Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010) adlı notlarım. Bazı terimler, [2, 3] kaynaklarından alınmıştır. İçindekiler 1 Önermeler 1 2 Doğruluk tabloları 2 3 Eşdeğerlik 6 4 Gerektirme 8 Kaynaklar 13 1 Önermeler Önerme, belli bir durumda doğru veya yanlış denebilen cümledir. Matematikte, durum çoğunlukla bir yapıdır. Örneğin, her sayının tersi var cümlesi, bir önermedir, ve bu önerme, (N,+) yapısında yanlış, (Z,+) yapısında doğru, (Z, ) yapısında yanlış, (Q +, ) yapısında doğrudur. (Burada Q + = {x: x Q x > 0}.) Belli bir durumda, bir önermenin doğruluk değeri vardır: 1

önerme doğru ise, değeri 1; önerme yanlış ise, değeri 0 dır. {0, 1} kümesi için, B harfini kullanalım. Önermeler için, P, Q, ve R gibi Latin harflerini kullanalım. Sonsuz tane önermemiz varsa, P 0, P 1, P 2 ve benzerlerini kullanabiliriz. Bir d durumunda, P önermesinin B kümesindeki değeri olarak d(p) kullanılabilir. O zaman d, önermeler kümesinden B kümesine bir fonksiyondur (dönüşümdür): d: {önermeler} B. 2 Doğruluk tabloları Verilmiş önermelerden, bağlaçlarla, bileşke önermeler yapılabilir, ve onların değerleri, verilmiş önermelerin değerlerinden bulunabilir. Örneğin: P ve Q; P veya Q; P ise Q; P ancak ve ancak Q; P değil. (Dilbilgisinde, ise ve değil, bağlaç değildir; ama matematikte, öyle sayılabilir.) Bu örneklerde, sözcüklerin yerinde, kısaltma olarak, simgeler kullanılabilir: P Q P Q P Q P Q P Yukarıdaki simgelere, bağlayıcı diyelim. Bileşke önermelerin farklı durumlardaki doğruluk değerleri, doğruluk tablolarında gösterilebilir: P Q P Q P Q P Q P Q 0 0 0 0 1 0 P Q yerine, P & Q; P Q yerine, P Q; P P yerine, P Q, yazılabilir. Veya doğruluk çizelgelerinde. P P 0 1 1 0 2

Mesela, ikinci satırdan, d(p) = 1 ve d(q) = 0 ise, o zaman d(p Q) = 0. Doğruluk tabloları şöyle yazılabilir: P Q 0 0 0 0 0 1 P Q 0 0 0 1 1 0 P Q 0 1 0 P Q 0 1 0 0 0 1 P 0 1 1 0 Burada, bir önermenin değeri, önermenin bağlayıcısının altına yazılır. Aslında, P Q gibi bir ifade gerçek bir önerme değildir; bir önerme formülüdür; ve P ve Q harfleri, önerme değişkenleridir. Değişkenlerin yerine gerçek önermeleri koyarsak, önerme formülü, bir önerme olur. Bir önerme formülünde, birden fazla bağlayıcı kullanılabilir, mesela P P formülünde olduğu gibi. Bu formülün, üç veya dört tane altformülü var; bunlar P P, P, P, P formülleridir. Biz, P altformülünü tekrarladık, çünkü formülü bir ağaç şeklinde görebiliriz, ve bu ağacın dört tane düğümü olur: P P P P P Ağaçta, altformülün yerine, formülün ana bağlayıcısını koyabiliriz: 7 777777 P O zaman P P formülün doğruluk tablosu iki şekilde yazılabilir: P P P P P 1 0 1 P P 0 1 1 0 1 3

İkinci şekilde, her altformülün değeri, altformülün ana bağlayıcısının altına yazılır. Bir örnek daha: P Q R (yani, P (( Q) R)) önerme formülünün ağacı aşağıdadır: P Q R P Q R Q R Q Ana bağlayıcıları kullanarak, P 5 5555555 R Q şeklinde yazabiliriz. Doğruluk tablosu şöyle yazılabilir: P Q R 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1, P Q R 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1, P Q R 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0, 4

ve sonunda, P Q R 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 O zaman formülün basit doğruluk tablosu şöyledir:. P Q R P Q R 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 Genellikle doğruluk değerleri şu sırada hesaplanır: 1. 2. ve 3. ve 4. bir bağlayıcı iki kere kullanılmışsa, sağdaki. Örneğin: 1. P Q R demek P (Q R); 2. P Q demek ( P) Q; 3. P Q R belirsiz; 4. P Q R demek P (Q R); 5. P Q R P belirsiz; 6. P Q R demek P (Q R); 7. P Q R S demek P ((Q R) S).,,, bağlayıcılarına ikili denir; bağlayıcısına, birli denir. Ayrıca, 0 ve 1, sıfırlı bağlayıcılar olarak düşünülebilir. Alıştırma 1. Aşağıdaki formülleri hesaplayın. 1. 1 1 1, 2. 1 0 1, 5

3. (0 1) 1, 4. (0 1) (0 1), 5. 0, 6. (1 0) 0, 7. 1 (0 0). Alıştırma 2. Aşağıdaki formüllerin doğruluk tablolarını yapın: 1. P Q P; 2. P Q R; 3. (P (Q R)); 4. (P Q R) P Q; 5. (P Q R) (Q P R) P R; 6. ( R P (R Q)). 3 Eşdeğerlik İki önermenin doğruluk değeri her durumda aynıysa, o önermeler, mantıksal olarak eşdeğer veya denktir. İki önerme formülünün basit doğruluk tabloları aynıysa, o formülleri de birbirine eşdeğer veya denktir. F ve G önerme formülleri eşdeğer ise, F G ifadesini yazalım. Örneğin, P Q P Q denkliğini aşağıdaki tablolardan görebiliriz: P Q 0 1 0 P Q 1 0 1 0 0 1 0 Buradan basit doğruluk tablolarının aynı olduğunu görürüz: P Q P Q 0 0 1 P Q P Q 0 0 1 Teorem 1. Aşağıdaki eşdeğerliklerimiz vardır. 6

1. (Her önerme, sadece ve ile yazılabilir:) P Q ( P Q), P Q P Q, P Q (P Q) (Q P). 2. (Her önerme, sadece ve ile yazılabilir:) P Q (P Q). 3. (Çifte değilleme kaldırılabilir:) P P. 4. (De Morgan kuralları:) (P Q) P Q, (P Q) P Q. 5. ( ve bağlayıcılarının değişme ve birleşme özellikleri:) P Q Q P, P Q Q P, (P Q) R P (Q R), (P Q) R P (Q R). 6. ( ve bağlayıcıları birbirine üzerine dağılır:) P (Q R) (P Q) (P R), P (Q R) (P Q) (P R). 7. (Fazlalıklar:) P P P, P P 0, P 1 P, P 0 0, P P P, P P 1, P 0 P, P 1 1. 8. (Yeni değişken:) P (P Q) (P Q), P (P Q) (P Q). 9. (Yutma:) P (P Q) P, P (P Q) P. Kanıt. Alıştırma. Augustus De Morgan, 1806 71, Büyük Britanyalı matematikçi ve mantıkçı [6, 5]. 7

4 Gerektirme Bir durum, bir önermeler kümesinin modelidir, eğer o durumda, kümenin her önermesi doğru ise. Eğer bir önerme, bir önermeler kümesinin her modelinde doğru ise, o küme, önermeyi gerektirir. Γ (yani, Gamma), bir önerme formülü kümesi olsun, ve F, bir önerme formülü olsun. Eğer Γ {F} kümesindeki bütün formüllerin doğruluk tablosunun her satırında, 1. ya Γ kümesindeki bir formül yanlış ise, 2. ya da F formülü doğru ise, o zaman Γ, F formülünü gerektirir deriz, ve Γ = F ifadesini yazarız; = simgesine, turnike denebilir. Boş küme, F formülünü gerektirirse, = F yazılabilir, ve F formülüne doğrusal geçerli formül, veya mantıksal doğru formül, veya totoloji denebilir. Teorem 2. F G ancak ve ancak F G bir totolojidir. Kanıt. Alıştırma. Γ kümesinin F formülünü gerektirdiğini nasıl gösterebiliriz? İki yöntemimiz var: 1. doğruluk tabloları, 2. biçimsel kanıt. Mesela, aşağıdaki tabloya bakın: Her satırda, ya d(p Q) = 0 veya d(p) = 0, ya da d(q) = 1. P Q P Q P Q 0 0 1 0 0 1 1 1 8

O zaman (yani, {P Q,P} = Q). Aynı şekilde, P Q,P = Q çünkü, aşağıdaki doğruluk tablosundaki her satırda, P Q R,P Q,Q R = R, ( ) ya d(p Q R) = 0, veya d(p Q) = 0, veya d(q R) = 0, ya da R = 1. (İkisi de olabilir, 6. satırdaki gibi.) Ama şimdi P Q R P Q R P Q Q R R 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 Γ = { (S T),(R Q) (T Q),P (S T), T (Q (S R)), R T} olsun. O zaman ( ) Γ = P Q R S T; ( ) ama bunu doğruluk tablolarıyla göstermek sıkıcı olurdu. Biçimsel kanıt yöntemi, bu durumda hem daha kısa, hem daha ilginçtir. Biçimsel kanıt, bir formüller listesidir. F 0,F 1,...,F n, bir biçimsel kanıt olsun. Her k için, 0 k n ise, 1. ya F k, bilinen bir totolojidir, 2. ya bilinen bir gerektirmesine göre, {F 0,...,F k 1 } = F k, 3. ya da F k, biçimsel kanıtın bir hipotezidir. Kanıtın sonucu, F n önerme formülüdür. Kanıtın hipotezleri, Γ kümesini oluştursun. O zaman Γ, F n formülünü gerektirir: Γ = F n. Biçimsel kanıt, Γ dan F n formülünü kanıtlar. Bilinen bir totolojiye aksiyom denir. Başlangıçta, aksiyom olarak, 1, P P 9

formüllerini, ve daha genellikle her F F formülünü, kullanabiliriz. Başka bir formülü aksiyom olarak kullanmak istersek, kullanabiliriz, ama önce onun totoloji olduğunu ispatlamalıyız (mesela, doğruluk tablosuyla). Bilinen bir gerektirmeye, çıkarım kuralı denir. Mesela, zaten ( ) satırından P Q,P = Q gerektirmesini biliyoruz. O zaman, çıkarım kuralı olarak, ayırma kuralımız var, yani: P Q ve P formüllerinden, Q çıkar. Daha genel olarak, F G ve F formüllerinden, G çıkar. Hatta daha genel olarak, F G ve F formülleri, Γ kümesinin öğeleriyse, Γ kümesinden G çıkar. Ayrıca, F G ise, o zaman F = G. Teorem 1 den, bilinen denkliklerimiz var. O zaman şu çıkarım kuralımız var: Teorem 1 e göre, F G ise, ve F, Γ kümesinin öğesiyse, o zaman G, Γ dan çıkar. Örneğin, P Q = Q, çünkü biçimsel bir kanıt yazabiliriz: P Q, 1, P 1, P Q Q, (P Q) Q, (P Q) Q, Q Açıklamalarımızı eklersek: Ayrıca, (1) P Q [hipotez] (2) 1 [aksiyom] (3) P 1 [2. satırdan, fazlalıkla] (4) P Q Q [3. satırdan, fazlalıkla] (5) (P Q) Q [4. satırdan, De Morgan kuralıyla] (6) (P Q) Q [5. satırdan] (7) Q [1 & 6 satırından ayırma] çünkü biçimsel bir kanıt yazabiliriz: P Q R, P, Q = R, P Q R, P Q R, P, Q R, Q R, Q, R. Açıklamalarımızı eklersek: (1) P Q R [hipotez] (2) P Q R [1. satırdan] (3) P [hipotez] (4) Q R [2. ve 3. satırlardan, ayırma kuralıyla] (5) Q R [4. satırdan] (6) Q [hipotez] (7) R [5. ve 6. satırlardan] Bu kural, Latincede modus ponens, İngilizcede, detachment. 10

Her biçimsel kanıtın arkasında, bir ağaç vardır. Mesela, son kanıtın ağacı şöyle: R Q Q R Q R P P Q R P Q R Bu biçimsel kanıtın sıralanmasını değiştirebiliriz; örneğin, şöyle yazabiliriz: Q, P Q R, P, P Q R, Q R, Q R, R. Yeni çıkarım kuralları aşağıdaki teoremden gelir: Teorem 3. Bu gerektirmelerimiz var: 1. (Basitleştirme:) P Q = P, P Q = Q. 2. (Ekleme:) P = P Q, Q = P Q. 3. (Bağlama:) P,Q = P Q. 4. (Ayırma:) P,P Q = Q, P Q, P = Q, Q,P Q = P, P Q, Q = P. (hipotetik tasım:) P Q,Q R = P R. 11

5. (Olumlu dilemma:) P Q,R S,P R = Q S. Kanıt. Alıştırma. Şimdi yukarıdaki ( ) gerektirmesininin bu biçimsel kanıdı var (her satırın nedeni nedir?): P Q R (P Q) R (P Q) R P Q Q R P R P Q R R P Q R (P Q) (P Q) R R (P Q) (P Q) R R R. [hipotez] [hipotez] [hipotez] Ayrıca, yukarıdaki ( ) gerektirmesinin, Tablo 1 deki biçimsel kanıtı var. Alıştırma 3. Aşağıdaki gerektirmeler için biçimsel kanıtları yazın. 1. = P P P 2. = P Q P 3. = P (P Q) 4. = (P Q) Q 5. P Q R = P Q 6. P P = Q 7. P (Q R) = P ( Q P) 8. P Q,P Q = Q 9. P R,Q R = P Q R 10. P R,Q S = P Q R S 12

(R Q) (T Q) (R T) Q Q R T R T (R T) ( R T) (R R) T 1 T T (S T) S T T S S T P (S T) S T (S T) P T (Q (S R)) Q (S R) S R R R S T Q R S T P Q R S T Tablo 1: Biçimsel bir kanıt Kaynaklar [1] Stanley N. Burris, Logic for mathematics and computer science, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA, 1998. [2] Abdurrahman Demirtaş, Matematik sözlüğü, Bilim Teknik Kültür Yayınları, Ankara, 1986. [3] Teo Grünberg and Adnan Onart, Mantık terimleri sözlüğü, Türk Dil Kurumu Yayınları, Ankara, 1976. [4] Ali Nesin, Önermeler mantığı, Bilgi Üniversitesi Yayınları, Ekim 2001. [5] Dirk Struik, Kısa matematik tarihi, Sarmal Yayınevi, İstanbul, 1996, Türkçesi: Yıldız Silier. [6] Dirk J. Struik, A concise history of modern mathematics, fourth revised ed., Dover, New York, 1987. 13