YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSİZLİĞİ (THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI www.selin.wordpress.om 7 Şut 009 Bu ders notund re-rrngement inequlity konusu ele lınrk olimpiyt sınvınd çıkmış zı eşitsizlik sorulrın frklı ir kış çısının kzndırılmsı hedeflenmiştir. Vrsylım elimizde iki reel üçlü (,, ) ve (,, ) olsun. Eğer ikini üçlünün tüm permütsyonlrını düşünürsek elimizde! = 6 tne üçlünün olğı çıktır. Biz u üçlülerin kümesine P ve (x,x,x ) P olsun diyelim. Bun göre vrsylım, S = x + x + x toplmıd elimizde ulunsun. Burd izi ilgilendiren sıl soru S toplmının ne zmn en üyük, ne zmn en küçük olduğudur. Bu soruy evp rmy şlmdn evvel ileriki smklrd kullnğımız zı terimleri çıklylım. Tnım 0. Vrsylım elimizde (,, ) ve (,, ) reel üçlüleri olsun. Bun göre, Eğer iki üçlünün elemnlrıd rtn vey iki üçlünün elemnlrıd zln ir sırd yzılmışs u ikiliye Benzer Düzenli diyelim. Yni ve vey ve durumlrı sğlnsın. Eğer iki üçlüden iri rtn diğeri zln sırd yzılmışs u üçlüyede Aykırı Düzenli diyelim. Örnek 0.. (,,) ve (,5,7) enzer düzenlidirler.. Eğer 0 < ise (,,) ve (,, ) ykırı düzenlidir. Am, (,,) ve ( +, +, + ) enzer düzenlidirler.. Eğer 0 < ve m R + ise (,,) ve ( m, m, m ) enzer düzenliyken, (,,) ve ( ykırı düzenlidir. d. Eğer ve n ir tek tmsyı ise (,,) ve ( n, n, n ) enzer düzenlidir. Artık eşitsizliğimizi dh ykındn tnım zmnı geldi., m, m ) m Teorem 0. (Rerrgement Inequlity) (,, ) ve (,, ) iki reel üçlü olmk üzere (x,x,x ) üçlüsü (,, ) üçlüsünün ir permitsyonu olsun. Bun göre, Eğer (,, ) ve (,, ) enzer düzenli ise olktır. + + x + x + x
Eğer (,, ) ve (,, ) ykırı düzenli ise olktır. + + x + x + x Knıt. Vrsylım elimizde (,, ) ve (,, ) rtn sıryl dizilmiş iki üçlü olsun. (x,x,x ) üçlüsüde (,, ) üçlüsünün ir permütsyonu olsun ve x x olsun. S ve S toplmlrınıd ve S = x + x + x S = x + x + x olrk llım. Burd S toplmı, S toplmındki x ve x nin yer değiştirmesiyle elde edildiği çıktır. Eğer u iki toplmı frkını lırsk, S S = (x x }{{} )( ) 0 }{{} + + olktır. Demekki S S dir. Bun göre, x ve x nin yer değiştirmesi sdee S toplmının değerini rtırmktdır. Öyleyse, eğer tüm (x i,x j ) ikililerinin (x i x j,i < j) yerleri değiştirilirse toplm nk en üyük olilir. En üyük olk toplmd zten + + olktır. Benzer içimde eğer (,, ) ve (,, ) üçlülerinin ikiside zln irer üçlü olrk seçilseydi, isptın ikini kısmıd urdn ypılilirdi. Şimdi, u yeni eşitsizliğimizi irkç örnek üzerinde uygulylım. Örnek 0.4,, R olmk üzere i. + + + + ii n + n + n n + n + n eşitsizliklerini gösteriniz. Çözüm. Sorunun irini şıkkı zten ikini şıkkın özel ir durumu olduğundn sdee ikini şıkkı çözmemiz yeterli olktır. Bun göre eğer üçlülerimizi (,,) ve ( n, n, n ) enzer düzenlileri olrk elirlersek, istenen eşitsizlik yeniden düzenleme eşitsizliği ile, olrk ulunur. n + n + n n + n + n Örnek 0.5,, > 0 oduğun göre, şğıdki eşitsizlikleri knıtlyınız. i. ++ + + ii. + + + + iii. + + + +
Çözüm. olrk kul edelim ve (,, ) ve (,, ) enzer düzenlilerini seçelim. Bun göre, olktır. + + + + + + + + Eğer (,, ) ve (,, ) enzer sırlılrını lırsk, elde edileektir. + + + + Bu seferde sırlı ikililerimizi ykırı düzenliler rsındn seçelim. Yni, (,, ) ve (,, ) kullnğımız üçlülerimiz olsun. Bun göre, elde edileektir. + + + + Örnek 0.6 (96, Moskov Mtemtik Olimpiytı),, > 0 olduğun göre, + Çözüm. Vrsylım olsun ve enzer sırlılrımız d (,,) ve olsun. Bun göre, + + + + ( +, +, + ) () + + + + + + + + eşitsizliklerini elde edeiliriz. Eğer [] ve [] eşitsizlerini ltlt toplrsk, ( + ) + + eşitsizliğindende sorud istenen [] eşitsizliğini elde ederiz. + + + = Örnek 0.7 (Cheyshev Eşitsizliği) Eğer (,, ) ve (,, ) enzer düzenliler ise () () + + ( + + )( + + ) (4)
Çözüm. Sorud zten enzer düzenli üçlüler verildiğine göre, yeniden düzenleme metodunu kullnlım + + = + + (5) + + + + (6) + + + + (7) eşitsizliklerini elde ederiz. Eğer [5], [6] ve [7] eşitsizliklerini ltlt toplrsk, ( + + ) ( + + ) + ( + + ) + ( + + )) eşitsizliğini ve sonuç olrkt sorud verilen [4] eşitsizliğini elde ederiz. Not 0.8 Benzer içimde, (,, ) ve (,, ) ykırı düzenlileri içinde, + + eşitsizliği elde edileilir. ( + + )( + + ) (8) Örnek 0.9 (Aritmetik Ort - Kresel Ort Eşitsizliği),, reel syılr olmk üzere verilen + + + + Çözüm. Sorunun çözümü için Örnek 0.7 de knıtldığımız eşitsizliği kullnmmız kfidir. Bun göre, (,, ) ve (,, ) enzer düzenlileri için, + + ( + + )( + + ) = ( + + ) (0) olduğun göre, sorud istenen [9] eşitsizliği knıtlnmış olur. Örnek 0.0 (Aritmetik Ort-Geometrik Ort Eşitsizliği),, pozitif syılr olmk üzere verilen + + () Çözüm. P = olmk üzere, soru kullnğımız ykırı düzenlilerimizi, x = P, x = P, x = P = ve () y = x, y = x, y = x = () olrk seçelim. Burd (x,x,x ) rtn sırlı ise (y,y,y ) zln sırlı olktır. Bun göre, (9) olktır. Burdn d, x y + x y + x y x y + x y + x y + + P + P + P = + + P P + + P + + olğındn, istenen knıt tmmlnmış olur. 4
Örnek 0. Cheyshev eşitsizliğini iki reel syı için gösteriniz. Çözüm. Vrsylım enzer düzenli ikililerimiz (, ) ve (, ) olsun. Bun göre, + = + + + eşitsizlikleri trf trf toplnırs, olktır. Örnek 0. ( + ) ( + )( + ) + ( + )( + ) n + n + (n + n ) Çözüm. Örnek 0. de knıtldığımız eşitsizliği kullnlım. Bun göre ikililerimiz (,) ve ( n, n ) ikilileri olsun. Bun göre, n + n n + n + ( + )(n + n ) (n + n ) Örnek 0., 0 olmk üzere, şğıdki eşitsizlikleri knıtlyınız.. ( 5 + 5 ) ( + )( + ). 9 + 9 ( 5 + 5 ). ( + ) n n ( n + n ) Çözüm.. (, ), (, ) enzer düzenlileri olsun. Bun göre, olrk ulunur. + ( + )( + ) ( 5 + 5 ) ( + )( + ). Bu şıktd enzer düzenlilerimizi ( 4, 4 ) ve ( 5, 5 ) olrk seçelim. Bun göre, 4 5 + 4 5 ( 4 + 4 )( 5 + 5 ) 4 4 ( 5 + 5 ) = ( 5 + 5 ) olktır. Bu eşitsizliktende, 9 + 9 ( 5 + 5 ) eşitsizliği elde edilir. 5
. Soruyu Cheyshev Eşitsizliği ni kullnrk çözmeye çlışlım. İkililerimiz ( n, n ) ve (,) olsun. Bun göre, n + n (n + n )( + ) = (n + n )( + ) n + n (n + n )( + )( + ) n + n Bun göre istenen eşitsizlik, elde edilmiş olur. Örnek 0.4,, > 0 ve n Z + ise ( + )( + ) ( + ) = n n ( + )n olktır. n ( n + n ) ( + ) n n + n + n + n Çözüm. olmk üzere enzer düzenlilerimiz ( n, n, n ) ve ( Bun göre, +, +, + ) olrk seçelim. n n + + n n + + + + eşitsizliklerini elde ederiz. Eğer u iki eşitsizliği trftrf toplrsk, + + (4) (5) ( n + ) n + n + + + n n + n + eşitsizliğini elde ederiz. Bundn sonrki smktd Örnek 0. de knıtldığımız eşitsizliği kullnırsk, ( n + ) n + n + + + n n + n + eşitsizliğinden, sorud izden istenen eşitsizliğe ulşılır. (6) (n + n ) + ( + n ) + (n + n ) (7) = n + n + n (8) Örnek 0.5,, > 0 olmk üzere, () ++ 6
Çözüm. olrk llım. Üçlülerimizide, irz sırdışı ir seçim yprk, (,,) ve (log,log,log) olrk llım. Bun göre,cheyshev eşitsizliğinden eşitsizliği elde edilir. Bun göre, olğındn istenen eşitsizlik, olrk ulunur. log + log + log log ( + + log + log + log )( ) ( + + )( log ) log log() ++ () ++ Örnek 0.6 A, B,C ir üçgenin çılrı olmk üzere (rdyn insinden),,, uzunuklrı d u üçgenin kenr uzunluklrıdır. p = ( + + ) olduğun göre, A p A + B p + C p π p (9) Çözüm.Vrsylım A B C olsun. Bun göre enzer düzenli üçlülerimizi (A,B,C) ve ( seçeiliriz. Cheyshev eşitsizliğinden, ( A p A + B p + C p ) (A + B +C eşitsizliğindende [9] eşitsizliği kolylıkl çıkrılır. )( p + p + p ) = π ( p + p + p ) π 9 9 p p, p, p ) Örnek 0.7 (995,IM0),, R + ve = olduğun göre, eşitsiliğini knıtlyınız. ( + ) + ( + ) + ( + ) (0) Çözüm. Vrsylım x =, y =, z = olsun. = olduğundn, x y z = olğı çıktır. Bun göre, yeni değişkenlere göre eşitizliğimiz düzenlersek, x y + z + y x + z + z y + x eşitsizliğini elde ederiz. Çözümün undn sonrki smklrı sdee Örnek 0.4 deki eşitsizliğin knıtının kullnılmsıyl olktır. Bun göre, olktır. x y + z + y x + z + z y + x x + y + z xyz = 7
REFERANSLAR:. Drgos Hrumi, The Rerrngement Inequlities, Mth Strtegies, π in The Sky Mgzine, Psifi Institue for The Mthemtil Sienes, Ponom.. K. Wu, The Rerrngement Inequlitiy, Leture Notes in Mthemtis Compettions nd Enrihments for High Shools, Chin. 8