TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz b c & R & R & R si si y si z b c R si si y si z
: Kosiüs i I. b c -. b. c.cos II. b c -.. c.cosb III. c b -. b. c.cosi m c m İsptı : I. &. cos ( b- m) c & m c & c - m ifdesii b bm m eşitliğide yerie koyrsk & c - m b - bm m m & c b - bm c cos, m cos k & c b -. b.cos II. ). cos b.. cos ) ( c ) b b - () olu deklemi () olu deklemde yerie yzcğız. & & c - c - c. b & - c - c. b & c - c. b _.cosbi & c -...cos c b b : I) II) III) AABC _ & i. bc.. si AABC _ & i. c.. si b AABC _ & i. b.. si i
İsptı : I.. b AABC _ & i () si c & c. si () () olu deklemi () olu dekelmde yerie yzrsk;. b. si. AABC _ & i c b.. cb. si II.. c AABC _ & i () si b &. si b () () olu deklemi () olu deklemede yerie yzrsk;. c. si b. c AABC _ & i. c.. si b III.. 3 AABC _ & i () 3 si & b. si b () b 3 () olu deklemi () olu deklemede yerie yzrsk;. 3. si. AABC _ & i b. b.. si i IIV. k _ b- ki c & -k & b - bk k c k cos i k. cos i () olu deklemi () olu deklemede yerie yzrsk; & - k b - bk k c & b - b. k c _ k.cosii & b -. b..cosi c 3
İKİ YAYIN TOPLAM YADA FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI.. ve b ergi iki reel syı olmk üzere, cos( b) cos.cosb si.sib dir. ve b reel syılrı ile b reel syılrıı birim çember üzerideki görütüleri, B, C ve D olsu. B(cos, si) C(cosb, sib) D(cos( b), si( b) olduğuu, trigoometrik tmmıd kolyc söyleriz. Ayrıc, ölçüleri eşit olduğud, BïC AïD yzılır. Öyleyse BC AD dir. A oktsıı A(, 0) olduğuu biliyoruz. Alitik geometrideki iki okt rsıdki uzklık förmülüü kullrk, BC _ cos - cos bi _ si -si bi AD 8cos_ - bi-b $ -bi-0a yzılır. BC AD yzılbildiğide, er iki trfı kresii lrk, (cos cosb) (si sib) [cos( b) ] [si( b) 0] eşitliğide cos cos b cos. cosb si si b si. sib cos ( b) cos( b) si ( b) buluruz. cos si, cos b si b ve cos ( b) si ( b) eşitlikleri dikkte lırk gerekli kısıtlmlr ypılırs; cos( b) cos.cosb si.sib elde edilir... ve b ergi iki reel syı olmk üzere, cos( b) cos.cosb si.sib dir. cos( b) cos( ( b)) cos.cos( b) si.si( b) olur. Burd cos( b) cosb ve si( b) sib olduğud cos( b) cos.cosb si.sib elde edilir. 4
.3. si( b) sib.cosb sib.cos dır. r r r r - bi cos; -_ - bie cos< b - l bf cos< b -l. cos b-si b. sib -lf si. cos b-si b. cos dır..4., b R içi si( b) si.cosb sib.cos dır. si( b) si[ ( b)] si. cos( b) si( b).cos cos( b) cosb ve si( b) sib olduğud, si( b) si.cosb sib.cos elde edilir..5. r r k Z olmk üzere,! kr ve b! kr koşulu uy er, b R içi t t b t_ bi dır. - t. t b bi si. cos b si b. cos t_ bi cos_ bi cos. cos b-si. si b olur. Py ve pydyı cos.cosb ile bölersek burd, (cos.cosb 0) si. cos b si b. cos cos. cos b cos b. cos t t b t_ bi elde edilir. cos. cos b si. si b - t. t b - cos. cos b cos. cos b 5
.6. r r r k Z omk üzere,! kr, b! kr ve - b! kr koşulu uy er, b R içi, t -t b t_ - bi dir. t. t b t t_ -bi t -t b t_ - bi t8 _- bib olur. - t. t_ - bi t. t b.7. k Z olmk üzere, k, b k, b k, b k koşulu uy er, b R içi cot. cot b- cot. cot b cot_ bi ve cot_ - bi dır. cot cot b cot b-cot cos_ bi cos cob. -si. si b cot_ bi bi si. cos b-cos. si b cos. cos b si. si b - cos. cos b cos. cos b si. cos b cos. si b cos. cos b cos. cos b cot. cot b- burd cot_ bi elde edilir. cot cob cot( b) i esbı içi yukrıdki so frmülde (b) yerie ( b) yzrsk, cot. cot b cot_ -bi elde edilir. cot b co DÖNÜŞÜM VE TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ. DÖNÜŞÜM FÖRMÜLLERİ.8. ve y ergi iki reel syı olmk üzere, y -y si si y si. cos y -y cos cos y si. cos yi t t y cos. cos y yi cot cot y si. si y, - y y si -si y si. cos, y -y cos -cos y -si. si, -yi t -t y cos. cos y, y-i cot - cot y si. si y dır. 6
si( b) si. cos b si b. cos 4 si( - b) si. cos b-si b. cos trf trf toplırs si( b) si( - b) si. cos b... buluur y y b ve - b y deirse,, b - olur. y -y Öyleyse, si si y si. cos dir. - y y y yerie y lıırs, si si y si. cos elde edilir. Bezer şekilde, cos( b) cos. cos b-si. si b 4 si( - b) cos. cos b si. si b trf trf toplırs cos( b) cos( - b) cos. cos b... buluur y y b ve - b y deirse,, b - değeri yerie koulurs y -y cos cos y cos. cos olur. verile eşitlikleri trf trf çıkrırsk, cos( b) cos( b) si.sib...() elde edilir ve y -y cos - cos y -si. si olur. si si y si. cos y cos. si y yi t t y cos cos y cos. cos y cos. cos y olur. Burd y yerie y kours, -yi t - t y cos. cos y elde edilir. Ayı şekilde, cos cos y si y. cos si. cos y y i cot cot y si si y si. si y si. si y buluur. y yerie y kours, - y i y-i cot - cot y si. -yi si. si y elde edilir. 7
. TERS DÖNÜŞÜM FÖRMÜLLERİ.9. p ve q ergi iki reel syı olmk üzere, si q. cos q 8 p qi p-qib cos p. cos q 8cos_ p qi cos_ p-qib sip. siq - 8cos_ p qi-cos_ p- qib 8cos_ p-qi- cos_ p qib dür. si( p q) si p. cos q si q. cos p 4 si( p- q) si p. cos q-si q. cos p trf trf toplırs si( p q) si( p- q) si p. cos q yd olur si p. cos q 7si( p q) si( p-q) A Ayı şekilde; cos( p q) cos( p- q) cos p. cos q 4 si p( p- q) cos p. cos q si p. si q trf trf toplırs cos( p q) cos( p- q) cos p. cos q yd buluur cos p. cos q 7cos( p q) cos( p-q) A Verile şekilleri trt trf çıkrırsk, cos( p q) -cos( p- q) - si p. si q yd si. siq - 7cos( p q) -cos( p-q) A elde edilir. 8
3. YARIM AÇI FÖRMÜLLERİ Bir reel syıı trigoometrik görütüsüü bu syıı yrısıı trigoometrik görütüleri türüde vere formüller, uygulmd oldukç büyük kolylık sğlr. Yrım çı formülleri deile bu formülleri kolyc elde edebiliriz. cos cos - si cos - - si cos cos( ) cos cos - si cos.cos - si.si buluur. si - cos ve cos - si yzılrk cos cos - ve cos - si förmülleri elde edilir. Bulr gibi; si si. cos si si( ), si si.cos si.cos si si. cos bulur. Ayı şekilde, t t - t t t( ), t t t - t. t t, t elde edilir. - t Bezer yoll, cot cot cot cot cot( ), cot. cot - cot - cot, cot elde edilir. cot cot cot 9
TÜREV ALMA KURALLARI f() ( R) ise f () 0 f ( ) -f - lim lim & 0 " 0 " 0 f(). ise f () f ( ) -f ( ) -.. lim & lim lim & " 0 " 0 " 0 f() ( N ) ise f ().. f ( ) -f ( ) - ( ) - lim & lim &. lim " 0 " 0 " 0 - ( - ) 8( )... B &. lim &. lim8( ) ( ). ( ).... " 0 " 0 f.. - & l - - -3 - B ise - ( ) - - ( ) - f lim lim & f lim lim & f 0 0 0( ) - l l l - " " " " 0( ) ise f - ( - ).( ) lim & lim " 0 " 0.( ) - & lim lim & ( ) " 0 " 0.( ) 0
f f g ise gl 7f ( ) g ( ) A- 7f g A f ( ) - f g ( ) -g lim & lim " 0 " 0 f ( ) -f g ( ) -g & lim lim & gl " 0 " 0 f f. g ise. g f. gl 7f ( ). g ( ) A- 7f. g A f ( ). g f. g f ( ). g - f ( ). g lim & lim G " 0 " 0 f lim f - f g -g & l. g lim f ( )... & g f gl " 0 " 0 f. g -f. gl f ise g g f ( ) f - g ( ) g f ( ). g - f. g ( ) lim & lim " 0 " 0 g. ( ). g f ( ). g - f. g ( ) f. g f. g & lim> H " 0 g. ( ). g g. ( - ). g 7f ( ) -f. g A f. 7g ( ) -g A & lim* - 4 " 0 g. ( ). g g. ( ). g f ( ) -f g ( ) -g. g -f. gl & lim. g - f. G. lim & " 0 " 0g ( ). g 7g A gl f ise - g 7g A g ( ) - g g ( ) -g lim & lim> H " 0 " 0 g. ( ). g.. g ( ) -g. g & f -lim & f - g & f - l l l l l " 0g g 7gA 7g A
f l ise lim l - l & lim. lb liml l b l t tımıı kullcğız. " 0 " 0 " 0 f ( ) -f g ( ) -g & lim lim & gl diyelim. " 0 " 0. t ve " 0 ike t " 0 olur. & l e. l e & f e ise e e -e e -e ( e -) e - lim lim & e. lim e - t diyelim. " 0 " 0 " 0 l( t ) ve " 0 ike t " 0 olur. t & e. lim & e. lim & e lim t " 0 l ( t ) t " 0 t " 0. l( t ) l t t t & e. lim & e t " 0 l e f ise. - ( -) - lim lim &. lim - t diyelim. " 0 " 0 " 0 log ( t ) ve " 0 ike t " 0 olur. t &. lim &. lim &. lim t " 0 log ( t ) t " 0 t " 0. log ( t ) t log lim( t ) t " 0 &. &. l log e f si ise cos -. lim si si sid cosd - & lim " 0 " 0 si & lim. limcosd & cos " 0 " 0 4 43
f cos ise -si -.. lim cos cos - sid sid si sid - & lim & lim " 0 " 0 " 0 si & lim. lim - sid G & -si " 0 " 0 4 43 f t ise t lim t - t si - si - & lim & lim " 0 " 0 cos ( ). cos " 0 cos ( ). cos cos si & ; vey & & t cos cos f fog fg ( ) ise fg ( ). gl fg ( ( ) -fg ( ) lim g ( ) - g k diyelim. " 0 g( ) g() k ve 0 ike k 0 olur. fg ( k) -fg ( ) k & f l ( ) lim. G " 0 k İlk çrpd g() u koylım. Buu, görmeyi kolylştırmsı içi ypıyoruz. & fu ( k) - fu g ( ) -g f l( ) lim. lim. f ( ) f ( u ). g ( ) f ( ) f ( g ( )). g ( ) k 0 k 0 & l l l & l l l " " 444444443 ( u) Bu so formül. Zicir Kurlı dıyl şöyle de ifde edilir : z f(u), u g() ve i rtmsı krşılık u ve z foksiyolrıdki rtmlr u ve z olsu. Tz Tz Tu Tz Tz Tu. & lim lim d. T Tu T T" 0T T" 0 Tu T u ve z türevleri vr ol foksiyolr olrk kbul edilirse, 0 ike u 0 olur. & Tz Tz Tu z z u dz lim lim. lim lim. lim. u & T T T dz du d d 4 0 T 4 0 T T 4 0 T 0 Tu 4 0T & " " " T " " d du d 3
- g f y isegl ( y) - f g & fog & fg ( ) dy fg ( ) & ( g ). gl & gl & ( g) d d dy Bu soucu şöyle ifde edebiliriz. & ( f - ) l ( y)) f rcsi y ise ( X) - e -e e -e ( e -) e - lim lim & e. lim e - t diyelim. " 0 " 0 " 0 l( t ) ve " 0 ike t " 0 olur. t & e. lim & e. lim & e lim t " 0 l ( t ) t " 0 t " 0. l( t ) l t t t & e. lim & e t " 0 l e f ise. y rcsi siy zicir kurlı işimizi çok kolylştırır. d( si y) dy dy si y &. & ( ) cos dy d d y & & -si y Ayı Şekilde; f rccos & - - - f rct & - f rccot & - buluur. Ters foksiyolrı türevleri doğrud doğruy türev tımıyl d bulubilir. Ack bu oldukç işlemi bol bir yoldur. Bury kdr er bilgiyi öcekii üzerie koyrk geldiğimize göre, elde ettiğimiz bilgileri işimizi kolylştırmk içi kullmlıyız. 4
m f y ( m! Z) ise m. m m- m m y y m dy dy. m- dy & & & my. dy d d my m- Burd, ym değerii türüde bullım. m m y & y - y m m m- dy dy & & f d m my d m m m m. m. - - m- f f f e ise e. f (), bileşke foksiyou türevii lm kurlı ile, f () e f(). f () olrk buluur. Biz buu bir de türev tımı ile bullım: f ( ) f e -e lim, f( ) - f() k diyelim. f( ) f() k ve 0 ike k 0 olur. " 0 f k f e -e f e - f e - k lim & e. lim & e. lime. o " 0 " 0 " 0 k f e - f ( ) -f f & e. lim. lim & e. k " 0 k " 0 4444 44443 k k 5