KONİ ÜZERİNDE YATAN SPACE-LIKE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER Bu bölümde, S de Sitter -uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için Lorentz anlamında Sabban çatısını e de Sitter eolüt karamlarını tanımladık e bu eğrilerin inaryantlarını araştırdık. Daha sonra space-like Bertrand eğrilerinin, S deki birim hızlı space-like eğrilerden elde edilebileceğini österdik. Ayrıca space-like Bertrand eğrileriyle helisler arasındaki bir bağlantıyı erdik. Bertrand eğrilerinin de Sitter Darboux österelerinin, de Sitter eolütlere eşit olduklarını ispatladık. R de spacelike Bertrand eğrileriyle space-like koni üzerinde space-like sabit eğimli yüzeylerin bağlantılarını erdik. f : I S birim hızlı space-like eğri olsun. f nin yay-parametresini ile österelim. t () = f () olsun. t( ), f nin noktasındaki teğetidir. s( ) = f( ) t ( ) olsun. Bu eşitliğin bir sonucu olarak s( ) t ( ) = f( ) dir, burada f, eğrinin konum ektörüdür. Böylece f boyunca { f (),(),() } Sonuç olarak f nin küresel Frenet formülleri; t s Lorentz anlamında Sabban çatısı elde edilir. f () = t() t () = f() κ ()() s s () = κ ()() t (4.) şeklindedir, burada κ () det ( (),(), ()) eğriliğidir. f = t t olmak üzere f nin jeodezik S de, κ () > olmak üzere d f κ () f() s() () = κ () eğrisini tanımlayalım. d f ifadesine, f nin de Sitter eolütü denir. 6

4. S De Sitter -Uzayındaki Birim Hızlı Space-like Eğrilerin Space-like Yükseklik Fonksiyonları f : I S birim hızlı space-like eğrisi için S S H : I S R ; H (, u) =< f(), u > fonksiyonunu tanımlayalım. S H ye, f nin space-like yükseklik fonksiyonu denir. S S H (, u) = ( h )() olarak österelim. u Böylece aşağıdaki önerme ardır. Önerme 4... f : I S birim hızlı space-like eğri olsun. Her (, u) I S için; S (a) ( h ) ( ) u = olması için erek e yeter şart u span { f( ), ( ) } s olmasıdır, S S (b) ( h )( ) = ( h ) ( ) = olması için erek e yeter şart u u κ () f() + s() u =± κ () e κ () > olmasıdır. İspat. (4.) deki küresel Frenet formülleri kullanılarak (i) ( h S )() =< t (), u >, u S (ii) ( h )() =< f() κ ()(), s u > u eşitlikleri elde edilir. (i) eşitliği kullanılarak (a) kolayca elde edilir. (a) eşitliğinden u = λ f( ) + µ s ( ) olacak şekilde λ, µ R ardır. (ii) eşitliğinden; 7

=< f() κ ()(), s λ f() + µ s() > = λ < f (), f() > µκ () < s(),() s > = λ + µκ () bulunur. Böylece u µ ( κ () f() () ) = +s dir. < uu, >= olduğundan µ =± κ () dir. Buradan u =± f + κ () ( κ () () s ()) bulunur. Böylece ispat tamamlanır. 4. S De Sitter -Uzayındaki Birim Hızlı Space-like Eğrilerin İnaryantları Bu bölümde, Izumiya d. (4) deki benzer metodları kullanarak space-like eğrilerin de Sitter eolütlerinin eometrik özelliklerini araştırdık. S deki birim hızlı Herhani bir r R e u S için PS ( u {, r) = u < u, u >= r} S olsun. PS u (, r ) ifadesine, merkezi u olan S de bir pseudo-çember denir. Şimdi aşağıdaki önermeyi erelim. Önerme 4... f : I S birim hızlı space-like eğri olsun. κ ( ) olması için erek e yeter şart ( κ ) κ u =± () f() + s () () ektörlerinin sabit olmasıdır. Bu koşul altında f, merkezi u olan S de bir pseudo-çember parçasıdır. 8

İspat. P () u () f() () ( κ s ) ± =± =± + κ () olsun. Bu eşitliğin ye öre türei alınırsa P () = mκ () ± ( f () + κ ()() s ) ( κ () ) / bulunur. Böylece P ( ) olması için erek e yeter şart κ ( ) olmasıdır. Bu ± koşul altında, Böylece f ( ), r κ =± e ( κ ) κ PS u () κ() (, r ) pseudo-çemberinin bir parçasıdır. u = ± () f() + s () () alalım. f : I S birim hızlı space-like eğri olsun. Herhani bir I için u = d ( ) e f r = κ ( ) κ ( ) olmak üzere PS ( u, r ± ) pseudo-çemberini düşünelim. Buradan aşağıdaki önerme erilebilir. Önerme 4... Yukarıdaki österimler altında noktasında.basamaktan değer. f ( ) PS ( u, r ) pseudo-çemberi, f ye İspat. Önerme 4.. deki (b) eşitliğinden noktasında.basamaktan değer. Böylece ispat tamamlanır. PS ( u, r) S pseudo-çemberi, f ye f ( ) Önerme 4.. deki PS ( u, r ) ifadesine, jeodezik eğrilik pseudo-çemberi e onun merkezi olan u ifadesine de, jeodezik eğrilik merkezi denir. Böylece de Sitter eolüt, jeodezik eğrilik merkezinin eometrik yeridir. 9

4. Space-like Bertrand Eğrileri e Space-like Koni Üzerinde Yatan Space-like Sabit Eğimli Yüzeyler Lemma 4... f : I S birim hızlı space-like eğri olsun. Bu durumda % γ( ) = a f() t dt+ atanh ξ f() t f () t dt (4..) bir space-like Bertrand eğrisidir, burada a e ξ = ξ ( u) = tanhθlnu sabitler e θ, sıfırdan farklı sabittir. Ayrıca, bütün space-like Bertrand eğrileri bu metodla inşa edilebilir. İspat. ( ): γ% nın eğriliğini e torsiyonunu hesaplayalım. (4..) eşitliğinin ye öre üç kez türeini alırsak ( ξ s ) % γ () = a f() + tanh (), % γ () = a tanh () (), ( ξκ ) t ( ) t ( ) % γ ( ) = a tanh ξκ ( ) f( ) atanh ξκ ( ) ( ) a κ ( ) tanh ξκ ( ) s( ) eşitliklerini buluruz. Böylece (..5) eşitliklerinden, ε = ± olmak üzere κ ( ) e τ ( ) aşağıdaki ibi elde edilir; ( ) ( ) cosh ξ tanh ξκ ( ) cosh ξ κ ( ) tanhξ κ() = ε e τ() = (4..) a a dir. Buradan a( εκ ξ τ ) Bertrand eğrisidir. () + tanh () = eşitliği sağlanır. Böylece γ% bir space-like ( ): γ% space-like Bertrand eğrisi olsun. Bu durumda, tanımdan Aκ( s) + Bτ( s) = olacak şekilde sıfırdan farklı A, B reel sabitleri ardır. Bu eşitlikte A= a e B= atanhξ alalım. a >, ε = ± e ε coshξ a > olsun. γ% space-like eğrisinin { (), s (), s () s } T N B Frenet çatısını düşünelim. Bu üçlüde T ( s), N () s space-like ektörler e B () s ise time-like ektördür. Böylece T() s N() s = B () s e B() s N() s = T () s olur. Şimdi S üzerinde 4

( T B ) f () s = ε cosh ξ () s + sinh ξ () s space-like eğrisini düşünelim. Buradan ε f () s = ε cosh ξ( κ() s + tanh ξτ () s ) N() s = cosh ξn () s a dir. f nin yay-parametresi olsun. Böylece d ds = ε coshξ a dir. Ayrıca e d af ( s) = coshξ cosh ξ ( s) + sinh ξ ( s) ds ( T B ) df d ε atanh ξf( s) = atanhξε ( cosh ξt( s) + sinh ξb( s) ) cosh ξn( s) d ds a = sinhξ cosh ξ ( ) sinh ξ ( ) eşitlikleri elde edilir. Bu eşitlikler kullanılarak s ( B s T s ) ( T B ) a f () t dt + a tanh ξ f () t f () t dt = coshξ cosh ξ () t + sinh ξ () t dt s bulunur. Böylece ispat tamamlanır. s s s ( B T ) + sinhξ cosh ξ ( t) sinh ξ ( t) dt s = T() tdt= % γ ( s) Bu lemmanın bir sonucu olarak space-like Bertrand eğrileri e helisler arasındaki aşağıdaki bağlantıyı erebiliriz. Sonuç 4... f : I S birim hızlı space-like eğrisinin bir pseudo-çember parçası olması için erek e yeter şart f ye karşılık elen eğrisinin helis olmasıdır. % γ : I R space-like Bertrand 4

İspat. (4..) eşitliklerini kullanarak sinh ξκ ( ) cosh ξκ ( ) κ () = ε e τ () = a a elde edilir. Önerme 4.. den, f : I S birim hızlı space-like eğrisinin bir pseudo- çember parçası olması için erek e yeter şart κ ( ) olmasıdır. Bu durum, κ ( ) e τ () nin sabit olmasına denktir. Böylece ispat tamamlanır. Şimdi aşağıdaki önermeyi erelim. Önerme 4... f : I S birim hızlı space-like eğri e f ye karşılık elen space-like Bertrand eğrisi % γ : I R olsun. Bu durumda γ% nın de Sitter Darboux österesi, f nin de Sitter eolütüne eşittir. İspat. (4..) eşitliklerinden ( ) ( ) cosh ξ tanh ξκ ( ) cosh ξ κ ( ) tanhξ κ() = ε e τ() = a a dir. γ% space-like eğrisi için d T() = a( f() + tanh ξs () ) e N() = εt () ds elde edilir. Buradan, dir. Böylece d B() = N() T() = εa s () + tanh f() ds ( ξ ) d D() = τ() T() + κ() B() = κ () f() s () ds ( ) olur. Sonuç olarak C ()= D() D () = d () elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. f 4

Şimdi aşağıdaki teoremleri erelim. Teorem 4... f : I S birim hızlı space-like eğri e f ye karşılık elen space-like Bertrand eğrisi % γ : I R olsun. Bu durumda % γ eğrisi, space-like koni üzerinde yatan x( u, ) space-like sabit eğimli yüzey üzerinde yatar. İspat. (4..) eşitliğinin, ye öre türei alınırsa % γ () = af() + atanh ξ f() f () elde edilir. Bu eşitlikte a= ucoshθ coshξ e böylece atanhξ = ucoshθsinhξ alınabilir, burada u e θ sabitlerdir. (.) eşitliğinden % γ, space-like koni üzerinde yatan x( u, ) space-like sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisidir e böylece bu yüzey üzerinde yatar. Bu ise ispatı tamamlar. Teorem 4... x: S R, S space-like sabit eğimli yüzeyinin R Minkowski - uzayına immersiyonu olsun e x, space-like koni üzerinde yatsın. Eğer x( ), space-like koni üzerinde yatan x( u, ) space-like sabit eğimli yüzeyinin -parametre eğrisi ise x () d space-like Bertrand eğrisidir. İspat. (.) eşitliğinde, u = sabit alınarak, x( ) = ucoshθ cosh ξ f( ) + ucoshθsinh ξ f( ) f ( ) elde edilir, burada ξ = ξ ( u ) = tanh θ ln u dir. x() nin interali alınarak x( d ) = ucosh θ cosh ξ f( d ) + ucosh θ sinh ξ f( ) f ( d ) (4..) bulunur. f () e f () f () nin katsayıları sabit olduğundan ucoshθ coshξ = a e böylece ucoshθ sinhξ = atanhξ alınabilir. Buradan (4..) eşitliği 4

x() d= a f() d+ atanh ξ f() f () d olur. Lemma 4.. den, tamamlanır. x () d space-like Bertrand eğrisidir. Böylece ispat Örnek 4... (.) eşitliğini düşünerek, S de Sitter -uzayında birim hızlı space-like eğri olarak f ( ) = (sin,cos,) yi alalım. Böylece f( ) f ( ) = (,,) dir. Buradan space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey ( ) x( u, ) = ucoshθ cosh(tanhθln u)sin,cosh(tanhθ ln u)cos,sinh(tanhθ ln u) şeklindedir. θ =.5 için yüzeyin resmi, şekil 4. deki ibidir; Şekil 4. Space-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzey, f( ) = (sin,cos,), θ =.5 u = e alarak, ( ) x( d ) = e cosh(.5) cosh(tanh (.5))(cos ), cosh(tanh (.5)) sin,sinh(tanh (.5)) 44

space-like Bertrand eğrisi elde edilir. f space-like eğrisi, S de Sitter -uzayında bir pseudo-çember olduğundan Sonuç 4.. den, bu space-like Bertrand eğrisi bir helistir. Böylece eğrinin resmi şekil 4. deki ibidir; Şekil 4. Space-like Bertrand eğrisi, θ =.5, u = e 45

5. R MINKOWSKI -UZAYINDA TIME-LIKE BERTRAND EĞRİLERİ VE TIME-LIKE KONİ ÜZERİNDE YATAN SPACE-LIKE SABİT EĞİMLİ YÜZEYLER Bu bölümde, 4. Bölüme benzer olarak H pseudo-hiperbolik uzayındaki birim hızlı space-like eğriler için Lorentz anlamında Sabban çatısı, hiperbolik eolüt e pseudo- çember karamlarını erdik. Daha sonra H pseudo-hiperbolik uzayındaki birim hızlı space-like eğrilerden time-like Bertrand eğrilerinin oluşturulabileceğini ispatladık. Ayrıca time-like Bertrand eğrileri, helisler, hiperbolik Darboux östereler, hiperbolik eolütler e time-like koni üzerinde yatan space-like sabit eğimli yüzeyler arasındaki bağlantıları araştırdık. : I H birim hızlı space-like eğri olsun. nin yay-parametresini ile österelim. t () = () olsun. t(), nin noktasındaki teğetidir. s() = () t () olsun. Bu eşitliğin bir sonucu olarak s() t () = () dir, burada, eğrinin konum ektörüdür. Böylece boyunca { (),(),() } Sonuç olarak nin hiperbolik Frenet formülleri; t s Lorentz anlamında Sabban çatısı elde edilir. () = t() t () = () + κ ()() s s () = κ ()() t şeklindedir, burada κ () det ( (),(), ()) (Izumiya d. 4). = t t olmak üzere nin jeodezik eğriliğidir H de, κ () > olmak üzere κ () () + s() h () = κ () eğrisini tanımlayalım. h ye, nin hiperbolik eolütü denir (Izumiya d. 4). 46