Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s, bu tür k lş m sol dn k lşm de nir ve şeklinde gösterilir. değişkeni re el s ı sın, dn büük de ğer ler le k l şı or s, bu tür k lş m sğdn k lşm de nir ve + şeklinde gösterilir. 4 Soldn klflm S dn klflm,5,9,99,999... 4 5 4,5 4, 4, 4,... 4 + in e sğdn klşmsı hngisi ile ifde edilir? in e soldn klşmsı hngisi ile ifde edilir? SAĞDAN VE SOLDAN değişkeni soldn klştığınd ( ) f() fonksionu d L reel sısın klşıors f() in = dki soldn iti L dir. denir ve f() = L şeklinde gösterilir. " değişkeni sğdn klştığınd ( + ) f() fonksionu d L reel sısın klşıors f() in = dki sğdn iti L dir. denir ve f() = L " + şeklinde gösterilir. Soldn it, sğdn ite eşit ise fonksionun iti vrdır. Frklı ise fonksionun iti oktur. " f() = f() = L ise f() = L dir. " + " " f() f() ise f() oktur. " + " Aşğıd grfiği verilen fonksionlrın = noktsındki itlerini incelee. f() f() f() L L L L L L f() f() L f() Mtemtik
Mtemtik Aşğıd grfiği verilen fonksionlrın = noktsındki itlerini incelee. f() f() Arlığın uç noktlrındki it değerini bulmk için sğdn ve soldn ite bkmk eterlidir. L b c f() L 4 Yukr d f() fonksionunun grfi i verilmifltir. un göre, / O =f() =g() 4 O f ( ) + f ( ) + f ( ) + b + c toplm kçt r? A) ) C) D) E) 8 ÖSS Grfiği verilen = f() ve = g() fonksionlrın göre, şğıdki sorulrı cevplınız.. f( ) ". f( ) ". ( f( ) + g( )) " 4. 5. ( f g)( ) " ( fog)( ) " = f() in grfiği verilmiştir. " f ( ) + f( + ) ( fof)( ) A) 8 ) 9 C) = f() itinin eşiti nedir? 8 9 D) E) Mtemtik
Mtemtik Aşğıd grfiği verilen fonksionlrın = ve noktsındki it değerlerini incelee. b f() f() b b f() =f() 4 5 6 5 4 Yukrıd grfiği verilen =f() fonksionunun in 4,,,,,, değerleri için itlerini rştırınız. Yukrıd gr fi ği ve ri len = f() fonk si o nu nun gr fi ği ne gö re, ş ğı d ki le rin de ğer le ri ni bu lunuz. f() " f() " 5 f() " f() " 6 =f() 5 4 O Grfiği verilen f() fonksionunun [ 6, ) rlığınd psisi tm sı oln kç noktd iti vrdır? A) 8 ) 7 C) 6 D) 5 E) 4 A Mtemtik
Mtemtik Polinom Fonksionlrın Limitleri f()= n n + n n +...+ şeklindeki fonksionlr polinom fonksion denir ve bütün reel sılr için tnımlıdır. Yni, bu biçimdeki fonksionlrı tnımsız pn değerler oktur ve grfikleri kesintisiz bir eğri şeklindedir. Grfikleri kesintisiz olduğundn dolı bu fonksionlrd herhngi bir noktd it lınırken sğdn ve soldn ite bkm gerek oktur. Sdece fonksionun o noktdki değerinin bulunmsı eterlidir. f() = f() dır. ( + ) itinin değeri kçtır? A) 4 ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ( ) itinin değeri kçtır? A) 6 ) 4 C) D) E) A D f(), h(), logk() biçimindeki kesirli, köklü ve logritmik fonksionlrın tnımlı olduğu erler sırsıl g(), h() ve k()> g() f() f() şrtını sğln rlıklrdır. u rlıklrdki reel sılrı için it =, h() = h() ve log k() = log k() g() g() biçiminde hesplnır. u rlıklr dışınd fonksionlrın tnımsız olduğu erlerde ise sğdn ve soldn it incelemesi pılmlıdır. İlerleen bölümlerde bu noktlrdki itler rıc incelenecektir. itinin değeri kçtır? + A) ) C) D) 4 E) 5 log ( 7 + ) itinin değeri kçtır? A) ) C) D) 4 E) 5 Mtemtik
Mtemtik Prçlı Fonksionlrın Limitleri f()= g(), h(), < biçimindeki prçlı fonksionlrd fonksionun kritik noktsı = dır. Prçlı fonksionlrın grfikleri incelendiğinde kritik noktlrınd kesintiler (sıçrmlr) olbildiği görülür. undn dolı kritik noktlrd sğdn ve soldn it incelemesi pılmsı gerekir. Kritik nokt dışındki it incelemelerinde ise ugun oln fonksion seçilerek (g() ve h()) it lınm çlışılır. Not: Prçlı fonksionlrd it incelemesi pmk için grfik çizilmesi şrt değildir. 5, f() = +, < olduðun göre, f() deðeri kçtýr? A) 8 ) 5 C) D) E) Yoktur + b, f() =, < < + b, Yukrýd verilen f() fonksionunun tüm reel sýlr için iti olduðun göre, b kçtýr? 7 9 A) 4 ) C) D) 4 E) A f(), > f() =, = k, < bir reel sý olduðun göre, k kçtýr? >, n f() = +, n A) 6 ) 5 C) 4 D) E) f() bir reel sý eþit ve f() = n göre, n kçtýr? olduðun A) ) C) D) E) 4 E Mtemtik
Mtemtik Mutlk Değerli Fonksionlrın Limitleri Mutlk değerli fonksionlrın kritik noktsı ifdei pn değerlerdir. Kritik noktlrd it rştırılırken sğdn ve soldn it incelemesi pılmlıdır. Kritik olmn noktlrd ise it değeri fonksionu o noktdki değerdir. Yni f() = f() dir. de eri kçt r? + + deðeri kçtýr? 4 8 7 A) ) C) D) 4 E) 5 A) ) C) D) E) 4 D iflleminin sonucu kçt r? C A) ) C) D) E) Limit oktur. deðeri kçtýr? 5 + 6 A) ) C) D) E) E Mtemtik
Mtemtik Genişletilmiş Gerçek Sılr Kümesinde Limit sol trf doðru zlýr sð trf doðru rtr R + Herhngi bir değişkeni sürekli rtn değerler lıors, değişkeni sürekli zln değerler lıors ile ifde edilir. ile + kvrmlrının reel (gerçek) sılr kümesine eklemesile oluşn R {, + } kümesine genişletilmiş gerçek sılr kümesi denir. g()= olmk üzere g() ifdesinde soldn ve sğdn it incelemesi pılmlıdır. + + + f() g() ifsinde = değeri, g()= denkleminin çift ktlı bir kökü ise şğıd belirtilen durumlr geçerlidir. + ( ) Sonsuz kvrmı ile ilgili bzı özellikler şğıddır. c R olmk üzere, c+(+ )=+ c+( )= c > olmk üzere c.(+ )=+ c.( )= c < olmk üzere c.(+ )= c.( )=+ + = +( )=. =, ( ).( )= ve (+ ).( )= dur. f()= n n + n- n +...+ + biçimindeki polinom fonksionlr için terimin itini lmk eterlidir. n n f() = ± ± f() ± iti hesplnırken sdece en büük dereceli + + 4 + Mtemtik
Mtemtik Mtemtik biçimindeki itleri hesplmk için şğıdki örnekleri incelee. ± = > ise = > ise < < ise = < < ise - = - 5 7 4 =log biçimindeki itleri hesplmk için =log fonksionunun şğıdki grfiklerini dikktle incelee. (log5 ) + (log ) e ln (log ) + (log ) 7 + e ln Mtemtik