FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi
Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı
Klasik mekanikte bir parçacığın hareket durumu, parçacığın x ve v ile belirlenir. Kuantum mekaniğinde ise parçacığın hareket durumu dalga fonksiyonuyla belirlenir. Her iki mekanikte amaç parçacığın durumunun zaman içinde nasıl değişeceğini öngörmektedir. Cevap her iki mekanikte de bir hareket denklemi ile verilir.
Klasik hareket denklemi Newton un ikinci yasası F = ma dır. t=0 anında parçacığın x ve v si biliniyorsa, daha sonraki t anında x ve v Newton yasasıyla bulunur. Kuantum mekaniğinde hareket denklemi zamana bağlı Schrödinger denklemidir.
Parçacığın dalga fonksiyonu t=0 anında biliniyorsa, zamana bağlı Schrödinger denklemi çözülür ve diğer zamanlardaki dalga fonksiyonu bulunur. Zamana bağlı Schrödinger denklemi bir kısmi diferansiyel denklemdir. Kuantum sistemler arasında toplam enerjisi sabit olan sistemler en ilginç olanlarıdır. Bu sistemler için dalga fonksiyonu kararlı dalga yapısındadır.
İki ucu sabit bir teldeki dalgalara benzer. Zamana bağlı Schrödinger denklemi bu kararlı dalgalara uygulandığında zamandan bağımsız Schrödinger denklemine dönüşür. Bu derste kararlı dalga fonksiyonlarıyla çalışıp enerjinin alabileceği değerleri bulacağız.
Klasik Kararlı Dalga Dalga fonksiyonu : (x, t) x doğrultusunda iki sinüsel dalga gözönüne alalım. +x yönündeki dalga: 1 x, t = B sin(kx ωt) Diğer dalga aynı genlikle x yönünde ilerler: 2 x, t = B sin(kx + ωt) İki dalga aynı tel üzerinde birlikte ilerliyorsa, oluşan bileşke dalga: x, t = B sin(kx ωt) + sin(kx + ωt)
Trigonometrik bir özdeşlik kullanılarak x, t = 2B sinkx cosωt A=2B alınırsa x, t = A sinkx cosωt Bu dalganın değişik zamanlardaki fotoğrafları bir sonraki slaytta gösterilmektedir. Dalganın sağa veya sola ilerlemediği göze çarpmaktadır.
Kararlı dalganın ardışık zamanlarda beş profili. Telin durgun olduğu düğüm noktaları arasındaki uzaklık /2.
Düğüm noktası, sinkx=0 olan sabit noktalarda x, t = 0 ve tel durgundur. Diğer noktalarda tel yukarı-aşağı cosωt şeklinde titreşim yapar, genliği A sinkx. İlerleyen iki dalganın toplamını alarak bir kararlı dalga oluşturmuş olduk. Düğüm noktalarında tel hareket etmiyor. İki düğüm noktasında teli bağlayıp dış kısımları keselim. Sonlu uzunlukta bir telde kararlı dalga olur.
Aralarında a uzaklığı olan iki nokta arasına gerili bir telde ne tür kararlı dalgalar oluşabilir? 2a a
Kararlı Kuantum Dalgası ; Kararlı Kararlı dalga: x, t Durumlar = A sinkx cosωt Bu ifadeyi şöyle de yazabiliriz: x, t = x cosωt x e bağlı fonksiyon ile sadece t ye bağlı diğer bir fonksiyonun çarpımı. Dalga fonksiyonunun uzay kısmı x ile gösterilen bir sinüs fonksiyonudur.
En genel sinüsel kararlı dalga ifadesi: x, t = x (a cosωt + b sinωt) Yapı olarak sinüs veya kosinüs aynı fonksiyondur. Bir kuantum sistemin kararlı dalgası bu şekilde yazılır. Klasik bir dalga fonksiyonunda a ve b katsayıları daima reeldir.
Fakat kuantum mekaniğinde dalga fonksiyonu kompleks olabilir. Dalganın zamana bağımlı kısmı daima cosωt i sinωt şeklinde olur. i = 1 sanal sayısıdır. Buna göre kuantum parçacığının kararlı dalgası: x, t = x (cosωt i sinωt) Zamana bağlı kısım komplekstir.
Kompleks sayılar teorisinden bilinen Euler formülünü kullanırız: cos + i sin = e iθ Bu formül Argand diyagramında gösterilir. e iθ = cosθ 2 + sinθ 2 = 1 cos i sin = e iθ Bundan dalga fonksiyonu x, t = x e iωt
ω belli bir değer aldığı için, E = ħω de Broglie bağıntısına göre bu dalga fonksiyonuna sahip bir kuantum sistemin enerjisi de belirli bir değerde olur. Bunun tersi de doğrudur: E si belli bir kuantum sistemin dalga fonksiyonu x, t = x e iωt yapısındadır.
x, t gibi bir kuantum dalga fonksiyonuna bağlı olarak tanımlanan olasılık yoğunluğu x, t 2 ile verilir. Kompleks dalga fonksiyonu için x, t 2 = (x) 2 e iωt 2 x, t 2 = (x) 2 (kararlı kuantum dalgası için)
Kararlı kuantum dalgası için olasılık yoğunluğu zamandan bağımsızdır. Bu nasıl olur? Dalganın zamana bağımlı kısmı: e iωt = cosωt i sinωt Bu kompleks sayının reel ve sanal kısımları 90 0 faz farkıyla salınım yaparlar. Biri artarken diğeri azalır ve kareleri toplamı sabit kalır.
Madde dağılımı zamandan bağımsız veya kararlı olur. (Örn. Atomdaki elektron dağılımı vb.) Kararlı kuantum dalgasına kararlı durum denir. Kararlı durumlar Bohr teorisindeki kararlı yörüngelere karşılık gelirler yani belli enerjiye sahip durumlardır. Kararlı bir atomdaki yük dağılımı durgun olduğundan kararlı durumdaki atom ışıma yapmaz.
x, t dalga fonksiyonunun fiziksel içeriği x uzay kısmında bulunur. Kuantum mekaniğinin önemli bir bölümünde x fonksiyonu ve buna karşılık gelen enerjilerin bulunmasıyla uğraşılır. Bu uğraş sırasında başlıca aracımız zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir.
Kuyu İçindeki Parçacık x-ekseni üzerinde sonlu bir aralığın dışına çıkamayan, fakat bu aralıkta serbest hareket edebilen bir parçacık göz önüne alalım. Tek-boyutlu kuyu olarak bilinir. Klasik mekanikte bir ip üzerinde iki düğüm arasında sürtünmesiz kayabilen bir bilezik düşünelim. Bilezik dışarı çıkamaz. Kuantum mekaniğinde ince bir iletken çubuk içinde bir elektron düşünelim. Elektron dışarı çıkamaz.
Genişliği a olan tek boyutlu kuyu içinde hareket eden m kütleli bir parçacık ele alalım. x=0 ile x=a arasında parçacığa hiçbir kuvvet etki etmez. Kuvvet sıfır demek kuyu içinde potansiyel sabit demektir ve bu sabit değeri «0» seçeriz. Parçacığın toplam enerjisi sadece kinetik enerjiden oluşur.
Serbest parçacığın enerjisi E = K = p2 2m Belli enerjiye sahip durumları kararlı dalgalarla temsil ederiz. Parçacığın x, t dalga fonksiyonu için kararlı dalga çözümlerini bulmamız gerekir. Kararlı dalga x, t = x e iωt
Teldeki dalgalara benzetirsek, dalganın uzay kısmı kuyu içinde sinüsel bir fonksiyon olarak düşünürüz. x fonksiyonu ikisinin karışımı olarak x = Asinkx + Bcoskx ( 0 x a ) Parçacık kuyudan dışarı çıkamayacağı için kuyu dışında x = 0. x in sürekli bir fonksiyon olacağını varsayalım, bu durumda x=0 ile x=a da x = 0. 0 = a = 0
Dalga fonksiyonunun sağlaması gereken sınır koşulları. x=0 alınırsa 0 = B. Dalga fonksiyonu bu sınırdaki koşulu sağlayabilmesi için B=0 olmalıdır. 0 = 0 koşulu dalga fonksiyonu ifadesinin x olmasını gerektirir. = Asinkx
a = 0 koşulu uygulanırsa Asinka = 0 ka =, 2, 3 k = n a (n=1,2,3, ) = 2 = 2a (n=1,2,3, ) k n x=0 ile x=a da x = 0 olma koşulu nedeniyle dalgaboyu kuantalanmış olur.
Dalgaboyunun kuantalanması p ve E nin kuantalanması demek. p = h de Broglie bağıntısında p = nh = n ħ 2a a (n=1,2,3, ) E n = n 2 2 ħ 2 2ma 2 (n=1,2,3, )
Parçacığın bulunabileceği en düşük enerjili durum (taban durum) n=1 ; E 1 = 2 ħ 2 2ma 2 n. durum enerjisini yazarsak E n = n 2 E 1 (n=2,3, )
E x n arttıkça enerji düzeylerinin arası açılmakta. E arttıkça deki düğüm noktaları artar. Düğüm noktası çokluğu daha kısa demektir, dolayısıyla p ve K daha büyük olur.
Kararlı dalgalardan her biri için tüm dalga fonksiyonu x, t = x e iωt = A sinkx e iωt Kompleks özdeşlik sinθ = eiθ e iθ 2i kullanılırsa x, t = A 2i e i(kx ωt) e i(kx+ωt)
Tıpki klasik kararlı dalga gibi kararlı kuantum dalgası da karşıt yönlerde ilerleyen iki dalganın toplamı olarak yazılabilir. +x yönünde ilerleyen dalga p si +ħk olan bir parçacığı, -x yönünde ilerleyen dalga ise p si ħk olan parçacığı temsil eder. Kuyudaki parçacığın momentumunun büyüklüğü ħk olur. Ancak yönü yarı yarıya olasılıkla iki yönde de olabilir.
Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kuyudaki parçacık için x için bir tahminde bulunup çözüme gittik. Her problem için x yi bulmamızı sağlayan bir denkleme ihtiyaç vardır. Bu, zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir. Bu denklem Newton un 2. yasası gibi bir aksiyom olup doğruluğu deneysel gözlemlerle kanıtlanır.
Fizik yasalarının büyük çoğunluğu diferansiyel denklemler şeklinde ifade edilir. Bu denklemlerde fiziksel büyüklüğün türevleri yer alır. Örn. Newton un 2. yasası m d2 x dt 2 = F
Örn. Viskoz bir sıvı içinde bv iç sürtünme kuvveti ve bir yaya bağlı olarak kx kuvveti etkisi altında hareket eden bir parçacık için m d2 x dx = b dt2 dt kx diferansiyel denklemi yazılır. İkinci dereceden diferansiyel denklem denir.
Klasik dalga hareketi de bir diferansiyel denklemle belirlenir. Kararlı kuantum dalgasının da bir diferansiyel denklemle belirleneceğini bekleriz. Kuyudaki parçacığın dalga fonksiyonunun uzay kısmı x = Asinkx
d dx = ka coskx d 2 dx 2 = k2 A sinkx d 2 dx 2 = k2
p = ħk olduğuna göre K = p2 k 2 2m =ħ2 2m k 2 = 2mK ħ 2 d 2 dx 2 = 2mK ħ 2 Bir kuyudaki bir parçacığın dalga fonksiyonunun sağladığı diferansiyel denklem.
Kuyudaki parçacık problemi kuyu içinde U=0 olan basit bir sistemdir. U(x) 0 olduğu durumlara genelleştirelim. K = E U x Yeni diferansiyel denklem d 2 dx 2 = 2m U x E ħ2 Bu denklem 1926 da bunu ilk yazan Schrödinger denklemi (zamandan bağımsız) olarak bilinir.
Schrödinger bu denklemin H atomu enerji düzeylerini doğru olarak verdiğini gösterdi. Günümüzde, Schrödinger denklemi göreli olmayan kuantum mekaniğinin temeli olduğu kabul edilmektedir. Bu denklem tek boyutta hareket eden bir parçacık içindir. d 2 dx 2 = 2m U x E ħ2
Bu denklem çok sayıda parçacık ve üç boyutlu hareket için genelleştirilir. Önce U(x) bulunur sonra Schrödinger denkleminin çözümüne geçilir. Schrödinger in kabul edilebilir çözümleri olması için x ; bir kuyu duvarlarında sıfır olmalıdır. sürekli bir fonksiyon olmalıdır. birinci türevi de sürekli olmalıdır.
Kuyuda parçacık problemine yeniden bakış Önce bu problem için U(x) i belirleyelim. Parçacığın kuyu içinde potansiyeli sıfır, kuyu dışındaysa sonsuz. Bu ideal bir sonsuz kuyu potansiyelidir. Hiçbir enerji parçacığı kuyudan çıkaramaz. U x = 0 (0 < x < a) (x < 0 ve x > a) Kuyu dışında U x = yani parçacık hiçbir şekilde dışarıda olamaz. O zaman x < 0 ve x > a da x =0.
(x) in sürekli olma koşulu 0 = a =0 Kuyu içinde U(x)=0 d 2 dx 2 = 2mE ħ 2 Bu diferansiyel denklemin çözümü aranır. Bu denklemin her E değeri için çözümü olup olmadığını araştırmak üzere önce E den başlanır.
E negatif = 2mE ħ x = 2 x Denklemin çözümü x = Ae x + Be x A ve B reel veya kompleks keyfi sabitler.
İki bağımsız çözümün lineer kombinasyonu şeklinde x = A 1 (x) + B 2 (x) Schrödinger denkleminin negatif E için tüm çözümlerini verir ama sınır koşullarını sağlamaz. Şimdi E>0 için çözümleri arayalım. k = 2mE ħ
x = k 2 x 0 a x = Asinkx + Bcoskx = 0 sınır koşulu B=0 olmasını gerektirir. = 0 sınır koşulu ise k = n a E n = n 2 2 ħ 2 2ma 2
Kuyu potansiyelindeki parçacık probleminde A sabitini bulmak için yapılması gerekenler: x = Asin n x a Parçacığın x ile x+dx arasında bulunma olasılığı P = x 2 dx Parçacığın tüm uzayda bulunma olasılıkları toplamı x 2 dx = 1
Bu bağıntıya normlama koşulu ve bunu sağlayan A sabitine normlama sabiti denir. Bu özelliğe sahip dalga fonksiyonu normlanmıştır denir. Kuyu potansiyelinde dalga fonksiyonu dışarda sıfır a x 2 dx = 1 0
A 2 sin 2 nπx a 0 a A 2 a 2 = 1 dx = 1 A = 2 a
Kuyu içindeki bir parçacığın normlanmış dalga fonksiyonları x = 2 a sin n x a
Beklenen Değer Çok sayıda ölçüm sonucu parçacığın ortalama konumu a x m = x x 2 dx 0 Bu ortalama değer bazen x veya x ile gösterilir. Kuantum mekaniğinde x in Beklenen Değeri denir.