Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
10. Eylemsizlik Momentleri Bu bölümde, bir alanın ve belli bir kütleye sahip bir cismin eylemsizlik momentini belirlemek için kullanılan yöntemi inceleyeceğiz. Alan eylemsizlik momenti, analiz ve tasarımlar yapılırken gerekli olduğundan, mühendislikte önemli konulardandır. Kütle eylemsizlik momenti de cismin hareketi incelenirken gerekli olmaktadır. 9. Bölümde bir alanın geometrik merkezini alanın bir eksene göre birinci momentini ele alarak belirledik. Hesaplamada xda şeklideki bir integralle karşılaştık. Bir alanın x 2 da gibi ikinci momentinin integralleri, alanın eylemsizlik momenti olarak adlandırılır.
10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı Bir alanın eylemsizlik momenti, moment ekseninden itibaren lineer olarak değişen bir yayılı yükün momentini hesaplamak gerektiğinde ortaya çıkar. y 2 da integrali, x eksenine göre alanın eylemsizlik momentidir.
10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı Eylemsizlik Momenti. da diferansiyel elemanın x ve y eksenlerine göre eylemsizlik momentleri, sırasıyla di x =y 2 da ve di y =x 2 da ile tanımlanır. Tüm alan için eylemsizlik momentleri integralle belirlenir:
10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı Eylemsizlik Momenti. da diferansiyel alanının O kutbuna veya z eksenine göre ikinci momenti: dj O =r 2 da olarak verilir. Buna kutupsal eylemsizlik momenti adı verilir. Buradaki r, da elemanının kutba (z eksenine) uzaklığını gösterir. Tüm alanın kutupsal eylemsizlik momenti:
10.1 Alan Eylemsizlik Momentlerinin Tanımı Eylemsizlik Momenti. r 2 =x 2 +y 2 olduğundan, J O ile I x ve I y arasında bir bağıntı olduğu açıktır. Formüllerden J O ile I x ve I y nin daima pozitif olduğu görülmektedir. Eylemsizlik momenti birimleri, uzunluğun dördüncü kuvvetini içermektedir.
10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi Bir alanın geometrik merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti biliniyorsa, paralel eksen teoremi kullanılarak bu eksene paralel başka bir eksene göre eylemsizlik momentini belirlemek mümkündür. Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre eylemsizlik momentidir. İkinci integral sıfırdır. Üçüncü integral toplam alanı verir.
10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi Benzer ifadeler I y ve J O için de yazılabilir. Bu denklemlerin her biri, bir alanın bir eksene göre eylemsizlik momentinin, alanın geometrik merkezinden geçen paralel bir eksene göre eylemsizlik momenti ile alanın eksenler arasındaki uzaklığın karesiyle çarpımının toplamına eşit olduğunu ifade eder.
10.2 Alan için Paralel Eksen Teoremi Bu kirişin mukavemet ve yer değiştirmesinin belirlenebilmesi için, kirişin kesit alanının eylemsizlik momentinin hesaplanması gerekir.
10.3 Alanın Eylemsizlik Yarıçapı Bir düzlemsel alanın eylemsizlik yarıçapı uzunluk birimindedir. Kolonların tasarımında sıkça kullanılan bir büyüklüktür. Alanlar ve eylemsizlik momentleri biliniyorsa, yandaki formüller yazılabilir. Bu denklemler kolayca hatırlanabilir. Çünkü, bir diferansiyel alanın bir eksene göre eylemsizlik momentini bulurken kullanılan denkleme benzemektedir. Örneğin, I x =k x2 A iken, bir diferansiyel eleman için di x =y 2 da dır.
10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması Bir düzlemsel alanın sınırları matematiksel fonksiyonlarla ifade edilebiliyorsa, alanın eylemsizlik momentlerini belirlemek için aşağıdaki denklem kullanılabilir. İntegrasyon için seçilen alan elemanı, şekildeki gibi iki doğrultuda diferansiyel boyuta sahipse, eylemsizlik momenti iki katlı integralle hesaplanır. Ancak, çoğu kez sadece bir doğrultuda diferansiyel boyuta veya kalınlığa sahip eleman seçilerek integral hesaplamak çok daha kolaydır.
10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması Analizde İzlenecek Yol. Bir alanın bir eksene göre eylemsizlik momenti tek bir integral işlemi ile belirlenecekse, önce da elemanını belirlemek gerekir. Bu eleman, çoğu kez bir sonlu uzunluk ve diferansiyel genişlik içeren bir dikdörtgen olur. Eleman, alanın sınırını keyfi (x, y) noktasında kesecek şekilde olmalıdır. Elemanın konumunu eylemsizlik momenti belirlenecek eksene göre seçmek için kullanılabilecek iki yol vardır.
10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması 1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilebilir. Bu hal, alanın I y eylemsizlik momentini belirlemek için şekildeki dikdörtgen eleman kullanılırsa söz konusu olur. Bu durumda, I y = x 2 da doğrudan uygulanabilir. Çünkü, eleman sonsuz küçük dx kalınlığına sahiptir ve dolayısıyla elemanın bütün parçaları y ekseninden x moment kolu mesafesinde bulunur.
10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması 1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilebilir. Bu hal, alanın I x eylemsizlik momentini belirlemek için şekildeki dikdörtgen eleman kullanılırsa söz konusu olur. Bu durumda, I x = y 2 da doğrudan uygulanabilir. Çünkü, eleman sonsuz küçük dy kalınlığına sahiptir ve dolayısıyla elemanın bütün parçaları x ekseninden y moment kolu mesafesinde bulunur.
10.4 Alanın Eylemsizlik Momentinin İntegralle Bulunması 2. Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik seçilebilir. Burada önceki denklemler kullanılamaz, çünkü elemanın bütün parçaları ilgili eksenlerden aynı moment kolu mesafesinde değildir. Örneğin, alanın I y sini belirlemek için şekildeki eleman kullanılırsa, önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti hesaplanmalı, daha sonra paralel eksenler teoremi kullanılarak elemanın y eksenine göre eylemsizlik momenti belirlenmelidir.
Örnek 10-1 Şekilde gösterilen dikdörtgensel alanın: (a) x geometrik merkez eksenine göre, (b) Dikdörtgenin tabanından geçen x b eksenine göre ve (c) x y düzlemine dik olan ve C alan merkezinden geçen kutba veya z eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.
Örnek 10-1 1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel seçilir. (a). (b). (c).
Örnek 10-2 Şekilde gösterilen taralı alanın x eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.
Örnek 10-2 1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel.
Örnek 10-2 2. Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik.
Örnek 10-3 Şekilde gösterilen dairenin x eksenine göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.
Örnek 10-3 1. Hal. Elemanın uzunluğu eksene paralel.
Örnek 10-3 2. Hal. Elemanın uzunluğu eksene dik.
10.5 Bileşik Alanların Eylemsizlik Momentleri Bileşik alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi bitişik «basit» parça veya şekilden oluşur. Bileşik alanın eylemsizlik momenti, tüm parçaların eylemsizlik momentlerinin cebirsel toplamına eşit olur.
Örnek 10-5 Şekilde gösterilen bileşik alanın x eksenine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız.
Örnek 10-5 Daire Toplam Dikdörtgen
Örnek 10-6 Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının x ve y geometrik merkez eksenlerine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız.
Örnek 10-6 A ve D Dikdörtgenleri B Dikdörtgeni Toplam
*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti Bir alanın eylemsizlik momenti genellikle hesaplanan her eksen için farklı olur. Yapı veya mekanik tasarım uygulamalarında, alan için maksimum ve minimum eylemsizlik momentlerini veren eksenlerin yöneliminin bilinmesi gerekir. Bu eksenlerin yöneliminin belirlenebilmesi için öncelikle çarpım eylemsizlik momentlerinin belirlenmesi gerekir.
*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti Seçilen alan elemanı, şekildeki gibi, iki doğrultuda diferansiyel boyuta sahipse, I xy nin bulunması için iki katlı integral alınması gerekir. Ancak, sadece bir doğrultuda diferansiyel boyuta sahip bir eleman seçilirse, tek bir integral işlemi yeterli olur.
*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti x veya y ekseni alanın simetri ekseni ise I xy sıfır olur. Şekildeki (x,y) konumlu her da elemanına, (x,-y) konumlu bir da elemanı karşı gelir. Bu elemanların çarpım eylemsizlik momentleri sırasıyla xyda ve xyda olduğundan, bu şekilde seçilen bütün elemanların cebirsel toplamı veya integrali birbirini götürür.
*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti I xy nin büyüklüğünün «işareti», alanın koordinat sisteminde yer aldığı çeyrek bölgeye bağlıdır.
*10.6 Alanın Çarpım Eylemsizlik Momenti Paralel Eksen Teoremi. da nın x ve y eksenlerine göre çarpım eylemsizlik momenti ise, tüm alan için olur.
Örnek 10-7 Şekilde gösterilen üçgenin I xy çarpım eylemsizlik momentini hesaplayınız.
Örnek 10-7 Çözüm I
Örnek 10-7 Çözüm II
Örnek 10-8 Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının x ve y geometrik merkez eksenlerine göre çarpım eylemsizlik momentini hesaplayınız.
Örnek 10-8 A Dikdörtgeni B Dikdörtgeni D Dikdörtgeni Toplam
*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri Tasarımlarda bazen θ, I x, I y ve I xy biliniyorken, bir u, v eğik eksen takımına göre I u, I v ve I uv eylemsizlik momentlerini hesaplamak gerekir. Bunun için, x ve y yi u ve v koordinatlarına bağlayan dönüşüm denklemlerini kullanırız. da nın u, v eksenlerine göre eylemsizlik momentleri
*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri
*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri Birinci ve ikinci denklemler taraf tarafa toplanırsa, O noktasından geçen z eksenine göre kutupsal eylemsizlik momentinin, u ve v eksenlerinin yöneliminden bağımsız olduğu görülür.
*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri Asal Eylemsizlik Momentleri. Şimdi, alanın I u ve I v eylemsizlik momentlerinin maksimum olduğu u, v eksenlerinin yönelimini belirleyeceğiz. Bu özel eksen takımına alanın asal eksenleri ve bu eksenlere göre eylemsizlik momentlerine de asal eylemsizlik momentleri denir.
*10.7 Alanın Eğik Eksenlere Göre Eylemsizlik Momentleri Asal Eylemsizlik Momentleri. Bu denklemin, birbirinden 90 farklı, asal eksenlerin eğimini belirten iki kökü vardır. Asal eksenler için I uv =0 dır. Yani, herhangi bir simetri ekseni alanın bir asal eylemsizlik eksenini gösterir.
Örnek 10-9 Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının geometrik merkezden geçen bir eksene göre asal eylemsizlik momentlerini hesaplayınız.
Örnek 10-9
*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Yukarıdaki denklemler, kullanımı ve hatırda tutulması kolay olan grafiksel bir çözüme sahiptir. Soldaki denklemlerin birinci ve üçüncüsünün kareleri alınır ve sonuçlar topmanırsa, aşağıdaki ifade elde edilir.
*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Verilen bir problemde, I u ve I uv değişkendir ve I x, I y ve I xy bilinen sabitlerdir. Buna göre, aşağıdaki ifade yazılabilir. Bu denklemin koordinat eksenleri sırasıyla eylemsizlik momenti ve çarpım eylemsizlik moment eksenleri alınarak grafiği çizilirse, a=(i x +I y )/2 olmak üzere, (a,0) merkezli ve R yarıçaplı bir çember elde edilir. Bu çembere, Mohr çemberi denir.
*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Küçük asal eylemsizlik momenti ekseni, I min Büyük asal eylemsizlik momenti ekseni, I maks Bu çembere, Mohr çemberi denir.
*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Analizde İzlenecek Yol. Mohr çemberinin kullanılmasındaki temel amaç, I x, I y ve I xy nin asal eylesizlik momentlerine dönüşümü için uygun bir araç oluşturmaktır. I x, I y ve I xy. Alan için, P noktası orijinli x, y eksenleri oluşturulur ve I x, I y ve I xy belirlenir. Küçük asal eylemsizlik momenti ekseni, I min Büyük asal eylemsizlik momenti ekseni, I maks
*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Çember. Apsisi I ve ordinatı I xy olan bir dik koordinat sistemi oluşturulur. Çemberin, orijinden (I x +I y )/2 uzaklıkta bulunan O merkezi belirlenir ve (I x, I xy ) koordinatlı A referans noktası işaretlenir. Tanım gereği, I x daima pozitiftir, I xy pozitif veya negatif olabilir. A noktası çemberin merkeziyle birleştirilir ve trigonometri yardımıyla OA uzaklığı belirlenir. Bu uzaklık, çemberin yarıçapını gösterir. Asal Eylemsizlik Momentleri. Çemberin apsisi kestiği noktalar I min ve I maks değerlerini verir. Bu noktalarda I xy sıfırdır.
*10.8 Eylemsizlik Momentleri için Mohr Çemberi Asal Eksenler. Büyük asal eksenin doğrultusunu belirlemek için, trigonometri yardımıyla OA yarıçapından pozitif I eksenine doğru ölçülen 2θ p1 açısı belirlenir. Bu açı, söz konusu alanın x ekseninden I maks eksenine doğru ölçülen açının iki katını gösterir. Çemberdeki 2θ p1 açısı ile alanda x ekseniyle yapılan θ p1 açısı aynı yönde ölçülmelidir. I min ekseni I maks eksenine diktir.
Örnek 10-10 Mohr çemberini kullanarak şekilde gösterilen kirişin kesit alanının geometrik merkezden geçen bir eksene göre asal eylemsizlik momentlerini hesaplayınız.
Örnek 10-10 I x, I y ve I xy. Çember. Asal Eylemsizlik Momentleri.
Örnek 10-10 Asal Eksenler.
10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti Bir cismin kütle eylemsizlik momenti, cismin açısal ivmesine direncini ölçen bir özelliktir. Dinamikte, dönme hareketinin incelenmesinde kullanılır. Birimi kg m 2 dir. Kütle eylemsizlik momenti, cismi oluşturan bütün dm kütle elemanlarının bir eksene göre ikinci momentlerinin integrali olarak tanımlanır. G kütle merkezinden geçen eksene göre hesaplanan eylemsizlik momenti I G ile gösterilir.
Örnek 10-11 Şekilde gösterilen silindirin z eksenine göre eylemsizlik momentini hesaplayınız. Malzemenin ρ yoğunluğu sabittir.
Örnek 10-11
10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti Paralel Eksen Teoremi. Cismin, kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti bilinirse, paralel bir eksene göre eylemsizlik momenti paralel eksen teoremi kullanılarak belirlenebilir.
10.9 Kütle Eylemsizlik Momenti Eylemsizlik Yarıçapı. Bazen bir cismin özel bir eksene göre eylemsizlik momenti, kitaplarda eylemsizlik yarıçapı, k, kullanılarak verilir. Bu, uzunluk birimindedir ve bu değer ve cismin m kütlesi bilindiği zaman, eylemsizlik momenti belirlenebilir.
Örnek 10-13 Kalınlık 0.01 m Gösterilen plağın yoğunluğu 8000 kg/m 3 ve kalınlığı 0.01 m olduğuna göre, O noktasından geçen ve sayfa düzlemine dik eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayınız.
Örnek 10-13 Kalınlık 0.01 m Disk. Delik.
Örnek 10-14 Sarkaç, şekilde gösterildiği gibi, O noktasından asılı her biri 10 lb ağırlığındaki iki ince çubuktan oluşmuştur. Sarkacın, (a) O daki pimden, (b) G kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momentini belirleyiniz.
Örnek 10-14 (a). OA Çubuğu Aynı değer paralel eksen teoremi ile de hesaplanabilirdi. BC Çubuğu
Örnek 10-14 (b).