ÇĐFT SARKAÇ SĐSTEMĐNĐN KAYAN KĐPLĐ KONTROLÜ Yuuf ALTUN Metin DEMĐRTAŞ 2 Elektrik Elektronik Mühendiliği Bölümü Mühendilik Mimarlık Fakültei Balıkeir Üniveritei, 45, Cağış, Balıkeir e-pota: altuny@balikeir.edu.tr 2 e-pota: mdta@balikeir.edu.tr Anahtar özcükler: Çift arkaç, kayan kip kontrol. ÖZET Bu çalışmada kontrol teoriinin klaik problemlerinden olan hareketli araba üzerindeki ter arkacın dengelenmei problemi incelenmiştir. Đkinci dereceden doğrual olmayan denklemler şeklinde modellenen ter arkaç itemi, doğruallaştırılarak kayan kip kontrol uygulanmıştır. Elde edilen imülayon onuçları analiz edilmiştir.. GĐRĐŞ Günümüzde doğrual ve doğrual olmayan itemlerde birçok kontrol teknikleri bulunmaktadır. Kontrol tekniklerinin uygulanmaı bakımından ter arkaç iteminin kontrolü önemli bir yere ahiptir. Özellikle araba üzerindeki ter arkaç problemleri kararız oluşları ve doğrual olmamaı nedeniyle kontrol yaklaşımlarının uygulanmaı için iyi bir deneme itemidir. Bu yüzden ter arkaç itemlerinin kontrolü literatürde yaygın bir şekilde tartışılmaktadır[ 8]. Kayan kip kontrol, doğrual ve doğrual olmayan geri belemeli kontrol itemlerinde iyi bir performan ağlayan kontrol tekniğidir. Bu kontrol tekniği on 3 yılda gelişmiş ve günümüzde geri belemeli kontrol itemlerine uygulanmaktadır[9]. Kayan kip kontrol yaklaşımındaki ana amaç, hatayı anahtarlama yüzeyi veya kayma yüzeyine itmek ve bu yüzeyde tutmaktır. Bundan onra item kayma kipindedir ve modelleme hataları ile dış bozuculardan etkilenmez. Bu çalışmadaki ter arkaç itemi, araba üzerinde menetlenmiş birinci çubuk (ter arkaç) ve bu çubuğun diğer ucuna menetlenmiş ikinci bir çubuktan (bait arkaç) oluşmaktadır. Đkinci çubuğun bozucu etkii altında, birinci çubuğun arabaya uygulanan kontrol işareti ile hareketlenerek dikey konumda durmaı ağlanmaktadır. θ açıının başlangıç değeri değiştirilerek ter arkacın kayan kipli kontrolü için imülayon yapılmıştır. Yapılan imülayonda ter arkacın denge durumunda (θ=) olmaı ağlanmıştır. Bu çalışmada önce ter arkacın modellenmei, daha onra kayan kip uygulamaı yapılmış ve imülayon onuçları analiz edilmiştir. 2. TERS SARKACIN MODELLENMESĐ Ter arkaç itemi, ucuna bozucu etki eden ikinci bir arkacın etkiiyle hareket eden bir arabanın üzerinde bulunmaktadır. Bu itemin şemaı şekil de göterilmiştir. Burada m birinci arkacın ucundaki kütle, m 2 ikinci arkacın ucundaki kütle, l birinci arkacın uzunluğu, l 2 ikinci arkacın uzunluğu, θ birinci arkacın y ekeni ile yaptığı açı, β ikinci arkacın y ekeni ile yaptığı açı, x arabanın aldığı meafe ve u kontrol girişi olarak ifade edilmiştir. Şekil. Ter arkaç itemi Şekil de göterilen ter arkaç iteminin matematikel ifadei aşağıda verilmiştir. Her bir kütle için Newton metodu kullanılarak ) () (2) (3) denklemleri elde edilmiştir.
Denklem (), (2), (3) ifadelerinde θ ve β olarak doğruallaştırıldığında (4) (5) (6) şeklinde bulunur. Durum uzay göterimi (7) şeklinde ifade edilir. Burada U + ve U - ıraıyla pozitif ve negatif röle kazancıdır. Yani iteme uygulanan ürekiz kontrol genliğidir. i ie kayma yüzeyini tanımlar. Kayan kip kontrolün yapıı anahtarlama fonkiyonu olarak tanımlanan (x) in işareti ile belirlenir. Her bir (x) anahtarlama fonkiyonu, itemin bir durumu ile durumun türevinin doğrual bağımlı hale getirildiği ve faz düzleminde orijinden geçen m adet doğru denklemini ifade eder. Bu da i (x)= olarak tanımlanır. (8) (9) ifadeleri ve () () (2) eşitlikleri kullanılarak - - -.u şeklinde elde edilir. (3) (4) 3. KAYAN KĐP KONTROL Kayan kipli kontrolde yaygın olarak kullanılan kural role tipi kontrol kuralıdır. Bu kontrol kuralı Şekil 2. Anahtarlama doğruu Şekil 2 de görüldüğü gibi faz düzlemini iki bölgeye ayıran bu doğrulara anahtarlama doğruu denir. Bu kayma yüzeyi (x)= olduğu noktaları tanımlar. Sitemin durumlarının bu kayma yüzeyine ürülmei ve bu yüzeyde tutulmaı ağlanır. Durumlar kayma yüzeyine geldiğinde itemin hataları c eğim matriinin belirlediği dinamikle bu yüzey üzerinde hareket ederek ıfıra gider. ifadei ile kayma yüzeyi tanımlanır ve bu ifade ıfıra eşit olmalıdır. Bu şekilde kayma yüzeyinin değerine göre üretilen röle tipi kontrol işareti item modelinin girişine uygulanır. 4. TERS SARKACIN KAYAN KĐPLĐ KONTROLÜ Ter arkaç modelinde θ nın kayan kipli kontrolü yapılmıştır. Bunun için bir adet kayma yüzeyi kontrol için yeterlidir. Kayma yüzeyi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. =c.x +x 2 = (5) Burada c pozitif gerçek ayıdır. x =θ-θ r (6) x 2 = denklem (5), (6) ve (7) birleştirildiğinde (7)
olarak elde edilir. Kontrol ara yüzünün türevi alındığında ie (8) (9) olarak elde edilir. Kayan kip kontrolünün gerçekleşmei için aşağıdaki iki şartın ağlanmaı gerekmektedir (2) veya şeklinde olmalıdır. Denklem (8) in ağlanmaı durumunda, yörünge ütel olarak, kararlı bir şekilde kayma yüzeyine yönelir. Denklem (2) in ağlanmaı durumunda ie kayan kip kontrollü kapalı çevrim itemi aimptotik olarak kararlı olmaktadır[]. ve (2) (22) şeklinde olur. Kontrol işareti u=u.ign() şeklindedir ve (23) şeklinde değişecektir. Burada iteme uygulanan ürekiz kontrol işaretinin genliği 3 ve eğim matriinin değeri 5 olarak eçilmiştir. Ter arkaç devre modelinde θ değerini referanta tutabilmek için diğer bir ifadeyle birinci arkacın dikey konumda dengede kalabilmei için kayan kipli kontrol taarımı MATLAB imulink te gerçekleştirilmiştir. Ter arkacın kontrollü imulink modeli şekil 3 te göterilmiştir. θ r =abit olduğunda c u Ref Gain3 Sign Gain2 du/dt Derivative Gain6 Gain7 Integrator Integrator Gain Gain9 Gain8 Integrator3 Integrator2 5. SĐMÜLASYON SONUÇLARI Yapılan bu çalışmada eçilen ter arkaç parametreleri tablo de görülmektedir. Tablo. Ter arkaç parametreleri M.5 kg m. kg m 2.5 kg l. m l 2. m g 9,8m/n 2 Gain4 Şekil 3. Ter arkacın imulink modeli Gain5 Integrator4Integrator5 Gain Ter arkaç modelinde θ açıının başlangıç değeri radyan iken θ, β, x, u ve değişimleri şekil 4, 5, 6,7 ve 8 de görülmektedir. x x
Teta degeri (rad.).5 -.5 -. -.5 -.2 -.25 -.3 Teta Şekil 6 da görüldüğü gibi ani darbe ile hareketlenen araba, θ daki ani darbe etkiini düzeltmek için ağa ve ola yaklaşık cm yol almış ve daha onra ikinci arkacın bozucu etkiini düzeltmek için çok küçük yer değiştirmelerle ağa ola hareket ederek denge konuma gelmektedir..8.6 u -.35.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Şekil 4. θ değerinin değişimi Şekil 4 te görüldüğü gibi θ, iteme ani darbe uygulanarak yaklaşık -.33 radyan değerine gitmiş ve kıa ürede referan değerine oturtulmuştur..4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 Beta degeri (rad.).25.2.5..5 -.5 -. -.5 -.2 Beta -.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Şekil 7. Kontrol işaretinin değişimi Şekil 7 de görüldüğü gibi kayan kip kontrolünün üretmiş olduğu kontrol işareti yüzeyinin değişimine göre çok hızlı bir şekilde röle tipi anahtarlama yapmaktadır. Böylece kontrolör, arabanın ağına ve oluna kontrol işareti uygulayarak θ açıının radyan değerinde, yani birinci arkacın dengede durmaını ağlamaktadır. -.25.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Şekil 5. β değerinin değişimi Đkinci çubuk, birinci çubuğa bozucu etki olarak düşünüldüğünden β değeri kontrol edilmemiştir. Şekil 5 te görüldüğü gibi β değeri arabaya uygulanan kontrol işaretinin etkiiyle.2 rad. ile -.2 rad. araında ağa ola hareket etmektedir. Sarkacın ürtünme kuvveti ihmal edildiğinden, β değeri ürekli olarak.2 rad. ile -.2 rad. araında değişmektedir. Bu yüzden inü dalga şekline benzemektedir. x2 5 5-5 - -5 yüzeyi x degeri (m).5..5 x meafei -2 -.35 -.3 -.25 -.2 -.5 -. -.5.5 x Şekil 8. Kayma yüzeyi değişimi Şekil 8 de x ekeni x değişimini ve y ekeni x 2 değişimini götermektedir. Grafikte görüldüğü gibi hata ve hatanın türevi orijine çekilmektedir. Buda itemin aimptotik kararlı hale geldiğini götermektedir. -.5 -..2.4.6.8.2.4.6.8 2 Şekil 6. x değerinin değişimi Simülayonda θ açıının başlangıç değeri.5 rad. olarak değiştirilmiştir. Buna göre elde edilen θ, β, x, u ve onuçları şekil 9,,, 2 ve 3 te verilmiştir. Şekil 9 da görüldüğü θ değeri.5 radyan iken, kıa ürede rad. değerine oturtulmuştur. Sarkaç kontrol işareti etkiiyle dikey konumda durmuştur.
Teta degeri (rad.).6.5.4.3.2. Teta.5cm ile.25 cm araında ağa ola hareket etmektedir..8.6.4.2 -.2 u Beta degeri (rad.) -..2.4.6.8.2.4.6.8 2.25.2.5..5 -.5 -. -.5 -.2 Şekil 9. θ değerinin değişimi Beta -.25.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Şekil. β değerinin değişimi Şekil da görüldüğü gibi ikinci arkacın konumu kontrol işaretinin etkiiyle.2 rad. ile -.2 rad. araında değişerek arkaç ağa ola hareket etmektedir. Bu yüzden burada da ikinci arkacın hareketi inü dalga şekline benzemektedir. x degeri (m).4.2..8.6.4.2 X meafei.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Şekil. x değerinin değişimi Şekil de görüldüğü gibi araba, θ açıını referan değerine indirmek için önce hızlanarak yaklaşık.28 cm yol almış ve denge konumuna gelerek ikinci arkacın bozucu etkiini düzeltmek için yaklaşık -.4 -.6 -.8 -.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Şekil 2. Kontrol işaretinin değişimi Şekil 2 de görüldüğü gibi burada da kontrol işareti çok hızlı bir şekilde değişmektedir. Böylece kontrolör, arabanın ağına ve oluna kontrol işareti uygulayarak θ açıının rad. değerinde durmaını ağlamaktadır. x2 2-2 -4-6 -8 - -2-4 yüzeyi -6 -...2.3.4.5.6 x Şekil 3. Kayma yüzeyi değişimi Şekil 3 te x ekeni x değişimini ve y ekeni x 2 değişimini götermektedir. Grafikte görüldüğü gibi hata ve hatanın türevi, ıfır değerine gitmektedir. Buda itemin aimptotik kararlı hale geldiğini götermektedir. 6. SONUÇ Bu çalışmada ter arkacın kayan kipli kontrolü yapılmıştır. Birinci arkaca menetlenmiş ikinci çubuğun bozucu etkii altında, birinci arkacın konumu kontrol edilmiştir. Yapılan imülayon onucunda arkacın dengede durmaı ağlanmış ve kontrol enaında θ, β, x, u ve değişimleri grafikel olarak gözlemlenmiştir. Değişik başlangıç değerlerine karşılık elde edilen her iki imülayon onuçlarında itenilen referan değerlerine ulaşılmıştır. Bozucu etki altında bulunan ter arkacın kontrolü için kullanılan kayan kip kontrolün itenilen referan değerine ulaşılmaını ağladığı görülmüştür.
KAYNAKLAR [] Magana, M.E.; Holzapfel, F, Fuzzy-logic control of an inverted pendulum with viion feedback, Education, IEEE Tranaction on Volume 4, Iue 2, Page():65-7, May 998. [2] Jun Xiao; Shi Zhang; Jizhong Xiao; Ning Xi; Motion mode control in double inverted pendulum ytem, Advanced Intelligent Mechatronic, IEEE/ASME International Conference, Page():83-836, 25. [3] Lin Yue-ong; Qian Ji-xin; Xue An-ke; Wang Jun-Hong; Simple multi-pd control algorithm of double inverted pendulum, IEEE Region Conference on Computer, Communication, Control and Power Engineering, Volume 3, Page():428-43, 28-3 October 22. [4] Tay Sam Leng; Nah Swee Leng; Ng We Teck; Control of an inverted pendulum uing a neurofuzzy controller Motion Control, Aia-Pacific Workhop on Advance, Page():22 27, 5-6 July 993. [5] Rekdalbakken, W, Feedback Control of an Inverted Pendulum with the ue of Artificial Intelligence Computational Cybernetic, 26 IEEE International Conference, Page():-6, Augut 26. [6] Dianwei Qian; Jianqiang Yi; Dongbin Zhao; Yinxing Hao; Hierarchical Sliding Mode Control for Serie Double Inverted Pendulum Sytem, Intelligent Robot and Sytem, IEEE/RSJ International Conference, Page():4977-4982, October 26. [7] Henmi, T.; Mingcong Deng; Inoue, A.; Swing-up control of a erial double inverted pendulum, American Control Conference, Volume 5, Page():3992-3997, 3 June-2 July 24. [8] Shuliang Lei; Langari, R, Hierarchical fuzzy logic control of a double inverted pendulum, Fuzzy Sytem, 2. FUZZ IEEE 2. The Ninth IEEE International Conference, Volume 2, Page():74-77, 7- May 2. [9] O.Kaynak, K. Erbatur and M. Ertugrul, "The fuion of computationally intelligent methodologie and liding-mode control-a urvey," IEEE Tranaction on Indutrial Electronic. Volume 48, Paper(): 4-2, February 2. [] Đbrahim Şenol, Metin Demirtaş, Sabir Rutemov Alan Yönlendirmeli Aenkron Motorun Bulanık Kayan Kip Konum Kontrolü, Afyon Kocatepe Üniveritei Fen Bilimleri Dergii, Volume 4, ayfa: 2, Afyon, 24.