Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-2 Dalga Denkleminin Çözümü Düzlem Elektromanyetik Dalgalar Enine Elektromanyetik Dalgalar Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Düzlem Dalgaların Polarizasyonu
Dalga Denkleminin Çözümü Kartezyen koordinat sistemi, kaynaksız ve kayıpsız ortam Kartezyen koordinat sisteminde için genel çözüm aşağıdaki gibi yazılabilir.
Dalga Denkleminin Çözümü yi bulmak için değişkenlere ayırma yöntemini kullanalım Her terim bağımsız tek değişkene bağlı. Bu sebeple aşağıdaki gibi 3 denkleme ayrılabilir.
Her bir denklemin çözümü farklı formlarda olabilir İlerleyen Dalgalar Duran Dalgalar y Yandaki örnek için aşağıdaki gibi seçilmelidir. b a x z
Potansiyeller için dalga denklemleri Fazörler cinsinden skaler V potansiyelinin zamanda-harmonik dalga denklemi;
Örnek İletken olmayan, elektrik geçirgenliği ve manyetik geçirgenliği = 0 olan bir ortamdaki elektromanyetik dalganın elektrik alan şiddeti; verilmektedir. manyetik alan şiddetini ve nın değerini bulunuz. Kosinüs referanslı fazörleri kullanarak elektrik alanı aşağıdaki gibi yazabiliriz. Manyetik alan şiddeti Maxwell denkleminden hesaplanabilir.
yı bulmak için diğer Maxwell denklemini kullanacağız
İki denklemi eşitleyerek yı bulabiliriz.
Düzlem Elektromanyetik Dalgalar Düzgün Düzlem Dalga: E nin, (benzer şekilde H nin) yayılma yönüne dik sonsuz düzlemlerde, aynı yöne, aynı genliğe ve aynı faza sahip olduğu özel bir Maxwell denklemleri çözümüdür. Düzlem dalgalar gerçekte yoktur, çünkü oluşturulmaları için sonsuz boyutlarda kaynaklar gerekir. Bununla birlikte eğer bir kaynaktan yeterince uzakta isek, Dalga Cephesi (sabit faz yüzeyi) neredeyse küresel hale gelir ve dev bir kürenin yüzeyinin çok küçük bir kısmı bir düzleme çok yakındır.
Düzlem Elektromanyetik Dalgalar (a) Düzlem dalga (b) Küresel dalga
Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar 1. Boşlukta Düzlem Dalgalar. y-yönünde polarize olmuş, z doğrultusunda yayılan elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni; Boşlukta, dalganın faz hızı ışık hızı c ye eşittir.
Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar 1 boyutlu dalga denklemi
Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar veya k, dalga sayısı: 1 Boyutlu dalga (Helmzholtz) denklemi :
Zamanda Harmonik Düzlem Dalgalar İkinci dereceden adi diferansiyel formda olan dalga denkleminin çözümü; Kosinüs referansı çin E nin anlık ifadesi; Birinci terim +z yönünde, ikinci terim ise z yönünde giden dalgayı göstermektedir.
Zamanda Harmonik Düzlem Dalgalar Dalga boşlukta yayılmaktadır, dolayısıyla faz hızı aşağıdaki gibi tanımlanır.
Örnek: EM dalganın elektrik alanı y-yönünde polarize olmuştur ve z yönünde ilerlemektedir. Dalga boyu 2 cm, genliği 2 V/m olduğuna göre elektrik alan ifadesini yazınız. Dalga boyu = 0.02 m: Dalga sayısı:
Manyetik Alan Şiddeti ve Karakteristik Empedans Manyetik alan şiddeti Faraday yasasından bulunabilir;
Manyetik Alan Şiddeti ve Karakteristik Empedans Ortamın Karakteristik Empedansı: Serbest Uzay için: Alan bileşenlerinden herhangi birini ve karakteristik empedansı biliyorsak, diğer alan bileşenini bulabiliriz.
Örnek: Aşağıda, boşlukta verilen elektrik alan şiddeti vektörüne eşlik eden manyetik alan şiddeti ifadesini bulunuz.
Enine Elektromanyetik Dalgalar +z yönünde yayılan bir düzgün düzlem dalga Elektrik ve manyetik alanına sahiptir. E ve H birbirine diktir ve bunların her ikisi de yayılma yönüne diktir. Böyle bir dalga enine elektromanyetik (TEM) dalganın, özel bir durumudur.
y +x ve +z yönlerinde ilerleyen düzgün düzlem dalganın y- doğrultusundaki elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi ifade edilir. x z Dalga sayısı vektörü k aşağıdaki gibi ifade edilir.
y x z Bu elektrik alana eşlik eden manyetik alan H, aşağıdaki gibi bulunur.
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Eğer bir ortam iletken ise ( 0), elektrik alanın varlığından dolayı = akımı akacaktır. Bu durumda; = olur. = Kayıplı ortamın kompleks geçirgenliği = = İyi iletken İyi yalıtkan
Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Kayıplı ortamda dalga sayısı; =0 =j = =
Düşük Kayıplı Dielektrikler Düşük kayıplı bir dielektrik, iyi ancak mükemmel olmayan bir yalıtkandır ve 1 olacak şekilde sıfır olmayan bir eşdeğer öz veya iletkenliği vardır. Bu koşul altında terimine binom açılımını uygularsak; = Zayıflama sabiti Faz sabiti
Düşük Kayıplı Dielektrikler Düşük kayıplı bir dielektriğin öz empedansı kompleks bir niceliktir. = faz hızı oranından elde edilir =
İyi İletkenler veya 1 olan ortamlardır. = = (1+j) İyi iletkenin öz empedansı =
İyi İletkenler İyi iletkende faz hızı = İyi iletkende dalga boyu Deri Kalınlığı: İlerleyen dalganın genliğinin veya 0,368 çarpanı ile azaldığı mesafesine iletkenin deri kalınlığı veya nüfuz derinliği adı verilir. = İyi iletken için olduğu için = yazılabilir.
Resim şu anda görüntülenemiyor. Düzlem Dalgaların Kutuplaması (Polarizasyonu) Bir düzlem dalganın kutuplanması (polarizasyonu), elektrik alan şiddeti vektörünün uzayda verilen bir noktadaki zamanla değişen davranışını açıklar. Örneğin bir düzlem dalganın E vektörü x yönüne sabitlenmişse, dalgaya x- yönünde sabitlenmiş doğrusal kutuplanmıştır denir. ( Üç tip polarizasyon vardır;
Polarizasyon tipleri Doğrusal polarizasyon Dairesel polarizasyon Eliptik polarizasyon
Doğrusal polarizasyon Yatay Vertical
Dairesel polarizasyon
Eliptik polarizasyon
Doğrusal polarizasyon
Dairesel polarizasyon
Dairesel polarizasyon
Resim şu anda görüntülenemiyor. Düzlem Dalgaların Kutuplanması İki doğrusal kutuplanmış dalganın üst üste bindirilmesini düşünelim. Biri x- yönünde kutuplanmış diğeri de y- yönünde kutuplanmış ve zaman fazında 90 derece (veya /2 radyan) gecikmeli olsun. Fazör gösterimi; Burada ve bu iki doğrusal kutuplanmış dalganın genliğini gösteren reel sayılardır. E nin anlık ifadesi ise;
Düzlem Dalgaların Kutuplanması Verilen bir noktada t değişirken E nin yön değişimini incelerken z=0 almak uygundur. Böylece denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:
Düzlem Dalgaların Kutuplanması t, 0 dan /2, ve 3/2 ye artıp 2 de döngüyü tamamlarken E(0,t) vektörünün ucu saat yönünün tersinde eliptik bir yörünge çizecektir. y E 20 0 x
Düzlem Dalgaların Kutuplanması 0 y x Birbirine uzayda ve zamanda dik iki doğrusal kutuplanmış dalganın toplamı olan E, eğer E 20 E 10 ise Eliptik Kutuplanmıştır. Eşit ise Dairesel Kutuplanmış dalga denir. E 20 =E 10 olduğunda E nin t=0 da x- ekseni ile yaptığı anlık açısı aşağıdaki gibi tanımlanır. =t Bu bir sağ-el veya pozitif dairesel kutuplanmış dalgadır.
Düzlem Dalgaların Kutuplanması Eğer zaman fazında E 1 (z) nin 90 derece önünde bir E 2 (z) ile başlarsak sırasıyla, olacaktır. E, saat yönünde açısal hızıyla dönecektir. Böyle bir dalga sol-el veya negatif dairesel kutuplanmış dalga diye isimlendirilir.
Düzlem Dalgaların Kutuplanması Eğer E 2 (z) ve E 1 (z) uzayda dik ama zamanda eş fazlı ise E nin z=0 daki ifadesi aşağıdaki gibi olur. Vektörün ucu t=0 iken P 1 noktasında olacaktır. t açısı /2 ye doğru artarken vektörün büyüklüğü sıfıra doğru azalacaktır. E Doğrusal Kutuplanmıştır. y E 20 P 1 x E 10 P 2