BÖLME VE BÖLÜNEBİLME 25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. 25 = 6 x 4 + 1 Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan 12312312 sayısını 123 e bölelim. 123 te 123 bir kere var. Sonra 1 i aşağı indiriyoruz. 1 de 123 olmadığı için bölüm tarafına bir sıfır ekliyoruz. 2 yi de aşağı indiriyoruz. 12 de 123 olmadığı için bölüm tarafına bir sıfır daha ekliyoruz. Şimdi 3 ü de aşağı indirdiğimizde 123 ü elde ettik ve 123 te 123 1 kere var. Bölüm tarafına bir tane 1 ekledik. Şuan bölüm 1001 oldu. Devam ediyoruz. 1 i aşağı indiriyoruz. 1 de 123 yok bölüm tarafına bir sıfır daha 10010 oldu. 2 yi aşağı indiriyoruz. 12 de 123 yok ve Bölüm tarafına bir sıfır daha ekledik.bölüm 100100 oldu. Kalan ise 12 oldu. Pratik yol 00100100 (olarak bulunur. Açıklaması aşağıda ) 12312312 yazalım sonra 123 12312 deki 123 için 1 yazalım. 123 1 2312 1 için 0 yazalım 10 oldu. 123 12 312 ve 12 nin 2 si içinde bir sıfır daha 100 oldu 123 123 12 ve tekrar 123 oldu bunun içinde 1 ekleyelim 1001 oldu. 123123 12 ve tekrar 1 için 0. 10010 oldu. 2 içinde sıfır 100100 oldu Böleni bulduk. Kalan ise dikkatli bakın 12 dir. Örnek : ABCDABCDABC sayısının ABCD ile bölümünde Bölüm ve Kalan Nedir. Pratik çözümü kullanın. ABCD için 1 ve ABC için 3 tane 0 bu şekilde devam edin. Bölüm = 10001000 olarak bulunur. Kalan ise ABC dir. Unutmayın : Herhangi bir sayıyı örneğin 5 e böldük Kalan 5 ten Küçük olmalıdır. Yani kalan 0,1,2,3,4 olabilir. Taban aritmetiğine benziyor mu?
A sayısını 18 e böldüğümde Bölüm 10 Kalan 7 ise A sayısını rahatlıkla bulabiliriz. A = 18 x 10 + 7 = 187 dir. Bölünebilme : Bir bölme işleminde kalan sıfır ise tam bölme ya da kalansız bölme yapılmış demektir. Bölme kurallarını kısaca anlatalım ve tablo oluşturalım. (abcde) 5 basamaklı bir sayı olsun. 2 ile bölme Kuralı : Kalan ={0,1} Bir sayı çift ise 2 ye kalansız (K=0) olarak bölünür. Tek ise bölme işleminde kalan = 1 olacaktır. (e) yerindeki rakam çift ise 2 ye tam bölünür. Tek ise kalan 1 dir. 3 ile bölme kuralı : Kalan = {0,1,2} Sayımızın rakamlarını toplarız 3 ün katı ise bu sayı 3 ile kalansız bölünebilir. Yok 3 ün katından farklı ise bu topladığımız rakamları 3 böleriz kalan ne ise Sayımızın kalanı da odur. a + b + c + d + e = 3k (3 ün katı. 0,3,6,9,12,15 gibi) olmalı Örnek : 236574 sayısının 3 ile bölümünden kalan nedir. Rakamları toplayalım. 2+3+6+5+7+4 = 27 3ün katıdır. Kalan sıfırdır. 28 olsa idi 3 ün katından 1 fazla olacaktı K=1 ve 29 olsa idi 3 ün katından 2 fazla olacaktı. K=2 olurdu. Diğer yöntem; Sayıları toplamadan önce rakamların içinde 3 ün katı ya da birkaç rakamı hızlıca topladığımızda 3 ün katı varsa bu rakamları iptal ederiz. Az önceki örnekte; 236574, 3 ve 6, 3 ün katıdır bu rakamları atın. 2574, 2 ve 4 ün toplamı üçün katı bunu da atalım. 5 +7 de 3 ün katı, bunu da atalım geriye hiçbir şey kalmadığı için K=0 olacaktır. 4 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3} Son iki basamak 4 ün katı olmalı. (de) 00, 04, 08, 12, 16,,, 92, 96 olmalı. Ör. 1234567 sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır. 67 inceleyeceğiz. 64, 4 ün katı 67 e 3 var kalan ise 3 tür.
5 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4} Son basamak (Birler basamağı) 0 ya da 5 olacak. Ör. 12345 in 5 ile bölümünden kalan 0 dır. 123458 in 5 ile bölümünden kalan 8 5 = 3 tür. 6 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,5} 2 ve 3 e aynı anda bölünen bir sayı 6 yada bölünür. Diğer bir deyişle 3 e bölünen çift sayılar 6 yada bölünür. Ör. 123456 (2 ye bölünüyor. 3 ü deneyelim. 3 e de bölünüyor o zaman 6 yada bölünür.) Ör. 123461 (2 ye bölünmüyor. Bir düşüğünü yazalım ki çift olsun.) 123460 (2 ye bölünüyor. 3 e bölünmüyor. 2 daha inelim) 123458 (2 ye bölünüyor. Yine 3 e bölünmüyor. Bir daha 2 inelim.) 123456 (2 ve 3 bölünüyor.) Şimdi sorulan sayı ile bulduğumuz bu 6 ya bölünen sayıyı çıkaralım. Fark 5 ve kalan da 5 olacaktır. 7 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,5,6} Ör. 123456 sayısının 7 ile bölümünden kalan nedir? 8 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,5,6,7} Son 3 basamak 8 in katı olacak. 000, 008, 016, 024,,, 992 Ör. ab345456def067 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır. Son üç basamağa bakalım. 067 8 in katı 64 tür. 67 e 3 var. K=3
9 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} Rakamları toplamı 9 un katı olmalı. a + b + c + d + e = 9k Ör. 36452718 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır. Pratik olarak yapalım. 9 un katlarını atalım. 3 ve 6 9 un katı at. 4 ve 5 9 un katı at. 2 ve 7 9 un katı at.1 ve 8 9 un katı at. Kalan=0 dır. 10 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Birler basamağındaki rakam ne ise kalan odur. Ör. 1234567 sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 dir. 123450 10 ile bölümünden kalan 0 dır. 11 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 12 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,..,11} 3 ve 4 e bölünen her sayı (hem 3 e hemde 4 e bölünen) 12 ile tam bölünür. Burada kural 12 nin çarpanlarını bulmak ve bu çarpanlar arasında aralarında asal olan sayıları seçmek.
15 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,..,14} 3 ve 5 e bölünen her sayı (hem 3 e hem de 5 e bölünen) 15 ile tam bölünür. 20 ile Bölme Kuralı: Kalan = {0,1,2,3,4,..,19} 4 ve 5 e bölünen her sayı (hem 4 e hem de 5 e bölünen) 20 ile tam bölünür. Ör. Bir sayının 45 ile bölünüp bölünemeyeceğini araştırıyorsunuz. 45 in çarpanlarına bakalım. 5 ile 9 aralarında asal. Demek ki hem 5 e hem de 9 a bölünen bir sayı 45 ile de tam bölünür. Bölünebilme kurallarını dikkatlice okursanız bu tablo işinize yarayacaktır.